ما يسمى حل المعادلة الخطية. كيف تحل المعادلة التكعيبية؟ مبدأ حل المعادلات الخطية

عند حل المعادلات الخطية ، نسعى جاهدين لإيجاد جذر ، أي قيمة متغير يحول المعادلة إلى مساواة صحيحة.

تحتاج للعثور على جذر المعادلة تحويلات مكافئة تجلب المعادلة المعطاة لنا إلى النموذج

\ (س = [العدد] \)

سيكون هذا الرقم هو الجذر.

أي أننا نقوم بتحويل المعادلة ، مما يجعل الأمر أسهل مع كل خطوة ، حتى نختزلها إلى معادلة بدائية تمامًا "x = رقم" ، حيث يكون الجذر واضحًا. الأكثر استخدامًا في حل المعادلات الخطية هي التحولات التالية:

فمثلا: أضف \ (5 \) إلى طرفي المعادلة \ (6 س -5 = 1 \)

\ (6 س -5 = 1 \) \ (| +5 \)
\ (6 س -5 + 5 = 1 + 5 \)
\ (6 س = 6 \)

يرجى ملاحظة أنه يمكننا الحصول على نفس النتيجة بشكل أسرع - ببساطة عن طريق كتابة الخمسة على الجانب الآخر من المعادلة وتغيير علامتها في العملية. في الواقع ، هذا هو بالضبط كيف تتم المدرسة "التحويل من خلال يساوي مع تغيير الإشارة إلى العكس".

2. ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد أو التعبير.

فمثلا: قسّم المعادلة \ (- 2x = 8 \) على ناقص اثنين

\ (- 2 س = 8 \) \ (|: (- 2) \)
\ (س = -4 \)

عادةً ما تتم هذه الخطوة في النهاية ، عندما يتم بالفعل تقليل المعادلة إلى \ (ax = b \) ، ونقسمها على \ (a \) لإزالتها من اليسار.

3. استخدام خصائص وقوانين الرياضيات: فتح الأقواس ، اختزال المصطلحات المتشابهة ، اختزال الكسور ، إلخ.

أضف \ (2x \) يسارًا ويمينًا

اطرح \ (24 \) من طرفي المعادلة

مرة أخرى ، نقدم مثل الشروط

الآن نقسم المعادلة على \ (-3 \) ، وبذلك نزيل قبل x على الجانب الأيسر.

إجابه : \(7\)

تم العثور على إجابة. ومع ذلك ، دعنا نتحقق من ذلك. إذا كانت السبعة جذرًا حقًا ، فإن استبدالها بدلاً من x في المعادلة الأصلية يجب أن ينتج عنه المساواة الصحيحة - نفس الأرقام على اليسار واليمين. نحاول.

فحص:
\ (6 (4-7) + 7 = 3-2 \ cdot7 \)
\ (6 \ cdot (-3) + 7 = 3-14 \)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

متفق. هذا يعني أن السبعة هي بالفعل جذر المعادلة الخطية الأصلية.

لا تكن كسولًا للتحقق من الإجابات التي وجدتها عن طريق الاستبدال ، خاصة إذا كنت تحل معادلة في اختبار أو امتحان.

يبقى السؤال - كيف تحدد ما يجب فعله بالمعادلة في الخطوة التالية؟ كيف بالضبط لتحويله؟ شارك شيئا ما؟ أو طرح؟ وماذا تطرح بالضبط؟ ماذا تشارك؟

الجواب بسيط:

هدفك هو إحضار المعادلة إلى الشكل \ (x = [number] \) ، أي على اليسار x بدون معاملات وأرقام ، وعلى اليمين - فقط رقم بدون متغيرات. لذا انظر ما الذي يمنعك و افعل عكس ما يفعله المكون المسبب للتدخل.

لفهم هذا بشكل أفضل ، دعنا نأخذ حلاً خطوة بخطوة للمعادلة الخطية \ (س + 3 = 13-4 س \).

لنفكر: كيف تختلف هذه المعادلة عن \ (x = [العدد] \)؟ ما الذي يمنعنا؟ ما هو الخطأ؟

حسنًا ، أولاً ، يتدخل الثلاثي ، حيث يجب أن يكون هناك X وحيد على اليسار ، بدون أرقام. وماذا يفعل الثلاثي؟ مضافإلى xx. لذا ، لإزالته - طرح او خصمنفس الثلاثي. لكن إذا طرحنا ثلاثة أضعاف من اليسار ، فعلينا طرحها من اليمين حتى لا يتم انتهاك المساواة.

\ (س + 3 = 13-4 س \) \ (| -3 \)
\ (س + 3-3 = 13-4 س -3 \)
\ (س = 10-4 س \)

جيد. الآن ما الذي يمنعك؟ \ (4x \) على اليمين ، لأنه يجب أن يحتوي على أرقام فقط. \ (4x \) مطروح- إزالة مضيفا.

\ (س = 10-4 س \) \ (| + 4x \)
\ (س + 4x = 10-4 س + 4x)

الآن نعطي حدودًا متشابهة على اليسار واليمين.

إنه جاهز تقريبًا. يبقى لإزالة الخمسة على اليسار. ماذا تفعل هي"؟ يتكاثرفي x. لذلك نقوم بإزالته قطاع.

\ (5 س = 10 \) \ (|: 5 \)
\ (\ frac (5x) (5) \) \ (= \) \ (\ frac (10) (5) \)
\ (س = 2 \)

الحل كامل ، جذر المعادلة هو اثنان. يمكنك التحقق عن طريق الاستبدال.

لاحظ أن غالبًا ما يكون هناك جذر واحد فقط في المعادلات الخطية. ومع ذلك ، قد تحدث حالتان خاصتان.

حالة خاصة 1 - لا توجد جذور في المعادلة الخطية.

مثال . حل المعادلة \ (3x-1 = 2 (x + 3) + x \)

المحلول :

إجابه : لا جذور.

في الواقع ، لقد تم رؤية حقيقة أننا سنصل إلى مثل هذه النتيجة في وقت سابق ، حتى عندما وصلنا إلى \ (3x-1 = 3x + 6 \). فكر في الأمر: كيف يمكن أن تكون \ (3x \) متساوية ، والتي تم طرح \ (1 \) منها ، و \ (3x \) التي تمت إضافة \ (6 \) إليها؟ من الواضح ، بأي حال من الأحوال ، لأنهم قاموا بأفعال مختلفة بنفس الشيء! من الواضح أن النتائج ستختلف.

الحالة الخاصة 2 - المعادلة الخطية لها عدد لا نهائي من الجذور.

مثال . حل المعادلة الخطية \ (8 (x + 2) -4 = 12x-4 (x-3) \)

المحلول :

إجابه : أي رقم.

بالمناسبة ، كان هذا ملحوظًا حتى قبل ذلك ، في المرحلة: \ (8x + 12 = 8x + 12 \). في الواقع ، اليسار واليمين هما نفس التعبيرات. أيا كان x الذي عوضته ، فسيكون هناك نفس العدد هناك وهناك.

معادلات خطية أكثر تعقيدًا.

لا تبدو المعادلة الأصلية دائمًا على الفور مثل المعادلة الخطية ، وأحيانًا تكون "مقنعة" في شكل معادلات أخرى أكثر تعقيدًا. ومع ذلك ، في عملية التحول ، ينحسر التقنيع.

مثال . أوجد جذر المعادلة \ (2x ^ (2) - (x-4) ^ (2) = (3 + x) ^ (2) -15 \)

المحلول :

\ (2x ^ (2) - (x-4) ^ (2) = (3 + x) ^ (2) -15 \)		يبدو أن هناك x تربيع هنا - هذه ليست معادلة خطية! لكن لا تتسرع. دعنا نطبق
\ (2 س ^ (2) - (س ^ (2) -8 س + 16) = 9 + 6 س + س ^ (2) -15 \)		لماذا نتيجة التوسع \ ((x-4) ^ (2) \) بين قوسين ، ولكن نتيجة \ ((3 + x) ^ (2) \) ليست كذلك؟ لأن هناك علامة ناقص قبل المربع الأول ، مما سيغير كل العلامات. ولكي لا ننسى الأمر ، نأخذ النتيجة بين قوسين ، ونفتحها الآن.
\ (2x ^ (2) -x ^ (2) + 8x-16 = 9 + 6x + x ^ (2) -15 \)		نعطي شروط مماثلة
\ (س ^ (2) + 8 س -16 = س ^ (2) + 6 س -6 \)
\ (س ^ (2) -x ^ (2) + 8x-6x = -6 + 16 \)		مرة أخرى ، هنا متشابهة.
		مثله. اتضح أن المعادلة الأصلية خطية تمامًا ، وأن x تربيع ليس أكثر من شاشة لإرباكنا. :) نكمل الحل بقسمة المعادلة على \ (2 \) ونحصل على الإجابة.

إجابه : \ (س = 5 \)

مثال . حل المعادلة الخطية \ (\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (9 + 7x) ( 6) \)

المحلول :

\ (\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (9 + 7x) (6) \)		لا تبدو المعادلة مثل المعادلة الخطية ، فبعض الكسور ... ومع ذلك ، دعونا نتخلص من المقامات بضرب كلا الجزأين من المعادلة في المقام المشترك للجميع - ستة
\ (6 \ cdot \) \ ((\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (\ frac (1) (3)) \) \ (= \) \ (\ frac ( 9 + 7x) (6) \) \ (\ cdot 6 \)		قوس مفتوح على اليسار
\ (6 \ cdot \) \ (\ frac (x + 2) (2) \) \ (- \) \ (6 \ cdot \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= \) \ (\ فارك (9 + 7 س) (6) \) \ (\ cdot 6 \)		الآن نقوم بتقليل القواسم
\ (3 (س + 2) -2 = 9 + 7 س \)		الآن يبدو وكأنه خطي منتظم! دعونا نحلها.
		من خلال التحويل من خلال Equal ، نجمع x على اليمين والأرقام على اليسار
		حسنًا ، بالقسمة على \ (-4 \) الجزء الأيمن والأيسر ، نحصل على الإجابة

إجابه : \ (س = -1.25 \)

المعادلة الخطية هي معادلة جبرية تساوي الدرجة الكاملة لكثيرات الحدود الواحد. حل المعادلات الخطية جزء من المنهج الدراسي وليس الأصعب. ومع ذلك ، لا يزال البعض يواجه صعوبات في مرور هذا الموضوع. نأمل بعد قراءة هذه المادة أن تظل كل الصعوبات التي تواجهك في الماضي. لذا ، دعنا نفهم ذلك. كيفية حل المعادلات الخطية.

الشكل العام

يتم تمثيل المعادلة الخطية على النحو التالي:

• الفأس + ب = 0 ، حيث أ وب أي أرقام.

على الرغم من أن a و b يمكن أن يكونا أي رقم ، فإن قيمهما تؤثر على عدد حلول المعادلة. هناك عدة حالات خاصة للحل:

• إذا كانت أ = ب = 0 ، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول ؛
• إذا كانت أ = 0 ، ب 0 ، فليس للمعادلة حل ؛
• إذا كانت a ≠ 0 ، b = 0 ، فإن المعادلة لها حل: x = 0.

في حالة احتواء كلا الرقمين على قيم غير صفرية ، يجب حل المعادلة من أجل اشتقاق التعبير النهائي للمتغير.

كيف تقرر؟

حل المعادلة الخطية يعني إيجاد ما يساوي المتغير. كيف افعلها؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية - باستخدام العمليات الجبرية البسيطة واتباع قواعد النقل. إذا ظهرت المعادلة أمامك بشكل عام ، فأنت محظوظ ، كل ما عليك فعله هو:

1. انقل b إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، دون أن تنسى تغيير العلامة (قاعدة النقل!) ، وبالتالي ، من التعبير عن النموذج ax + b = 0 ، يجب الحصول على تعبير عن النموذج ax = -b.
2. طبق القاعدة: للعثور على أحد العوامل (س - في حالتنا) ، تحتاج إلى تقسيم المنتج (-ب في حالتنا) على عامل آخر (أ - في حالتنا). وبالتالي ، يجب الحصول على تعبير عن النموذج: x \ u003d -b / a.

هذا كل شيء - الحل موجود!

الآن دعنا نلقي نظرة على مثال محدد:

1. 2x + 4 = 0 - انقل b ، وهي في هذه الحالة 4 ، إلى اليمين
2. 2x = -4 - قسّم b على a (لا تنسَ علامة الطرح)
3. س = -4 / 2 = -2

هذا كل شئ! حلنا: x = -2.

كما ترى ، فإن إيجاد حل لمعادلة خطية بمتغير واحد بسيط للغاية ، لكن كل شيء بسيط جدًا إذا كنا محظوظين لتلبية المعادلة بشكل عام. في معظم الحالات ، قبل حل المعادلة في الخطوتين الموصوفتين أعلاه ، من الضروري أيضًا إحضار التعبير الموجود إلى شكل عام. ومع ذلك ، فهذه ليست مهمة شاقة أيضًا. دعونا نلقي نظرة على بعض الحالات الخاصة مع الأمثلة.

حل الحالات الخاصة

أولاً ، دعنا نلقي نظرة على الحالات التي وصفناها في بداية المقالة ونوضح ما يعنيه وجود عدد لا حصر له من الحلول وعدم وجود حل.

• إذا كانت a = b = 0 ، فستبدو المعادلة كما يلي: 0 x + 0 = 0. بأداء الخطوة الأولى ، نحصل على: 0 x = 0. ماذا يعني هذا الهراء ، فأنت تصرخ! بعد كل شيء ، بغض النظر عن الرقم الذي تضربه في الصفر ، ستحصل دائمًا على صفر! الصحيح! لذلك ، يقولون أن المعادلة بها عدد لا حصر له من الحلول - مهما كان الرقم الذي تأخذه ، ستكون المساواة صحيحة ، 0x \ u003d 0 أو 0 \ u003d 0.
• إذا كانت a = 0 ، b ≠ 0 ، ستبدو المعادلة كما يلي: 0x + 3 = 0. نقوم بالخطوة الأولى ، نحصل على 0x = -3. هراء مرة أخرى! من الواضح أن هذه المساواة لن تكون صحيحة أبدًا! لهذا يقولون أن المعادلة ليس لها حلول.
• إذا كانت a ≠ 0 ، b = 0 ، ستبدو المعادلة كما يلي: 3x + 0 = 0. بأخذ الخطوة الأولى ، نحصل على: 3x = 0. ما الحل؟ إنه سهل ، x = 0.

صعوبات الترجمة

الحالات الخاصة الموصوفة ليست كل ما يمكن أن تفاجئنا به المعادلات الخطية. في بعض الأحيان يصعب تحديد المعادلة للوهلة الأولى. لنأخذ مثالا:

• 12 س - 14 = 2 س + 6

هل هذه معادلة خطية؟ لكن ماذا عن الصفر على الجانب الأيمن؟ لن نتسرع في الاستنتاجات ، سنعمل - سننقل جميع مكونات معادلتنا إلى الجانب الأيسر. نحن نحصل:

• 12 س - 2 س - 14 - 6 = 0

الآن نطرح مثل من الإعجاب ، نحصل على:

• 10x - 20 = 0

تعلمت؟ المعادلة الأكثر خطية على الإطلاق! لمن حل: س = 20/10 = 2.

ماذا لو كان لدينا هذا المثال:

• 12 ((س + 2) / 3) + س) = 12 (1 - 3 س / 4)

نعم ، هذه أيضًا معادلة خطية ، لا يلزم إجراء المزيد من التحولات. لنفكِّك الأقواس أولاً:

1. (12 (س + 2) / 3) + 12 س = 12-36 س / 4
2. 4 (س + 2) + 12 س = 12-36 س / 4
3. 4x + 8 + 12x = 12-9x - قم الآن بإجراء التحويل:
4. 25x - 4 = 0 - يبقى إيجاد حل وفقًا للمخطط المعروف بالفعل:
5. 25 س = 4
6. س = 4/25 = 0.16

كما ترى ، تم حل كل شيء ، الشيء الرئيسي هو عدم القلق ، ولكن العمل. تذكر ، إذا كانت معادلتك تحتوي فقط على متغيرات من الدرجة الأولى والأرقام ، فهذه معادلة خطية ، بغض النظر عن شكلها في البداية ، يمكن اختزالها إلى شكل عام وحلها. نأمل أن يعمل كل شيء من أجلك! حظا طيبا وفقك الله!

• المساواة مع المتغير تسمى معادلة.
• حل المعادلة يعني إيجاد مجموعة جذورها. يمكن أن تحتوي المعادلة على جذور واحدة أو اثنتين أو عدة جذور أو لا شيء على الإطلاق.
• تسمى كل قيمة للمتغير الذي تتحول فيه المعادلة المعطاة إلى مساواة حقيقية بجذر المعادلة.
• تسمى المعادلات التي لها نفس الجذور بالمعادلات المتكافئة.
• يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.
• إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل هذه المعادلة.

أمثلة. حل المعادلة.

1. 1.5x + 4 = 0.3x-2.

1.5x-0.3x = -2-4. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية:

1.2 س = -6. أحضرنا شروطًا متشابهة وفقًا للقاعدة:

س = -6 : 1.2 تم تقسيم كلا الجزأين من المساواة على معامل المتغير ، منذ ذلك الحين

س = -5. مقسومًا على قاعدة قسمة الكسر العشري على كسر عشري:

لقسمة رقم على رقم عشري ، تحتاج إلى تحريك الفواصل في المقسوم والمقسوم على عدد من الأرقام إلى اليمين كما هي بعد الفاصلة العشرية في المقسوم عليه ، ثم القسمة على رقم طبيعي:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

إجابه: 5.

2. 3∙ (2 × 9) = 4 ∙ (x-4).

6 س -27 = 4 س -16. لقد فتحنا الأقواس باستخدام قانون توزيع الضرب فيما يتعلق بالطرح: (أ-ب) ∙ ج = أ ∙ ج-ب ∙ ج.

6 س-4x = -16 + 27. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية: يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.

2x \ u003d 11. لقد جلبوا شروطًا مماثلة وفقًا للقاعدة: لإحضار مصطلحات متشابهة ، تحتاج إلى إضافة معاملاتهم وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك (أي إضافة جزء الحرف المشترك إلى النتيجة).

س = 11 : 2. تم تقسيم جزأي المساواة على معامل المتغير منذ ذلك الحين إذا تم ضرب جزئي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل هذه المعادلة.

إجابه: 5,5.

3. 7 س- (3 + 2 س) = س -9.

7x-3-2x = x-9. فتحنا الأقواس وفقًا لقاعدة فتح الأقواس ، مسبوقة بعلامة "-": إذا كانت هناك علامة "-" أمام الأقواس ، فإننا نزيل الأقواس ، وعلامة "-" ونكتب المصطلحات بين قوسين بإشارات متقابلة.

7x-2x-x \ u003d -9 + 3. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية: يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.

4x = -6. أحضرنا شروطًا متشابهة وفقًا للقاعدة: لإحضار مصطلحات متشابهة ، تحتاج إلى إضافة معاملاتهم وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك (أي إضافة جزء الحرف المشترك إلى النتيجة).

س = -6 : 4. تم تقسيم جزأي المساواة على معامل المتغير منذ ذلك الحين إذا تم ضرب جزئي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل هذه المعادلة.

إجابه: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2 × 11). اضرب طرفي المعادلة في 12 - القاسم المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

3 س -15 = 84-8 س + 44. لقد فتحنا الأقواس باستخدام قانون توزيع الضرب فيما يتعلق بالطرح: من أجل ضرب الفرق بين رقمين في الرقم الثالث ، يمكنك ضرب الرقم المختزل بشكل منفصل وطرحه بشكل منفصل في الرقم الثالث ، ثم طرح النتيجة الثانية من النتيجة الأولى ، أي(أ-ب) ∙ ج = أ ∙ ج-ب ∙ ج.

3 س + 8 س = 84 + 44 + 15. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية: يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.

في هذه المقالة ، نعتبر مبدأ حل مثل هذه المعادلات مثل المعادلات الخطية. دعونا نكتب تعريف هذه المعادلات ونضع الشكل العام. سنقوم بتحليل جميع الشروط لإيجاد حلول للمعادلات الخطية ، باستخدام أمثلة عملية ، من بين أمور أخرى.

يرجى ملاحظة أن المادة أدناه تحتوي على معلومات حول المعادلات الخطية بمتغير واحد. يتم النظر في المعادلات الخطية ذات المتغيرين في مقالة منفصلة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ما هي المعادلة الخطية

التعريف 1

معادلة خط مستقيمهي معادلة مكتوبة على النحو التالي:
أ س = ب، أين x- عامل، أو ب- بعض الأرقام.

تُستخدم هذه الصيغة في كتاب الجبر المدرسي (الصف 7) بواسطة Yu.N. Makarychev.

مثال 1

من أمثلة المعادلات الخطية:

3 س = 11(معادلة متغيرة واحدة xفي أ = 5و ب = 10);

- 3 ، 1 ص = 0 (معادلة خطية ذات متغير ذ، أين أ \ u003d - 3 ، 1و ب = 0) ؛

س = -4و - س = 5 ، 37(المعادلات الخطية حيث العدد أمكتوبًا صراحةً ويساوي 1 و - 1 على التوالي. للمعادلة الأولى ب = - 4 ؛للمرة الثانية - ب = 5 ، 37) إلخ.

قد تحتوي المواد التعليمية المختلفة على تعريفات مختلفة. على سبيل المثال ، Vilenkin N.Ya. يتضمن الخطي أيضًا المعادلات التي يمكن تحويلها إلى النموذج أ س = بعن طريق نقل الشروط من جزء إلى آخر مع تغيير علامة وإحضار شروط مماثلة. إذا اتبعنا هذا التفسير ، فإن المعادلة 5 س = 2 س + 6 -خطي أيضا.

وهنا كتاب الجبر (الصف السابع) مردكوفيتش أ. يحدد الوصف التالي:

التعريف 2

المعادلة الخطية بمتغير واحد x هي معادلة بالصيغة أ س + ب = 0، أين أو بهي بعض الأرقام تسمى معاملات المعادلة الخطية.

مثال 2

مثال على المعادلات الخطية من هذا النوع يمكن أن يكون:

3 س - 7 = 0 (أ = 3 ، ب = - 7) ;

1 ، 8 ص + 7 ، 9 = 0 (أ = 1 ، 8 ، ب = 7 ، 9).

ولكن هناك أيضًا أمثلة على المعادلات الخطية التي استخدمناها بالفعل أعلاه: أ س = ب، فمثلا، 6 س = 35.

سوف نتفق على الفور على أنه في هذه المقالة ، في ظل معادلة خطية بمتغير واحد ، سوف نفهم معادلة الكتابة أ س + ب = 0، أين x- عامل؛ أ ، ب معاملات. نرى هذا الشكل من المعادلة الخطية على أنه الأكثر تبريرًا ، لأن المعادلات الخطية هي معادلات جبرية من الدرجة الأولى. والمعادلات الأخرى المشار إليها أعلاه والمعادلات المعطاة بواسطة تحويلات مكافئة إلى الصورة أ س + ب = 0، نحدد المعادلات المختزلة إلى المعادلات الخطية.

مع هذا النهج ، المعادلة 5 س + 8 = 0 خطية ، و 5 س = -8- معادلة تختزل إلى معادلة خطية.

مبدأ حل المعادلات الخطية

ضع في اعتبارك كيفية تحديد ما إذا كانت معادلة خطية معينة لها جذور ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكم عددها وكيفية تحديدها.

التعريف 3

يتم تحديد حقيقة وجود جذور المعادلة الخطية من خلال قيم المعاملات أو ب.لنكتب هذه الشروط:

• في أ ≠ 0المعادلة الخطية لها جذر واحد x = - b a ؛
• في أ = 0و ب ≠ 0المعادلة الخطية ليس لها جذور ؛
• في أ = 0و ب = 0المعادلة الخطية لها عدد لا نهائي من الجذور. في الواقع ، في هذه الحالة ، يمكن لأي رقم أن يصبح جذرًا لمعادلة خطية.

دعونا نعطي تفسيرا. نعلم أنه في عملية حل المعادلة ، من الممكن تحويل معادلة معينة إلى معادلة مكافئة ، مما يعني أن لها نفس جذور المعادلة الأصلية ، أو ليس لها جذور أيضًا. يمكننا إجراء التحولات المكافئة التالية:

• نقل المصطلح من جزء إلى آخر ، وتغيير الإشارة إلى العكس ؛
• اضرب أو اقسم طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفري.

وهكذا نقوم بتحويل المعادلة الخطية أ س + ب = 0، تحريك المصطلح بمن الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن مع تغيير علامة. نحن نحصل: أ · س = - ب.

لذلك ، نقسم كلا جزئي المعادلة على عدد غير صفري أ،مما أدى إلى المساواة في الشكل x = - b a. ذلك حين أ ≠ 0المعادلة الأصلية أ س + ب = 0يعادل المساواة x = - b a ، حيث يكون الجذر - b a واضحًا.

من خلال التناقض ، من الممكن إثبات أن الجذر الموجود هو الوحيد. قمنا بتعيين تعيين الجذر الموجود - b a as × 1.لنفترض أن هناك جذرًا إضافيًا للمعادلة الخطية مع الترميز × 2.وبالطبع: × 2 × 1 ،وهذا بدوره بناءً على تعريف الأعداد المتساوية من خلال الاختلاف ، يعادل الشرط × 1 - × 2 0.في ضوء ما سبق ، يمكننا تكوين المساواة التالية عن طريق استبدال الجذور:
أ س 1 + ب = 0و أ · س 2 + ب = 0.
تجعل خاصية المساواة العددية من الممكن إجراء طرح مصطلح على حدة لأجزاء من المساواة:

أ س 1 + ب - (أ س 2 + ب) = 0 - 0، من هنا: أ (س 1 - س 2) + (ب - ب) = 0وما بعدها أ (× 1 - × 2) = 0.المساواة أ (× 1 - × 2) = 0غير صحيح ، لأن الشرط سبق أن أعطيت ذلك أ ≠ 0و × 1 - × 2 0.التناقض الذي تم الحصول عليه بمثابة دليل على أن في أ ≠ 0معادلة خط مستقيم أ س + ب = 0له جذر واحد فقط.

دعونا ندعم فقرتين أخريين من الشروط التي تحتوي على أ = 0.

متي أ = 0معادلة خط مستقيم أ س + ب = 0سيتم كتابتها كـ 0 س + ب = 0. تمنحنا خاصية ضرب رقم في صفر الحق في التأكيد على أنه بغض النظر عن الرقم الذي يتم اعتباره x، واستبدالها بالمساواة 0 س + ب = 0، نحصل على ب = 0. المساواة صالحة لـ b = 0 ؛ في حالات أخرى عندما ب ≠ 0تصبح المساواة باطلة.

وهكذا متى أ = 0و ب = 0 , أي رقم يمكن أن يكون جذر المعادلة الخطية أ س + ب = 0، لأنه في ظل هذه الظروف ، يتم الاستبدال بدلاً من xأي رقم ، نحصل على المساواة العددية الصحيحة 0 = 0 . متي أ = 0و ب ≠ 0معادلة خط مستقيم أ س + ب = 0لن يكون له جذور على الإطلاق ، لأنه في ظل الظروف المحددة ، يتم الاستبدال بدلاً من xأي رقم ، نحصل على مساواة عددية غير صحيحة ب = 0.

يمنحنا كل التفكير أعلاه الفرصة لكتابة خوارزمية تجعل من الممكن إيجاد حل لأي معادلة خطية:

• حسب نوع السجل نحدد قيم المعاملات أو بوتحليلها.
• في أ = 0و ب = 0سيكون للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور ، أي أي رقم سيصبح جذر المعادلة المعطاة ؛
• في أ = 0و ب ≠ 0
• في أ، بخلاف الصفر ، نبدأ في البحث عن الجذر الوحيد للمعادلة الخطية الأصلية:

1. معامل التحويل بإلى الجانب الأيمن مع تغيير الإشارة إلى العكس ، وبذلك تصبح المعادلة الخطية في النموذج أ س = − ب ؛
2. قسّم كلا الجزأين من المساواة الناتجة على الرقم أ، والذي سيعطينا الجذر المطلوب للمعادلة المعطاة: x = - b a.

في الواقع ، تسلسل الإجراءات الموصوف هو إجابة السؤال عن كيفية إيجاد حل لمعادلة خطية.

أخيرًا ، نوضح تلك المعادلات بالصيغة أ س = بيتم حلها بواسطة خوارزمية مماثلة مع الاختلاف الوحيد في الرقم بفي مثل هذا الترميز تم نقله بالفعل إلى الجزء المطلوب من المعادلة ، ومتى أ ≠ 0يمكنك قسمة أجزاء المعادلة على الفور على رقم أ.

وبالتالي ، لإيجاد حل للمعادلة أ س = ب ،نستخدم الخوارزمية التالية:

• في أ = 0و ب = 0سيكون للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور ، أي يمكن لأي رقم أن يصبح جذره ؛
• في أ = 0و ب ≠ 0لن يكون للمعادلة المعطاة جذور ؛
• في أ، لا يساوي الصفر ، كلا طرفي المعادلة يقبلان القسمة على الرقم أ، مما يجعل من الممكن إيجاد جذر واحد يساوي ب أ.

أمثلة على حل المعادلات الخطية

مثال 3

من الضروري حل معادلة خطية 0 س - 0 = 0.

المحلول

من خلال كتابة المعادلة المعطاة ، نرى ذلك أ = 0و ب = -0(أو ب = 0وهو نفس الشيء). وبالتالي ، يمكن أن تحتوي معادلة معينة على عدد لا نهائي من الجذور أو أي عدد.

إجابه: x- أي رقم.

مثال 4

من الضروري تحديد ما إذا كانت المعادلة لها جذور 0 س + 2 ، 7 = 0.

المحلول

من السجل ، نحدد أن أ \ u003d 0 ، ب \ u003d 2 ، 7. وبالتالي ، فإن المعادلة المعطاة لن يكون لها جذور.

إجابه:المعادلة الخطية الأصلية ليس لها جذور.

مثال 5

بالنظر إلى معادلة خطية 0 ، 3 س - 0 ، 027 = 0.يجب حلها.

المحلول

بكتابة المعادلة ، نحدد أن أ \ u003d 0 ، 3 ؛ ب = - 0 ، 027 ، مما يسمح لنا بالتأكيد على أن المعادلة المعطاة لها جذر واحد.

باتباع الخوارزمية ، نقوم بنقل b إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، وتغيير العلامة ، نحصل على: 0.3 × = 0.027.بعد ذلك ، نقسم كلا الجزأين من المساواة الناتجة على \ u003d 0 ، 3 ، ثم: x \ u003d 0 ، 027 0 ، 3.

دعونا نقسم الكسور العشرية:

0.027 0.3 = 27300 = 3 9 3100 = 9100 = 0.09

النتيجة التي تم الحصول عليها هي جذر المعادلة المعطاة.

اكتب الحل باختصار على النحو التالي:

0، 3 x - 0، 027 = 0، 0، 3 x = 0، 027، x = 0، 027 0، 3، x = 0، 09.

إجابه:س = 0 ، 09.

من أجل الوضوح ، نقدم حل معادلة التسجيل أ س = ب.

مثال N

تعطى المعادلات: 1) 0 x = 0 ؛ 2) 0 × = - 9 ؛ 3) - 3 8 س = - 3 3 4 . من الضروري حلها.

المحلول

جميع المعادلات المعطاة تتوافق مع السجل أ س = ب. دعونا ننظر في الأمر بدوره.

في المعادلة 0 س = 0 ، أ = 0 و ب = 0، مما يعني: يمكن أن يكون أي رقم هو جذر هذه المعادلة.

في المعادلة الثانية 0 س = - 9: أ = 0 ، ب = - 9 ،وبالتالي ، فإن هذه المعادلة لن يكون لها جذور.

بصيغة المعادلة الأخيرة - 3 8 x = - 3 3 4 نكتب المعاملات: أ = - 3 8 ، ب = - 3 3 4 ، أي المعادلة لها جذر واحد. لنجده. دعنا نقسم طرفي المعادلة على أ ، ونحصل على النتيجة: س = - 3 3 4 - 3 8. لنبسط الكسر بتطبيق قاعدة قسمة الأعداد السالبة ، ثم تحويل العدد الكسري إلى كسر عادي وقسمة الكسور العادية:

3 3 4-3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

اكتب الحل باختصار على النحو التالي:

3 8 س = - 3 3 4 ، س = - 3 3 4-3 8 ، س = 10.

إجابه: 1) x- أي عدد ، 2) ليس للمعادلة جذور ، 3) س = 10.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter