دعونا نفكر أولاً في حل النظام المعادلات الخطية طريقة كرامر. للقيام بذلك ، نستخدم الحل بالفعل المثال 8.

EXCEL لديه وظيفة لحساب المحددات (انظر البند 7). دعونا نكتب مصفوفة المعاملات والمصفوفات التي تم الحصول عليها منها عن طريق استبدال جميع الأعمدة بدورها بعمود المصطلحات الحرة. يتم عرض قائمة الحسابات في الشكل. ثمانية:

المصفوفات مكتوبة في نطاقات

وقيم المحددات موجودة في الخلايا . عمود الأعضاء الأحرار موجود في G2: G6. حل النظام في I2: I6.

نفس المثالحل مع مصفوفة معكوسة. تنفذ EXCEL وظائف لإيجاد معكوس المصفوفات وضرب المصفوفات (انظر البند 7). يتم عرض قائمة الحل في الشكل. 9. مصفوفة المعاملات مكتوبة في النطاق ، متجه المصطلحات الحرة مكتوب في الخلايا ، المصفوفة العكسية مكتوبة في النطاق ، حل النظام الذي تم الحصول عليه نتيجة ضرب المصفوفة في المصفوفة مكتوب في الخلايا.

دعنا نقدم طريقة أخرى لحل الأنظمة الخطية في EXCELL. قد لا يبدو الأمر فعالاً للأنظمة ، لكن الإلمام به مفيد في حل مشاكل التحسين ، ولا سيما المشكلات البرمجة الخطية. أداة هذه الطريقة هي الإجراء إيجاد حلالذي يقع في الإضافات.بعد استدعاء الإجراء ، تظهر النافذة في الشكل. أحد عشر.

دعونا نظهر حل النظام بمثال.

المثال 12.حل النظام

يتم إدخال مصفوفة معاملات معادلات النظام في الخلايا ، في - معاملات المعادلة الأخيرة ، في الخلايا G3: G6 - عمود المصطلحات المجانية. سيتم حجز الخلايا B1: E1 لقيم المجهول. في الخلايا F3: F6 ، نحسب مجموع نواتج معاملات كل معادلة حسب المجهول (لهذا نستخدم دالة SUMPRODUCT المضمنة). حدد الخلية F6 كالخلية المستهدفة واتصل بالإجراء إيجاد حل. في المربع ، عيّن أن تكون الخلية المستهدفة مساوالمصطلح المجاني للمعادلة الأخيرة ، واملأ الحقول. في الميدان "تغيير الخلايا"أدخل B1: E1. في الميدان "قيود"سوف نقدم المعادلات الأولى. وبالتحديد ، يجب أن تكون القيمة في الخلية F3 مساوية لـ مجموعة القيمةفي الخلية G3 (المعادلة الأولى). وبالمثل ، نضيف معادلتين أخريين. بعد ملء جميع الحقول اضغط على.

حل أنظمة المعادلات الخطية في Excel

1 المقدمة

يتم تقليل العديد من مهام تنظيم إنتاج البناء إلى حل أنظمة المعادلات الخطية في النموذج:

أ 11 × 1 أ 12 × 2 أ 1 ن × ن ب 1 ،
				a2 ن xn
أ 21 × 1 أ 22 × 2
	ن 1 1

يسمى نظام n الخطي المعادلات الجبرية(SLAE) مع ن

مجهول.

في هذه الحالة ، يتم استدعاء الأرقام التعسفية a ij (i = 1 ، 2 ، ... ، n ؛ j = 1 ، 2 ، ... ، n)

معاملات المجهول ، والأرقام ب i (أنا = 1 ، 2 ، ... ، ن) مجانية

أفراد.

يمكن كتابة النظام (1) في شكل مصفوفة

AX = ب ،

حيث A هي مصفوفة معاملات المجهول:

					أ 2 ن
			و 1	و 1
	و 1				و 1

X - متجه العمود المجهول X = (x1، x2، ...، xn) T:

B هو ناقل عمود للأعضاء المجانيين:

ب 2 ب ،

أو ب = (ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب ن) ت.

2. عمليات المصفوفة في Excel

في يعد Excel للعمليات باستخدام المصفوفات دالات من فئة "الرياضيات":

1) MOPRED (مصفوفة) - حساب محدد المصفوفة ، 2) MIN (مصفوفة) - حساب معكوس المصفوفة ، 3) MULT (matrix1، matrix2)هو حاصل ضرب المصفوفات ، 4) TRANSP (مصفوفة) هو تبديل المصفوفة.

نتيجة أول هذه الوظائف إرجاع رقم(محدد المصفوفة) ، لذلك يتم إدخالها كصيغة عادية (ENTER).

تُرجع الثلاثة الأخيرة كتلة من الخلايا ، لذا يجب إدخالها كصيغ صفيف (CTRL + SHIFT + ENTER).

ضع في اعتبارك مشكلة حل SLAE باستخدام المثال التالي

8x 1 2x 2 8x 3 24 ،

2x 1 2x 2 10x 3 48 ،

2x 1 4x 2 8x 3 18.

مصفوفة معاملات المجهول أ (3) لها الشكل

ومتجه العمود للمصطلحات المجانية هو (5) B = (–24، –48، 18) T.

لنحل SLAE (7) في MS Excel بثلاث طرق مختلفة.

طريقة حل المصفوفة (معكوس المصفوفة)

يتم ضرب كلا جزأي مساواة المصفوفة (2) في مصفوفة معكوسةأ -1. نحصل على A -1 A X \ u003d A -1 B. منذ A -1 A \ u003d E ، حيث E - مصفوفة الهوية(مصفوفة قطرية مع تلك الموجودة على طول القطر الرئيسي). ثم يمكن كتابة حل النظام (2) بالشكل التالي

MULTIP (matrix 1، matrix2)،تنتهي في كل حالة مع الجمع

CTRL + SHIFT + ENTER.

طريقة كرامر

تم العثور على حل SLAE بواسطة صيغ Cramer

	ديت أ
		ديت أ
	det أ 2
		ديت أ
	ديت أ
	ديت أ

حيث det A = A هو محدد المصفوفة (3) للنظام (المحدد الرئيسي) ، detA i = A i (i = 1 ، 2 ، ... ، n) هي محددات المصفوفات A i (المحددات المساعدة) ، التي يتم الحصول عليها من A عن طريق استبدال العمود i إلى عمود الأعضاء الأحرار B (5).

بالنسبة لـ SLAE (7) المدروسة ، تحتوي المصفوفات الإضافية على الشكل التالي

أ 148

دعنا نضعهم على ورقة العمل (الشكل 1).

تمت كتابة صيغة مماثلة (= MOPRED (A3: C5)) لحساب محدد المصفوفة A في الخلية E8. يبقى إيجاد حل للنظام. ذو صلة صيغ Excelنكتب في فاصل الحل B7: B9 (الشكل 3) ، حيث سنرى النتيجة (الشكل 4).

انتبه إلى حقيقة (الشكل 3) أنه عند حساب x i (i = 1، 2، 3)

يتم تحليل قيمة محدد مصفوفة النظام أ ، محسوبة في الخلية E8 ، وإذا كانت تساوي صفرًا ، فسيتم وضع النص "لا يوجد حل" في B7 ، ويتم وضع الأسطر الفارغة في الخليتين B8 و B9.

3. حل SLAE باستخدام أداة Solver

فئة واسعة مهام الإنتاجهي مشاكل التحسين. تتضمن مهام التحسين العثور على قيم الوسيطات التي تقدم الوظيفة ، والتي تسمى الهدف أو الحد الأدنى أو أقصى قيمةبحضور أي قيود إضافية. يحتوي Excel على أداة قوية لحل مشاكل التحسين.

إنها أداة إضافية تسمى Solver

(يمكن الوصول إليها عبر أدوات القائمة  Solver).

يمكن تقليل مشكلة حل SLAE إلى مشكلة تحسين.

لماذا تأخذ إحدى المعادلات (على سبيل المثال ، الأولى) على أنها دالة الهدف، والباقي ن -1 تعتبر قيودًا.

نكتب النظام (1) باسم

أ 11 × 1 أ 12 × 2 أ 1 ن × ن ب 10 ،

				a2 ن xn
أ 21 × 1 أ 22 × 2
							ب 0.
	ن 1 1

لحل هذه المشكلة ، من الضروري كتابة تعبيرات (صيغ) لحساب قيم الوظائف على اليسار في معادلات النظام (12). على سبيل المثال ، لنأخذ الفاصل الزمني C7: C9 لهذه الصيغ. في الخلية C7 ، أدخل الصيغة = A3 * $ B $ 7 + B3 * $ B $ 8 + C3 * $ B $ 9-D3 وانسخها إلى C8 و C9 المتبقيين. = A4 * $ B $ 7 + B4 * $ B $ 8 + C4 * $ B $ 9-D4 و = A5 * $ B $ 7 + B5 * $ B $ 8 + C5 * $ B $ 9-D5 ستظهر فيها على التوالي.

في مربع الحوار "البحث عن حل" (الشكل 5) ، قم بتعيين معلمات البحث (تعيين الخلية المستهدفة C7 تساوي الصفر ، الحل في الخلايا القابلة للتغيير B7: B9 ، يتم تعيين القيود بواسطة الصيغ في الخليتين C8 و C9). بعد النقر على زر التنفيذ

الفاصل الزمني B7: B9 نحصل على النتيجة (الشكل 6) - حل SLAE.

تعتمد طريقة كرامر على استخدام المحددات في حل أنظمة المعادلات الخطية. هذا يسرع عملية الحل بشكل كبير.

يمكن استخدام طريقة كرامر لحل نظام من عدد من المعادلات الخطية حيث توجد مجاهيل في كل معادلة. إذا كان محدد النظام لا يساوي صفرًا ، فيمكن استخدام طريقة كرامر في الحل ؛ وإذا كانت تساوي صفرًا ، فلا يمكنها ذلك. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدام طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية التي لها حل فريد.

تعريف. المحدد ، المكون من معاملات المجهول ، يسمى محدد النظام ويشار إليه بـ (دلتا).

المحددات

يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المعاملات في المجهول المقابل بشروط مجانية:

;

.

نظرية كرامر. إذا كان محدد النظام غير صفري ، فإن نظام المعادلات الخطية له حل واحد ، والمجهول يساوي نسبة المحددات. المقام هو محدد النظام ، والبسط هو المحدد الذي يتم الحصول عليه من محدد النظام عن طريق استبدال المعاملات بالمجهول بشروط مجانية. تنطبق هذه النظرية على نظام المعادلات الخطية من أي ترتيب.

مثال 1حل نظام المعادلات الخطية:

وفق نظرية كرامرنملك:

إذن حل النظام (2):

آلة حاسبة على الانترنت، طريقة حاسمةكرامر.

ثلاث حالات في حل أنظمة المعادلات الخطية

كما يبدو من نظريات كرامر، عند حل نظام المعادلات الخطية ، قد تحدث ثلاث حالات:

الحالة الأولى: نظام المعادلات الخطية له حل فريد

(النظام متسق ومحدد)

الحالة الثانية: نظام المعادلات الخطية لا يحصىقرارات

(النظام متسق وغير محدد)

** ,

أولئك. معاملات المجهول والمصطلحات الحرة متناسبة.

الحالة الثالثة: نظام المعادلات الخطية ليس له حلول

(النظام غير متناسق)

لذا فإن النظام مالمعادلات الخطية مع نالمتغيرات تسمى غير متوافقإذا لم يكن لديها حلول ، و مشتركإذا كان لديه حل واحد على الأقل. نظام مشتركالمعادلات التي لها حل واحد فقط تسمى تأكيد، وأكثر من واحد غير مؤكد.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر

دع النظام

.

بناء على نظرية كرامر

………….
,

أين
-

معرّف النظام. يتم الحصول على المحددات المتبقية عن طريق استبدال العمود بمعاملات المتغير المقابل (غير معروف) بأعضاء أحرار:

مثال 2

.

لذلك ، فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب المحددات

من خلال صيغ كرامر نجد:

لذا ، (1 ؛ 0 ؛ -1) هو الحل الوحيد للنظام.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

إذا لم تكن هناك متغيرات في نظام المعادلات الخطية في معادلة واحدة أو أكثر ، فعندئذٍ في المحدد ، تكون العناصر المقابلة لها مساوية للصفر! هذا هو المثال التالي.

مثال 3حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

.

المحلول. نجد محدد النظام:

انظر بعناية إلى نظام المعادلات وإلى محدد النظام وكرر الإجابة على السؤال في الحالات التي يكون فيها عنصر واحد أو أكثر من المحدد يساوي صفرًا. إذن ، المحدد لا يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب محددات المجهول

من خلال صيغ كرامر نجد:

إذن ، حل النظام هو (2 ؛ -1 ؛ 1).

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

أعلى الصفحة

نستمر في حل الأنظمة باستخدام طريقة كرامر معًا

كما ذكرنا سابقًا ، إذا كان محدد النظام يساوي صفرًا ، ولم تكن محددات المجهول مساوية للصفر ، فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول. دعنا نوضح بالمثال التالي.

مثال 6حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

المحلول. نجد محدد النظام:

محدد النظام يساوي صفرًا ، وبالتالي ، فإن نظام المعادلات الخطية إما غير متسق ومحدّد ، أو غير متسق ، أي ليس له حلول. للتوضيح ، نحسب محددات المجهول

محددات المجهول لا تساوي الصفر ، وبالتالي فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

في المشاكل المتعلقة بأنظمة المعادلات الخطية ، توجد أيضًا تلك التي توجد فيها أحرف أخرى بالإضافة إلى الأحرف التي تشير إلى المتغيرات. تشير هذه الأحرف إلى بعض الأرقام ، وغالبًا ما تكون رقمًا حقيقيًا. في الممارسة العملية ، مثل هذه المعادلات وأنظمة المعادلات تؤدي إلى مشاكل البحث الخصائص المشتركةأي ظواهر أو أشياء. هذا هو ، هل اخترعت أي مواد جديدةأو جهاز ، ولوصف خصائصه الشائعة بغض النظر عن حجم أو عدد النسخ ، من الضروري حل نظام المعادلات الخطية ، حيث توجد أحرف بدلاً من بعض معاملات المتغيرات. ليس عليك البحث بعيدًا عن الأمثلة.

المثال التالي لمشكلة مماثلة ، فقط عدد المعادلات والمتغيرات والحروف التي تدل على بعض الأرقام الحقيقية تزداد.

المثال 8حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

المحلول. نجد محدد النظام:

البحث عن محددات المجهول

»الدرس 15

الدرس 15

طريقة كرامر

(SLN)
- معرّف النظام
إذا كان محدد SLE غير صفري ، فسيتم تحديد حل النظام بشكل فريد من خلال صيغ Cramer:
, , ()
أين:

	للقيام بذلك ، في العمود الذي يكون فيه المتغير x ، وبالتالي في العمود الأول ، بدلاً من المعاملات عند x ، نضع المعاملات الحرة ، والتي توجد في نظام المعادلات على الجانب الأيمن من المعادلات
	للقيام بذلك ، في العمود حيث يكون المتغير y (العمود الثاني) ، بدلاً من المعاملات عند y ، نضع المعاملات الحرة ، والتي توجد في نظام المعادلات على الجانب الأيمن من المعادلات
	للقيام بذلك ، في العمود حيث يقف المتغير z ، مما يعني العمود الثالث ، بدلاً من المعاملات عند z ، نضع المعاملات الحرة ، والتي توجد في نظام المعادلات على الجانب الأيمن من المعادلات

التمرين 1.حل SLE باستخدام صيغ Cramer في Excel

تقدم القرار

1. نكتب المعادلة في شكل مصفوفة:

2. أدخل المصفوفة A و B في Excel.

3. أوجد محدد المصفوفة أ. يجب أن يساوي 30.

4. يختلف محدد النظام عن الصفر ، لذلك - يتم تحديد الحل بشكل فريد بواسطة صيغ كرامر.

5. املأ قيم dX و dY و dZ في ورقة Excel (انظر الشكل أدناه).

6. لحساب القيم dX و dY و dZ في الخلايا F8 و F12 و F16 ، يجب عليك إدخال دالة تحسب المحدد dX و dY و dZ على التوالي.

7. لحساب قيمة X في الخلية I8 ، يجب عليك إدخال الصيغة = F8 / B5 (وفقًا لصيغة كرامر dX / | A |).

8. أدخل الصيغ لحساب Y و Z بنفسك.

المهمة 2: ابحث بشكل مستقل عن حل SLE بطريقة Cramer:

صيغ كرامر و طريقة المصفوفةحلول أنظمة المعادلات الخطية ليس لها جدية تطبيق عملي، لأنها تنطوي على حسابات مرهقة. في الممارسة العملية ، غالبًا ما تستخدم طريقة Gauss لحل أنظمة المعادلات الخطية.

طريقة جاوس

تتكون عملية حل Gaussian من خطوتين.

1. السكتة الدماغية المستقيمة:يتم تقليل النظام إلى شكل متدرج (على وجه الخصوص ، مثلث).

من أجل حل نظام المعادلات ، يتم كتابة المصفوفة المعززة لهذا النظام

وعلى صفوف هذه المصفوفة ننتج التحولات الأولية، يتم إحضاره إلى النموذج عندما تكون الأصفار موجودة أسفل القطر الرئيسي.
يُسمح بإجراء تحويلات أولية على المصفوفات.
بمساعدة هذه التحولات ، يتم الحصول على المصفوفة المعززة في كل مرة نظام جديد، أي ما يعادل الأصل ، أي نظام يتزامن حله مع حل النظام الأصلي.

2. يعكس: هناك تحديد تسلسلي للمجهول من هذا النظام التدريجي.

مثال.ضبط التوافق وحل النظام

المحلول.
التحرك المباشر:دعنا نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ونبادل الصفين الأول والثاني بحيث يكون العنصر مساويًا لواحد (من الأنسب إجراء تحويلات المصفوفة بهذه الطريقة).



.

نملك تزامنت رتب مصفوفة النظام ومصفوفتها الممتدة مع عدد المجهولين. وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، فإن نظام المعادلات متسق وحلها فريد.
حركة عكسية:دعونا نكتب نظام المعادلات ، المصفوفة الموسعة التي حصلنا عليها نتيجة للتحولات:

اذا لدينا .
علاوة على ذلك ، بالتعويض في المعادلة الثالثة ، نجد .
بالتعويض وفي المعادلة الثانية ، نحصل على.
حصلنا على التعويض في المعادلة الأولى.
وبالتالي ، لدينا حل للنظام.

حل SLE بواسطة طريقة Gauss في Excel:

سيطالبك النص بإدخال صيغة من النموذج: (= A1: B3 + $ C $ 2: $ C $ 3) في نطاق الخلايا ، وما إلى ذلك ، هذه هي ما يسمى ب "صيغ الصفيف". مايكروسوفت اكسليحيطه تلقائيًا بأقواس متعرجة (()). لإدخال هذا النوع من الصيغة ، حدد النطاق بالكامل حيث تريد إدراج الصيغة ، أدخل الصيغة بدون أقواس متعرجة في الخلية الأولى (على سبيل المثال أعلاه - = A1: B3 + $ C $ 2: $ C $ 3) واضغط على Ctrl + Shift + Enter.
لنحصل على نظام معادلات خطية:

1. لنكتب معاملات نظام المعادلات في الخلايا A1: D4 وعمود المصطلحات الحرة في الخلايا E1: E4. إذا كان في زنزانةأ 1هي 0 ، فأنت بحاجة إلى تبديل الصفوف بحيث تحتوي هذه الخلية على قيمة غير صفرية. لمزيد من الوضوح ، يمكنك إضافة تعبئة إلى الخلايا التي يوجد بها الأعضاء الأحرار.

2. من الضروري تقليل المعامل عند x1 في جميع المعادلات باستثناء المعادلة الأولى إلى 0. أولاً ، لنفعل هذا للمعادلة الثانية. انسخ السطر الأول في الخلايا A6: E6 بدون تغييرات ، في الخلايا A7: E7 ، تحتاج إلى إدخال الصيغة: (= A2: E2- $ A $ 1: $ E $ 1 * (A2 / $ A $ 1)). وبالتالي ، فإننا نطرح الصف الأول من الصف الثاني مضروبًا في A2 / $ A $ 1 ، أي نسبة المعاملات الأولى للمعادلتين الثانية والأولى. لتسهيل ملء السطر 8 و 9 ، يجب أن تكون الإشارات إلى خلايا السطر الأول مطلقة (نستخدم الرمز $).

3. نقوم بنسخ الصيغة المدخلة إلى السطر 8 و 9 ، وبالتالي التخلص من المعاملات الموجودة أمام x1 في جميع المعادلات باستثناء المعادلة الأولى.

4. الآن دعنا نحضر المعاملات أمام x2 في المعادلتين الثالثة والرابعة إلى 0. للقيام بذلك ، انسخ الصفين السادس والسابع الناتج (القيم فقط) في الصفين 11 و 12 ، وفي الخلايا A13: E13 أدخل الصيغة (= A8: E8- $ A $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)) ، ثم نقوم بنسخها في الخلايا A14: E14. وهكذا ، يتحقق الفرق بين الصفين 8 و 7 ، مضروبًا في المعامل B8 / $ B $ 7. .

5. يبقى إحضار المعامل عند x3 في المعادلة الرابعة إلى 0 ، لذلك سنفعل الشيء نفسه مرة أخرى: نسخ الصفوف 11 و 12 و 13 الناتجة (القيم فقط) في الصفوف 16-18 ، وإدخال الصيغة ( = A14: E14- دولار أسترالي 13 دولارًا أمريكيًا 13 دولارًا أمريكيًا * (C14 / دولار كندي 13 دولارًا أمريكيًا)). وهكذا ، يتحقق الفرق بين الصفوف 14 و 13 ، مضروبًا في المعامل C14 / $ C $ 13. لا تنس تبديل الأسطر للتخلص من 0 في مقام الكسر.

6. تم الانتهاء من التمرير الأمامي الغاوسي. لنبدأ التشغيل العكسي من الصف الأخير من المصفوفة الناتجة. من الضروري قسمة جميع عناصر الصف الأخير على المعامل عند x4. للقيام بذلك ، في السطر 24 ، أدخل الصيغة (= A19: E19 / D19).

7. لنجلب جميع الأسطر إلى شكل مماثل ، لذلك نملأ الأسطر 23 ، 22 ، 21 بالصيغ التالية:

23: (= (A18: E18-A24: E24 * D18) / C18) - نطرح الصف الرابع مضروبًا في المعامل عند x4 للصف الثالث من الصف الثالث.

22: (= (A17: E17-A23: E23 * C17-A24: E24 * D17) / B17) - اطرح الخطين الثالث والرابع من السطر الثاني ، مضروبًا في المعاملات المقابلة.

21: (= (A16: E16-A22: E22 * B16-A23: E23 * C16-A24: E24 * D16) / A16) - اطرح الثاني والثالث والرابع من السطر الأول مضروبًا في المعاملات المقابلة.

يتم حساب النتيجة (جذور المعادلة) في الخلايا E21: E24.

بقلم: Saliy N.A.

يمكن أيضًا حل نظام المعادلات الجبرية الخطية باستخدام الوظيفة الإضافية "ابحث عن حل".عند استخدام هذه الوظيفة الإضافية ، يتم إنشاء سلسلة من التقديرات التقريبية , أنا = 0،1 ، ... ن.

لنتصل ناقلات متبقية المتجه التالي:

مهمة Excelهو تجد مثل هذا التقريب , حيث يصبح المتجه المتبقي صفرًا، بمعنى آخر. لتحقيق تطابق قيم الجزأين الأيمن والأيسر من النظام.

كمثال ، ضع في اعتبارك SLAE (3.27).

التسلسل:

1. لنقم بعمل جدول ، كما هو موضح في الشكل 3.4. دعنا ندخل معاملات النظام (المصفوفة أ) في الخلايا A3: C5.

الشكل 3.4. حل SLAE باستخدام الوظيفة الإضافية "البحث عن حل"

2. في الخلايا A8: C8 ، سيتم تشكيل حل النظام (× 1 ، × 2 ، × 3). في البداية ، تظل فارغة ، أي صفر. فيما يلي سوف نسميهم تغيير الخلايا.. ومع ذلك ، للتحكم في صحة الصيغ التي تم إدخالها أدناه ، من الملائم إدخال أي قيم في هذه الخلايا ، على سبيل المثال ، الوحدات. يمكن اعتبار هذه القيم بمثابة تقريب صفري لحل النظام ، = (1 ، 1 ، 1).

3. في العمود D نقدم تعبيرات لحساب الأجزاء اليسرى من النظام الأصلي. للقيام بذلك ، في الخلية D3 ، أدخل الصيغة ثم انسخها إلى نهاية الجدول:

D3 = SUMPRODUCT (A3: C3 ؛ دولار أسترالي 8 دولارات أمريكية: 8 دولارات كندية).

الوظيفة المستخدمة إنتاجينتمي إلى فئة رياضيات.

4. في العمود E ، نكتب قيم الأجزاء اليمنى من النظام (المصفوفة B).

5. في العمود F ، نقدم القيم المتبقية وفقًا للصيغة (3.29) ، أي أدخل الصيغة F3 = D3-E3 وانسخها إلى نهاية الجدول.

6. لن يكون من الضروري التحقق من صحة الحسابات للحالة = (1 ، 1 ، 1).

7. اختر فريقًا البيانات \ التحليل \ البحث عن حل.

أرز. 3.5 نافذة الوظيفة الإضافية Solver

فى الشباك إيجاد حل(الشكل 3.5) في الميدان خلايا قابلة للتغييرحدد كتلة 8 دولارات أسترالية: 8 دولارات كندية ،وفي الميدان قيود – 3 دولارات أمريكية: 5 دولارات أمريكية = 0. بعد ذلك ، انقر فوق الزر يضيفوإدخال هذه القيود. ثم الزر يجري

الحل الناتج للأنظمة (3.28) X 1 = 1؛ X 2 = –1X 3 = 2 مكتوب في الخلايا A8: C8 ، الشكل 3.4.

تنفيذ طريقة جاكوبي باستخدام MS Excel

كمثال ، ضع في اعتبارك نظام المعادلات (3.19) ، التي تم الحصول على حلها أعلاه بطريقة جاكوبي (المثال 3.2)

دعنا نعيد هذا النظام إلى الشكل العادي:

التسلسل

1. لنقم بعمل جدول ، كما هو موضح في الشكل 3.6 .:

نقدم المصفوفات و (3.15) في الخلايا B6: E8.

المعنى ه- في H5.

رقم التكرار كسنشكل في العمود A من الجدول باستخدام الإكمال التلقائي.

كتقريب صفري ، نختار المتجه

= (0 ، 0 ، 0) وأدخلها في الخلايا B11: D11.

2. باستخدام التعبيرات (3.29) ، في الخلايا B12: D12 نكتب الصيغ لحساب التقريب الأول:

B12 = $ E $ 6 + B11 * $ B $ 6 + C11 * $ C $ 6 + D11 * $ D $ 6 ،

C12 = $ E $ 7 + B11 * $ B $ 7 + C11 * $ C $ 7 + D11 * $ D $ 7 ،

D12 = $ E $ 8 + B11 * $ B $ 8 + C11 * $ C $ 8 + D11 * $ D $ 8.

يمكن كتابة هذه الصيغ بشكل مختلف باستخدام وظيفة Excelإنتاج

في الخلية E12 ، أدخل الصيغة: E12 = ABS (B11-B12) وانسخها إلى اليمين ، في الخلايا F12: G12.

الشكل 3.6. مخطط لحل SLAE بطريقة جاكوبي

3. في الخلية H12 ، أدخل صيغة الحساب م (ك) ،باستخدام التعبير (3.18): H12 = MAX (E12: G12). وظيفة MAX موجودة في الفئة إحصائية.

4. حدد الخلايا B12: H12 وانسخها إلى نهاية الجدول. وهكذا نحصل كتقريبية لمحلول SLAE.

5. تحديد الحل التقريبي للنظام وعدد التكرارات المطلوبة لتحقيق الدقة المحددة ه.

للقيام بذلك ، نقوم بتقدير درجة التقارب بين تكرارين متجاورين باستخدام الصيغة (3.18). لنستخدم تنسيق مشروطفي خلايا العمود.

تظهر نتيجة هذا التنسيق في الشكل 3.6. خلايا العمود H التي تلبي قيمها الشرط (3.18) ، أي أقل ه= 0.1 ملون.

عند تحليل النتائج ، نأخذ التكرار الرابع كحل تقريبي للنظام الأصلي بدقة معينة e = 0.1 ، أي.

استكشاف طبيعة العملية التكرارية. للقيام بذلك ، حدد كتلة من الخلايا A10: D20 وباستخدام سيد الرسم البيانيسنقوم ببناء رسوم بيانية للتغييرات في كل مكون من متجه الحل اعتمادًا على رقم التكرار ،

تؤكد الرسوم البيانية الموضحة (الشكل 3.7) تقارب العملية التكرارية.

أرز. 3.7 توضيح لعملية تكرارية متقاربة

تغيير القيمة هفي الخلية H5 ، نحصل على حل تقريبي جديد للنظام الأصلي بدقة جديدة.

تنفيذ طريقة المسح باستخدام برنامج Excel

ضع في اعتبارك الحل النظام القادمالمعادلات الجبرية الخطية بطريقة "المسح" باستخدام الجداول تتفوق.

ثلاثة أبعاد:

التسلسل

1. لنقم بعمل جدول ، كما هو موضح في الشكل 3.8. البيانات الأولية للمصفوفة الموسعة للنظام (3.30) ، أي سيتم إدخال المتجهات في الخلايا B5: E10.

2. حول احتمالات السباق U 0 = 0 و V 0 = 0تدخل في الخلايا G4 و H4 ، على التوالي.

3. احسب معاملات المسح L i، U i، V i. للقيام بذلك ، نحسب في الخلايا F5 و G5 و H5 L 1 ، U 1 ، V 1. بالصيغة (3.8). للقيام بذلك ، نقدم الصيغ:

F5 = B5 * G4 + C5 ؛ G5 = -D5 / F5 ، H5 = (E5-B5 * H4) / F5 ، ثم انسخها لأسفل.

الشكل 3.8. مخطط تصميم طريقة "المسح"

4. في الخلية I10 نقوم بالحساب x6بالصيغة (3.10)

I10 = (E10-B10 * H9) / (B10 * G9 + C10).

5. باستخدام الصيغة (3.7) ، نحسب جميع المجهول الأخرى × 5 × 4 ، × 3 ، × 2 ، × 1.للقيام بذلك ، نحسب في الخلية I9 x5بالصيغة (3.6): I9 = G9 * I10 + H9. ثم انسخ هذه الصيغة.

أسئلة الاختبار

1. نظام المعادلات الجبرية الخطية (SLAE). ما هو حل SLAE. عندما يكون هناك حل SLAE فريد.

2. الخصائص العامةالطرق المباشرة (الدقيقة) لحل SLAE. طرق جاوس وعمليات المسح.

3. الخصائص العامة الطرق التكراريةحلول SLAU. طرق جاكوبي ( تكرارات بسيطة) و Gauss-Seidel.

4. شروط تقارب العمليات التكرارية.

5. ما هو المقصود من شروط مشروطية المهام والحسابات ، صحة مشكلة حل SLAE.

الفصل 4

تكامل رقمي

عند حل مجموعة كبيرة من المشكلات التقنية ، يتعين على المرء مواجهة الحاجة إلى الحساب لا يتجزأ:

عملية حسابية المناطق، تحدها المنحنيات ، الشغل, لحظات من الجمود ، تكاثر المخططاتوفقًا لصيغة Mohr ، إلخ. يتم تقليله إلى حساب تكامل محدد.

إذا كانت مستمرة على الفاصل الزمني [ أ ، ب] وظيفة ص = و (س)له مشتق عكسي في هذا الجزء و (س)، بمعنى آخر. F '(x) = f (x)، ثم يمكن حساب التكامل (4.1) باستخدام صيغة Newton-Leibniz:

ومع ذلك ، فقط لفئة ضيقة من الوظائف ص = و (س)عكسي و (س)يمكن التعبير عنها في وظائف الابتدائية. بالإضافة إلى الوظيفة ص = و (س)يمكن تحديدها بيانيا أو جدوليا. في هذه الحالات ، يتم استخدام صيغ مختلفة لحساب تقريبي للتكاملات.

تسمى هذه الصيغ الصيغ التربيعية أو الصيغ تكامل رقمي.

يتم توضيح صيغ التكامل العددية بشكل جيد بيانياً. من المعروف أن قيمة التكامل المحدد (4.1) بشكل متناسبمنطقة شبه منحرف منحنية الشكل تكونت بواسطة التكاملاند ص = و (س)، مستقيم س = أ و س = ب ،محور أوه(الشكل 4.1).

تم استبدال مشكلة حساب التكامل المحدد (4.1) بمشكلة حساب مساحة هذا شبه المنحني المنحني الخطي. ومع ذلك ، فإن مشكلة إيجاد منطقة منحني الخطوط ليست مشكلة بسيطة.

ومن هنا ستكون فكرة التكامل العددي في استبدال شبه منحني منحني الشكل بالشكل ، مساحة التي يتم حسابها بكل بساطة.

ص = و (س)

ذ

x

الحادي عشر

xi + 1

س = ب

xo = أ

سي

الشكل 4.1. التفسير الهندسي للتكامل العددي

لهذا ، قسم التكامل [ أ ، ب] انقسام إلى نمساو المقاطع الابتدائية (i = 0 ، 1 ، 2 ، ... .. ، n-1) ،خطوة بخطوة ح = (ب أ) / ن.حيث منحني الأضلاع شبه منحرفسوف يقتحمون n شبه المنحنيات الأولية المنحنيةمع قواعد متساوية ح(الشكل 4.1).

يتم استبدال كل شبه منحرف أولي منحني الشكل بشكل ، مساحة يتم حسابها بكل بساطة. دعونا نحدد هذه المنطقة سي.مجموع كل هذه المناطق يسمى مجموع متكاملوتحسب بالصيغة

ثم الصيغة التقريبية لحساب التكامل المحدد (4.1) لها الشكل

تعتمد دقة الحساب بالصيغة (4.4) على الخطوة ح، بمعنى آخر. على عدد الأقسام ن.مع الزيادة نالمجموع المتكامل يقترب من القيمة الدقيقة للتكامل

هذا موضح بشكل جيد في الشكل 4.2.

الشكل 4.2. اعتماد دقة حساب التكامل

على عدد الأقسام

ثبت في الرياضيات النظرية: إذا كانت الدالة y = f (x) متصلة ، فإن حد المجموع المتكامل b n موجود ولا يعتمد على طريقة تقسيم المقطع إلى مقاطع أولية.

يمكن استخدام الصيغة (4.4) إذا كانت درجة دقة ذلك تقريبية.هناك العديد من الصيغ لتقدير خطأ التعبير (4.4) ، لكنها ، كقاعدة عامة ، معقدة نوعًا ما. سنقدر دقة التقريب (4.4) بالطريقة نصف خطوة.