Một số số là gì? bội số chung nhỏ nhất của LCM

biểu thức toán học và các công việc đòi hỏi phải bổ sung nhiều kiến thức. NOC là một trong những cái chính, đặc biệt thường được sử dụng trong chủ đề được học ở trường trung học và tài liệu không quá khó hiểu, một người quen với các lũy thừa và bảng cửu chương sẽ không gặp khó khăn khi xác định các số cần thiết và khám phá các số kết quả.

Sự định nghĩa

Bội số chung là số có thể chia hoàn toàn thành hai số cùng một lúc (a và b). Thông thường, số này có được bằng cách nhân các số ban đầu a và b. Số phải chia hết cho cả hai số cùng một lúc, không có sai lệch.

NOC là tên gọi được chấp nhận tên ngắn, được thu thập từ những chữ cái đầu tiên.

Các cách để có được số

Phương pháp nhân các số không phải lúc nào cũng phù hợp để tìm LCM; nó phù hợp hơn nhiều với các số đơn giản có một chữ số hoặc hai chữ số. Người ta thường chia thành các yếu tố, số càng lớn thì càng có nhiều yếu tố.

Ví dụ 1

Ví dụ đơn giản nhất, trường học thường sử dụng số nguyên tố, có một hoặc hai chữ số. Ví dụ, bạn cần giải bài toán sau, tìm bội số chung nhỏ nhất của số 7 và 3, cách giải khá đơn giản, chỉ cần nhân chúng lại. Kết quả là có số 21, đơn giản là không có số nào nhỏ hơn.

Ví dụ số 2

Phiên bản thứ hai của nhiệm vụ khó khăn hơn nhiều. Các số 300 và 1260 đã được đưa ra, việc tìm LỘC là bắt buộc. Để giải quyết vấn đề, các hành động sau được giả định:

Phân tích số thứ nhất và số thứ hai thành thừa số đơn giản. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Giai đoạn đầu tiên đã hoàn thành.

Giai đoạn thứ hai liên quan đến việc làm việc với dữ liệu đã thu được. Mỗi con số nhận được phải tham gia tính toán kết quả cuối cùng. Đối với mỗi yếu tố, số lần xuất hiện lớn nhất được lấy từ số ban đầu. NOC là Tổng số, do đó, các yếu tố từ các con số phải được lặp lại trong đó, từng yếu tố, ngay cả những yếu tố có trong một bản sao. Cả hai số ban đầu đều chứa các số 2, 3 và 5, trong mức độ khác nhau, 7 chỉ xuất hiện trong một trường hợp.

Để tính kết quả cuối cùng, bạn cần lấy từng số có lũy thừa lớn nhất được biểu diễn trong phương trình. Tất cả những gì còn lại là nhân và nhận được câu trả lời; nếu điền đúng, nhiệm vụ sẽ gồm hai bước mà không cần giải thích:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Đó là toàn bộ vấn đề, nếu bạn thử tính số cần tìm bằng phép nhân thì đáp án chắc chắn sẽ không đúng, vì 300 * 1260 = 378.000.

Bài kiểm tra:

6300/300 = 21 - đúng;

6300/1260 = 5 - đúng.

Tính chính xác của kết quả thu được được xác định bằng cách kiểm tra - chia LCM cho cả hai số ban đầu; nếu số đó là số nguyên trong cả hai trường hợp thì câu trả lời là đúng.

NOC có ý nghĩa gì trong toán học?

Như bạn đã biết, không có một hàm nào vô dụng trong toán học, hàm này cũng không ngoại lệ. Mục đích phổ biến nhất của số này là giảm phân số thành mẫu số chung. Những gì thường được học ở lớp 5-6 Trung học phổ thông. Ngoài ra, nó còn là ước chung cho tất cả các bội số, nếu các điều kiện như vậy xuất hiện trong bài toán. Một biểu thức như vậy có thể tìm thấy bội số không chỉ của hai số mà còn của một số lớn hơn nhiều - ba, năm, v.v. Làm sao nhiều con số hơn- nhiệm vụ càng có nhiều hành động nhưng độ phức tạp không tăng.

Ví dụ: cho các số 250, 600 và 1500, bạn cần tìm LCM chung của chúng:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ví dụ này mô tả chi tiết việc phân tích nhân tử mà không rút gọn.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Để soạn một biểu thức, cần phải đề cập đến tất cả các yếu tố, trong trường hợp này là 2, 5, 3 - đối với tất cả các số này cần xác định mức độ tối đa.

Chú ý: tất cả các yếu tố phải được đưa đến mức đơn giản hóa hoàn toàn, nếu có thể, hãy phân tách đến mức một chữ số.

Bài kiểm tra:

1) 3000/250 = 12 - đúng;

2) 3000/600 = 5 - đúng;

3) 3000/1500 = 2 - đúng.

Phương pháp này không yêu cầu bất kỳ thủ thuật hay khả năng thiên tài nào, mọi thứ đều đơn giản và rõ ràng.

Cách khác

Trong toán học, nhiều thứ được kết nối với nhau, nhiều thứ có thể được giải bằng hai hoặc nhiều cách, việc tìm bội chung nhỏ nhất LCM cũng vậy. Phương pháp tiếp theo có thể được sử dụng trong trường hợp số có hai chữ số và một chữ số đơn giản. Một bảng được biên soạn trong đó số nhân được nhập theo chiều dọc, số nhân được nhập theo chiều ngang và kết quả được biểu thị trong các ô giao nhau của cột. Bạn có thể phản ánh bảng bằng một dòng, lấy một số và viết ra kết quả nhân số này với các số nguyên, từ 1 đến vô cùng, đôi khi 3-5 điểm là đủ, các số thứ hai và các số tiếp theo đều trải qua quá trình tính toán tương tự. Mọi chuyện xảy ra cho đến khi tìm được bội số chung.

Cho các số 30, 35, 42, bạn cần tìm LCM nối tất cả các số:

1) Bội số của 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, v.v.

2) Bội số của 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, v.v.

3) Bội số của 42: 84, 126, 168, 210, 252, v.v.

Điều đáng chú ý là tất cả các con số đều khá khác nhau, con số chung duy nhất trong số đó là 210 nên sẽ là NOC. Trong số các quá trình liên quan đến phép tính này còn có ước số chung lớn nhất, được tính theo nguyên tắc tương tự và thường gặp trong các bài toán lân cận. Sự khác biệt là nhỏ nhưng khá đáng kể, LCM liên quan đến việc tính một số được chia cho tất cả các giá trị ban đầu đã cho và GCD liên quan đến việc tính toán giá trị cao nhất theo đó các số ban đầu được chia.

Hãy tiếp tục cuộc trò chuyện về bội số chung nhỏ nhất mà chúng ta đã bắt đầu trong phần “LCM - bội số chung nhỏ nhất, định nghĩa, ví dụ”. Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét các cách tìm LCM của ba số trở lên và chúng ta sẽ xem xét câu hỏi làm thế nào để tìm LCM của một số âm.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tính bội số chung nhỏ nhất (LCM) thông qua GCD

Chúng ta đã thiết lập được mối quan hệ giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất. Bây giờ hãy tìm hiểu cách xác định LCM thông qua GCD. Đầu tiên, hãy tìm hiểu cách thực hiện điều này số dương.

Định nghĩa 1

Bạn có thể tìm bội số chung nhỏ nhất thông qua ước số chung lớn nhất bằng công thức LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

ví dụ 1

Bạn cần tìm BCNN của các số 126 và 70.

Giải pháp

Hãy lấy a = 126, b = 70. Hãy thay các giá trị vào công thức tính bội số chung nhỏ nhất thông qua ước số chung lớn nhất LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Tìm gcd của các số 70 và 126. Để làm được điều này, chúng ta cần thuật toán Euclide: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, do đó GCD (126 , 70) = 14 .

Hãy tính LCM: LCD(126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Trả lời: BCNN(126, 70) = 630.

Ví dụ 2

Tìm số 68 và 34.

Giải pháp

GCD trong trong trường hợp nàyĐiều này không khó vì 68 chia hết cho 34. Hãy tính bội số chung nhỏ nhất bằng công thức: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Trả lời: BCNN(68, 34) = 68.

Trong ví dụ này, chúng ta đã sử dụng quy tắc tìm bội chung nhỏ nhất của các số nguyên dương a và b: nếu số thứ nhất chia hết cho số thứ hai thì LCM của các số đó sẽ bằng số thứ nhất.

Tìm LCM bằng cách phân tích số thành thừa số nguyên tố

Bây giờ chúng ta hãy xem phương pháp tìm LCM, dựa trên việc phân tích các số thành thừa số nguyên tố.

Định nghĩa 2

Để tìm bội số chung nhỏ nhất, chúng ta cần thực hiện một số bước đơn giản:

chúng tôi soạn ra sản phẩm của tất cả thừa số nguyên tố các số mà chúng ta cần tìm LCM;
chúng tôi loại trừ tất cả các thừa số nguyên tố khỏi các kết quả thu được của chúng;
tích thu được sau khi loại bỏ thừa số nguyên tố chung sẽ bằng LCM của các số đã cho.

Phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất này dựa trên đẳng thức LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Nếu bạn nhìn vào công thức, sẽ thấy rõ: tích của các số a và b bằng tích của tất cả các thừa số tham gia vào quá trình phân tích hai số này. Trong trường hợp này, gcd của hai số tương đương với sản phẩm tất cả các thừa số nguyên tố có mặt đồng thời trong phân tích nhân tử của hai số đã cho.

Ví dụ 3

Chúng ta có hai số 75 và 210. Chúng ta có thể tính chúng như sau: 75 = 3 5 5 Và 210 = 2 3 5 7. Nếu tính tích tất cả các thừa số của hai số ban đầu, bạn sẽ nhận được: 2 3 3 5 5 5 7.

Nếu loại trừ thừa số 3 và 5 chung của cả hai số thì ta được tích loại sau: 2 3 5 5 7 = 1050. Sản phẩm này sẽ là LCM của chúng tôi cho các số 75 và 210.

Ví dụ 4

Tìm LCM của các số 441 Và 700 , phân tích cả hai số thành thừa số nguyên tố.

Giải pháp

Hãy tìm tất cả các thừa số nguyên tố của các số đã cho trong điều kiện:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Chúng ta có hai chuỗi số: 441 = 3 3 7 7 và 700 = 2 2 5 5 7.

Tích của tất cả các thừa số tham gia phân tích các số này sẽ có dạng: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hãy tìm các yếu tố chung. Đây là số 7. Hãy loại anh ta ra khỏi tổng sản phẩm: 2 2 3 3 5 5 7 7. Hóa ra là NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Trả lời: LỘC(441, 700) = 44.100.

Chúng ta hãy đưa ra một công thức khác của phương pháp tìm LCM bằng cách phân tách các số thành thừa số nguyên tố.

Định nghĩa 3

Trước đây, chúng tôi đã loại trừ khỏi tổng số yếu tố chung cho cả hai số. Bây giờ chúng ta sẽ làm khác đi:

Hãy phân tích cả hai số thành thừa số nguyên tố:
thêm vào tích các thừa số nguyên tố của số thứ nhất các thừa số còn thiếu của số thứ hai;
chúng ta thu được tích, đây sẽ là LCM mong muốn gồm hai số.

Ví dụ 5

Hãy quay lại các số 75 và 210 mà chúng ta đã tìm LCM trong một trong các ví dụ trước. Hãy chia chúng thành các yếu tố đơn giản: 75 = 3 5 5 Và 210 = 2 3 5 7. Với tích của các thừa số 3, 5 và 5 số 75 cộng các thừa số còn thiếu 2 Và 7 số 210. Chúng tôi nhận được: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Đây là LCM của các số 75 và 210.

Ví dụ 6

Cần tính LCM của các số 84 và 648.

Giải pháp

Hãy phân tích các số từ điều kiện thành các thừa số đơn giản: 84 = 2 2 3 7 Và 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Hãy cộng vào tích các thừa số 2, 2, 3 và 7 số 84 thiếu thừa số 2, 3, 3 và
3 số 648. Chúng tôi nhận được sản phẩm 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Đây là bội số chung nhỏ nhất của 84 và 648.

Trả lời: LCM(84, 648) = 4,536.

Tìm BCNN của ba số trở lên

Bất kể chúng ta đang xử lý bao nhiêu số, thuật toán hành động của chúng ta sẽ luôn giống nhau: chúng ta sẽ lần lượt tìm LCM của hai số. Có một định lý cho trường hợp này.

Định lý 1

Giả sử chúng ta có số nguyên a 1 , a 2 , … , a k. NOC tôi k những số này được tìm bằng cách tính tuần tự m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Bây giờ chúng ta hãy xem cách áp dụng định lý để giải quyết các vấn đề cụ thể.

Ví dụ 7

Bạn cần tính bội chung nhỏ nhất của bốn số 140, 9, 54 và 250 .

Giải pháp

Chúng ta hãy giới thiệu các ký hiệu: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Hãy bắt đầu bằng cách tính m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Hãy áp dụng thuật toán Euclide để tính GCD của các số 140 và 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Ta được: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Do đó, m2 = 1.260.

Bây giờ hãy tính toán bằng thuật toán tương tự m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Trong quá trình tính toán chúng ta thu được m 3 = 3 780.

Chúng ta chỉ cần tính m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Chúng tôi làm theo cùng một thuật toán. Chúng ta nhận được m 4 = 94 500.

LCM của bốn số trong điều kiện ví dụ là 94500.

Trả lời: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Như bạn có thể thấy, việc tính toán rất đơn giản nhưng khá tốn công sức. Để tiết kiệm thời gian, bạn có thể đi con đường khác.

Định nghĩa 4

Chúng tôi cung cấp cho bạn thuật toán hành động sau:

chúng tôi phân tách tất cả các số thành thừa số nguyên tố;
để tích các thừa số của số thứ nhất ta cộng các thừa số còn thiếu của tích số thứ hai;
vào sản phẩm thu được ở giai đoạn trước, chúng ta thêm các thừa số còn thiếu của số thứ ba, v.v.;
tích thu được sẽ là bội số chung nhỏ nhất của tất cả các số trong điều kiện.

Ví dụ 8

Bạn cần tìm BCNN của năm số 84, 6, 48, 7, 143.

Giải pháp

Hãy phân tích cả năm số thành thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Các số nguyên tố, tức là số 7, không thể phân tích thành thừa số nguyên tố. Những con số như vậy trùng hợp với sự phân rã của chúng thành các thừa số nguyên tố.

Bây giờ chúng ta hãy lấy tích của các thừa số nguyên tố 2, 2, 3 và 7 của số 84 và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu của số thứ hai. Chúng ta đã phân tách số 6 thành 2 và 3. Những yếu tố này đã có trong tích của số đầu tiên. Vì vậy, chúng tôi bỏ qua chúng.

Chúng tôi tiếp tục thêm các số nhân còn thiếu. Hãy chuyển sang số 48, từ tích của các thừa số nguyên tố mà chúng ta lấy là 2 và 2. Sau đó, chúng ta cộng thừa số nguyên tố của 7 từ số thứ tư và các thừa số của 11 và 13 của số thứ năm. Chúng tôi nhận được: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Đây là bội số chung nhỏ nhất của năm số ban đầu.

Trả lời: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Tìm bội số chung nhỏ nhất của số âm

Để tìm bội số chung nhỏ nhất số âm, những số này trước tiên phải được thay thế bằng những số có dấu hiệu ngược lại, sau đó thực hiện tính toán bằng các thuật toán trên.

Ví dụ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) và LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Những hành động như vậy được cho phép vì thực tế là nếu chúng tôi chấp nhận điều đó Một Và − một- số đối nhau,
thì tập hợp bội của một số Một khớp với tập hợp bội số của một số − một.

Ví dụ 10

Cần tính LCM của số âm − 145 Và − 45 .

Giải pháp

Hãy thay số − 145 Và − 45 đến số đối diện của chúng 145 Và 45 . Bây giờ, bằng cách sử dụng thuật toán, chúng tôi tính toán LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, trước đó đã xác định GCD bằng thuật toán Euclide.

Chúng ta nhận được LCM của các số là −145 và − 45 bằng 1 305 .

Trả lời: LCM (- 145, − 45) = 1.305.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Cách tìm LCM (bội số chung nhỏ nhất)

Bội chung của hai số nguyên là số nguyên chia hết cho cả hai số đã cho và không có số dư.

Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên là số nhỏ nhất trong tất cả các số nguyên có thể chia hết cho cả hai số đã cho mà không để lại phần dư.

Phương pháp 1. Bạn có thể tìm LCM lần lượt cho từng số đã cho bằng cách viết theo thứ tự tăng dần tất cả các số có được bằng cách nhân chúng với 1, 2, 3, 4, v.v.

Ví dụ cho số 6 và 9.
Chúng ta nhân số 6 theo thứ tự với 1, 2, 3, 4, 5.
Chúng tôi nhận được: 6, 12, 18 , 24, 30
Chúng ta nhân số 9 theo tuần tự với 1, 2, 3, 4, 5.
Chúng tôi nhận được: 9, 18 , 27, 36, 45
Như bạn có thể thấy, LCM của số 6 và 9 sẽ bằng 18.

Phương pháp này thuận tiện khi cả hai số đều nhỏ và dễ dàng nhân chúng với một dãy số nguyên. Tuy nhiên, đôi khi bạn cần tìm LCM cho hai chữ số hoặc số có ba chữ số, và cả khi có ba số ban đầu trở lên.

Phương pháp 2. Bạn có thể tìm LCM bằng cách phân tích các số ban đầu thành thừa số nguyên tố.
Sau khi phân tích, cần loại bỏ các thừa số nguyên tố khỏi chuỗi kết quả số giống nhau. Các số còn lại của số thứ nhất sẽ là số nhân của số thứ hai và các số còn lại của số thứ hai sẽ là số nhân của số thứ nhất.

Ví dụ cho số 75 và 60.
Có thể tìm bội số chung nhỏ nhất của các số 75 và 60 mà không cần viết bội số của các số này liên tiếp. Để làm điều này, hãy phân tích 75 và 60 thành các thừa số đơn giản:
75 = 3 * 5 * 5, một
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Như bạn có thể thấy, thừa số 3 và 5 xuất hiện ở cả hai hàng. Chúng tôi tinh thần “gạch bỏ” chúng.
Chúng ta hãy viết ra các thừa số còn lại có trong khai triển của mỗi số này. Khi tách số 75 ra thì còn lại số 5, khi tách số 60 ra thì còn lại 2*2
Điều này có nghĩa là để xác định LCM cho các số 75 và 60, chúng ta cần nhân các số còn lại từ khai triển của 75 (đây là 5) với 60 và nhân các số còn lại từ khai triển của 60 (đây là 2). * 2) với 75. Nghĩa là, để dễ hiểu, chúng ta nói rằng chúng ta đang nhân "theo chiều ngang".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Đây là cách chúng tôi tìm LCM cho các số 60 và 75. Đây là số 300.

Ví dụ. Xác định BCNN của các số 12, 16, 24
Trong trường hợp này, hành động của chúng tôi sẽ phức tạp hơn một chút. Nhưng trước tiên, như mọi khi, hãy phân tích tất cả các số
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Để xác định chính xác LCM, chúng tôi chọn số nhỏ nhất trong tất cả các số (đây là số 12) và lần lượt đi qua các thừa số của nó, gạch bỏ chúng nếu ở ít nhất một trong các hàng số khác, chúng tôi gặp cùng một thừa số chưa bị gạch bỏ.

Bước 1 . Ta thấy rằng 2 * 2 xuất hiện ở mọi dãy số. Hãy gạch bỏ chúng.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Bước 2. Trong các thừa số nguyên tố của số 12, chỉ còn lại số 3. Nhưng nó có mặt trong các thừa số nguyên tố của số 24. Chúng ta gạch bỏ số 3 ở cả hai hàng, đồng thời không có hành động nào được mong đợi đối với số 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Như các bạn thấy, khi phân tích số 12, chúng ta đã “gạch bỏ” tất cả các số. Điều này có nghĩa là việc tìm kiếm LOC đã hoàn tất. Tất cả những gì còn lại là tính giá trị của nó.
Với số 12, lấy các thừa số còn lại của số 16 (tiếp theo theo thứ tự tăng dần)
12 * 2 * 2 = 48
Đây là NOC

Như bạn có thể thấy, trong trường hợp này, việc tìm LCM có phần khó khăn hơn, nhưng khi bạn cần tìm nó cho ba số trở lên, phương pháp này cho phép bạn làm điều đó nhanh hơn. Tuy nhiên, cả hai phương pháp tìm LCM đều đúng.

Ước chung lớn nhất

Định nghĩa 2

Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên $b$ thì $b$ được gọi là ước của $a$ và $a$ được gọi là bội số của $b$.

Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên. Số $c$ được gọi là ước chung của cả $a$ và $b$.

Tập hợp các ước chung của các số $a$ và $b$ là hữu hạn, vì không có ước số nào trong số này có thể lớn hơn $a$. Điều này có nghĩa là trong số các ước số này có một ước số lớn nhất, được gọi là ước số chung lớn nhất của các số $a$ và $b$ và được biểu thị bằng ký hiệu sau:

$GCD\(a;b)\ hoặc \D\(a;b)$

Muốn tìm ước chung lớn nhất của hai số cần:

Tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số kết quả sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn.

ví dụ 1

Tìm gcd của các số $121$ và $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Chọn các số có trong khai triển của các số này

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số kết quả sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn.

$GCD=2\cdot 11=22$

Ví dụ 2

Tìm gcd của các đơn thức $63$ và $81$.

Chúng ta sẽ tìm theo thuật toán đã trình bày. Đối với điều này:

Hãy phân tích các số thành thừa số nguyên tố

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Chúng tôi chọn những con số được bao gồm trong việc mở rộng những con số này

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Hãy tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số thu được sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn.

$GCD=3\cdot 3=9$

Bạn có thể tìm gcd của hai số theo cách khác, sử dụng một tập hợp các ước số.

Ví dụ 3

Tìm gcd của các số $48$ và $60$.

Giải pháp:

Hãy tìm tập hợp ước của số $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm tập hợp các ước số của số $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Hãy tìm giao điểm của các bộ này: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - bộ này sẽ xác định tập hợp ước chung của các số $48$ và $60 $. Phần tử lớn nhất trong bộ đã cho con số sẽ là $12$. Điều này có nghĩa là ước chung lớn nhất của các số $48$ và $60$ là $12$.

Định nghĩa nợ xấu

Định nghĩa 3

bội số chung số tự nhiên $a$ và $b$ là một số tự nhiên là bội số của cả $a$ và $b$.

Bội số chung của các số là các số chia hết cho số ban đầu, không có số dư, ví dụ các số $25$ và $50$ thì bội số chung sẽ là các số $50,100,150,200$, v.v.

Bội chung nhỏ nhất sẽ được gọi là bội số chung nhỏ nhất và sẽ được ký hiệu là LCM$(a;b)$ hoặc K$(a;b).$

Để tìm BCNN của hai số, bạn cần:

Phân tích số thành thừa số nguyên tố
Viết các thừa số thuộc số thứ nhất và cộng với chúng các thừa số thuộc số thứ hai và không thuộc số thứ nhất

Ví dụ 4

Tìm LCM của các số $99$ và $77$.

Chúng ta sẽ tìm theo thuật toán đã trình bày. Vì điều này

Phân tích số thành thừa số nguyên tố

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Hãy viết các yếu tố có trong câu đầu tiên

thêm vào chúng các số nhân là một phần của số thứ hai chứ không phải là một phần của số thứ nhất

Tìm tích của các số tìm được ở bước 2. Số kết quả sẽ là bội chung nhỏ nhất mong muốn

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Việc biên soạn danh sách các ước của các số thường là một công việc tốn rất nhiều công sức. Có một cách để tìm GCD gọi là thuật toán Euclide.

Các phát biểu dựa trên thuật toán Euclide:

Nếu $a$ và $b$ là số tự nhiên và $a\vdots b$, thì $D(a;b)=b$

Nếu $a$ và $b$ là các số tự nhiên sao cho $b

Bằng cách sử dụng $D(a;b)= D(a-b;b)$, chúng ta có thể giảm liên tiếp các số đang được xem xét cho đến khi đạt được một cặp số sao cho một trong số chúng chia hết cho số kia. Khi đó số nhỏ hơn trong số này sẽ là ước chung lớn nhất mong muốn của các số $a$ và $b$.

Thuộc tính của GCD và LCM

Mọi bội số chung của $a$ và $b$ đều chia hết cho K$(a;b)$
Nếu $a\vdots b$ , thì К$(a;b)=a$

Nếu K$(a;b)=k$ và $m$ là số tự nhiên thì K$(am;bm)=km$

Nếu $d$ là ước chung của $a$ và $b$, thì K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Nếu $a\vdots c$ và $b\vdots c$ , thì $\frac(ab)(c)$ là bội số chung của $a$ và $b$

Với mọi số tự nhiên $a$ và $b$ đẳng thức đúng

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Bất kỳ ước số chung nào của các số $a$ và $b$ đều là ước số của số $D(a;b)$

Nhưng nhiều số tự nhiên cũng chia hết cho các số tự nhiên khác.

Ví dụ:

Số 12 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12;

Số 36 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12, cho 18, cho 36.

Các số mà số đó chia hết cho một số nguyên (với 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12) được gọi là ước số của số. Ước của một số tự nhiên Một- là số tự nhiên chia hết số đã cho Một Không một dâu vêt. Số tự nhiên có nhiều hơn hai ước số được gọi là hỗn hợp .

Xin lưu ý rằng các số 12 và 36 có ước chung. Các số đó là: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ước số lớn nhất của các số này là 12. Ước chung của hai số này Một Và b- đây là số mà cả hai số đã cho được chia không có số dư Một Và b.

bội số chung một số số là một số chia hết cho mỗi số này. Ví dụ, các số 9, 18 và 45 có bội số chung là 180. Nhưng 90 và 360 cũng là bội số chung của chúng. Trong số tất cả các bội số chung luôn có bội số nhỏ nhất, trong trường hợp này là 90. Số này được gọi là nhỏ nhấtbội số chung (CMM).

LCM luôn là một số tự nhiên phải lớn hơn số lớn nhất mà nó được xác định.

Bội số chung nhỏ nhất (LCM). Của cải.

Tính giao hoán:

Tính kết hợp:

Cụ thể, nếu và là các số nguyên tố cùng nhau thì:

bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên tôi Và N là ước của tất cả các bội số chung khác tôi Và N. Hơn nữa, tập hợp các bội số chung tôi, n trùng với tập bội của LCM( tôi, n).

Các tiệm cận của có thể được biểu diễn dưới dạng một số hàm lý thuyết số.

Vì thế, Hàm Chebyshev. Và:

Điều này tuân theo định nghĩa và tính chất của hàm Landau g(n).

Điều gì xảy ra sau quy luật phân phối số nguyên tố.

Tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).

NOC( một, b) có thể được tính theo nhiều cách:

1. Nếu biết ước số chung lớn nhất, bạn có thể sử dụng kết nối của nó với LCM:

2. Hãy để nó được biết đến phân rã kinh điển cả hai số thành thừa số nguyên tố:

Ở đâu p 1 ,...,p k- các số nguyên tố khác nhau, và d 1 ,...,d k Và e 1 ,...,e k— số nguyên không âm (chúng có thể bằng 0 nếu số nguyên tố tương ứng không nằm trong khai triển).

Sau đó NOC ( Một,b) được tính theo công thức:

Nói cách khác, phân tách LCM chứa tất cả các thừa số nguyên tố có trong ít nhất một trong các phân tách số một, b, và lấy số mũ lớn nhất trong hai số mũ của số nhân này.

Ví dụ:

Việc tính bội số chung nhỏ nhất của một số số có thể được rút gọn thành một số phép tính tuần tự của LCM của hai số:

Luật lệ.Để tìm LCM của một dãy số, bạn cần:

- phân tích số thành thừa số nguyên tố;

- chuyển phân tích lớn nhất (tích của các thừa số của số lớn nhất từ các số đã cho) sang các thừa số của tích mong muốn, sau đó thêm các thừa số từ phân tích của các số khác không có trong số đầu tiên hoặc nằm trong số đó số nhỏ hơn một lần;

— tích của các thừa số nguyên tố sẽ là LCM của các số đã cho.

Bất kỳ hai hoặc nhiều số tự nhiên đều có LCM riêng. Nếu các số không phải là bội số của nhau hoặc không có số nhân giống hệt nhau khi khai triển thì LCM của chúng bằng tích của các số này.

Các thừa số nguyên tố của số 28 (2, 2, 7) được cộng thêm thừa số 3 (số 21) thì tích (84) sẽ là số nhỏ nhất, chia hết cho 21 và 28.

Các thừa số nguyên tố của số lớn nhất 30 được bổ sung thêm thừa số 5 của số 25 thì kết quả là tích 150 lớn hơn số lớn nhất 30 và chia hết cho tất cả các số đã cho mà không có số dư. Cái này sản phẩm ít nhất của số có thể (150, 250, 300...), mà tất cả các số đã cho đều là bội số.