ما هي النقاط الثابتة للدالة. النقاط الحرجة للدالة

النقاط الثابتة للدالة. شرط ضروريالطرف المحلي للوظيفة

أولاً شرط كافالحد الأقصى المحلي

الشرطان الثاني والثالث كافيان لحدود محلية

أصغر وأكبر قيم للدالة في مقطع

وظائف محدبة ونقاط انعطاف

1. نقاط ثابتة للدالة. شرط ضروري للوظيفة المحلية القصوى

التعريف 1 . دع الوظيفة يتم تعريفها على
. نقطة تسمى النقطة الثابتة للوظيفة
، إذا
متباينة عند نقطة و
.

النظرية 1 (شرط ضروري للوظيفة المحلية القصوى) . دع الوظيفة
مصمم على
ولها في هذه النقطة
المحلية المتطرفة. ثم يتم استيفاء أحد الشروط التالية:

وبالتالي ، من أجل العثور على النقاط المشبوهة من الحد الأقصى ، من الضروري إيجاد نقاط ثابتة للوظيفة والنقاط التي لا يوجد فيها مشتق الوظيفة ، ولكنها تنتمي إلى مجال الوظيفة.

مثال . يترك
. ابحث عن نقاط مشبوهة بالنسبة للأطراف المتطرفة. لحل المشكلة ، أولاً وقبل كل شيء ، نجد مجال الوظيفة:
. نجد الآن مشتق الدالة:

النقاط التي لا يوجد فيها المشتق:
. نقاط الوظيفة الثابتة:

لأن و
، و
تنتمي إلى مجال تعريف الوظيفة ، فسيكون كلاهما مشبوهًا بالنسبة إلى أقصى حد. ولكن من أجل استنتاج ما إذا كان سيكون هناك بالفعل حد أقصى ، من الضروري تطبيق شروط كافية للأقصى.

2. أول شرط كاف لأقصى محلي

النظرية 1 (أول شرط كافٍ لحدود محلية) . دع الوظيفة
مصمم على
ويتم تمييزها في هذه الفترة الزمنية في كل مكان ، باستثناء ربما عند هذه النقطة
، ولكن في هذه المرحلة وظيفة
مستمر. إذا كان هناك مثل هذه الأحياء اليمنى واليسرى لنقطة ما ، في كل منها
يحتفظ بعلامة معينة ، إذن

1) الوظيفة
له طرف محلي عند النقطة ، إذا
يأخذ قيم علامات مختلفة في الأحياء شبه المقابلة ؛

2) الوظيفة
لا يحتوي على حد أقصى محلي عند هذه النقطة ، إذا كان على يمين ويسار النقطة
له نفس العلامة.

دليل - إثبات . 1) افترض أن في أحد الأحياء
المشتق
، و في

.

هكذا عند النقطة وظيفة
له طرف محلي ، أي الحد الأقصى المحليالتي كان من المقرر إثباتها.

2) افترض أن على يسار ويمين النقطة المشتق يحتفظ بعلامته ، على سبيل المثال ،
. ثم على
و
وظيفة
زيادة رتيبة بشكل صارم ، أي:

وبالتالي الحد الأقصى عند هذه النقطة وظيفة
لا ، الذي كان يجب إثباته.

ملاحظة 1 . إذا كان المشتق
عند المرور عبر نقطة يغير علامة من "+" إلى "-" ، ثم في هذه النقطة وظيفة
لها حد أقصى محلي ، وإذا تغيرت العلامة من "-" إلى "+" ، فإن الحد الأدنى المحلي.

ملاحظة 2 . شرط مهم هو استمرارية الوظيفة
في هذه النقطة . إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فقد لا تصمد النظرية 1.

مثال . تعتبر الوظيفة (الشكل 1):

تم تعريف هذه الوظيفة على ومستمر في كل مكان باستثناء النقطة
، حيث يوجد انقطاع قابل للإزالة. عند المرور عبر نقطة

يغير علامة من "-" إلى "+" ، لكن الوظيفة ليس لها حد أدنى محلي في هذه المرحلة ، ولكن لها حد أقصى محلي حسب التعريف. في الواقع ، بالقرب من النقطة
من الممكن بناء مثل هذا الحي بحيث تكون قيم الوظيفة أقل من القيمة لجميع الوسائط من هذا الحي
. لم تنجح النظرية 1 لأنه عند هذه النقطة
الوظيفة لديها فاصل.

ملاحظة 3 . لا يمكن استخدام الشرط المحلي الأقصى الكافي عند اشتقاق الوظيفة
يغير علامته في كل يسار وكل نصف حي يمين للنقطة .

مثال . الوظيفة التي يتم النظر فيها هي:

بسبب ال
، ومن بعد
، وبالتالي
، لكن
. في هذا الطريق:

,

أولئك. في هذه النقطة
وظيفة
لديها الحد الأدنى المحليحسب التعريف. دعنا نرى ما إذا كان الشرط الكافي الأول للنقطة القصوى المحلية يعمل هنا.

إلى عن على
:

بالنسبة للمصطلح الأول على الجانب الأيمن من الصيغة الناتجة ، لدينا:

,

وبالتالي في حي صغير من النقطة
يتم تحديد علامة المشتق بعلامة المصطلح الثاني ، أي:

,

مما يعني أنه في أي حي من النقطة

سوف تقبل كلا من الإيجابية و القيم السالبة. في الواقع ، فكر في الجوار التعسفي للنقطة
:
. متي

,

ومن بعد

(الشكل 2) و يغير علامته هنا عدة مرات بلا حدود. وبالتالي ، لا يمكن استخدام الشرط الكافي الأول لنقطة نهائية محلية في المثال أعلاه.

تعريفات:

أقصىيسمى الحد الأقصى الحد الأدنى للقيمةوظائف على مجموعة معينة.

نقطة متطرفةهي النقطة التي يتم عندها الوصول إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة الوظيفة.

أقصى نقطةهي النقطة التي يتم عندها الوصول إلى القيمة القصوى للدالة.

نقطة منخفضةهي النقطة التي يتم عندها الوصول إلى الحد الأدنى لقيمة الوظيفة.

تفسير.

في الشكل ، بالقرب من النقطة x = 3 ، تصل الوظيفة إلى أقصى قيمتها (أي ، بالقرب من هذه النقطة بالذات ، لا توجد نقطة أعلى). في الجوار x = 8 ، مرة أخرى لها قيمة قصوى (مرة أخرى ، دعنا نوضح: في هذا الحي لا توجد نقطة أعلاه). في هذه النقاط ، يتم استبدال الزيادة بنقصان. هم الحد الأقصى من النقاط:

xmax = 3 ، xmax = 8.

بالقرب من النقطة x = 5 ، يتم الوصول إلى الحد الأدنى لقيمة الوظيفة (أي بالقرب من x = 5 ، لا توجد نقطة أدناه). في هذه المرحلة ، يتم استبدال الانخفاض بالزيادة. إنها النقطة الدنيا:

الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط هي النقاط القصوى للدالة، وقيم الوظيفة في هذه النقاط هي المتطرفين.

النقاط الحرجة والثابتة للوظيفة:

شرط ضروري لأقصى حد:

شرط كاف لأقصى حد:

في المقطع ، الوظيفة ذ = F(x) يمكن أن تصل إلى الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمته إما في النقاط الحرجة أو في نهايات المقطع.

خوارزمية البحث وظيفة مستمرة ذ = F(x) للرتابة والقصور القصوى:

مجال الدالة ، احسب مشتقها ، أوجد مجال مشتق الدالة ، أوجد نقاطتحويل المشتق إلى الصفر ، يثبت أن النقاط الموجودة تنتمي إلى مجال تعريف الوظيفة الأصلية.

مثال 1 تحديد الحرجة نقاطالدوال y = (x - 3) ² (x-2).

الحل: ابحث عن نطاق الوظيفة ، بتنسيق هذه القضيةبلا قيود: x ∈ (-؛ + ∞)؛ احسب المشتق y '. وفقًا لقواعد اشتقاق حاصل ضرب اثنين ، هناك: y '= ((x - 3) ²)' (x - 2) + (x - 3) ² (x - 2) '= 2 (x - 3) (س - 2) + (س - 3) ² 1. بعد أن اتضح معادلة من الدرجة الثانية: ص '= 3 ײ - 16 × + 21.

أوجد مجال مشتق الدالة: x ∈ (-∞؛ + ∞). حل المعادلة 3 x² - 16 x + 21 = 0 لإيجاد التي تختفي بسببها: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

د \ u003d 256-252 \ u003d 4x1 \ u003d (16 + 2) / 6 \ u003d 3 ؛ x2 = (16 - 2) / 6 = 7/3 لذا فإن المشتق يختفي لقيم x التي تساوي 3 و 7/3.

حدد ما إذا كانت العناصر التي تم العثور عليها تنتمي نقاطمجالات الوظيفة الأصلية. منذ س (-∞ ؛ + ∞) ، ثم كلاهما نقاطتعتبر بالغة الأهمية.

مثال 2 تحديد الحرجة نقاطدوال y = x² - 2 / x.

مجال الحل للدالة: x ∈ (-∞؛ 0) ∪ (0؛ + ∞) بما أن x في المقام. احسب المشتق y '= 2 x + 2 / x².

مجال مشتق الوظيفة هو نفسه مجال الأصل: x ∈ (-∞؛ 0) ∪ (0؛ + ∞). حل المعادلة 2 x + 2 / x² = 0: 2 x = -2 / س² → س = -واحد.

لذا ، فإن المشتق يتلاشى عند x = -1. تم استيفاء حالة حرجة ضرورية ولكنها غير كافية. نظرًا لأن x = -1 يقع في الفترة الزمنية (-∞ ؛ 0) ∪ (0 ؛ + ∞) ، فإن هذه النقطة حرجة.

مصادر:

• حجم المبيعات الحرج ، أجهزة الكمبيوتر

تعاني العديد من النساء من متلازمة ما قبل الحيض ، والتي لا تظهر فقط من خلال الإحساس بالألم ، ولكن أيضًا من خلال زيادة الشهية. نتيجة لذلك ، يمكن أن تؤدي الأيام الحرجة إلى إبطاء عملية فقدان الوزن بشكل كبير.

أسباب زيادة الشهية خلال الأيام الحرجة

سبب زيادة الشهية خلال فترة الأيام الحرجة هو تغير في الخلفية الهرمونية العامة في جسد الأنثى. قبل أيام قليلة من بدء الدورة الشهرية ، يرتفع مستوى هرمون البروجسترون ، ويتحول الجسم إلى ما هو ممكن ويحاول تكوين احتياطيات إضافية من الطاقة على شكل دهون في الجسم ، حتى لو كانت المرأة جالسة. وبالتالي ، فإن تغيير الوزن في الأيام الحرجة هو ظاهرة طبيعية.

كيف تأكل أثناء الحيض

حاول ألا تأكل الحلويات والحلويات وغيرها من الأطعمة ذات السعرات الحرارية العالية التي تحتوي على "سريع" هذه الأيام. سيتم إيداع فائضها على الفور في الدهون. تريد العديد من النساء خلال هذه الفترة تناول الشوكولاتة حقًا ، وفي هذه الحالة يمكنك شراء الشوكولاتة الداكنة وتدليل نفسك ببضع شرائح ، ولكن ليس أكثر. لا تستخدم أثناء الحيض مشروبات كحوليةومخللات ومخللات ولحوم مدخنة وبذور ومكسرات. يجب أن تكون المخللات واللحوم المدخنة محدودة بشكل عام في النظام الغذائي قبل 6-8 أيام من بداية الدورة الشهرية ، حيث أن هذه المنتجات تزيد من احتياطي الماء في الجسم ، وتتميز هذه الفترة بزيادة تراكم السوائل. لتقليل كمية الملح في نظامك الغذائي ، قم بإضافته إلى نظامك الغذائي الكمية الدنيافي وجبات جاهزة.

يوصى باستخدام منتجات الألبان قليلة الدسم والأطعمة النباتية والحبوب. البقوليات والبطاطا المسلوقة والأرز ستكون مفيدة - المنتجات التي تحتوي على الكربوهيدرات "البطيئة". ستساعد المأكولات البحرية والكبد والأسماك ولحم البقر والدواجن والبيض والبقوليات والفواكه المجففة على تعويض فقدان الحديد. ستكون نخالة القمح مفيدة. رد فعل طبيعيأثناء الحيض انتفاخ. تساعد الأعشاب المدرة للبول على تصحيح الحالة: الريحان والشبت والبقدونس والكرفس. يمكن استخدامها كتوابل. في النصف الثاني من الدورة ، يوصى باستهلاك منتجات البروتين (اللحوم والأسماك الخالية من الدهون ومنتجات الألبان) ، ويجب تقليل كمية الكربوهيدرات في النظام الغذائي قدر الإمكان.

المفهوم الاقتصاديالحجم الحرج مبيعاتيتوافق مع وضع المؤسسة في السوق ، حيث تكون عائدات بيع البضائع ضئيلة. تسمى هذه الحالة بنقطة التعادل ، عندما ينخفض ​​الطلب على المنتجات وتغطي الأرباح بالكاد التكلفة. لتحديد الحجم الحرج مبيعاتاستخدم عدة طرق.

تعليمات

لا تقتصر دورة العمل على أنشطتها - الإنتاج أو الخدمات. هذا عمل معقد لهيكل معين ، بما في ذلك عمل الموظفين الرئيسيين ، وموظفي الإدارة ، والمديرين ، وما إلى ذلك ، وكذلك الاقتصاديين ، الذين تتمثل مهمتهم في التحليل المالي للمؤسسة.

الغرض من هذا التحليل هو حساب بعض الكميات التي تؤثر بدرجة أو بأخرى على حجم الربح النهائي. هو - هي أنواع مختلفةحجم الإنتاج والمبيعات ، كامل ومتوسط ​​، مؤشرات الطلب ، إلخ. وتتمثل المهمة الرئيسية في تحديد مثل هذا الحجم من الإنتاج حيث يتم إنشاء علاقة مستقرة بين التكاليف والأرباح.

الحجم الأدنى مبيعات، حيث يغطي الدخل التكاليف بالكامل ، لكنه لا يزيد من رأس مال الشركة ، يسمى الحجم الحرج مبيعات. هناك ثلاث طرق لحساب طريقة هذا المؤشر: طريقة المعادلات والدخل الهامشي والرسم البياني.

لتحديد الحجم الحرج مبيعاتوفقًا للطريقة الأولى ، قم بعمل معادلة بالشكل: Vp - Zper - Zpos \ u003d Pp \ u003d 0 ، حيث: Vp - الإيرادات من مبيعاتو ؛ Zper و Zpos - التكاليف المتغيرة والثابتة ؛ Pp - الربح من مبيعاتو.

وفقًا لطريقة أخرى ، المصطلح الأول ، الإيرادات من مبيعات، تمثل ناتج دخل هامشي من وحدة سلع بالحجم مبيعاتالشيء نفسه ينطبق على التكاليف المتغيرة. تنطبق التكاليف الثابتة على مجموعة البضائع بأكملها ، لذا اترك هذا المكون شائعًا: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

عبر عن قيمة N من هذه المعادلة ، وستحصل على الحجم الحرج مبيعات: N = Zpos / (MD - Zper1) ، حيث Zper1 - التكاليف المتغيرة لكل وحدة من السلع.

طريقة الرسميتضمن البناء. تنطبق على خطة تنسيقسطرين: وظيفة الإيرادات من مبيعاتمطروحًا منه دالة التكلفة والربح. على محور الإحداثي ، ارسم حجم الإنتاج ، وعلى المحور الإحداثي ، الدخل من كمية السلع المقابلة ، معبرًا عنها بـ وحدات نقدية. نقطة تقاطع هذه الخطوط تتوافق مع الحجم الحرج مبيعات، موقف التعادل.

مصادر:

• كيفية تحديد العمل الحاسم

التفكير النقديعبارة عن مجموعة من الأحكام التي يتم على أساسها تكوين استنتاجات معينة ، وتقييم موضوعات النقد. إنها سمة خاصة للباحثين والعلماء من جميع فروع العلم. يحتل التفكير النقدي مستوى أعلى من التفكير العادي.

قيمة الخبرة في تكوين التفكير النقدي

من الصعب تحليل ما لا تفهمه جيدًا واستخلاص النتائج منه. لذلك ، من أجل تعلم التفكير النقدي ، من الضروري دراسة الأشياء في جميع الروابط والعلاقات الممكنة مع الظواهر الأخرى. إلى جانب أهمية عظيمةفي هذه الحالة ، يمتلك معلومات حول هذه الأشياء ، والقدرة على بناء سلاسل منطقية من الأحكام واستخلاص استنتاجات معقولة.

على سبيل المثال ، احكم على القيمة عمل فنيممكن فقط من خلال معرفة ما يكفي من الفواكه الأخرى النشاط الأدبي. في الوقت نفسه ، ليس سيئًا أن تكون خبيرًا في تاريخ تطور البشرية وتكوين الأدب و انتقاد أدبي. بعيدا عن السياق التاريخيقد يفقد العمل معناه المقصود. من أجل أن يكون تقييم العمل الفني كاملاً ومبررًا بشكل كافٍ ، من الضروري أيضًا استخدام معرفتك الأدبية ، والتي تتضمن قواعد البناء نص فنيضمن الأنواع الفردية ، نظام مختلف الأجهزة الأدبيةوالتصنيف والتحليل الأنماط الموجودةوالاتجاهات في الأدب ، إلخ. في الوقت نفسه ، من المهم أيضًا دراسة المنطق الداخلي للحبكة ، وتسلسل الإجراءات ، ووضع الشخصيات وتفاعلها في عمل فني.

ميزات التفكير النقدي

تشمل الميزات الأخرى للتفكير النقدي ما يلي:
- المعرفة حول الكائن قيد الدراسة ليست سوى نقطة البداية لمزيد من المعلومات نشاط المخالمرتبطة ببناء السلاسل المنطقية ؛
- مبني باستمرار ويعتمد على الفطرة السليمةيؤدي التفكير إلى تحديد المعلومات الصحيحة والخاطئة حول الكائن قيد الدراسة ؛
- يرتبط التفكير النقدي دائمًا بتقييم المعلومات المتوفرة عنه كائن معينوالاستنتاجات المقابلة ، التقييم ، بدوره ، مرتبط بالمهارات المتاحة بالفعل.

على عكس التفكير العادي ، لا يخضع التفكير النقدي للإيمان الأعمى. يسمح التفكير النقدي النظام بأكملهأحكام حول موضوع النقد لفهم جوهره وكشفه المعرفة الحقيقيةعنها ودحض الباطل. وهو يقوم على المنطق والعمق واكتمال الدراسة والصدق وكفاية واتساق الأحكام. في الوقت نفسه ، يتم قبول البيانات الواضحة والمثبتة كمسلمات ولا تتطلب إثباتًا وتقييمًا متكررًا.

نقاط حرجة هي النقاط التي يكون عندها مشتق الدالة مساويًا للصفر أو غير موجود. إذا كان المشتق يساوي 0 ، فستأخذ الوظيفة عند هذه النقطة الحد الأدنى المحلي أو الحد الأقصى. على الرسم البياني في مثل هذه النقاط ، فإن الوظيفة لها خط مقارب أفقي، وهذا يعني أن الظل يوازي المحور x.

تسمى هذه النقاط ثابت. إذا رأيت "حدبًا" أو "ثقبًا" على مخطط دالة متصلة ، فتذكر أنه تم الوصول إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى عند النقطة الحرجة. ضع في اعتبارك المهمة التالية كمثال.

مثال 1 أوجد النقاط الحرجة للدالة y = 2x ^ 3-3x ^ 2 + 5.
المحلول. خوارزمية إيجاد النقاط الحرجة هي كما يلي:

إذن للدالة نقطتان حرجتان.

علاوة على ذلك ، إذا كنت بحاجة إلى دراسة الوظيفة ، فإننا نحدد علامة المشتق على يسار ويمين النقطة الحرجة. إذا تغير المشتق إشارة من "-" إلى "+" عند المرور عبر نقطة حرجة ، فإن الوظيفة تأخذ الحد الأدنى المحلي. إذا كان من "+" إلى "-" يجب الحد الأقصى المحلي.

النوع الثاني من النقاط الحرجةهذه هي أصفار مقام الدوال الكسرية وغير المنطقية

الدالات ذات اللوغاريتمات والمثلثات التي لم يتم تعريفها في هذه النقاط


النوع الثالث من النقاط الحرجةلها وظائف ووحدات نمطية مستمرة متعددة التعريفات.
على سبيل المثال ، أي وحدة نمطية لها حد أدنى أو أقصى عند نقطة فاصل.

على سبيل المثال الوحدة النمطية y = | x -5 | عند النقطة x = 5 لها حد أدنى (نقطة حرجة).
المشتق غير موجود فيه ، ولكن على اليمين وعلى اليسار يأخذ القيمة 1 و -1 ، على التوالي.

حاول تحديد النقاط الحرجة للوظائف

1)
2)
3)
4)
5)

إذا ردا على ذلك تحصل على القيمة
1) س = 4 ؛
2) س = -1 ؛ س = 1 ؛
3) س = 9 ؛
4) س = باي * ك ؛
5) س = 1.
فأنت تعلم بالفعل كيف تجد النقاط الحرجةوتكون قادرًا على التعامل مع عنصر تحكم أو اختبارات بسيطة.

تأمل الشكل التالي.

يظهر الرسم البياني للدالة y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. ضع في اعتبارك بعض الفترات التي تحتوي على النقطة x = 0 ، على سبيل المثال من -1 إلى 1. تسمى هذه الفترة أيضًا مجاورة النقطة x = 0. كما ترى في الرسم البياني ، في هذا الحي ، الدالة y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 يأخذ أعلى قيمةبالضبط عند النقطة س = 0.

الحد الأقصى والأدنى للدالة

في هذه الحالة ، النقطة x = 0 تسمى النقطة القصوى للدالة. بالتشابه مع هذا ، فإن النقطة x = 2 تسمى النقطة الدنيا للدالة y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. نظرًا لوجود مثل هذا الجوار لهذه النقطة حيث ستكون القيمة عند هذه النقطة ضئيلة بين جميع القيم الأخرى من هذا الحي.

نقطة أقصىتسمى الوظيفة f (x) بالنقطة x0 ، بشرط أن يكون هناك جوار للنقطة x0 بحيث لا يساوي x0 من هذا الحي ، المتباينة f (x)< f(x0).

نقطة الحد الأدنىتسمى الوظيفة f (x) بالنقطة x0 ، بشرط أن يكون هناك جوار للنقطة x0 بحيث يتم استيفاء عدم المساواة f (x)> f (x0) لكل x لا يساوي x0 من هذا الحي.

عند الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظائف ، فإن قيمة مشتق الدالة تساوي صفرًا. لكن هذا ليس شرطًا كافيًا لوجود دالة عند الحد الأقصى أو الحد الأدنى.

على سبيل المثال ، الدالة y = x ^ 3 عند النقطة x = 0 لها مشتق يساوي صفرًا. لكن النقطة س = 0 ليست الحد الأدنى أو الحد الأقصى للدالة. كما تعلم ، تزيد الدالة y = x ^ 3 على المحور الحقيقي بأكمله.

وبالتالي ، ستكون النقاط الدنيا والقصوى دائمًا من بين جذر المعادلة f '(x) = 0. ولكن لن تكون كل جذور هذه المعادلة نقاطًا قصوى أو دنيا.

النقاط الثابتة والحرجة

تسمى النقاط التي تكون فيها قيمة مشتق الدالة مساوية للصفر بالنقاط الثابتة. يمكن أن تكون هناك أيضًا نقاط بحد أقصى أو أدنى عند النقاط التي لا يوجد فيها مشتق الوظيفة على الإطلاق. على سبيل المثال ، y = | x | عند النقطة x = 0 لها حد أدنى ، لكن المشتق غير موجود في هذه المرحلة. ستكون هذه النقطة هي النقطة الحرجة للوظيفة.

النقاط الحرجة للدالة هي النقاط التي يكون فيها المشتق مساويًا للصفر ، أو أن المشتق غير موجود في هذه المرحلة ، أي أن الوظيفة في هذه النقطة غير قابلة للاشتقاق. من أجل العثور على الحد الأقصى أو الأدنى لوظيفة ما ، يجب استيفاء شرط كاف.

لنفترض أن f (x) تكون دالة قابلة للتفاضل في الفترة (أ ؛ ب). تنتمي النقطة x0 إلى هذا الفاصل الزمني و f '(x0) = 0. ثم:

1. عند المرور عبر النقطة الثابتة x0 ، تشير الدالة f (x) ومشتقاتها من "زائد" إلى "ناقص" ، فإن النقطة x0 هي النقطة القصوى للدالة.

2. عند المرور عبر النقطة الثابتة x0 ، تشير الدالة f (x) ومشتقاتها من "ناقص" إلى "زائد" ، فإن النقطة x0 هي النقطة الدنيا للدالة.