اسم المعلمة	المعنى
موضوع المقال:	طريقة الوتر.
قواعد التقييم (فئة مواضيعية)	رياضيات

طريقة الوتر -واحد من المشتركين الطرق التكرارية. ويسمى أيضا بطريقة الاستيفاء الخطي ، بطريقة الأجزاء المتناسبة.

فكرة طريقة الوتر هي أنه على قطعة صغيرة بما فيه الكفاية ، قوس المنحنى في= f (x) يتم استبدالها بالوتر والإحداثيات لنقطة تقاطع الوتر مع المحور ثورهي قيمة تقريبية للجذر.

الشكل 2 - التفسير الهندسي لطريقة نيوتن.

دعنا ، من أجل التحديد ، F" (خ)> 0,F""(x)>0,F(أ)<0,F(ب)> 0 (الشكل 3 ، أ). خذ التقريب الأولي للجذر المطلوب X *القيم × 0 \ u003d أ. من خلال النقطتين a 0 و B ، نرسم وترًا ولأول تقريب للجذر X *خذ الحد الأقصى × 1 من نقطة تقاطع الوتر مع المحور أوه.الآن القيمة التقريبية Xيمكن صقل 1 جذر إذا طبقنا طريقة الأوتار على المقطع [x 1 ؛ ب]. الإحداثي السيني Xنقطتا تقاطع الوتر A 1 B ستكونان تقريب آخر للجذر. مواصلة هذه العملية أكثر ، نحصل على التسلسل × 0 ، × 1 ، × 2 ، ... ، × ك ،... قيم الجذر التقريبية X *معادلة معينة.

لذلك يمكن كتابة طريقة الوتر على النحو التالي:

، ك = 0 ، 1.2 ، ... ، (8)

في الحالة العامةسيتم إصلاح نهاية الجزء من الجذر المعزول ، حيث يتم تثبيت علامة الوظيفة و (خ)يتطابق مع علامة المشتق الثاني ، وللتقريب الأولي x 0 يمكننا أخذ نقطة المقطع [ أ؛ ب] ، حيث f (x 0) × f "" (x 0)< 0.

على سبيل المثال ، متى F (أ)>0,F (ب)<0,و "(خ)< 0,و "(خ)< 0 (الشكل 3 ، ب) النهاية بمقطع [ أ؛ ب] تم إصلاحه.

إذا F(أ)> 0 ، F(ب)< 0,F"(X)< 0 ، و "( x)> 0 (الشكل 3 ، ج) ، أو F(أ)<0,F(ب)>0,F'(X)>0,F"'(x)<0 (рис. 3,ز) ،النقطة a هي النهاية الثابتة للمقطع [ أ؛ ب].

يتم إعطاء الشروط الكافية لتقارب طريقة الأوتار من خلال النظرية التالية.

الشكل 3. التفسير الهندسي لطريقة الوتر

نظرية.دعونا على الفاصل الزمني [ أ؛ ب] وظيفة F (X)مستمر مع مشتقاته من الدرجة الثانية ، و f (a) × f (b)<0, а производные F" (x)و F" (X)احتفظوا بعلاماتهم [ أ؛ ب], ثم هناك دائرة الجذر X *المعادلات F(x)= 0 ، أي تقريب أولي X 0 من هذه الدائرة ، المتتالية (x k) ، المحسوبة بالصيغة (8) ، تقترب من الجذر X *.

طريقة الوتر. - المفهوم والأنواع. تصنيف وميزات فئة "طريقة الوتر". 2017 ، 2018.

- طريقة الوتر

دع 1) يتم تعريف الدالة y = F (x) ومستمرة في المقطع. 2) و (أ) و (ب)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью &... .

- طريقة الوتر

عند التفريق بهذه الطريقة ، يتم تمييز عدد من النقاط على المنحنى المرسوم للرسم البياني للوظيفة ، والتي يتم توصيلها بواسطة الحبال ، أي استبدل المنحنى بخط مكسور (الشكل 2). يتم الافتراض التالي: زاوية ميل الظل عند النقاط الواقعة في المنتصف ....

- طريقة الوتر

في بعض الحالات ، يكون لطريقة الأوتار معدل تقارب أعلى إلى حد ما ، وفي المرحلة الثانية ، عند اختيار التقريب التالي داخل المقطع الذي يحتوي على الجذر ، تؤخذ القيمة المتبقية في نهايات المقطع في الاعتبار: يتم اختيار نقطة أقرب إلى النهاية حيث ....

- طريقة الحبال.

يتم توضيح فكرة الطريقة في الشكل. يتم تحديد الفاصل الزمني الذي فيه f (x0) f (x1) & ....

- طريقة الوتر

في هذه الطريقة ، لا يتم اختيار منتصف المقطع كتقريب ، ولكن يتم اختيار نقطة تقاطع الوتر مع محور الإحداثي. معادلة الوتر AB الذي يربط بين طرفي المقطع: (1) نقطة التقاطع مع محور الإحداثي لها إحداثيات ، نستبدل بـ (1) ونجد (2). قارن بين العلامات و ....

- طريقة الجمع بين الحبال والظل

إذا كانت القيم التقريبية للجذر من حيث النقص والزيادة. 1. إذا تم تشغيله ، فحينئذٍ في نفس الوقت. 2. في حالة تشغيل ، إذن ، في نفس الوقت. مثال. افصل الجذور بشكل تحليلي وصقلها بالطريقة المدمجة من الحبال والظل بدقة 0.001. ، لذلك ، للحسابات ...

طريقة الوتر (تُعرف الطريقة أيضًا باسم الطريقة القاطعة ) إحدى طرق الحل المعادلات غير الخطيةويستند إلى التضييق المتتالي للفترة التي تحتوي على الجذر الوحيد للمعادلة. يتم تنفيذ العملية التكرارية حتى الوصول إلى الدقة المحددة..

على عكس الطريقة نصف تقسيم، تقترح طريقة الوتر أن تقسيم الفاصل الزمني قيد النظر لن يتم في منتصفه ، ولكن عند نقطة تقاطع الوتر مع محور الإحداثي (المحور - X). وتجدر الإشارة إلى أن الوتر عبارة عن مقطع يتم رسمه من خلال نقاط الوظيفة قيد النظر في نهايات الفترة الزمنية قيد النظر. توفر الطريقة قيد الدراسة اكتشافًا للجذر أسرع من طريقة القسمة النصفية ، بشرط أن تكون الفترة قيد النظر هي نفسها.

هندسيًا ، طريقة الوتر تكافئ استبدال المنحنى بوتر يمر عبر النقاط و (انظر الشكل 1.).

رسم بياني 1. بناء قطعة (وتر) للوظيفة.

معادلة الخط المستقيم (الوتر) الذي يمر عبر النقطتين A و B لها الشكل التالي:

هذه المعادلة هي معادلة نموذجية لوصف خط مستقيم في نظام إحداثيات ديكارت. يتم تحديد ميل المنحنى بواسطة الإحداثي والإحداثيات باستخدام القيم الموجودة في المقام وعلى التوالي.

بالنسبة لنقطة تقاطع الخط مع محور الإحداثي ، ستتم إعادة كتابة المعادلة المكتوبة أعلاه بالشكل التالي:

كفاصل زمني جديد لاجتياز العملية التكرارية ، نختار واحدة من الاثنين أو ، في نهاياتها تأخذ الوظيفة قيمًا من علامات مختلفة. يمكن تحديد عكس علامات قيم الوظيفة في نهايات المقطع بعدة طرق. تتمثل إحدى الطرق العديدة في ضرب قيم الوظيفة في نهايات المقطع وتحديد علامة المنتج بمقارنة نتيجة الضرب بصفر:

أو .

تنتهي العملية التكرارية لتنقية الجذر عندما يصبح شرط الاقتراب من تقريبين متتاليين أقل من الدقة المحددة ، أي

الصورة 2. شرح لتعريف خطأ الحساب.

وتجدر الإشارة إلى أن تقارب طريقة الوتر يكون خطيًا ، ولكنه أسرع من تقارب طريقة التقسيم.

خوارزمية لإيجاد جذر المعادلة غير الخطية بطريقة الأوتار

1. أوجد فترة عدم اليقين الأولية باستخدام إحدى طرق فصل الجذر. ضأعط خطأ الحساب (رقم موجب صغير) و خطوة بدء التكرار () .

2. أوجد نقطة تقاطع الوتر مع محور الإحداثي:

3. من الضروري إيجاد قيمة الوظيفة عند النقاط ، و. بعد ذلك ، تحتاج إلى التحقق من شرطين:

إذا تم استيفاء الشرط ، ثم يكون الجذر المطلوب داخل الجزء الأيسر ، ؛

إذا تم استيفاء الشرط ، ثم الجذر المطلوب داخل المقطع الصحيح ، خذ ،.

نتيجة لذلك ، تم العثور على فاصل عدم يقين جديد ، حيث يوجد جذر المعادلة المطلوب:

4. نتحقق من القيمة التقريبية لجذر المعادلة من أجل دقة معينة ، في حالة:

إذا أصبح الفرق بين تقريبين متتاليين أقل من الدقة المحددة ، تنتهي العملية التكرارية. يتم تحديد القيمة التقريبية للجذر بواسطة الصيغة:

إذا لم يصل الفرق بين تقريبين متتاليين إلى الدقة المطلوبة ، فمن الضروري مواصلة العملية التكرارية والانتقال إلى الخطوة 2 من الخوارزمية قيد الدراسة.

مثال على حل المعادلات بطريقة الوتر

كمثال ، ضع في اعتبارك حل معادلة غير خطية باستخدام طريقة الوتر. يجب العثور على الجذر في النطاق المدروس بدقة.

متغير لحل معادلة غير خطية في حزمة برامجMathCAD.

يتم عرض نتائج الحساب ، أي ديناميات التغيير في القيمة التقريبية للجذر ، وكذلك أخطاء الحساب من خطوة التكرار ، في شكل رسوم بيانية (انظر الشكل 1).

رسم بياني 1. نتائج الحساب باستخدام طريقة الوتر

لضمان الدقة المحددة عند البحث عن معادلة في النطاق ، من الضروري إجراء 6 تكرارات. في خطوة التكرار الأخيرة ، سيتم تحديد القيمة التقريبية لجذر المعادلة غير الخطية بالقيمة:.

ملحوظة:

تعديل هذه الطريقة طريقة الموقف الخاطئ(طريقة الموضع الخاطئ) ، والتي تختلف عن طريقة القاطع فقط في أنه في كل مرة لا يتم أخذ آخر نقطتين ، ولكن تلك النقاط الموجودة حول الجذر.

وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كان من الممكن أخذ المشتق الثاني من دالة غير خطية ، فيمكن تبسيط خوارزمية البحث. افترض أن المشتق الثاني يحتفظ بعلامة ثابتة ، واعتبر حالتين:

حالة 1:

من الشرط الأول اتضح أن الجانب الثابت للقطعة هو الجانبأ.

الحالة رقم 2:

طريقة التكرار

طريقة التكرار البسيطة للمعادلة F(x) = 0 كما يلي:

1) يتم تحويل المعادلة الأصلية إلى شكل مناسب للتكرار:

x = φ (X). (2.2)

2) اختر تقريب مبدئي X 0 وحساب التقديرات اللاحقة بواسطة الصيغة التكرارية
س ك = φ (س ك -1), ك =1,2, ... (2.3)

إذا كان هناك حد للتسلسل التكراري ، فهو جذر المعادلة F(x) = 0 ، أي F(ξ ) =0.

ذ = φ (X)

فأس 0 x 1 x 2 ξ ب

أرز. 2. تقارب عملية التكرار

على التين. يوضح الشكل 2 عملية الحصول على التقريب التالي باستخدام طريقة التكرار. يتقارب تسلسل التقريبات مع الجذر ξ .

يتم إعطاء الأسس النظرية لتطبيق طريقة التكرار من خلال النظرية التالية.

نظرية 2.3. دع الشروط التالية تتحقق:

1) جذر المعادلة X= φ (س)ينتمي إلى المقطع [ أ, ب];

2) جميع القيم الدالة φ (X) تنتمي إلى المقطع [ أ, ب] ، ر. ه. أ ≤ φ (X)≤ب;

3) يوجد مثل هذا الرقم الموجب ف< 1 أن المشتق φ "(x) في جميع نقاط المقطع [ أ, ب] يرضي عدم المساواة | φ "(x) | ≤ ف.

1) تسلسل التكرار x ن= φ (x ن- 1)(ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...) تتقارب لأي x 0 Î [ أ, ب];

2) حد التسلسل التكراري هو جذر المعادلة

س = φ(x) ، أي إذا س ك= ξ ، ثم ξ = φ (ξ);

3) عدم المساواة التي تميز معدل تقارب التسلسل التكراري

| ξ -x ك | ≤ (ب-أ)× ف ك.(2.4)

من الواضح أن هذه النظرية تضع شروطًا صارمة إلى حد ما يجب التحقق منها قبل تطبيق طريقة التكرار. إذا كان مشتق الوظيفة φ (x) أكبر من واحد في القيمة المطلقة ، ثم تتباعد عملية التكرارات (الشكل 3).

ذ = φ (x) ذ = x

أرز. 3. عملية التكرار المتشعب

عدم المساواة

| xk-xk- 1 | ≤ ε . (2.5)

طريقة الوترهو استبدال المنحنى في = F(x) بقطعة مستقيمة تمر عبر النقاط ( أ, F(أ)) و ( ب, F(ب)) أرز. أربعة). Abscissa لنقطة تقاطع الخط مع المحور أوهتؤخذ كالتقريب التالي.

للحصول على صيغة الحساب لطريقة الوتر ، نكتب معادلة خط مستقيم يمر عبر النقاط ( أ, F(أ)) و ( ب, F(ب)) ومن خلال المعادلة فيإلى الصفر ، نجد X:

Þ

خوارزمية طريقة الوتر :

1) اسمحوا ك = 0;

2) احسب رقم التكرار التالي: ك = ك + 1.

دعونا نجد آخر ك- التقريب بالصيغة:

س ك= أ- F(أ)(ب - أ)/(F(ب) - F(أ)).

إحصاء - عد F(س ك);

3) إذا F(س ك) = 0 (تم العثور على الجذر) ، ثم انتقل إلى الخطوة 5.

اذا كان F(س ك) × F(ب)> 0 ثم ب= س ك، خلاف ذلك أ = س ك;

4) إذا | س ك - س ك -1 | > ε ، ثم انتقل إلى الخطوة 2 ؛

5) إخراج قيمة الجذر س ك ؛

تعليق. تشبه إجراءات الفقرة الثالثة إجراءات طريقة نصف القسمة. ومع ذلك ، في طريقة الوتر ، يمكن أن تتحول نفس نهاية المقطع (يمينًا أو يسارًا) في كل خطوة إذا كان الرسم البياني للوظيفة في جوار الجذر محدبًا لأعلى (الشكل 4 ، أ) أو مقعر لأسفل (الشكل 4 ، بلذلك ، يتم استخدام فرق التقريب المتجاور في معيار التقارب.

أرز. أربعة. طريقة الوتر

4. طريقة نيوتن(الظلال)

دع القيمة التقريبية لجذر المعادلة يمكن إيجادها F(x) = 0 ، وقم بالإشارة إليها x نصيغة الحساب طريقة نيوتنلتحديد التقريب التالي x نيمكن الحصول على +1 بطريقتين.

الطريقة الأولى تعبر عن المعنى الهندسي طريقة نيوتنويتكون من حقيقة أنه بدلاً من نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة في= F(x) مع المحور ثورالبحث عن نقطة التقاطع مع المحور ثورالظل مرسوم على الرسم البياني للوظيفة عند النقطة ( x ن,F(x ن))، كما يظهر في الشكل. 5. معادلة الظل لها الشكل ص - و(x ن)= F"(x ن)(x- x ن).

أرز. 5. طريقة نيوتن (الظل)

عند نقطة تقاطع المماس مع المحور ثورعامل في= 0. المعادلة فيإلى الصفر ، نعبر عنه Xواحصل على الصيغة طريقة الظل :

(2.6)

الطريقة الثانية: توسيع الوظيفة F(x) في سلسلة تايلور بالقرب من النقطة س = س ن:

نحن نقتصر على المصطلحات الخطية فيما يتعلق بـ ( X- x ن) ، تساوي الصفر F(x) والتعبير عن المجهول من المعادلة الناتجة X، للدلالة عليه من خلال x ن+1 نحصل على الصيغة (2.6).

لنجلب شروط كافيةتقارب طريقة نيوتن.

نظرية 2.4. دعونا على الفاصل الزمني [ أ, ب] تم استيفاء الشروط التالية:

1) الوظيفة F(x) ومشتقاته F"(X)و F ""(x) مستمرة ؛

2) المشتقات F"(خ) و F""(x) تختلف عن الصفر وتحتفظ بعلامات ثابتة معينة ؛

3) F(أ)× ص(ب) < 0 (وظيفة F(x) علامة التغييرات على المقطع).
ثم هناك شريحة [ α , β ] التي تحتوي على جذر المعادلة المطلوب F(x) = 0 ، حيث يتقارب التسلسل التكراري (2.6). إذا كان تقريب صفري X 0 حدد تلك النقطة الحدودية [ α , β ] ، حيث تتطابق علامة الوظيفة مع علامة المشتق الثاني ،

أولئك. F(x 0)× F"(x 0)> 0 ، ثم يتقارب التسلسل التكراري بشكل رتيب

تعليق. لاحظ أن طريقة الأوتار تأتي فقط من الجانب المقابل ، ويمكن أن تكمل كلتا الطريقتين بعضهما البعض. ممكن ومجمع طريقة الوتر الظلال.

5. الطريقة القاطعة

يمكن الحصول على طريقة secant من طريقة نيوتن عن طريق استبدال المشتق بتعبير تقريبي - صيغة الفرق:

, ,

. (2.7)

الصيغة (2.7) تستخدم التقريبين السابقين x نو x n - 1. لذلك ، لتقريب أولي معين Xيجب حساب 0 التقريب التالي x 1 , على سبيل المثال ، بطريقة نيوتن مع استبدال تقريبي للمشتق وفقًا للصيغة

,

خوارزمية طريقة القاطع:

1) معطى القيمة البدائية X 0 والخطأ ε . إحصاء - عد

;

2) من أجل ن = 1 ، 2 ، ... بينما الشرط | x ن – x ن -1 | > ε ، احسب x n + 1 بالصيغة (2.7).