Ví dụ về ma trận nghịch đảo với nghiệm 2x2. Ma trận nghịch đảo và các tính chất của nó

Đại số ma trận - Ma trận nghịch đảo

ma trận nghịch đảo

ma trận nghịch đảođược gọi là ma trận, khi được nhân cả từ bên phải và bên trái với ma trận nàyđưa ra ma trận nhận dạng.
Biểu thị ma trận nghịch đảo với ma trận NHƯNG thông qua, sau đó theo định nghĩa, chúng tôi nhận được:

ở đâu E – ma trận đơn vị.
Ma trận vuông gọi là không đặc biệt (không thoái hóa) nếu định thức của nó không bằng không. Nếu không, nó được gọi là đặc biệt (thoái hóa) hoặc số ít.

Có một định lý: mọi ma trận không kỳ dị đều có ma trận nghịch đảo.

Phép toán tìm ma trận nghịch đảo được gọi là bắt mắt ma trận. Xem xét thuật toán nghịch đảo ma trận. Cho một ma trận không số ít N-đặt hàng thứ:

trong đó Δ = det Một ≠ 0.

Phần bổ sung phần tử đại số ma trận N-đơn hàng thứ NHƯNGđịnh thức của ma trận ( N–1) -thứ tự có được bằng cách xóa tôi-dòng thứ và j-cột thứ của ma trận NHƯNG:

Hãy tạo cái gọi là đính kèm ma trận:

đâu là phần bổ sung đại số của các phần tử tương ứng của ma trận NHƯNG.
Lưu ý rằng phần bổ sung đại số của các phần tử hàng của ma trận NHƯNGđược đặt trong các cột tương ứng của ma trận à , nghĩa là, ma trận được chuyển vị đồng thời.
Phân chia tất cả các phần tử ma trận à trên Δ - giá trị của định thức của ma trận NHƯNG, chúng ta nhận được kết quả là ma trận nghịch đảo:

Chúng tôi lưu ý loạt tính chất đặc biệt ma trận nghịch đảo:
1) cho một ma trận đã cho NHƯNG cô ấy ma trận nghịch đảo là người duy nhất;
2) nếu có một ma trận nghịch đảo, thì đảo ngược bên phải và ngược trái ma trận trùng với nó;
3) một ma trận vuông đặc biệt (suy biến) không có ma trận nghịch đảo.

Các thuộc tính chính của ma trận nghịch đảo:
1) định thức của ma trận nghịch đảo và định thức của ma trận ban đầu là nghịch đảo;
2) ma trận nghịch đảo của tích các ma trận vuông bằng tích của ma trận nghịch đảo của các thừa số, được lấy theo thứ tự ngược lại:

3) ma trận nghịch đảo chuyển vị bằng ma trận nghịch đảo từ ma trận chuyển vị đã cho:

THÍ DỤ Tính nghịch đảo ma trận của một trong những đã cho.

Định nghĩa 1: Một ma trận được gọi là suy biến nếu định thức của nó bằng không.

Định nghĩa 2: Một ma trận được gọi là không số ít nếu định thức của nó không bằng 0.

Ma trận "A" được gọi là ma trận nghịch đảo, nếu điều kiện A * A-1 = A-1 * A = E (ma trận nhận dạng) được thỏa mãn.

Ma trận vuông chỉ có thể nghịch đảo nếu nó không phải là ma trận.

Sơ đồ tính toán ma trận nghịch đảo:

1) Tính định thức của ma trận "A" nếu ∆ A = 0 thì ma trận nghịch đảo không tồn tại.

2) Tìm tất cả các phần phụ đại số của ma trận "A".

3) Soạn một ma trận của các phép cộng đại số (Aij)

4) Chuyển vị ma trận của phần phụ đại số (Aij) T

5) Nhân ma trận đã chuyển vị với một số, định thức nghịch đảo ma trận này.

6) Chạy séc:

Thoạt nghe có vẻ khó nhưng thực tế mọi thứ lại rất đơn giản. Tất cả các giải pháp đều dựa trên sự đơn giản các phép tính toán học, điều chính khi giải là không bị nhầm lẫn với các dấu "-" và "+", và không để mất chúng.

Bây giờ chúng ta hãy cùng nhau quyết định nhiệm vụ thực tế, tính toán ma trận nghịch đảo.

Nhiệm vụ: tìm ma trận nghịch đảo "A", được hiển thị trong hình dưới đây:

Chúng tôi giải quyết mọi thứ chính xác như được chỉ ra trong kế hoạch tính toán ma trận nghịch đảo.

1. Việc đầu tiên cần làm là tìm định thức của ma trận "A":

Giải trình:

Chúng tôi đã đơn giản hóa yếu tố quyết định của mình bằng cách sử dụng các chức năng chính của nó. Đầu tiên, chúng tôi thêm vào hàng thứ 2 và thứ 3 các phần tử của hàng đầu tiên, nhân với một số.

Thứ hai, chúng tôi đã thay đổi cột thứ 2 và thứ 3 của định thức, và theo thuộc tính của nó, chúng tôi đã thay đổi dấu hiệu phía trước nó.

Thứ ba, chúng tôi lấy ra thừa số chung (-1) của hàng thứ hai, do đó thay đổi dấu một lần nữa, và nó trở thành dương. Chúng tôi cũng đơn giản hóa dòng 3 theo cách tương tự như ở phần đầu của ví dụ.

Chúng ta có một định thức tam giác, trong đó các phần tử bên dưới đường chéo bằng 0 và theo tính chất 7 nó bằng với sản phẩm các yếu tố đường chéo. Kết quả là, chúng tôi nhận được ∆ A = 26, do đó tồn tại ma trận nghịch đảo.

A11 = 1 * (3 + 1) = 4

A12 \ u003d -1 * (9 + 2) \ u003d -11

A13 = 1 * 1 = 1

A21 = -1 * (- 6) = 6

A22 = 1 * (3-0) = 3

A23 = -1 * (1 + 4) = -5

A31 = 1 * 2 = 2

A32 = -1 * (- 1) = -1

A33 = 1+ (1 + 6) = 7

3. Bước tiếp theo là biên dịch ma trận từ các phép cộng kết quả:

5. Chúng tôi nhân ma trận này với nghịch đảo của định thức, nghĩa là, với 1/26:

6. Vâng, bây giờ chúng ta chỉ cần kiểm tra:

Trong quá trình xác minh, chúng tôi nhận được một ma trận nhận dạng, do đó, quyết định được đưa ra hoàn toàn chính xác.

2 cách tính ma trận nghịch đảo.

1. Phép biến đổi cơ bản của ma trận

2. Ma trận nghịch đảo thông qua một bộ chuyển đổi sơ cấp.

Phép biến đổi ma trận cơ bản bao gồm:

1. Nhân một chuỗi với một số khác không.

2. Thêm vào bất kỳ dòng nào của dòng khác, nhân với một số.

3. Hoán đổi các hàng của ma trận.

4. Áp dụng chuỗi biến đổi cơ bản, chúng ta nhận được một ma trận khác.

NHƯNG -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2. A -1 * A = E

Hãy xem xét nó trên ví dụ thực tế với số thực.

Tập thể dục: Tìm ma trận nghịch đảo.

Dung dịch:

Hãy kiểm tra:

Làm rõ một chút về giải pháp:

Đầu tiên, chúng tôi hoán đổi hàng 1 và 2 của ma trận, sau đó chúng tôi nhân hàng đầu tiên với (-1).

Sau đó, hàng đầu tiên được nhân với (-2) và thêm vào hàng thứ hai của ma trận. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ 2 với 1/4.

Giai đoạn cuối cùng các phép biến đổi là phép nhân hàng thứ hai với 2 và phép cộng từ hàng thứ nhất. Kết quả là, chúng ta có một ma trận nhận dạng ở bên trái, do đó, ma trận nghịch đảo là ma trận ở bên phải.

Sau khi kiểm tra, chúng tôi đã bị thuyết phục về tính đúng đắn của quyết định.

Như bạn thấy, tính toán ma trận nghịch đảo rất đơn giản.

Trong phần kết thúc bài giảng này, tôi cũng muốn dành một chút thời gian cho các tính chất của một ma trận như vậy.

Tìm ma trận nghịch đảo- một vấn đề thường được giải quyết bằng hai phương pháp:

• phương pháp cộng đại số, trong đó yêu cầu tìm định thức và chuyển ma trận;
• phương pháp loại bỏ gauss không xác định, trong đó nó được yêu cầu để thực hiện các phép biến đổi cơ bản của ma trận (thêm hàng, nhân các hàng với cùng một số, v.v.).

Đối với những người đặc biệt tò mò, có những phương pháp khác, ví dụ, phương pháp biến đổi tuyến tính. Trong bài học này, chúng ta sẽ phân tích 3 phương pháp đã nêu và các thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng các phương pháp này.

ma trận nghịch đảo NHƯNG, một ma trận như vậy được gọi là

NHƯNG
. (1)

ma trận nghịch đảo được tìm thấy cho những gì đã cho Ma trận vuông NHƯNG, một ma trận như vậy được gọi là

sản phẩm mà ma trận NHƯNGở bên phải là ma trận nhận dạng, tức là
. (1)

Ma trận nhận dạng là một ma trận đường chéo trong đó tất cả các mục nhập đường chéo đều bằng một.

Định lý.Đối với mỗi ma trận vuông không số ít (không số ít, không số ít), người ta có thể tìm thấy một ma trận nghịch đảo, và hơn nữa, chỉ một ma trận. Đối với một ma trận vuông đặc biệt (suy biến, số ít), ma trận nghịch đảo không tồn tại.

Ma trận vuông được gọi là không đặc biệt(hoặc không thoái hóa, không số ít) nếu định thức của nó không bằng 0, và đặc biệt(hoặc thoái hóa, số ít) nếu định thức của nó bằng không.

Ma trận nghịch đảo chỉ có thể được tìm thấy đối với một ma trận vuông. Đương nhiên, ma trận nghịch đảo cũng sẽ là hình vuông và cùng bậc với ma trận đã cho. Ma trận mà ma trận nghịch đảo có thể được tìm thấy được gọi là ma trận khả nghịch.

Vì ma trận nghịch đảo có sự tương tự apt với nghịch đảo của một số. Cho mọi số một, không bằng 0, tồn tại một số bđó là công việc một và b bằng một: ab= 1. Con số bđược gọi là nghịch đảo của một số b. Ví dụ, đối với số 7, nghịch đảo là số 1/7, vì 7 * 1/7 = 1.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp cộng đại số (ma trận liên hợp)

Đối với một ma trận vuông không kỳ dị NHƯNG nghịch đảo là ma trận

đâu là yếu tố quyết định ma trận NHƯNG, а là ma trận liên kết với ma trận NHƯNG.

Liên minh với ma trận vuông Một là một ma trận cùng bậc có các phần tử là phần bù đại số của các phần tử tương ứng của định thức của ma trận được hoán vị đối với ma trận A. Do đó, nếu

sau đó

và

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp cộng đại số

1. Tìm định thức của ma trận này Một. Nếu định thức bằng 0, việc tìm ma trận nghịch đảo sẽ dừng lại, vì ma trận là suy biến và không có nghịch đảo đối với nó.

2. Tìm một ma trận được chuyển đổi liên quan đến Một.

3. Tính toán các phần tử của ma trận liên hợp dưới dạng phần bù đại số của marita được tìm thấy ở bước 2.

4. Áp dụng công thức (2): nhân với nghịch đảo của định thức của ma trận Một, vào ma trận liên hợp được tìm thấy trong bước 4.

5. Kiểm tra kết quả thu được ở bước 4 bằng cách nhân ma trận này Một vào ma trận nghịch đảo. Nếu tích của các ma trận này bằng ma trận đồng nhất, thì ma trận nghịch đảo được tìm thấy đúng. Nếu không, hãy bắt đầu lại quy trình giải pháp.

ví dụ 1Đối với ma trận

tìm ma trận nghịch đảo.

Dung dịch. Để tìm ma trận nghịch đảo, cần tìm định thức của ma trận NHƯNG. Chúng tôi tìm thấy theo quy tắc của tam giác:

Do đó, ma trận NHƯNG là không số ít (không suy biến, không số ít) và có một nghịch đảo cho nó.

Hãy tìm ma trận liên kết với ma trận đã cho NHƯNG.

Hãy tìm ma trận được hoán vị đối với ma trận Một:

Chúng tôi tính toán các phần tử của ma trận liên hợp dưới dạng phần bổ sung đại số của ma trận được hoán vị đối với ma trận Một:

Do đó, ma trận liên hợp với ma trận Một, có dạng

Bình luận. Thứ tự tính toán các phần tử và chuyển vị của ma trận có thể khác nhau. Đầu tiên người ta có thể tính toán phần bổ sung đại số của ma trận Một, và sau đó chuyển ma trận của các phần phụ đại số. Kết quả phải là các phần tử giống nhau của ma trận liên hợp.

Áp dụng công thức (2), ta nhận thấy ma trận nghịch đảo với ma trận NHƯNG:

Tìm ma trận nghịch đảo của Gaussian Loại bỏ những điều chưa biết

Bước đầu tiên để tìm ma trận nghịch đảo bằng cách khử Gaussian là gán cho ma trận Một ma trận nhận dạng của cùng một thứ tự, ngăn cách chúng bằng một thanh dọc. Chúng tôi nhận được một ma trận kép. Nhân cả hai phần của ma trận này với, sau đó chúng tôi nhận được

,

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng cách loại bỏ ẩn số Gaussian

1. Đến ma trận Một gán một ma trận nhận dạng có cùng thứ tự.

2. Biến đổi ma trận kép thu được để ma trận nhận dạng thu được ở phần bên trái của nó, sau đó ma trận nghịch đảo sẽ tự động nhận được ở phần bên phải thay cho ma trận nhận dạng. Ma trận Mộtở phía bên trái được chuyển đổi thành ma trận nhận dạng bằng các phép biến đổi cơ bản của ma trận.

2. Nếu trong quá trình biến đổi ma trận Một vào ma trận nhận dạng trong bất kỳ hàng nào hoặc trong bất kỳ cột nào sẽ chỉ có các số không, khi đó định thức của ma trận bằng 0, và do đó, ma trận Một sẽ suy biến, và nó không có ma trận nghịch đảo. Trong trường hợp này, việc tìm kiếm thêm ma trận nghịch đảo sẽ dừng lại.

Ví dụ 2Đối với ma trận

tìm ma trận nghịch đảo.

và chúng ta sẽ biến đổi nó để thu được ma trận nhận dạng ở phía bên trái. Hãy bắt đầu chuyển đổi.

Nhân hàng đầu tiên của ma trận bên trái và bên phải với (-3) và thêm nó vào hàng thứ hai, sau đó nhân hàng đầu tiên với (-4) và cộng nó vào hàng thứ ba, sau đó chúng ta nhận được

.

Để tránh, nếu có thể số phân số trong các phép biến đổi tiếp theo, đầu tiên chúng ta sẽ tạo một đơn vị ở hàng thứ hai ở phía bên trái của ma trận kép. Để làm điều này, nhân hàng thứ hai với 2 và trừ hàng thứ ba với nó, sau đó chúng tôi nhận được

.

Hãy cộng hàng đầu tiên với hàng thứ hai, sau đó nhân hàng thứ hai với (-9) và cộng nó vào hàng thứ ba. Sau đó, chúng tôi nhận được

.

Chia hàng thứ ba cho 8, sau đó

.

Nhân hàng thứ ba với 2 và thêm nó vào hàng thứ hai. Hóa ra:

.

Trao đổi vị trí của dòng thứ hai và thứ ba, cuối cùng chúng ta nhận được:

.

Chúng ta thấy rằng ma trận nhận dạng thu được ở phía bên trái, do đó, ma trận nghịch đảo thu được ở phía bên phải. Theo cách này:

.

Bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhân ma trận ban đầu với ma trận nghịch đảo tìm được:

Kết quả phải là một ma trận nghịch đảo.

Ví dụ 3Đối với ma trận

tìm ma trận nghịch đảo.

Dung dịch. Biên dịch ma trận kép

và chúng tôi sẽ biến đổi nó.

Chúng ta nhân hàng đầu tiên với 3, và hàng thứ hai với 2, và trừ cho hàng thứ hai, sau đó chúng ta nhân hàng đầu tiên với 5, và hàng thứ ba với 2 và trừ vào hàng thứ ba, sau đó chúng ta nhận được

.

Chúng tôi nhân hàng đầu tiên với 2 và cộng nó với hàng thứ hai, sau đó trừ hàng thứ hai với hàng thứ ba, sau đó chúng tôi nhận được

.

Chúng ta thấy rằng trong dòng thứ ba ở phía bên trái, tất cả các phần tử hóa ra đều bằng không. Do đó, ma trận là suy biến và không có ma trận nghịch đảo. Chúng tôi ngừng tìm kiếm thêm về maria đảo ngược.

Ma trận $ A ^ (- 1) $ được gọi là nghịch đảo của ma trận vuông $ A $ nếu $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $, trong đó $ E $ là ma trận nhận dạng, bậc của nó bằng bậc của ma trận $ A $.

Ma trận không kỳ dị là ma trận có định thức không bằng 0. Theo đó, ma trận suy biến là ma trận có định thức bằng không.

Ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $ tồn tại nếu và chỉ khi ma trận $ A $ không đặc biệt. Nếu tồn tại ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $ thì nó là duy nhất.

Có một số cách để tìm nghịch đảo của ma trận và chúng ta sẽ xem xét hai trong số chúng. Trang này sẽ trình bày về phương pháp ma trận liền kề, được coi là tiêu chuẩn trong hầu hết các khóa học. toán học cao hơn. Cách thứ hai để tìm ma trận nghịch đảo (phương pháp biến đổi cơ bản), liên quan đến việc sử dụng phương pháp Gauss hoặc phương pháp Gauss-Jordan, được xem xét trong phần thứ hai.

Phương pháp ma trận Adjoint (union)

Cho ma trận $ A_ (n \ times n) $ đã cho. Để tìm ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $, cần thực hiện ba bước:

1. Tìm định thức của ma trận $ A $ và đảm bảo rằng $ \ Delta A \ neq 0 $, tức là rằng ma trận A là không sinh.
2. Soạn phần bổ sung đại số $ A_ (ij) $ của mỗi phần tử của ma trận $ A $ và viết ra ma trận $ A_ (n \ lần n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ từ giá trị tìm được phần bổ sung đại số.
3. Viết ma trận nghịch đảo có tính đến công thức $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

Ma trận $ (A ^ (*)) ^ T $ thường được gọi là ma trận liền kề (tương hỗ, đồng minh) của $ A $.

Nếu quyết định được thực hiện theo cách thủ công, thì phương pháp đầu tiên chỉ phù hợp với các ma trận có thứ tự tương đối nhỏ: thứ hai (), thứ ba (), thứ tư (). Để tìm nghịch đảo của ma trận đơn hàng cao hơn, các phương pháp khác được sử dụng. Ví dụ, phương pháp Gauss, được thảo luận trong phần thứ hai.

Ví dụ 1

Tìm ma trận nghịch đảo với ma trận $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ end (mảng) \ phải) $.

Vì tất cả các phần tử của cột thứ tư đều bằng 0 nên $ \ Delta A = 0 $ (tức là ma trận $ A $ suy biến). Vì $ \ Delta A = 0 $ nên không có ma trận nghịch đảo với $ A $.

Ví dụ số 2

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $.

Chúng tôi sử dụng phương pháp ma trận liền kề. Đầu tiên chúng tôi tìm ra yếu tố quyết định ma trận cho trước$ A $:

$$ \ Delta A = \ left | \ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Vì $ \ Delta A \ neq 0 $, ma trận nghịch đảo tồn tại, vì vậy chúng tôi tiếp tục giải pháp. Tìm phần bổ sung đại số

\ begin (căn chỉnh) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \ U0026 A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \ U0026 A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ end (căn chỉnh)

Soạn một ma trận các phần bù đại số: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

Hoán vị ma trận kết quả: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (kết quả ma trận thường được gọi là ma trận liền kề hoặc liên hợp với ma trận $ A $). Sử dụng công thức $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, chúng ta có:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $$

Vì vậy, ma trận nghịch đảo được tìm thấy: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. Để kiểm tra độ trung thực của kết quả, chỉ cần kiểm tra độ đúng của một trong các giá trị bằng nhau: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ hoặc $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Hãy kiểm tra đẳng thức $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. Để làm việc ít hơn với phân số, chúng tôi sẽ thay thế ma trận $ A ^ (- 1) $ không ở dạng $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $ nhưng là $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $:

Câu trả lời: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $.

Ví dụ # 3

Tìm nghịch đảo của ma trận $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $.

Hãy bắt đầu bằng cách tính định thức của ma trận $ A $. Vì vậy, định thức của ma trận $ A $ là:

$$ \ Delta A = \ left | \ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Vì $ \ Delta A \ neq 0 $, ma trận nghịch đảo tồn tại, vì vậy chúng tôi tiếp tục giải pháp. Chúng tôi tìm phần bổ sung đại số của mỗi phần tử của ma trận đã cho:

Chúng tôi soạn một ma trận gồm các phép cộng đại số và hoán vị nó:

$$ A ^ * = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (array) \ right); \ U0026 (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $$

Sử dụng công thức $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, chúng ta nhận được:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (mảng) \ phải) $$

Vì vậy, $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (mảng) \ phải) $. Để kiểm tra độ trung thực của kết quả, chỉ cần kiểm tra độ đúng của một trong các giá trị bằng nhau: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ hoặc $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Hãy kiểm tra đẳng thức $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Để làm việc ít hơn với phân số, chúng tôi sẽ thay thế ma trận $ A ^ (- 1) $ không ở dạng $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $, nhưng dưới dạng $ \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $:

Kiểm tra được vượt qua thành công, ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $ đã được tìm thấy chính xác.

Câu trả lời: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (mảng) \ phải) $.

Ví dụ # 4

Tìm nghịch đảo ma trận của $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ end (mảng) \ phải) $.

Đối với ma trận bậc 4, việc tìm ma trận nghịch đảo bằng phép cộng đại số hơi khó. Tuy nhiên, những ví dụ như Công việc kiểm soát gặp.

Để tìm ma trận nghịch đảo, trước tiên bạn cần tính định thức của ma trận $ A $. Cách tốt nhất để làm điều này trong tình huống này là mở rộng định thức trong một hàng (cột). Chúng tôi chọn bất kỳ hàng hoặc cột nào và tìm phần bổ sung đại số của từng phần tử của hàng hoặc cột đã chọn.

Tìm ma trận nghịch đảo.

Trong bài này, chúng ta sẽ đề cập đến khái niệm ma trận nghịch đảo, các tính chất và cách tìm nó. Hãy để chúng tôi đi sâu vào giải quyết các ví dụ trong đó nó được yêu cầu để xây dựng một ma trận nghịch đảo cho một ma trận cho trước.

Điều hướng trang.

Ma trận nghịch đảo - định nghĩa.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng ma trận cộng đại số.

Các tính chất của ma trận nghịch đảo.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Tìm các phần tử của ma trận nghịch đảo bằng cách giải các hệ phương trình đại số tuyến tính tương ứng.

Ma trận nghịch đảo - định nghĩa.

Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ được đưa ra cho các ma trận vuông mà định thức của nó khác 0, nghĩa là đối với các ma trận vuông không kỳ dị.

Sự định nghĩa.

Ma trậnđược gọi là nghịch đảo của ma trận, có định thức khác 0, nếu các giá trị bằng nhau là đúng , ở đâu E là ma trận nhận dạng của trật tự N trên N.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng ma trận cộng đại số.

Làm thế nào để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận đã cho?

Đầu tiên, chúng ta cần các khái niệm ma trận chuyển vị, phần tử nhỏ của ma trận và phần bù đại số của phần tử ma trận.

Sự định nghĩa.

Diễn viên phụk-th gọi món ma trận Một gọi món m trên N là yếu tố quyết định của ma trận thứ tự k trên k, được lấy từ các phần tử của ma trận NHƯNG nằm trong lựa chọn k dòng và k cột. ( k không vượt quá số nhỏ nhất m hoặc N).

Diễn viên phụ (n-1) th thứ tự, được tạo thành từ các phần tử của tất cả các hàng, ngoại trừ tôi-th và tất cả các cột ngoại trừ j-th, Ma trận vuông NHƯNG gọi món N trên N hãy biểu thị nó là.

Nói cách khác, số nhỏ thu được từ ma trận vuông NHƯNG gọi món N trên N gạch bỏ các yếu tố tôi-th dòng và j-th cột.

Ví dụ, chúng ta hãy viết, trẻ vị thành niên lần 2 thứ tự, được lấy từ ma trận lựa chọn các phần tử của hàng thứ hai, thứ ba và cột thứ nhất, thứ ba . Chúng tôi cũng hiển thị số nhỏ, thu được từ ma trận xóa hàng thứ hai và cột thứ ba . Hãy để chúng tôi minh họa cấu trúc của những trẻ vị thành niên này: và.

Sự định nghĩa.

Phép cộng đại số phần tử của ma trận vuông được gọi là phần tử nhỏ (n-1) th thứ tự, được lấy từ ma trận NHƯNG, xóa các phần tử của nó tôi-th dòng và j-th cột nhân với.

Phần bù đại số của một phần tử được ký hiệu là. Vì vậy, .

Ví dụ, đối với một ma trận phần bù đại số của phần tử là.

Thứ hai, chúng ta sẽ cần hai thuộc tính của định thức, mà chúng ta đã thảo luận trong phần phép tính định thức ma trận:

Dựa trên các thuộc tính này của định thức, các định nghĩa phép nhân ma trận với một số và khái niệm ma trận nghịch đảo, chúng ta có đẳng thức , đâu là ma trận chuyển vị có các phần tử là phần bổ sung đại số.

Ma trận thực sự là nghịch đảo của ma trận NHƯNG, vì sự bình đẳng . Hãy thể hiện nó

Hãy sáng tác thuật toán ma trận nghịch đảo sử dụng bình đẳng .

Hãy phân tích thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng một ví dụ.

Thí dụ.

Cho một ma trận . Tìm ma trận nghịch đảo.

Dung dịch.

Tính định thức ma trận NHƯNG, mở rộng nó bằng các phần tử của cột thứ ba:

Định thức khác 0, vì vậy ma trận NHƯNG có thể đảo ngược.

Hãy tìm một ma trận từ các phép cộng đại số:

Đó là lý do tại sao

Hãy thực hiện chuyển vị của ma trận từ các phép cộng đại số:

Bây giờ chúng ta tìm thấy ma trận nghịch đảo là :

Hãy kiểm tra kết quả:

Bình đẳng được thực thi, do đó, ma trận nghịch đảo được tìm thấy chính xác.

Các tính chất của ma trận nghịch đảo.

Khái niệm về ma trận nghịch đảo, đẳng thức , các định nghĩa của các phép toán trên ma trận và các thuộc tính của định thức của ma trận làm cho nó có thể chứng minh những điều sau thuộc tính ma trận nghịch đảo:

Tìm các phần tử của ma trận nghịch đảo bằng cách giải các hệ phương trình đại số tuyến tính tương ứng.

Hãy xem xét một cách khác để tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận vuông NHƯNG gọi món N trên N.

Phương pháp này dựa trên giải pháp N hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất với N không xác định. Các biến chưa biết trong các hệ phương trình này là các phần tử của ma trận nghịch đảo.

Ý tưởng rất đơn giản. Ký hiệu ma trận nghịch đảo là X, đó là, . Vì theo định nghĩa của ma trận nghịch đảo, thì

Cân bằng các phần tử tương ứng theo các cột, chúng ta nhận được N hệ phương trình tuyến tính

Chúng tôi giải quyết chúng theo bất kỳ cách nào và tạo thành một ma trận nghịch đảo từ các giá trị tìm được.

Hãy phân tích phương pháp này với một ví dụ.

Thí dụ.

Cho một ma trận . Tìm ma trận nghịch đảo.

Dung dịch.

Chấp nhận . Đẳng thức cho ta ba hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất:

Chúng tôi sẽ không mô tả giải pháp của các hệ thống này; nếu cần, hãy tham khảo phần nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.

Từ hệ phương trình thứ nhất ta có, từ hệ thứ hai -, từ hệ phương trình thứ ba -. Do đó, ma trận nghịch đảo mong muốn có dạng . Chúng tôi khuyên bạn nên kiểm tra để đảm bảo kết quả là chính xác.

Tổng kết.

Chúng tôi đã xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo, các tính chất của nó và ba phương pháp để tìm ra nó.

Ví dụ về các giải pháp ma trận nghịch đảo

Bài tập 1. Giải SLAE bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Bắt đầu biểu mẫu

Kết thúc biểu mẫu

Dung dịch. Hãy viết ma trận dưới dạng: Vectơ B: B T = (1,2,3,4) Định thức chính Nhỏ cho (1,1): = 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 (3 2-6 2) = -3 Số nhỏ cho (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 Số nhỏ cho (3, 1): = 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) = 3 Số nhỏ cho (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) = 3 Định thức nhỏ ∆ = 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 = -3

Ma trận chuyển đổi Phần bù đại số ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4 ) +2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 ) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2 4) +1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 (3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 (7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \ u003d -3 ∆ 4.3 \ u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3 6- 3 5) +3 (3 7-5 5) = -3 Ma trận nghịch đảo Véc tơ kết quả X X = A -1 ∙ B X T = (2, -1, -0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Xem thêm Các giải pháp SLAE bằng phương pháp ma trận nghịch đảo Trực tuyến. Để thực hiện việc này, hãy nhập dữ liệu của bạn và nhận quyết định với các nhận xét chi tiết.

Nhiệm vụ 2. Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận và giải bằng ma trận nghịch đảo. Kiểm tra dung dịch thu được. Dung dịch:xml:xls

Ví dụ 2. Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận và giải bằng ma trận nghịch đảo. Dung dịch:xml:xls

Thí dụ. Một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số được đưa ra. Yêu cầu: 1) tìm giải pháp của nó bằng cách sử dụng Công thức của Cramer; 2) Viết hệ thống dưới dạng ma trận và giải nó bằng phép tính ma trận. Nguyên tắc. Sau khi giải theo phương pháp của Cramer, tìm nút "Nghiệm ma trận nghịch đảo cho dữ liệu ban đầu". Bạn sẽ nhận được một quyết định thích hợp. Như vậy, dữ liệu sẽ không phải điền lại. Dung dịch. Ký hiệu bằng A - ma trận các hệ số cho ẩn số; X - ma trận cột của ẩn số; B - cột ma trận của các thành viên miễn phí:

Vectơ B: B T = (4, -3, -3) Cho các ký hiệu này, hệ phương trình này có dạng ma trận sau: А * Х = B. Nếu ma trận А là không (định thức của nó là khác 0, thì nó có một ma trận nghịch đảo А -1. Nhân cả hai vế của phương trình với A -1, ta được: A -1 * A * X \ u003d A -1 * B, A -1 * A \ u003d E. Đẳng thức này được gọi là ký hiệu ma trận của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Để tìm nghiệm của hệ phương trình, cần tính ma trận nghịch đảo A -1. Hệ thống sẽ có nghiệm nếu định thức của ma trận A khác 0. Chúng ta hãy tìm yếu tố quyết định chính. ∆ = -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) = 14 Vậy, định thức là 14 ≠ 0, vì vậy chúng tôi tiếp tục giải pháp. Để làm điều này, chúng tôi tìm ma trận nghịch đảo thông qua các phép cộng đại số. Để chúng ta có một ma trận khác A:

Chúng tôi tính toán các phép cộng đại số.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (- 1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14/14 = 1 x 3 = 28/14 = 2 Kiểm tra. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Câu trả lời: -1,1,2.