Dữ liệu tham khảo cho hàm số mũ - Các tính chất cơ bản, đồ thị và công thức. Được xem xét câu hỏi tiếp theo: miền định nghĩa, tập giá trị, tính đơn điệu, chức năng trái ngược, đạo hàm, tích phân, khai triển trong chuỗi điện và biểu diễn bằng số phức.

Sự định nghĩa

Hàm số mũ là một tổng quát của tích của n số bằng a:
y (n) = a n = a a a a,
vào tập hợp các số thực x:
y (x) = x.
Đây là một cố định số thực, được gọi là cơ số của hàm mũ.
Một hàm mũ với cơ số a còn được gọi là hàm mũ đến cơ số a.

Việc tổng quát hóa được thực hiện như sau.
Đối với x = tự nhiên 1, 2, 3,... , hàm số mũ là tích của x thừa số:
.
Hơn nữa, nó có các thuộc tính (1.5-8) (), tuân theo các quy tắc nhân các số. Tại các giá trị 0 và âm của số nguyên, hàm số mũ được xác định bằng công thức (1.9-10). Tại giá trị phân số x = m / n số hữu tỉ,, nó được xác định theo công thức (1.11). Đối với thực, hàm mũ được định nghĩa là giới hạn trình tự:
,
trong đó là một dãy số hữu tỉ tùy ý hội tụ đến x:.
Với định nghĩa này, hàm mũ được xác định cho tất cả, và thỏa mãn các tính chất (1.5-8), cũng như đối với x tự nhiên.

Một công thức toán học nghiêm ngặt về định nghĩa của một hàm số mũ và một chứng minh các tính chất của nó được cung cấp trên trang "Định nghĩa và chứng minh các tính chất của một hàm số mũ".

Các thuộc tính của hàm mũ

Hàm mũ y = a x, có các thuộc tính sau trên tập hợp các số thực ():
(1.1) được xác định và liên tục, cho, cho tất cả;
(1.2) khi một ≠ 1 có nhiều nghĩa;
(1.3) tăng nghiêm ngặt tại, giảm nghiêm ngặt tại,
là hằng số tại;
(1.4) tại ;
tại ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Các công thức hữu ích khác
.
Công thức chuyển đổi thành hàm số mũ với cơ số lũy thừa khác:

Với b = e, chúng ta nhận được biểu thức của hàm số mũ dưới dạng số mũ:

Giá trị riêng tư

, , , , .

Hình bên cho thấy đồ thị của hàm số mũ
y (x) = x
cho bốn giá trị cơ sở mức độ: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 và a = 1/8 . Có thể thấy rằng đối với một> 1 hàm mũ đang tăng đơn điệu. Cơ sở của độ a càng lớn thì sinh trưởng càng mạnh. Tại 0 < a < 1 hàm số mũ là đơn điệu giảm dần. Số mũ a càng nhỏ thì giảm càng mạnh.

Tăng dần, giảm dần

Hàm số mũ tại hoàn toàn đơn điệu nên nó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng.

	y = a x, a> 1	y = x, 0 < a < 1
Miền	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Phạm vi giá trị	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Giọng bằng bằng	tăng đơn điệu	giảm đơn điệu
Zeros, y = 0	Không	Không
Giao điểm với trục y, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Chức năng trái ngược

Nghịch đảo của một hàm số mũ với cơ số a là logarit với cơ số a.

Nếu, thì
.
Nếu, thì
.

Sự khác biệt của hàm số mũ

Để phân biệt một hàm số mũ, cơ số của nó phải rút gọn thành số e, áp dụng bảng đạo hàm và quy tắc phân biệt. chức năng phức tạp.

Để làm điều này, bạn cần sử dụng thuộc tính của logarit
và công thức từ bảng đạo hàm:
.

Cho một hàm số mũ được cho:
.
Chúng tôi mang nó đến cơ sở e:

Ta áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một biến

sau đó

Từ bảng đạo hàm ta có (thay biến x bằng z):
.
Vì là một hằng số, nên đạo hàm của z đối với x là
.
Theo quy luật phân hóa của một hàm phức:
.

Đạo hàm của hàm số mũ

.
Đạo hàm của đơn hàng thứ n:
.
Bắt nguồn của công thức>>>

Một ví dụ về phân biệt một hàm số mũ

Tìm đạo hàm của một hàm số
y = 35 x

Dung dịch

Chúng ta biểu diễn cơ sở của hàm số mũ dưới dạng số e.
3 = e log 3
sau đó
.
Chúng tôi giới thiệu một biến
.
sau đó

Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Vì 5ln 3 là một hằng số, thì đạo hàm của z đối với x là:
.
Theo quy luật phân hoá của một hàm phức, ta có:
.

Câu trả lời

Tích phân

Biểu thức dưới dạng số phức

Xem xét chức năng số phức z:
f (z) = az
trong đó z = x + iy; tôi 2 = - 1 .
Chúng ta biểu diễn hằng số phức a theo môđun r và đối số φ:
a = r e i φ
sau đó


.
Đối số φ không được xác định duy nhất. Nói chung
φ = φ 0 + 2 pn,
với n là một số nguyên. Do đó, hàm f (z) cũng mơ hồ. Thường được coi là tầm quan trọng chính của nó
.

Mở rộng hàng loạt

.

Người giới thiệu:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.

Hàm số y = x ^ 2 được gọi là hàm số bậc hai. Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Hình vẽ chung của parabol được thể hiện trong hình bên dưới.

hàm bậc hai

Hình 1. Hình chiếu chung của parabol

Qua đồ thị có thể thấy nó đối xứng qua trục Oy. Trục Oy được gọi là trục đối xứng của parabol. Điều này có nghĩa là nếu bạn vẽ một đường thẳng song song với trục Ox phía trên trục này trên biểu đồ. Sau đó, nó cắt parabol tại hai điểm. Khoảng cách từ những điểm này đến trục y sẽ giống nhau.

Trục đối xứng chia đồ thị của parabol, như cũ, thành hai phần. Những phần này được gọi là các nhánh của parabol. Và điểm của parabol nằm trên trục đối xứng được gọi là đỉnh của parabol. Tức là trục đối xứng đi qua đỉnh của parabol. Tọa độ của điểm này là (0; 0).

Các tính chất cơ bản của hàm số bậc hai

1. Đối với x = 0, y = 0 và y> 0 đối với x0

2. Giá trị nhỏ nhất hàm bậc haiđạt đến đỉnh cao. Ymin tại x = 0; Cũng cần lưu ý rằng gia trị lơn nhât chức năng không tồn tại.

3. Hàm số giảm trên khoảng (-∞; 0] và tăng trên khoảng.

Phạm vi của hàm yavl. khoảng [1; 3].

1. Tại x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, giá trị của hàm số bằng không.

Giá trị của đối số, tại đó giá trị của hàm bằng 0, được gọi là giá trị không của hàm.

//những thứ kia. cho hàm này các số -3; -1; 1,5; 4,5 là số không.

2. Trên các khoảng [4,5; 3) và (1; 1,5) và (4,5; 5,5] đồ thị của hàm số f nằm trên trục abscissa và tại các khoảng (-3; -1) và (1,5; 4,5) dưới trục abscissa, đây là giải thích như sau - trong khoảng thời gian[4,5; 3) và (1; 1,5) và (4,5; 5,5] hàm nhận giá trị tích cực, và trên các khoảng (-3; -1) và (1,5; 4,5) chúng là số âm.

Mỗi khoảng được chỉ ra (trong đó hàm nhận các giá trị cùng dấu) được gọi là khoảng có dấu của hàm f.//i.e. Ví dụ, nếu chúng ta lấy khoảng (0; 3), thì nó không phải là khoảng dấu hằng của hàm đã cho.

Trong toán học, khi tìm kiếm các khoảng không đổi dấu của một hàm, thường chỉ ra các khoảng chiều dài tối đa. //Những thứ kia. khoảng (2; 3) là khoảng thời gian không đổi hàm f, nhưng câu trả lời phải bao gồm khoảng [4,5; 3) chứa khoảng (2; 3).

3. Nếu bạn di chuyển dọc theo trục x từ 4,5 đến 2, bạn sẽ nhận thấy rằng đồ thị của hàm số đi xuống, tức là các giá trị của hàm số giảm đi. // Trong toán học, người ta thường nói rằng trên khoảng [4,5; 2] chức năng đang giảm.

Khi x tăng từ 2 đến 0, đồ thị của hàm đi lên, tức là giá trị hàm tăng lên. // Trong toán học, người ta thường nói rằng trên khoảng [2; 0] chức năng đang tăng lên.

Hàm f được gọi là nếu với bất kỳ hai giá trị nào của đối số x1 và x2 trong khoảng này sao cho x2> x1, bất phương trình f (x2)> f (x1) được thỏa mãn. // hoặc Hàm được gọi tăng lên trong một khoảng thời gian, nếu đối với bất kỳ giá trị nào của đối số từ khoảng này giá trị lớn hơnđối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.//i.e. càng nhiều x, càng nhiều y.

Hàm f được gọi là giảm dần trong một số khoảng thời gian, nếu với hai giá trị bất kỳ của đối số x1 và x2 trong khoảng này sao cho x2> x1, thì bất đẳng thức f (x2) giảm trên khoảng nào đó được thỏa mãn, nếu với bất kỳ giá trị nào của đối số trong khoảng này lớn hơn giá trị của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm. //những thứ kia. càng nhiều x, càng ít y.

Nếu một hàm đang tăng trên toàn bộ miền định nghĩa, thì nó được gọi là tăng.

Nếu một hàm giảm trên toàn bộ miền định nghĩa, thì nó được gọi là suy tàn.

ví dụ 1đồ thị của hàm số tăng và giảm lần lượt.

Ví dụ 2

Xác định yavl. là hàm tuyến tính f (x) = 3x + 5 đang tăng hay giảm?

Bằng chứng. Hãy sử dụng các định nghĩa. Gọi x1 và x2 là các giá trị tùy ý của đối số và x1< x2., например х1=1, х2=7

Các chức năng và thuộc tính của chúng

Hàm là một trong những khái niệm toán học quan trọng nhất.Hàm số là sự phụ thuộc của biến y vào biến x, trong đó mỗi giá trị của biến x tương ứng với một giá trị duy nhất của biến y.

Biến đổi X gọi là biến độc lập hoặc tranh luận. Biến đổi tại gọi là biến phụ thuộc. Họ cũng nói rằngbiến y là một hàm của biến x. Các giá trị của biến phụ thuộc được gọi làcác giá trị hàm.

Nếu phụ thuộc biếntại từ một biếnX là một hàm, nó có thể được viết như sau:y= f( x ). (Đọc:tại bằngf từX .) Biểu tượngf( x) biểu thị giá trị của hàm tương ứng với giá trị của đối số bằngX .

Tất cả các giá trị của dạng biến độc lậpphạm vi chức năng . Tất cả các giá trị mà biến phụ thuộc có dạngphạm vi chức năng .

Nếu một hàm được cho bởi một công thức và miền định nghĩa của nó không được chỉ định, thì miền của hàm được coi là bao gồm tất cả các giá trị của đối số mà công thức có ý nghĩa.

Các cách thiết lập một hàm:

1. phương pháp phân tích (hàm được thiết lập bằng cách sử dụng công thức toán học;

2. cách thông thường (chức năng được thiết lập bằng cách sử dụng bảng)

3. cách mô tả (chức năng được thiết lập mô tả bằng lời nói)

4.graphical method (hàm được thiết lập bằng cách sử dụng một đồ thị).

Đồ thị hàm số gọi tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng tọa độ, các hoành độ của chúng bằng các giá trị của đối số và các hoành độ - các giá trị chức năng tương ứng.

CÁC TÍNH CHẤT CHÍNH CỦA CHỨC NĂNG

1. Số không của hàm

Hàm 0 là giá trị của đối số mà tại đó giá trị của hàm bằng 0.

2. Khoảng chức năng

Các khoảng của dấu không đổi của một hàm là tập hợp các giá trị đối số mà trên đó các giá trị của hàm chỉ dương hoặc chỉ âm.

3. Chức năng tăng (giảm).

Tăng trong một khoảng nhất định, một hàm là một hàm trong đó giá trị lớn hơn của đối số từ khoảng này tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.

Hàm số y = f ( x ) gọi là tăng trong khoảng thời gian (một; b ), nếu cho bất kỳ x 1 và x 2 từ khoảng thời gian này sao chox 1 < x 2 , sự bất bình đẳngf ( x 1 )< f ( x 2 ).

suy tàn trong một khoảng nhất định, một hàm là một hàm mà giá trị lớn hơn của đối số từ khoảng này tương ứng với một giá trị nhỏ hơn của hàm.

Hàm số tại = f ( x ) gọi là suy tàn trong khoảng thời gian (một; b ) , nếu có x 1 và x 2 từ khoảng thời gian này sao cho x 1 < x 2 , sự bất bình đẳngf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Hàm chẵn (lẻ)

Hàm chẵn - một hàm có miền xác định là đối xứng với gốc và với bất kỳX từ miền định nghĩa sự bình đẳngf (- x ) = f ( x ) . Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục y.

Ví dụ: y = x 2 là một hàm chẵn.

hàm lẻ- một hàm có miền xác định là đối xứng với gốc và với bất kỳ X từ miền định nghĩa sự bình đẳng f (- x ) = - f (x ). Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: y = x 3 - chức năng kỳ quặc .

Hàm số nhìn chung không chẵn hay lẻ (y = x 2 + x ).

Thuộc tính của một số chức năng và đồ họa của chúng

1. Hàm tuyến tính được gọi là một hàm của biểu mẫu , ở đâu k và b - số.

Miền hàm tuyến tính- nhiềuR số thực.

Đồ thị hàm số tuyến tínhtại = kx + b ( k ≠ 0) là đường thẳng đi qua điểm (0;b ) và song song với dòngtại = kx .

Thẳng, không song song với trụcOU, là đồ thị của một hàm tuyến tính.

Các tính chất của một hàm tuyến tính.

1. Khi k > 0 chức năng tại = kx + b

2. Khi k < 0 chức năng y = kx + b giảm dần trong miền định nghĩa.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) là toàn bộ dòng số, tức là nhiềuR số thực.

Tại k = 0 bộ giá trị hàmy = kx + b bao gồm một sốb .

3. Khi b = 0 và k = 0 hàm không chẵn cũng không lẻ.

Tại k = 0 thì hàm tuyến tính có dạngy = b và tại b ≠ 0 nó là thậm chí.

Tại k = 0 và b = 0 thì hàm tuyến tính có dạngy = 0 và đồng thời là số chẵn và số lẻ.

Đồ thị hàm số tuyến tínhy = b là đường thẳng đi qua điểm (0; b ) và song song với trụcỒ. Lưu ý rằng khi b = 0 đồ thị hàm sốy = b trùng với trục Ồ .

5. Khi k > 0 chúng tôi có cái đó tại> 0 nếu và tại< 0 nếu. Tại k < 0 chúng ta có y> 0 nếu và tại< 0, если .

2. Chức năng y = x 2

Rsố thực.

Bằng cách đưa ra một biếnX nhiều giá trị từ phạm vi của hàm và tính toán các giá trị tương ứngtại theo công thức y = x 2 , vẽ đồ thị của hàm số.

Đồ thị hàm số y = x 2 gọi là hình parabol.

Thuộc tính hàm y = x 2 .

1. Nếu X= 0, sau đó y = 0, tức là parabol có với các trục tọa độ điểm chung(0; 0) - gốc.

2. Nếu x ≠ 0 , sau đó tại > 0, tức là tất cả các điểm của parabol, ngoại trừ điểm gốc, nằm trên trục x.

3. Tập hợp các giá trị hàmtại = X 2 là hàm nhịptại = X 2 giảm dần.

X

3. chức năng

Phạm vi của hàm này là hàm spany = | x | giảm dần.

7. Giá trị thấp nhất hàm chấp nhận tại điểmX, nó bằng 0. Giá trị lớn nhất không tồn tại.

6. Hàm số

Phạm vi chức năng: .

Phạm vi chức năng: .

Biểu đồ là cường điệu.

1. Các số không của hàm.

y ≠ 0, không có số 0.

2. Khoảng hằng số của dấu hiệu,

Nếu một k > 0, sau đó tại> 0 lúc X > 0; tại < 0 при X < О.

Nếu một k < 0, то tại < 0 при X > 0; tại> 0 lúc X < 0.

3. Khoảng tăng và giảm.

Nếu một k > 0, thì hàm giảm khi .

Nếu một k < 0, то функция возрастает при .

4. Hàm chẵn (lẻ).

Hàm là số lẻ.

Tam thức vuông

Loại phương trình cây rìu 2 + bx + c = 0, ở đâu một , b và Với - một số con số, vàmột ≠ 0, được gọi là Quảng trường.

Trong một phương trình bậc haicây rìu 2 + bx + c = 0 hệ số một gọi là hệ số đầu tiên b - hệ số thứ hai, với - thành viên miễn phí.

Công thức gốc phương trình bậc hai giống như:

.

Biểu thức được gọi là phân biệt đối xử phương trình bậc hai và được ký hiệu làD .

Nếu một D = 0 thì chỉ có một số thỏa mãn đẳng thức cây rìu 2 + bx + c = 0. Tuy nhiên, chúng tôi đồng ý nói rằng trong trường hợp này, phương trình bậc hai có hai nghiệm thực bằng nhau và chính số gọi là gốc kép.

Nếu một D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Nếu một D > 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm thực khác nhau.

Cho phương trình bậc haicây rìu 2 + bx + c = 0. Kể từ một ≠ 0, sau đó, chia cả hai phần phương trình đã cho trênmột, chúng tôi nhận được phương trình . Giả định và , chúng ta đi đến phương trình , trong đó hệ số đầu tiên bằng 1. Phương trình như vậy được gọi làđược.

Công thức nghiệm nguyên của phương trình bậc hai trên là:

.

Các phương trình có dạng

một x 2 + bx = 0, cây rìu 2 + với = 0, một x 2 = 0

gọi là phương trình bậc hai không hoàn toàn. Phương trình bậc hai không đầy đủ được giải bằng cách tính vế trái của phương trình.

Định lý Vieta .

Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai bằng tỷ số của hệ số thứ hai với hệ số thứ nhất, lấy với dấu ngược lại, và tích của các nghiệm thức là tỷ số của số hạng tự do với hệ số thứ nhất, tức là.

Định lý nghịch đảo.

Nếu tổng của hai số bất kỳX 1 và X 2 bằng , và sản phẩm của họ là, thì những con số này là nghiệm nguyên của phương trình bậc haiỒ 2 + b x + c = 0.

chức năng xem Ồ 2 + b x + c gọi là tam thức vuông. Căn của hàm này là căn của phương trình bậc hai tương ứngỒ 2 + b x + c = 0.

Nếu người phân biệt đối xử tam thức vuông Trên không, thì tam thức này có thể được biểu diễn dưới dạng:

Ồ 2 + b x + c \ u003d a (x-x 1 ) (x-x 2 )

ở đâu X 1 và X 2 - căn bậc ba

Nếu phân biệt của một tam thức vuông bằng 0, thì tam thức này có thể được biểu diễn dưới dạng:

Ồ 2 + b x + c \ u003d a (x-x 1 ) 2

ở đâu X 1 là căn của một tam thức.

Ví dụ, 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Loại phương trình Ồ 4 + b X 2 + với= 0 được gọi là hình vuông hai cạnh. Bằng cách thay đổi biến theo công thứcX 2 = y nó được rút gọn thành phương trình bậc haimột y 2 + qua + với = 0.

hàm bậc hai

hàm bậc hai là một hàm có thể được viết dưới dạng công thứcy = cây rìu 2 + bx + c , ở đâu x là một biến độc lập,một , b và c là một số con số, vàmột ≠ 0.

Các thuộc tính của hàm và dạng đồ thị của nó được xác định chủ yếu bởi các giá trị của hệ sốmột và phân biệt đối xử.

Tính chất của hàm số bậc hai

Miền:R;

Phạm vi giá trị:

tại một > 0 [- D/(4 một); ∞)

tại một < 0 (-∞; - D/(4 một)];

Chẵn lẻ:

tại b = 0 hàm là số chẵn

tại b ≠ 0 hàm không chẵn cũng không lẻ

tại D> 0 hai số không:,

tại D= 0 một không:

tại D < 0 нулей нет

Khoảng thời gian liên tục:

nếu, a> 0, D> 0, sau đó

nếu, a> 0, D= 0, sau đó

e nếu a> 0, D < 0, то

nếu một< 0, D> 0, sau đó

nếu một< 0, D= 0, sau đó

nếu một< 0, D < 0, то

- Khoảng đơn điệu

cho một> 0

tại một< 0

Đồ thị của hàm số bậc hai làhình parabol - một đường cong đối xứng với một đường thẳng đi qua đỉnh của parabol (đỉnh của parabol là giao điểm của parabol với trục đối xứng).

Để vẽ một hàm bậc hai, bạn cần:

1) Tìm tọa độ đỉnh của parabol và đánh dấu nó trong mặt phẳng tọa độ;

2) xây dựng thêm một vài điểm thuộc parabol;

3) kết nối các điểm đã đánh dấu bằng một đường thẳng.

Tọa độ đỉnh của parabol được xác định theo công thức:

; .

Chuyển đổi đồ thị hàm số

1. kéo dài nghệ thuật đồ họay = x 2 dọc theo trụctại Trong| a | lần (khi nào| a | < 1 là nén thành 1 /| a | Một lần).

Nếu một< 0, произвести, кроме того, gương phản chiếuđồ họa trụcX (các nhánh của parabol sẽ hướng xuống dưới).

Kết quả: đồ thị hàm sốy = à 2 .

2. Chuyển giao song song đồ thị hàm sốy = à 2 dọc theo trụcX trên| m | (ở bên phải tại

m > 0 và bên trái lúct< 0).

Kết quả: đồ thị hàm sốy \ u003d a (x - t) 2 .

3. Chuyển giao song song đồ thị hàm số dọc theo trụctại trên| N | (lên lúcn> 0 và xuống lúcP< 0).

Kết quả: đồ thị hàm sốy \ u003d a (x - t) 2 + p.

Bất đẳng thức bậc hai

Bất đẳng thức của dạngỒ 2 + b x + c> 0 vàỒ 2 + bx + c< 0, ở đâuX - Biến đổi,một , b vàVới - một số con số, vàmột ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc hai một biến.

Giải bất phương trình bậc hai với một biến có thể được xem như việc tìm các khoảng mà hàm số bậc hai tương ứng nhận giá trị dương hoặc âm.

Để giải các bất phương trình dạngỒ 2 + bx + c> 0 vàỒ 2 + bx + c< 0 làm như sau:

1) tìm phân thức của một tam thức vuông và tìm xem liệu tam thức có căn hay không;

2) nếu tam thức có nghiệm nguyên thì đánh dấu chúng trên trụcX và thông qua các điểm được đánh dấu, một parabol được vẽ theo sơ đồ, các nhánh của chúng hướng lên trênmột > 0 trở xuống lúcmột< 0; nếu tam thức không có gốc, thì theo giản đồ mô tả một parabol nằm trong nửa mặt phẳng trên tạimột > 0 hoặc ở cuối khimột < 0;

3) tìm trên trụcX khoảng thời gian mà các điểm của parabol nằm trên trụcX (nếu họ giải được bất đẳng thứcỒ 2 + bx + c> 0) hoặc trục dướiX (nếu họ giải được bất đẳng thứcỒ 2 + bx + c < 0).

Thí dụ:

Hãy giải bất đẳng thức .

Xem xét chức năng

Đồ thị của nó là một parabol, các nhánh của chúng hướng xuống dưới (bởi vì ).

Tìm hiểu vị trí của biểu đồ so với trụcX. Hãy giải phương trình cho điều này . Chúng tôi nhận được điều đóx = 4. Phương trình có một căn duy nhất. Vì vậy, parabol chạm vào trụcX.

Sau khi được mô tả bằng sơ đồ một parabol, chúng tôi thấy rằng hàm nhận các giá trị âm cho bất kỳX, ngoại trừ 4.

Câu trả lời có thể được viết như thế này:X - bất kỳ số nào không bằng 4.

Giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng

sơ đồ giải pháp

1. Tìm số không hàm bên trái của bất đẳng thức.

2. Đánh dấu vị trí của các số không trên trục số và xác định tính bội của chúng (nếuk tôi chẵn, sau đó bằng không của đa số chẵn, nếuk tôi lẻ - thì lẻ).

3. Tìm dấu của một hàm trong khoảng giữa các số không của nó, bắt đầu từ khoảng ngoài cùng bên phải: trong khoảng này, hàm ở vế trái của bất đẳng thức luôn dương đối với dạng bất phương trình rút gọn. Khi chuyển từ phải sang trái qua số không của một hàm từ khoảng này sang khoảng lân cận, người ta nên tính đến:

nếu số 0 là số lẻ tính đa dạng, dấu hiệu của hàm thay đổi,

nếu số 0 là số chẵn tính đa dạng, dấu của hàm được bảo toàn.

4. Viết ra câu trả lời.

Thí dụ:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Đã tìm thấy số không của hàm. Họ đều bình đẳng:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Chúng tôi đánh dấu các số không của hàm trên đường tọa độf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Tìm dấu của hàm này trong mỗi khoảng (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) và

Qua hình vẽ có thể thấy rằng tập nghiệm của bất phương trình là hợp của các khoảng (-∞; -6) và (-1; 4).

Trả lời: (-∞ ; -6) và (-1; 4).

Phương pháp giải bất phương trình được coi làphương pháp khoảng thời gian.

Số không của hàm
Giá trị không của hàm là giá trị X, tại đó hàm trở thành 0, nghĩa là, f (x) = 0.

Zeros là giao điểm của đồ thị của hàm với trục Ồ.

Chức năng chẵn lẻ
Một hàm được gọi ngay cả khi đối với bất kỳ X từ miền định nghĩa, đẳng thức f (-x) = f (x)

Một hàm chẵn đối xứng qua trục OU

Chức năng kỳ quặc
Một hàm được gọi là lẻ nếu với bất kỳ X Từ miền xác định, đẳng thức f (-x) = -f (x) được thỏa mãn.

Một hàm lẻ đối xứng với gốc tọa độ.
Một hàm không chẵn cũng không lẻ được gọi là một hàm tổng quát.

Tăng hàm
Hàm f (x) được gọi là tăng nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm, tức là

Chức năng giảm dần
Hàm f (x) được gọi là giảm nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm, tức là

Khoảng thời gian mà hàm chỉ giảm hoặc chỉ tăng được gọi là khoảng thời gian đơn điệu. Hàm số f (x) có 3 khoảng là đơn điệu:

Tìm khoảng của đơn điệu bằng cách sử dụng dịch vụ Khoảng của các hàm tăng và giảm

Tối đa địa phương
Chấm x 0được gọi là một điểm tối đa địa phương, nếu có X từ một vùng lân cận của một điểm x 0 bất đẳng thức sau đây đúng: f (x 0)> f (x)

Địa phương tối thiểu
Chấm x 0được gọi là một điểm địa phương tối thiểu, nếu có X từ một vùng lân cận của một điểm x 0 bất đẳng thức sau đúng: f (x 0)< f(x).

Điểm cực đại cục bộ và điểm cực tiểu cục bộ được gọi là điểm cực trị cục bộ.

điểm cực trị cục bộ.

Tính chu kỳ của chức năng
Hàm f (x) được gọi là tuần hoàn, với chu kỳ T, nếu có X f (x + T) = f (x).

Khoảng liên tục
Khoảng thời gian mà hàm số chỉ dương hoặc chỉ âm được gọi là khoảng thời gian của dấu không đổi.

Tính liên tục của chức năng
Hàm f (x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu giới hạn của hàm là x → x 0 bằng giá trị các chức năng tại thời điểm này, tức là .

điểm ngắt
Các điểm mà điều kiện liên tục bị vi phạm được gọi là các điểm không liên tục của hàm.

x0- điểm phá vỡ.

Sơ đồ chung cho các chức năng vẽ biểu đồ

1. Tìm miền xác định của hàm số D (y).

2. Tìm các giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.

3. Khảo sát hàm cho chẵn hay lẻ.

4. Khảo sát chức năng về tính tuần hoàn.

5. Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số.

6. Tìm các khoảng lồi và các điểm uốn của hàm số.

7. Tìm các xấp xỉ của hàm.

8. Dựa trên kết quả nghiên cứu, hãy xây dựng biểu đồ.

Thí dụ: Khám phá hàm số và xây dựng đồ thị của nó: y = x 3 - 3x

1) Hàm được xác định trên toàn bộ trục thực, tức là miền xác định của nó là D (y) = (-∞; + ∞).

2) Tìm giao điểm với các trục tọa độ:

với trục OX: giải phương trình x 3 - 3x \ u003d 0

với trục ОY: y (0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

3) Tìm xem hàm là chẵn hay lẻ:

y (-x) = (-x) 3 - 3 (-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 - 3x) = -y (x)

Theo đó, hàm là số lẻ.

4) Hàm không tuần hoàn.

5) Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số: y ’= 3x 2 - 3.

Điểm tới hạn: 3x 2 - 3 = 0, x 2 = 1, x = ± 1.

y (-1) = (-1) 3 - 3 (-1) = 2

y (1) = 1 3 - 3 * 1 = -2

6) Tìm các khoảng lồi và các điểm uốn của hàm số: y '' = 6x

Điểm tới hạn: 6x = 0, x = 0.

y (0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

7) Hàm là liên tục, nó không có dấu nháy.

8) Dựa vào kết quả đã học, ta sẽ dựng được đồ thị của hàm số.