عند حساب كثيرات الحدود الجبرية ، نستخدمها لتبسيط العمليات الحسابية صيغ الضرب المختصرة . هناك سبع صيغ من هذا القبيل في المجموع. كلهم بحاجة إلى أن يعرفوا عن ظهر قلب.

يجب أن نتذكر أيضًا أنه بدلاً من a و b في الصيغ ، يمكن أن يكون هناك أرقام وأي كثيرات حدود جبرية أخرى.

فرق المربعات

الفرق بين مربعي عددين يساوي حاصل ضرب فرق هذين العددين ومجموعهما.

أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ + ب)

مجموع مربع

مربع مجموع عددين يساوي مربع الرقم الأول زائد ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2

لاحظ أنه مع صيغة الضرب المخفضة هذه ، فمن السهل القيام بذلك تجد المربعات أعداد كبيرة بدون استخدام الآلة الحاسبة أو الضرب المطول. لنوضح بمثال:

أوجد 112 2.

دعونا نحلل 112 إلى مجموع الأعداد التي نتذكر مربعاتها جيدًا
112 = 100 + 1

نكتب مجموع الأعداد بين قوسين ونضع مربعًا فوق القوسين.
112 2 = (100 + 12) 2

دعنا نستخدم صيغة المجموع التربيعي:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 × 100 × 12 + 12 2 = 10000 + 2400 + 144 = 12544

تذكر أن صيغة المجموع التربيعي صالحة أيضًا لأي كثيرات حدود جبرية.

(8 أ + ج) 2 = 64 أ 2 + 16 أك + ص 2

تحذير!!!

(أ + ب) 2 لا يساوي أ 2 + ب 2

مربع الاختلاف

مربع الفرق بين عددين يساوي مربع الرقم الأول مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني.

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2

من الجدير أيضًا أن نتذكر تحولًا مفيدًا للغاية:

(أ - ب) 2 = (ب - أ) 2
تم إثبات الصيغة أعلاه ببساطة عن طريق توسيع الأقواس:

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2 = ب 2 - 2 أب + أ 2 = (ب - أ) 2

مكعب

مكعب مجموع عددين يساوي مكعبالرقم الأول زائد ثلاثة في مربع الرقم الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول ومربع الثاني بالإضافة إلى مكعب الثاني.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3

تذكر هذه الصيغة "الرهيبة" التي تبدو بسيطة للغاية.

تعلم أن الرقم 3 يأتي أولاً.

كثيرات الحدود في الوسط لها معاملات 3.

فيتذكر أن أي رقم مرفوع للقوة الصفرية هو 1. (أ 0 = 1 ، ب 0 = 1). من السهل ملاحظة أنه في الصيغة يوجد انخفاض في الدرجة أ وزيادة في الدرجة ب. يمكنك التحقق من هذا:
(أ + ب) 3 = أ 3 ب 0 + 3 أ 2 ب 1 + 3 أ 1 ب 2 + ب 3 أ 0 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3

تحذير!!!

(أ + ب) 3 لا يساوي أ 3 + ب 3

مكعب الفرق

مكعب الفرق بين عددين يساوي مكعب الرقم الأول ناقص ثلاثة أضعاف مربع الرقم الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول ومربع الثاني ناقص مكعب الثاني .

(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3

يتم تذكر هذه الصيغة على أنها الصيغة السابقة ، ولكن فقط مع مراعاة تناوب علامتي "+" و "-". أول عضو من 3 يسبقه "+" (وفقًا لقواعد الرياضيات ، لا نكتبه). هذا يعني أن العضو التالي سوف يسبقه "-" ، ثم مرة أخرى "+" ، إلخ.

(أ - ب) 3 = + أ 3 - 3 أ 2 ب + 3ab 2 - ب 3 \ u003d أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3

مجموع المكعبات ( لا ينبغي الخلط بينه وبين مكعب المجموع!)

مجموع المكعبات يساوي حاصل ضرب مجموع عددين والمربع غير المكتمل للفرق.

أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أب + ب 2)

مجموع المكعبات هو حاصل ضرب قوسين.

القوس الأول هو مجموع رقمين.

القوس الثاني هو المربع غير المكتمل لفرق الأرقام. يسمى مربع الاختلاف غير المكتمل بالتعبير:

أ 2 - أب + ب 2
هذا المربع غير مكتمل ، لأنه في الوسط بدلاً من منتج مزدوجمنتج عادي للأرقام.

فرق المكعب (يجب عدم الخلط بينه وبين مكعب الفرق !!!)

فرق المكعبات يساوي حاصل ضرب الفرق بين عددين بالمربع غير المكتمل من المجموع.

أ 3 - ب 3 \ u003d (أ - ب) (أ 2 + أب + ب 2)

كن حذرا عند كتابة الشخصيات.يجب أن نتذكر أن جميع الصيغ المذكورة أعلاه تُستخدم أيضًا من اليمين إلى اليسار.

طريقة سهلة لتذكر صيغ الضرب المختصرة ، أو ... مثلث باسكال.

هل من الصعب تذكر صيغ الضرب المختصر؟ القضية سهلة للمساعدة. عليك فقط أن تتذكر كيف ذلك شيء بسيطمثل مثلث باسكال. عندها ستتذكر هذه الصيغ دائمًا وفي كل مكان ، أو بالأحرى لا تتذكرها ، بل تستعيدها.

ما هو مثلث باسكال؟ يتكون هذا المثلث من المعاملات التي تدخل في توسع أي قوة ذات الحدين من النموذج إلى كثير الحدود.

دعنا نقسمها ، على سبيل المثال:

في هذا السجل ، من السهل أن نتذكر أنه يوجد في البداية مكعب من الرقم الأول ، وفي النهاية - مكعب الرقم الثاني. لكن ما في المنتصف يصعب تذكره. وحتى حقيقة أنه في كل مصطلح تالي تنخفض درجة عامل واحد طوال الوقت ، ويزيد العامل الثاني - من السهل ملاحظة وتذكر الموقف أكثر صعوبة مع تذكر المعاملات والعلامات (زائد أو ناقص؟).

لذا ، أولا الاحتمالات. ليس عليك حفظها! على هوامش دفتر الملاحظات ، نرسم بسرعة مثلث باسكال ، وها هي - المعاملات الموجودة أمامنا بالفعل. نبدأ الرسم بثلاثة آحاد ، واحد في الأعلى ، واثنان أدناه ، إلى اليمين واليسار - نعم ، تم الحصول على مثلث بالفعل:

السطر الأول ، مع واحد ، هو صفر. ثم يأتي الأول والثاني والثالث وهكذا. للحصول على السطر الثاني ، تحتاج إلى تعيين واحد مرة أخرى على طول الحواف ، وفي المنتصف اكتب الرقم الذي تم الحصول عليه عن طريق إضافة الرقمين فوقه:

نكتب السطر الثالث: مرة أخرى على طول حواف الوحدة ، ومرة ​​أخرى للحصول على الرقم القادمفي سطر جديد ، أضف الأرقام أعلاه في السطر السابق:

كما قد تكون خمنت ، نحصل في كل سطر على المعاملات من تحلل ذات الحدين إلى كثير الحدود:

حسنًا ، من الأسهل تذكر العلامات: العلامة الأولى هي نفسها الموجودة في ذات الحدين الموسعة (نضع المجموع - وهذا يعني زائد ، الفرق - وهذا يعني ناقص) ، ثم العلامات البديلة!

هذا شيء مفيد - مثلث باسكال. يتمتع!

تُستخدم الصيغ أو قواعد الضرب المنخفض في الحساب ، أو بالأحرى في الجبر ، من أجل عملية أسرع لحساب الضرب الكبير تعبيرات جبرية. الصيغ نفسها مشتقة من القواعد الموجودة في الجبر لضرب العديد من كثيرات الحدود.

يوفر استخدام هذه الصيغ حلاً سريعًا إلى حد ما لمختلف مسائل حسابية، ويساعد أيضًا في تبسيط التعابير. قواعد التحولات الجبريةيسمح لك بإجراء بعض التلاعبات باستخدام التعبيرات ، وبعد ذلك يمكنك الحصول على التعبير على الجانب الأيسر من المساواة ، الموجود على الجانب الأيمن ، أو التحويل الجانب الأيمنيساوي (للحصول على التعبير على الجانب الأيسر بعد علامة التساوي).

من الملائم معرفة الصيغ المستخدمة في عمليات الضرب المختصرة بالذاكرة ، حيث تُستخدم غالبًا في حل المشكلات والمعادلات. فيما يلي الصيغ الرئيسية المضمنة في هذه القائمةواسمهم.

مجموع مربع

لحساب مربع المجموع ، عليك إيجاد المجموع الذي يتكون من مربع الحد الأول ، ومضاعف حاصل ضرب الحد الأول والثاني ، ومربع الثاني. في شكل تعبير ، تتم كتابة هذه القاعدة على النحو التالي: (أ + ج) ² = أ² + 2 أك + ج².

مربع الاختلاف

لحساب مربع الاختلاف ، تحتاج إلى حساب المجموع الذي يتكون من مربع الرقم الأول ، أي ضعف حاصل ضرب الرقم الأول بالثانية (مأخوذ من علامة المعاكس) ومربع الرقم الثاني. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: (أ - ج) ² \ u003d أ² - 2 أك + ج².

فرق المربعات

صيغة الفرق بين عددين تربيع تساوي حاصل ضرب مجموع هذين العددين والفرق بينهما. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: a² - c² \ u003d (a + c) (a - c).

مكعب

لحساب مكعب مجموع فترتين ، من الضروري حساب المجموع المكون من مكعب المصطلح الأول ، وثلاثة أضعاف حاصل ضرب مربع المصطلح الأول والثاني ، حاصل الضرب الثلاثي للمصطلح الأول و تربيع الثاني ومكعب الحد الثاني. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: (أ + ج) ³ \ u003d أ³ + 3 أ² ج + 3 أك² + ج³.

مجموع المكعبات

وفقًا للصيغة ، فهو يساوي حاصل ضرب مجموع هذه المصطلحات ومربع الفرق غير المكتمل. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: a³ + c³ \ u003d (a + c) (a² - ac + c²).

مثال.من الضروري حساب حجم الشكل الذي يتكون من إضافة مكعبين. فقط مقادير جوانبها معروفة.

إذا كانت قيم الجوانب صغيرة ، فمن السهل إجراء العمليات الحسابية.

إذا تم التعبير عن أطوال الأضلاع بأرقام مرهقة ، في هذه الحالة يكون من الأسهل تطبيق صيغة "مجموع المكعبات" ، والتي ستبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير.

مكعب الفرق

يبدو التعبير عن الفرق التكعيبي كما يلي: كمجموع للقوة الثالثة للحد الأول ، ضاعف حاصل الضرب السالب لمربع الحد الأول بثلاثة أضعاف حاصل الضرب في الحد الأول بمقدار ثلاثة أضعاف حاصل الضرب في الحد الأول بمربع الثاني ، والمكعب السالب للحد الثاني. كما تعبير رياضييبدو مكعب الفرق كما يلي: (أ - ج) ³ \ u003d أ - 3 أ² ج + 3 أك² - ج.

فرق المكعبات

تختلف صيغة اختلاف المكعبات عن مجموع المكعبات بعلامة واحدة فقط. وبالتالي ، فإن فرق المكعبات عبارة عن صيغة ، يساوي المنتجالفرق بين الأرقام المعطاة من خلال مربعها غير المكتمل من المجموع. في شكل تعبير رياضي ، يبدو اختلاف المكعبات كما يلي: أ 3 - ج 3 \ u003d (أ - ج) (أ 2 + أك + ج 2).

مثال.من الضروري حساب حجم الشكل الذي سيبقى بعد طرحه من حجم المكعب الأزرق الشكل الحجمي اللون الأصفر، وهو أيضًا مكعب. لا يُعرف سوى حجم جانب المكعب الصغير والكبير.

إذا كانت قيم الأضلاع صغيرة ، فإن الحسابات تكون بسيطة للغاية. وإذا تم التعبير عن أطوال الأضلاع بأرقام معنوية ، فمن المفيد استخدام صيغة بعنوان "اختلاف المكعبات" (أو "مكعب الفرق") ، والتي ستبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير.

غالبًا ما يتم استخدام صيغ التعبير المختصرة في الممارسة العملية ، لذلك يُنصح بتعلمها جميعًا عن ظهر قلب. حتى هذه اللحظة ، سنعمل بأمانة ، وننصح بطباعتها وإبقائها أمام أعيننا طوال الوقت:

تسمح لك الصيغ الأربع الأولى من الجدول المترجم لصيغ الضرب المختصرة بتربيع المجموع أو الفرق بين تعبيرين. الخامس هو لضرب الفرق ومجموع تعبيرين لفترة وجيزة. ويتم استخدام الصيغتين السادسة والسابعة لضرب مجموع تعبيرين أ وب في مربعهما غير المكتمل للاختلاف (هذه هي الطريقة التي يطلق عليها التعبير عن الصورة أ 2 أ ب + ب 2) والاختلاف بين تعبيرين أ و ب بالمربع غير الكامل لمجموعهما (أ 2 + أ ب + ب 2) على التوالي.

وتجدر الإشارة بشكل منفصل إلى أن كل مساواة في الجدول هي هوية. وهذا ما يفسر سبب تسمية صيغ الضرب المختصرة أيضًا بهويات الضرب المختصرة.

عند حل الأمثلة ، خاصةً التي يحدث فيها تحليل متعدد الحدود ، غالبًا ما يتم استخدام FSU في النموذج مع إعادة ترتيب الأجزاء اليمنى واليسرى:

الهويات الثلاث الأخيرة في الجدول لها أسمائها الخاصة. الصيغة a 2 −b 2 = (a − b) (a + b) تسمى فرق صيغة المربعات, أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 − أ ب + ب 2) - مجموع صيغة المكعبات، أ أ 3 − ب 3 = (أ − ب) (أ 2 + أ ب + ب 2) - صيغة فرق المكعب. يرجى ملاحظة أننا لم نقم بتسمية الصيغ المقابلة مع الأجزاء المعاد ترتيبها من جدول FSU السابق.

الصيغ الإضافية

لا يضر إضافة عدد قليل من الهويات إلى جدول معادلات الضرب المختصرة.

نطاقات معادلات الضرب المختصرة (FSU) والأمثلة

يتم شرح الغرض الرئيسي من صيغ الضرب المختصرة (FSU) من خلال اسمها ، أي أنها تتكون من مضاعفة موجزة للتعبيرات. ومع ذلك ، فإن نطاق FSO أوسع بكثير ، ولا يقتصر على الضرب القصير. دعنا نسرد الاتجاهات الرئيسية.

مما لا شك فيه تطبيق مركزيصيغ الضرب المختصرة الموجودة في إجراء تحويلات متطابقة للتعبيرات. في أغلب الأحيان ، يتم استخدام هذه الصيغ في هذه العملية تبسيط التعبير.

مثال.

بسّط التعبير 9 · y− (1 + 3 · y) 2.

المحلول.

في هذا التعبير ، يمكن اختصار التربيع ، لدينا 9 y− (1 + 3 y) 2 = 9 y− (1 2 +2 1 3 y + (3 y) 2). يبقى فقط فتح الأقواس وإعطاء المصطلحات المتشابهة: 9 y− (1 2 +2 1 3 y + (3 y) 2) = 9 y − 1−6 y − 9 y 2 = 3 y − 1−9 y 2.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك البريد الإلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها بواسطتنا معلومات شخصيةيتيح لنا الاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون ، أمر قضائي، في الإجراءات القانونية ، و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

في الدرس السابق ، تعاملنا مع العوامل. لقد أتقننا طريقتين: إخراج العامل المشترك من الأقواس والتجميع. في هذا البرنامج التعليمي ، الطريقة القوية التالية: صيغ الضرب المختصرة. في اختصار- FSU.

صيغ الضرب المختصرة (مربع المجموع والفرق ، مكعب المجموع والفرق ، فرق المربعات ، مجموع وفرق المكعبات) ضرورية في جميع فروع الرياضيات. يتم استخدامها في تبسيط التعبيرات وحل المعادلات وضرب كثيرات الحدود وتقليل الكسور وحل التكاملات وما إلى ذلك. إلخ. باختصار ، هناك كل الأسباب للتعامل معهم. افهم من أين أتوا ، ولماذا هم مطلوبون ، وكيفية تذكرهم وكيفية تطبيقها.

هل نفهم؟)

من أين تأتي صيغ الضرب المختصرة؟

لا تتم كتابة المتعادلتين 6 و 7 بالطريقة المعتادة جدًا. مثل العكس. هذا عن قصد.) أي مساواة تعمل من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار. في مثل هذا السجل ، يكون من الواضح من أين يأتي FSO.

مأخوذة من الضرب.) على سبيل المثال:

(أ + ب) 2 = (أ + ب) (أ + ب) = أ 2 + أب + با + ب 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2

هذا كل شيء ، لا توجد حيل علمية. نضرب الأقواس ونعطي الأقواس المتشابهة. هكذا اتضح جميع صيغ الضرب المختصرة. مختصرالضرب هو لأنه في الصيغ نفسها لا يوجد تكاثر للأقواس وتقليل المتشابهات. مخفض.) يتم إعطاء النتيجة على الفور.

تحتاج FSU إلى معرفة عن ظهر قلب. بدون اول ثلاثةلا يمكنك أن تحلم بثلاثية ، بدون الباقي - حوالي أربعة مع خمسة.)

لماذا نحتاج إلى صيغ الضرب المختصرة؟

هناك سببان لتعلم هذه الصيغ ، بل وحفظها. الأول - إجابة جاهزة على الجهاز تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. لكنها ليست الأكثر سبب رئيسي. وها هي الثانية ...

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.