هرم. الهرم المقطوع

هرميسمى متعدد السطوح ، أحد وجوهه عبارة عن مضلع ( قاعدة ) ، وجميع الوجوه الأخرى مثلثات برأس مشترك ( وجوه جانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صحيح إذا كانت قاعدتها مضلع منتظمويتم إسقاط قمة الهرم في وسط القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تتساوى فيه جميع الأطراف رباعي الوجوه .

ضلع جانبيالهرم يسمى جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. كل الضلوع الجانبية الهرم الصحيحمتساوية مع بعضها البعض ، كل الوجوه الجانبية متساوية مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم مرسوم من القمة عتمة . مقطع قطري يسمى قسم الهرم بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

مساحة السطح الجانبيةالهرم يسمى مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. منطقة سطح كامل هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية في الهرم متساوية الأطوال ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع الوجوه في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم التعسفي ، تكون الصيغة صحيحة:

أين الخامس- الصوت؛

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

حهو ارتفاع الهرم.

بالنسبة للهرم العادي ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

ح أ- صيدلة.

ح- ارتفاع؛

S ممتلئ

جانب S.

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

الخامسهو حجم الهرم المنتظم.

هرم مبتوريسمى جزء الهرم المحاط بالقاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع الصحيح يسمى جزء الهرم المنتظم ، محاطًا بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

أسسهرم مبتور - مضلعات مماثلة. الوجوه الجانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع يسمى المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع عبارة عن قطعة تربط رؤوسها التي لا تقع على نفس الوجه. مقطع قطري يسمى جزء من الهرم المقطوع بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

بالنسبة للهرم المقطوع ، تكون الصيغ صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2 - مناطق القواعد العلوية والسفلية ؛

S ممتلئهي مساحة السطح الكلية ؛

جانب S.هي مساحة السطح الجانبية

ح- ارتفاع؛

الخامسهو حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع العادي ، فإن الصيغة التالية صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 - محيط القاعدة ؛

ح أ- عائدة لهرم مبتور منتظم.

مثال 1في هرم مثلثي منتظم ، تكون الزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة 60º. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 18).

الهرم صحيح ، يعني في القاعدة مثلث متساوي الاضلاعوجميع أوجه الأضلاع مثلثات متساوية الساقين. الزاوية ثنائية السطح في القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. ستكون الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عمودين: أي يظهر الجزء العلوي من الهرم في وسط المثلث (مركز الدائرة المحصورة والدائرة المنقوشة في المثلث ABC). زاوية ميل الضلع الجانبي (على سبيل المثال SB) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع SBهذه الزاوية ستكون الزاوية SBD. للعثور على الظل ، تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو OB. دع طول المقطع BDهو 3 أ. نقطة االقطعة المستقيمة BDينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: من نجد:

إجابه:

مثال 2أوجد حجم هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم إذا كان أقطار قاعدته سم و سم والارتفاع 4 سم.

المحلول.لإيجاد حجم الهرم المقطوع ، نستخدم الصيغة (4). لإيجاد مساحات القواعد ، تحتاج إلى إيجاد جوانب مربعات القاعدة ، مع معرفة أقطارها. ضلعي القاعدتين 2 سم و 8 سم على التوالي ، وهذا يعني مساحات القواعد واستبدال جميع البيانات في الصيغة ، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابه: 112 سم 3.

مثال 3أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع يبلغ طول ضلعه من قاعدته 10 سم و 4 سم ، وارتفاع الهرم 2 سم.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف ، تحتاج إلى معرفة القواعد والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الحالة ، ويظل الارتفاع غير معروف فقط. تجده من أين لكن 1 هعمودي من نقطة لكن 1 على مستوى القاعدة السفلية ، أ 1 د- عمودي من لكن 1 في تيار متردد. لكن 1 ه\ u003d 2 سم ، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. للعثور على DEسنقوم بعمل رسم إضافي ، حيث سنصور منظرًا علويًا (الشكل 20). نقطة ا- إسقاط مراكز القاعدة العلوية والسفلية. منذ ذلك الحين (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعمهو نصف قطر الدائرة المنقوشة و OMهو نصف قطر الدائرة المنقوشة:

MK = DE.

وفقًا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابه:

مثال 4في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، قاعدتهما أو ب (أ> ب). يشكل كل جانب زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد مساحة السطح الكلية للهرم.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 21). المساحة الإجمالية للهرم SABCDيساوي مجموع مساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع أوجه الهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة ، فإن الرأس يُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة ا- إسقاط قمة الرأس سعند قاعدة الهرم. مثلث SODهو الإسقاط المتعامد للمثلث CSDإلى مستوى القاعدة. وفقًا للنظرية الخاصة بمنطقة الإسقاط المتعامد لشكل مسطح ، نحصل على:

وبالمثل ، فهذا يعني وهكذا ، تم تقليل المشكلة إلى إيجاد منطقة شبه المنحرف ا ب ت ث. ارسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة اهو مركز دائرة منقوشة في شبه منحرف.

نظرًا لأنه يمكن كتابة دائرة في شبه منحرف ، إذن أو حسب نظرية فيثاغورس لدينا

سيساعد مقطع الفيديو التعليمي هذا المستخدمين في الحصول على فكرة حول موضوع Pyramid. الهرم الصحيح. في هذا الدرس ، سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفًا. فكر في ماهية الهرم العادي وما هي خصائصه. ثم نثبت النظرية على السطح الجانبي لهرم منتظم.

في هذا الدرس ، سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفًا.

ضع في اعتبارك مضلعًا أ 1 أ 2...ا نالتي تقع في المستوى α ونقطة ص، والتي لا تقع في المستوى α (الشكل 1). دعنا نربط النقطة صمع القمم أ 1 ، أ 2 ، أ 3, … ا ن. احصل على نمثلثات: أ 1 أ 2 ص, أ 2 أ 3 صوهلم جرا.

تعريف. متعدد الوجوه RA 1 A 2 ...، صنع من ن-Gon أ 1 أ 2...ا نو نمثلثات RA 1 أ 2, RA 2 أ 3 …را ن أ ن-1 ، يسمى ن- هرم الفحم. أرز. واحد.

أرز. واحد

خذ بعين الاعتبار هرم رباعي الزوايا PABCD(الصورة 2).

ص- قمة الهرم.

ا ب ت ث- قاعدة الهرم.

RA- ضلع جانبي.

AB- حافة القاعدة.

من وجهة نظر صإسقاط عمودي RNعلى متن الطائرة ا ب ت ث. العمودية المرسومة هي ارتفاع الهرم.

أرز. 2

يتكون السطح الكلي للهرم من السطح الجانبي ، أي مساحة جميع الوجوه الجانبية ، ومنطقة القاعدة:

S ممتلئ \ u003d جانب S + S رئيسي

يسمى الهرم صحيحًا إذا:

• قاعدته مضلع منتظم ؛
• الجزء الذي يربط قمة الهرم بمركز القاعدة هو ارتفاعه.

شرح على مثال هرم رباعي الزوايا منتظم

فكر في هرم رباعي الزوايا منتظم PABCD(تين. 3).

ص- قمة الهرم. قاعدة الهرم ا ب ت ث- شكل رباعي منتظم ، أي مربع. نقطة انقطة تقاطع الأقطار هي مركز المربع. وسائل، ROهو ارتفاع الهرم.

أرز. 3

تفسير: على اليمين ن-Gon ، يتطابق مركز الدائرة المنقوشة ومركز الدائرة المحددة. يسمى هذا المركز بمركز المضلع. يقولون في بعض الأحيان أن الجزء العلوي مُسقط في المنتصف.

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم ، مرسوم من قمته عتمةوالمشار إليها ح أ.

1. جميع الحواف الجانبية للهرم العادي متساوية ؛

2. الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.

دعونا نثبت هذه الخصائص باستخدام مثال هرم منتظم رباعي الزوايا.

معطى: RABSD- صحيح هرم رباعي الزوايا,

ا ب ت ث- ميدان،

ROهو ارتفاع الهرم.

يثبت:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = DAP انظر الشكل. أربعة.

أرز. أربعة

دليل - إثبات.

ROهو ارتفاع الهرم. هذا صحيح ROعمودي على المستوى ABC، وبالتالي مباشرة AO ، VO ، SOو فعلالكذب فيه. لذا فإن المثلثات ROA، ROV، ROS، ROD- مستطيلي.

ضع في اعتبارك مربعًا ا ب ت ث. ويترتب على خصائص المربع أن AO = BO = CO = فعل.

ثم المثلثات القائمة ROA، ROV، ROS، RODساق RO- عامة و أرجل AO ، VO ، SOو فعلمتساوية ، لذا فإن هذين المثلثين متساويان في قدمين. من المساواة بين المثلثات يتبع المساواة بين الشرائح ، RA = PB = PC = PD.تم إثبات النقطة 1.

شرائح ABو شمسمتساوية لأنهما أضلاع نفس المربع ، RA = RV = الكمبيوتر. لذا فإن المثلثات AVRو VCR -متساوي الساقين ومتساويين من ثلاث جهات.

وبالمثل ، نحصل على المثلثات ABP ، BCP ، CDP ، DAPمتساوية الساقين ومتساوية ، وهو الأمر المطلوب لإثباته في البند 2.

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة والهيكل:

للإثبات ، نختار هرمًا مثلثًا منتظمًا.

معطى: رافس- صحيح الهرم الثلاثي.

AB = BC = AC.

RO- ارتفاع.

يثبت: . انظر الشكل. 5.

أرز. 5

دليل - إثبات.

رافسهو هرم مثلثي منتظم. هذا هو AB= AC = BC. يترك ا- مركز المثلث ABC، ومن بعد ROهو ارتفاع الهرم. قاعدة الهرم مثلث متساوي الأضلاع. ABC. لاحظ أن .

مثلثات RAV ، RVS ، RSA- مثلثات متساوية الساقين (حسب الخاصية). الهرم المثلثي له ثلاثة أوجه جانبية: RAV ، RVS ، RSA. إذن ، مساحة السطح الجانبي للهرم هي:

جانب S = 3S RAB

لقد تم إثبات النظرية.

نصف قطر دائرة منقوشة في قاعدة هرم منتظم هو 3 م ، ارتفاع الهرم 4 م ، أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.

معطى: هرم رباعي الزوايا منتظم ا ب ت ث,

ا ب ت ث- ميدان،

ص= 3 م

RO- ارتفاع الهرم ،

RO= 4 م.

تجد: S الجانب. انظر الشكل. 6.

أرز. 6

المحلول.

وفقًا للنظرية المثبتة ،.

أوجد جانب القاعدة أولًا AB. نعلم أن نصف قطر الدائرة المدرجة في قاعدة هرم رباعي الزوايا يساوي 3 م.

ثم م.

أوجد محيط المربع ا ب ت ثبطول 6 أمتار:

فكر في مثلث بى سى دى. يترك م- الجانب الأوسط العاصمة. لان ا- وسط BD، ومن بعد (م).

مثلث DPC- متساوي الساقين. م- وسط العاصمة. هذا هو، RM- الوسيط ، ومن ثم الارتفاع في المثلث DPC. ثم RM- عبادة الهرم.

ROهو ارتفاع الهرم. ثم مباشرة ROعمودي على المستوى ABC، وبالتالي المباشر OMالكذب فيه. دعونا نجد صيدا RMمن مثلث قائم ذاكرة للقراءة فقط.

الآن يمكننا إيجاد السطح الجانبي للهرم:

إجابه: 60 م 2

نصف قطر دائرة محصورة بالقرب من قاعدة هرم مثلثي منتظم هو m ومساحة السطح الجانبي 18 م 2. أوجد طول العروة.

معطى: ABCP- هرم ثلاثي منتظم ،

AB = BC = SA ،

ص= م ،

الجانب S = 18 م 2.

تجد:. انظر الشكل. 7.

أرز. 7

المحلول.

في مثلث قائم الزاوية ABCبالنظر إلى نصف قطر الدائرة المحددة. لنجد جانبًا ABهذا المثلث باستخدام نظرية الجيب.

بمعرفة ضلع المثلث المنتظم (م) ، نجد محيطه.

طبقًا للنظرية المتعلقة بمساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم ، حيث ح أ- عبادة الهرم. ثم:

إجابه: 4 م.

لذلك ، قمنا بفحص ماهية الهرم ، ما هو الهرم المنتظم ، أثبتنا النظرية على السطح الجانبي للهرم المنتظم. في الدرس التالي سوف نتعرف على الهرم المقطوع.

فهرس

1. الهندسة. الصف 10-11: كتاب مدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية(قاعدة و مستويات الملف الشخصي) / آي إم سميرنوفا ، ف.أ. سميرنوف. - الطبعة الخامسة ، القس. وإضافية - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض.
2. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي للتعليم العام المؤسسات التعليمية/ Sharygin IF - M: Bustard، 1999. - 208 ص: مريض.
3. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة وملف تعريف للرياضيات / E. في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. - الطبعة السادسة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 008. - 233 ص: مريض.

1. بوابة الإنترنت "Yaklass" ()
2. بوابة الإنترنت "مهرجان أفكار تربوية"الأول من سبتمبر" ()
3. بوابة الإنترنت "Slideshare.net" ()

الواجب المنزلي

1. هل يمكن أن يكون المضلع المنتظم هو قاعدة الهرم غير المنتظم؟
2. إثبات أن الحواف غير المتقاطعة للهرم المنتظم متعامدة.
3. أوجد القيمة زاوية زوجيةعلى جانب قاعدة هرم منتظم رباعي الزوايا ، إذا كان حجم الهرم يساوي جانب قاعدته.
4. رافسهو هرم مثلثي منتظم. أنشئ الزاوية الخطية للزاوية ثنائية الأضلاع عند قاعدة الهرم.

يصادف الطلاب مفهوم الهرم قبل وقت طويل من دراسة الهندسة. إلقاء اللوم على عجائب الدنيا المصرية العظيمة الشهيرة. لذلك ، عند بدء دراسة هذا متعدد الوجوه الرائع ، يتخيله معظم الطلاب بالفعل بوضوح. جميع المشاهد المذكورة أعلاه في الشكل الصحيح. ماذا او ما الهرم الصحيح، وما هي خصائصه و سيتم مناقشتهاأبعد.

في تواصل مع

تعريف

هناك العديد من التعريفات للهرم. منذ العصور القديمة ، كانت تحظى بشعبية كبيرة.

على سبيل المثال ، عرّفها إقليدس على أنها شخصية صلبة ، تتكون من طائرات تتلاقى ، بدءًا من واحد ، عند نقطة معينة.

قدم مالك الحزين صياغة أكثر دقة. أصر على أنه كان الرقم له قاعدة ومستويات على شكل مثلثات ،تتقارب عند نقطة واحدة.

بناءً على التفسير الحديث ، يتم تمثيل الهرم على أنه متعدد السطوح المكاني ، ويتألف من عدد معين من k-gon و k شخصيات مسطحةمثلث بنقطة مشتركة واحدة.

دعونا نلقي نظرة فاحصة، ما العناصر التي تتكون منها؟

• يعتبر k-gon أساس الشكل ؛
• تبرز الأشكال ثلاثية الزوايا مثل جوانب الجزء الجانبي ؛
• الجزء العلوي ، الذي تنشأ منه العناصر الجانبية ، يسمى الجزء العلوي ؛
• تسمى جميع الأجزاء التي تربط الرأس بالحواف ؛
• إذا تم إنزال خط مستقيم من أعلى إلى مستوى الشكل بزاوية 90 درجة ، فإن الجزء المحاط بالفضاء الداخلي هو ارتفاع الهرم ؛
• في أي عنصر جانبي إلى جانب متعدد السطوح لدينا ، يمكنك رسم عمودي يسمى apothem.

يتم حساب عدد الحواف باستخدام الصيغة 2 * k ، حيث k هو عدد جوانب k-gon. كم عدد الوجوه التي يمكن تحديدها في متعدد الوجوه مثل الهرم من خلال التعبير k + 1.

مهم!هرم الشكل الصحيحيسمى الشكل المجسم الذي يكون مستواه الأساسي عبارة عن k-gon مع جوانب متساوية.

الخصائص الأساسية

الهرم الصحيح لديها العديد من الخصائص, التي تنفرد بها. دعنا نذكرهم:

1. القاعدة هي شكل من الأشكال الصحيحة.
2. حواف الهرم ، التي تحد العناصر الجانبية ، لها قيم عددية متساوية.
3. العناصر الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.
4. تقع قاعدة ارتفاع الشكل في مركز المضلع ، في حين أنها في نفس الوقت النقطة المركزية للمكتوب والموصوف.
5. تميل جميع الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.
6. جميع الأسطح الجانبية لها نفس زاوية الميل بالنسبة للقاعدة.

بفضل جميع الخصائص المدرجة ، تم تبسيط أداء حسابات العناصر بشكل كبير. بناءً على الخصائص المذكورة أعلاه ، نولي اهتمامًا ل علامتان:

1. في حالة احتواء المضلع في دائرة ، سيكون للأوجه الجانبية قاعدة زوايا متساوية.
2. عند وصف دائرة حول مضلع ، فإن جميع حواف الهرم المنبثقة من الرأس سيكون لها يساوي طولوزوايا متساوية مع القاعدة.

المربع قائم

هرم رباعي الزوايا منتظم - متعدد الوجوه على أساس مربع.

لها أربعة أوجه جانبية ، وهي متساوية في المظهر.

على مستوى ، يتم رسم مربع ، لكنها تستند إلى جميع خصائص الشكل الرباعي العادي.

على سبيل المثال ، إذا كان من الضروري توصيل جانب مربع بقطره ، فسيتم استخدام الصيغة التالية: القطر يساوي حاصل ضرب جانب المربع والجذر التربيعي لاثنين.

على أساس مثلث منتظم

الهرم المثلثي المنتظم هو متعدد الوجوه قاعدته 3-gon منتظم.

إذا كانت القاعدة مثلث قائم، والحواف الجانبية تساوي حواف القاعدة ، ثم مثل هذا الشكل يسمى رباعي الوجوه.

جميع وجوه رباعي الوجوه متساوية الأضلاع 3-gons. في هذه القضيةتحتاج إلى معرفة بعض النقاط وعدم إضاعة الوقت فيها عند الحساب:

• زاوية ميل الأضلاع إلى أي قاعدة 60 درجة ؛
• قيمة جميع الوجوه الداخلية هي أيضًا 60 درجة ؛
• يمكن لأي وجه أن يكون بمثابة قاعدة ؛
• المرسومة داخل الشكل هي عناصر متساوية.

أقسام متعدد السطوح

في أي متعدد الوجوه هناك عدة أنواع من الأقسامطائرة. في كثير من الأحيان دورة مدرسيةتعمل الهندسة مع اثنين:

• محوري؛
• أساس موازٍ.

يتم الحصول على قسم محوري عن طريق تقاطع متعدد السطوح مع مستوى يمر عبر الرأس والحواف الجانبية والمحور. في هذه الحالة ، المحور هو الارتفاع المرسوم من الرأس. مستوى القطع محدود بخطوط التقاطع مع جميع الوجوه ، مما ينتج عنه مثلث.

انتباه!في الهرم المنتظم ، القسم المحوري هو مثلث متساوي الساقين.

إذا كانت طائرة القطع تسير بالتوازي مع القاعدة ، فإن النتيجة هي الخيار الثاني. في هذه الحالة ، لدينا في سياق شخصية مشابهة للقاعدة.

على سبيل المثال ، إذا كانت القاعدة مربعة ، فسيكون القسم الموازي للقاعدة أيضًا مربعًا ، بحجم أصغر فقط.

عند حل المشكلات في ظل هذه الحالة ، يتم استخدام علامات وخصائص تشابه الأشكال ، على أساس نظرية طاليس. بادئ ذي بدء ، من الضروري تحديد معامل التشابه.

إذا تم رسم المستوى بالتوازي مع القاعدة ، وانقطع الجزء العلويمتعدد الوجوه ، ثم يتم الحصول على هرم مبتور منتظم في الجزء السفلي. ثم يقال إن قواعد متعدد السطوح المقطوعة هي مضلعات متشابهة. في هذه الحالة ، تكون الوجوه الجانبية شبه منحرف متساوي الساقين. القسم المحوري هو أيضا متساوي الساقين.

من أجل تحديد ارتفاع مجسم متعدد السطوح ، من الضروري رسم الارتفاع في مقطع محوري ، أي في شبه منحرف.

المساحات السطحية

رئيسي مشاكل هندسية، والتي يجب حلها في دورة هندسة المدرسة ، هذه هي إيجاد مساحة سطح الهرم وحجمه.

هناك نوعان من مساحة السطح:

• منطقة العناصر الجانبية
• مساحة السطح بأكملها.

من العنوان نفسه يتضح ما يدور حوله. السطح الجانبييتضمن فقط العناصر الجانبية. ويترتب على ذلك أنه للعثور عليه ، تحتاج ببساطة إلى جمع مساحات المستويات الجانبية ، أي مناطق متساوي الساقين 3-أضلاع. دعنا نحاول اشتقاق صيغة مساحة العناصر الجانبية:

1. مساحة متساوي الساقين 3-gon هي Str = 1/2 (aL) ، حيث a هو جانب القاعدة ، L هو apothem.
2. يعتمد عدد المستويات الجانبية على نوع k-gon في القاعدة. على سبيل المثال ، الهرم المنتظم رباعي الزوايا له أربع مستويات جانبية. لذلك ، من الضروري إضافة مساحة أربعةأرقام Sside \ u003d 1/2 (aL) + 1/2 (aL) + 1/2 (aL) + 1/2 (aL) \ u003d 1/2 * 4a * L. يتم تبسيط التعبير بهذه الطريقة لأن القيمة 4a = POS ، حيث يكون POS هو محيط القاعدة. والتعبير 1/2 * Rosn هو نصف محيطه.
3. لذلك ، نستنتج أن مساحة العناصر الجانبية للهرم المنتظم تساوي حاصل ضرب نصف محيط القاعدة والقسم: Sside \ u003d Rosn * L.

تتكون مساحة السطح الكامل للهرم من مجموع مساحات المستويات الجانبية والقاعدة: Sp.p. = Sside + Sbase.

بالنسبة لمساحة القاعدة ، يتم استخدام الصيغة هنا وفقًا لنوع المضلع.

حجم الهرم المنتظميساوي حاصل ضرب منطقة المستوى الأساسي والارتفاع مقسومًا على ثلاثة: V = 1/3 * Sbase * H ، حيث H هو ارتفاع متعدد السطوح.

ما هو الهرم المنتظم في الهندسة

خصائص هرم رباعي الزوايا منتظم