Giá trị riêng và hàm riêng của phép chiếu momen động lượng.

Hãy để khối lượng cơ thể tôi trong một khoảng thời gian nhỏ Δ t lực tác dụng Dưới tác dụng của lực này vận tốc của vật thay đổi theo Do đó, trong khoảng thời gian ∆ t cơ thể chuyển động với gia tốc

Từ định luật cơ bản của động lực học ( Định luật II Newton) như sau:

số lượng vật lý, bằng với sản phẩm khối lượng của một cơ thể với tốc độ của nó được gọi là đà cơ thể(hoặc lượng chuyển động). Động lượng của cơ thể là một đại lượng vectơ. Đơn vị SI của động lượng là kilogam-mét trên giây (kg m/s).

Đại lượng vật lý bằng tích của lực và thời gian tác dụng của nó được gọi là đà của lực . Động lượng của một lực cũng là một đại lượng vectơ.

trong điều khoản mới Định luật II Newton có thể được xây dựng như sau:

Vàsự thay đổi động lượng của cơ thể (động lượng) bằng động lượng của lực.

Biểu thị động lượng của cơ thể bằng chữ cái định luật thứ hai của Newton có thể được viết là

Đó là trong như vậy nhìn chung Chính Newton đã xây dựng định luật thứ hai. Lực trong biểu thức này là kết quả của tất cả các lực tác dụng lên cơ thể. Đẳng thức vectơ này có thể được viết trong các phép chiếu lên các trục tọa độ:

Như vậy, sự thay đổi hình chiếu động lượng của vật lên bất kỳ một trong ba trục vuông góc với nhau bằng với hình chiếu động lượng của lực lên cùng một trục. Coi như một ví dụ một chiều chuyển động, tức là chuyển động của cơ thể dọc theo một trong trục tọa độ(ví dụ: trục OY). Cho vật rơi tự do từ tốc độ ban đầuυ 0 dưới tác dụng của trọng lực; thời gian mùa thu là t. Hãy định hướng trục OY thẳng đứng xuống. Động lượng của trọng lực F t = mg suốt trong t bằng mgt. Động lượng này bằng độ biến thiên động lượng của vật

Kết quả đơn giản này trùng khớp với động họccông thứccho tốc độ chuyển động nhanh dần đều . Trong ví dụ này, lực không thay đổi về giá trị tuyệt đối trong toàn bộ khoảng thời gian t. Nếu lực thay đổi độ lớn thì phải thay giá trị trung bình của lực vào biểu thức tính xung lượng của lực F cf trên khoảng thời gian hành động của nó. Cơm. 1.16.1 minh họa phương pháp xác định xung của lực phụ thuộc vào thời gian.

Hãy để chúng tôi chọn một khoảng thời gian nhỏ Δ trên trục thời gian t, trong đó lực F (t) hầu như không thay đổi. xung lực F (t) Δ t trong thời gian ∆ t sẽ là bằng diện tích cột được tô bóng. Nếu toàn bộ trục thời gian trên khoảng thời gian từ 0 đến t chia thành các khoảng nhỏ Δ ttôi, và sau đó tính tổng các xung lực trên tất cả các khoảng thời gian Δ ttôi, thì tổng xung của lực sẽ bằng diện tích tạo bởi đường cong bậc với trục thời gian. Trong giới hạn (Δ ttôi→ 0) diện tích này bằng diện tích giới hạn bởi đồ thị F (t) và trục t. Phương pháp xác định động lượng của lực từ đồ thị F (t) là chung và có thể áp dụng cho mọi định luật về lực thay đổi theo thời gian. Về mặt toán học, vấn đề được rút gọn thành hội nhập chức năng F (t) trên khoảng .

Xung của lực, đồ thị được thể hiện trong hình. 1.16.1, trên khoảng thời gian từ t 1 = 0 giây đến t 2 = 10 s bằng:

Trong ví dụ đơn giản này

Trong một số trường hợp, lực trung bình F cp có thể được xác định nếu biết thời gian tác dụng của nó và xung truyền vào cơ thể. Ví dụ, một cầu thủ bóng đá va chạm mạnh vào quả bóng nặng 0,415 kg có thể mang lại cho anh ta vận tốc υ = 30 m/s. Thời gian tác động xấp xỉ bằng 8·10 -3 s.

Xung P quả bóng có được sau một cú đánh là:

Do đó, sức mạnh trung bình F cf, mà chân của cầu thủ bóng đá đã tác động lên quả bóng trong khi đá, là:

Đây là một sức mạnh rất lớn. Nó xấp xỉ bằng trọng lượng của một cơ thể nặng 160 kg.

Nếu chuyển động của cơ thể trong quá trình tác dụng của lực xảy ra theo một số quỹ đạo đường cong, thì động lượng ban đầu và động lượng cuối cùng của cơ thể có thể khác nhau không chỉ về giá trị tuyệt đối mà còn về hướng. Trong trường hợp này, để xác định sự thay đổi động lượng, sẽ thuận tiện khi sử dụng sơ đồ xung , mô tả các vectơ và , cũng như vectơ dựng theo quy tắc hình bình hành. Như một ví dụ, trong hình. 1.16.2 cho thấy một sơ đồ xung lực cho một quả bóng nảy ra khỏi bức tường gồ ghề. khối lượng bóng tôiđập vào tường với vận tốc hợp với góc α so với pháp tuyến (trục CON BÒ) và bật ra khỏi nó với tốc độ một góc β. Trong quá trình tiếp xúc với tường, một lực nhất định đã tác dụng lên quả bóng, hướng của nó trùng với hướng của vectơ

Với một quả bóng có khối lượng rơi bình thường tôi trên một bức tường đàn hồi có vận tốc , sau khi bật lại quả bóng sẽ có vận tốc . Do đó, sự thay đổi động lượng của quả bóng trong quá trình bật lại là

Trong các hình chiếu trên trục CON BÒ kết quả này có thể được viết dưới dạng vô hướng Δ Px = -2tôiυ x. trục CON BÒ hướng ra khỏi tường (như trong Hình 1.16.2), do đó υ x < 0 и ΔPx> 0. Do đó, mô đun Δ P sự thay đổi động lượng có liên quan đến mô đun υ của tốc độ quả bóng theo mối quan hệ Δ P = 2tôiυ.

Động lượng của hạt l so với nguồn gốc Ô trong cơ học cổ điển được xác định bởi tích vectơ [g,p, những thứ kia.

Định nghĩa như vậy trong cơ lượng tử không có nghĩa, vì không có trạng thái mà cả hai vectơ g và rđã có những ý nghĩa nhất định.

Xét mômen động lượng của một hạt lượng tử. Trong cơ học lượng tử, tích vectơ [ r, r ]điều hành trận đấu [g,p]. Khai triển tích vectơ này, ta tìm được các toán tử của các hình chiếu của mômen động lượng trên các trục tọa độ X, Y, Z, ví dụ trên trục Z:

Thông qua các phép chiếu này, toán tử vectơ động lượng góc được biểu thị bằng

Trong tương lai, chúng ta sẽ sử dụng toán tử hình chiếu của xung lượng góc trên trục Z, nhưng không phải trong Đề-các mà trong hệ tọa độ cầu (G, 0, sr):

Toán tử động lượng góc chỉ phụ thuộc vào hướng của các trục tọa độ. Vì vậy nó còn được gọi là nhà điều hành động lượng góc. giá trị bản địa toán tử chiếu xung lượng góc cũng không phụ thuộc vào việc chọn gốc tọa độ.

Có thể kiểm tra và xác minh rằng các toán tử chiếu động lượng góc L x , L y và lz không đi lại với nhau. L x L y y>^ L y L x y). Do đó, không có trạng thái mà cả ba và thậm chí cả hai trong ba hình chiếu L x , L v , L, có giá trị nào đó khác không. Lưu ý rằng, trái ngược với động lượng góc, động lượng có ba thành phần có thể đo được đồng thời: p x, p y, p, .

Vì vậy, không có trạng thái như vậy của một hạt lượng tử trong đó vectơ động lượng góc sẽ có một giá trị nhất định, tức là sẽ được xác định hoàn toàn cả về độ lớn và hướng. Ngoại lệ duy nhất là khi L- 0 và cả ba hình chiếu đồng thời bằng 0: L x = L v = L, = 0.

Mô đun của động lượng góc. Để xác định bình phương momen động lượng của hạt ở trạng thái φ, cần giải phương trình có dạng (27.5):

toán tử động lượng góc bình phương ở đâu l = dài x + L y + L z . Có thể cho bây giờ-

nói rằng đối với các giá trị riêng của toán tử l công bằng

ở đâu / - quỹ đạo (phương vị) số lượng tử. Do đó, mô đun động lượng góc của một vi hạt chuyển động

Có thể thấy rằng đại lượng này là rời rạc (được lượng tử hóa).

nhà điều hành L x , L y và lz(27.10) đi lại với l. Do đó,

bạn có thể đồng thời xác định độ lớn của động lượng góc l(hoặc hình vuông của nó l 2) và một trong các hình chiếu của nó ( dài x , L y hoặc l,). Thông thường, phép chiếu lên trục Z được xem xét, vì trong trường hợp này, toán tử lzđược cho bởi một công thức đơn giản hơn (27.10).

Hình chiếu của động lượng góc l z . Để xác định giá trị riêng và chức năng riêng toán tử momen động lượng của hạt, theo biểu thức (27.5), cần giải phương trình L-ph= 1.f, tức là

ở đâu hàm sóng là một hàm của tọa độ cầu: φ = φ(/*, 0, φ). Sự thay thế φ \u003d Ce af (C \u003d C (/% 0)) dẫn sau khi giảm bởi một yếu tố chung Biển f đến các phương trình

Do đó, nghiệm của phương trình (27.12) là:

Do tính duy nhất cần thiết của φ nên khi quay quanh trục Z một góc phương vị cp bằng 2n thì hàm sóng không thay đổi: φ(φ + 2π) = φ(φ). Kể từ khi chức năng trong 'a là tuần hoàn với chu kỳ 2n, thì theo (27.13) đẳng thức này chỉ có thể thỏa mãn với điều kiện

số ở đâu t gọi là số lượng tử từ. Vậy hằng số Planck Số Pi có thể được coi là một đơn vị tự nhiên của động lượng góc. Lưu ý rằng phương trình (27.13) xác định phổ các giá trị được phép của phép chiếu động lượng góc lên ocbZ đã chọn

Cơm. 27.1. định hướng có thể vectơ động lượng góc, chẳng hạn như electron, ở trạng thái có số lượng tử 1 = 2

Đẳng thức (27.13) có nghĩa là vì hướng của trục Z được chọn tùy ý, hình chiếu của xung lượng góc theo bất kỳ hướng nào đều được lượng tử hóa (Hình 27.1). Tất nhiên, biểu diễn sơ đồ không nên được hiểu theo nghĩa đen, vì "vectơ" l về cơ bản không có hướng xác định trong không gian. Tại một giá trị nhất định của mô đun động lượng góc và một giá trị hình chiếu nhất định l dự đoán dài x và L y không có giá trị nhất định(ngoại trừ trường hợp cả ba thành phần của mômen động lượng đồng thời bằng không). giá trị l và l v khác với (27.11a) và (27.13) không quan sát được trong bất kỳ điều kiện nào.

Hình chiếu của bất kỳ vectơ nào không thể lớn hơn mô đun của vectơ này, tức là | L z Do đó, theo công thức (27.11a) và (27.13), điều kiện

Do đó, gia trị lơn nhât t bằng / và chúng ta có thể viết rằng

Đã cho / số t chấp nhận (21 + 1) giá trị:

hình thành phổ chiếu lz = mb với bất kỳ trục Z chuyên dụng nào (Hình 27.1).

Do đó, số lượng tử / đặt cả mô đun của xung lượng góc và tất cả các giá trị có thể có của hình chiếu của nó lên trục Z. Vì vậy, ví dụ, nếu số lượng tử quỹ đạo / \u003d 2 (Hình 27.1), thì

Kết quả thu được xác định các giá trị có thể l và l vđược gọi là lượng tử hóa không gian. Để rõ ràng, lượng tử hóa không gian thường được biểu diễn bằng đồ thị (Hình 27.1): dọc theo trục z trì hoãn có thể giá trị mb, coi chúng là các hình chiếu lên trục Z của vectơ l chiều dài d L //(/ + 1).

Nhiệm vụ 1

Một vật khối lượng chuyển động dọc theo trục xtôi= 1 kg với tốc độV 0 \u003d 2 m / s. Hoạt động dọc theo hướng di chuyểnsức mạnhF = 4 N trong một thời giant = 2s. Xác định vận tốc của vật sau khi hết tác dụng của lực này.

Để giải quyết vấn đề này, trước hết, điều quan trọng là phải nhớ xung lượng cơ thể là gì.

Cơm. 1. Lựa chọn hệ quy chiếu

Ghi nhớ điều đó đà của lực là sự thay đổi động lượng của cơ thể, chúng tôi viết biểu thức sau: .

Bây giờ chúng ta sẽ thống nhất phương trình với hệ quy chiếu đã chọn. Lực F khi chiếu lên trục X sẽ mang dấu dương, nghĩa là: .

Sau đó, biến đổi phương trình này, rút ​​​​ra tốc độ cần xác định từ nó, chúng tôi viết biểu thức sau: .

Đáp số: 10 m/s.

Nhiệm vụ 2

Một chiếc xe có người ngồi trên chuyển động thẳng đều với vận tốc 2 m/s. Một người nhảy khỏi xe đẩy theo phương nằm ngang ngược với chiều chuyển động của xe đẩy với vận tốc 1 m/s. Xác định vận tốc của xe sau khi người đàn ông nhảy khỏi xe. Khối lượng của người gấp 1,5 lần khối lượng của xe.

Cơm. 2. Hình chiếu động lượng của vật trên trục X

Trong trường hợp thứ nhất, các bạn chú ý, cả xe và người đều đi cùng nhau, nghĩa là chúng có cùng vận tốc, ta có thể viết biểu thức sau cho một hệ quy chiếu cho trước gắn với trục Ox: .

Khi đó, khi người đó nhảy khỏi xe, hai vật thể này có thể được viết như sau: .

Dấu trừ chứng tỏ vận tốc của người đó hướng về phía phía đối diện, và vận tốc của xe có dấu cộng sẽ cùng hướng với vận tốc ban đầu, tức là dọc theo trục x.

Bằng cách viết những biểu thức này cho trạng thái ban đầu và các trạng thái sau tương tác, ta vận dụng định luật bảo toàn động lượng.

Qua định luật bảo toàn động lượngđộng lượng trong trường hợp thứ nhất sẽ bằng động lượng trong trường hợp thứ hai: P 0x = P x. .

Sau khi viết tỷ lệ này, chúng tôi viết lại, mở ngoặc của biểu thức: (m1+m2) .V 1 =-m2.V2+m1.V¢1.

Vận tốc V¢ 1 và phải được xác định. Chúng tôi biểu thị khối lượng của một người thông qua khối lượng của xe, nhưng theo cách mà khối lượng được biểu thị theo cùng một đơn vị: (m1 +1,5m1) .V 1 \u003d -1,5m1.V2+m1.V¢1.

Chúng ta có thể lấy khối lượng m 1 ra khỏi dấu ngoặc và giảm: 2,5 m1.V 1 \u003d -1,5m1.V2+m1.V¢1. Khi chúng tôi thay thế các giá trị cho tốc độ, chúng tôi nhận được câu trả lời: .

m Nhiệm vụ này minh họa tốt sự chuyển động do phản lực. Người nhảy khỏi xe đi ngược chiều đã tăng tốc độ của xe. Có đúng là điều này phù hợp với cách khí thoát ra khỏi tên lửa ở một tốc độ nhất định và tạo thêm tốc độ cho vỏ, tức là chính tên lửa.

Nhiệm vụ 3

khối lượng bóng m 1 = 1 Kilôgam. lướt trên một bề mặt hoàn toàn nhẵn với tốc độ v 1 = 4 bệnh đa xơ cứng và va chạm tuyệt đối đàn hồi với một quả bóng cùng kích thước m 2 = 3 Kilôgam. Xác định vận tốc của bi sau va chạm?
Dung dịch:
Theo định luật bảo toàn động lượng cho một tác động hoàn toàn không đàn hồi.

OH:

Trả lời 1 bệnh đa xơ cứng

nhiệm vụ 4

Một quả bóng có khối lượng 70 g. rơi xuống sàn một góc 60 0 so với pháp tuyến và bật ngược lại với góc đó mà không bị mất vận tốc. Xác định động lượng của tổng lực tác dụng lên quả bóng trong quá trình va chạm nếu tốc độ của nó là 30 bệnh đa xơ cứng.
Dung dịch:
Hãy chỉ ra trong hình sự thay đổi vận tốc của quả bóng khi va chạm:
Hãy viết định luật 2 Newton
Bằng cách xây dựng, chúng tôi xác định rằng . Độ lớn của xung lực tổng hợp tác dụng lên quả bóng trong quá trình va chạm bằng
Câu trả lời:

nhiệm vụ 5

Cậu bé nặng 40 Kilôgam, đứng trên giày trượt, ném một hòn đá có khối lượng 1 Kilôgamở tốc độ 8 bệnh đa xơ cứng. nghiêng một góc 60° so với phương ngang. Xác định tốc độ mà cậu bé sẽ bắt đầu di chuyển trên băng sau khi ném?

Dung dịch:
Không có lực ngang tác dụng lên hệ thống cậu bé đá. TẠI hệ thống quán tính báo nối đất thì hình chiếu xung lực tổng của hệ lên trục hoành phải không đổi:
Vận tốc của cậu bé sau khi ném
Trả lời: 0,1 bệnh đa xơ cứng

nhiệm vụ 6 0,04 mét/giây

nhiệm vụ 7

Viên đạn ở đỉnh quỹ đạo của nó phát nổ thành hai mảnh có khối lượngtôi 1 = 3 kg và tôi 2 =5kg. Vận tốc của viên đạn ngay trước khi nổ làv 0 =600 m/s, vận tốc của mảnh lớn hơn ngay sau khi đứt làv 2 =800 m / s và hướng của nó trùng với hướng chuyển động của viên đạn trước khoảng trống. Xác định vận tốc của mảnh nhỏ ngay sau khi đứt.

Dung dịch:
Chúng tôi chọn theo hướng tích cực của vận tốc đạnv 0 và viết định luật bảo toàn động lượng.




Điều này có nghĩa là mảnh vỡ nhỏ hơn đã bay theo cùng một hướng.
Câu trả lời:

Định luật bảo toàn động lượng là hệ quả của các định luật Newton và được dùng để xác định vận tốc tức thời của các vật sau tương tác của chúng.

Động lượng của một cơ thể (điểm vật chất) được gọi là một vectơ số lượng vật lý bằng tích của khối lượng cơ thể và tốc độ của nó p -> = mϑ -> , trong đó m là khối lượng cơ thể, ϑ -> – tốc độ tức thời. Xung lực của một hệ vật thể là tổng vectơ xung lực của các vật thể p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + ... + p n -> .

Theo định luật thứ nhất của Newton, nếu các vật không tương tác với nhau thì động lượng của mỗi vật và động lượng của một số vật trong hệ được bảo toàn. Khi tương tác trong hệ, các cặp lực xuất hiện giữa các vật có độ lớn bằng nhau và ngược chiều nhau, theo định luật thứ ba của Newton.

Một đại lượng vật lý vectơ, là số đo tác dụng của một lực trong một khoảng thời gian nhất định, được gọi là xung lượng của lực và được ký hiệu là F -> Δt. Từ định luật II Newton trong trường hợp tác dụng của một lực và định nghĩa gia tốc tuân theo F -> = ma -> , a -> = ( ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

f -> = m( ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = m ϑ -> -m ϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Phương trình này là định luật bảo toàn động lượng ở dạng xung lực. Xung của lực (kết quả) bằng với sự thay đổi động lượng của cơ thể (điểm vật chất). Trong một hệ kín, các tương tác xảy ra theo từng cặp và động lượng của vật này thay đổi một lượng F 21 -> Δt, động lượng của vật thứ hai bằng F 12 -> Δt, trong đó F 12 -> là lực tác dụng từ vật thứ nhất lên vật thứ hai và F 21 -> - lực tác dụng từ vật thứ hai lên vật thứ nhất.

Một hệ thống khép kín là một hệ thống các cơ thể chỉ tương tác với nhau.

Động lượng của vật thứ nhất thay đổi một lượng F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, động lượng của vật thứ hai thay đổi một lượng F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Nhưng động lượng của hệ vật không đổi

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , vì F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, vì F 12 -> = -F 21 -> .

Với mọi tương tác của hai vật thể bên trong một hệ thống kín, động lượng của toàn bộ hệ thống không thay đổi. Hãy phát biểu định luật bảo toàn động lượng.

Tổng vectơ động lượng của các vật tương tác tạo nên hệ kín không thay đổi.

Khi vận dụng định luật bảo toàn động lượng vào bài toán, ta thực hiện hai bản vẽ sơ đồ, thể hiện trạng thái của hệ vật thể trước và sau tương tác. Để giải phương trình véc tơ ta chọn các hệ trục tọa độ trùng nhau.

Vấn đề 1. Tác động không đàn hồi.

Một ô tô khối lượng 30 tấn chuyển động với vận tốc 4 m/s đến va chạm với một bệ cố định khối lượng 10 tấn, tìm vận tốc của ô tô và bệ sau khi kích hoạt bộ ghép tự động.

Dung dịch.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1 ϑ 1 -> = (M1 + M2) ϑ ->

Ồ: M 1 ϑ 1 = (M1 + M2) ϑ

Từ đây: ϑ =M1 ϑ 1 /(M1 + M2);

ϑ = (30 103 4) / (30 103 + 10 103) = 0,75 m/s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Câu trả lời. 0,75 mét/giây

Định luật bảo toàn động lượng cũng có thể áp dụng cho hệ không kín nếu tương tác của các vật xảy ra tức thời và vận tốc của các vật được xác định ngay sau tương tác.

Nhiệm vụ 2. Tách thành các phần.

Một quả lựu đạn đang bay với vận tốc 20 m/s thì vỡ thành hai mảnh có khối lượng 1,2 kg và 1,8 kg. Mảnh lớn hơn tiếp tục chuyển động cùng chiều với vận tốc 50 m/s. Tìm tốc độ của mảnh nhỏ hơn.

Dung dịch.

Hệ thống không đóng trên cơ thể và các bộ phận của nó bị ảnh hưởng bởi trọng lực, nhưng vì khe hở xảy ra tức thời, nên có thể bỏ qua sự thay đổi động lượng của từng bộ phận do trọng lực. Ta áp dụng định luật bảo toàn động lượng dưới dạng véc tơ.

m ϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M2 ϑ -> 2

Ồ: Tôi ϑ =M1 ϑ 1+M2 ϑ 2

Từ đây: ϑ 2x = (M ϑ -M1 ϑ 1)/M2

ϑ 2x \u003d (3 20 - 1,8 50) / 1,2 \u003d -25 m / s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Câu trả lời.

Định luật bảo toàn động lượng có thể được áp dụng trong các hình chiếu lên trục nếu hình chiếu của kết quả các lực lượng bên ngoài trên trục này bằng O. p x \u003d 0; p 01x + p 02x = p 1x + p 2x.

Nhiệm vụ 3. Bắn ở một góc.

Từ một khẩu súng đặt trên bệ có khối lượng M, một viên đạn có khối lượng m được bắn theo phương nghiêng a so với đường chân trời và có vận tốc V so với mặt đất, hãy xác định vận tốc của bệ sau khi bắn.

Dung dịch.

Hệ thống không bị đóng, một phản lực bổ sung của giá đỡ tác động lên cơ thể trong quá trình bắn, tạo ra động lượng cho đường đạn dọc theo trục đứng OY thì hình chiếu của nó trên trục hoành OX bằng 0, dọc theo trục OX không có lực nào khác tác dụng nên có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng trong các hình chiếu trên trục OX.

p x \u003d p 1x + p 2x

OH: 0 = MU x + m ϑ x

0 = MU x + m ϑ cosα

U x = m ϑcosα/M

[U] = (kg m/s)/kg = m/s

Bạn có câu hỏi nào không? Không biết làm thế nào để giải quyết vấn đề về định luật bảo toàn động lượng?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.