Vấn đề là việc đánh giá. 1

Tôi nên bắt đầu với đánh giá nào? Một trong những phương pháp nổi tiếng và dễ sử dụng nhất là phương pháp khoảnh khắc. Cái tên này xuất phát từ thực tế là phương pháp này dựa vào việc sử dụng các khoảnh khắc mẫu

trong đó x1, x2,…, xn là mẫu, tức là một tập hợp các biến ngẫu nhiên được phân phối giống hệt độc lập với các giá trị số.

Trong thống kê ứng dụng, một phương pháp phân tích dữ liệu được gọi là phương pháp khoảnh khắc nếu nó sử dụng số liệu thống kê

Ở đâu g: R q >R k- một số chức năng (ở đây k- số tham số số chưa biết). Thông thường thuật ngữ “phương pháp khoảnh khắc” được sử dụng khi Chúng ta đang nói về về ước lượng tham số. Trong trường hợp này, người ta thường giả định rằng mật độ xác suất phân bố của các phần tử mẫu f(x) được bao gồm trong họ tham số được biết trước trong thống kê ( f(x;i), iєI), tức là f(x) = f(x;và 0) với some và 0 . Ở đây tôi là người được xác định trước k không gian tham số chiều, là tập con của không gian Euclide R k, còn giá trị cụ thể của tham số và số liệu thống kê 0 chưa xác định thì cần ước tính. Người ta cũng biết rằng tham số chưa biết được xác định bằng cách sử dụng hàm thống kê đã biết thông qua các khoảnh khắc ban đầu của các phần tử mẫu:

Trong phương pháp khoảnh khắc, số liệu thống kê được sử dụng làm ước tính và 0 Y N loại (1), khác với công thức (1) ở chỗ điểm lý thuyếtđược thay thế bằng những cái có chọn lọc.

Số liệu thống kê Y N loại (1) không chỉ được sử dụng để ước tính các tham số mà còn để ước tính phi tham số các đặc điểm của một biến ngẫu nhiên, chẳng hạn như hệ số biến thiên và để kiểm tra các giả thuyết. Trong mọi trường hợp sử dụng số liệu thống kê Y N loại (1) được gọi là phương pháp mômen.

Phân bố vectơ Y N trong tất cả các trường hợp thực tế quan trọng là tiệm cận chuẩn tắc. Tuyên bố này dựa trên thực tế chung sau đây.

Đặt một vectơ ngẫu nhiên Z N є R q tiệm cận bình thường với kỳ vọng toán học z? và ma trận hiệp phương sai || c ij ||/N, và hàm h: R q > R 1 khá mượt mà. Sau đó giá trị ngẫu nhiên h(Z N) là tiệm cận chuẩn tắc với kỳ vọng toán học h(z?) và phương sai

Để có được sự phân bố tiệm cận của số liệu thống kê Y N dạng (1) người ta có thể áp dụng phương pháp tuyến tính hóa cho tiệm cận Vector bình thường khoảnh khắc mẫu ( M N 1 , M N 2 , …, M N q) và chức năng g từ công thức (1).

Để áp dụng công thức (3), cần sử dụng phương sai tiệm cận và hiệp phương sai của mômen mẫu, tức là đại lượng được chỉ định trong công thức (3) là c rs. Các đại lượng này có dạng:

Đây m r là lý thuyết tâm điểmđặt hàng r, I E.

Vì vậy, để thu được phân bố tiệm cận của một biến ngẫu nhiên Y N dạng (1) chỉ cần biết các khoảnh khắc trung tâm lý thuyết của kết quả quan sát và dạng của hàm số là đủ g.

Tuy nhiên, những khoảnh khắc vẫn chưa được biết. Họ phải được đánh giá. Theo các định lý về sự kế thừa sự hội tụ, để tìm sự phân bố tiệm cận của hàm của các mô men mẫu, người ta không thể sử dụng các mômen lý thuyết mà sử dụng các ước tính nhất quán của chúng. Những ước tính này có thể thu được những cách khác. Bạn có thể áp dụng trực tiếp các công thức (4), thay thế các điểm lý thuyết bằng các điểm chọn lọc. Có thể biểu diễn khoảnh khắc thông qua các tham số của phân bố đang xét.

Để ước tính các tham số của phân bố gamma, chúng tôi sử dụng công thức nổi tiếng, theo đó đối với một biến ngẫu nhiên X, có phân bố gamma với các tham số hình dạng MỘT, tỉ lệ b=1 và dịch chuyển c=0,

Kể từ đây, M(X) = Một, M(X 2) = Một(Một+1), D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 = Một(Một+1) - Một 2 = Một. Hãy tìm khoảnh khắc trung tâm thứ ba M(X - M(X)) 3. Bình đẳng là công bằng

M(X - M(X)) 3 = M(X 3) - 3 M(X 2) M(X) + 3 M(X) ( M(X)) 2 - (M(X)) 3

Từ đẳng thức (6) suy ra rằng

M(X - M(X)) 3 = Một(Một+1)(Một+2) - 3 Một (Một+1) Một + 3 Một Một 2 - Một 3 = 2Một.

Nếu như Y- một biến ngẫu nhiên có phân bố gamma với các tham số hình dạng tùy ý Một, tỉ lệ b và dịch chuyển c, Cái đó Y =bX + c. Kể từ đây, M(Y) = bụng+c, D(Y) = bụng 2 , M(Y - M(Y)) 3 = 2Một b 3 .

Phương pháp khoảnh khắc là phổ quát. Tuy nhiên, các ước tính thu được với sự trợ giúp của nó chỉ trong những trường hợp hiếm hoi mới có đặc tính tối ưu. Do đó, các loại ước tính khác được sử dụng trong thống kê ứng dụng.

Chuỗi phân phối biến thể bao gồm hai yếu tố biến thể và tần số.

Tùy chọn Các giá trị số của một đặc tính định lượng trong chuỗi phân phối được gọi là chúng có thể dương và âm, tuyệt đối và tương đối. Tần số– đây là số lượng các biến thể riêng lẻ hoặc từng nhóm của chuỗi biến thể. Tổng của tất cả các tần số được gọi là thể tích của quần thể và xác định số phần tử của toàn bộ quần thể.

Các hàng phân phối có thể được hình thành theo nguyên tắc định tính (thuộc tính) và định lượng. Trong trường hợp đầu tiên họ được gọi. thuộc tính, và trong thứ hai - biến thể.

Chuỗi biến thiên của phân bố theo cách xây dựng có thể rời rạc và có khoảng:

Đĩa. các biến thể. phạm vi phân phối - các nhóm dựa trên một đặc điểm thay đổi một cách riêng biệt và chỉ chấp nhận các giá trị nguyên. Khoảng thay đổi. phạm vi phân phối - dấu nhóm, trạng thái của nhóm, có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng xác định. Số đơn vị tần số trên một đơn vị int-la được gọi là. mật độ phân bố. Một số tần số tích lũy (tích lũy) - hiển thị số trường hợp ở dưới hoặc trên một mức nhất định. Biểu diễn đồ họa của một loạt phân bố: sơ đồ tuyến tính, phẳng, biểu đồ, đường cong tích lũy (mô tả một loạt tần số tích lũy)

9. Trung bình số học có trọng số.

Khi tính giá trị trung bình, các giá trị riêng lẻ của đặc tính được lấy trung bình có thể được lặp lại, do đó giá trị trung bình được tính bằng cách sử dụng dữ liệu được nhóm. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về việc sử dụng trung bình cộng có trọng số số học, có dạng: X trung bình = (EXi*fi)/ Efi

Khi tính giá trị trung bình trên một chuỗi biến thiên theo khoảng, để thực hiện các phép tính cần thiết, người ta sẽ di chuyển từ các khoảng đến điểm giữa của chúng.

Tính giá trị trung bình theo phương pháp mômen. Dựa trên thuộc tính trung bình số học. Là số 0 có điều kiện – X0, chọn phần giữa của một trong các khoảng trung tâm, có tần số cao nhất.Phương pháp này chỉ được sử dụng trong các hàng có khoảng cách bằng nhau.

10. Hài hòa có nghĩa là đơn giản và có trọng lượng.

Ý nghĩa hài hòa. Giá trị trung bình này được gọi là giá trị trung bình số học nghịch đảo vì giá trị này được sử dụng khi k = -1. Ý nghĩa hài hòa đơn giảnđược sử dụng khi trọng số của các giá trị thuộc tính giống nhau. Công thức của nó có thể được suy ra từ công thức cơ bản bằng cách thay k = -1:

ĐẾN Ví dụ: chúng ta cần tính tốc độ trung bình của hai ô tô đi trên cùng một con đường nhưng ở các tốc độ khác nhau: ô tô thứ nhất có tốc độ 100 km/h, ô tô thứ hai có tốc độ 90 km/h. Sử dụng phương pháp trung bình điều hòa, chúng tôi tính tốc độ trung bình:

Trong thực tế thống kê, nó thường được sử dụng cân nặng hài hòa, công thức con mèo trông như sau:

Công thức này được sử dụng trong trường hợp trọng số (hoặc thể tích của hiện tượng) cho mỗi thuộc tính không bằng nhau. Trong mối quan hệ ban đầu để tính trung bình, tử số đã biết nhưng mẫu số thì chưa biết.

Ví dụ, khi tính toán giá trung bình chúng ta phải sử dụng tỷ lệ giữa số lượng bán được với số lượng đơn vị bán được. Chúng tôi không biết số lượng đơn vị đã bán (chúng tôi đang nói về các sản phẩm khác nhau), nhưng chúng tôi biết số lượng bán ra của các sản phẩm khác nhau này. Giả sử bạn cần tìm ra giá trung bình của hàng hóa được bán: Loại sản phẩm Giá mỗi đơn vị, chà Số lượng bán ra, chà.

Chúng tôi nhận được

E Nếu bạn sử dụng công thức trung bình số học ở đây, bạn có thể nhận được mức giá trung bình không thực tế:

11. Tính đơn giản của phép tính trung bình. (cf. Ar.) (phương pháp khoảnh khắc).

Sử dụng St. Thứ Tư. ar., nó có thể được tính toán dấu vết. cách: 1) trừ một số không đổi khỏi tất cả các tùy chọn (giá trị của tùy chọn ở giữa tốt hơn); 2) chia các tùy chọn cho một số không đổi - cho kích thước của khoảng; 3) biểu thị tần số theo %. Tính toán trung bình ar. Hai phương pháp đầu tiên được gọi là phương pháp đếm từ đầu có điều kiện (phương pháp khoảnh khắc). Phương pháp này được sử dụng trong các hàng ở các khoảng thời gian khác nhau. Thứ Tư. ar. trong trường hợp này chắc chắn. bởi f-le:

Trong đó m là khoảnh khắc đặt hàng đầu tiên; x 0 – điểm quy chiếu; K - giá trị khoảng.

12. Mode và trung vị.

D Để xác định cấu trúc của dân số, các chỉ số trung bình đặc biệt được sử dụng, bao gồm trung vị và chế độ, hay còn gọi là trung bình cấu trúc. Trung bình(Me) là giá trị tương ứng với tùy chọn nằm ở giữa chuỗi xếp hạng. Đối với chuỗi xếp hạng có số lẻ các giá trị riêng lẻ (ví dụ: 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10), trung vị sẽ là giá trị nằm ở giữa của chuỗi loạt, tức là cường độ thứ năm. Đối với chuỗi xếp hạng có số chẵn các giá trị riêng lẻ (ví dụ: 1, 5, 7, 10, 11, 14), trung vị sẽ là trung bình đại lượng số học, được tính từ hai giá trị liền kề. Trong trường hợp của chúng tôi, trung vị là (7+10): 2= 8,5. Tức là muốn tìm số trung vị trước tiên bạn cần xác định nó số seri(vị trí của nó trong dãy xếp hạng) theo công thức Nme=(n+1)/2, trong đó n là số đơn vị trong tổng. Giá trị bằng số của trung vị được xác định từ tần số tích lũy trong một chuỗi biến thiên rời rạc. Để làm điều này, trước tiên bạn phải chỉ ra khoảng mà trung vị được tìm thấy trong chuỗi khoảng của phân phối. Trung vị là khoảng đầu tiên trong đó tổng tần số tích lũy vượt quá một nửa số quan sát trong tổng số tất cả các quan sát. Giá trị bằng số của trung vị thường được xác định theo công thức ----- trong đó xMe là giới hạn dưới của khoảng trung vị; i - giá trị khoảng; S-1 là tần số tích lũy của khoảng trước trung vị; f là tần số của khoảng trung vị.

Thời trang (Mo) Họ gọi giá trị của một đặc điểm xảy ra thường xuyên nhất trong các đơn vị dân số. Đối với dòng rời rạc, chế độ sẽ là tùy chọn có tần số cao nhất. Để xác định chế độ của chuỗi khoảng, trước tiên hãy xác định khoảng thời gian (quãng có tần số cao nhất). Sau đó, trong khoảng này, giá trị của đối tượng được tìm thấy, có thể là một chế độ. Để tìm một giá trị chế độ cụ thể, bạn cần sử dụng công thức

trong đó xMo là giới hạn dưới của khoảng thời gian; iMo là giá trị của khoảng thời gian; fMo - tần số của khoảng thời gian; fMo-1 - tần số của khoảng trước nhịp điệu; fMo+1 - tần số của khoảng theo sau phương thức.

Thời trang có sử dụng rộng rãi trong hoạt động tiếp thị khi nghiên cứu nhu cầu của người tiêu dùng, đặc biệt là khi xác định kích cỡ quần áo và giày dép phổ biến nhất và khi điều chỉnh chính sách giá cả.

13. Tính chất của số học trung bình. (xem Ar.)

1.Nếu có một số không đổi trong số tất cả các tùy chọn trong một chuỗi (-) hoặc cho tất cả các tùy chọn (+), thì hãy xem. ar. sẽ giảm hoặc tăng theo con số này tương ứng.
.2.Nếu tất cả các biến thể của một chuỗi được nhân hoặc chia cho một số không đổi thì cf. ar. theo đó sẽ tăng hoặc giảm theo số lần này.
3. Nếu tất cả các tần số được tăng hoặc giảm một số lần không đổi thì giá trị trung bình sẽ không thay đổi.
.

4. Tổng độ lệch của tất cả các biến thể của chuỗi so với mức trung bình. ar. = 0. (Tính chất 0 của giá trị trung bình). . 5. Σf i =Σsửa i . Tích của giá trị trung bình với tổng tần số luôn bằng tổng các tích của biến thể theo tần số.

6
.Tổng độ lệch bình phương của tất cả các biến thể của chuỗi so với mức trung bình. ar.

Tính chất này là cơ sở của phương pháp bình phương nhỏ nhất, con mèo. được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu thống kê. các mối quan hệ.

14. Các loại phân tán. Quy tắc cộng chúng .

R Có ba loại phương sai: chung; trung bình trong nhóm; liên nhóm. Tổng phương sai ( 2 ồ ) đặc trưng cho sự biến đổi của một đặc điểm của toàn bộ quần thể dưới tác động của tất cả các yếu tố gây ra sự biến đổi này. Giá trị này được xác định theo công thức  2 о =  (trung bình X – Xо) 2 *f / f, trong đó trung bình X® là trung bình số học tổng thể của toàn bộ tổng thể được nghiên cứu. Phương sai trung bình trong nhóm ( 2 trung bình) biểu thị một biến thể ngẫu nhiên có thể phát sinh dưới ảnh hưởng của bất kỳ yếu tố nào không được tính đến và không phụ thuộc vào thuộc tính yếu tố tạo thành cơ sở của nhóm. Phương sai này được tính như sau: đầu tiên, phương sai được tính cho từng nhóm riêng lẻ (  2 Tôi), thì phương sai trung bình trong nhóm được tính (  2 Tôi trung bình): trong đó ni là số lượng đơn vị trong nhóm. Phương sai giữa các nhómđặc trưng cho sự biến đổi có hệ thống, tức là sự khác biệt về giá trị của đặc tính đang nghiên cứu, phát sinh dưới ảnh hưởng của yếu tố đặc trưng tạo thành cơ sở của việc phân nhóm. Phương sai này được tính bằng công thức

G de - giá trị trung bình cho một nhóm riêng biệt. Tất cả ba loại phân tán được kết nối với nhau: tổng phương sai bằng tổng của giá trị trung bình phương sai trong nhóm và phương sai giữa các nhóm:

D Mối quan hệ này phản ánh quy luật, được gọi là quy tắc cộng phương sai. Theo định luật (quy tắc) này, tổng phương sai phát sinh dưới tác động của tất cả các yếu tố bằng tổng phương sai xuất hiện cả dưới tác động của thuộc tính yếu tố tạo thành cơ sở của nhóm và dưới ảnh hưởng của các yếu tố khác. Nhờ quy tắc cộng phương sai, có thể xác định phần nào của tổng phương sai bị ảnh hưởng bởi thuộc tính yếu tố tạo thành cơ sở của nhóm.

15 . Các loại trung bình. Tính toán của họ .

16. Các chỉ tiêu biến thiên dùng trong thống kê.

Biến thể, tức là sự khác biệt giữa các mức độ của cùng một chỉ báo ở các đối tượng khác nhau về bản chất là khách quan và giúp hiểu được bản chất của hiện tượng đang được nghiên cứu. Có một số phương pháp được sử dụng để đo lường sự thay đổi trong số liệu thống kê. Cách đơn giản nhất để tính chỉ số là phạm vi biến đổi H là sự khác biệt giữa Xmax và Xmin: H=Xmax - Xmin. Nhưng phạm vi biến đổi chỉ thể hiện các giá trị cực trị của tính trạng. Độ lặp lại của các giá trị trung gian không được tính đến ở đây. Độ lệch tuyến tính trung bình d là trung bình số học của độ lệch tuyệt đối của đặc tính so với mức trung bình của nó: d =  (trung bình Xi – X) / n. Khi các giá trị X riêng lẻ có thể lặp lại, công thức trung bình số học có trọng số sẽ được sử dụng. Trong nghiên cứu thống kê, chỉ số thường được sử dụng nhất để đo lường sự thay đổi là phương sai:δ =  (trung bình Xi – X) 2/n. Chỉ số s bằng √δ 2 được gọi là giá trị trung bình độ lệch vuông. Giá trị Mx = √(δ 2 /n) là sai số lấy mẫu trung bình và là đặc tính của độ lệch của giá trị trung bình mẫu so với giá trị trung bình thực của nó. Mục lục lỗi trung bình sử dụng trong việc đánh giá độ tin cậy của kết quả quan sát mẫu. Coeff dao động phản ánh sự dao động của các giá trị cực trị của một đặc tính xung quanh mức trung bình: Ko = (trung bình R/X)*100%. Tắt tuyến tính tương đốiđặc trưng cho tỷ trọng của giá trị trung bình của dấu của độ lệch tuyệt đối so với giá trị trung bình Kd = (d trung bình / X trung bình) * 100%. Hệ số biến thiên: V = (δ/X trung bình)*100%

17. Các kỹ thuật đơn giản nhất để xử lý chuỗi động học.

Các loại chuỗi thời gian xử lý đơn giản nhất là: mở rộng các khoảng, phương pháp trung bình động, căn chỉnh phân tích, ngoại suy và nội suy.

Mở rộng các khoảng. Chuỗi động học được chia thành một số đủ lớn khoảng bằng nhau. Nếu mức trung bình trong các khoảng không cho phép người ta nhìn thấy xu hướng phát triển, hãy tiến hành tính toán các mức trong khoảng thời gian dài, tăng độ dài của mỗi khoảng (giảm số lượng khoảng). Trung bình động. Trong phương pháp này, các mức ban đầu của chuỗi được thay thế bằng các giá trị trung bình thu được từ một mức nhất định và một số mức đối xứng xung quanh nó. Số nguyên các mức mà giá trị trung bình được tính toán được gọi là khoảng làm mịn. Để tạo ra một mô hình thể hiện xu hướng chính của sự thay đổi mức độ của chuỗi động theo thời gian, nó được sử dụng căn chỉnh phân tích loạt động lực học. Các mô hình đơn giản nhất thể hiện xu hướng phát triển là: hàm tuyến tính của một đường thẳng, hàm mũ, parabol, parabol bậc n, hyperbol, hàm mũ. Đôi khi cần phải thấy trước mức độ tương lai của một loạt các động lực. Trong những trường hợp như vậy, họ sử dụng kỹ thuật xử lý chuỗi động học, được gọi là phép ngoại suy: y n +1 = y n + ∆y n +∆∆y n, trong đó y n +1 là cấp độ chưa biết của chuỗi, y n là cấp độ đã biết cuối cùng của chuỗi, ∆y n là mức tăng tuyệt đối của chuỗi ở cấp độ cuối cùng của chuỗi (∆y n = y n - y n -1), ∆∆y n - thay đổi mức tăng ở cấp độ cuối cùng của chuỗi. Cùng với phép ngoại suy, kỹ thuật xử lý chuỗi thời gian sau đây đôi khi được sử dụng, chẳng hạn như phép nội suy- tìm kiếm nhân tạo các thành viên bị thiếu trong một chuỗi động. Cấp độ chưa biết của chuỗi được tìm theo công thức: y i = (y i +1 + y i -1) / 2. Trong đó: y i là cấp độ chưa biết của chuỗi, y i +1 là cấp độ tiếp theo của chuỗi, y i - 1 là cấp độ trước của bộ truyện.

Trong quá trình tính trung bình số học và sử dụng nó trong phân tích các quá trình kinh tế - xã hội, kiến ​​thức về một số ý nghĩa của nó tính chất toán học, mà chúng tôi trình bày mà không có bằng chứng chi tiết.

Tính chất 1. Trung bình số học giá trị hiện có bằng hằng số này: tại

Tài sản 2. tổng đại sốđộ lệch của các giá trị riêng lẻ của một đặc tính so với giá trị trung bình số học là 0: cho dữ liệu chưa được nhóm và cho chuỗi phân phối.

Thuộc tính này có nghĩa là tổng các độ lệch dương bằng tổng độ lệch tiêu cực, I E. mọi sai lệch do nguyên nhân ngẫu nhiên đều triệt tiêu lẫn nhau.

Thuộc tính 3. Tổng độ lệch bình phương của các giá trị riêng lẻ của một đặc tính so với giá trị trung bình số học là số tối thiểu: cho dữ liệu chưa được nhóm và cho chuỗi phân phối. Thuộc tính này có nghĩa là tổng độ lệch bình phương của các giá trị riêng lẻ của một đặc tính so với giá trị trung bình số học luôn nhỏ hơn tổng độ lệch của các biến thể của một đặc tính so với bất kỳ giá trị nào khác, thậm chí hơi khác so với giá trị trung bình.

Thuộc tính thứ hai và thứ ba của trung bình số học được sử dụng để kiểm tra tính đúng đắn của phép tính giá trị trung bình; khi nghiên cứu các mô hình thay đổi mức độ của một loạt động lực; tìm các tham số của phương trình hồi quy khi nghiên cứu mối tương quan giữa các đặc tính.

Cả ba thuộc tính đầu tiên đều thể hiện những đặc điểm cơ bản của giá trị trung bình dưới dạng một phạm trù thống kê.

Các thuộc tính sau trung bình được coi là giá trị tính toán vì chúng có giá trị thực tế nào đó.

Tính chất 4. Nếu tất cả các trọng số (tần số) được chia cho bất kỳ số d nào thì trung bình số học sẽ không thay đổi, vì đây là một sự rút gọn trong bằng nhau sẽ ảnh hưởng đến cả tử số và mẫu số của công thức tính trung bình cộng.

Hai hệ quả quan trọng theo sau tính chất này.

Hệ quả 1. Nếu tất cả các trọng số đều bằng nhau thì việc tính trung bình số học có trọng số có thể được thay thế bằng phép tính trung bình số học đơn giản.

Hệ quả 2. Giá trị tuyệt đối tần số (trọng số) có thể được thay thế bằng trọng số cụ thể.

Tính chất 5. Nếu tất cả các tùy chọn được chia hoặc nhân với một số không đổi d, thì trung bình số học sẽ giảm hoặc tăng d lần.

Thuộc tính 6. Nếu tất cả các tùy chọn được giảm hoặc tăng thêm số không đổi A, thì những thay đổi tương tự sẽ xảy ra với giá trị trung bình.

Thuộc tính ứng dụng Trung bình số học có thể được minh họa bằng cách sử dụng phương pháp tính trung bình từ điểm bắt đầu có điều kiện (phương pháp mô men).

Trung bình cách số học khoảnh khắc được tính theo công thức:

trong đó A là phần giữa của bất kỳ khoảng nào (ưu tiên khoảng ở giữa);

d – giá trị của khoảng có kích thước bằng nhau hoặc bội số lớn nhất của các khoảng;

m 1 – thời điểm thứ nhất.

Thời điểm đặt hàng đầu tiên được xác định như sau:

.

Chúng tôi minh họa kỹ thuật sử dụng phương pháp tính toán này bằng cách sử dụng dữ liệu từ ví dụ trước.

Bảng 5.6

Kinh nghiệm làm việc, năm	Số lượng công nhân	Trung điểm x
lên đến 5		2,5	-10	-2	-28
5-10		7,5	-5	-1	-22
10-15		12,5
15-20		17,5	+5	+1	+25
20 trở lên		22,5	+10	+2	+22
Tổng cộng		X	X	X	-3

Như có thể thấy từ các tính toán được đưa ra trong bảng. 5.6, một trong các giá trị 12,5 của chúng bị trừ khỏi tất cả các tùy chọn, giá trị này bằng 0 và dùng làm điểm tham chiếu có điều kiện. Kết quả của việc chia chênh lệch cho giá trị khoảng - 5 sẽ thu được các tùy chọn mới.

Theo kết quả bảng. 5.6 ta có: .

Kết quả tính toán sử dụng phương pháp mômen tương tự như kết quả thu được bằng phương pháp tính toán chính sử dụng trung bình cộng số học.

Công thức thống kê

Chủ đề 1: Phân nhóm thống kê

Xác định số lượng nhóm(nếu nhóm liên tục hoặc rời rạc với nhiều giá trị)

Xác định giá trị của khoảng bằng nhau:

Chủ đề 2: Đại lượng tuyệt đối và tương đối

Giá trị tương đối :

1) liên quan cấu trúc Vel-on:

2) liên quan dẫn đến nhiệm vụ dự kiến:

3) liên quan hướng dẫn thực hiện kế hoạch:

4) liên quan Động lực Vel-on hoặc tốc độ tăng trưởng:

5) liên quan so sánh nhanh

6) liên quan Cường độ Vel-on(ví dụ: năng suất vốn = khối lượng/chi phí (một năm))

Chủ đề 3: Giá trị trung bình và chỉ số biến thiên

trung bình số học

đơn giản :

có trọng lượng :

Ý nghĩa hài hòa

đơn giản :

có trọng lượng : , tổng các giá trị đặc trưng theo nhóm

Thuộc tính trung bình Môn số học:

nếu bạn nấu ăn mỗi ngày X giảm hoặc tăng cùng một số thì cf. tăng hoặc giảm cùng một số;

nếu bạn nấu ăn mỗi ngày X kỹ năng hoặc tăng cùng số lần, sau đó cf. tăng hoặc giảm cùng một số lần;

nếu mọi tần số f kỹ năng hoặc tăng cùng số lần, sau đó cf. Vel-na sẽ không thay đổi.

Thứ Tư. Vel-na phụ thuộc từ var-youX và cấu trúc muỗng, con mèo. đặc trưng bởi cổ phần d.

Chuỗi phân phối có 3 trung tâm:

1) Thứ Tư arimet-gì đó ;

2) thời trang – var-ta phổ biến nhất;

3) Trung bình – var-ta, đứng giữa hàng phân phát. Đầu tiên, tìm N trung vị, cat. bằng n/2 nếu số lượng đơn vị muỗng n – chẵn, hoặc nếu số lượng đơn vị muỗng là số lẻ.

Nền tảng có biến thể nào chưa?:

1) phạm vi biến đổi:

2) Thứ Tư độ lệch tuyến tính(xem phép tính từ độ lệch tuyệt đối của các giá trị riêng biệt)

Để tách nhóm dữ liệu:

Dành cho nhóm dữ liệu:

3) Thứ Tư độ lệch chuẩn(har-et độ lệch tuyệt đối trung bình của var-ty so với avg. vel-ny)

Để tách nhóm dữ liệu:

Dành cho nhóm dữ liệu:

4) phân tán– bình phương độ lệch bình phương trung bình

Để tách nhóm dữ liệu:

Dành cho nhóm dữ liệu:

Tổng phương sai: (dành cho nhóm) (đối với những người không thuộc nhóm.)

– Thứ Tư vel-na rezul. giải thưởng có tính nhất quán - tần suất (tổng cộng!)

Phương sai trong nhóm: - số lượng tùy chọn trong một nhóm Tôi

Phương sai giữa các nhóm: - số lượng tùy chọn trong một nhóm Tôi

Quy tắc cộng phương sai:

Không có đơn vị đo lường.

5) Hệ số biến thiên har-et cf. liên quan lệch so với thứ Tư. vel-ny.

Phương pháp khoảnh khắc

Chúng ta thường bắt gặp cách tính trung bình số học một cách đơn giản.

Trong trường hợp này, các thuộc tính của giá trị trung bình được sử dụng. Phương pháp tính toán đơn giản hóa được gọi là phương pháp mômen hoặc phương pháp tính từ số 0 có điều kiện.

Phương pháp khoảnh khắc giả định những hành động sau :

1) Chọn điểm gốc ( từX ) – số 0 có điều kiện ( MỘT). Thông thường càng gần giữa phân phối càng tốt.

2) Đã tìm thấy độ lệch của các tùy chọn so với số 0 có điều kiện ().

4) Nếu những sai lệch này chứa một yếu tố chung ( k), sau đó tính

độ lệch được chia cho yếu tố này.

Phương pháp khoảnh khắc :

Trung bình:

Phân tán:

Chủ đề 4: Quan sát có chọn lọc

Các ký hiệu trong lý thuyết lấy mẫu:

N– số gen. mẫu	N– số gen. mẫu
Gen. trung bình (ước tính)	- sự lựa chọn. trung bình (được tính)
P- tổng quan	chia sẻ (ước tính) w
- sự lựa chọn. chia sẻ (được tính toán)(P) t

– mức xác suất xác định

Gen. trung bình: từ đã cho. mức xác suất P(t)

, P– lỗi lấy mẫu cho avg. nhẹ nhàng

– tiêu chí về độ tin cậy, nó dựa trên mức độ được chỉ định. xác suất P(t) 1) - sự lựa chọn. chia sẻ (được tính toán)(PNếu nhưP=1 ; 2) - sự lựa chọn. chia sẻ (được tính toán)(P) = 0,683 thìP=2 ; 3) - sự lựa chọn. chia sẻ (được tính toán)(P) = 0,954 thìP=3

) = 0,997 thì

– rms lỗi lấy mẫu - đúng cho lựa chọn lại

trong mẫu.

- để lựa chọn không lặp lại

Đã được chứng minh: với đã cho. mức xác suất P(t)

– lỗi lấy mẫu cho chia sẻ

, – rms. lỗi lấy mẫu để chia sẻ

trong mẫu.

- để lựa chọn lại

Chủ đề 5: Chuỗi động

1) Nhà phân tích. bây giờ: Tuyệt đối. sự phát triển

(chênh lệch cấp độ)

2) (xích) ;

(chênh lệch cấp độ)

3) (nền tảng)

Tốc độ tăng trưởng (tỷ lệ cấp độ) Tỉ lệ gia tăng

4) (xích) ;

(nền tảng) Tỉ lệ gia tăng

Giá trị tuyệt đối tăng 1%

1) (xích) ; ;

2) Trung bình: .

Thứ Tư mức độ năng động hàng ngang

Thứ Tư phân tích đưa nó cho các diễn giả xem. hàng ngang Tính toán trung bình cấp quản lý tùy theo loại đường lăn: – MỘT)

cho cuộc phỏng vấn. RD bằng nhau. khoảng thời gian Thứ Tư số học. đơn giản – b)

cho cuộc phỏng vấn. Đường taxi không bằng nhau khoảng thời gian Thứ Tư số học. có trọng lượng – V)

đối với đường lăn tạm thời có ngày cách đều nhau Thứ Tư theo niên đại – b)

G)

Thứ Tư phân tích đưa nó cho các diễn giả xem. hàng ngang đối với các đường lăn tạm thời có khoảng cách không đều nhau

cho cuộc phỏng vấn. RD bằng nhau. khoảng thời gian Tính toán trung bình chất phân tích trình diễn:

cho cuộc phỏng vấn. Đường taxi không bằng nhau khoảng thời gian Thứ Tư tuyệt đối. sự phát triển

Thứ Tư tỉ lệ tăng trưởng

Thứ Tư tỉ lệ gia tăng

Đóng cửa đường taxi

Để thực hiện việc đóng RD trong các hàng đã đóng, một điểm thời gian (ngày, khoảng thời gian) được tìm thấy khi họ có thông tin về đặc tính đang được nghiên cứu, cả ở điều kiện trước đó và điều kiện mới. Hệ số được tính toán thêm. tính toán - đóng cửa. hàng ngang.

Trong quá trình xử lý, RD rất quan trọng. Nhiệm vụ là xác định các nguyên tắc cơ bản. xu hướng phát triển của hiện tượng (xu hướng) và làm dịu đi các hiện tượng ngẫu nhiên. do dự. Để giải quyết vấn đề này, có những phương pháp đặc biệt, cat. được gọi là các phương pháp căn chỉnh.

3 chính cách xử lý chuỗi thời gian:

a) mở rộng các khoảng cách đường lăn và tính giá trị trung bình cho mỗi khoảng cách. khoảng thời gian mở rộng;

(chuyển từ số nguyên ít liên tục hơn sang số nguyên liên tục hơn. Giá trị trung bình, được tính bằng cách sử dụng số nguyên mở rộng, giúp xác định hướng và tính chất (tăng tốc hoặc giảm tốc) của xu hướng phát triển chính. Giá trị trung bình được tính bằng cách sử dụng các công thức trung bình số học đơn giản.

b) phương pháp trung bình động;

Những biến đổi theo mùa và sóng

Chỉ số thời vụ là tỷ lệ phần trăm của mức thực tế trong năm với mức trung bình không đổi hoặc thay đổi. Sự kết hợp của các chỉ số này phản ánh làn sóng theo mùa.

Để xác định mùa. biến động thường sử dụng dữ liệu trong nhiều năm, phân bổ theo tháng. Đối với mỗi tháng, mức trung bình được tính, ví dụ trong 3 năm ( ), từ đó tính được mức trung bình cho toàn bộ chuỗi ( ), khi đó tỷ lệ phần trăm của mức trung bình mỗi tháng so với mức trung bình tháng chung của chuỗi được xác định:

mức trung bình mỗi tháng ở đâu;

Mức trung bình hàng tháng cho toàn bộ chuỗi.

Để thể hiện trực quan làn sóng theo mùa, các chỉ số thời vụ được mô tả dưới dạng biểu đồ.

Chỉ số riêng:

		chi phí sản xuất	trị giá	chi phí tiền mặt	chi phí nhân công
Tôi q	Tôi P	Tôi z	Tôi pq	Tôi qz	Tôi qt

Chỉ số chung:

Chỉ số khối lượng vật lý chung (khi số lượng hàng hóa trung bình trên thị trường thay đổi)
Thay đổi tuyệt đối về chi phí do thay đổi số lượng hàng hóa
Chỉ số giá chung (tổng hợp) (trung bình giá cả trên thị trường thay đổi như thế nào)
Thay đổi tuyệt đối về chi phí do thay đổi giá
Chỉ số doanh thu chung (giá trị) tổng cộng
liên quan sự thay đổi giá cả hàng hóa trên thị trường
Tổng quan	tuyệt đối. thay đổi giá cả hàng hóa trên thị trường pq Mối quan hệ chỉ số P tuyệt đối. thay đổi giá cả hàng hóa trên thị trường q
TÔI
= tôi
Chỉ số chi phí chung
Chỉ số vật lý chung khối lượng (theo giá thành)

Mối quan hệ giữa các chỉ số
Chỉ số chi phí sản xuất chung – Đặc điểm của các đơn vị tổng hợp thống kê là khác nhau về ý nghĩa, ví dụ tiền lương của công nhân cùng ngành nghề trong một doanh nghiệp không giống nhau trong cùng một khoảng thời gian, giá cả thị trường của cùng một loại sản phẩm, năng suất cây trồng trên địa bàn huyện không giống nhau. trang trại, v.v. Do đó, để xác định giá trị của một đặc tính đặc trưng của toàn bộ quần thể đơn vị đang được nghiên cứu, người ta tính giá trị trung bình.

giá trị trung bình đây là một đặc tính tổng quát của một tập hợp các giá trị riêng lẻ của một số đặc tính định lượng. Dân số được nghiên cứu bởi đặc tính định lượng, bao gồm các giá trị riêng lẻ; họ bị ảnh hưởng bởi

lý do phổ biến và điều kiện riêng. Trong giá trị trung bình, độ lệch đặc trưng của các giá trị riêng lẻ bị loại bỏ. Giá trị trung bình, là một hàm của một tập hợp các giá trị riêng lẻ, biểu thị toàn bộ tổng thể bằng một giá trị và phản ánh điểm chung của tất cả các đơn vị của nó.. Ví dụ: bạn có thể tính mức lương trung bình hàng tháng của một nhân viên thuộc một nhóm nghề nghiệp cụ thể (thợ mỏ, bác sĩ, thủ thư). Tất nhiên, mức lương hàng tháng của các thợ mỏ, do sự khác biệt về trình độ, thời gian làm việc, thời gian làm việc mỗi tháng và nhiều yếu tố khác, khác nhau và khác với mức lương trung bình. Tuy nhiên, mức trung bình phản ánh các yếu tố chính ảnh hưởng đến mức tiền lương và loại bỏ những khác biệt phát sinh do đặc điểm cá nhân người lao động. Mức lương trung bình phản ánh mức độ điển hình lương cho loại lao động này. Để đạt được mức trung bình điển hình cần phải tiến hành phân tích xem làm thế nào để đạt được mức trung bình điển hình. bộ nàyđồng nhất về chất. Nếu tổng thể bao gồm các phần riêng lẻ thì nên chia thành các nhóm điển hình ( nhiệt độ trung bình của bệnh viện).

Các giá trị trung bình được sử dụng làm đặc điểm cho các quần thể không đồng nhất được gọi là trung bình hệ thống. Ví dụ: tổng sản phẩm quốc nội (GDP) bình quân đầu người, mức tiêu dùng bình quân nhiều nhóm khác nhau hàng hóa bình quân đầu người và các giá trị tương tự khác, thể hiện đặc điểm chung của nhà nước như một hệ thống kinh tế thống nhất.

Giá trị trung bình phải được tính cho các quần thể có đủ số lượng lớn các đơn vị. Việc tuân thủ điều kiện này là cần thiết để luật có hiệu lực số lượng lớn, kết quả là độ lệch ngẫu nhiên các giá trị riêng lẻ từ xu hướng chung triệt tiêu lẫn nhau.

Các loại trung bình và phương pháp tính toán chúng

Việc lựa chọn loại trung bình được xác định bởi nội dung kinh tế của một chỉ số và nguồn dữ liệu nhất định. Tuy nhiên, bất kỳ giá trị trung bình nào cũng phải được tính toán sao cho khi nó thay thế từng biến thể của đặc tính trung bình, thì giá trị cuối cùng, khái quát hóa hoặc, như người ta thường gọi, không thay đổi. chỉ số xác định, được liên kết với chỉ báo trung bình. Ví dụ: khi thay thế tốc độ thực tế trên các đoạn riêng lẻ của tuyến đường, chúng tốc độ trung bình không nên thay đổi tổng khoảng cách, đi qua phương tiện giao thôngđồng thời; khi thay thế tiền lương thực tế của cá nhân người lao động trong doanh nghiệp vừa tiền lương Quỹ tiền lương không nên thay đổi. Do đó, trong mỗi trường hợp cụ thể, tùy theo tính chất của số liệu sẵn có, chỉ có một giá trị trung bình thực của chỉ tiêu phù hợp với tính chất, bản chất của hiện tượng kinh tế - xã hội đang được nghiên cứu.
Được sử dụng phổ biến nhất là trung bình số học, trung bình điều hòa, trung bình hình học, trung bình bậc hai và trung bình bậc ba.
Các mức trung bình được liệt kê thuộc về lớp nghiêm trang trung bình và được kết hợp theo công thức chung:
,
giá trị trung bình của đặc tính đang được nghiên cứu ở đâu;
m - chỉ số độ trung bình;
- giá trị hiện tại (biến thể) của đặc tính được lấy trung bình;
n – số đặc điểm.
Tùy thuộc vào giá trị của số mũ m, có các loại sau công suất trung bình:
khi m = -1 – giá trị trung bình điều hòa;
tại m = 0 – trung bình hình học;
với m = 1 – trung bình số học;
với m = 2 – căn bậc hai có nghĩa là bình phương;
tại m = 3 – khối trung bình.
Khi sử dụng cùng một dữ liệu ban đầu, số mũ m trong công thức trên càng lớn thì nhiều giá trị hơn kích thước trung bình:
.
Tính chất của công suất trung bình tăng theo số mũ tăng dần của hàm xác định được gọi là nguyên tắc đa số của số trung bình.
Mỗi mức trung bình được đánh dấu có thể có hai dạng: đơn giản Và có trọng lượng.
Hình thức trung bình đơn giảnđược sử dụng khi mức trung bình được tính từ dữ liệu chính (chưa được nhóm). Dạng có trọng số– khi tính giá trị trung bình dựa trên dữ liệu thứ cấp (được nhóm).

trung bình số học

Giá trị trung bình số học được sử dụng khi khối lượng của tổng thể là tổng của tất cả các giá trị riêng lẻ của một đặc tính khác nhau. Cần lưu ý rằng nếu loại trung bình không được chỉ định thì trung bình số học sẽ được giả định. Công thức logic của nó trông giống như:

Trung bình số học đơn giản tính toán dựa trên dữ liệu chưa được nhóm theo công thức:
hoặc ,
Ở đâu - giá trị cá nhân dấu hiệu;
j là số thứ tự của đơn vị quan sát, được đặc trưng bởi giá trị ;
N – số đơn vị quan sát (khối lượng dân số).
Ví dụ. Bài giảng “Tổng hợp và phân nhóm số liệu thống kê” khảo sát kết quả quan sát kinh nghiệm làm việc của một nhóm 10 người. Hãy tính kinh nghiệm làm việc trung bình của công nhân trong nhóm. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Sử dụng công thức trung bình số học đơn giản, chúng ta cũng có thể tính được trung bình theo chuỗi thời gian, nếu các khoảng thời gian mà các giá trị đặc tính được trình bày bằng nhau.
Ví dụ. Khối lượng sản phẩm bán ra trong quý đầu tiên lên tới 47 den. đơn vị, cho 54 thứ hai, cho 65 thứ ba và cho 58 thứ tư. các đơn vị Doanh thu trung bình hàng quý là (47+54+65+58)/4 = 56 den. các đơn vị
Nếu các chỉ số nhất thời được đưa ra theo chuỗi thời gian, thì khi tính giá trị trung bình, chúng sẽ được thay thế bằng một nửa tổng các giá trị ở đầu và cuối kỳ.
Nếu có nhiều hơn hai thời điểm và khoảng thời gian giữa chúng bằng nhau thì giá trị trung bình được tính bằng công thức tính thời gian trung bình

,
trong đó n là số điểm thời gian
Trong trường hợp dữ liệu được nhóm theo các giá trị đặc trưng (tức là rời rạc chuỗi biến thể phân phối) với trọng số trung bình số họcđược tính bằng cách sử dụng tần số hoặc tần số quan sát các giá trị cụ thể của một đặc tính, số lượng trong đó (k) là đáng kể số lượng ít hơn quan sát (N) .
,
,
trong đó k là số nhóm của chuỗi biến thể,
i – số nhóm của chuỗi biến thể.
Vì , a , ta thu được các công thức dùng để tính toán thực tế:
Và
Ví dụ. Hãy tính thời gian phục vụ trung bình của các nhóm làm việc trong một hàng được nhóm.
a) sử dụng tần số:

b) sử dụng tần số:

Trong trường hợp dữ liệu được nhóm theo khoảng , I E. được trình bày dưới dạng chuỗi phân bố theo khoảng; khi tính giá trị trung bình số học, phần giữa của khoảng được lấy làm giá trị của thuộc tính, dựa trên giả định về sự phân bố đồng đều của các đơn vị tổng thể trong một khoảng nhất định. Việc tính toán được thực hiện bằng các công thức:
Và
đâu là giữa khoảng: ,
trong đó và là ranh giới dưới và ranh giới trên của các khoảng (với điều kiện là ranh giới trên của khoảng đã cho trùng với ranh giới dưới của khoảng tiếp theo).

Ví dụ. Hãy tính trung bình số học của chuỗi biến thiên theo khoảng được xây dựng dựa trên kết quả nghiên cứu tiền lương hàng năm của 30 công nhân (xem bài “Tóm tắt và phân nhóm số liệu thống kê”).
Bảng 1 – Phân bố chuỗi biến thiên theo khoảng thời gian.

Khoảng thời gian, UAH	Tần suất, người	Tính thường xuyên,	Giữa khoảng thời gian
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH hoặc UAH
Phương tiện số học được tính toán trên cơ sở dữ liệu nguồn và chuỗi biến thiên theo khoảng có thể không trùng nhau do sự phân bố không đồng đều của các giá trị thuộc tính trong các khoảng. Trong trường hợp này, để biết thêm tính toán chính xác Trung bình số học có trọng số không nên sử dụng ở giữa các khoảng mà nên sử dụng trung bình số học đơn giản được tính cho mỗi nhóm ( trung bình nhóm). Giá trị trung bình tính từ nhóm nghĩa là sử dụng công thức tính trọng số được gọi là trung bình chung.
Giá trị trung bình số học có một số thuộc tính.
1. Tổng độ lệch so với phương án trung bình bằng 0:
.
2. Nếu tất cả các giá trị của tùy chọn tăng hoặc giảm một lượng A, thì giá trị trung bình tăng hoặc giảm cùng một lượng A:

3. Nếu mỗi phương án tăng hoặc giảm B lần thì giá trị trung bình cũng tăng hoặc giảm một số lần:
hoặc
4. Tổng các tích của phương án theo tần số bằng tích của giá trị trung bình với tổng các tần số:

5. Nếu tất cả các tần số được chia hoặc nhân với bất kỳ số nào thì giá trị trung bình số học sẽ không thay đổi:

6) nếu trong tất cả các khoảng tần số bằng nhau thì trung bình số học có trọng số bằng trung bình số học đơn giản:
,
trong đó k là số nhóm của chuỗi biến thể.

Sử dụng các thuộc tính của mức trung bình cho phép bạn đơn giản hóa việc tính toán của nó.
Giả sử rằng tất cả các phương án (x) trước tiên được giảm đi cùng một số A, sau đó giảm đi theo hệ số B. Sự đơn giản hóa lớn nhất đạt được khi giá trị giữa khoảng có tần số cao nhất được chọn là A và giá trị của khoảng (đối với chuỗi có các khoảng giống hệt nhau) được chọn là B. Đại lượng A được gọi là gốc nên phương pháp tính trung bình này được gọi là đường b tham chiếu ohm từ số 0 có điều kiện hoặc cách của khoảnh khắc.
Sau khi chuyển đổi như vậy, chúng ta thu được một chuỗi phân phối biến phân mới, các biến thể của nó bằng . Trung bình số học của chúng, được gọi là khoảnh khắc của lệnh đầu tiên,được biểu thị bằng công thức và theo tính chất thứ hai và thứ ba, giá trị trung bình số học bằng giá trị trung bình của phiên bản đầu tiên, đầu tiên giảm đi A và sau đó giảm đi B lần, tức là .
Để có được trung bình thực(trung bình của loạt phim gốc) bạn cần nhân khoảnh khắc bậc nhất với B và thêm A:

Việc tính giá trị trung bình số học sử dụng phương pháp mô men được minh họa bằng số liệu trong Bảng. 2.
Bảng 2 – Phân bổ công nhân xưởng sản xuất theo thời gian làm việc

Thời gian làm việc của nhân viên, năm	Số lượng công nhân	Giữa khoảng thời gian
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Tìm thời điểm đặt hàng đầu tiên . Khi đó, biết A = 17,5 và B = 5, chúng ta tính thời gian làm việc trung bình của công nhân xưởng:
năm

Ý nghĩa hài hòa
Như đã trình bày ở trên, giá trị trung bình số học được sử dụng để tính giá trị trung bình của một đặc tính trong trường hợp đã biết các biến thể x và tần số f của chúng.
Nếu như thông tin thống kê không chứa tần số f cho các tùy chọn riêng lẻ x của tổng thể, nhưng được biểu thị dưới dạng tích của chúng, công thức được áp dụng trung bình trọng số hài hòa . Để tính giá trị trung bình, hãy biểu thị vị trí . Thay thế các biểu thức này vào công thức tính trung bình có trọng số số học, chúng ta thu được công thức tính trung bình có trọng số điều hòa:
,
đâu là khối lượng (trọng lượng) của các giá trị thuộc tính chỉ báo trong khoảng được đánh số i (i=1,2, …, k).

Do đó, giá trị trung bình điều hòa được sử dụng trong trường hợp không phải bản thân các phương án phải chịu tổng mà là các nghịch đảo của chúng: .
Trong trường hợp trọng số của từng phương án bằng một, I E. giá trị cá nhân dấu nghịch đảo xảy ra một lần, áp dụng có nghĩa là hài hòa đơn giản:
,
ở đâu có các biến thể riêng lẻ của đặc tính nghịch đảo, xảy ra một lần;
N - tùy chọn số.
Nếu có các mức trung bình hài hòa cho hai phần của dân số thì trung bình chung của toàn bộ dân số được tính theo công thức:

và được gọi là Giá trị trung bình điều hòa có trọng số của nhóm có nghĩa là.

Ví dụ. Trong quá trình giao dịch trên sàn giao dịch tiền tệ, ba giao dịch đã được thực hiện trong giờ đầu tiên hoạt động. Dữ liệu về số lượng bán hryvnia và tỷ giá hối đoái hryvnia so với đồng đô la Mỹ được đưa ra trong bảng. 3 (cột 2 và 3). Xác định tỷ giá hối đoái trung bình của hryvnia so với đô la Mỹ trong giờ giao dịch đầu tiên.
Bảng 3 – Số liệu diễn biến giao dịch trên thị trường ngoại hối

Tỷ giá hối đoái trung bình của đồng đô la được xác định bằng tỷ lệ giữa số lượng hryvnia được bán trong tất cả các giao dịch với số đô la thu được từ cùng một giao dịch. Số tiền bán hryvnia cuối cùng được biết từ cột 2 của bảng và số đô la mua trong mỗi giao dịch được xác định bằng cách chia số tiền bán hryvnia cho tỷ giá hối đoái của nó (cột 4). Tổng cộng 22 triệu USD đã được mua trong ba giao dịch. Điều này có nghĩa là tỷ giá hối đoái trung bình của hryvnia lấy một đô la là
.
Giá trị kết quả là có thật, bởi vì việc thay thế nó bằng tỷ giá hối đoái hryvnia thực tế trong các giao dịch sẽ không làm thay đổi số tiền bán hryvnia cuối cùng, đóng vai trò như chỉ số xác định: triệu UAH
Nếu giá trị trung bình số học được sử dụng để tính toán, tức là hryvnia, sau đó với tỷ giá mua là 22 triệu đô la. sẽ phải chi 110,66 triệu UAH, điều này không đúng.

trung bình hình học
Giá trị trung bình hình học được sử dụng để phân tích động lực học của các hiện tượng và cho phép chúng ta xác định hệ số trung bình sự phát triển. Khi tính giá trị trung bình hình học, các giá trị riêng lẻ của đặc tính là chỉ số tương đốiđộng lực được xây dựng dưới dạng số lượng chuỗi, theo tỷ lệ của từng cấp độ với cấp độ trước đó.
Giá trị trung bình hình học đơn giản được tính bằng công thức:
,
biển hiệu sản phẩm ở đâu
N – số lượng giá trị trung bình.
Ví dụ. Số tội phạm được đăng ký trong 4 năm tăng 1,57 lần, trong đó lần 1 là 1,08 lần, lần 2 là 1,1 lần, lần 3 là 1,18 lần và lần 4 là 1,12 lần. Sau đó tỷ lệ trung bình hàng năm sự gia tăng số lượng tội phạm là: , tức là số lượng tội phạm được đăng ký tăng trung bình hàng năm 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Để tính bình phương trung bình có trọng số, chúng ta xác định và nhập vào bảng và . Khi đó độ lệch trung bình của độ dài của sản phẩm so với định mức đã cho bằng:

Ý nghĩa số học trong trong trường hợp này sẽ không phù hợp vì kết quả là chúng ta sẽ nhận được độ lệch bằng không.
Việc sử dụng bình phương trung bình sẽ được thảo luận sâu hơn về độ biến thiên.