Cách vẽ một hàm y 1 2. Hàm và Đồ thị

"Lôgarit tự nhiên" - 0,1. logarit tự nhiên. 4. "Phi tiêu lôgarit". 0,04. 7.121.

"Hàm số lớp 9" - U. Parabol lập phương. Y = x3. Cô giáo lớp 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbol. 0. Y \ u003d xn, y \ u003d x-n trong đó n là giá trị đã cho số tự nhiên. X. Số mũ là số tự nhiên chẵn (2n).

"Hàm bậc hai" - 1 Định nghĩa hàm bậc hai 2 Tính chất hàm số 3 Đồ thị hàm số 4 Bất phương trình bậc hai 5 Kết luận. Thuộc tính: Bất đẳng thức: Do Andrey Gerlitz, học sinh lớp 8A, lập. Phương án: Đồ thị: - Các khoảng đơn điệu tại a> 0 tại a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Hàm số bậc hai và đồ thị của nó" - Quyết định. Y \ u003d 4x A (0,5: 1) 1 \ u003d 1 A-thuộc. Khi a = 1, công thức y = ax có dạng.

“Hàm số bậc 2” - 1) Dựng đỉnh của parabol. Vẽ một hàm số bậc hai. x. -7. Vẽ sơ đồ chức năng. Giáo viên Đại số lớp 8 496 trường Bovina TV -1. Kế hoạch thi công. 2) Dựng trục đối xứng x = -1. y.

Hãy chọn trên máy bay hệ thống hình chữ nhật tọa độ và chúng tôi sẽ vẽ trên trục x các giá trị của đối số X và trên trục y - các giá trị của hàm y = f (x).

Đồ thị hàm số y = f (x) Tập hợp tất cả các điểm được gọi, trong đó các hoành độ thuộc miền của hàm, và các hoành độ bằng các giá trị tương ứng của hàm.

Nói cách khác, đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng, tọa độ X, tại thỏa mãn mối quan hệ y = f (x).

Trên hình. 45 và 46 là đồ thị của hàm số y = 2x + 1 và y \ u003d x 2 - 2x.

Nói một cách chính xác, người ta nên phân biệt giữa đồ thị của một hàm (chính xác định nghĩa toán họcđã được đưa ra ở trên) và đường cong được vẽ, luôn chỉ cung cấp một bản phác thảo chính xác hơn hoặc ít hơn của biểu đồ (và ngay cả khi đó, theo quy luật, không phải toàn bộ biểu đồ, mà chỉ một phần của nó nằm ở phần cuối cùng của mặt phẳng) . Tuy nhiên, trong những gì sau đây, chúng tôi thường đề cập đến "biểu đồ" hơn là "phác thảo biểu đồ".

Sử dụng đồ thị, bạn có thể tìm giá trị của một hàm tại một điểm. Cụ thể, nếu điểm x = a thuộc phạm vi của chức năng y = f (x), sau đó để tìm số f (a)(tức là các giá trị hàm tại điểm x = a) nên làm như vậy. Cần thông qua một dấu chấm với một abscissa x = a vẽ đường thẳng song song với trục y; đường thẳng này sẽ cắt đồ thị của hàm số y = f (x) tại một điểm; hoành độ của điểm này, theo định nghĩa của đồ thị, sẽ bằng f (a)(Hình 47).

Ví dụ, đối với hàm f (x) = x 2 - 2x sử dụng đồ thị (Hình 46) chúng ta tìm thấy f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) = -l, f (2) = 0, v.v.

Đồ thị hàm số minh họa trực quan hành vi và thuộc tính của một hàm số. Ví dụ, từ việc xem xét Hình. 46 rõ ràng là chức năng y \ u003d x 2 - 2x chấp nhận giá trị tích cực tại X< 0 và tại x> 2, phủ định - ở mức 0< x < 2; giá trị nhỏ nhất hàm số y \ u003d x 2 - 2x chấp nhận tại x = 1.

Để vẽ một hàm f (x) bạn cần tìm tất cả các điểm của mặt phẳng, tọa độ X,tại thỏa mãn phương trình y = f (x). Trong hầu hết các trường hợp, điều này là không thể, vì có vô số điểm như vậy. Do đó, đồ thị của hàm được mô tả gần đúng - với độ chính xác lớn hơn hoặc thấp hơn. Đơn giản nhất là phương pháp soi cầu đa điểm. Nó bao gồm một thực tế là lập luận X gắn số giới hạn giá trị - giả sử, x 1, x 2, x 3, ..., x k và tạo một bảng bao gồm các giá trị đã chọn của hàm.

Bảng trông như thế này:

Sau khi biên soạn một bảng như vậy, chúng ta có thể phác thảo một số điểm trên đồ thị của hàm số y = f (x). Sau đó, nối các điểm này bằng một đường thẳng, chúng ta có được một cái nhìn gần đúng về đồ thị của hàm số y = f (x).

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng phương pháp đánh lô đa điểm rất không đáng tin cậy. Trên thực tế, hành vi của biểu đồ giữa các điểm được đánh dấu và hành vi của nó bên ngoài đoạn giữa các điểm cực trị được lấy vẫn chưa được biết.

ví dụ 1. Để vẽ một hàm y = f (x) ai đó đã biên dịch một bảng các giá trị đối số và hàm:

Năm điểm tương ứng được thể hiện trong Hình. 48.

Dựa trên vị trí của những điểm này, ông kết luận rằng đồ thị của hàm số là một đường thẳng (được thể hiện trong hình 48 bằng một đường chấm). Kết luận này có thể được coi là đáng tin cậy không? Trừ khi có những cân nhắc bổ sung để hỗ trợ kết luận này, nó khó có thể được coi là đáng tin cậy. đáng tin cậy.

Để chứng minh khẳng định của chúng tôi, hãy xem xét hàm

.

Tính toán cho thấy các giá trị của hàm này tại các điểm -2, -1, 0, 1, 2 vừa được mô tả trong bảng trên. Tuy nhiên, đồ thị của hàm này hoàn toàn không phải là một đường thẳng (nó được thể hiện trong Hình 49). Một ví dụ khác là hàm y = x + l + sinx;ý nghĩa của nó cũng được mô tả trong bảng trên.

Những ví dụ này cho thấy ở dạng "thuần túy", phương pháp vẽ đồ thị đa điểm là không đáng tin cậy. Do đó, để vẽ một hàm đã cho, theo quy tắc, hãy tiến hành như sau. Đầu tiên, các tính chất của hàm này được nghiên cứu, với sự trợ giúp của nó, có thể xây dựng một bản phác thảo của đồ thị. Sau đó, bằng cách tính các giá trị của hàm tại một số điểm (sự lựa chọn của chúng phụ thuộc vào thuộc tính tập hợp của hàm), các điểm tương ứng của đồ thị được tìm thấy. Và, cuối cùng, một đường cong được vẽ qua các điểm đã xây dựng bằng cách sử dụng các thuộc tính của hàm này.

Chúng ta sẽ xem xét một số thuộc tính (đơn giản nhất và thường được sử dụng) của các hàm được sử dụng để tìm phác thảo của đồ thị sau đó, và bây giờ chúng ta sẽ phân tích một số phương pháp thường được sử dụng để vẽ đồ thị.

Đồ thị của hàm số y = | f (x) |.

Thường cần phải vẽ một hàm y = | f (x)|, ở đâu f (x) - mỗi chức năng nhất định. Nhớ lại cách điều này được thực hiện. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối số có thể được viết

Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm y = | f (x) | có thể nhận được từ đồ thị, hàm y = f (x) như sau: tất cả các điểm thuộc đồ thị của hàm số y = f (x), mà các sắc lệnh không âm, nên được giữ nguyên; xa hơn, thay vì các điểm của đồ thị của hàm y = f (x), có tọa độ âm nên dựng các điểm tương ứng của đồ thị của hàm số y = -f (x)(tức là một phần của đồ thị hàm số
y = f (x), nằm dưới trục X, nên được phản ánh đối xứng về trục X).

Ví dụ 2 Vẽ một chức năng y = | x |.

Ta lấy đồ thị của hàm y = x(Hình 50, a) và một phần của biểu đồ này khi X< 0 (nằm dưới trục X) được phản ánh đối xứng qua trục X. Kết quả là ta nhận được đồ thị của hàm số y = | x |(Hình 50, b).

Ví dụ 3. Vẽ một chức năng y = | x 2 - 2x |.

Đầu tiên, chúng tôi vẽ sơ đồ hàm y = x 2 - 2x.Đồ thị của hàm số này là một parabol, các nhánh của nó hướng lên trên, đỉnh của parabol có tọa độ (1; -1), đồ thị của nó cắt trục abscissa tại các điểm 0 và 2. Trên khoảng (0; 2) ), hàm mất giá trị âm, do đó, chính phần này của đồ thị sẽ được phản ánh đối xứng qua trục x. Hình 51 cho thấy một đồ thị của hàm y \ u003d | x 2 -2x |, dựa trên đồ thị của hàm y = x 2 - 2x

Đồ thị của hàm số y = f (x) + g (x)

Xem xét vấn đề vẽ đồ thị hàm y = f (x) + g (x). nếu đồ thị của các hàm được đưa ra y = f (x) và y = g (x).

Chú ý rằng miền của hàm y = | f (x) + g (x) | là tập hợp tất cả các giá trị đó của x mà cả hai hàm y = f (x) và y = g (x) đều được xác định, tức là miền định nghĩa này là giao của các miền định nghĩa, các hàm f (x ) và g (x).

Hãy để các điểm (x 0, y 1) và (x 0, y 2) lần lượt thuộc các đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x), tức là y 1 \ u003d f (x 0), y 2 \ u003d g (x 0). Khi đó điểm (x0 ;. y1 + y2) thuộc đồ thị của hàm số y = f (x) + g (x)(vì f (x 0) + g (x 0) = y 1 + y2),. và bất kỳ điểm nào trên đồ thị của hàm số y = f (x) + g (x) có thể được lấy bằng cách này. Do đó, đồ thị của hàm số y = f (x) + g (x) có thể nhận được từ đồ thị hàm số y = f (x). và y = g (x) bằng cách thay thế từng điểm ( x n, y 1) đồ họa chức năng y = f (x) dấu chấm (x n, y 1 + y 2),ở đâu y 2 = g (x n), tức là bằng cách dịch chuyển từng điểm ( x n, y 1) đồ thị hàm số y = f (x) dọc theo trục tại bằng số tiền y 1 \ u003d g (x n). Trong trường hợp này, chỉ những điểm như vậy mới được xem xét. X n mà cả hai hàm đều được xác định y = f (x) và y = g (x).

Phương pháp vẽ đồ thị hàm số này y = f (x) + g (x) được gọi là phép cộng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x)

Ví dụ 4. Trong hình bên, bằng phương pháp cộng đồ thị, người ta dựng được đồ thị của hàm số
y = x + sinx.

Khi vẽ một hàm y = x + sinx chúng tôi đã giả định rằng f (x) = x, một g (x) = sinx.Để xây dựng đồ thị hàm số, chúng ta chọn các điểm có hoành độ -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Các giá trị f (x) = x, g (x) = sinx, y = x + sinx chúng ta sẽ tính toán tại các điểm đã chọn và đặt kết quả vào bảng.

Việc xây dựng đồ thị của hàm chứa môđun thường gây khó khăn đáng kể cho học sinh. Tuy nhiên, mọi thứ không đến nỗi tệ. Chỉ cần nhớ một số thuật toán để giải quyết các vấn đề như vậy là đủ và bạn có thể dễ dàng xây dựng một biểu đồ ngay cả khi chức năng phức tạp. Hãy xem những thuật toán này là gì.

1. Vẽ đồ thị của hàm số y = | f (x) |

Lưu ý rằng tập giá trị của hàm số y = | f (x) | : y ≥ 0. Như vậy, đồ thị của các hàm số đó luôn nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng trên.

Vẽ đồ thị của hàm số y = | f (x) | bao gồm bốn bước đơn giản sau đây.

1) Dựng cẩn thận và cẩn thận đồ thị của hàm số y = f (x).

2) Giữ nguyên tất cả các điểm của đồ thị nằm trên hoặc trên trục 0x.

3) Phần đồ thị nằm bên dưới trục 0x, hiển thị đối xứng qua trục 0x.

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = | x 2 - 4x + 3 |

1) Ta xây dựng đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 - 4x + 3. Rõ ràng đồ thị của hàm số này là một parabol. Hãy tìm tọa độ của tất cả các giao điểm của parabol với các trục tọa độ và tọa độ của đỉnh của parabol.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Do đó, parabol cắt trục 0x tại các điểm (3, 0) và (1, 0).

y \ u003d 0 2 - 4 0 + 3 \ u003d 3.

Do đó, parabol cắt trục 0y tại điểm (0, 3).

Tọa độ đỉnh parabol:

x trong \ u003d - (-4/2) \ u003d 2, y trong \ u003d 2 2 - 4 2 + 3 \ u003d -1.

Do đó, điểm (2, -1) là đỉnh của parabol này.

Vẽ một hình parabol bằng cách sử dụng dữ liệu nhận được (Hình 1)

2) Phần của đồ thị nằm bên dưới trục 0x được hiển thị đối xứng với trục 0x.

3) Ta được đồ thị của hàm số ban đầu ( cơm. 2, được hiển thị bằng đường chấm).

2. Vẽ đồ thị của hàm y = f (| x |)

Lưu ý rằng các hàm có dạng y = f (| x |) là chẵn:

y (-x) = f (| -x |) = f (| x |) = y (x). Điều này có nghĩa là đồ thị của các hàm như vậy là đối xứng qua trục 0y.

Vẽ đồ thị hàm y = f (| x |) bao gồm một chuỗi hành động đơn giản sau đây.

1) Vẽ đồ thị của hàm số y = f (x).

2) Để phần đó của đồ thị mà x ≥ 0, tức là phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng bên phải.

3) Hiển thị một phần của đồ thị được chỉ định trong đoạn (2) đối xứng với trục 0y.

4) Là đồ thị cuối cùng, chọn hợp của các đường cong thu được trong đoạn (2) và (3).

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số y = x 2 - 4 · | x | + 3

Vì x 2 = | x | 2, sau đó hàm ban đầu có thể được viết lại thành mẫu sau: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. Và bây giờ chúng ta có thể áp dụng thuật toán đã đề xuất ở trên.

1) Chúng tôi xây dựng cẩn thận và cẩn thận đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 - 4 x + 3 (xem thêm cơm. một).

2) Chúng ta để lại phần đó của đồ thị mà x ≥ 0, tức là phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng bên phải.

3) Hiển thị bên phảiđồ họa đối xứng với trục 0y.

(Hình 3).

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm số y = log 2 | x |

Chúng tôi áp dụng chương trình được đưa ra ở trên.

1) Chúng tôi vẽ đồ thị của hàm y = log 2 x (Hình 4).

3. Vẽ đồ thị của hàm số y = | f (| x |) |

Lưu ý rằng các hàm có dạng y = | f (| x |) | cũng đều. Thật vậy, y (-x) = y = | f (| -x |) | = y = | f (| x |) | = y (x), và do đó, đồ thị của chúng đối xứng qua trục 0y. Tập hợp các giá trị của các hàm đó: y ≥ 0. Do đó, đồ thị của các hàm số đó nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng trên.

Để vẽ đồ thị của hàm y = | f (| x |) |, bạn cần:

1) Dựng đồ thị hàm số y = f (| x |).

2) Giữ nguyên phần của đồ thị nằm trên hoặc trên trục 0x.

3) Phần đồ thị nằm bên dưới trục 0x phải được hiển thị đối xứng với trục 0x.

4) Là đồ thị cuối cùng, chọn hợp của các đường cong thu được trong đoạn (2) và (3).

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm số y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.

1) Lưu ý rằng x 2 = | x | 2. Do đó, thay vì nguyên hàm y = -x 2 + 2 | x | - một

bạn có thể sử dụng hàm y = - | x | 2 + 2 | x | - 1, vì đồ thị của chúng giống nhau.

Ta xây dựng đồ thị y = - | x | 2 + 2 | x | - 1. Đối với điều này, chúng tôi sử dụng thuật toán 2.

a) Chúng tôi vẽ đồ thị của hàm y \ u003d -x 2 + 2x - 1 (Hình 6).

b) Ta để phần đồ thị đó nằm trong nửa mặt phẳng bên phải.

c) Hiển thị phần kết quả của đồ thị đối xứng với trục 0y.

d) Biểu đồ kết quả được thể hiện trong hình với một đường chấm (Hình 7).

2) Không có điểm nào nằm trên trục 0x, ta giữ nguyên các điểm trên trục 0x.

3) Phần của đồ thị nằm bên dưới trục 0x được hiển thị đối xứng với 0x.

4) Biểu đồ kết quả được hiển thị trong hình bằng một đường chấm (Hình 8).

Ví dụ 5. Vẽ đồ thị của hàm số y = | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |

1) Đầu tiên bạn cần vẽ đồ thị của hàm y = (2 | x | - 4) / (| x | + 3). Để làm điều này, chúng ta quay lại thuật toán 2.

a) Vẽ cẩn thận hàm số y = (2x - 4) / (x + 3) (Hình 9).

Lưu ý rằng hàm này là phân số tuyến tính và đồ thị của nó là một hyperbol. Để xây dựng một đường cong, trước tiên bạn cần tìm các dấu không của biểu đồ. Ngang - y \ u003d 2/1 (tỷ số của các hệ số tại x ở tử số và mẫu số của một phân số), dọc - x \ u003d -3.

2) Phần của biểu đồ nằm trên hoặc trên trục 0x sẽ được giữ nguyên.

3) Phần của biểu đồ nằm bên dưới trục 0x sẽ được hiển thị đối xứng với 0x.

4) Đồ thị cuối cùng được hiển thị trong hình (Hình 11).

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.