Золотий переріз значення. Золотий перетин у дизайні
Кожна людина, що стикається з геометрією об'єктів у просторі, добре знайома з методом золотого перерізу. Його застосовують у мистецтві, дизайні інтер'єрів та архітектурі. Ще в минулому столітті золотий перетин виявився таким популярним, що тепер багато прихильників містичного бачення світу дали йому іншу назву – універсальне гармонійне правило. Особливості цього методу варто розглянути докладніше. Це допоможе дізнатися, чому він користується інтересом одразу в кількох сферах діяльності – мистецтві, архітектурі, дизайні.
Суть універсальної пропорції
Принцип золотого перерізу є лише залежністю чисел. Однак багато хто ставиться до нього упереджено, приписуючи цьому явищу якісь містичні сили. Причина у незвичайних властивостях правила:
- Багато живих об'єктів мають пропорції тулуба і кінцівок, наближених до показань золотого перерізу.
- Залежно 1,62 чи 0,63 визначають відносини розмірів лише живих істот. Об'єкти, які стосуються неживої природи, дуже рідко відповідають значенню гармонійного правила.
- Золоті пропорції будови тулуба живих істот є невід'ємною умовою виживання багатьох біологічних видів.
Золотий переріз можна знайти у будові тіл різних тварин, стовбурів дерев та коренів чагарників. Прихильники універсальності цього принципу намагаються довести, що його значення є життєво важливими для представників живого світу.
Можна пояснити метод золотого перерізу, використовуючи образ курячого яйця. Відношення відрізків від точок шкаралупи, однаково віддалених від центру тяжкості, дорівнює показнику золотого перерізу. Найважливішим для виживання птахів показником яйця є саме його форма, а чи не міцність шкаралупи.
Важливо! Золотий переріз розрахований на основі вимірів безлічі живих об'єктів.
Походження золотого перерізу
Про універсальне правило було відомо ще математикам Стародавню Грецію. Її використовував Піфагор та Евклід. У відомому архітектурному шедеврі - піраміді Хеопса відношення розмірів основної частини та довжини сторін, а також барельєфів та декоративних деталей відповідають гармонійному правилу.
Метод золотого перетину взяли на озброєння як архітектори, а й художники. Таємниця гармонійної пропорції вважалася однією з найбільших загадок.
Першим, який документально запевнив універсальну геометричну пропорцію, був чернець-францисканець Лука Пачолі. Його здібності до математики були блискучі. Широке визнання золотого перетину отримало після публікації результатів досліджень золотого перетину Цейзінгу. Він вивчав пропорції тіла людини, давні пам'ятки скульптури, рослини.
Як розрахували золотий перетин
Розібратися, що такий золотий перетин, допоможе пояснення, що ґрунтується на довжинах відрізків. Наприклад, всередині великого знаходиться кілька дрібних. Тоді довжини невеликих відрізків відносяться до загальної довжини великого відрізка як 0,62. Таке визначення допомагає розібратися, скільки частин можна розділити певну лінію, щоб вона відповідала гармонійному правилу. Ще один плюс використання цього методу – можна дізнатися, яким має бути відношення найбільшого відрізка до довжини всього об'єкта. Це співвідношення дорівнює 1,62.
Такі дані можна представити як пропорції вимірюваних об'єктів. Спочатку їх вишукували, підбираючи досвідченим шляхом. Однак тепер точні співвідношення відомі, тому побудувати об'єкт відповідно до них не складе труднощів. Золотий переріз знаходять такими шляхами:
- Побудувати прямокутний трикутник. Розбити одну з його сторін, а потім провести перпендикуляри із січними дугами. При проведенні обчислень слід від одного кінця відрізка побудувати перпендикуляр, що дорівнює ½ його довжини. Потім добудовують прямокутний трикутник. Якщо відзначити точку на гіпотенузі, яка покаже довжину перпендикулярного відрізка, то радіус, що дорівнює частині лінії, що залишилася, розсіче основу на дві половини. Лінії, що виходять, будуть співвідноситися один з одним відповідно до золотого перерізу.
- Універсальні геометричні значення набувають і іншим способом - вибудовуючи пентаграму Дюрера. Вона є зіркою, яка вміщена в коло. У ній знаходиться 4 відрізки, довжини яких відповідають правилу золотого перерізу.
- В архітектурі гармонійна пропорція застосовується у модифікованому вигляді. Для цього прямокутний трикутник слід розбивати з гіпотенузи.
Важливо! Якщо порівнювати з класичним поняттям методу золотого перерізу, то версія для архітекторів має співвідношення 44:56.
Якщо в традиційному тлумаченні гармонійного правила для графіки його розраховували як 37:63, то для архітектурних споруд частіше використовували 44:56. Це зумовлено необхідністю споруджувати висотні споруди.
Секрет золотого перерізу
Якщо у випадку з живими об'єктами золотий перетин, що проявляється в пропорціях тіла людей і тварин можна пояснити необхідністю пристосовуватися до середовища, то використання правил оптимальних пропорцій в 12 столітті для будівництва будинків було в новинку.
Парфенон, що зберігся з часів Стародавньої Греції, був зведений методом золотого перерізу. Безліч замків вельмож середньовіччя створювали з параметрами, що відповідають гармонійному правилу.
Золотий перетин в архітектурі
Безліч будівель давнини, які збереглися досі, є підтвердженням того, що архітектори з епохи середньовіччя були знайомі з гармонійним правилом. Дуже добре помітне прагнення дотриматися гармонійної пропорції при спорудженні церков, значних громадських будівель, резиденцій королівських осіб.
Наприклад, собор Паризької Богоматері зведений таким чином, що багато його ділянок співвідноситься з правилом золотого перерізу. Можна знайти чимало творів архітектури 18 століття, які були побудовані згідно з цим правилом. Правило застосовували і багато російських архітекторів. Серед них був і М. Козаков, який створював проекти садиб та житлових будівель. Він проектував будівлю сенату та Голицинську лікарню.
Звісно, будинки з таким ставленням частин зводили до відкриття правила золотого перерізу. Наприклад, до таких будівель належить церква Покрови на Нерлі. Краса будівлі набуває ще більшої загадковості, якщо врахувати, що будівлю покровської церкви було зведено у XVIII столітті. Однак сучасний вигляд споруда набула після реставрації.
У працях золотому перерізі згадується, що у архітектурі сприйняття об'єктів залежить від цього, хто спостерігає. Пропорції, утворені за допомогою золотого перерізу, дають максимально спокійне співвідношення частин будови один до одного.
Яскравим представником із низки будівель, відповідних універсальному правилу, є пам'ятка архітектури Парфенон, зведений ще п'ятому столітті до зв. е. Парфенон влаштований з вісьма колонами меншими фасадами і з сімнадцятьма - великими. Храм зведений із шляхетного мармуру. Завдяки цьому використання забарвлення обмежене. Висота будови відноситься до його довжини 0,618. Якщо розділити Парфенон за пропорціями золотого перерізу, вийдуть певні виступи фасаду.
Всі ці споруди мають одну подібність - гармонійність поєднання форм та відмінну якість будівництва. Це пояснюється використанням гармонійного правила.
Важливість золотого перерізу для людини
Архітектура стародавніх будівель та середньовічних будинків досить цікава і для дизайнерів сучасності. Це пояснюється такими причинами:
- Завдяки оригінальному оформленню будинків можна не допустити набридлих штампів. Кожна така будівля є архітектурним шедевром.
- Масове застосування правила для прикраси скульптур та статуй.
- Завдяки дотриманню гармонійних пропорцій, погляд притягується до більш важливих деталей.
Важливо! При створенні проекту будівництва та створення зовнішнього вигляду архітектори середньовіччя застосовували універсальні пропорції, спираючись на закономірності людського сприйняття.
Сьогодні психологи дійшли висновку, що принцип золотого перерізу — не що інше, як людська реакція на певне співвідношення розмірів та форм. В одному експерименті групі піддослідних запропонували зігнути паперовий лист таким чином, щоб сторони вийшли з оптимальними пропорціями. У 85 результатах зі 100 люди згинали лист практично у точній відповідності до гармонійного правила.
Як стверджують сучасні вчені, показники золотого перетину ставляться скоріше до сфери психології, ніж характеризують закономірності фізичного світу. Це пояснює, чому до нього проявляється такий інтерес із боку містифікаторів. Однак при побудові об'єктів згідно з цим правилом людина сприймає їх більш комфортно.
Використання золотого перерізу в дизайні
Принципи використання універсальної пропорції все частіше використовують у будівництві приватних будинків. Особлива увага приділяється дотриманню оптимальних пропорцій конструкції. Чимало уваги приділяють правильному розподілу уваги всередині будинку.
Сучасна інтерпретація золотого перерізу не стосується лише правил геометрії і форми. Сьогодні принципу гармонійних пропорцій підпорядковуються не тільки розміри деталей фасаду, площа кімнат або довжини фронтонів, але й палітра кольорів, що використовується при створенні інтер'єру.
Спорудити гармонійну будову на модульній основі набагато простіше. Багато відділень і приміщень у цьому випадку виконуються як окремі блоки. Вони проектуються у суворій відповідності до гармонійного правила. Звести будинок як набір окремих модулів, значно простіше, ніж створювати єдину коробку.
Багато фірм, що займаються спорудженням заміських будинків, при створенні проекту дотримуються гармонійного правила. Це дозволяє створити в клієнтів враження, що конструкція будівлі детально опрацьована. Такі будинки зазвичай описують, як найбільш гармонійні та комфортні у використанні. За оптимального вибору площ кімнат мешканці психологічно відчувають заспокоєння.
Якщо будинок зведений без урахування гармонійних пропорцій, можна створити планування, яке за співвідношенням розмірів стін наближено до показника 1:1,61. Для цього в кімнатах встановлюють додаткові перегородки або переставляють предмети меблів.
Аналогічно змінюють габарити дверей і вікон таким чином, щоб отвір мав ширину, показник якої менший за значення висоти в 1,61 раза.
Складніше підбирати колірні рішення. У цьому випадку можна дотримуватись спрощеного значення золотого перерізу - 2/3. Основним колірним тлом слід зайняти 60% простору кімнати. Відтінок, що відтіняє, займає 30% приміщення. Площа поверхонь, що залишилася, зафарбовується близькими один до одного тонами, що підсилюють сприйняття обраного кольору.
Внутрішні стіни кімнат ділять горизонтальною смугою. Її розташовують за 70 см від підлоги. Висота меблів повинна знаходитись у гармонійному співвідношенні з висотою стін. Це стосується і розподілу довжин. Наприклад, диван повинен мати габарити, які виявилися б не менше 2/3 довжини простінка. Площа приміщення, яка зайнята предметами меблів, також повинна мати певне значення. Вона відноситься до загальної площі всього приміщення як 1:1,61.
Золота пропорція складно застосовується практично з огляду на наявність лише однієї числа. Саме тому. Проектую гармонійні будови, які користуються рядом чисел Фібоначчі. Завдяки цьому забезпечується різноманітність варіантів форм та пропорцій деталей будови. Ряд чисел Фібоначчі також зветься золотим. Усі значення суворо відповідають певній математичній залежності.
Крім ряду Фібоначчі, у сучасній архітектурі застосовують і інший метод проектування – принцип, закладений французьким архітектором Ле Корбюзьє. При виборі цього відправної одиницею виміру виступає зростання власника будинку. Виходячи з цього показника розраховують розміри будівлі та внутрішніх приміщень. Завдяки цьому підходу будинок виходить не тільки гармонійним, а й набуває індивідуальності.
Будь-який інтер'єр набуде більш завершеного вигляду, якщо в ньому використовувати карнизи. При використанні універсальних пропорцій можна визначити його розмір. Оптимальними показниками є 22,5, 14 та 8,5 см. Встановлювати карниз слід за правилами золотого перерізу. Маленька сторона декоративного елемента повинна ставитись до більшої так, як відноситься до складених значень двох сторін. Якщо велика сторона дорівнюватиме 14 см, то маленьку варто зробити 8,5 см.
Надати приміщенню затишку можна шляхом поділу стінових поверхонь за допомогою гіпсових дзеркал. Якщо стіна поділена бордюром, від більшої частини стіни, що залишилася, слід відібрати висоту карнизної планки. Для створення дзеркала оптимальної довжини від бордюру та карниза слід відступити однакову відстань.
Висновок
Будинки, збудовані за принципом золотого перерізу, справді виходять дуже зручними. Однак ціна будівництва таких будівель досить висока, оскільки вартість будматеріалів через нетипові розміри збільшується на 70%. Цей підхід не новий, оскільки більшість будинків минулого століття створювали виходячи з параметрів господарів.
Завдяки використанню методу золотого перерізу у будівництві та дизайні будівлі виходять не лише комфортабельними, а й довговічними. Вони виглядають гармонійно та привабливо. Інтер'єр теж оформлюють за універсальною пропорцією. Це дозволяє грамотно використати простір.
У таких кімнатах людина почувається максимально комфортно. Спорудити будинок з використанням принципу золотого перерізу можна самостійно. Головне - розрахувати навантаження на елементи будови та правильно вибрати матеріали.
Метод золотого перерізу використовують у дизайні інтер'єру, розміщуючи у кімнаті декоративні елементи певних розмірів. Це дозволяє надати приміщенню затишку. Колірні рішення теж вибирають відповідно до універсальних гармонійних пропорцій.
Цікаві факти про "золотий перетин"
Золотий переріз – це універсальний прояв структурної гармонії. Воно зустрічається в природі, науці, мистецтві - у всьому, з чим може зіткнутися людина. Якось познайомившись із золотим правилом, людство більше йому не змінювало.
Визначення
Найбільш ємне визначення золотого перерізу говорить, що менша частина відноситься до більшої, як більша до всього цілого. Приблизна його величина - 1,6180339887. У заокругленому відсотковому значенні пропорції частин цілого співвідноситимуться як 62% на 38%. Це співвідношення діє у формах простору та часу.
Давні бачили в золотому перерізі відбиток космічного порядку, а Йоган Кеплер називав його одним із скарбів геометрії. Сучасна наука розглядає золотий перетин як «асиметричну симетрію», називаючи його в широкому значенні універсальним правилом, що відображає структуру і порядок нашого світоустрою.
Історія
Уявлення про золоті пропорції мали стародавні єгиптяни, знали про них і на Русі, але вперше науково золотий перетин пояснив чернець Лука Пачолі у книзі «Божественна пропорція» (1509), ілюстрації до якої, ймовірно, зробив Леонардо да Вінчі. Пачолі вбачав у золотому перерізі божественне триєдність: малий відрізок уособлював Сина, великий - Отця, а ціле - Святий дух.
Безпосереднім чином із правилом золотого перерізу пов'язане ім'я італійського математика Леонардо Фібоначчі. В результаті вирішення одного із завдань вчений вийшов на послідовність чисел, відому зараз як ряд Фібоначчі: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. На відношення цієї послідовності до золотої пропорції звернув увагу Кеплер: «Влаштована вона так, що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ». Нині ряд Фібоначчі – це арифметична основа для розрахунків пропорцій золотого перерізу у всіх його проявах.
Леонардо да Вінчі також багато часу присвятив вивченню особливостей золотого перерізу, швидше за все, саме йому належить і сам термін. Його малюнки стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, доводять, що кожен із отриманих при перерізі прямокутників дає співвідношення сторін у золотому розподілі.
Згодом правило золотого перерізу перетворилося на академічну рутину, і лише філософ Адольф Цейзінг у 1855 році повернув йому друге життя. Він довів до абсолюту пропорції золотого перерізу, зробивши їх універсальними всім явищ навколишнього світу. Втім, його «математичне естетство» викликало багато критики.
Природа
Навіть не вдаючись у розрахунки, золотий перетин можна легко виявити в природі. Так, під нього потрапляють співвідношення хвоста і тіла ящірки, відстані між листям на гілці, є золотий переріз і у формі яйця, якщо умовну лінію провести через його ширшу частину.
Білоруський вчений Едуард Сороко, який вивчав форми золотих поділів у природі, зазначав, що все зростаюче і прагне зайняти своє місце у просторі, наділене пропорціями золотого перетину. На його думку, одна з найцікавіших форм – це закручування по спіралі.
Ще Архімед, приділяючи увагу спіралі, вивів на основі її форми рівняння, яке і зараз застосовується у техніці. Пізніше Гете відзначав тяжіння природи до спіральних форм, називаючи спіраль "кривої життя". Сучасними вченими було встановлено, що такі прояви спіральних форм у природі як раковина равлика, розташування насіння соняшника, візерунки павутиння, рух урагану, будова ДНК і навіть структура галактик містять у собі ряд Фібоначчі.
Людина
Модельєри та дизайнери одягу всі розрахунки роблять, виходячи із пропорцій золотого перетину. Людина – це універсальна форма для перевірки законів золотого перетину. Звичайно, від природи далеко не у всіх людей пропорції ідеальні, що створює певні складнощі з підбором одягу.
У щоденнику Леонардо да Вінчі є малюнок вписаної в коло оголеної людини, яка перебуває у двох накладених одна на одну позиціях. Спираючись на дослідження римського архітектора Вітрувія, Леонардо так само намагався встановити пропорції людського тіла. Пізніше французький архітектор Ле Корбюзьє, використовуючи «Вітрувіанську людину» Леонардо, створив власну шкалу «гармонічних пропорцій», що вплинула на естетику архітектури XX століття.
Адольф Цейзинг, досліджуючи пропорційність людини, зробив колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл, а також безліч античних статуй і вивів, що золотий перетин виражає середньостатистичний закон. У людині йому підпорядковані майже всі частини тіла, але головний показник золотого перерізу це поділ тіла крапкою пупа.
В результаті вимірів дослідник встановив, що пропорції чоловічого тіла 13:8 ближчі до золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла - 8:5.
Мистецтво просторових форм
Художник Василь Суриков говорив, «що у композиції є незаперечний закон, коли у картині не можна нічого прибрати, ні додати, навіть зайву точку поставити не можна, це справжня математика». Довгий час митці слідчі цього закону інтуїтивно, але після Леонардо да Вінчі процес створення мальовничого полотна не обходиться без вирішення геометричних завдань. Наприклад, Альбрехт Дюрер для визначення точок золотого перерізу використовував винайдений пропорційний циркуль.
Мистецтвознавець Ф. В. Ковальов, докладно дослідивши картину Миколи Ге «Олександр Сергійович Пушкін у селі Михайлівському», зазначає, що кожна деталь полотна чи камін, етажерка, крісло чи сам поет суворо вписані в золоті пропорції.
Дослідники золотого перерізу невтомно вивчають і заміряють шедеври архітектури, стверджуючи, що вони стали такими, тому що створені за золотими канонами: у їхньому списку Великі піраміди Гізи, Собор Паризької Богоматері, Храм Василя Блаженного, Парфенон.
І сьогодні у будь-якому мистецтві просторових форм намагаються дотримуватися пропорцій золотого перерізу, оскільки вони, на думку мистецтвознавців, полегшують сприйняття твору та формують у глядача естетичне відчуття.
Слово, звук та кінострічка
Форми тимчасового мистецтва по-своєму демонструють нам принцип золотого поділу. Літературознавці, наприклад, звернули увагу, що найпопулярніша кількість рядків у віршах пізнього періоду творчості Пушкіна відповідає ряду Фібоначчі - 5, 8, 13, 21, 34.
Діє правило золотого перерізу й у окремо взятих творах російського класика. Так кульмінаційним моментом «Пікової дами» є драматична сцена Германа та графині, що закінчується смертю останньої. У повісті 853 рядки, а кульмінація посідає 535 рядку (853:535=1,6) - це і є точка золотого перерізу.
Радянський музикознавець Еге. К. Розенов зазначає разючу точність співвідношень золотого перетину у суворих і вільних формах творів Йоганна Себастьяна Баха, що відповідає вдумливому, зосередженому, технічно вивіреному стилю майстра. Це справедливо і щодо видатних творів інших композиторів, де на точку золотого перерізу зазвичай припадає найяскравіший чи несподіване музичне рішення.
Кінорежисер Сергій Ейзенштейн сценарій свого фільму «Броненосець Потьомкін» свідомо узгоджував із правилом золотого перетину, розділивши стрічку на п'ять частин. У перших трьох розділах дія розгортається кораблем, а останніх двох - в Одесі. Перехід на сцени у місті і є золота середина фільму.
Тарас Рєпін
ЗОЛОТИЙ ПЕРЕТИН
1. Вступ 2 . Золотий перетин – гармонійна пропорція
3
. Другий золотий перетин
4 . Зо лотом трикутник (пентаграма)
5
.
Історія золотого перерізу
6
. Золотий переріз та симетрія 7 . Ряд Фібоначчі 8 . Узагальнений золотий переріз
9
. Принципи формування у природі
1
0
. Тіло людини та золотий перетин
1
1
. Золотий перетин у скульптурі
1
2
. Золотий перетин в архітектурі
1
3
. Золотий перетин у музиці
1
4
. Золотий перетин у поезії
1
5
. Золотий переріз у шрифтах та побутових предметах
1
6
. Оптимальні фізичні параметри зовнішнього середовища
1
7
. Золотий перетин у живописі
1
8
.
Золотий перетин та сприйняття зображення
19.
Золотий перетин у фотографіях
2
0
. Золотий перетин та космос 2 1 . Висновок 2 2 . Список використаної літератури
ВСТУП
Людей з давніх-давен хвилювало питання, чи підпорядковуються такі невловимі речі як краса і гармонія, будь-яким математичним розрахункам..
Звичайно, всі закони краси неможливо вмістити в кілька формул, але, вивчаючи математику, ми можемо відкрити деякі складові прекрасного- Золотий перетин.
Наше завдання дізнатися, що ж такий золотий перетин і встановити де людство знайшло застосування золотого перерізу. Ви, напевно, звертали увагу, що ми неоднаково ставимося до предметів та явищ навколишньої дійсності. Безладність, безформність, непомірність сприймаються нами як потворне і справляють відразливе враження. А предмети та явища, яким властива міра, доцільність та гармонія сприймаються як гарне і викликають у нас почуття захоплення, радості, піднімають настрій.
Людина у своїй діяльності постійно стикається з предметами, які використовують у своїй основі золотий перетин.Є речі, які не можна пояснити. Ось ви підходите до порожньої лавки і сідайте на неї. Де ви сядете – посередині? Чи, може, з самого краю? Ні, швидше за все, не те й інше. Ви сядете так, що відношення однієї частини лави до іншої, щодо вашого тіла, дорівнюватиме приблизно 1,62. Проста річ, абсолютно інстинктивна... Сідаючи на лаву, ви зробили "золотий перетин". Про золотий перетин знали ще у стародавньому Єгипті та Вавилоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть "золотого перетину". Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій – свої безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт влаштований згідно з "золотим перерізом". А Арістотель знайшов відповідність "золотого перерізу" етичному закону. Вищу гармонію "золотого перетину" проповідуватимуть Леонардо да Вінчі та Мікеланджело, адже краса та "золотий перетин" - це те саме. А християнські містики малюватимуть на стінах своїх монастирів пентаграми "золотого перетину", рятуючись від Диявола. При цьому вчені - від Пачол і до Ейнштейна будуть шукати, але так і не знайдуть його точного значення. Нескінченний ряд після коми - 1,6180339887... Дивна, загадкова, незрозуміла річ: ця божественна пропорція містичним чином супроводжує все живе. Нежива природа не знає, що таке "золотий перетин". Але ви неодмінно побачите цю пропорцію і у вигинах морських раковин, і у формі квітів, і у вигляді жуків, і в красивому тілі людини. Все живе і все гарне - все підкоряється божественному закону, ім'я якому - "золотий перетин". То що таке "золотий перетин"?.. Що це за ідеальне, божественне поєднання? Можливо, це закон краси? Чи все-таки він – містична таємниця? Науковий феномен чи етичний принцип? Відповідь невідома досі. Точніше – ні, відомий. "Золотий перетин" - це і той, і другий, і третій. Тільки не окремо, а водночас... І в цьому його справжня загадка, його велика таємниця.
Напевно, важко знайти надійний захід для об'єктивної оцінки краси, і однією логікою тут не обійдешся. Однак тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси був сенс життя, хто зробив це своєю професією. Це насамперед люди мистецтва, як ми їх називаємо: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це люди точних наук, - передусім, математики.
Довіряючи оку більше, ніж іншим органам почуттів, людина в першу чергу вчився розрізняти предмети, що його оточують, за формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого.Принцип золотого перерізу - найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.
ЗОЛОТО ПЕРЕКЛА - ГАРМОНІЧНА ПРОПОРЦІЯ
У математиці пропорцією називають рівність двох відносин: a: b = c: d.
Відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини такими способами:
--
на дві рівні частини – АВ: АС = АВ: ВС;
--
на дві нерівні частини у будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);
--
таким чином, коли АВ: АС = АС: НД.
Останній і є золотий поділ.
Золотий переріз - це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього
a: b = b: c або c: b = b: а.
Практичне знайомство із золотим перерізом починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки.
З точки В відставляється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка С з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок НД, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е поділяє відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним дробом AE = 0,618... якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більшість відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам.
Властивості золотого перерізу описуються рівнянням: x2 – x – 1 = 0. Розв'язання цього рівняння:
 |
ДРУГЕ ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ Болгарський журнал "Батьківщина" опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця "Про другий золотий перетин", який випливає з основного перерізу і дає інше відношення 44:56. Таку пропорцію виявлено в архітектурі. Розподіл здійснюється наступним чином. Відрізок АВ ділиться у пропорції золотого перерізу. З точки С відставляється перпендикуляр CD. Радіусом АВ знаходиться точка D, яка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. З точки проводиться лінія до перетину з лінією AD. Точка Е поділяє відрізок AD щодо 56: 44. На малюнку показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника. ЗОЛОТИЙ ТРИКУТНИК Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного і низхідного рядів можна скористатися пентаграмою. Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер. Нехай O – центр кола, A – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, відновлений у точці О, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією. Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36 при вершині, а основа, відкладена на бічну сторону, ділить її в пропорції золотого перерізу. Проводимо пряму АВ. Від точки А відкладаємо на ній три рази відрізок Про довільну величину, через отриману точку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі праворуч і ліворуч від точки Р відкладаємо відрізки О. Отримані точки d і d1 з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd1 відкладаємо лінію Ad1, отримуючи точку С. Вона розділила лінію Ad1 у пропорції золотого перерізу. Лініями Ad1 та dd1 користуються для побудови "золотого" прямокутника. ІСТОРІЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕЧЕННЯ
Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик. Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їхнього створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу. Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників. Платон також знав про золотий поділ. Піфагорієць Тимей в однойменному діалозі Платона каже: "Неможливо, щоб дві речі досконало з'єдналися без третьої, оскільки між ними повинна з'явитися річ, яка б скріплювала їх. Це найкращим чином може виконати пропорція, бо якщо три числа мають ту властивість, що середня так відноситься до меншого, як більше до середнього, і, навпаки, менше так відноситься до середнього, як середнє до більшого, то останнє і перше буде середнім, а середнє - першим і останнім.Таким чином, все необхідне буде тим самим, а оскільки воно буде тим самим, воно складе ціле ". Земний світ Платон будує, використовуючи трикутники двох сортів: рівностегнові та нерівностегнові. Прекрасним прямокутним трикутником він вважає такий, у якому гіпотенуза вдвічі більша від меншого з катетів (такий прямокутник є половиною рівностороннього, основної фігури вавилонян, у ньому виступає відношення 1:3 1/2 , Відмінне від золотого перерізу приблизно на 1/25, і зване Тімердінг "суперником золотого перерізу"). За допомогою трикутників Платон будує чотири правильні багатогранники, асоціюючи їх із чотирма земними елементами (землею, водою, повітрям та вогнем). І лише останній із п'яти існуючих правильних багатогранників - додекаедр, усіма дванадцятьма гранями якого служать правильні п'ятикутники, претендує на символічне зображення небесного світу.
Ікосаедр та додекаедр Честь відкриття додекаедра (чи, як належало, самого Всесвіту, цієї квінтесенції чотирьох стихій, символізованих, відповідно, тетраедром, октаедром, ікосаедром і кубом) належить Гіппасу, який згодом загинув при аварії корабля. У цій фігурі справді відбито безліч відносин золотого перетину, тому останньому відводилася головна роль у небесному світі, на чому згодом і наполягав брат мінорит Лука Пачолі. У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу. У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в "Початках" Евкліда. У 2-й книзі "Початок" дається геометрична побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (ІІІ ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим. У середні віки пентаграма зазнала демонізації (як, втім, і багато що вважалося божественним в античному язичництві) і знайшла притулок в окультних науках. Проте Відродження знову виносить світ і пентаграму, і золотий перетин. Так, широке ходіння в той період утвердження гуманізму набула схема, що описує будову людського тіла: До такої картинки, що по суті відтворює пентаграму, неодноразово вдавався і Леонардо да Вінчі. Її інтерпретація: тіло людини має божественну досконалість, бо закладені в ньому пропорції - такі ж, як у головній небесній фігурі. Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу у живописі". Його вважають творцем нарисної геометрії.
Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Про божественну пропорцію" (De divina proportione, 1497, вид. у Венеції в 1509 р.) з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Він. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Така пропорція лише одна, а єдиність – найвища властивість Бога. У ній втілено святу триєдність. Ця пропорція не може бути виражена доступним числом, залишається прихованою та таємною і самими математиками називається ірраціональною (так і Бог не може бути визначений, ані роз'яснений словами). Бог ніколи не змінюється і представляє все у всьому і все в кожній своїй частині, так і золотий перетин для будь-якої безперервної і певної величини (незалежно від того, велика вона чи мала) одне й те саме, не може бути змінено, ні з іншого сприйнято розумом. Бог викликав до буття небесну чесноту, інакше звану п'ятою субстанцією, з її допомогою і чотири інші прості тіла (чотири стихії - землю, воду, повітря, вогонь), а на їх основі викликав до буття будь-яку іншу річ у природі; так і наша священна пропорція, згідно з Платоном у "Тимеї", дає формальне буття самому небу, бо йому приписується вид тіла, званого додекаедром, який неможливо побудувати без золотого перетину. Такими є аргументи Пачолі.
Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше. У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я і намірився зробити". Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер детально розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину особи - ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера. Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу до значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та його будова). Кеплер називав золоту пропорцію, що продовжує саму себе "Влаштована вона так, - писав він, - що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності". Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд). Якщо на прямій довільній довжині, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби "разом із водою виплеснули і дитину". Знову "відкрито" золотий перетин був у середині ХІХ ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю "Естетичні дослідження". З Цейзинг сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва. Цейзінг мав численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції "математичної естетикою". Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла точкою пупу - найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виражається у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо. Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш детально він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до безкінечності в один і інший бік. Наступна його книга мала назву "Золотий поділ як основний морфологічний закон у природі та мистецтві". У 1876 р. у Росії було видано невелику книжку, майже брошуру, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано жодного твору живопису. Наприкінці XIX – на початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичної теорії про застосування золотого перерізу у витворах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо. ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ І СИМЕТРІЯ Золотий переріз не можна розглядати саме собою, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії. Золотий поділ не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії Згідно з сучасними уявленнями золотий поділ - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію увійшли такі поняття, як статична та динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а мистецтво характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичній симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду. РЯД ФІБОН АЧ Ч І
З історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, відомого під ім'ям Фібоначчі. Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з арабськими цифрами. У 1202 вийшов у світ його математична праця "Книга про абак" (рахункової дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний поділ відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього. Як показано на нижньому малюнку, довжина кожного суглоба пальця співвідноситься з довжиною наступного суглоба по пропорції Ф. Таке співвідношення проявляється у всіх пальцях рук і ніг. Цей зв'язок якось незвичайний, тому що один палець довший за інший без усякої видимої закономірності, але це все не випадково - як не випадково все в тілі людини. Відстань на пальцях, відмічені від А до У до З до D до Е всі співвідносяться один з одним за пропорцією Ф, так само як і фаланги пальців від F до G до H.
Погляньте на цей скелет жаби і подивіться, як кожна кісточка відповідає моделі пропорції Ф так само, як і в тілі людини
УЗАГАЛЬНЕ ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич із використанням чисел Фібоначчі вирішує 10- ю проблему Гільберта. Виникають методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал. Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий їм же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, на перший погляд, зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Чи не можна знайти загальну математичну формулу, з якої виходять і " двійковий ряд, і ряд Фібоначчі? А може, ця формула дасть нам нові числові множини, які мають якісь нові унікальні властивості? Справді, задамося числовим параметром S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n член цього ряду ми позначимо через? S (n), чи отримаємо загальну формулу? S(n) = ? S (n - 1) +? S (n – S – 1). Очевидно, що за S = 0 з цієї формули ми отримаємо "двійковий" ряд, за S = 1 - ряд Фібоначчі, за S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі. У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивним коренем рівняння золотого S-перетину x S+1 – x S – 1 = 0. Неважко показати, що при S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = 1 - знайомий класичний золотий переріз. Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-пропорціями! Математики у разі говорять, що золоті S-перетину є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі. Факти, що підтверджують існування золотих S-січень у природі, наводить білоруський учений Е.М. Сороко у книзі "Структурна гармонія систем" (Мінськ, "Наука та техніка", 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво виражені функціональні властивості (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення тощо) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золоті S-пропорції. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізуються. За допомогою кодів золотої S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій із цілими коефіцієнтами. Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що є золотими S-пропорціями, при S > 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять "з голови на ноги" ієрархію відносин, що історично склалася, між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були "відкриті" числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятирічній, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідну першооснову було обрано натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа. Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснова, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перерізу); через нього вже виражаються інші дійсні числа. У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-якої із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому "ірраціональна" арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою і витонченістю, ніби увібрала в себе найкращі якості класичної двійкової та "Фібоначчієвої" арифметик. ПРИНЦИПИ ФОРМОУТВОРЕННЯ У ПРИРОДІ Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення переважно у двох варіантах - зростання вгору чи розстилання поверхні землі і закручування по спіралі. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль. Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці. Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно.
Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшнику, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується буревій. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя". Золота спіраль тісно пов'язана з циклами. Сучасна наука про хаос вивчає прості циклічні операції із зворотним зв'язком та породжені ними фрактальні форми, невідомі раніше. Малюнок 6 показує відомий ряд Мандельброта - сторінку зі словника нескінченності індивідуальних патернів, які називають юліанськими рядами. Деякі вчені пов'язують ряд Мандельброта з генетичним кодом клітинних ядер. Послідовне збільшення перерізів розкриває дивовижні за своєю художньою складністю фрактали. І тут теж є логарифмічні спіралі! Це особливо важливо, що й ряд Мандельброта, і юліанські ряди є винаходом людського розуму. Вони виникають в галузі первообразів Платона. Як сказав лікар Р.Пенроуз, "вони подібні до гори Еверест".а спіраль тісно пов'язана з циклами. Сучасна наука про хаос вивчає прості циклічні операції із зворотним зв'язком та породжені ними фрактальні
Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.
 |
| Рис. . Цикорій |
У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.
 |
| Рис. . Ящірка живородна |
Такі форми пташиних яєць не є випадковими, оскільки в даний час встановлено, що формі яєць, що описуються ставленням золотого перерізу, відповідають більш високі характеристики міцності оболонки яйця.
 |
| Рис. . Яйце птиці |
Однак сніжинки, що також є водними кристалами, цілком доступні нашому погляду.
Усі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури у сніжинках також завжди без винятків побудовані за досконалою чіткою формулою золотого перерізу.
У мікросвіті тривимірні логарифмічні форми, побудовані золотими пропорціями, поширені повсюдно. Наприклад, багато вірусів мають тривимірну геометричну форму ікосаедра. Мабуть, найвідоміший із таких вірусів - вірус Адено. Білкова оболонка вірусу Адено формується з 252 одиниць білкових клітин, розташованих у певній послідовності. У кожному куті ікосаедра розташовані по 12 одиниць білкових клітин у формі п'ятикутної призми і з цих кутів простягаються шипоподібні структури.
 |
| Вірус Адено |
Коментар Клюга ще раз нагадує про гранично очевидну істину: у будові навіть мікроскопічного організму, який вчені класифікують як "найпримітивнішу форму життя", в даному випадку у вірусі, присутній чіткий задум і здійснений розумний проект 16. Цей проект не можна порівняти за своєю досконалістю та точністю виконання з найпередовішими архітектурними проектами, створеними людьми. Наприклад, проектами, створеними геніальним архітектором Букмінстером Фуллером. Тривимірні моделі додекаедра та ікосаедра присутні також і в будові скелетів одноклітинних морських мікроорганізмів радіолярій (променевиків), скелет яких створений з кремнезему. Радіолярії формують своє тіло дуже вишуканої, незвичайної краси. Форма їх становить правильний додекаедр. Причому з кожного його кута проростає псевдоподовження-кінцевість та інші незвичайні форми-нарости. Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він ввів у науковий ужиток термін морфологія. П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища. Закономірності "золотої" симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття. ТІЛО ЛЮДИНИ І ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ Усі кістки людини витримані у пропорції золотого перерізу.
Пропорції різних частин нашого тіла становлять число дуже близьке до золотого перерізу. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність чи тіло людини вважають ідеально складеними.
Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентне числу 1.618.
Відстань від рівня плеча до верхівки голови та розміру голови дорівнює 1:1.618
Відстань від точки пупа до верхівки голови і від рівня плеча до верхівки голови дорівнює 1:1.618
Відстань точки пупа до колін і від колін до ступнів дорівнює 1:1.618
Відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів дорівнює 1:1.618
Власне, точна наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського погляду.
Відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки дорівнює 1:1.618
Висота обличчя/ширина обличчя
Центральна точка з'єднання губ до основи носа/довжина носа.
Висота обличчя / відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ
Ширина рота / ширина носа
Ширина носа / відстань між ніздрями
Відстань між зіницями / відстань між бровами Достатньо лише наблизити зараз долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перерізу.
Кожен палець нашої руки складається з трьох фаланг. Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця).
Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнюєчислу золотого перерізуЛюдина має 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двофалангових великих пальців лише 8 пальців створено за принципом золотого перерізу. Тоді як усі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числами послідовності Фібоначчі.
Також слід зазначити той факт, що у більшості людей відстань між кінцями розставлених рук дорівнює зростанню. Істини золотого перетину всередині нас і в нашомупросторі
Особливість бронхів, що становлять легені людини, полягає в їхній асиметричності. Бронхи складаються з двох основних дихальних шляхів, один з яких (лівий) довший, а інший (правий) коротший.
Було встановлено, що ця асиметричність продовжується і у відгалуженнях бронхів, у всіх дрібніших дихальних шляхах.
Причому співвідношення довжини коротких і довгих бронхів також становить золотий переріз і 1:1,618.
У внутрішньому вусі людини є орган Cochlea ("Равлик"), який виконує функцію передачі звукової вібрації. Ця кістковоподібна структура наповнена рідиною і також створена у формі равлика, що містить у собі стабільну логарифмічну форму спіралі = 73? 43". Тиск крові змінюється у процесі роботи серця. Найбільшої величини воно досягає у лівому шлуночку серця в момент його стиснення (систоли). В артеріях під час систоли шлуночків серця кров'яний тиск досягає максимальної величини, що дорівнює 115-125 мм ртутного стовпця у молодої, здорової людини. У момент розслаблення серцевого м'яза (діастола) тиск зменшується до 70-80 мм рт. Відношення максимального (систолічного) до мінімального (діастолічного) тиску дорівнює в середньому 16, тобто близько до золотої пропорції.Якщо взяти за одиницю середній тиск крові в аорті, то систолічний тиск крові в аорті становить 0,382, а діастолічний – 0,618, тобто їхнє відношення відповідає золотій пропорції. Це означає, що робота серця щодо тимчасових циклів та зміни тиску крові оптимізовані за одним і тим же принципом – законом золотої пропорції.
Молекула ДНК і двох вертикально переплетених між собою спіралей. Довжина кожної з цих спіралей становить 34 ангстреми, ширина 21 ангстреми. (1 ангстрем – одна стомільйонна частка сантиметра). будова ділянки спіралі молекули ДНК
Так ось 21 і 34 - це цифри, що йдуть один за одним у послідовності чисел Фібоначчі, тобто співвідношення довжини та ширини логарифмічної спіралі молекули ДНК несе в собі формулу золотого перерізу 1:1,618
|
ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ У СКУЛЬПТУРІ
Скульптурні споруди, пам'ятники споруджуються, щоб увічнити знаменні події, зберегти в пам'яті нащадків імена уславлених людей, їхні подвиги та діяння. Відомо, що у давнину основу скульптури становила теорія пропорцій. Відносини частин людського тіла пов'язувалися з формулою золотого перетину. Пропорції "золотого перерізу" створюють враження гармонії краси, тому скульптори використовували їх у своїх творах. Скульптори стверджують, що талія ділить досконале людське тіло щодо "золотого перетину". Так, наприклад, знаменита статуя Аполлона Бельведерського складається з частин, що діляться із золотих відносин. Великий давньогрецький скульптор Фідій часто використовував "золотий перетин" у своїх творах. Найзнаменитішими з них були статуя Зевса Олімпійського (яка вважалася одним із чудес світу) та Афіни Парфенос.  Відома золота пропорція статуї Аполлона Бельведерського: зростання зображеної людини ділиться пупковою лінією у золотому перерізі.  |
ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В АРХІТЕКТУРІ
У книгах про "золотий перетин" можна знайти зауваження про те, що в архітектурі, як і в живописі, все залежить від положення спостерігача, і що, якщо деякі пропорції в будівлі з одного боку здаються такими, що утворюють "золотий перетин", то з інших точок зору вони виглядатимуть інакше. "Золоте перетин" дає найбільш спокійне співвідношення розмірів тих чи інших довжин.
Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.).
  На малюнках видно низку закономірностей, пов'язаних із золотим перетином. Пропорції будівлі можна виразити через різні ступені числа Ф = 0,618. Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгих. виступи зроблені цілком із квадратів пентилейського мармуру. Шляхетність матеріалу, з якого побудований храм, дозволило обмежити застосування звичайної в грецькій архітектурі розмальовки, вона лише підкреслює деталі та утворює кольоровий фон (синій та червоний) для скульптури. Відношення висоти будівлі до її довжини дорівнює 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенону за "золотим перерізом", то отримаємо ті чи інші виступи фасаду. На плані статі Парфенона можна помітити " золоті прямокутники " :  Золоте співвідношення ми можемо побачити і в будівлі собору Паризької Богоматері (Нотр-Дам де Парі), і в піраміді Хеопса:   Не тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу; те саме явище виявлено і в мексиканських пірамід. Довгий час вважали, що архітектори Стародавньої Русі будували все "на око", без особливих математичних розрахунків. Проте нові дослідження показали, що російські архітектори добре знали математичні пропорції, що свідчить аналіз геометрії древніх храмів. Відомий російський архітектор М. Казаков у творчості широко використовував " золотий перетин " . Його талант був багатогранним, але більшою мірою він розкрився у численних здійснених проектах житлових будинків та садиб. Наприклад, "золотий перетин" можна знайти в архітектурі будівлі сенату в Кремлі. За проектом М. Казакова в Москві було збудовано Голіцинську лікарню, яка нині називається Першою клінічною лікарнею імені М.І. Пирогова (Ленінський проспект, буд.  Петровський палац у Москві. Побудований за проектом М.Ф. Козакова.  Ще один архітектурний шедевр Москви – будинок Пашкова – є одним із найбільш досконалих творів архітектури В. Баженова.  Прекрасне творіння У. Баженова міцно увійшло ансамбль центру сучасної Москви, збагатило його. Зовнішній вигляд будинку зберігся майже без змін до наших днів, незважаючи на те, що він сильно обгорів у 1812 році. При відновленні будівля набула більш масивних форм. Не збереглося і внутрішнє планування будівлі, про яке дають уявлення лише креслення нижнього поверху. Багато висловлювань архітектора заслуговують на увагу і в наші дні. Про своє улюблене мистецтво В. Баженов говорив: "Архітектура - найголовніші має три предмети: красу, спокійність і міцність будівлі... До досягнення цього служить керівництвом знання пропорції, перспектива, механіка або взагалі фізика, а всім спільним вождем є розум". |
Будь-який музичний твір має тимчасове протягом і ділиться деякими " естетичними віхами " деякі частини, які звертають він увагу і полегшують сприйняття загалом. Цими віхами можуть бути динамічні та інтонаційні кульмінаційні пункти музичного твору. Окремі часові інтервали музичного твору, що з'єднуються "кульмінаційною подією", зазвичай перебувають у співвідношенні Золотого перетину.
Ще в 1925 році мистецтвознавець Л.Л. золотого перерізу. Причому, чим талановитіший композитор, тим більше його творів знайдено золотих перерізів. На думку Сабанєєва, золотий перетин призводить до враження особливої стрункості музичного твору. Цей результат Сабанєєв перевірив на всіх 27 етюдах Шопена. Він виявив у них 178 золотих перерізів. При цьому виявилося, що не лише великі частини етюдів діляться за тривалістю щодо золотого перерізу, але й частини етюдів усередині часто діляться у такому ж відношенні.
Композитор і вчений М.А.Марутаєв підрахував кількість тактів у знаменитій сонаті "Апасіоната" і знайшов низку цікавих числових співвідношень. Зокрема, у розробці - центральній структурній одиниці сонати, де інтенсивно розвиваються теми та змінюють одна одну тональності, - два основні розділи. У першому 43,25 такту, у другому – 26,75. Відношення 43,25: 26,75 = 0,618: 0,382 = 1,618 дає золотий перетин.
Найбільша кількість творів, у яких є Золотий перетин, у Аренського (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%)
Якщо музика – гармонійне впорядкування звуків, то поезія – гармонійне впорядкування мови. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Золотий перетин у поезії насамперед проявляється як наявність певного моменту вірша (кульмінації, смислового перелому, головної думки твору) у рядку, що припадає на точку поділу загальної кількості рядків вірша у золотій пропорції. Так, якщо вірш містить 100 рядків, то перша точка Золотого перерізу припадає на 62-й рядок (62%), друга - на 38-й (38%) і т.д. Твори Олександра Сергійовича Пушкіна, і зокрема " Євгеній Онєгін " - найтонша відповідність золотої пропорції! Твори Шота Руставелі та М.Ю. Лермонтова також побудовані за принципом золотого перетину.
Страдіварі писав, що за допомогою
золотого перерізу він визначав місця для f -Образних вирізів на корпусах своїх знаменитих скрипок. ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В ПОЕЗІЇ Поезія Пушкіна Дослідження поетичних творів із цих позицій тільки починаються. І починати треба з поезії А.С.Пушкіна. Адже його твори - приклад найбільш видатних творів російської культури, приклад найвищого рівня гармонії. З поезії А.С.Пушкіна ми й почнемо пошуки золотої пропорції - мірила гармонії та краси. Багато що у структурі поетичних творів ріднить цей вид мистецтва з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш має свою музичну форму - свою ритміку і мелодію. Очікується, що у будові віршів виявляться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, отже, і золота пропорція. Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків у ньому. Здавалося б, цей параметр вірша може змінюватись довільно. Однак виявилось, що це не так. Наприклад, проведений М. Васютінським аналіз віршів А.С. Пушкіна з цього погляду показав, що розміри віршів розподілені дуже нерівномірно; виявилося, що Пушкін явно віддає перевагу розмірам 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі).
Багатьма дослідниками було помічено, що вірші подібні до музичних творів; у них також існують кульмінаційні пункти, які поділяють вірш у пропорції золотого перетину. Розглянемо, наприклад, вірш А.С. Пушкіна "Швець": Картину вкотре виглядав шевець
І у взутті помилку вказав;
Взявши пензель, виправився художник,
Ось, подбочась, шевець продовжував:
"Мені здається, обличчя трохи криво...
А ці груди не надто нага?
Тут Апеллес перервав нетерпляче:
"Суди, друже, не вище чобота!"
Є у мене приятель на прикметі:
Не знаю, в якому він предметі
Був знавцем, хоч строгий нон на словах,
Але чорт його несе судити про світло:
Спробуй судити про чоботи!
Знаменитий вірш Лермонтова "Бородіно" ділиться на дві частини: вступ, звернений до оповідача і займає лише одну строфу ("Скажіть, дядько, адже недаремно..."), і головну частину, що представляє самостійне ціле, яке розпадається на дві рівносильні частини. У першій їх описується з наростаючою напругою очікування бою, у другій - сам бій з поступовим зниженням напруги до кінця вірша. Кордон між цими частинами є кульмінаційною точкою твору і припадає саме на точку поділу його золотим перетином. Головна частина вірша складається з 13 семивіршів, тобто із 91 рядка. Розділивши її золотим перетином (91:1,618 = 56,238), переконуємося, що точка розподілу знаходиться на початку 57-го вірша, де стоїть коротка фраза: "Ну ж був день!". Саме ця фраза є "кульмінаційним пунктом збудженого очікування", що завершує першу частину вірша (очікування бою) і відкриває другу його частину (опис бою). Таким чином, золотий перетин грає в поезії досить осмислену роль, виділяючи кульмінаційний пункт вірша. Поезія Шота Руставелі Багато дослідників поеми Шота Руставелі "Витязь у тигровій шкурі" відзначають виняткову гармонійність та мелодійність його вірша. Ці характеристики поеми грузинський вчений академік Г.В. Церетелі відносить з допомогою свідомого використання поетом золотого перерізу як і формуванні форми поеми, і у побудові її віршів. Поема Руставелі складається з 1587 строф, кожна з яких складається з чотирьох рядків. Кожен рядок складається з 16 складів і поділяється на дві рівні частини по 8 складів у кожному напіввірші. Всі напіввірші діляться на два сегменти двох видів: А - напіввірші з рівними сегментами та парною кількістю складів (4+4); В - напіввірш з несиметричним розподілом на дві нерівні частини (5+3 або 3+5). Таким чином, у напіввірші В виходять співвідношення 3:5:8, що є наближенням до золотої пропорції.
Встановлено, що в поемі Руставелі з 1587 року строф більше половини (863) побудовано за принципом золотого перетину. У наш час народився новий вид мистецтва - кіно, що увібрав у себе драматургію дії, живопис, музику. У визначних творах кіномистецтва правомірно шукати прояви золотого перетину. Першим це зробив творець шедевра світового кіно "Броненосець Потьомкін" кінорежисер Сергій Ейзенштейн. У побудові цієї картини він зумів втілити основний принцип гармонії – золотий перетин. Як зазначає сам Ейзенштейн, червоний прапор на щоглі повсталого броненосця (точка апогею фільму) здіймається в точці золотої пропорції, яка відраховується від кінця фільму. ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ У ШРИФТАХ І ПОБУТОВИХ ПРЕДМЕТАХ Особливий вид образотворчого мистецтва Стародавню Грецію слід виділити виготовлення та розпис всіляких судин. У витонченій формі легко вгадуються пропорції золотого перерізу.
У живописі та скульптурі храмів, на предметах домашнього побуту стародавні єгиптяни найчастіше зображували богів та фараонів. Були встановлені канони зображення людини, що стоїть, сидить і т.д. Художники мали заучувати окремі форми і схеми зображення за таблицями і зразкам. Художники Стародавньої Греції робили спеціальні подорожі до Єгипту, щоб повчитися вмінню користуватися каноном. ОПТИМАЛЬНІ ФІЗИЧНІ ПАРАМЕТРИ ЗОВНІШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА Гучність звуку.
Відомо, що максимальна гучність звуку, яка викликає болючі відчуття, дорівнює 130 децибелам.
Якщо розділити цей інтервал золотою пропорцією 1618, то отримаємо 80 децибелів, які характерні для гучності людського крику.
Якщо тепер 80 децибел розділити золотою пропорцією, то отримаємо 50 децибел, що відповідає гучності людської мови.
Нарешті, якщо розділити 50 децибелів квадратом золотої пропорції 2,618, то отримаємо 20 децибелів, що відповідає шепоту людини.
Таким чином, всі характерні параметри гучності звуку пов'язані через золоту пропорцію.
Вологість повітря. При температурі 18-20 інтервал вологості 40-60% вважається оптимальним.
Межі оптимального діапазону вологості можуть бути отримані, якщо абсолютну вологість 100% двічі розділити золотим перетином: 100/2618 = 382% (нижня межа); 100/1,618 = 61,8% (верхній кордон).
Тиск повітря. При тиску повітря 0,5 МПа у людини виникають неприємні відчуття, погіршується його фізична та психологічна діяльність. При тиску 0,3 - 0,35 МПа дозволяється лише короткочасна робота, а за тиску 0,2 МПа дозволяється працювати трохи більше 8 хв.
Усі ці характерні параметри пов'язані між собою золотою пропорцією: 0,5/1,618 = 0,31 МПа; 0,5/2,618 = 0,19 МПа.
Температура зовнішнього повітря. Граничними параметрами температури зовнішнього повітря, в межах яких можливе нормальне існування (а, головне, стало можливим походження) людини, є діапазон температур від 0 до +(57-58)®С. Очевидно, на першому кордоні пояснень можна не наводити.
Розділимо вказаний діапазон позитивних температур золотим перетином. При цьому отримаємо два кордони:
Обидві межі є характерними для організму людини температурами: перша відповідає температу Друга межа відповідає максимально можливої температури зовнішнього повітря для організму людини.ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В ЖИВОПИСУ
Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – горизонтальний чи вертикальний. Таких точок всього чотири, і вони розташовані на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площини.
Дане відкриття у художників того часу отримало назву "золотий перетин" картини. Переходячи до прикладів "золотого перерізу" у живописі, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі говорив: "Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю".
Він здобув славу неперевершеного художника, великого вченого, генія, який передбачив багато винаходів, які не були здійснені аж до XX ст.
Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість та діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язний виклад своїх ідей, а лише численні рукописні нариси, замітки, в яких говориться усім у світі".
Він писав праворуч наліво нерозбірливим почерком та лівою рукою. Це найвідоміший із існуючих зразок дзеркального листа.
Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника. Існує багато версій про історію цього портрета. Ось одна з них.
Якось Леонардо да Вінчі отримав замовлення від банкіра Франческо де ле Джокондо написати портрет молодої жінки, дружини банкіра, Монни Лізи. Жінка була красива, але у ній приваблювала простота і природність образу. Леонардо погодився написати портрет. Його модель була сумною та сумною, але Леонардо розповів їй казку, почувши яку, вона стала живою та цікавою.
КАЗКА
Жив-був один бідний чоловік, було у нього чотири сини: три розумні, а один з них і так, і сяк. І ось прийшла до батька смерть. Перед тим, як розлучитися з життям, він покликав до себе дітей і сказав: «Сини мої, скоро я помру. щоб міг годувати сам себе. Батько помер, а сини розійшлися світом, домовившись через три роки повернутися на галявину рідного гаю. Прийшов перший брат, який навчився плотничати, зрубав дерево і обтесав його, зробив з нього жінку, трохи відійшов і чекає. Повернувся другий брат, побачив дерев'яну жінку і, оскільки він був кравцем, в одну хвилину одягнув її: як майстерний майстер він пошив для неї гарний шовковий одяг. Третій син прикрасив жінку золотом та дорогоцінним камінням – адже він був ювелір. Нарешті прийшов четвертий брат. Він не вмів теслити і шити, він умів тільки слухати, що говорить земля, дерева, трави, звірі та птахи, знав хід небесних тіл і ще вмів співати чудові пісні. Він заспівав пісню, від якої заплакали брати, що причаїлися за кущами. Піснею цією він оживив жінку, вона посміхнулася і зітхнула. Брати кинулися до неї і кожен кричав те саме: "Ти повинна бути моєю дружиною". Але жінка відповіла: "Ти мене створив – будь мені батьком. Ти мене одягнув, а ти прикрасив – будьте мені братами".
А ти, що вдихнув у мене душу і навчив радіти життю, ти один мені потрібен на все життя".
Скінчивши казку, Леонардо глянув на Монну Лізу, її обличчя осяяло світло, очі сяяли. Потім, ніби прокинувшись від сну, вона зітхнула, провела по обличчю рукою і без слів пішла на своє місце, склала руки і прийняла звичайну позу. Але справа була зроблена - митець пробудив байдужу статую; усмішка блаженства, повільно зникаючи з її обличчя, залишилася в куточках рота і тремтіла, надаючи обличчю дивовижного, загадкового і трохи лукавого виразу, як у людини, яка впізнала таємницю і, дбайливо її зберігаючи, не може стримати торжество. Леонардо мовчки працював, боячись прогаяти цей момент, цей промінь сонця, що висвітлив його нудну модель...
Важко відзначити, що помічали в цьому шедеврі мистецтва, але всі говорили про те глибоке знання Леонардо будови людського тіла, завдяки якому йому вдалося вловити цю ніби загадкову посмішку. Говорили про виразність окремих частин картини і про пейзаж, небувалий супутник портрета. Тлумачили про природність висловлювання, про простоту пози, про красу рук. Художник зробив ще небувале: на картині зображено повітря, він огортає фігуру прозорим серпанком. Незважаючи на успіх, Леонардо був похмурим, становище у Флоренції здалося художнику обтяжливим, він зібрався в дорогу. Не допомогли йому нагадування про замовлення, що нахлинули.
|
Золотий перетин у картині І. І. Шишкіна "Сосновий гай" На цій знаменитій картині І. І. Шишкіна очевидно проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить за золотим перерізом праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни знаходиться безліч сосен - за бажання можна з успіхом продовжити поділ картини по золотому перетину і далі. |
|
Наявність у картині яскравих вертикалей та горизонталей, що ділять її щодо золотого перетину, надає їй характеру врівноваженості та спокою, відповідно до задуму художника. Коли ж задум художника інший, якщо, скажімо, він створює картину з дією, що бурхливо розвивається, подібна геометрична схема композиції (з переважанням вертикалей і горизонталів) стає неприйнятною.
 |
|
 В. І. Суріков. "Бояриня Морозова". Ролі її відведено середню частину картини. Вона кована точкою вищого зльоту і точкою нижчого спаду сюжету картини. 1) Це - зліт руки Морозової з двопалим хресним знаменням як найвища точка. 2) Це - безпорадно простягнута до тієї ж боярини рука, але цього разу - рука старої - злиденної мандрівниці, рука, з-під якої разом з останньою надією на порятунок вислизає кінець розвальніше. А як справи з "вищою точкою"? На перший погляд маємо здавалося б протиріччя: адже перетин А1В1, віддалений на 0,618... від правого краю картини, проходить не через руку, не навіть через голову чи око боярині, а виявляється десь перед ротом боярині! |
|
| Портрет Мони Лізи приваблює тим, що композиція малюнка побудована на "золотих трикутниках" (точніше на трикутниках, що є шматками правильного п'ятикутника). | |
Немає живопису поетичніше, ніж живопис Боттічеллі Сандро, і немає у великого Сандро картини більш знаменитої, ніж його "Венера". Для Боттічеллі його Венера - це втілення ідеї універсальної гармонії "золотого перетину", що панує в природі.
 Пропорційний аналіз Венери переконує нас у цьому.  Рафаель "Афінська школа" Рафаель не був ученим-математиком, але, подібно до багатьох художників тієї епохи, мав чималі знання в геометрії. У знаменитій фресці "Афінська школа", де в храмі науки належить суспільство великих філософів давнини, нашу увагу привертає група Евкліда - найбільшого давньогрецького математика, який розбирає складне креслення. Хитромудра комбінація двох трикутників також побудована відповідно до пропорції золотого перерізу: вона може бути вписана в прямокутник із співвідношенням сторін 5/8. Цей креслення напрочуд легко вставляється у верхню ділянку архітектури. Верхній кут трикутника упирається в замковий камінь арки на ближньому до глядача ділянці, нижній - у точку сходження перспектив, а бічна ділянка означає пропорції просторового розриву між двома частинами арок. Золота спіраль у картині Рафаеля "Побиття немовлят" |
|
На відміну від золотого перерізу відчуття динаміки, хвилювання проявляється, мабуть, найсильніше в іншій простій геометричній фігурі – спіралі. Багатофігурна композиція, виконана в 1509 - 1510 роках Рафаелем, коли прославлений художник створював свої фрески у Ватикані, якраз відрізняється динамізмом і драматизмом сюжету. Рафаель так і не довів свій задум до завершення, однак, його ескіз був гравірований невідомим італійським графіком Маркантініо Раймонді, який на основі цього ескізу і створив гравюру "Побиття немовлят".
Якщо на підготовчому ескізі Рафаеля подумки провести лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини, - вздовж фігур дитини, жінки, яка притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частини ескізу (на малюнку ці лінії проведені червоним кольором), а після цього з'єднати ці шматки кривою пунктиром, то з дуже великою точністю виходить золота спіраль. Це можна перевірити, вимірюючи відношення довжин відрізків, що висікаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої.
 |
|
ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ І СПРИЙНЯТТЯ ЗОБРАЖЕННЯ
Про здатність зорового аналізатора людини виділяти об'єкти, побудовані за алгоритмом золотого перерізу, як гарні, привабливі та гармонійні, відомо давно. Золотий переріз дає відчуття найдосконалішого єдиного цілого. Формат багатьох книг відповідає золотому перерізу. Воно вибирається для вікон, мальовничих полотен та конвертів, марок, візиток. Людина може нічого не знати про кількість Ф, але у будові предметів, а також у послідовності подій він підсвідомо знаходить елементи золотої пропорції.
Проводилися дослідження, у яких випробуваним пропонувалося вибирати та копіювати прямокутники різних пропорцій. На вибір пропонувалося три прямокутники: квадрат (40:40 мм), прямокутник "золотого перерізу" із ставленням сторін 1:1,62 (31:50 мм) та прямокутник з подовженими пропорціями 1:2,31 (26:60 мм).
 При виборі прямокутників у звичайному стані в 1/2 випадків перевага надається квадрату. Права півкуля віддає перевагу золотому перетину і відкидає витягнутий прямокутник. Навпаки, ліва півкуля тяжіє до подовжених пропорцій і відкидає золотий перетин. При копіюванні цих прямокутників спостерігалося таке. Коли активно права півкуля, пропорції в копіях витримувалися найточніше. При активності лівої півкулі пропорції всіх прямокутників спотворювалися, прямокутники витягувалися (квадрат змальовувався як прямокутник із ставленням сторін 1:1,2; пропорції витягнутого прямокутника різко збільшувалися і сягали 1:2,8). Найбільше спотворювалися пропорції "золотого" прямокутника; його пропорції у копіях ставали пропорціями прямокутника 1:2,08. При малюванні своїх малюнків переважають пропорції, близькі до золотого перерізу, і витягнуті. У середньому пропорції складають 1:2, при цьому права півкуля віддає перевагу пропорціям золотого перерізу, ліва півкуля відходить від пропорцій золотого перерізу і витягує малюнок. А тепер намалюйте кілька прямокутників, виміряйте їхні сторони та знайдіть співвідношення сторін. Яка півкуля у Вас переважає? |
|
Прикладом використання золотого перерізу фотографії є розташування ключових компонентів кадру в точках, які розташовані в 3/8 і 5/8 від країв кадру. Це можна проілюструвати наступним прикладом.
Ось фото кота, який розташований у довільному місці кадру.
Тепер умовно поділимо кадр на відрізки, пропорції по 1.62 загальної довжини від кожної сторони кадру. У місцях перетину відрізків будуть основні "зорові центри", в яких варто розмістити необхідні ключові елементи зображення. Перенесемо нашого кота у точки "зорових центрів". ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ І КОСМОС З історії астрономії відомо, що І.Тіціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи.
Однак один випадок, який, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою неба призвело до відкриття поясу астероїдів. Сталося це після смерті Тиціуса на початку ХІХ ст. Ряд Фібоначчі використовують широко: з його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти - свідчення незалежності числового ряду умов його прояви, що одна із ознак його універсальності.
Дві Золоті Спіралі галактики сумісні зі Зіркою Давида. Зверніть увагу на зірки, що виходять із галактики по білій спіралі. Точно на 180® від однієї зі спіралей виходить інша спіраль, що розгортається. …Довгий час астрономи просто вважали, що все, що там є – це те, що ми бачимо; якщо щось мабуть, воно існує. Вони або зовсім не помічали невидимої частини Реальності, або не вважали її важливою. Але невидима сторона нашої Реальності насправді значно більша за видиму сторону і, ймовірно, важливіша. ... Іншими словами, видима частина Реальності значно менша, ніж один відсоток від цілого – майже ніщо. Насправді наш справжній будинок - невидимий всесвіт... У Всесвіті всі відомі людству галактики і всі тіла в них існують у формі спіралі, що відповідає формулі золотого перетину. У спіралі нашої галактики лежить коефіцієнт золотого перерізу
ВИСНОВОК Природа, що розуміється як увесь світ у різноманітті його форм, складається ніби з двох частин: жива та нежива природа. Для творінь неживої природи характерна висока стійкість, слабка мінливість, якщо судити у масштабах життя. Людина народжується, живе, старіє, вмирає, а гранітні гори залишаються такими ж і планети обертаються навколо Сонця так само, як і за часів Піфагора. Світ живої природи постає маємо зовсім іншим - рухливим, мінливим і напрочуд різноманітним. Життя демонструє нам фантастичний карнавал різноманітності та неповторності творчих комбінацій! Світ неживої природи - це насамперед світ симетрії, що надає його витворам стійкості та краси. Світ природи - це насамперед світ гармонії, у якій діє "закон золотого перетину". У світі наука набуває особливого значення у зв'язку з посиленням впливу людини на природу. Важливими завданнями на етапі є пошук нових шляхів співіснування людини і природи, вивчення філософських, соціальних, економічних, освітніх та інших проблем, які стоять перед суспільством. У цьому роботі було розглянуто вплив якостей " золотого перерізу " на живу і живу природу, на історичний перебіг розвитку історії людства і планети загалом. Аналізуючи все вищевикладене можна ще раз подивитись грандіозності процесу пізнання світу, відкриттям нових його закономірностей і зробити висновок: принцип золотого перерізу - найвищий прояв структурного іфункціональний ого досконалості цілого та її частин у мистецтві, науці, техніці та природі. Можна очікувати, що закони розвитку різних систем природи, закони зростання не дуже різноманітні і простежуються в різних утвореннях. У цьому вся проявляється єдність природи. Ідея такої єдності, заснована на прояві тих самих закономірностей у різнорідних явищах природи, зберегла свою актуальність від Піфагора до наших днів.й. 51
20.05.2017
Золотий перетин – це те, що має знати кожен дизайнер. Ми пояснимо, що це таке і як ви можете його використовувати.
Існує загальне математичне співвідношення, знайдене в природі, яке може бути використане в дизайні для створення приємних, натуральних композицій. Його називають Золотим Перетином або грецькою літерою "фі". Якщо ви ілюстратор, арт директор або графічний дизайнер, вам безперечно варто використовувати Золоте Перетин у кожному проекті.
У цій статті ми пояснимо, як його використовувати, а також поділимося декількома відмінними інструментами для подальшого натхнення та вивчення.
Тісно пов'язана з Послідовністю Фібоначі (Fibonacci Sequence), яку ви, можливо, пам'ятаєте з уроків математики або роману Дена Брауна "Код Да Вінчі", Золоте Перетин описує ідеально симетричне взаємини між двома пропорціями.
Приблизно рівне співвідношенню 1: 1.61, Золоте Перетин може бути ілюстровано як Золотий Прямокутник: великий прямокутник, що включає квадрат (у якому сторони дорівнюють довжині найкоротшої сторони прямокутника) і менший прямокутник.
Якщо прибрати квадрат із прямокутника, залишиться інший, маленький Золотий Прямокутник. Цей процес може тривати нескінченно, як і цифри Фібоначі, які працюють у зворотному порядку. (Додавання квадрата зі сторонами, рівними довжині найдовшої сторони прямокутника, наближає вас до Золотого Прямокутника та Золотого Перетину.)
Золоте Перетин у дії
Вважається, що Золоте Перетин використовується вже близько 4000 років у мистецтві та дизайні. Однак багато людей погоджуються, що при будівництві Єгипетських Пірамід також використовувався цей принцип.
У більш сучасні часи це правило може бути помічене в музиці, мистецтві та дизайні навколо нас. Застосовуючи аналогічну робочу методологію, ви можете привнести до своєї роботи самі особливості дизайну. Давайте поглянемо на кілька прикладів, що надихають.
Грецька архітектура
У давньогрецькій архітектурі Золоте Перетин використовувалося визначення приємних просторових відносин між шириною будівлі та її висотою, розміром портика і навіть положенням колон, підтримують структуру.
В результаті виходить ідеально пропорційна будова. Рух неокласичної архітектури також використовував ці принципи.
таємна вечеря
Леонардо Да Вінчі, як і багато інших художників минулих років, часто використовував Золоте Перетин для створення приємних композицій.
У Таємній вечорі фігури розташовані в нижніх двох третинах (найбільша з двох частин Золотого Перетину), а Ісус ідеально замальований між золотими прямокутниками.
Золотий перетин у природі
Існує безліч прикладів Золотого Перетину в природі – їх можна знайти навколо себе. Квіти, морські раковини, ананаси та навіть бджолині стільники демонструють однакове співвідношення.
Як розрахувати Золотий перетин
Розрахунок Золотого Перетину досить простий, і починається із простого квадрата:
01. Намалюйте квадрат
Він утворює довжину короткої сторони прямокутника.
02. Розділіть квадрат
Розділіть квадрат навпіл за допомогою вертикальної лінії, утворюючи два прямокутники.
03. Проведіть діагональ
В одному з прямокутників проведе лінію з одного кута в протилежний.
04. Поверніть
Поверніть цю лінію так, щоб вона лягла горизонтально по відношенню до першого прямокутника.
05. Створіть новий прямокутник
Створіть прямокутник, використовуючи нову горизонтальну лінію та перший прямокутник.
Як використовувати Золоте Перетин
Використовувати цей принцип простіше, ніж ви вважаєте. Існує пара швидких трюків, які ви можете використовувати у своїх макетах, або витратити трохи більше часу та повністю розкрити концепт.
Швидкий спосіб
Якщо ви коли-небудь стикалися з "Правилом третин", то вам буде знайома ідея поділу простору на рівні третини по вертикалі та горизонталі, при цьому місця перетину ліній створюють природні точки для об'єктів.
Фотограф розміщує ключовий об'єкт на одній з цих ліній, що перетинаються, щоб створити приємну композицію. Цей принцип може також використовуватися у вашій розмітці сторінок і дизайні постерів.
Правило третіх можна застосовувати до будь-якої форми, але якщо ви застосуєте його до прямокутника з пропорціями приблизно 1: 1.6, ви опинитеся дуже близько до золотого прямокутника, що зробить композицію приємнішою для очей.
Повна реалізація
Якщо ви хочете реалізувати Золоте Перетин у вашому дизайні повною мірою, то просто розташуйте основний контент і сайдбар (у веб дизайні) у співвідношенні 1:1.61.
Можна округлити значення меншу чи більшу сторони: якщо контент-зона дорівнює 640px, а сайдбар 400px, то ця розмітка цілком підійде під Золоте Перетин.
Зрозуміло, ви також можете розділити області контенту та бічної панелі на те саме ставлення, а зв'язок між заголовком веб-сторінки, областю вмісту, футером і навігацією також може бути спроектована з використанням того ж принципу.
Корисні інструменти
Ось кілька інструментів, які допоможуть вам у використанні Золотого Перетину у дизайні та створенні пропорційних проектів.
GoldenRATIO – це додаток для створення дизайну веб-сайтів, інтерфейсів та шаблонів, що підходять під Золоте Перетин. Доступно в Mac App Store за 2,99 $. Включає калькулятор візуального Золотого Перетину.
Також у додатку є функція "Вибране", яке зберігає налаштування для повторюваних завдань і "Click-thru" мод, що дозволяє згортати додаток у Photoshop.
Цей калькулятор Золотого Перетину Pearsonified допомагає у створенні ідеальної друкарні для вашого сайту. Введіть розмір шрифту, ширину контейнера в полі та натисніть кнопку Set my type!Якщо потрібно оптимізувати кількість літер у рядку, ви можете додатково ввести значення CPL.
Це простий, корисний та безкоштовний додаток доступний для Mac і PC. Введіть будь-яке число, і програма обчислить другу цифру відповідно до принципу Золотого Перетину.
Ця програма дозволяє проектувати із золотими пропорціями, економлячи купу часу на обчисленнях.
Ви можете змінювати форми та розміри, фокусуючись на роботі над своїм проектом. Постійна ліцензія коштує 49 $, але ви можете завантажити безкоштовну версію на місяць.
Навчання Золтому Перетину
Ось кілька корисних туторіалів із Золотого Перетину (англійська мова):
У цьому туторіалі для Digital Arts Роберто Маррас (Roberto Marras) показує, як використовувати Золоте Перетин у художній роботі.
Туторіал від Tuts+, який розповідає, як використовувати золоті принципи у веб дизайн проектах.
Туторіал від Smashing Magazine, що розповідає про пропорції та правило третин.
Вирізавши квадрат зі стороною, а з прямокутника, побудованого за принципом золотого перерізу, ми отримуємо новий, зменшений прямокутник з тією ж властивістю
Золоте перетин (золота пропорція, поділ у крайньому та середньому відношенні, гармонійний поділ, число Фідія) - поділ безперервної величини на частини в такому відношенні, при якому більша частина так відноситься до меншої, як уся величина до більшої. Наприклад, поділ відрізка АСна дві частини таким чином, що більша його частина АВвідноситься до меншої НДтак, як весь відрізок АСвідноситься до АВ(Тобто | | АВ| / |НД| = |АС| / |АВ|).
Цю пропорцію прийнято позначати грецькою літерою ϕ (зустрічається також позначення τ). Вона дорівнює:
Формула «золотих гармоній», що дає пари чисел, що задовольняють вищезгаданої пропорції:
У випадку з числом параметр m = 1.
У античній літературі, що дійшла до нас, розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) вперше зустрічається в «Початках» Евкліда (бл. 300 до н.е.), де воно застосовується для побудови правильного п'ятикутника.
Cамтермін «золотий перетин» (нім.goldener Schnitt) був введений німецьким математиком Мартіном Омом у 1835 році.
Математичні властивості
Золотий перетин у п'ятикутній зірці
— ірраціональнеалгебраїчне число, позитивне рішення будь-якого з наступних рівнянь
представляється ланцюговим дробом
для якою відповідними дробами є відносини послідовних чисел Фібоначчі. Таким чином, 
.
У правильній п'ятикутній зірці кожен сегмент ділиться сегментом, що його перетинає, в золотому перерізі (тобто відношення синього відрізка до зеленого, також як червоного до синього, також як зеленого до фіолетового, рівні).
Побудова золотого перерізу
Ось ще одна вистава:
Геометрична побудова
Золотий переріз відрізка ABможна побудувати так: у точці Bвідновлюється перпендикуляр до AB, відкладають на ньому відрізок BC, рівний половині AB, на відрізку ACвідкладають відрізок AD, рівний AC − CB, і нарешті, на відрізку ABвідкладають відрізок AE, рівний AD. Тоді
Золотий перетин та гармонія
Вважають, що об'єкти, що містять у собі «золотий перетин», сприймаються людьми як найбільш гармонійні. Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона нібито свідчать, що єгипетські майстри мали співвідношення золотого перетину при їх створенні. Архітектор Ле Корбюзьє знайшов, що в рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого перерізу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого перерізу. У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу, тощо.
"Золотий перетин" у мистецтві
Золотий перетин та зорові центри
Починаючи з Леонардо да Вінчі багато художників свідомо використовували пропорції «золотого перетину».
Відомо, що Сергій Ейзенштейн штучно збудував фільм Броненосець Потьомкін за правилами «золотого перерізу». Він розбив стрічку п'ять частин. У перших трьох дія розгортається кораблем. У двох останніх – в Одесі, де розгортається повстання. Цей перехід у місто відбувається точно у точці золотого перетину. Та й у кожній частині є свій перелом, що відбувається за законом золотого перетину. У кадрі, сцені, епізоді відбувається якийсь стрибок у розвитку теми: сюжету, настрої. Ейзенштейн вважав, що оскільки такий перехід близький до точки золотого перерізу, він сприймається як найбільш закономірний і природний.
Іншим прикладом використання правила «Золотого перетину» в кіномистецтві — розташування основних компонентів кадру в особливих точках — центрах зорових. Часто використовуються чотири точки, розташовані на відстані 3/8 та 5/8 від відповідних країв площини.
Слід зауважити, що у вищеописаних прикладах фігурувало приблизне значення "золотого перерізу": легко переконатися, що ні 3/2 ні 5/3 не дорівнює значенню золотого перерізу.
Російський архітектор Жолтовський також використовував золотий перетин.
Критика золотого перерізу
Є думки, що значимість золотого перерізу мистецтво, архітектурі й у природі перебільшена і полягає в помилкових розрахунках.
При обговоренні оптимальних співвідношень сторін прямокутників (розміри аркушів паперу A0 і кратні, розміри фотопластинок (6:9, 9:12) або кадрів фотоплівки (часто 2: 3), розміри кіно- та телевізійних екранів - наприклад, 3:4 або 9:16 ) були випробувані різні варіанти. Виявилося що більшість людей не сприймає золотеперетин як оптимальний і вважає його пропорції «занадто витягнутими».
Число прочитань: 7967
Ораторське мистецтво як прообраз публіцистики
Цитати про Наполеона - dslinkov — LiveJournal
Мені помста Людина на бульдозері зруйнувала місто