Phương trình kinh điển của một quả bóng. Các bề mặt cơ bản của không gian và cấu trúc của chúng

Hình ellipsoid là một bề mặt có phương trình là hình chữ nhật Hệ thống Descartes tọa độ Oxyz có dạng a ^ b ^ c > 0. Để tìm ra hình elip trông như thế nào, chúng ta tiến hành như sau. Chúng ta hãy lấy một hình elip trên mặt phẳng Oxz và xoay nó quanh trục Oz (Hình 46). Hình 46 Bề mặt thu được là một Ellipsoid. Hyperbolit. Paraboloid. Xi lanh và hình nón bậc hai. - ellipsoid cách mạng - đã đưa ra ý tưởng về cấu trúc của một ellipsoid tổng quát. Để thu được phương trình của nó, chỉ cần nén hình elip quay đều dọc theo trục Oy với hệ số J ^!, t.c. thay thế y trong phương trình của anh ấy bằng Jt/5). 10.2. Hyperboloid Xoay hyperbola fl i! = a2 c2 1 quanh trục Oz (Hình 47), ta thu được một bề mặt gọi là hyperboloid một lá xoay. Phương trình của nó là *2 + y; thu được theo cách tương tự như trong trường hợp elipsoid xoay. 5) Có thể thu được một hình elip quay bằng cách nén đồng đều hình cầu +yJ + *J = l" dọc theo trục Oz với hệ số ~ ^ 1. Bằng cách nén đồng đều bề mặt này dọc theo trục Oy với hệ số 2 ^ 1 , chúng ta thu được một hyperboloid một tờ có dạng tổng quát. Phương trình của nó là Ellipsoid. Paraboloids và một hình nón bậc hai thu được theo cách tương tự như trong trường hợp ellipsoid đã thảo luận ở trên. , chúng ta thu được một hyperboloid hai tờ có dạng xoay (Hình 48). Bằng cách nén đồng đều bề mặt này dọc theo trục với hệ số 2 ^ 1, chúng ta thu được một hyperboloid hai tờ có dạng tổng quát. y ta thu được phương trình của nó. Quay parabol quanh trục Oz (Hình 49), ta thu được một paraboloid xoay có dạng x2 + y2 = 2 pz quay dọc theo trục Oy với hệ số yj* ^ 1, ta thu được. một paraboloid hình elip. Phương trình của nó thu được từ phương trình của paraboloid quay bằng cách thay thế If, thì chúng ta thu được một paraboloid có dạng như trong Hình 2. 50. 10.4. Paraboloid hyperbol Một paraboloid hyperbol là một bề mặt có phương trình trong hệ tọa độ Cartesian hình chữ nhật nhất định Oxyz có dạng trong đó p > 0, q > 0. Chúng tôi xác định loại bề mặt này bằng cách sử dụng phương pháp được gọi là mặt cắt, bao gồm các phương pháp sau : song song với các mặt phẳng tọa độ, các mặt phẳng được vẽ giao nhau với bề mặt đang nghiên cứu và bằng cách thay đổi cấu hình của các đường cong phẳng thu được, người ta rút ra kết luận về cấu trúc của bề mặt đó. Hãy bắt đầu với các mặt cắt theo mặt phẳng z = h = const, song song với mặt phẳng tọa độ Oxy. Với h > 0, chúng ta thu được các hyperbol cho h - hyperbol liên hợp và cho - một cặp đường thẳng nối với nhau. Lưu ý rằng các đường thẳng này là tiệm cận của mọi hyperbol (tức là. tức là với mọi h Ф 0). Chúng ta hãy chiếu các đường cong kết quả lên mặt phẳng Oxy. Chúng ta có được hình ảnh sau đây (Hình 51). Chỉ riêng việc xem xét này đã cho phép chúng ta đưa ra kết luận về cấu trúc hình yên ngựa của bề mặt đang được xem xét (Hình 52). Hình 51 Hình 52 Bây giờ chúng ta hãy xem xét các mặt cắt bằng mặt phẳng Thay thế các mặt y bằng A trong phương trình, chúng ta thu được phương trình của parabol (Hình 53). Hình ảnh tương tự xảy ra khi mổ xẻ bề mặt nhất định các mặt phẳng Trong trường hợp này, chúng ta cũng thu được các parabol có các nhánh hướng xuống dưới (chứ không hướng lên trên, như đối với một mặt cắt bởi các mặt phẳng y = h) (Hình 54). Bình luận. Sử dụng phương pháp mặt cắt, bạn có thể hiểu cấu trúc của tất cả các bề mặt bậc hai được coi là trước đây. Tuy nhiên, bằng cách xoay các đường cong bậc hai và nén đều sau đó, người ta có thể hiểu được cấu trúc của chúng dễ dàng hơn và nhanh hơn nhiều. Các bề mặt bậc hai còn lại về cơ bản đã được xem xét trước đó. Đây là các hình trụ: hình elip và hình hyperbol. 56 và một hình nón parabol và bậc hai, ý tưởng về chúng có thể thu được bằng cách xoay một cặp đường giao nhau quanh trục Oz và nén sau đó hoặc bằng phương pháp cắt. Tất nhiên, trong cả hai trường hợp, chúng ta thấy rằng bề mặt đang nghiên cứu có dạng như trong Hình 2. 59. a) tính tọa độ các tiêu điểm; , . b) tính độ lệch tâm; . c) viết các phương trình tiệm cận và đường chuẩn; d) viết phương trình hyperbol liên hợp và tính độ lệch tâm của nó. 2. Viết phương trình chính tắc của parabol nếu khoảng cách từ tiêu điểm đến đỉnh là 3. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của elip ^ + = 1 phủ quyết điểm M(4, 3). 4. Xác định loại và vị trí của đường cong theo phương trình: Đáp án: Hình elip, trục chính song song với hình elip. Hyperbolit. Paraboloid. Xi lanh và hình nón bậc hai. trục bò; b) tâm hyperbol O (-1,2), dốc trục X thực là 3; c) parabol У2 = , đỉnh (3, 2), vectơ trục hướng về độ lõm của parabol bằng (-2, -1); d) hyperbol có tâm, tiệm cận song song với trục tọa độ; e) một cặp đường thẳng cắt nhau f) một cặp đường thẳng song song

Nó là một vật thể đẳng cự rỗng có các phần là hình elip và hình parabol. Một paraboloid elip được cho bởi:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Tất cả các phần chính của paraboloid đều là parabol. Khi cắt mặt phẳng XOZ và YOZ chỉ thu được các parabol. Nếu bạn vẽ một phần vuông góc so với mặt phẳng Xoy, bạn có thể có được một hình elip. Hơn nữa, các phần là parabol, được xác định bằng các phương trình có dạng:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Các phần của hình elip được cho bởi các phương trình khác:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Một paraboloid hình elip tại a=b biến thành một paraboloid xoay. Việc xây dựng một paraboloid có một số tính năng cần được tính đến. Bắt đầu thao tác bằng việc chuẩn bị - vẽ đồ thị của hàm.

Để bắt đầu xây dựng một paraboloid, trước tiên bạn phải xây dựng một parabol. Vẽ một parabol trong mặt phẳng Oxz như hình vẽ. Tạo cho paraboloid tương lai một độ cao nhất định. Để làm điều này, hãy vẽ một đường thẳng sao cho nó chạm vào các điểm trên của parabol và song song với trục Ox. Sau đó vẽ một parabol trong mặt phẳng Yoz và vẽ một đường thẳng. Bạn sẽ có hai mặt phẳng paraboloid vuông góc với nhau. Sau đó, trong mặt phẳng Xoy, dựng hình bình hành để vẽ hình elip. Viết một hình elip vào hình bình hành này sao cho nó chạm vào tất cả các cạnh của nó. Sau những phép biến đổi này, hãy xóa hình bình hành đi và phần còn lại là hình ảnh ba chiều parabol.

Ngoài ra còn có một paraboloid hyperbol, có hình dạng lõm hơn hình elip. Các phần của nó cũng có phần mở rộng parabol và trong một số trường hợp - . Các phần chính dọc theo Oxz và Oyz, giống như các phần của một paraboloid hình elip, là các parabol. Chúng được cho bởi các phương trình có dạng:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Nếu bạn vẽ một phần tương ứng với trục Oxy, bạn có thể có được một hyperbol. Khi xây dựng một paraboloid hyperbol, hãy sử dụng phương trình sau:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - paraboloid hyperbol

Ban đầu xây dựng một parabol cố định trong mặt phẳng Oxz. Vẽ một parabol chuyển động trong mặt phẳng Oyz. Sau đó, thiết lập chiều cao của paraboloid h. Để làm điều này, hãy đánh dấu hai điểm trên điểm cố định, đây sẽ là đỉnh của hai điểm có thể di chuyển được. Sau đó vẽ một hệ tọa độ O"x"y" khác để vẽ các hyperbol. Tâm của hệ tọa độ này phải trùng với chiều cao của paraboloid. Sau khi dựng xong hai parabol chuyển động nêu trên sao cho chúng chạm nhau điểm cực trị cường điệu. Kết quả là một paraboloid hyperbol.

Trong quá trình học toán, nhiều học sinh, sinh viên phải đối mặt với việc xây dựng các đồ thị khác nhau, đặc biệt là parabol. Parabol là một trong những đồ thị phổ biến nhất được sử dụng trong nhiều bài kiểm tra, thử nghiệm và công việc thử nghiệm. Vì vậy, việc biết những hướng dẫn xây dựng chúng đơn giản nhất sẽ giúp ích cho bạn rất nhiều.

Bạn sẽ cần

- Thước kẻ và bút chì;
- máy tính.

Hướng dẫn

Để bắt đầu, hãy vẽ các trục tọa độ trên một tờ giấy: trục hoành độ và trục tọa độ. Ký tên vào chúng. Sau đó, hãy làm việc với hàm bậc hai này. Nó sẽ như thế này: y=ax^2+bx+c. Hàm phổ biến nhất là y=x^2, vì vậy nó có thể được sử dụng làm ví dụ.

Sau khi vẽ các trục, hãy tìm tọa độ đỉnh của parabol. Để tìm tọa độ dọc theo trục X, hãy thay thế dữ liệu đã biết vào công thức sau: x=-b/2a, dọc theo trục Y - thay thế kết quả vào hàm. Trong trường hợp hàm y=x^2, tọa độ của đỉnh trùng với tọa độ, tức là. tại điểm (0;0), vì giá trị của biến b là 0 nên x=0. Thay giá trị của x vào hàm y=x^2, không khó để tìm ra giá trị của nó - y=0.

Sau khi tìm thấy đỉnh, hãy quyết định hướng của các nhánh parabol. Nếu hệ số a từ ký hiệu của hàm có dạng y=ax^2+bx+c là dương thì chúng hướng lên trên, nếu âm thì chúng hướng xuống dưới. Đồ thị của hàm số y=x^2 hướng lên trên, vì hệ số a bằng một.

Bước tiếp theo là tính tọa độ của các điểm parabol. Để tìm chúng, hãy thay một số vào giá trị của đối số và tính giá trị của hàm. Để xây dựng một biểu đồ, 2-3 điểm là đủ. Để thuận tiện và rõ ràng hơn, hãy vẽ một bảng với các giá trị của hàm và đối số. Cũng nên nhớ rằng parabol có tính chất đối xứng, điều này giúp việc tạo đồ thị trở nên dễ dàng hơn. Các điểm được sử dụng thường xuyên nhất của parabol y=x^2 là (1;1), (-1;1) và (2;4), (-2;4).

Sau khi vẽ các điểm trên mặt phẳng tọa độ, hãy nối chúng bằng một đường thẳng, tạo cho nó một hình tròn. Không kết thúc biểu đồ ở các điểm trên cùng mà hãy mở rộng nó vì parabol là vô hạn. Đừng quên ký tên vào biểu đồ, đồng thời viết tọa độ cần thiết trên các trục, nếu không, bạn có thể bị cộng một số điểm nhất định nếu mắc lỗi.

Nguồn:

cách vẽ parabol

Parabol là lịch trình hàm bậc hai có dạng y=A x²+B x+C. Trước khi xây dựng đồ thị, cần tiến hành nghiên cứu phân tích hàm số. Thông thường một parabol được vẽ trong Descartes hệ thống hình chữ nhật tọa độ được biểu thị bằng hai trục vuông góc Ox và Oy.

Hướng dẫn

Mục đầu tiên là viết miền định nghĩa của hàm D(y). Một parabol được xác định trên toàn bộ trục số trừ khi có bất kỳ điều kiện bổ sung nào được chỉ định. Điều này thường được biểu thị bằng cách viết D(y)= R, Ở đâu R- rất nhiều người

Với sự khác biệt là thay vì các biểu đồ “phẳng”, chúng ta sẽ xem xét các bề mặt không gian phổ biến nhất và cũng học cách xây dựng chúng một cách thành thạo bằng tay. Tôi đã dành khá nhiều thời gian để lựa chọn các công cụ phần mềm để tạo bản vẽ ba chiều và tìm thấy một số ứng dụng tốt, nhưng mặc dù rất dễ sử dụng nhưng những chương trình này không giải quyết được vấn đề quan trọng câu hỏi thực tế. Thực tế là trong tương lai lịch sử gần, học sinh vẫn sẽ được trang bị thước kẻ và bút chì, thậm chí có một bức vẽ “máy” chất lượng cao, nhiều em sẽ không thể chuyển nó lên giấy ca rô một cách chính xác. Vì vậy, trong hướng dẫn Đặc biệt chú ýđược dành cho kỹ thuật xây dựng thủ công và một phần quan trọng trong hình minh họa của trang là sản phẩm thủ công.

Điều này có gì khác biệt tài liệu tham khảo từ chất tương tự?

Có một cuộc sống đàng hoàng Kinh nghiệm thực tế, Tôi biết rất rõ những bề mặt nào tôi thường phải xử lý nhất trong vấn đề thực sự toán cao hơn, và tôi hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn nhanh chóng bổ sung hành lý của mình những kiến thức và kỹ năng ứng dụng liên quan, đủ trong 90-95% trường hợp.

Những gì bạn cần biết khoảnh khắc này?

Cơ bản nhất:

Đầu tiên, bạn cần có khả năng xây dựng chính xác hệ tọa độ Descartes không gian (xem phần đầu bài viết Đồ thị và tính chất của hàm) .

Bạn sẽ được gì sau khi đọc bài viết này?

Chai Sau khi nắm vững tài liệu bài học, bạn sẽ học cách xác định nhanh loại bề mặt theo chức năng và/hoặc phương trình của nó, tưởng tượng vị trí của nó trong không gian và tất nhiên là vẽ các bức vẽ. Sẽ không sao nếu bạn không hiểu hết mọi thứ sau lần đọc đầu tiên - bạn luôn có thể quay lại bất kỳ đoạn văn nào sau đó nếu cần.

Thông tin nằm trong khả năng của mọi người - để nắm vững thông tin, bạn không cần bất kỳ kiến thức siêu việt hay đặc biệt nào Tài năng nghệ thuật và tầm nhìn không gian.

Bắt đầu!

Trong thực tế, bề mặt không gian thường được cho hàm hai biến hoặc một phương trình có dạng (hằng số ở vế phải thường bằng 0 hoặc một). Tên gọi đầu tiên điển hình hơn cho phân tích toán học, thứ hai - cho hình học giải tích. Về cơ bản phương trình là ngầm đưa ra một hàm gồm 2 biến, trong trường hợp điển hình có thể dễ dàng rút gọn về dạng . Tôi nhắc bạn ví dụ đơn giản nhất c:

–phương trình mặt phẳng loại .

– hàm mặt phẳng trong rõ ràng .

Hãy bắt đầu với nó:

Phương trình chung của mặt phẳng

Tùy chọn điển hình vị trí của các mặt phẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật được thảo luận chi tiết ở đầu bài viết Phương trình mặt phẳng. Tuy nhiên, chúng ta hãy một lần nữa tập trung vào các phương trình có tầm quan trọng lớn đối với thực hành.

Trước hết, bạn phải hoàn toàn tự động nhận biết được phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ. Các mảnh của mặt phẳng được mô tả tiêu chuẩn dưới dạng hình chữ nhật, trong hai trường hợp cuối trông giống như hình bình hành. Theo mặc định, bạn có thể chọn bất kỳ kích thước nào (trong Trong giới hạn cho phép, tất nhiên), và điều mong muốn là điểm mà trục tọa độ “đi xuyên qua” mặt phẳng phải là tâm đối xứng:

Nói đúng ra, các trục tọa độ nên được mô tả bằng các đường chấm ở một số chỗ, nhưng để tránh nhầm lẫn, chúng ta sẽ bỏ qua sắc thái này.

– (hình vẽ bên trái) bất đẳng thức xác định nửa không gian xa chúng ta nhất, không bao gồm chính mặt phẳng;

– (hình vẽ ở giữa) bất đẳng thức xác định nửa không gian bên phải, kể cả mặt phẳng;

– (hình vẽ bên phải) bất đẳng thức kép xác định một “lớp” nằm giữa các mặt phẳng, bao gồm cả hai mặt phẳng.

Để tự khởi động:

ví dụ 1

Vẽ một cơ thể được giới hạn bởi các mặt phẳng
Tạo ra một hệ thống bất bình đẳng xác định một cơ thể nhất định.

Một người quen cũ sẽ xuất hiện dưới sự dẫn dắt của cây bút chì của bạn. hình khối . Đừng quên rằng các cạnh và bề mặt vô hình phải được vẽ bằng một đường chấm. Vẽ xong vào cuối buổi học.

Vui lòng, ĐỪNG BỎ LỠ Mục tiêu học tập, ngay cả khi chúng có vẻ quá đơn giản. Nếu không, có thể xảy ra trường hợp bạn bỏ lỡ một, bỏ lỡ hai và sau đó dành hàng giờ đồng hồ để thử vẽ ba chiều ở một số nơi. ví dụ thực tế. Bên cạnh đó, công việc cơ khí sẽ giúp bạn học tài liệu hiệu quả hơn và phát triển trí thông minh của mình hơn! Không phải ngẫu nhiên mà Mẫu giáo Và trường tiểu học trẻ em có rất nhiều công việc vẽ, làm mô hình, xây dựng và các công việc khác để kỹ năng vận động tinh ngón tay. Xin lỗi vì đã lạc đề, nhưng đừng để hai cuốn sổ của tôi bị thất lạc nhé tâm lý học phát triển =)

Nhóm tiếp theo Chúng ta sẽ gọi một cách có điều kiện các mặt phẳng là “tỷ lệ trực tiếp” - đây là những mặt phẳng đi qua các trục tọa độ:

2) phương trình có dạng xác định một mặt phẳng đi qua trục;

3) một phương trình có dạng xác định một mặt phẳng đi qua trục.

Mặc dù dấu hiệu chính thức là rõ ràng (biến nào bị thiếu trong phương trình - mặt phẳng đi qua trục đó), việc hiểu bản chất của các sự kiện đang diễn ra luôn hữu ích:

Ví dụ 2

Xây dựng mặt phẳng

Cách tốt nhất để xây dựng là gì? Tôi đề xuất thuật toán sau:

Trước tiên, hãy viết lại phương trình ở dạng , từ đó ta thấy rõ chữ “y” có thể lấy bất kìý nghĩa. Chúng ta hãy sửa giá trị, nghĩa là chúng ta sẽ xem xét mặt phẳng tọa độ. Bộ phương trình đường không gian, nằm trong một mặt phẳng tọa độ cho trước. Hãy mô tả đường này trong bản vẽ. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên để dựng nó chỉ cần tìm một điểm. Cho phép . Dành một điểm và vẽ một đường thẳng.

Bây giờ chúng ta trở lại phương trình của mặt phẳng. Vì chữ "Y" chấp nhận bất kì thì đường thẳng dựng trên mặt phẳng sẽ liên tục được “sao chép” sang trái và sang phải. Đây chính xác là cách mặt phẳng của chúng ta được hình thành, đi qua trục. Để hoàn thành việc vẽ, ở bên trái và bên phải của đoạn thẳng ta đặt hai những đường thẳng song song và “đóng” hình bình hành tượng trưng bằng các đoạn nằm ngang:

Vì điều kiện không áp đặt hạn chế bổ sung, thì một mảnh của mặt phẳng có thể được mô tả ở kích thước nhỏ hơn hoặc lớn hơn một chút.

Chúng ta hãy nhắc lại một lần nữa ý nghĩa của không gian bất đẳng thức tuyến tính Ví dụ . Làm thế nào để xác định nửa không gian nó xác định? Chúng ta hãy lấy một số điểm không thuộc về mặt phẳng, ví dụ, một điểm trong nửa không gian gần chúng ta nhất và thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức:

Đã nhận sự bất bình đẳng thực sự , có nghĩa là bất đẳng thức xác định nửa không gian dưới (so với mặt phẳng), trong khi bản thân mặt phẳng đó không được đưa vào nghiệm.

Ví dụ 3

Xây dựng máy bay
MỘT) ;
b) .

Đây là những nhiệm vụ để tự xây dựng; trong trường hợp khó khăn, hãy sử dụng lý luận tương tự. Hướng dẫn ngắn gọn và hình vẽ ở cuối bài.

Trong thực tế, các mặt phẳng song song với trục đặc biệt phổ biến. Trường hợp đặc biệt khi mặt phẳng đi qua trục vừa nói ở điểm “be”, bây giờ chúng ta sẽ phân tích thêm nhiệm vụ chung:

Ví dụ 4

Xây dựng mặt phẳng

Giải pháp: biến “z” không được đưa vào phương trình một cách rõ ràng, có nghĩa là mặt phẳng song song với trục ứng dụng. Hãy sử dụng kỹ thuật tương tự như trong các ví dụ trước.

Viết lại phương trình mặt phẳng dưới dạng từ đó rõ ràng là “zet” có thể lấy bất kìý nghĩa. Hãy sửa nó và vẽ một đường thẳng “phẳng” đều đặn trong mặt phẳng “bản địa”. Để xây dựng nó, thuận tiện là lấy điểm tham chiếu.

Vì "Z" chấp nhận Tất cả các giá trị thì đường thẳng đã dựng sẽ liên tục “nhân” lên xuống, từ đó tạo thành mặt phẳng mong muốn . Chúng tôi cẩn thận vẽ một hình bình hành có kích thước hợp lý:

Sẵn sàng.

Phương trình mặt phẳng trong các đoạn

Sự đa dạng được áp dụng quan trọng nhất. Nếu như Tất cả tỷ lệ cược phương trình tổng quát của mặt phẳng khác không, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn. Rõ ràng là mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm , và ưu điểm lớn của phương trình như vậy là dễ dàng xây dựng hình vẽ:

Ví dụ 5

Xây dựng mặt phẳng

Giải pháp: Đầu tiên hãy lập phương trình mặt phẳng theo các đoạn. Hãy ném số hạng tự do sang bên phải và chia cả hai vế cho 12:

Không, không có lỗi đánh máy ở đây và mọi thứ đều diễn ra trong không gian! Chúng tôi kiểm tra bề mặt được đề xuất bằng phương pháp tương tự được sử dụng gần đây cho các mặt phẳng. Hãy viết lại phương trình ở dạng , từ đó mà “zet” lấy bất kìý nghĩa. Chúng ta hãy cố định và dựng một hình elip trong mặt phẳng. Vì "zet" chấp nhận Tất cả các giá trị, thì hình elip được xây dựng sẽ liên tục được “sao chép” lên và xuống. Dễ dàng hiểu rằng bề mặt vô hạn:

Bề mặt này được gọi là hình trụ hình elip. Một hình elip (ở mọi độ cao) được gọi là hướng dẫn hình trụ và các đường thẳng song song đi qua từng điểm của elip được gọi là hình thành xi lanh (là theo đúng nghĩa đen các từ tạo thành nó). Trục là trục đối xứng bề mặt (nhưng không phải là một phần của nó!).

Tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc một bề mặt nhất định nhất thiết phải thỏa mãn phương trình .

không gian bất đẳng thức xác định phần “bên trong” của “ống” vô hạn, bao gồm cả bề mặt hình trụ, và theo đó, bất đẳng thức ngược lại xác định tập hợp các điểm bên ngoài hình trụ.

Phổ biến nhất trong các ứng dụng thực tế trương hợp đặc biệt, Khi hướng dẫn xi lanh là vòng tròn:

Ví dụ 8

Xây dựng một bề mặt được cho bởi phương trình

Không thể miêu tả một “đường ống” vô tận, vì vậy nghệ thuật thường chỉ giới hạn ở việc “cắt tỉa”.

Đầu tiên, thật thuận tiện khi xây dựng một vòng tròn bán kính trong mặt phẳng, sau đó thêm một vài vòng tròn bên trên và bên dưới. Các vòng tròn kết quả ( hướng dẫn trụ) nối cẩn thận bằng bốn đường thẳng song song ( hình thành hình trụ):

Đừng quên sử dụng các đường chấm chấm cho các đường mà chúng ta không nhìn thấy được.

Tọa độ của điểm bất kỳ thuộc một hình trụ cho trước thỏa mãn phương trình . Tọa độ của điểm bất kỳ nằm trọn trong “ống” thỏa mãn bất đẳng thức , và bất đẳng thức xác định một tập hợp các điểm của phần bên ngoài. Vì hiểu biết tốt hơn Tôi khuyên bạn nên xem xét một số điểm cụ thể trong không gian và tự mình quan sát.

Ví dụ 9

Xây dựng một bề mặt và tìm hình chiếu của nó lên mặt phẳng

Hãy viết lại phương trình ở dạng từ đó nó theo sau "x" mất bất kìý nghĩa. Hãy để chúng tôi sửa chữa và mô tả trong mặt phẳng vòng tròn– tâm ở gốc tọa độ, bán kính đơn vị. Vì "x" liên tục chấp nhận Tất cả các giá trị thì đường tròn được tạo sẽ tạo ra một hình trụ tròn có trục đối xứng. Vẽ một vòng tròn khác ( hướng dẫn hình trụ) và cẩn thận nối chúng bằng các đường thẳng ( hình thành hình trụ). Có chỗ chồng chéo nhưng phải làm sao, dốc như vậy:

Lần này tôi giới hạn bản thân ở một mảnh hình trụ trong khoảng trống, và điều này không phải ngẫu nhiên. Trong thực tế, thường chỉ cần khắc họa một phần nhỏ của bề mặt.

Nhân tiện, ở đây có 6 thế hệ - hai đường thẳng bổ sung “che phủ” bề mặt từ góc trên bên trái và góc dưới bên phải.

Bây giờ chúng ta xét hình chiếu của một hình trụ lên một mặt phẳng. Nhiều độc giả hiểu phép chiếu là gì, tuy nhiên, chúng ta hãy tiến hành một bài tập thể chất kéo dài năm phút khác. Hãy đứng và cúi đầu trước bức vẽ sao cho điểm của trục vuông góc với trán của bạn. Hình trụ nhìn từ góc này là hình chiếu của nó lên một mặt phẳng. Nhưng nó dường như là một dải vô tận, được bao bọc giữa các đường thẳng, bao gồm cả chính các đường thẳng đó. Phép chiếu này chính xác lãnh địa các chức năng ("máng xối" phía trên của hình trụ), ("máng xối" phía dưới).

Nhân tiện, hãy làm rõ tình huống bằng cách chiếu lên các mặt phẳng tọa độ khác. Hãy để tia nắng chiếu vào hình trụ từ đầu và dọc theo trục. Bóng (hình chiếu) của hình trụ lên một mặt phẳng cũng là một dải vô hạn tương tự - một phần của mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng (- bất kỳ), kể cả chính các đường thẳng đó.

Nhưng hình chiếu lên mặt phẳng có phần khác nhau. Nếu nhìn hình trụ từ đầu trục thì nó sẽ được chiếu thành hình tròn có bán kính một đơn vị , nhờ đó chúng tôi đã bắt đầu xây dựng.

Ví dụ 10

Xây dựng một bề mặt và tìm hình chiếu của nó lên các mặt phẳng tọa độ

Đây là nhiệm vụ dành cho quyết định độc lập. Nếu điều kiện không rõ ràng lắm, hãy bình phương cả hai vế và phân tích kết quả; tìm ra phần nào của hình trụ được chỉ định bởi hàm. Sử dụng kỹ thuật xây dựng được sử dụng nhiều lần ở trên. Giải pháp nhanh, vẽ và nhận xét cuối bài.

Hình elip và những thứ khác bề mặt hình trụ có thể bị dịch chuyển so với trục tọa độ, Ví dụ:

(dựa trên động cơ quen thuộc của bài viết về dòng lệnh thứ 2) - một hình trụ có bán kính đơn vị có đường đối xứng đi qua một điểm song song với trục. Tuy nhiên, trong thực tế, những hình trụ như vậy khá hiếm gặp và việc gặp phải một bề mặt hình trụ “xiên” so với các trục tọa độ là điều hoàn toàn không thể tin được.

Trụ parabol

Đúng như tên gọi, hướng dẫn một hình trụ như vậy là parabol.

Ví dụ 11

Xây dựng một bề mặt và tìm hình chiếu của nó lên các mặt phẳng tọa độ.

Tôi không thể cưỡng lại ví dụ này =)

Giải pháp: Chúng ta hãy đi dọc theo con đường bị đánh đập. Chúng ta hãy viết lại phương trình dưới dạng, từ đó “zet” có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Chúng ta hãy cố định và dựng một parabol thông thường trên mặt phẳng, trước đó đã đánh dấu các điểm hỗ trợ tầm thường. Vì "Z" chấp nhận Tất cả các giá trị thì parabol được xây dựng sẽ liên tục được “sao chép” lên xuống đến vô cùng. Chẳng hạn, chúng ta đặt cùng một parabol ở độ cao (trong mặt phẳng) và cẩn thận nối chúng bằng các đường thẳng song song ( hình thành xi lanh):

Tôi nhắc bạn hữu ích kỹ thuật kỹ thuật : nếu ban đầu bạn không chắc chắn về chất lượng của bản vẽ, thì trước tiên tốt hơn là bạn nên vẽ các đường thật mỏng bằng bút chì. Sau đó, chúng tôi đánh giá chất lượng của bản phác thảo, tìm ra những khu vực mà bề mặt bị che khuất khỏi mắt chúng tôi và chỉ sau đó mới tạo áp lực lên bút cảm ứng.

Phép chiếu.

1) Hình chiếu của hình trụ lên mặt phẳng là hình parabol. Cần lưu ý rằng trong trường hợp này không thể nói về miền định nghĩa của hàm hai biến– vì lý do phương trình hình trụ không thể rút gọn về dạng hàm.

2) Hình chiếu của hình trụ lên một mặt phẳng là nửa mặt phẳng, kể cả trục

3) Và cuối cùng, hình chiếu của hình trụ lên mặt phẳng là toàn bộ mặt phẳng.

Ví dụ 12

Xây dựng hình trụ parabol:

a) giới hạn bản thân ở một mảnh bề mặt trong nửa không gian gần;

b) trong khoảng

Trong trường hợp khó khăn, chúng tôi không vội vàng và lý luận bằng cách tương tự với các ví dụ trước đó; rất may là công nghệ đã được phát triển kỹ lưỡng. Sẽ không có gì quan trọng nếu các bề mặt trở nên hơi vụng về - điều quan trọng là phải hiển thị chính xác hình ảnh cơ bản. Bản thân tôi không thực sự bận tâm đến vẻ đẹp của đường nét; nếu đạt được một bức vẽ đạt điểm C, tôi thường không làm lại. Nhân tiện, giải pháp mẫu sử dụng một kỹ thuật khác để cải thiện chất lượng bản vẽ ;-)

hình trụ hyperbol

Hướng dẫn những hình trụ như vậy là hyperbol. Theo quan sát của tôi, loại bề mặt này ít phổ biến hơn nhiều so với các loại trước đó, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một bản vẽ sơ đồ duy nhất của một hình trụ hyperbol:

Nguyên tắc lý luận ở đây hoàn toàn giống nhau - thông thường cường điệu trường học từ mặt phẳng liên tục “nhân” lên xuống đến vô cùng.

Các hình trụ được xem xét thuộc về cái gọi là bề mặt bậc 2, và bây giờ chúng ta sẽ tiếp tục làm quen với các đại diện khác của nhóm này:

Hình elip. Quả cầu và quả bóng

phương trình chính tắc một elipsoid trong hệ tọa độ chữ nhật có dạng , Ở đâu - số dương (trục trục ellipsoid), trong đó trường hợp chung khác biệt. Hình elip được gọi là bề mặt, Vì thế thân hình, bị giới hạn bởi một bề mặt nhất định. Cơ thể, như nhiều người đã đoán, được quyết định bởi sự bất bình đẳng và tọa độ của bất kỳ điểm nội bộ(cũng như bất kỳ điểm nào trên bề mặt) nhất thiết phải thỏa mãn bất đẳng thức này. Thiết kế đối xứng về trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ:

Nguồn gốc của thuật ngữ “ellipsoid” cũng rất rõ ràng: nếu bề mặt bị “cắt” mặt phẳng tọa độ, thì các phần sẽ có ba phần khác nhau (trong trường hợp chung)