Затухаючі та вимушені коливання. Незагасні гармонійні коливання

лекція 12.Механічні коливання та хвилі.

План лекції

Гармонічні коливання та його характеристики.

Вільні механічні коливання.

Вільні загасаючі та вимушені механічні коливання.

Пружні хвилі.

Гармонічні коливання та його характеристики.

Коливанняминазиваються процеси, що характеризуються певною повторюваністю у часі, тобто. коливання - періодичні зміни будь-якої величини.

Залежно від фізичної природи розрізняють механічні та електромагнітні коливання. Залежно від характеру впливу на систему, що коливається, розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання і параметричні коливання.

Коливання називаються періодичними, якщо значення всіх фізичних величин, що змінюються під час коливань системи, повторюються через рівні проміжки часу.

Період- цей час, за який відбувається одне повне коливання:

де
- Число коливань за час .

Частота коливань- Число повних коливань, скоєних за одиницю часу.

Циклічна або кругова частота - число повних коливань, скоєних за час 2 (одиниць часу):

Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання, За яких зміна величини відбувається за законом синуса або косинуса (рис.1):

де - Значення величини, що змінюється;

- амплітуда коливань, максимальне значення величини, що змінюється;

- фаза коливань у момент часу (кутова міра часу);

 0 - початкова фаза, що визначає значення у початковий момент часу при
,.

Коливальна система, що здійснює гармонічні коливання, називається гармонічним осцилятором.

Швидкість та прискорення при гармонійних коливаннях:

Вільні механічні коливання.

Вільними чи власниминазиваються коливання, які здійснює система близько положення рівноваги після того, як вона якимось чином була виведена зі стану стійкої рівноваги та представлена сама собі.

Як тільки тіло (або система) виводиться із положення рівноваги, відразу ж з'являється сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги. Ця сила називається повертаючою, вона завжди спрямована до положення рівноваги, походження її по-різному:

а) для пружинного маятника – сила пружності;

б) для математичного маятника – складова сила тяжіння.

Вільні або власні коливання - це коливання, що відбуваються під дією сили, що повертає.

Якщо в системі відсутні сили тертя, коливання продовжуються нескінченно довго з постійною амплітудою і називаються власними коливаннями.

Пружинний маятник- Матеріальна точка масою m, Підвішена на абсолютно пружній невагомій пружині і коливання під дією пружної сили.

Розглянемо динаміку своїх незагасних коливань пружинного маятника.

За II законом Ньютона,

за законом Гука,

де k- Жорсткість,
;

або
.

Позначимо циклічна частота своїх коливань.

-диференціальне рівняння вільних незагасних коливань.

Рішенням цього рівняння є вираз: .

період коливань пружинного маятника.

При гармонійних коливаннях повна енергія системи залишається постійною, відбувається безперервний перехід в і навпаки.

Математичний маятник- Матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці (рис.2).

Можна довести, що в цьому випадку

Пружинний та математичний маятники є гармонічними осциляторами (як і коливальний контур). Гармонічним осцилятором називається система, що описується рівнянням:

Коливання гармонійного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і є наближеною моделлю у багатьох завданнях класичної та квантової фізики.

Вільні загасаючі та вимушені механічні коливання.

У будь-якій реальній системі, що здійснює механічні коливання, завжди діють ті чи інші сили опору (тертя в точці підвісу, опір навколишнього середовища тощо), на подолання яких система витрачає енергію, внаслідок чого реальні вільні механічні коливання завжди затухають.

Затухаючі коливання- це коливання, амплітуда яких зменшується з часом.

Знайдемо закон зміни амплітуди.

Для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливання під дією пружної сили
сила тертя пропорційна швидкості:

де r-коефіцієнт опору середовища; знак мінус означає, що
завжди спрямована протилежно до швидкості.

Відповідно до II закону Ньютона рівняння руху маятника має вигляд:

Позначимо:

диференціальне рівняння вільних загасаючих коливань.

Рішенням цього рівняння є вираз:

де циклічна частота вільних загасаючих коливань,

 0 - циклічна частота вільних незагасних коливань,

 - коефіцієнт загасання,

A 0 - амплітуда в початковий час (t=0).

- Закон зменшення амплітуди.

З часом амплітуда зменшується за експоненційним законом (рис. 3).

Час релаксації - це час, за який амплітуда зменшується в разів.

Таким чином, є величина, обернена до часу релаксації.

Найважливішою характеристикою загасаючих коливань є логарифмічний декремент згасання .

Логарифмічним декрементом згасанняназивається натуральний логарифм відношення двох амплітуд, що відрізняються один від одного за часом на період:

З'ясуємо його фізичне значення.

З а час релаксації система встигне зробити N коливань:

тобто. - Це величина, зворотна числу коливань, протягом яких амплітуда зменшується в раз.

Для характеристики коливальної системи використовують поняття добротності:

Добротність- фізична величина, пропорційна числу коливань, протягом яких амплітуда зменшується в раз (рис. 4,
).

Вимушениминазиваються коливання, які відбуваються в системі під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється.

Нехай зовнішня сила змінюється за гармонійним законом:

Крім зовнішньої сили на систему, що коливається, діють повертаюча сила і сила опору, пропорційна швидкості коливань:

Вимушені коливання відбуваються з частотою, що дорівнює частоті сили, що змушує. Експериментально встановлено, що зміщення відстає у своїй зміні від сили, що змушує. Можна довести, що

де - амплітуда вимушених коливань,

- Різниця фаз коливань і
,

;
.

Графічно вимушені коливання представлені на рис.5.

Е якщо сила, що змушує, змінюється за гармонійним законом, то і самі коливання будуть гармонійними. Їх частота дорівнює частоті сили, що змушує, а амплітуда пропорційна амплітуді змушує сили.

Залежність амплітуди від частоти сили, що змушує. призводить до того, що з деякою, визначеної даної системи частоті, амплітуда досягає максимуму.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти сили, що змушує, до власної частоти системи (до резонансної частоти) називається резонансом(Рис.6).

Пружні хвилі.

Будь-яке пружне тіло складається з великої кількості частинок (атомів, молекул), що взаємодіють одна з одною. Сили взаємодії проявляються за зміни відстані між частинками (при розтягуванні виникають сили тяжіння, при стисканні – відштовхування) і мають електромагнітну природу. Якщо якась частка зовнішнім впливом виводиться з положення рівноваги, то вона потягне за собою в тому ж напрямку іншу частинку, ця друга - третю, і обурення буде поширюватися від частинки до частки в середовищі з певною швидкістю, що залежить від властивостей середовища. Якщо частка була зрушена вгору, то під дією верхніх частинок, що відштовхують, і нижніх, що притягають, вона почне рухатися вниз, пройде положення рівноваги, інерції зміститися вниз і т.д., тобто. здійснюватиме гармонійний коливальний рух, змушуючи до коливань сусідню частинку, і т.д. Тому при розповсюдженні обурення в середовищі всі частки здійснюють коливання з однаковою частотою, кожна біля положення рівноваги.

Процес поширення механічних коливань у пружному середовищі називається пружною хвилею. Цей процес періодичний у часі та просторі. При поширенні хвилі частки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частки до частки середовища передається лише стан коливального руху та його енергія. Тому основна властивість усіх хвиль – перенесення енергії без перенесення речовини.

Розрізняють поздовжні та поперечні пружні хвилі.

Пружна хвиля називається поздовжньою, якщо частинки середовища коливаються вздовж напрямку поширення хвилі (рис.7).

Для взаємного розташування точок, що коливаються, характерні згущення і розрядження.

При поширенні такої хвилі в середовищі виникають згущення та розрядження. Поздовжні хвилі виникають у твердих, рідких та газоподібних тілах, у яких виникають пружні деформації при стисканні або розтягуванні.

Пружна хвиля називається поперечною, якщо частинки середовища коливаються перпендикулярно до напряму поширення хвилі (рис. 8).

П ри поширення поперечної хвилі в пружному середовищі утворюються гребені та западини. Поперечна хвиля можлива серед, де деформація зсуву викликає пружні сили, тобто. у твердих тілах. На межі розділу 2-х рідин або рідини та газу виникають хвилі на поверхні рідини, вони викликаються або силами натягу, або силами тяжіння.

Таким чином, усередині рідини та газу виникають лише поздовжні хвилі, у твердих тілах – поздовжні та поперечні.

Швидкість поширення хвиль залежить від пружних властивостей середовища та його щільності. Швидкість поширення поздовжніх хвиль у 1,5 рази більша за швидкість поперечних.

Поширюючись від одного джерела, обидві хвилі приходять до приймача у різний час. Вимірюючи різницю часів поширення поздовжніх та поперечних хвиль, можна визначити місце джерела хвиль (атомного вибуху, епіцентру землетрусу тощо).

З іншого боку, швидкість поширення хвиль у земній корі залежить від порід, що залягають між джерелом та приймачем хвиль. Це є основою геофізичних методів дослідження складу земної кори та пошуку корисних копалин.

Поздовжні хвилі, що розповсюджуються в газах, рідині та твердих тілах і сприймаються людиною, називаються звуковими хвилями. Їх частота лежить у межах від 16 до 20000 Гц, нижче 16 Гц – інфразвук, вище 20000 Гц – ультразвук.

Соколов С.Я., член кореспондент АН СРСР, у 1927-28 рр. виявив здатність ультразвукових хвиль проникати крізь метали та розробив методику УЗ дефектоскопії, сконструювавши перший УЗ генератор на 109 Гц. У 1945 році він першим розробив метод перетворення механічних хвиль у видимі світлові та створив ультразвуковий мікроскоп.

Хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює дедалі нові області простору.

Геометричне місце точок, до яких поширилися коливання на даний момент часу t, називається фронтом хвилі.

Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею.

Хвильових поверхонь можна провести нескінченно багато, але їхній вид для даної хвилі однаковий. Хвильовий фронт є хвильову поверхню в даний момент часу.

У принципі хвильові поверхні може бути будь-якої форми, а найпростішому разі це сукупність паралельних площин чи концентричних сфер (рис. 9).

Хвиля називається плоский, якщо її фронт є площиною.

У олна називається сферичній, якщо її фронт є поверхнею сфери.

У Хвилі, що поширюються в однорідному ізотропному середовищі від точкових джерел, є сферичними. На великій відстані джерела сферична хвиля може розглядатися як плоска.

Принцип Гюйгенса: кожна точка фронту хвилі (тобто кожна коливається частка середовища) є джерелом вторинних сферичних хвиль. Нове становище фронту хвилі є огинаючої цих вторинних хвиль.

Це твердження висловив 1690 року голландський вчений Гюйгенс. Справедливість його можна проілюструвати за допомогою хвиль на поверхні води, що імітують сферичні хвилі, що виникають в обсязі пружного середовища.

а 1 в 1 - фронт в момент t 1

а 2 - 2 - фронт в момент t 2 .

Перегородивши поверхню води перепоною з малим отвором і направивши на перешкоду плоску хвилю, переконуємося, що за перешкодою – сферична хвиля (рис. 10).

Ті, що біжатьназиваються хвилі, які переносять у просторі енергію.

Отримаємо рівняння плоскої хвилі, що біжить, припускаючи, що коливання носять гармонійний характер, а вісьYзбігається з напрямом поширення хвилі.

Рівняння хвилі визначає залежність зміщення коливається частинки середовища від координат і часу.

Нехай деяка частка середовища У(Рис. 11) знаходиться на відстані увід джерела коливань, розташованого у точці Про. У точці Проусунення частки середовища від положення рівноваги відбувається за гармонійним законом,

де t- Час, що відраховується від початку коливань.

У точці Cде
- час, за який хвиля від крапки Oдоходить до точки C, - Швидкість поширення хвилі.

-рівняння плоскої хвилі, що біжить.

Це рівняння визначає величину зміщення хколивальної точки, що характеризується координатою у, у будь-який момент часу t.

Якщо плоска хвиля поширюється над позитивному напрямі осі Y, а протилежному напрямі, то

Т.к. рівняння хвилі можна записати у вигляді

Відстань між найближчими точками, що коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі.

Довжина хвилі- відстань, яким поширюється хвиля у період коливань частинок середовища, тобто.

Т.к.

де – хвильове число.

У загальному випадку
.

Елементи біомеханіки 5
Механічні коливання 14
Біофізика слуху. Звук. Ультразвук 17
Біофізика кровообігу 21
Електричні властивості тканин та органів 28
Електрокардіографія. Реографія 33
Основи електротерапії 36
Біофізика зору. Оптичні прилади 40

1.9 Теплове випромінювання та його характеристики 45

2.0 Рентгенівське випромінювання 49

2.1 Елементи радіаційної фізики. Основи дозиметрії 54

3. Діадинамік є одним з найбільш відомих апаратів електротерапії, що використовують знеболювальну та спазмолітичну дію низькочастотних струмів у лікувальних цілях, наприклад для покращення кровообігу в організмі. Процедура призначається виключно лікарем, тривалість 3-6 хвилин (при гострих станах щодня, при хронічних захворюваннях 3 рази на тиждень 5-6 хвилин).

Показання: захворювання опорно-рухового апарату, особливо болі в суглобах та

Хребта

Електросон - метод електротерапії, при якому використовуються імпульсні струми низької або звукової частоти (1-130 Гц), прямокутної форми, малої сили (до2-3 мА) та напруги (до 50 В), що викликають при тривалому застосуванні сонливість, дрімотність, а потім сон різної глибини та тривалості.
Показання: захворювання внутрішніх органів (хронічна ішемічна хвороба серця, гіпертонічна хвороба, гіпотонічна хвороба, ревматизм, виразкова хвороба шлунка та дванадцятипалої кишки, гіпотиреоз, подагра), захворювання нервової системи (атеросклероз судин головного мозку в початковій стадії, травматична церебропатія , неврастенія, астенічний синдром, маніакально депресивний психоз, шизофренія)

Ампліпульстерепія - один з методів електротерапії, заснований на використанні з лікувально-профілактичними та реабілітаційними цілями синусоїдальних модульованих струмів.

Незагасні гармонійні коливання

Гармонічні коливання відбуваються під дією пружних або квазіпружних (подібні до пружних) сил, що описуються законом Гука:

де ^ F- Сила пружності;

х – зміщення;

k- Коефіцієнт пружності або жорсткості.

Відповідно до ІІ закону Ньютона
, де а- Прискорення, а =
.

Розділимо рівняння (1) на масу m і введемо позначення

, Отримаємо рівняння у вигляді:

(2).

Рівняння (2) – диференціальне рівняння незатухаючих гармонійних коливань.

Його рішення має вигляд: або .
^ Характеристики незагасаючих гармонійних коливань:

х- Зміщення; А- Амплітуда; Т- Період; - Частота; - циклічна частота, - Швидкість; - Прискорення, - Фаза; 0 - початкова фаза, Е – повна енергія.

Формули:

- Число коливань,

– час, протягом якого відбувається N коливань;

; або;

або;

– фаза незагасаючих гармонійних коливань;

- Повна енергія гармонійних коливань.

Затухають гармонійні коливання

У реальних системах, що беруть участь у коливальному русі, завжди присутні сили тертя (опору):

, - Коефіцієнт опору;
- Швидкість.

Тоді ІІ закон Ньютона запишемо:

(2)

Введемо позначення ,

, де

- Коефіцієнт загасання.

Рівняння (2) запишемо у вигляді:

(3)

Рівняння (3) – диференціальне рівняння загасаючих коливань.

Його рішення , де

– амплітуда коливань у початковий час;

- Циклічна частота загасаючих коливань.

Амплітуда коливань змінюється за експоненційним законом:

Рис. 11. Графік x= f(t)

Рис. 12. Графік A t = f(t)

Характеристики:

1)
- Період загасаючих коливань; 2) – частота загасаючих коливань; - Власна частота коливальної системи;

3) логарифмічний декремент згасання (характеризує швидкість зменшення амплітуди):
.

^ Вимушені коливання

Для отримання незагасаючих коливань необхідний вплив зовнішньої сили, робота якої заповнювала б викликане силами опорів зменшення енергії системи, що коливається. Такі коливання називаються вимушеними.

Закон зміни зовнішньої сили:
, де - Амплітуда зовнішньої сили.

ІІ закон Ньютона запишемо у вигляді

Введемо позначення
.

Рівняння вимушених коливань має вигляд:

Вирішення цього рівняння в режимі:

де

(4)

- Частота вимушених коливань.

З формули (4), коли
амплітуда досягає максимального значення. Це називається резонансом.

^ 1.3 Біофізика слуху. Звук. Ультразвук.

Хвиля- Це процес поширення коливань в пружному середовищі.

Рівняння хвилівиражає залежність зміщення точки, що коливається, бере участь у хвильовому процесі, від координати її рівноважного положення і часу: S = f (x ; t).

Якщо S і X спрямовані вздовж однієї прямої, то хвиля поздовжняякщо вони взаємно перпендикулярні, то хвиля поперечна.

Рівняння у точці "0" має вигляд
. Фронт хвилі дійде до точки "х" із запізненням за час
.

Рівняння хвилімає вигляд
.

Характеристики хвилі:

S- Зміщення, А– амплітуда, – частота, Т- Період, - циклічна частота, - Швидкість.

- фаза хвилі, - довжина хвилі.

Довжиною хвиліназивається відстань між двома точками, фази яких в той самий момент часу відрізняються на
.

^ Фронт хвилі- Сукупність точок мають одночасно однакову фазу.

Потік енергіїдорівнює відношенню енергії, що переноситься хвилями через деяку поверхню, до часу, протягом якого ця енергія перенесена:

,
.

Інтенсивність:
, – площа,
.

Вектор інтенсивності, що показує напрямок поширення хвиль і рівний потоку енергії хвиль через одиничну площу, перпендикулярну цьому напрямку, називається вектор умова.

- Щільність речовини.
Звукові хвилі

Звук– це механічна хвиля, частота якої лежить у межах ,
- інфразвук,
- Ультразвук.

Розрізняють музичні тони (це монохроматична хвиля з однією частотою або простих хвиль з дискретним набором частот – складний тон).

^ Шум- це механічна хвиля з безперервним спектром і амплітудами і частотами, що хаотично змінюються.

Має
, при цьому
.

. 1 Децибел (дБ)або 1 тло = 0,1 Б.

Залежність гучності від частоти враховують за допомогою кривих рівних гучностей, які отримують експериментально, і використовується для оцінки дефектів слуху. Метод виміру гостроти слуху називається аудіометрія. Прилад для вимірювання гучності називається шумомір. Норма гучності звуку має становити 40 – 60 дБ.

Незагасні коливання

Розглянемо найпростішу механічну коливальну систему з одним ступенем свободи, що називається гармонічним осцилятором. В якості реального втілення осцилятора розглянемо тіло масою m, підвішене на пружині з жорсткістю k, в припущенні, що силами опору можна перебрати. Подовження пружини будемо відраховувати від положення рівноваги пружини. Статична сила пружності врівноважує силу тяжкості, і ні та, ні інша сила рівняння руху не увійдуть. Запишемо рівняння руху згідно з другим законом Ньютона:

(4.1)
Запишемо це рівняння у проекціях на вісь х (рис. 4.1).

Проекцію прискорення на вісь х уявімо як другу вироблену від координати х за часом. Диференціювання за часом зазвичай зображують точкою над буквеним виразом величини. Друга похідна відзначається двома точками. Тоді, рівняння (4.1) перепишемо у вигляді:

(4.2)
Знак мінус у правій частині рівняння (4.2) показує, що сила спрямована проти зміщення тіла від положення рівноваги. Позначимо k/m через w2, і надамо рівнянню (4.2) вигляд:

(4.3)
де

(4.4)
Рівняння (4.3) називається рівнянням гармонійного осцилятора. З подібним рівнянням ми вже зустрічалися (рівняння 3. 29), і будемо зустрічатися ще не один раз. Це диференційне рівняння. Воно відрізняється від алгебраїчного тим, що невідомою в ньому є функція (у нашому випадку функція часу), а не число, а також тим, що в нього входять виробничі від невідомої функції. Вирішити диференційне рівняння - означає знайти таку функцію x (t), яка при підстановці в рівняння зверне його в тотожність. Будемо шукати рішення методом підбору (з наступною перевіркою). Є підстава припустити, що рішенням нашого рівняння є функція виду

(4.5)
Функція (4.5) є синусоїдальною функцією в загальному вигляді. Параметри A, a, j0, 0 поки не визначені, і тільки підстановка функції (4.5) в рівняння (4.3) покаже, як вони повинні бути вибрані. Знайдемо другу виробничу від функції (4.5) і підставимо її в рівняння (4.3):

(4.6)

(4.7)
Скоротимо члени рівняння на Asin(at + j0) і отримаємо:

(4.8)
Той факт, що після скорочення час не "випадає" з рівняння, свідчить про те, що вид шуканої функції обраний правильно. Рівняння (4.8) показує, що a має бути рівним w.
Постійні А і j0 неможливо визначити з рівняння руху, вони повинні бути знайдені з якихось сторонніх міркувань. Отже, рішенням рівняння гармонійного осцилятора є функція

(4.9)
Як же визначити постійні А і j0? Їх називають довільними постійними і визначають з початкових умов. Справа в тому, що коливання повинні виникнути в якийсь момент часу. Їх виникнення викликано якимись посторонніми причинами. Розглянемо два різні випадки виникнення коливань: 1) коливання пружини, відтягнутої експериментатором на величину х0, а потім відпущеної. 2) коливання тіла, підвішеного на пружині, по якому вдарили молотком і якому повідомили в початковий момент часу швидкість v0. Знайдемо постійні А та j0 для цих випадків.

(4.10)
Продиференційуємо (4.9) за часом, тобто. знайдемо швидкість тіла:

(4.11)
У рівняння (4.9) і (4.11) підставимо початкові умови:

(4.12)
Звідси випливає, що 0 = p/2, А = х0.
Закон руху тіла остаточно набуде вигляду

(4.13)
2) При t = 0 х = 0, а швидкість v = х = v0 .
Підставимо в рівняння (4.9) і (4.11) нові початкові умови:
0=Asin j 0,
v0=Awcos j 0.
(4.14)
Отримаємо, що при 0 = 0 А = v0/w. Закон руху набуває вигляду

(4.15)
Зрозуміло, можливі й інші, складніші початкові умови, і з них мають бути знайдені нові постійні А і j0. Таким чином, рішення (4.9) є загальне рішення рівняння руху тіла. З нього на підставі початкових умов може бути знайдено приватне рішення, що описує конкретний випадок руху.
Встановимо тепер фізичний зміст введених постійних А, j0, w. Вочевидь, А є амплітуду коливань, тобто. найбільше відхилення тіла від становища рівноваги. j0 називається початковою фазою коливання, а аргумент синуса (wt + j0) - фазою. Фаза визначає стан рухомого тіла в даний час. Знаючи фазу (аргумент синусу), можна знайти місцезнаходження тіла (його координату), його швидкість. j0 є фаза в початковий момент часу.
Залишається з'ясувати зміст параметра w. За час, рівний період
коливань Т, т. е. за час повного коливання, аргумент синуса змінюється на 2p. Отже, wТ = 2p, звідки

(4.16)
Формула (4.16) показує, що w є число коливань за час 2p секунд - циклічна частота. Остання пов'язана із частотою n співвідношенням

(4.17)
Знайдемо енергію вільних коливань. Вона представлена двома видами енергії: кінетичної та потенційної.

(4.18)
Підставляючи в цю формулу значення х і v відповідно до співвідношень (4.9) і (4.11), отримаємо:

(4.19)

Таким чином, енергія вільних коливань пропорційна квадрату амплітуди коливань.
Звернемо увагу на таку обставину. Функції синуса і косинуса вони відрізняються один від одного лише тим, що одна щодо іншої зрушена по фазі на /2. Квадрат синуса визначає потенційну енергію, а квадрат косинуса - кінетичну. Звідси випливає, що середні за часом (наприклад за період коливання) кінетична і потенційна енергія однакові, тобто.

(4.20)
і

(4.21)

НЕЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ - коливання з постійною амплітудою.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Методичний посібник для учнів втузів з дисципліни: фізика. Механічні коливання

Методичний посібник для учнів втузов.. з дисципліни фізика.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Частота, період, циклічна частота, амплітуда, фаза коливань
ЧАСТОТА КОЛИВАНЬ, кількість коливань в 1 с. Позначається u. Якщо T – період від коливань, то u = 1/T; вимірюється у герцах (Гц). Кутова частота коливань w = 2pu = 2p/T рад/с. Період коливань

Енергія гармонійних коливань
Гармонічні коливання Важливим окремим випадком періодичних коливань є гармонійні коливання, тобто. такі зміни фізичної величини, що йдуть за законом

Метод векторні діаграми. Складання коливань одного напряму
Метод векторні діаграми. Кожному гармонійному коливанню з частотою можна поставити у відповідність обертається з

Биття. Складання перпендикулярних коливань. Загасаючі механічні коливання
Биття - коливання з періодично мінливою амплітудою, що виникають в результаті накладання двох гармонійних коливань з дещо різними, але близькими частотами. Б. виникають внаслідок того,

Рівняння загасаючих коливань. Амплітуда, частота, коефіцієнт загасання
Рівняння загасаючих коливань представимо у вигляді де

Резонанс
. Таким чином, амплітуда вимушених коливань змінюється із зміною частоти зовнішнього впливу. При

Рівняння плоскої хвилі, що біжить
Гармонійна хвиля, що біжить, є плоскою хвилею, т.к. її хвильові поверхні (ω(t-)+φ0

Типи хвиль: поздовжні та поперечні, плоскі, сферичні
Вважатимемо, що маємо суцільне пружне середовище, наприклад, тверде тіло, рідини, гази. Для пружного середовища характерне виникнення пружних деформацій за зовнішнього впливу неї. Ці деформації

Хвильова поверхня, хвильовий фронт
Хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює дедалі нові області простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу t, називається хвильовим ф

Властивості хвиль
Генерація хвиль. Хвилі можуть генеруватися у різний спосіб. Генерація локалізованим джерелом коливань (випромінювачем, антеною). Спонтанна генерація хвиль в об'ємі при

Енергія хвилі
Енергія хвилі, що біжить. Вектор щільності потоку енергії Пружне середовище, в якому поширюється хвиля, має як кінетичну енергію коливального руху частинок так і потенційно

Потік енергії
Потік енергії – кількість енергії, що переноситься хвилею через деяку поверхню в одиницю часу:

Вектор Умова
Нехай у певному середовищі вздовж осі х поширюється пружна плоска поздовжня хвиля, що описується рівнянням (1.91")

Стоячі хвилі
Якщо середовищі поширюється кілька хвиль, то результуюче коливання кожної частки середовища є суму коливань, які здійснювала б частка від кожної хвилі окремо. Це ут

Інтерференція
Інтерференція хвиль - явища посилення або ослаблення амплітуди результуючої хвилі в залежності від співвідношення між фазами двох або декількох хвиль, що складаються, з однаковими періодами. Якщо в

Координати пучностей та вузлів стоячої хвилі
Якщо назустріч одне одному поширюються дві гармонійні хвилі S1=Acos(ωt-kх) і S2=Acos(ωt+kх), то утворюється хвиля S=S1+S2=2Аcoskx cosωt. Досл

Відмінність хвиль, що біжать від стоячих
Біжуча хвиля - хвильове рух, у якому поверхню рівних фаз (фазові хвильові фронти) переміщається з кінцевою швидкістю, постійної у разі однорідних середовищ. З біжучою хвилею, групова з

Джерела електромагнітних хвиль Провідник із струмом. Магніт. Електричне поле (змінне). Навколо провідника, через яких проходить струм, і він постійний. При зміні сили

Властивості електромагнітних хвиль: поперечність, синфазність коливань векторів напруженостей електричного та магнітного полів
Поперечність. електромагнітні хвилі є поперечними. Електромагнітною хвилею

Вектор Пойнтінг
Пойнтінг вектор, вектор щільності потоку електромагнітної енергії. Названий на ім'я англійського фізика Дж. Г. Пойнтінга (J. Н. Poynting; 1852-1914). Модуль П. в. дорівнює енергії, що переноситься за одну

Шкала електромагнітних хвиль
(шкала електромагнітних

Когерентність хвиль
Хвилі та збуджуючі їх джерела називаються когерентними, якщо різниця фаз хвиль не залежить від часу. Хвилі та во

Інтерференція
ІНТЕРФЕРЕНЦІЯ ХВИЛЬ - явище, що спостерігається при одночасному поширенні в просторі декількох хвиль і що складається в стаціонарному (або повільно змінюється) просторовому розподілі ам

Розрахунок інтерференційної картини від двох когерентних джерел. Розглянемо дві когерентні світлові хвилі, що виходять із джерел

Координати мінімумів та максимумів інтенсивності
Оптична довжина променів. Умови отримання інтерференційних максимумів та мінімумів. У вакуумі швидкість світла дорівнює

Смуги рівної товщини
Смуги рівної товщини, один із ефектів оптики тонких шарів, на відміну від смуг рівного нахилу, спостерігаються безпосередньо на поверхні прозорого шару змінної товщини (рис. 1). Виниклий

Застосування інтерференції
Практичне застосування інтерференції світла різноманітне: контроль якості поверхонь, створення світлофільтрів, покриттів, що просвітлюють, вимірювання довжини світлових хвиль, точне вимірювання відстані

Принцип Гюйгенса-Френеля
Гюйгенса-Френеля принцип, наближений метод розв'язання задач про поширення хвиль, особливо світлових. Згідно з початковим принципом Х. Гюйгенса (1678), кожен елемент поверхонь

Метод зон Френеля
Обчислення інтеграла у пункті у випадку - важке завдання. У випадках, коли у завданні суті

Дифракція Френеля
Нехай на шляху сферичної світлової хвилі, що випромінюється джерелом S, розташований непрозорий екран з круглим отвором радіусу r0. Якщо отвір відкриває парне число зон Френеля, то

Пляма Пуассона
es За допомогою спіралі Френеля можна отримати

Поляризація світла
Поляризація світла, одна з фундаментальних властивостей оптичного випромінювання (світла), що полягає в нерівноправності різних напрямків у площині, перпендикулярній світловому променю (напрямку розповсюдження).

Закон Малюса
Поставимо на шляху природного світла два поляроїди, осі пропускання яких розгорнуті один відносно

Подвійне променезаломлення
Як згадувалося, закон заломлення може виконуватися в анізотропних середовищах. Справді, цей закон стверджує, що:

Інтерференція поляризованого світла
Важливий випадок І. с. - інтерференція поляризованих променів (див. Поляризація світла). В загальному випадку, коли складаються дві різно поляризовані когерентні світлові хвилі, відбувається векторне сло

Оптично активні речовини
Оптично активні речовини, середовища, що мають природну оптичну активність. О.-а. в. поділяються на 2 типи. Відносяться до одного з них оптично активні в будь-якому агрегатному стані (саха

Дисперсія світла
Дисперсія світла (розсіювання світла) - явище розкладання білого світла при проходженні через призму, диф

Закон Бугера-Ламберта
Бугера - Ламберта, що визначає поступове ослаблення паралельного монохроматичного (однокольорового) пучка світла при поширенні його в поглинаючій речовині. Якщо потужність пучка

Зільберман А. Р. Генератор незагасних коливань // квант. – 1990. – № 9. – С. 44-47.

За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу "Квант"

Такі генератори застосовуються в багатьох пристроях - радіоприймачах, телевізорах, магнітофонах, комп'ютерах, електроорганах тощо - і бувають різними. Так, частоти генераторів можуть лежати в діапазоні від декількох десятків герц (низькі ноти в електрооргані) до сотень мегагерц (телебачення) і навіть до кількох гігагерц (супутникове телебачення, радіолокатори, які використовуються співробітниками ДАІ для визначення швидкості автомобіля). Потужність, яку може віддати генератор споживачеві, становить від кількох мікроват (генератор у наручному годиннику) до десятків ват (генератор телевізійної розгортки), а в деяких спеціальних випадках потужність може бути такою, що і писати немає сенсу - все одно ви не повірите. Форма коливань можлива як найпростіша - синусоїдальна (гетеродин радіо) або прямокутна (таймер комп'ютера), так і дуже складна - «імітує» звучання музичних інструментів (музичні синтезатори).

Звичайно, ми не розглядатимемо всю цю різноманітність, а обмежимося зовсім простим прикладом - малопотужним генератором синусоїдальної напруги помірної частоти (сотні кілогерц).

Як відомо, у найпростішому коливальному контурі, що складається з ідеального конденсатора і ідеальної котушки, можуть відбуватися гармонійні коливання. Рівняння процесу легко отримати, прирівнявши (з урахуванням знаків) напруги на конденсаторі та на котушці - адже вони включені паралельно (рис. 1):

\(~\frac qC = -LI"\) .

Струм, що протікає через котушку, змінює заряд конденсатора; ці величини пов'язані співвідношенням

\(~I = q"\) .

Тепер можна записати рівняння

\(~q"" + \frac(q)(LC) = 0\) .

Вирішення цього рівняння добре відоме - це гармонійні коливання. Їх частота визначається параметрами коливального контуру [~ \ omega = \ frac (1) (\ sqrt (LC)) \], а амплітуда залежить тільки від енергії, яку спочатку повідомили контуру (і яка для ідеального контуру залишається постійною).

Що зміниться, якщо елементи контуру не ідеальні, як і буває реально практично (за багато років автор так і не побачив жодної ідеальної котушки, хоча дуже цікавився цим питанням)? Нехай, для певності, вся неідеальність контуру пов'язана з тим, що у котушки, точніше - у дроту, з якого вона намотана, є активний (омічний) опір r(Рис. 2). Насправді, звичайно, втрати енергії є і у конденсатора (хоча на не дуже високих частотах зробити дуже хороший конденсатор можна без особливих зусиль). Та й споживач забирає у контуру енергію, що також сприяє загасанню коливань. Одним словом, вважатимемо, що r- Це еквівалентна величина, що відповідає за всі втрати енергії в контурі. Тоді рівняння. процесу набуває вигляду

\(~LI" + rI + \frac(q)(C) = 0\) .

Зрозуміло, що саме другий доданок не дає отримати бажане рівняння коливань, що не згасають. Тому наше завдання – це доданок компенсувати. Фізично це означає, що в контур треба підкачати додаткову енергію, тобто ввести ще одну ЕРС. Як це зробити, не розриваючи ланцюг? Найпростіше скористатися магнітним полем - створити додатковий магнітний потік, що пронизує витки котушки контуру. Для цього неподалік цієї котушки потрібно розмістити ще одну котушку (рис. 3) і пропускати через неї струм, величина якого повинна змінюватися за потрібним законом, тобто так, щоб цей струм створив саме таке магнітне поле, яке, пронизуючи котушку контуру, створить у ній такий магнітний потік, який, змінюючись, наведе таку ЕРС індукції, яка точно компенсує неугодне нам доданок у рівнянні процесу. Вся ця довга фраза, що нагадує «будинок, який збудував Джек», - просто переказ відомого вам закону Фарадея для явища електромагнітної індукції.

Розберемося тепер із струмом, який має текти додатковою котушкою. Зрозуміло, що для нього необхідне джерело енергії (для поповнення втрат енергії в контурі) і пристрій, що регулює, що забезпечує потрібний закон зміни струму з часом. Як джерело можна використовувати звичайну батарейку, а як регулюючий пристрій - електронну лампу або транзистор.

Транзистори бувають різних типів - звичайні (їх називають біполярними) і польові, які додатково поділяються на польові з ізольованим затвором (їх зазвичай використовують у цифрових пристроях) та з керуючим p-n-переходом. Будь-який польовий транзистор містить «канал» з двома висновками - їх винахідливо називають витоком і стоком, яке провідність регулюється подачею на третій висновок - затвор - керуючого напруги (рис. 4). У польовому транзисторі з керуючим p-n-Переходом - а ми далі говоритимемо саме про нього - затвор відділений від каналу саме таким переходом, для чого область затвора робиться протилежного по відношенню до каналу типу провідності. Наприклад, якщо канал має домішкову провідність типу p, то затвор - типу n, і навпаки.

Коли на перехід подають замикаючу напругу U z (рис. 5), переріз провідного каналу зменшується, а при певному напрузі - його називають напругою відсічення - канал перекривається повністю і струм припиняється.

Залежність струму каналу I k від напруги на затворі U z показано малюнку 6. Залежність ця майже така сама, як й у електронної лампи (триода). Важливо, що напруга, що управляє, - замикаюча, а значить, струм в ланцюгу управління надзвичайно малий (зазвичай він становить кілька наноампер), відповідно мала і потужність управління, що дуже добре. При невеликих значеннях напруги, що управляє, залежність струму від напруги можна вважати лінійною і записати у вигляді

\(~I_k = I_0 + SU_z\) ,

де S- Постійна величина. Для генератора істотні і відхилення від лінійності, але це пізніше.

На малюнку 7 зображено принципову схему генератора незагасаючих коливань. Тут керуючим для польового транзистора напругою є напруга на конденсаторі коливального контуру:

\(~U_z = U_C = \frac qC\) ,

і струм через додаткову котушку дорівнює

\(~I_k = I_0 + \frac(Sq)(C)\) .

Додатковий магнітний потік пропорційний цьому струму, а додаткова ЕРС контуру дорівнює похідній цього потоку, взятої з протилежним знаком:

\(~\varepsilon_i = -\Phi" = -(MI_k)" = -\frac(MS)(C) q"\) ,

Знак «мінус» тут досить умовний - котушку можна підключити до польового транзистора або одним кінцем, або іншим, причому знак додаткової ЕРС зміниться на протилежний. Одним словом, додаткова ЕРС має бути такою, щоб компенсувати втрати енергії в контурі. Запишемо ще раз рівняння процесу:

\(~LI" + rI + \frac(q)(C) - \frac(MS)(C) q" = 0\) .

Якщо вибрати величину Мтакий, щоб четвертий доданок компенсував другий, то ми отримаємо рівняння

\(~LI" + \frac(q)(C) = 0\) ,

яке відповідає гармонійним незагасаючим коливанням.

А як можна вплинути на величину М? Виявляється, вона збільшиться, якщо намотати більше витків у додатковій котушці або якщо цю котушку розташувати ближче до котушки контуру. Потрібно сказати, що достатній для генерації коефіцієнт Мпрактично отримати досить просто. Краще вибрати цю величину з деяким запасом - при цьому вийде контур не тільки без втрат, але навіть з підкачуванням енергії від зовнішнього джерела (із негативними втратами). При включенні генератора амплітуда коливань спочатку зростатиме, але через деякий час встановиться - енергія, що надходить в контур за один період, буде рівною втрат енергії за той же час. І дійсно, при збільшенні амплітуди напруги на конденсаторі (керуюча напруга польового транзистора) транзистор починає посилювати гірше, оскільки при великій негативній напрузі струм у ланцюгу каналу припиняється, а при позитивних напругах перехід починає відкриватися, що теж збільшує втрати в контурі. В результаті коливання виходять не зовсім синусоїдальними, але якщо втрати в контурі невеликі, спотворення незначні.

Для того щоб використовувати отримані коливання - а саме для цього і робиться генератор, потрібно або підключитися безпосередньо до контуру, або намотати ще одну котушку. Але в обох випадках необхідно врахувати «догляд» енергії з контуру і компенсувати його серед інших втрат.

Вільні коливання завжди згасають через втрати енергії (тертя, опір середовища, опір провідників електричного струму тощо). Тим часом і в техніці і у фізичних дослідах вкрай потрібні коливання, що не згасають, періодичність яких зберігається весь час, поки система взагалі коливається. Як одержують такі коливання? Ми знаємо, що вимушені коливання, за яких втрати енергії заповнюються роботою періодичної зовнішньої сили, є незагасаючими. Але де взяти зовнішню періодичну силу? Адже вона, у свою чергу, вимагає джерела якихось невгамовних коливань.

Незагасні коливання створюються такими пристроями, які можуть підтримувати свої коливання з допомогою деякого постійного джерела енергії. Такі пристрої називаються автоколивальними системами.

На рис. 55 зображено приклад електромеханічного пристрою такого роду. Вантаж висить на пружині, нижній кінець якої занурюється при коливаннях цього пружинного маятника в філіжанку з ртуттю. Один полюс батареї приєднаний до пружини нагорі, а інший - до філіжанки з ртуттю. При опусканні вантажу електричний ланцюг замикається і пружиною проходить струм. Витки пружини завдяки магнітному полю струму починають при цьому притягуватися один до одного, пружина стискається, і вантаж отримує поштовх догори. Тоді контакт розривається, витки перестають стягуватися, вантаж знову опускається вниз і весь процес повторюється знову.

Таким чином, коливання пружинного маятника, яке саме собою згасало б, підтримується періодичними поштовхами, зумовленими самим коливанням маятника. При кожному поштовху батарея віддає порцію енергії, частина якої йде на підйом вантажу. Система сама керує силою, що діє на неї, і регулює надходження енергії з джерела - батареї. Коливання не згасають саме тому, що за кожен період від батареї відбирається якраз стільки енергії, скільки витрачається за той самий час на тертя та інші втрати. Що ж до періоду цих незагасаючих коливань, він практично збігається з періодом власних коливань вантажу на пружині, т. е. визначається жорсткістю пружини і масою вантажу.

Рис. 55. Автоколивання вантажу на пружині

Подібним чином виникають незатухаючі коливання молоточка в електричному дзвінку, з тією лише різницею, що в ньому періодичні поштовхи створюються окремим електромагнітом, що притягує якорь, укріплений на молоточці. Аналогічним шляхом можна отримати автоколивання зі звуковими частотами, наприклад, збудити коливання камертону, що незатухають (мал. 56). Коли ніжки камертону розходяться, замикається контакт 1; через обмотку електромагніта 2 проходить струм, і електромагніт стягує ніжки камертону. Контакт при цьому розмикається, і далі слідує повторення всього циклу.

Рис. 56. Автоколивання камертону

Надзвичайно істотна для виникнення коливань різниця фаз між коливанням та силою, яку воно регулює. Перенесемо контакт 1 із зовнішнього боку ніжки камертону на внутрішню. Замикання відбувається тепер при розбіжності, а при зближенні ніжок, т. е. момент включення електромагніта пересунутий на півперіоду проти попереднім досвідом. Легко бачити, що в цьому випадку камертон буде весь час стиснутий безперервно увімкненим електромагнітом, тобто коливання взагалі не виникнуть.

Електромеханічні автоколивальні системи застосовуються в техніці дуже широко, але не менш поширеними та важливими є і чисто механічні автоколивальні пристрої. Достатньо вказати на будь-який часовий механізм. Невигасні коливання маятника або балансира годинника підтримуються за рахунок потенційної енергії піднятої гирі або за рахунок пружної енергії заведеної пружини.

Малюнок 57 ілюструє принцип дії маятникового годинника Галілея - Гюйгенса (§ 11). На цьому малюнку зображено так званий анкерний хід. Колесо з косими зубами 1 (ходове колесо) жорстко скріплено із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюг з гирей 2. До маятника 3 прироблено поперечина 4 (анкер), на кінцях якої укріплені палетти 5 - пластинки, вигнуті по колу з центром на осі маятника 6. Анкер не дозволяє ходовому колесу вільно обертатися, а дає можливість провернутися тільки на один зуб за кожні півперіоду маятника. Але й ходове колесо діє при цьому на маятник, а саме, поки зуб ходового колеса стикається зі вигнутою поверхнею лівої або правої палетти, маятник не отримує поштовху і лише злегка гальмується через тертя. Але в ті моменти, коли зуб ходового колеса «чиркає» по торцю палетти, маятник отримує поштовх у напрямку руху. Таким чином, маятник робить незагасні коливання, тому що він сам у певних своїх положеннях дає можливість ходовому колесу підштовхнути себе у потрібному напрямку. Ці поштовхи і заповнюють витрати енергії на тертя. p align="justify"> Період коливань і в цьому випадку майже збігається з періодом власних коливань маятника, тобто залежить від його довжини.

Рис. 57. Схема годинникового механізму

Автоколиваннями є також коливання струни під дією смичка (на відміну від вільних коливань струни у рояля, арфи, гітари та інших струнних інструментів, що збуджуються одноразовим поштовхом або ривком); автоколиваннями є звучання духових музичних інструментів, рух поршня парової машини та багато інших періодичних процесів.

Характерна риса автоколивань полягає в тому, що їхня амплітуда визначається властивостями самої системи, а не початковим відхиленням або поштовхом, як у вільних коливань. Якщо, наприклад, маятник годинника відхилити занадто сильно, то втрати на тертя будуть більшими, ніж надходження енергії від заводного механізму, і амплітуда зменшуватиметься. Навпаки, якщо зменшити амплітуду, то надлишок енергії, що повідомляється маятнику ходовим колесом, змусить амплітуду зрости. Автоматично встановиться саме така амплітуда, за якої витрата та надходження енергії збалансовані.