Обчислення інтегралів за допомогою відрахувань. Рішення інтегралів онлайн

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики ИП ВАСИЛЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный університет» Оренбург

2 ББК 6 я7 В 9 УДК 7 (7 Рецензент кандидат фізико-математичних наук, доцент, завкафедрою математичного аналізу Невоструєв ЛМ Василя ІП Обчислення інтегралів за допомогою відрахувань: Методичні В9 вказівки Оренбург: ГОУ ОГУ, з -технічних спеціальностей На базі основної теореми теорії відрахувань отримано алгоритми обчислення, певних інтегралів від тригонометричних функцій та невласних інтегралів двох видів ББК 6 я7 ІП Василя, ГОУ ОГУ,

3 Вступ Рішення багатьох завдань фізики, механіки та деяких розділів математики пов'язане з обчисленням певних або невласних інтегралів У роботі розглянуто способи обчислення таких інтегралів за допомогою теорії відрахувань У розділі наводяться основні відомості з теорії відрахувань У розділі на прикладах розібрано способи обчислення певних і невласних інтегралів та наведено варіанти прикладів для самостійної роботи

4 Основні факти теорії відрахувань Обов'язково за книгами (і (читач повинен ознайомитися з основними поняттями теорії функцій комплексного змінного: аналітична функція, інтеграл від функції комплексної змінної до кривої та її властивості, ряди Тейлора і Лорана і т.д.). для якої f (Якщо f не дорівнює тотожному нулю в жодній околиці точки, то можна описати коло досить малого радіуса з центром в точці всередині якої не буде інших нулів, крім центру Якщо (k f f f (, а (k f (, то точка називається нулем)) порядку k для функції f Якщо k, то нуль називається простим, при k > k - кратним Визначення точки в яких функція f перестає бути аналітичною називаються особливими точками функції f (кільце (С< < r}, а в самой точке или не определена, или определена, но не дифференцируема Определение Ряд вида a (a a где { a } - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке a Ряд (частью ряда Лорана Ряд a, сходящемся в круге < r, называется правильной, сходящийся в области >, називається головною частиною ряду Лорана За визначенням ряд Лорана сходиться, якщо сходяться одночасно його правильна і головна частини Отже, ряд Лорана сходиться в кільці:< < r Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка Определение Изолированная особая точка функции f lm f f называется устранимой, если существует конечный предел

5 Тоді f тоді і тільки тоді, коли головна частина її ряду Лорана з центром у точці відсутня Визначення 6 Ізольована особлива точка функції f lm f є особливою точкою функції, що усувається, називається полюсом, якщо Тоді f, тоді і тільки тоді, коли головна частина ряду Лорана з центром у точці складається з m (кінцевого числа членів: f є полюсом функції a a m m a a m m m (((,, m Число m називають порядком полюса Якщо m, то полюс називається простим Якщо для функції f точка є полюс порядку m, то для функції точка) є нуль порядку m f Визначення 7 Ізольована особлива точка функції f lm f не існує Точка називається суттєво особливою точкою, якщо f тоді і тільки тоді, коли головна частина ряду Лорану з центром у точці містить нескінченну кількість членів є суттєво особливою точкою функції Наприклад, точка - Суттєво особлива точка функції Дійсно, e!Зауважимо, що ізольована особлива точка функції f є полюсом порядку k тоді і тільки тоді, коли в деякої проколотої околиці точки:< < r, f причем аналитична (k в круге < r и (Вычет функции и правила вычисления его Определение 8 Вычетом однозначной аналитической функции f в изолированной особой точке (в том числе называется значение интеграла f γ d Re s f e

6 де інтегрування ведеться по γ -замкнутому кусочно-гладкому контуру Жордана, що містить у собі точку і не містить інших особливих точок функції f то, то Re s f a лоранівському розкладанні функції Відрахування f у точці, де a - коефіцієнт при f у околиці точки знаходять, в основному, безпосередньо за визначенням, причому за контур γ приймають коло R досить великого радіуса Правила обчислення відрахувань у точці Якщо точка є усунутим особливою точкою для функції f, то Re s f Нехай точка - полюс першого порядку (простий полюс для Re s f lm f f Тоді (зокрема, якщо f, де функції і ψ, (, ψ(, ψ (, то околиці точки Re s f ψ ((Якщо точка - полюс порядку > m функції f ψ аналітичні в, то Re s f! (m lm m (m f Для обчислення інтегралів будемо використовувати основну теорему теорії відрахувань): Якщо функція f аналітична за мкнутої області G, обмеженої замкнутої спрямовується кривої Жорданової С, за винятком кінцевого числа ізольованих особливих точок a, a, a, що знаходяться всередині С, то справедлива формула f d Re s f ak c k 6

7 Обчислення інтегралів від тригонометричних функцій Інтеграли виду R(cos,s d, де (u v R, - раціональна функція, а функція g (R(cos, s безперервна на відрізку [,], зводиться до інтегралу по одиничному колу від функцій комплексного змінного)) e Тоді за допомогою формул Ейлера: e cos s отримаємо e e e s, cos або s, cos (Звідси d e d або При зміні від до d d d змінна пробігає коло, ~ ~ тому R d (де R R, тому що раціональна функція R ~ на колі, то існує таке r >, що у колі< r функция R ~ определена и аналитична всюду за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек, находящихся в круге < Взяв в качестве контура С окружность и применяя теорему, получим ~ Re s R, (k a k где таков:, k - полюсы функции a a, a R ~, лежащие в круге < Таким образом, алгоритм вычисления интеграла R(cos,s d надо доказать, что функция R(cos, s s и непрерывна на [ ;]; делаем замену e при которой отрезок [ ;] cos или рациональна относительно переводится в d M C ; s, cos t, d и t множество { } 7

8 ~ Rd; перевіряємо умову теореми Для цього знаходимо ізольовані особливі точки, k функції R ~ належать множині C< R ~ аналитична на замкнутом множестве { } { C } G Теперь функция ограниченном окружностью за исключением точек, k ; вычисляем ориентируясь на следующие возможные случаи: ~ а R P многочлен относительно Так как изолированных особых точек нет, то; ~ a б R P (P - многочлен Тогда точка простой R ~ ~ и Re s R a (по определению вычета, поэтому полюс функции a a ; ~ в R причем ψ(, (, ψ (Тогда по правилу ψ ~ ((Re s R и по формуле (; ψ (ψ (~ P г R, где P и Q - многочлены Q Особые точки, k ищутся среди корней (нулей многочлена Q Точки, k могут быть только полюсами (простыми или порядка m Вычет функции R ~ точек, k находят по правилу или по правилу Тогда k ~ Re sr Рассмотрим примеры: dt (cos t Решение Функция cost и непрерывной на [ ;] Полагая f (t является рациональной функцией (cos t t e имеем d cos t, dt 8

9 9 Тепер d d d d Підінтегральна функція (g має особливі точки, які є полюсами другого порядку Функція g((підінтегральна аналітична на колі та в колі)< за исключением точки Следовательно, по теореме имеем: (Re 8 (Re g s g s d Пользуясь формулой правила вычисления вычета имеем: lm lm lm lm lm! ((Re g s Таким образом 8 Вычислить s cos d Решение Используя формулы понижения степени: cos s, cos cos получим, что cos cos d Сделаем замену t, тогда cos cos dt t t Функция t t cos cos является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на ; Теперь после замены t e имеем 6 8 d

10 Функція (~ R має особливі точки 8 (6, точки, лежать усередині кола Причому - полюс другого порядку, відрахування його знайдемо за правилом ~ Re s R ~ знайдемо за правилом ~ Re s R(lm 8 (((За формулою (маємо (8((cos Обчислити d a cos a R, > 8) (8(8 8)).< a < и s Решение Рассмотрим интеграл d a cos a поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны Тогда cos s e d d a cos a a cos a После замены e d, cos, d будем иметь d d a a a(a a a ~ Подынтегральная функция R (аналитична на множестве кроме ~ нуля знаменателя а, который является простым полюсом функции R (Особая точка не принадлежит множеству По формуле (и a ~ a a правилу имеем, что Re s R(lm a a a a a a a a

11 (d Обчислити (s α s e Рішення Зробимо заміну (s α d (s α e Тоді d d s, d і s α)) (s α (Re lm (s s α (((Приклади для самостійного рішення Обчислити інтеграли: d dt ; ; cos s t s d d ;, ; cos a > a cos cos d,< a < ; as 7 (cos cos d,; cos cos d 9, a < ; a cos a s d 6, < a < ; a s a, s 8, a >; a cos a d (a b cos, a > b > d

12 Обчислення невласних інтегралів При обчисленні деяких типів невласних інтегралів будемо використовувати наступні дві леми Жордана Лемма. M (R C R R R Тоді lm f d R C R Лемма Нехай m> і для функції f(виконані умови: f(безперервна в області D для деякого R >; lm M (R R Тоді lm f e d R C R m Інтеграли першого типу Інтеграл виду R(x, де P) (x R (x - раціональна функція, Q(x причому багаточлен Q(x не звертається в нуль на дійсній осі і його ступінь, принаймні, на дві одиниці більше ступеня полінома Р(x, назвемо інтегралом першого типу)). вище на R(x, c виконується нерівність R(x з деякою константою C> і тому x інтеграл сходиться) Виведемо формулу для обчислення цього інтеграла за допомогою відрахувань Для цього розглянемо замкнутий контур K τ, що складається з півкола C τ ( C τ, m ) та відрізка [ τ, τ] дійсної осі (див. рису Напрямок обходу контуру K τ показано на малюнку Розглянемо функцію комплексної змінної R(і нехай, - полюси цієї

13 функції, що лежать у верхній напівплощині Число τ візьмемо настільки великим, щоб всі точки, опинилися всередині K τ Так як Q (x на дійсної осі, існує область G, що містить замкнуту верхню напівплощину ( C m ) і така, що функція R( аналітична в G за винятком лише точок, Область G, контур K τ і функція R(задовольняє умовам теореми, тому або τ τ K τ R(d Re sr перейдемо до межі при τ Зауважимо, що при цьому його права частина не змінюється, а в лівій частині R d по першій τ лемі Жордана, а інтеграл R (x R(x Таким чином, отримали формулу τ k k R(x Re s R( , (Таким чином, алгоритм вирішення невласних інтегралів першого типу такий: показуємо, що знаменник Q(x не звертається в нуль на дійсній осі і що його ступінь принаймні на дві одиниці більше ступеня багаточлена Р(х; P(переходимо до функції комплексної) змінної R ; Q(знаходимо комплексне коріння багаточлена Q(, які є полюсами функції R( ; зі знайдених полюсів функції R(вибираємо тільки ті, які лежать у верхній півплощині, наприклад, ; за правилами (або (обчислюємо відрахування Re s R(, k, ; 6) за формулою (обчислюємо інтеграл Іноді пункти і 6 виконуються одночасно) x k k C R

14 Рішення Так як підінтегральна функція (x є парною, то (x Оскільки (х не звертається в нуль на дійсній осі і ступінь багаточлена) (х на чотири більше ступеня чисельника (х, то інтеграл) (x є інтегралом першого типу Розглянемо функція R Корінням) багаточлена ((є, - Точки і - полюси другого порядку функції R(Полюс потрапив у верхню напівплощину). (x (x 9 lm ((Рішення Очевидно, що інтеграл першого типу Функція R аналітична всюди в площині, за ((9 винятком точок, Ці точки є простими полюсами функції R(Дві з них (і лежать у верхній напівплощині))). За правилом Re s R (lm Re s R (lm (R (x Re s R (Re s R (lm (((9 (9 (9) (lm (((((9,

15 Звідси 6 6 Обчислити інтеграл x, a > (x a Рішення Оскільки підінтегральна функція парна, то x (x a Очевидно, що інтеграл першого типу Розглянемо функцію R(Вона аналітична всюди в площині за винятком точок (a a і a Ці точки є полюсами третього) порядку функції R(Один з них (a потрапив у верхню напівплощину За формулою (і правилом маємо (a a Re s R(lm lm a a) a a (a lm a (a a (a 6a) Обчислити інтеграл, a >, (a x Рішення - інтеграл) першого типу Функція R (має полюс a п (a го порядку у верхній (a (a напівплощини) Користуючись правилом і формулою (, отримуємо Re lm a lm s R a (! a (! a a a a!) (((((((a (a (((!! Приклади для самостійного рішення Обчислити інтеграли: x ; x x ; x

16; 7 x; x x 6 x (bx a, a, b > ; (x a (x b, a, b > ; 7 9 x ; x x ; x 8 8 x 6) (x a, a > ; (x x a, a > 6 Інтеграли другого типу R(x s ? (x Покажемо, що за цих умов обидва інтеграли сходяться Інтегруючи частинами і враховуючи, що lm R(x, отримаємо R(xsαx R(xcosx α x α R (xcosxx α R (x cosxx Інтеграл R (x cos αx сходиться абсолютно, так як у функції R (x ступінь чисельника принаймні на дві одиниці менше ступеня знаменника Звідси випливає збіжність інтеграла R(x s αx Аналогічно доводимо збіжність інтеграла допоміжну функцію силу теореми), отримаємо e по контуру K τ (див рисунок в α R(x e R(e d Re s f, де τ настільки велике, що k k всі полюси R(лежать усередині K τ Переходячи до межі при τ і помічаючи, що α по другій лемі Жордана R e d приходимо до рівності ву C τ

17 R e α d Re s f k k Прирівнявши дійсні та уявні частини, отримуємо α R(x cos αx Re Re (R(e k k α R(x s αx m Re s(R(e k k ((/ де, k полюси функції R(, Розглянемо приклади (x s x x x Обчислити інтеграл Рішення Зрозуміло, що інтеграл другого типу D 8< x x x R, и степень знаменателя на меньше степени числителя (s (s Рассмотрим функцию R(((((Функция R(имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По формуле (/ имеем m Re s(R(e Используя правило, получаем (e (((e Re s e R(Re s lm ((((lm (e ((e (e e e (cos s Таким образом m e (cos s cos e cos x Вычислить интеграл, a >x a Рішення Оскільки під знаком інтеграла стоїть парна функція, то cos x і R (x, α x a x a Оскільки ступінь чисельника (менше ступеня знаменника (x a на дві одиниці і x a для будь-якого дійсного х, то інтеграл 7)

18 другого типу Розглянемо функцію R(Функція a (a(a R(маємо у верхній півплощині простий полюс a За формулою) (і правилом маємо)) (a, ψ(a і ψ (a Таким же способом a ψ(ψ (a можна було обчислити відрахування і в прикладі Приклади для самостійного рішення Обчислити інтеграли (x s x x s x ; ; x x) ; x x s x 9 ; x x 9 6 cosx (x a (x b cos x (x b a > ; cos ax 8, a > ; x x a x cos x x x a >, b > a b; 8)

19 Список використаних джерел Олександров ІА, Соболєв ВВ Аналітичні функції комплексного змінного М: Вища школа, 98 9 з Біцадзе АВ Основи теорії аналітичних функцій комплексного змінного М: Наука, 969 з Євграфів МА, Сидоров ЮВ, Федорюк МВ, Шабунін МІ, Бежан задач з теорії аналітичних функцій М: Наука, з Єршова ВВ Імпульсні функції Функції комплексної змінної Операційне обчислення Мінськ: Вища школа, з Краснов МЛ, Кисельов АІ, Макаренко ГІ Функції комплексного змінного Операційне обчислення Теорія стійкості М: Наука, 987 с 6 курс теорії аналітичних функцій М: Наука, з 7 Привалів ІІ Введення в теорію функцій комплексного змінного М: Наука, 977 з 8 Радигін ВМ, Голубєва ОВ Застосування функції комплексного змінного в задачах фізики та техніки - М: Вища шкала, 98 6 з 9 АГ, Тихонов АН Теорія функцій комплексної змінної М: Наука, з Сидорів ЮВ, Федорюк МВ, Шабунін МІ Лекції з теорії функцій комплексної про змінного М: Наука, з Солом'янців ОД Функції комплексного змінного та їх застосування М: Вища школа з Шабатом БВ Введення в комплексний аналіз М: Наука, з 9

Практичне заняття 8 Відрахування 8 Визначення відрахування 8 Обчислення відрахувань 8 Логарифмічний відрахування 8 Визначення відрахування

Міністерство освіти Республіки Білорусь Білоруський державний університет НД Іллінкова, ОАКононова, НКФіліппова Додаток теорії відрахувань до обчислення інтегралів Мінськ УДК 575/55(75) Рішення

Інтеграл від функції комплексного змінного інтеграла від ФКП Межа інтегральної суми Рімана σ = = f (t Δ для функції f (за кривою АВ, якщо він не залежить ні від способу розбиття кривої АВ на елементарні)

Старков В.М. Матеріали до настановної лекції Питання 9. Розкладання аналітичних функцій у статечні ряди Визначення. Функціональний ряд виду (((... (..., де комплексні постійні (коефіцієнти ряду))

Методична розробка Розв'язання задач по ТФКП Комплексні числа Операції над комплексними числами Комплексна площина Комплексне число можна представити в алгебраїчній та тригонометричній експоненціальній

Глава 1 Операційне обчислення. 1. Визначення перетворення Лапласа. Перетворення Лапласа ставить у відповідність функції f(t) дійсної змінної t функцію F() комплексної змінної = x + iy

лекція N38. Поведінка аналітичної функції у нескінченності. Особливі точки. Відрахування функції.

I Анотація Мета та завдання дисципліни (модуля) Мета освоєння дисципліни: дати студентам систематичні знання за методами комплексного аналізу та навчити їх застосовувати ці знання до вирішення задач математичного

Багачук О.В. Бушуєва Н.А. Полякова І.А. Трутнєв В.М. ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичні вказівки щодо виконання самостійної роботи Красноярськ 2007 Зміст. Загальні відомості 3 2. Завдання

8 Комплексні числові ряди Розглянемо числовий ряд із комплексними числами виду k a, (46) де (a k) - задана числова послідовність з комплексними членами k Ряд (46) називається схожим, якщо

Міністерство освіти Республіки Білорусь Установа освіти «Білоруський державний педагогічний університет імені Максима Танка» Н Т Стельмашук, В А Шилінець ТЕСТИ З КУРСУ ТФКП

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Національний дослідний Нижегородський державний університет ім НІ Лобачевського НП Семерікова АА Дубков АА Харчева

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен навчитися: знаходити тригонометричну та показову форми комплексного числа

Дагестанський державний університет народного господарства КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Мухідінів Магомед Держенгаджієвич Іспагієва Асіят Далгатівна Невизначений інтеграл НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК Махачкала 2017 Мухідінів

Лекція 7 Ряди Тейлора і Лорана 7. Ряд Тейлора У цій частині ми побачимо, що поняття статечного ряду та аналітичної функції визначають один і той же об'єкт: будь-який статечний ряд із позитивним радіусом збіжності

Зміст Вступ. Основні поняття.... 4 1. Інтегральні рівняння Вольтерри... 5 Варіанти домашніх завдань.... 8 2. Резольвента інтегрального рівняння Вольтерри. 10 Варіанти домашніх завдань.... 11

~ ~ ФКП Похідна функції комплексного змінного ФКП умови Коші - Рімана поняття регулярності ФКП Зображення та вид комплексного числа Вид ФКП: де дійсна функція двох змінних дійсна

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНИЙ АНАЛІЗ Питання до іспиту (група МХ-21, 215) Питання першого колоквіуму 1 1. Диференційність функції комплексного змінного в точці. Умови Коші Рімана (Даламбера Ейлера).

ЕЛЕМЕНТИ ОПЕРАЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ ВИДАВНИЦТВО ТДТУ МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ГОУ ВПО «Тамбівський державний технічний університет» ЕЛЕМЕНТИ ОПЕРАЦІЙНОГО

Завдання з теорії функцій комплексного змінного Частина На денному на вечірньому та на заочному відділеннях факультету прикладної математики-процесів управління Санкт-Петербурзького державного університету

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. М.В. Ломоносова Ф І З І Ч І С К І Й Ф А К У Л Ь Т Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Т. Волков, А.В. Кравцов, Д.В. Мінаєв, В.Ю. Попов, Н.Є. Шапкіна. Питання та завдання до

Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю) Загальні відомості Кафедра математики, фізики та інформаційних технологій Напрямок підготовки 0030 Математика

Теорія функцій комплексного змінного Лектор Олександр Сергійович Романов 1. Аналітичні функції комплексного змінного Комплексні числа. Тригонометрична та показова форми комплексного числа.

Міністерство освіти Республіки Білорусь Установа освіти «Гомельський державний університет імені Франциска Скорини»

лекція N37. Ряди аналітичних функций. Розкладання аналітичної функції в статечний ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Розкладання аналітичної функції в статечній ряд.....ряд Тейлора....

СТВЕРДЖУЮ Проректор з навчальної роботи Ю.А. Самарський 10 червня 2010 р. ПРОГРАМА ТА ЗАВДАННЯ Теорія функцій з дисципліни: комплексного змінного за напрямом підготовки: 010600 факультети: для всіх факультетів

Лекція 9 Елементи теорії відрахувань 9.1 Визначення відрахування У цьому параграфі введемо важливе додатків поняття відрахування аналітичної функції в ізольованій особливій точці. Трохи про термін. Вважається,

Лекція 5 Інтеграл типу Коші 5.1 Інтеграл типу Коші Нехай C орієнтована шматково-гладка крива f визначена на кривій безперервна функція. Для будь-якої точки z C \ функція t f(t) z безперервна за змінною

Металургійний факультет Кафедра вищої математики РЯДИ Методичні вказівки Новокузнецьк 5 Федеральна агенція з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти

Типові завдання з рішеннями. Гамма-функція Приклад. Знайти твір = 3. Рішення. Насамперед проведемо переіндексацію +, щоб твір починався з одиниці. В результаті отримаємо +. 3 Далі розкладемо

ВАРІАНТ ЗАВДАННЯ ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ (ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: а Arch; б РІШЕННЯ А БУДЕМО ВИЧИСЛЮВАТИ ARH ПО ФОРМУЛІ ZArCH (LДАННО ПРІМІСТЕ LРИ, ЗДОРОВ'Я ВІДПОВІДЬ) (В ДАННОМУ ПРИМІДЕ ВІДЧИСТИ АРХ(L(У ДАННОМ ПРИМІДЕ)) (В ДАННОМ ПРИМІДЕ) Arch(L(У ДАННОМ ПРИМІДЕ))

Ряди Лорана Більш загальним типом статечних рядів є ряди, що містять як позитивні, так і негативні ступені z z 0. Як і ряди Тейлора, вони відіграють важливу роль у теорії аналітичних функцій.

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Сибірський державний індустріальний університет»

Стор. із 9-е заняття. Обчислення дійсних інтегралів за допомогою відрахувань Матем. аналіз, дод. матем., 4-й семестр Знайти такі тригонометричні інтеграли за допомогою відрахувань: A π + cos ϕ. A π 3

Міністерство освіти і науки Російської Федерації РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ НАФТИ І ГАЗУ імені ЇМ ГУБКІНА ІН Мельникова, АЛЕ Фастівець ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО ОПЕРАЦІЙНЕ

Рішення типових варіантів контрольної роботи на тему Інтеграли функції однієї змінної Методичні вказівки УДК 517.91 Методичні вказівки містять докладні рішення типових варіантів контрольної роботи

Глава ВАРІАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Лекція 9 Вступ У цьому розділі ми розглядатимемо завдання відшукання екстремумів (максимумів або мінімумів) функціоналів Відразу зазначимо, що такі завдання належать до числа

РОЗДІЛ 5 Інтегральне обчислення функцій однієї змінної Матеріали підготовлені викладачами математики кафедри загальноосвітніх дисциплін для системи електронного дистанційного навчання

Методичні вказівки до практичних (семінарських) занять Основною метою практичних (семінарських) занять з дисципліни «Теорія функцій комплексного змінного» є вміння застосовувати отримані

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ АЗЕРБАЙДЖАНСЬКОЇ РЕСПУБЛІКИ БАКІНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИ- ТЕТ Програма була складена на кафедрі Теорії функцій та функціонального аналізу Бакинського Державного Університету

Математичний аналіз Розділ: операційне числення Тема: Перетворення Лапласа та його властивості Лектор Пахомова Є.Г. 2011 11. Оригінал та зображення. Теорема звернення ВИЗНАЧЕННЯ 1. Нехай: R C. Функція

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекція Перетворення Фур'є Поняття інтегрального перетворення Метод інтегральних перетворень один із потужних методів математичної фізики є потужним засобом вирішення

ТЕМА V РЯД ФУР'Є ЛЕКЦІЯ 6 Розкладання періодичної функції в ряд Фур'є Багато процесів, що відбуваються в природі і техніці, мають властивості повторюватися через певні проміжки часу Такі процеси

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ ТА ОСВІТИ РФ МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ВІДКРИТИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім ВС Черномирдіна КОЛОМЕНСЬКИЙ ІНСТИТУТ КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ФІЗИКИ ЕФ КАЛІНІЧНИК ЕФ КАЛІНІЧНИК

Багачук О.В. Бушуєва Н.А. Полякова І.А. Трутнєв В.М. ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Організаційно-методичні вказівки з освоєння дисципліни Красноярськ 2007 1. Загальні відомості Програма дисципліни

Основи функціонального аналізу та теорії функцій Лектор Сергій Андрійович Трєсков 3 семестр. Ряди Фур'є. Постановка задачі про розкладання періодичної функції за найпростішими гармоніками. Коефіцієнти Фур'є

3724 РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 1 РОБОЧА ПРОГРАМА РОЗДІЛІВ «РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ» 11 Числові ряди Поняття числового ряду Властивості числових

ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Операційне обчислення відноситься до символічних обчислень, в основі яких лежать побудова математичного аналізу як системи формальних операцій над штучно введеним

Комплексні числа, функції та дії над ними y модуль R дійсна частина дійств число, yim уявна частина дійсне число iy алгебраїчна форма запису компл числа Головне значення аргументу

Інтеграл Фур'є Дійсна та комплексна форми запису інтеграла Фур'є Нехай f () неперіодична функція, визначена на всій числовій осі та задовольняє умовам Діріхле на будь-якому кінцевому проміжку

Федеральне агентство з освіти Архангельський державний технічний університет будівельний факультет РЯДИ Методичні вказівки до виконання завдання для самостійної роботи Архангельськ

Основи теорії спеціальних функцій Необхідність вивчення спеціальних функцій математичної фізики пов'язані з двома основними обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного

Лекція 11 Обчислення інтегралів зі статечною та логарифмічною вагою 11.1 Інтеграли зі статечною вагою Розглянемо інтеграл виду x α 1 f(x) dx, (11.1) де α неціле дійсне число, а f(x) раціональна

Міністерство освіти Республіки Білорусь УО «Вітебський державний технологічний університет» Тема. «Ряди» Кафедра теоретичної та прикладної математики. розроблено доц. Є.Б. Дуніною. Основні

Модуль Тема Функціональні послідовності та ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей та рядів Ступінні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей та рядів Рівномірно

Математичний аналіз Розділ: Інтегрування ФНП Тема: Криволінійний інтеграл ІІ роду Лектор Пахомова Є.Г. 2013 10 10. Криволінійний Криволінійний інтеграл інтеграл II II роду за координатами

МА ЄВДОКИМОВ ЛА МУРАТОВА ЛВ ЛІМАНОВА ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ПО ВИЩІЙ МАТЕМАТИЦІ ТЕСТОВІ МЕТОДИ КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ Том III Навчальний посібник Самара

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Кемеровський державний університет» Кафедра

Журнал експериментальної та теоретичної фізики. 948 т. 8 вип. О.М. Тихонов А.А. Самарський. Про принцип випромінювання Сформульовано загальний принцип випромінювання для хвильового рівняння у тому сенсі, що рішеннями

ЛЕКЦІЯ N 7. Ступінні ряди і ряди Тейлора..Степінні ряди..... Ряд Тейлора.... 4.Розкладання деяких елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.... .Ступіньні

Стор. з 9 6-е заняття. Ізольовані спеціальні точки однозначного характеру (ІОТОХ) Матем. аналіз, дод. матем., 4-й семестр A Розкласти функцію ln z + 2 z 3 до ряду Лорана в околиці точки. Коріння та кратності

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ

Міністерство освіти Республіки Білорусь Установа освіти «Білоруський державний університет інформатики та радіоелектроніки» Факультет комп'ютерних систем та мереж Кафедра вищої математики

Функції Диференціювання функцій 1 Правила диференціювання Оскільки похідна функції визначається, як й у цій галузі, тобто. у вигляді межі, то, використовуючи це визначення та властивості меж,

Тема КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ Лекція КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ ПЕРШОГО РОДУ Завдання, що приводять до поняття криволінійного інтеграла першого роду Визначення та властивості криволінійного інтеграла першого роду Обчислення

Теорія функцій комплексного змінного С. Г. Бугаєва Фізичний факультет Новосибірський державний університет Ці слайди супроводжували лекції та містять деякі (далеко не всі!!!) визначення та

1. Обчислення інтегралів по замкнутому контуру. Нехай функція f(z)має всередині замкнутого контуру Г лише ізольовані особливі точки. Тоді інтеграл від f(z)по контуру Р можна визначити, застосовуючи теорему 27.1 про відрахування: обчислюючи відрахування у спеціальних точках, що усередині контуру Р, складаючи ці відрахування і множачи суму на 2тгг, ми отримаємо шуканий інтеграл.

Г1 р і м е р 28.1. Обчислити інтеграл

Рішення. Усередині кола z = 2 знаходяться дві спеціальні точки функції f(z) = ( 2 2+ i)(^+ 3) 2 ’ а саме z i = Uz 2= -Цтретя особлива точка z%= - 3 лежить поза цим колом. Відрахування у точках ±г були знайдені у прикладі 27.5: res*/ = 0,01(7-N), res_*/ = 0,01(7- г).Застосовуючи формулу (27.2), маємо:

Якщо функція f(z)має в розширеній комплексній площині тільки ізольовані особливі точки, то замість обчислення суми відрахувань в кінцевих особливих точках буває простіше знайти відрахування в нескінченно віддаленій точці і скористатися теоремою 27.10 про суму відрахувань.

Приклад 28.2. Обчислити інтеграл

Рішення. Функція f(z)= має вісім особливих точок

Рішень рівняння z s 4- 1 = 0. Кожна з цих точок Zkє полюсом другого порядку, оскільки в околиці точки Zkфункція f(z)має вигляд f(z)= , де h(z)аналітична на околиці

крапки Zkі h(zk) ф 0. Усі особливі точки лежать усередині кола z= 2. Обчислення відрахувань переважають у всіх цих точках дуже трудомістко. До цієї функції застосовна теорема 27.10, яка дає

Тому достатньо знайти вичег у точці zq = ео. Скористаємося формулою (27.13). Тут

Функція g(w)представима у вигляді = - 1 ^ ^. де h(w) = --

W(1 + W b)

Оскільки hi(w)аналітична на околиці точки wq = 0 і h(0) Ф 0, то відрахування reso$ легко знайти за формулою (27.6/): reso# = h(0) = 1. З (27.2), (28.1) та (27.13) отримуємо:

• 2. Обчислення інтегралів виду / R(cos ip, sin dp,де R -

раціональна функція від cos р, sin нар.Такі інтеграли виникають у ряді додатків (наприклад, при вирішенні крайових задач). Вони зводяться до інтегралів, розглянутих у попередньому пункті за допомогою заміни змінного 2 = е г Тоді dz = e tip idp = zidp, звідки

(Див. формули (12.2)). При зміні рвід 0 до 2тг точка г описує коло z= 1. Тому після переходу до змінного 2 ми отримаємо інтеграл по одиничному колу від функції, що у вигляді відносини двох многочленів; такі функції називаються раціональними дробамиабо дробово-раціональними функціями.

Приклад 28.3. Обчислити інтеграл

Вирішуючи і е. Виконуючи зазначені вище підстановки, отримаємо, що даний інтеграл дорівнює

Розкладемо знаменник на множники, для чого знайдемо коріння рівняння az 2 - (а 2 + )z + а= 0. Дискримінант

Отже, підінтегральна функція f(z)має дві особливі точки z - ата 22 = 1/а, кожна з яких є полюсом першого порядку. Оскільки за умовою |а| Z лежить усередині кола z= 1, а г?поза нею. За теоремою 27.1

Для обчислення відрахування в точці Z = аможна скористатися будь-якою з формул (27.5), (27.6), (27.6"). Застосуємо, наприклад, формулу (27.6).

3. Обчислення невласних інтегралів. Нехай f(x)

функція, задана на всій осі ОХ.Розглянемо обчислення несоб-

ственных інтегралів f f(x) dx,що визначаються таким чином:

Інтеграл, визначений рівністю (28.2), називається невласним інтегралом у сенсі головного значення.Якщо зрадять (28.2)

існує, то інтеграл J f(x) dxназивається схожим; якщо пре-

справ не існує, то розбіжним.

Якщо сходиться кожен із інтегралів

(тобто існують обидві відповідні межі), то невласний інтеграл у (28.2) також сходиться і дорівнює сумі цих інтегралів.

Але протилежне неправильно: зі збіжності інтеграла / f(x)dxв сенсі

головного значення (тобто з існування межі в (28.2)) не слід-

дме збіжність інтегралів / f(x)dxта / f(x)dx.Наприклад, інте-

• -оо о

/ xdx

• --^ сходить у сенсі головного значення і дорівнює нулю,
• 1 + х*

оскільки

Водночас кожен із інтегралів розходиться.

Обчислення багатьох невласних інтегралів

(У сенсі головного значення) ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 28.4. Нехай функція f(x), x 6 (-оо, +ос), задовольняє наступним двом умовам:

• 1) функція f(z), одержувана заміною х комплексним: змінним z, має в комплексній площиніЗ лише ізольовані спеціальні точки, причому жодна з них не лежить на осі ОХ;
• 2) якщо 7(Я) - півколо радіуса R з центром на початку координат, лежача у верхній (або нижній) напівплощині, то

в осо-

Тоді інтеграл. J f(x)dxдорівнює сум.ме відрахувань функції f(z)

бих точках, що лежать у верхній півхрхлоскеті, помноженої на 2/П (відповідно ]твен сумі відрахувань в особливих точках з нижньої напівплощини, помноженої па -2 лг).

Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли півколо 7(Я) лежить у верхній напівплощині. Візьмемо замкнутий контур Р, що складається з відрізка [-Я, Я] і півкола 7(Я), з обходом проти годинникової стрілки (рис. 49). За теоремою 27.1

де сума поширюється на всі спеціальні точки Zk, що лежать усередині контуру Г. Перейдемо до межі при Я -> оо.Користуючись співвідношеннями (28.2) та (28.3), отримаємо потрібну рівність:

де сума береться за всіма особливими точками з верхньої півплощини.

Біли півколо 7(Я) лежить у нижній напівплощині, то відповідний контур Г“ буде обходитися за годинниковою стрілкою (такий напрямок виникає від того, що відрізок [-Я, Я] у будь-якому випадку повинен проходити зліва направо, тобто у напрямку зростання х).Тому до правої частини (28.4) додасться знак мінус. Теорему 28.4 доведено.

Приклад 28.5. Обчислити інтеграл

Рішення. В даному випадку f(z) = ^+ уу Перевіримо справедливість умови (28.3):

де h(z) = --§- ту.Так як lim h(z)= 1, то при досить болю-

ших значеннях zбуде h(z)

Відтак.

(тут f dz= тг R- Довжина півкола у (R)).Переходячи до пре-7(«)

справі при R-> оо. отримаємо (28.3). Проведені оцінки справедливі як для верхньої, так і для нижньої півкола. Тому як 7(Л) можна вибрати будь-яку з них. Нехай у (R) -верхня півкола. Так як

то f(z)має дві особливі точки z - 3г, zo= -Зг, є полюсами другого порядку. З них у верхній напівплощині знаходиться тільки z= Зг. Вирахування у цій точці знайдемо за формулою (27.7) з тг = 2:

Зауважимо, що обчислити даний інтеграл можна було і не вдаючись до методів комплексного аналізу, а знаходячи первісну підінтегральну функцію. Але наведене обчислення значно простіше.

Розмір, проведений нами в прикладі 28.5 для перевірки умови (28.3), без зміни підходить до будь-якої функції f(z),представимої як відносини двох многочленів (тобто. раціональної дробу), якщо ступінь многочлена в знаменнику дві і більше одиниці перевищує ступінь многочлена в чисельнику. (У прикладі 28.5 ступінь багаточлена в чисельнику дорівнює 2, а в знаменнику - 4.) Наступна теорема показує, що умові (28.3) задовольняє і інший важливий клас функцій, інтеграли від яких виникають, наприклад, в операційному обчисленні (див. гл. VIII ).

Теорема 28.6 (лема Жордана). Нехай функція F(z) аполітична в напівплощині lm z ^-а, крім кінцевого числа ізольованих особливих точок, і lim F(z) = 0. Якщо 7(R) - дуга

кола z = 7?, розташована в напівплощині Ini 2 ^ -а, то

Рис. 50

Доведення. Розглянемо спочатку випадок а > 0. Позначимо через М(7?) максимум модуля F(z)на дузі 7(7?). Оскільки lira F(z) = 0, то

lim M(R) = 0.

Розіб'ємо 7(7?) на три частини 7i (Л), 72(7?) та 7з(Т?) (рис. 50): дуги 7 i(R)і 72(Я) укладені між прямою у = -аі віссю ОА", а 7з(Т?) є півколом, що лежить в напівплощині Im z^ 0. Очевидно, що інтеграл по 7(7?) дорівнює сумі інтегралів за цими трьома дугами. Оцінимо кожен із них окремо.

У точках z = х + iyдуг 71 (7?) та 72 (7?) буде -у Тому

Позначимо через /(7?) довжини, а через у?(7?) - центральні кути дуг 7i(T?) та 72(7?) (у радіанах). Чи легко бачити (див. рис. 50), що siny? =

звідки?> (7?) = arcsin -. Тому /(7?) = R

7?arcsin -. Звідси отримуємо

Таким чином, у випадку а>0 теорема доведена. Якщо а^ 0, то дуга "y(R)лежить у напівплощині Im z^ 0 і є частиною дуги 73 (R);частини 7i (R)і 7г(Я) у разі відсутні. Для 7 (R)справедливі міркування, проведені вище для 73(7?), та теорема 28.G повністю доведена.

Сенс теореми 28.6 у тому. що функція F(z)може прагнути до нуля як завгодно повільно (зауважимо, що в прикладі 28.5 спад функції f(z)при z-? оо було досить швидко як |z|“ 2). Але множення на e ltzзабезпечує прагнення інтеграла по 7 (R)нанівець.

Зауваження. Для випадку t z = /?, що лежить у напівплощині Im z ^ -а(На рис. 50 показано пунктиром). Доказ у цьому випадку аналогічно наведеному вище для t > 0. У разі t - 0 теорема 28.6 неправильна.

П р і м е р 28.7. Обчислити інтеграли

Таким чином, дійсна та уявна частини функції f(x)і є тими функціями, інтеграли яких потрібно знайти. Тому

ються тими функціями, інтеграли яких потрібно знайти. Тому

/ Х€*^ х

• --- dxта візьмемо від нього діям + 9

ну і уявну частини, то отримаємо шукані величини.

Функція F(z) = .Д задовольняє умовам теореми 28.6: вона z"f 9

має лише дві особливі точки z> = ±3t і lim - = 0. Ес-

z->oо Z z + 9

чи 7(/?) дуга кола z = R,розташована в напівплощині Im z > 0. то згідно tcodcmc 28.6

(ми взяли у (28.5) t= 2). Отже, можна застосувати теорему 28.4,

згідно з якою інтеграл / --- dxдорівнює сумі відрахувань функці-

J x z 4- 9

ції f(z) = --- в особливих точках із верхньої напівплощини 1 т z > z I J

О, помноженої на 2т.У напівплощині Im z > 0лежить єдина

Z e i2z

особлива точка Z= Зг функції f(z).Так як f(z) = ------,

(z - oi) (z+ Зг)

то z= Зг – полюс першого порядку. Відрахування в цій точці можна знайти за будь-яким сЬоомул (27.,"В. (27.6L (27.63. Ппіменім (27.63. Злісь)

Дійсна та уявна частини отриманого числа і будуть шуканими і I рєгралам:

(Зауважимо, що рівність нуля першого з цих інтегралів безпосередньо випливає з того, що він є інтегралом від непарної функції за інтервалом, симетричним щодо початку координат.)

Інтеграл від оптимальної функції.

Розглянемо невласний інтеграл від раціональної функції-відношення двох многочленів Р(х) і Q(x) (з комплексними коефіцієнтами):

Він сходиться, якщо знаменник не має речовинного коріння і ступінь чисельника принаймні на дві одиниці менше, ніж ступінь знаменника.

Як визначити значення цього інтеграла?

Можна, зрозуміло, взяти невизначений інтеграл від раціональної функції підставити межі. Але, виявляється, іноді найшвидше застосувати методи, пов'язані з аналітичною природою функції.

Функція комплексного змінного z, рівна, аналітична всюди в площині змінного z, за винятком кінцевого числа точок - коренів знаменника. Розглянемо у верхній напівплощині замкнутий шматково-гладкий контур L, утворений відрізком [-R, R] речовинної осі та півколо

де R настільки велике, що поза отриманого півкола вже немає у верхній півплощині жодного кореня знаменника.

Усередині цього півкола є, взагалі кажучи, кілька коренів знаменника, наприклад (рис. 1.3.1).

У силу формули

ми отримуємо вираз

Спрямуємо тепер R в. На півкола ми маємо в силу умови на ступені багаточленів Р(z) і Q(z), де А - деяка стала; тому

Звідси випливає, що інтеграл

має межу за величину (1.3.1.2). Але оскільки інтеграл (1.3.1.1) сходиться, він повинен збігатися з межею інтеграла (1.3.1.3). Отже,

а. Якщо коріння просте, то за формулою

і, отже,

б. Зауваження. Інтеграл їх ми привели до суми відрахувань (помноженої на) функції у верхній півплощині, розглядаючи контур L, складений з відрізка [-R, R] та півкола.

Але так само можна міркувати і з контуром, складеним з відрізка (прохідного праворуч наліво) і півкола в нижній напівплощині; ми отримаємо

де - коріння многочлена Q(z), що у нижній полуплоскости.

Переходячи до межі при, знайдемо

Отриманий результат формою відрізняється від результату (1.3.1.4). Насправді вони, звичайно, збігаються, так що різниця цих результатів, тобто помножена на сума відрахувань функції у всіх коренях Q(z), як у верхній, так і нижній напівплощині, дорівнює 0.

Це можна показати безпосередньо. Як ми знаємо, ця сума відрахувань збігається з інтегралом

по повному колу радіуса R, досить великого, щоб вона містила всередині всі коріння Q(z). Цей інтеграл не залежить від R і водночас припускає оцінку

Таким чином, інтеграл (8) дорівнює 0. Звідси

а. Інтеграли Фур'є. Часто зустрічаються інтеграли виду

Якщо виконано умову

то всі три інтеграли Фур'є абсолютно сходяться. Якщо при функція f(x) речовинна і монотонно прагне нуля, інтеграли (1.3.2.2) і (1.3.2.3) сходяться при, але, взагалі кажучи, неабсолютно. Якщо при цьому f(-х)f(x) (тобто функція f(x) парна), то інтеграл (1.3.2.3) дорівнює нулю, якщо ж f(-х) = -f(x) (функція f(x) непарна), то інтеграл (1.3.2.2) дорівнює нулю. Крім того, є очевидний зв'язок

так що у випадку речової f(х) інтеграли (1.3.2.2) і (1.3.2.3) представляють речову та уявну частини інтеграла (1.3.2.1).

б. Часто корисні методи контурного інтегрування. Нехай. є раціональна функція і поліном Q(х) має ступінь принаймні на одиницю вище ступеня полінома Р(х) і не звертається до 0 при речових х. В цьому випадку інтеграли (1.3.2.1) - (1.3.2.3) сходяться

Нехай - коріння многочлена Q (х), що лежить у верхній напівплощині. Утворимо замкнутий контур, що складається з відрізка [-R, R] речової осі та півкола.Тоді

Покажемо, що за

Якщо, то ||=||=. Тому якщо ступінь багаточлена Q(z) принаймні на дві одиниці вище ступеня багаточлена P(z), доказ співвідношення (1.3.2.5) можна провести так само, як у 1.3.1.

в. Якщо ступінь многочлена Q(z) лише одиницю вище ступеня многочлена P(z), то міркування 1.3.1 не проходить. Для цього випадку ми встановимо таку лему.

Лемма. При справедливій нерівності

(C - постійна).

Доведення. Так як, то досить розглянути інтеграл

що становить рівно половину попереднього. Ми маємо у

оскільки функція при u>0 обмежена. Лемма доведена.

Вирахуванням функції f(z) в ізольованій особливій точці z0 називається число де 7 - досить мале коло немає інших особливих точок функції f(z). З формули для коефіцієнтів ряду Лорана безпосередньо випливає, що Таким чином, віднімання функції /(г) в ізольованій особливій точці zo дорівнює коефіцієнту при (г - zq) ~] в лоранівському розкладанні цієї функції в точці z0. Звідси, зокрема, випливає, що відрахування в особливій точці, що усувається, дорівнює нулю. Вкажемо деякі формули для обчислення відрахування у полюсі функції /(г). 1. zq - полюс першого порядку: 00 Помножимо обидві частини цієї рівності на z - zo і, переходячи до межі при z zo, отримаємо, що Якщо функцію f(z) можна подати у вигляді дробу де і ф(г) - аналітичні функції , причому простий полюс, то з формули (3) випливає, що Приклад 1. Нехай особливі точки функції, є простими гюлюсами. Тому 2. zo - полюс порядку т: Для усунення негативних ступенів z - z0 помножимо обидві частини цієї рівності на (z-Zo)m, Відрахування Основна теорема про відрахування інтегралів Інтеграли від раціональних функцій Лемма Жордана Обчислення інтегралів Френеля Продиференціюємо отримане співвідношення m - 1 раз і, переходячи до межі при отримаємо, що Приклад 2. Нехай 4 Особливими точками цієї функції є точки г = ±i. Це – полюси другого порядку. Обчислимо, наприклад, res/(i). Маємо Теорема 21i Нехай функція f(z) аналітична усюди в області D за винятком кінцевого числа ізольованих особливих точок 7коли для будь-якої замкнутої області G, що лежить в D і містить точки zn всередині, справедливо рівність Теорема випливає з теореми Коші для багатозв'язкової області. Побудуємо кола настільки малого радіусу г, що обмежені ними кола - містяться в ділянці G і не перетинаються один з одним (рис. 29). Позначимо через G* область, яка виходить із області G шляхом видалення кіл Uі..., U„. Функція f(z) аналітична в області G * і безперервна в її замиканні G7. Тому за теоремою Коші для багатозв'язкової області маємо З цієї формули, користуючись визначенням відрахування отримуємо необхідну рівність (5). 6.1. Відрахування функції щодо нескінченно віддаленої точки Кажуть, що функція f(z) є аналітичною в нескінченно віддаленій точці z = оо, якщо функція аналітична в точці С = 0. Це слід розуміти так: функцію g(0= f(f) можна довизначити до аналітичної, поклавши Наприклад, функція аналітична у точці z = оо, оскільки функція аналітична у точці С = 0). Нехай функція /(г) аналітична в околиці нескінченно віддаленої точки (крім самої точки z = оо). Точка z = оо називається ізольованою особливою точкою функції /(г), якщо в деякій околиці цієї точки немає інших особливих точок функції f(z). Функція має в нескінченності неізольовану особливість: полюси zk = к-к цієї функції накопичуються в нескінченності, якщо оо. Кажуть, що z - оо є усувною особливою тонкою, полюсом або суттєво особливою точкою функції f(z) в залежності від того, кінцевий, нескінченний або зовсім не існує lim f(z). Критерії типу нескінченно віддаленої точки, пов'язані з розкладанням Лорана, змінюються порівняно з критеріями для кінцевих особливих точок. Теорема 22. Якщо z - оо є усувною особливою точкою функції / (z), то лоранівське розкладання f (z) в околиці цієї точки не містить позитивних ступенів z; eaiu z - оо - полюс, то це розкладання містить кінцеве число позитивних ступенів z, у разі суттєвої особливості – нескінченне число позитивних ступенів z. При цьому лоранівським розкладанням функції /(z) в околиці нескінченно віддаленої точки називатимемо розкладання в ряд Лорана, що сходить усюди поза коло досить великого радіусу R з центром в точці z - 0 (крім, можливо, самої точки z - оо). Нехай функція f(z) - аналітична в деякій околиці точки z = оо (крім, можливо, самої цієї точки). Вирахуванням функції /(z) в нескінченності називають величину паї 7 - досить велике коло \z\ = р, що проходить за годинниковою стрілкою (так, що околиця точки z - оо залишається ліворуч, як і у випадку кінцевої точки г = го). І з цього визначення випливає, що віднімання функції в нескінченності дорівнює коефіцієнту при z~! у лоранівському розкладанні /(z) на околиці точки z - оо, взятому з протилежним знаком: Приклад 3. Для функції f(z) = маємо f(z) = 1 + j. Цей вираз можна розглядати як її лоранівське розкладання на околиці +окуляри z = оо. Легко бачити, що так що точка z = оо є усувною особливою точкою, і ми вважаємо, як зазвичай, /(оо) = 1. Тут, отже, З цього прикладу випливає, що відрахування аналітичної функції щодо нескінченно віддаленої усунутий особливої ​​точки (у на відміну від кінцевої ліквідованої особливої ​​точки) може виявитися відмінним від нуля. Відомі тейлорівські розкладання функцій е1, cosz, sinz, chz, shz можна розглядати також як лоранівські розкладання в околиці точки z - оо. Оскільки всі ці розкладання містять безліч позитивних ступенів z, то перераховані функції мають суттєву особливість. Теорема 23. Якщо функція f(z) має у розширеній комплексній площині кінцеве число особливих точок, то сума всіх її відрахувань, включаючи і відрахування в нескінченності, дорівнює нулю. Отже, якщо - кінцеві спеціальні точки функції f(z), то останнє співвідношення буває зручно використовувати при обчисленні деяких інтегралів. Приклад 4. Обчислити інтеграл Полюсами (кінцевими) підінтегральної функції є коріння zt рівняння гя = -1, які всі лежать усередині кола В околиці точки г = оо функція /(z) має наступне розкладання: З ЯКОГО ВИДНО, ЩО В силу теореми 6.2. Додаток відрахувань до обчислення певних інтегралів. Інтеграли від раціональних функцій Теорема 24. Нехай f(x) – раціональна функція, тобто де – багаточлени ступенів пит відповідно. Якщо функція f(x) безперервна на всій дійсній осі (. ступінь знаменника, принаймні, на дві одиниці більше ступеня чисельника, то р.(*) Qm(z) у всіх полюсах, розташованих у верхній напівплощині (істотно особливих точок у раціональної функції немає) 4 Розглянемо замкнутий контур 7, що складається з відрізка дійсної осі верхнього півкола.Можно вважати, що R вибрано великим настільки, що внутрішність області, обмеженої контуром 7, містить усі полюси функції розташовані у верхній півплощині (рис. 30).В силу основної теореми про відрахування я Оцінимо J. У силу умови на ступені багаточленів знайдуться позитивні числа До і М такі, що за властивістю 6 інтегралів від функції комплексного змінного для маємо: при Дооо. R 00. Зауважимо, що права частина від R не залежить, а друге доданок в лівій частині прагне до нуля.Звідси випливає, що межа першого доданка існує і дорівнює де. окладені у верхній напівплощині. Приклад 5. Обчислити інтеграл Так як підінтегральна функція - парна, то Розглянемо функцію Відрахування Основна теорема про відрахування Застосування відрахувань до обчислення інтегралів Відрахування функції щодо нескінченно віддаленої точки , тобто. при г = х, збігається із /(х). Функція /(z) має у верхній напівплощині одну ізольовану особливу точку z - ai - полюс другого порядку. Вирахування /(г) у точці z = в» дорівнює Користуючись формулою (10), отримуємо, що Інтеграл виду де Л(м, г) - раціональна функція аргументів та і v. Введемо комплексне змінне z = etx. Тоді зрозуміло, що в даному випадку. Таким чином, вихідний інтеграл переходить в інтеграл від функції комплексного змінного по замкнутому контуру: де 7 - коло одиничного радіусу з центром на початку координат: Відповідно до основної теореми про відрахування, отриманий інтеграл дорівнює, де - сума відрахувань підінтегральної функції F(z) у полюсах , Розташовані всередині кола 7. Приклад 6. Обчислити інтеграл Застосовуючи підстановку z = е,г. після простих перетворень (див. формули (II)) отримаємо, що всередині одиничного кола за умови знаходиться тільки один полюс (другого порядку). При обчисленні таких інтегралів буває корисною наступна лема. Лемма Жордана. Нехай функція f(z) аналітична у верхній напівплощині винятком кінцевого числа ізольованих особливих точок, і при прагне до нуля рівномірно щодо arg z. Тоді для будь-якого позитивного а де 7л - верхня півкола Умова рівномірного прагнення / (г) до нуля означає, що на півкола 7R Оцінимо досліджуваний інтефал. Помічаючи, що на 7Л В силу відомої нерівності (див. рис. 31) справедливого при (для доказу досить помітити, що і, отже, функція ^ зменшується на півінтервалі.). функцію Приклад 7. Обчислити інтеграл Неважко бачити, що якщо г = х, то Jmh(z) збігається з підінтегральною функцією Розглянемо контур, вказаний на рис.32 При досить великому R на дузі 7л Функція внаслідок співвідношення задовольняє умові при леме Жордана За основною теоремою про відрахування для будь-якого маємо Переходячи до межі в рівності (16) і враховуючи співвідношення (15), отримаємо, що Розділяючи зліва і справа речові та уявні частини, матимемо В силу того, що підінтегральна функція f(x) - парна, остаточно отримаємо У цьому прикладі функція f(z) не має особливих точок на дійсної осі, проте невелика зміна описаного методу дозволяє застосовувати його і в тому випадку, коли функція f(z) має на дійсній Осі спеціальні точки (прості полюси). Покажемо, як це робиться. Приклад 8. Обчислити інтеграл 4 функція має такі властивості: при збігається з підінтегральною функцією; 2) має особливість на дійсній осі - простий полюс у точці г = 0. Розглянемо у верхній напівплощині Im z ^ 0 замкнутий контур Г, що складається з відрізків дійсної осі [-Я, -г), (г, R) і дуг півкола ( Рис. 33). Усередині цього контуру знаходиться лише один полюс функції h(z) – точка z = Ы. Відповідно до основної теореми про відрахування, Перетворимо спочатку суму інтегралів за відрізками (-Я, -г| і |г, Я) дійсної осі. Замінюючи х на ~х у першому доданку правої частини рівності (18) і поєднуючи його з третім доданком, отримаємо Звернемося до другого доданку у формулі (18). Оскільки де lim g(z) = 0. то підінтегральна функція h(z) представима у такому вигляді: Тоді Вважаючи. отримаємо, що Четверте доданок у рівності (18) при Я -» оо прагне нулю відповідно до леми Жордана, бо функція ^ прагне нулю при |г| оо. Таким чином, при рівність (18) набуває вигляду 6.3. Обчислення інтегралів Френеля Інтеграли Френеля: Розглянемо допоміжну функцію /(г) = с" і контур Г, вказаний на рис. Функція 0(0 = задовольняє умовам леми Жордана, і, отже, Переходячи у формулі (20) до межі при г -* оо, отримаємо, що На відрізку ВО: Звідси звідки Вправи Знайдіть дійсну та уявну частини функдаї: Знайдіть образи дійсної та уявної осей при відображенні: Доведіть ті, що функція безперервна на всій комплексній площині: Користуючись умовами Коші-Рімана, з'ясуйте, чи є аналітична функція хоча б в одній точці чи ні: Відновіть аналітичну в околиці точки 20 функцію /(г) за відомою дійсною і (або за відомою уявною частиною v(x, у)) та значенням f(z0): Покажіть, що наступні функції є гармонічними: Чи може дана функція бути дійсною або уявною частиною аналітичної функції Знайдіть дії Наявний модуль і головне значення аргументу функції у вказаній точці zq: Знайдіть логарифми наступних чисел: Розв'яжіть рівняння: 38. Обчисліть інтеграл /- лінія, що з'єднує точки z\ = 0 отрето до прямої, б) дуга параболи ламана 39 Обчисліть інтеграл - півколо Обчисліть інтеграли: 43. Обчисліть інтеграл / де 7 - верхня половина окру * « ості | z | = 1 (вибирається Відрахування Основна теорема про відрахування Застосування відрахувань до обчислення інтегралів Відрахування функції щодо нескінченно віддаленої точки Додаток відрахувань до обчислення певних інтегралів Інтеграли від раціональних функцій Лемма Жордана Обчислення інтегралів Френеля галузь функції і л/z. dz, де 7 - відрізок прямий, що йде з точки zj = 1 у точку Обчисліть інтеграли: Знайдіть радіус збіжності ряду: Розкажіть функцію в ряд Тейлора і знайдіть радіус збіжності отриманого ряду: поступам z + I. 55. cosz поступам 56.--- поступам z + 2. 57.-^- поступам z. 58. sh2 z поступам z. Знайдіть нулі функції і визначте їх порядки: z Визначте область збіжності ряду: Розкладіть до ряду Лорана в околиці точки г = 0: Розташуйтеся в ряді Лорана у вузаному кільці: Знайдіть особливі точки та визначте їх характер: Знайдіть відрахування функції в особливих точках: Обчисліть інтеграли: Визначте характер нескінченно віддаленої точки: Обчисліть інтеграли: Відповіді z переходіть вісь, при зміні z від -оо до +оо і змінюється від до -оо і від +оо до +1 (точка +1 виключається), вісь у переходить в коло Вісь х переходить у вісь і так само, як і в упр-і 5, вісь у переходить у пряму u ~ 1, що пробігається від точми 1 до 1 + too і від 1 - »оо до точки 1 (сама точка 1 виключається

Визначення. Точки комплексної площини, у яких однозначна функція f(z) є аналітичною, називають правильнимиточками цієї функції, а точки, у яких f(z) не є аналітичною, називають особливимиточками (зокрема, точки, у яких f(z) не визначено).

Визначення. Крапка z 0 називається нулем (корінням) порядку (кратності)аналітичної функції f(z), якщо:

б) існує, кінцевий і не дорівнює нулю.

Якщо цілі позитивні числа), тоді – нулі (коріння) цього багаточлена, які мають відповідно до порядків (кратності) .

Визначення. Нехай f(z) аналітична функція в околиці точки z 0 , за винятком самої точки z 0 . У цьому випадку точка z 0 називається ізольованою особливою точкоюфункції f(z).

Розрізняють ізольовані спеціальні точки однозначної функції трьох типів :

1) усунути особливу точку - ізольовану особливу точку z 0 , в якій існує кінцева межа:

2) полюс k-го порядку – ізольовану особливу точку z 0 , в якій існує кінцева межа, яка не дорівнює нулю:

(2.41)

якщо , то z0 - полюс першого порядку (простий полюс);

3) суттєво особливу точку – ізольовану особливу точку z 0 , яка є ні усунутим, ні полюсом. Тобто немає, ні кінцевий, ні нескінченний.

Теорема (про зв'язок між нулем та полюсом). Якщо точка z 0 – нуль порядку до функції f(z), то функції 1/f(z) ця точка є полюсом порядку до.

Нехай f(z) – функція, аналітична у кожній точці області D, крім кінцевого числа ізольованих спеціальних точок, і L — кусочно-гладкий замкнутий контур, що повністю лежить у сфері D і проходить через спеціальні точки функції f(z).

Якщо в області, обмеженій контуром L, не міститься особливих точок функції f(z), то за основною теоремою Коші

.

Якщо ж області, обмеженої контуром L, є спеціальні точки функції f(z), то значення цього інтеграла, взагалі кажучи, на відміну від нуля.

Визначення. Вирахуванням аналітичної функції f(z) щодо ізольованої особливої ​​точки z 0 (або в точці z 0) називається комплексне число, що дорівнює значенню інтеграла , де L - будь-який кусочно-гладкий замкнутий контур, що лежить в області аналітичності функції f(z) і містить усередині єдину особливу точку z 0 функції f(z).

Відрахування f(z) щодо точки z 0 позначається символом resf(z 0)(Resf(z 0)) або так, що маємо:

. (2.42)

Відрахування функції щодо особливої ​​точки, що усувається, дорівнює нулю:

Відрахування f(z) щодо простого полюса можна знайти за формулою:

Відрахування f(z) щодо полюса порядку знаходять за формулою:

Якщо причому точка є простим нулем і не є нулем для , то:

. (2.46)

Основна теорема Коші про відрахування. Якщо функція f(z) аналітична в замкнутій області обмеженої контуром L, за винятком кінцевого числа особливих точок , що лежать всередині , то:

Ця теорема має значення для додатків.

Одне – це обчислення деяких інтегралів від функції комплексної змінної.

Зауваження. У попередніх міркуваннях про відрахування неявно передбачалося, що розглядаються кінцеві ізольовані особливі точки (це ясно з того, що інтеграл по замкнутому контуру за умовчанням брався в позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки, а особлива точка при цьому потрапляє всередину контуру тільки в випадку, коли вона кінцева). У разі, коли розглядається нескінченно віддалена точка, ситуація дещо інша. Точніше, сформулюємо це так.

Визначення.Вирахуванням функції f(z) щодо нескінченно віддаленої точки називають інтеграл:

де L – замкнутий шматково-гладкий контур, що повністю лежить в тій околиці точки, в якій функція f(z) є аналітичною. Інтегрування по L відбувається у негативному напрямі цього контуру, тобто. так, щоб при обході контуру нескінченно віддалена точка залишалася зліва. Таким чином:

Приклад 1

Знайти інтеграл від функції комплексного змінного, використовуючи основну теорему Коші про відрахування:

.

Рішення

1) Визначимо ізольовані особливі точки підінтегральної функції відповідно до теореми (2.47):

Особливі точки: .

2) Визначимо точки, що лежать усередині області інтегрування, зобразимо область графічно (рис. 2.7).

Точку z = 1 не розглядаємо, оскільки вона лежить усередині області .

3) Визначимо тип розглянутої ізольованої особливої ​​точки z = 0. Знайдемо межу за формулою (2.41):

Оскільки межа існує, то z = 0 – полюс першого порядку (простий полюс).

4) Знайдемо відрахування функції щодо простого полюса z = 0, використовуючи формулу (2.44):

5) Визначимо значення інтеграла за основною теоремою Коші про відрахування (2.47):

Відповідь

Приклад 2

Знайти інтеграл від функції комплексного змінного, використовуючи основну теорему Коші про відрахування.