إثبات عدم المساواة من الاعتبارات الهندسية. إثبات وحل عدم المساواة

هدفك:معرفة طرق إثبات عدم المساواة والقدرة على تطبيقها.

الجزء العملي

مفهوم إثبات عدم المساواة . بعض التفاوتات تتحول إلى حقيقة عدم المساواة العدديةللجميع القيم المسموح بهاالمتغيرات أو على مجموعة معينة من القيم المتغيرة. على سبيل المثال ، عدم المساواة أ 2 ³0 ، ( أ–ب) 2 ³ 0 ، أ 2 + ب 2 + ج 2 " ³ 0 صحيحة لأي قيم حقيقية للمتغيرات ، والمتباينة ³ 0 – لأي قيم حقيقية غير سلبية أ.في بعض الأحيان تنشأ مشكلة إثبات عدم المساواة.

إن إثبات عدم المساواة يعني إظهار أن متباينة معينة تتحول إلى متباينة عددية حقيقية لجميع القيم المقبولة للمتغيرات أو لمجموعة معينة من القيم لهذه المتغيرات.

طرق إثبات عدم المساواة.لاحظ أنه لا توجد طريقة عامة لإثبات عدم المساواة. ومع ذلك ، يمكن تحديد بعضها.

1. طريقة لتقدير علامة الاختلاف بين الجزأين الأيمن والأيسر من المتباينة.يتم تجميع الفرق بين الجزأين الأيمن والأيسر من عدم المساواة ويتم تحديد ما إذا كان هذا الاختلاف موجبًا أم سالبًا للقيم المدروسة للمتغيرات (بالنسبة لعدم المساواة غير الصارمة ، من الضروري تحديد ما إذا كان هذا الاختلاف غير - سلبي أو غير إيجابي).

مثال 1. لأي أرقام حقيقية أو بهناك عدم مساواة

أ 2 + ب 2³2 أب. (1)

دليل - إثبات. اكتب الفرق بين الجزأين الأيمن والأيسر من عدم المساواة:

أ 2 + ب 2 – 2أب = أ 2 – 2أب + ب 2 = (أ-ب) 2 .

بما أن مربع أي رقم حقيقي هو رقم غير سالب ، إذن ( أ-ب) 2 ³ 0 أي أن أ 2 + ب 2³2 أبلأية أرقام حقيقية أو ب.تظل المساواة في (1) صحيحة إذا وفقط إذا أ = ب.

مثال 2. برهن على ذلك إذا أ³ 0 و ب³ 0 ثم ³ أي الوسط الحسابي للأرقام الحقيقية غير السالبة أو بأقل من الوسط الهندسي.

دليل - إثبات. اذا كان أ³ 0 و ب³ 0 ، إذن

³ 0. ومن ثم ، ³.

2. طريقة استنتاجيةدليل على عدم المساواة.جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: باستخدام سلسلة من التحولات ، يتم اشتقاق عدم المساواة المطلوبة من بعض التفاوتات (المرجعية) المعروفة. على سبيل المثال ، يمكن استخدام التفاوتات التالية كمرجع: أ 2 ³ 0 لأي أÎ ر ; (أ-ب) 2 ³ 0 لأي أو بÎ ر ; (أ 2 + ب 2) ³ 2 أبلأي أ ، بÎ ر ; ³ في أ ³ 0, ب ³ 0.

مثال 3. إثبات ذلك لأي أرقام حقيقية أو بهناك عدم مساواة

أ 2 + ب 2 + مع 2³ أب + bc + ac.

دليل - إثبات. من المتباينات الصحيحة ( أ-ب) 2 ³ 0 ، ( ب – ج) 2 ³ 0 و ( ج – أ) 2 ³ 0 يتبع ذلك أ 2 + ب 2³2 أب, ب 2 + ج 2³2 قبل الميلاد, ج 2 + أ 2³2 أ.بجمع جميع المتباينات الثلاثة على حدها وقسمة كلا الجزأين من المتباينات الجديدة على 2 ، نحصل على المتباينة المطلوبة.

يمكن أيضًا إثبات عدم المساواة الأصلية بالطريقة الأولى. في الواقع، أ 2 + ب 2 + مع 2 –أب- bc-ac = 0,5(2أ 2 + 2ب 2 + 2مع 2 – 2أب- 2قبل الميلاد- 2أ) = = 0,5((أ-ب) 2 + (أ-ج) 2 + (قبل الميلاد) 2) ³ 0.

الفرق بين أ 2 + ب 2 + مع 2 و أب + bc + acأكبر من أو يساوي الصفر ، مما يعني أن أ 2 + ب 2 + مع 2³ أب + bc + ac(المساواة صحيحة إذا وفقط إذا أ = ب = ج).

3. طريقة التقديرات في إثبات عدم المساواة.

مثال 4. برهن على عدم المساواة

+ + + … + >

دليل - إثبات. من السهل أن نرى أن الجانب الأيسر من المتباينة يحتوي على 100 حد ، كل منها لا يقل عن. في هذه الحالة ، نقول إنه يمكن تقدير الطرف الأيسر من المتباينة من الأسفل على النحو التالي:

+ + + … + > = 100 = .

4. طريقة الحث الكامل.جوهر الطريقة هو النظر في جميع الحالات الخاصة التي تغطي حالة المشكلة ككل.

مثال 5. برهن على ذلك إذا x> ï فيï , ومن بعد س> ص.

دليل - إثبات. حالتان ممكنتان:

أ) في³ 0 ; ثم انا فيï = ص ،وبحسب الشرط x>ï فيï . وسائل، س> ص ؛

ب) في< 0 ؛ ثم انا فيï > ذوبحسب الشرط x>ï فيأقصد س> ص.

الجزء العملي

المهمة 0. يأخذ ورقة فارغةورقة واكتب عليها إجابات جميع التمارين الشفوية أدناه. ثم تحقق من إجاباتك مقابل الإجابات أو التعليمات الموجزة في نهاية هذا عنصر التعلمتحت عنوان "مساعدك".

تمارين شفوية

1. قارن مجموع مربعي عددين غير متساويين وحاصل ضربهما المزدوج.

2. إثبات عدم المساواة:

أ) ;

ب) ;

في) ;

3. ومن المعروف أن. اثبت ذلك .

4. ومن المعروف أن. اثبت ذلك .

التمرين 1.أن أكثر:

أ) 2 + 11 أو 9 ؛ د) + أو ؛

ب) أو + ؛ ه) - أو ؛

ج) + أو 2 ؛ هـ) + 2 أو +؟

المهمة 2.إثبات ذلك لأي حقيقي xهناك عدم مساواة:

أ) 3 ( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 4 x;

ب) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5) ؛ هـ) ³ 2 العاشر ؛

في) ( x– 2) 2 > x(x- أربعة) ؛ و) ل + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

المهمة 3.اثبت ذلك:

أ) x 3 + 1³ x 2 + س ،إذا x³ –1 ؛

ب) x 3 + 1 جنيه إسترليني x 2 + س ،إذا x-1 جنيه إسترليني .

المهمة 4.إثبات ذلك إذا أ ³ 0, ب³ 0, مع³ 0, د³ 0 ، إذن

(أ 2 + ب 2)(ج 2 + د 2) ³ ( أ + دينار بحريني) 2 .

المهمة 5.إثبات عدم المساواة من خلال تسليط الضوء مربع كامل:

أ) x 2 – 2س ص + 9ذ 2 ³ 0 ؛

ب) x 2 + ص 2 + 2³2 ( س + ص);

في تمام الساعة 10 x 2 + 10س ص + 5ذ 2 + 1 > 0;

ز) x 2 – س ص + ذ 2³0 ;

ه) x 2 + ص 2 + ض 2 + 3³ 2 ( س + ص + ض);

ه) ( x +ل) ( س- 2ذ +ل) + ذ 2³0 .

المهمة 6.اثبت ذلك:

أ) x 2 + 2ذ 2 + 2xy + 6ذ+ l0> 0 ;

ب) x 2 + ص 2 – 2xy + 2x – 2في + 1 > 0;

على الساعة 3 x 2 + ص 2 + 8x + 4ص- 2xy + 22 ³ 0 ؛

ز) x 2 + 2س ص+ 3ذ 2 + 2x + 6ذ + 3 > 0.

المهمة 7.إثبات ذلك إذا ن³ ك³ 1 إذن ك(ن - ك+ 1) ن.

المهمة 8.إثبات ذلك إذا 4 أ + 2ب= 1 إذن أ 2 + ب 2³ .

حدد القيم أو ب،والتي بموجبها تتم المساواة.

المهمة 9.إثبات عدم المساواة:

أ) X 3 + في 3³ X 2 في + هو 2 في x³ 0 و ذ ³ 0;

ب) X 4 + في 4³ X 3 في + هو 3 لأي xو في;

في) X 5 + في 5³ X 4 في + هو 4 في x³ 0 و ذ ³ 0;

ز) x ن + في ن ³ x ن-1 ص + س ص-1 في x³ 0 و ذ ³ 0.

المؤسسة التعليمية: MOU Lyceum No. 1 ، كومسومولسك أون أمور

الرأس: Budlyanskaya Natalya Leonidovna

إذا كنت ترغب في المشاركة في حياة كبيرةثم املأ رأسك بالرياضيات بينما تستطيع. سيكون ذلك مفيدًا لك في جميع أعمالك. (M.I. كالينين)

تمثيل الطرف الأيسر من المتباينة كمجموع من الحدود غير السالبة (الطرف الأيمن يساوي 0) باستخدام المتطابقات.

مثال 1. إثبات ذلك لأي xϵR

دليل - إثبات . 1 الطريق.

2 طريقة.

لوظيفة تربيعية

مما يعني أنه إيجابي لأي حقيقي X.

مثال 2. إثبات ذلك لأي x و y

دليل - إثبات.

مثال 3. اثبت ذلك

دليل - إثبات.

مثال 4. إثبات ذلك لأي أ و ب

دليل - إثبات.

2. طريقة التناقض

هنا مثال جيد على هذه الطريقة.

إثبات ذلك لـ a ، b R.

دليل - إثبات.

دعونا نتظاهر بذلك.

ولكن ، مما يثبت بوضوح أن افتراضنا خاطئ.

سى تى دى

مثال 5.برهن على أن المتباينة هي أ ، ب ، ج

دليل - إثبات.من الواضح أنه يكفي إنشاء هذا التفاوت لغير السالب أ ، بو من،حيث ستكون لدينا العلاقة التالية:

, وهو الأساس المنطقي لعدم المساواة الأصلية .

دعنا الآن توجد مثل هذه الأرقام غير السالبة أ ، بو من، والتي من أجلها عدم المساواة

، وهو أمر مستحيل لأي حقيقي أ ، بو من. تم دحض الافتراض أعلاه ، مما يثبت عدم المساواة الأصلي قيد الدراسة.

باستخدام خصائص مربع ثلاثي الحدود

تعتمد الطريقة على خاصية اللاسلبية لمربع ثلاثي الحدود إذا

و.

مثال 6. اثبت ذلك

دليل - إثبات.

يترك، أ = 2 ، 2> 0

=>

مثال 7. برهن على أن المتباينة صحيحة لأي x و y حقيقيين

دليل - إثبات. اعتبر الجانب الأيسر من المتباينة كمربع ثلاثي الحدود بالنسبة إلى X:

، أ> 0 ، د

D = => P (x)> 0و

صحيح لأية قيم حقيقية Xو ذ.

المثال 8. اثبت ذلك

لأية قيم حقيقية لـ x و y.

دليل - إثبات. يترك ,

هذا يعني أن لأي حقيقي فيوعدم المساواة

أداؤها لأي صالح Xو ذ.

طريقة إدخال المتغيرات الجديدة أو طريقة الاستبدال

المثال 9. اثبت أن أي أرقام غير سالبة x، y، z

دليل - إثبات. نستخدم عدم المساواة الصحيحة لـ ،

.

نحصل على عدم المساواة قيد الدراسة

استخدام خصائص الوظيفة.

المثال 10. دعنا نثبت عدم المساواة

لأي أ و ب.

دليل - إثبات. ضع في اعتبارك حالتين:

• إذا كان a = b فهذا صحيح

ويتم تحقيق المساواة فقط عندما تكون أ = ب = 0.

2) إذا

، على R =>

() * ()> 0 ، مما يثبت عدم المساواة

المثال 11. دعونا نثبت ذلك لأي

دليل - إثبات.

على R.

إذا ، فإن علامات الأرقام تتطابق ، مما يعني أن الفرق قيد الدراسة موجب =>

تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي

تُستخدم هذه الطريقة لإثبات عدم المساواة فيما يتعلق بالأعداد الطبيعية.

المثال 12. إثبات ذلك لأي nϵN

• دعونا نتحقق من حقيقة البيان

- (حقا)

2) افترض أن العبارة صحيحة

(ك> 1)

3) دعنا نثبت صحة بيان n = k + 1.

قارن و:

نملك:

الخلاصة: البيان صحيح لأي nϵN.

استخدام متباينات ملحوظة

• نظرية يعني (عدم مساواة كوشي)

• عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي

• عدم المساواة في برنولي

لنفكر في كل من المتباينات المدرجة على حدة.

تطبيق نظرية المتوسط ​​(عدم مساواة كوشي)

المتوسط ​​الحسابي للعديد من الأرقام غير السالبة أكبر من أو يساوي الوسط الهندسي

، أين

يتم الوصول إلى علامة المساواة إذا وفقط إذا

ضع في اعتبارك حالات خاصة من هذه النظرية:

• دع ن = 2 ، إذن

• دع ن = 2 ، أ> 0 ، إذن

• دع n = 3 ، إذن

المثال 13. برهن على أنه بالنسبة لجميع المتباينات غير السالبة أ ، ب ، ج

دليل - إثبات.

عدم المساواة Cauchy-Bunyakovsky

تنص عدم المساواة Cauchy-Bunyakovsky على ذلك لأي ؛ النسبة

اللامساواة المثبتة لها تفسير هندسي. بالنسبة إلى n = 2،3 ، فإنها تعبر عن الحقيقة المعروفة وهي أن المنتج القياسي لمتجهين في المستوي وفي الفضاء لا يتجاوز حاصل ضرب طوليهما. بالنسبة إلى n = 2 تبدو المتباينة كما يلي:. بالنسبة إلى n = 3 نحصل على

المثال 14

دليل - إثبات. نكتب عدم المساواة قيد الدراسة بالشكل التالي:

هذا بالتأكيد عدم مساواة حقيقي ، لأنه حالة خاصة من عدم مساواة كوشي-بونياكوفسكي.

المثال 15 برهن على أن المتباينة أ ، ب ، ج ، ص

دليل - إثبات. يكفي كتابة هذا التفاوت في الشكل

والإشارة إلى عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي.

عدم المساواة في برنولي

تنص متباينة برنولي على أنه إذا كانت x> -1 ، فإن جميع القيم الطبيعية لـ n هي عدم المساواة

يمكن تطبيق المتباينة على تعبيرات النموذج

أيضًا ، يمكن إثبات مجموعة كبيرة جدًا من عدم المساواة بسهولة باستخدام نظرية برنولي.

المثال 16.

دليل - إثبات. وضع س = 0.5 وتطبيق نظرية برنولي على التعبير

نحصل على عدم المساواة المطلوبة.

المثال 17. إثبات ذلك لأي n ϵ N

دليل - إثبات.

من خلال نظرية برنولي ، كما هو مطلوب.

ديفيد هيلبرت سئل عن أحد له الطلاب السابقين. يتذكر هيلبرت "أوه ، كذا وكذا؟" ، "لقد أصبح شاعراً ، ولم يكن لديه سوى القليل من الخيال للرياضيات.

: قم بتوسيع معرفتك بإثبات عدم المساواة. تعرف على عدم المساواة في كوشي. تعلم كيفية تطبيق الأساليب التي تم تعلمها لإثبات عدم المساواة.

تحميل:

معاينة:

مؤسسة تعليمية موازنة الدولة

معدل مدرسة شاملة №655

حي بريمورسكي في سانت بطرسبرغ

"إثبات عدم المساواة. عدم المساواة في كوشي

2014

لي نينا يوريفنا

الصف الثامن

ملخص …………………………………………………………………………………………………… .3

مقدمة ……………………………………………………………………………………………… .. 4

المرجع التاريخي ………………………………………………………………………………… ..4

عدم المساواة في كوشي ………………………………………………………………………………………… 5

إثبات عدم المساواة …………………………………………………………………………… .. 7

نتائج البحث ………………………………………………………………………………… .. 10

مراجع………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………

لي نينا

سانت بطرسبرغ ، مدرسة GBOU الثانوية رقم 655 ، الصف الثامن

"إثبات عدم المساواة. عدم المساواة في كوشي.

المشرف: موروز يوليا فلاديميروفنا ، مدرس الرياضيات

استهداف عمل علمي: قم بتوسيع معرفتك بإثبات عدم المساواة. تعرف على عدم المساواة في كوشي. تعلم كيفية تطبيق الأساليب التي تم تعلمها لإثبات عدم المساواة.

المقدمة

"... غالبًا ما يتم التعبير عن النتائج الرئيسية للرياضيات ليس من خلال المساواة ، ولكن من خلال عدم المساواة."

إي بيكنباخ

نحن نتعامل مع عدم المساواة في جميع أنحاء الدورة المدرسية. يمكن حل المتباينات بيانياً وتحليلياً. لحل أي عدم مساواة موجود خوارزمية معينةالعمل ، لذلك مهمة معينةهو بالأحرى العمل الميكانيكيوهو ما لا يتطلب الإبداع.

على العكس من ذلك ، فإن إثبات عدم المساواة يتطلب نهجًا متنوعًا غير رسمي. لذلك ، فإن إثبات عدم المساواة هو الأكثر إثارة للاهتمام.

ومع ذلك، في دورة مدرسيةفي الرياضيات ، يتم إيلاء القليل من الاهتمام لإثبات عدم المساواة. يتم تقليل إثبات عدم المساواة إلى أسلوب واحد - تقدير الفرق بين أجزاء المتباينة.وفي الوقت نفسه ، في الأولمبياد الرياضي ، غالبًا ما توجد مشاكل لإثبات عدم المساواة باستخدام طرق وتقنيات أخرى (استخدام عدم المساواة الداعمة ، طريقة التقدير).غالبًا ما تقدم الألعاب الأولمبية لأطفال المدارس في الرياضيات أيضًا عدم المساواة ، والدليل الذي يكشف بشكل أفضل عن قدرات وقدرات الطلاب ، ودرجة التنمية الفكرية. بالإضافة إلى العديد من المهام زيادة التعقيد(من مختلف فروع الرياضيات) يتم حلها بشكل فعال باستخدام عدم المساواة.

أهمية موضوع "إثبات عدم المساواة" أمر لا جدال فيه ، لأن عدم المساواة تلعب دورًا أساسيًا في معظم أقسام الرياضيات الحديثة ؛ لا الفيزياء ولا علم الفلك ولا الكيمياء يمكن الاستغناء عنها. نظرية الاحتمالات، إحصائيات الرياضياتوالرياضيات المالية والاقتصاد - كل هذه العلوم المترابطة والمعممة تستخدم باستمرار عدم المساواة في صياغة قوانينها الأساسية وفي طرق اشتقاقها وفي تطبيقاتها.

يساعد الدليل على عدم المساواة على تطوير مهارة فهم وتطبيق تقنيات إثبات عدم المساواة ؛ القدرة على تطبيقها عند أداء المهام المختلفة ؛ القدرة على التحليل والتعميم واستخلاص النتائج ؛ التعبير المنطقي عن الأفكار. يبدع في الوظيفة.

الغرض من هذا العمل هو توسيع المعرفة في مجال الأساليب والتقنيات لإثبات عدم المساواة.

لتحقيق هذا الهدف من الدراسة ، حددنا لأنفسنا المهام التالية:

• جمع المعلومات من مصادر مختلفة حول تقنيات وأساليب إثبات عدم المساواة ؛
• التعرف على عدم المساواة كوشي ؛
• تعلم كيفية تطبيق عدم المساواة الداعمة لإثبات عدم المساواة الأكثر تعقيدًا.

مرجع التاريخ

نشأت مفاهيم "أكثر" و "أقل" جنبًا إلى جنب مع مفهوم "المساواة" فيما يتعلق بحساب الأشياء والحاجة إلى مقارنة كميات مختلفة. استخدم الإغريق القدماء مفهوم عدم المساواة. وجد أرخميدس (القرن الثالث قبل الميلاد) ، أثناء حساب محيط الدائرة ، أن "محيط أي دائرة يساوي ثلاثة أضعاف القطر مع فائض أقل من سبع القطر ، ولكن أكثر من عشرة وسبعين . " بمعنى آخر ، أشار أرخميدس إلى حدود الرقم π.

في عام 1557 ، عندما قدم روبرت ريكورد لأول مرة علامة التساوي ، حفز ابتكاره على النحو التالي: لا يمكن أن يكون هناك شيئان أكثر مساواة مع بعضهما البعض من اثنين قطعة موازية. استنادًا إلى علامة المساواة في السجل ، قدم عالم إنجليزي آخر هاريوت علامات عدم المساواة التي لا تزال مستخدمة حتى اليوم ، مبررًا الابتكار على النحو التالي: إذا لم تكن الكميتان متساويتين ، فلن تكون الأجزاء التي تظهر في علامة التساوي متوازية ، بل تتقاطع. يمكن أن يحدث التقاطع على اليمين (>) أو على اليسار (

على الرغم من حقيقة أن علامات عدم المساواة تم اقتراحها بعد 74 عامًا من علامة المساواة التي اقترحها Record ، إلا أنها دخلت حيز الاستخدام في وقت أبكر بكثير من الأخيرة. أحد أسباب هذه الظاهرة متجذر في حقيقة أن الطابعات في ذلك الوقت استخدمت الحرف اللاتيني الذي كان لديهم بالفعل لعلامات عدم المساواة.الخامس، بينما لم يكن لديهم علامة يساوي إعداد الكتابة (=) ، ولم يكن من السهل القيام بذلك في ذلك الوقت.

تم تقديم العلامتين و بواسطة عالم الرياضيات الفرنسي P. Bouguet.

عدم المساواة غير المبرر

تتنوع الأفكار المستخدمة لإثبات عدم المساواة تقريبًا مثل عدم المساواة نفسها. في حالات محددة ، غالبًا ما تؤدي الأساليب العامة إلى حلول قبيحة. لكن الجمع غير الواضح للعديد من التفاوتات "الأساسية" ممكن فقط لعدد قليل. علاوة على ذلك ، لا شيء يمنعنا في كل حالة محددة من البحث عن حل أفضل وأكثر ملاءمة من الحل الذي تم الحصول عليه الطريقة العامة. لهذا السبب ، غالبًا ما يُنزل إثبات عدم المساواة إلى عالم الفن. ومثل كل الفن ، هناك تقنية، المجموعة واسعة جدًا ومن الصعب جدًا إتقانها جميعًا.

واحدة من هذه التفاوتات "الأساسية" هي متباينة كوشي ، والتي تشير إلى نسبة متوسطين - المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي. يتم دراسة المتوسط ​​الحسابي في مقرر المدرسة للصف الخامس ويبدو هكذايظهر المتوسط ​​الهندسي لأول مرة في مقرر الهندسة للصف الثامن -. في مثلث قائمثلاثة أجزاء لها هذه الخاصية: ساقان وعمودي يسقطان من الأعلى زاوية مستقيمةإلى الوتر.

بين هاتين الكميتين توجد علاقة مذهلة درسها العلماء. توصل عالم الرياضيات الفرنسي O. Cauchy إلى استنتاج مفاده أن المتوسط ​​الحسابي لـ n من الأرقام غير السالبة لا يقل دائمًا عن المتوسط ​​الهندسي لهذه الأرقام.

إلى جانب عدم المساواة Cauchy ، من المفيد معرفة عواقبها:

تتحقق المساواة عندما أ = ب.

تكون المتباينات صحيحة إذا تم استيفاء الشروط a> 0 ، b> 0.

إن الدليل الجبري على عدم المساواة هذا بسيط للغاية:

(أ - ج) ² 0 ؛

نطبق صيغة "تربيع الفرق":

أ² - 2av + c² ≥0 ؛

دعونا نضيف إلى كلا الجانبين من عدم المساواة 4 AV:

a² + 2av + v² ≥4av ؛

نطبق صيغة "مربع المجموع":

(أ + ج) ² ≥4av ؛

نقسم كلا طرفي المتباينة على 4 :

منذ أ و ب موجبة حسب الشرط ، ثم نستخرج الجذر التربيعي من كلا جزأي المتباينة:

حصلنا على التعبير المطلوب.

ضع في اعتبارك البرهان الهندسي:

معطى: ABCD مستطيل ، AD = a ، AB = b ، AK هو منصف الزاوية BAD.

يثبت:

دليل - إثبات:

1. حزب العدالة والتنمية هو منصف ، لذلك ، BAL = الفتى. LAD و BLA - زوايا استلقاء داخلية متقاطعة مع موازية BC و AD و قاطع AL ، أي BLA = LAD.
2. ب \ u003d 90 درجة ، لذلك ، BAL = LAD = 45 درجة ، لكن BLA = LAD ، لذا ∆ ABL - متساوي الساقين ، BL = AB = ب.
3. ∆AKD متساوي الساقين ، منذ KD┴AD ، DAL = 45 درجة ، لذا AD = KD = a.

من الواضح أن ، يتم تحقيق المساواة عندما

أ = ب ، إذن ABCD عبارة عن مربع.

استبدال في عدم المساواةنحصل على a² لكل متر و b² لكل n

أو ،

أي أن المتوسط ​​الهندسي ليس أكبر من الوسط الحسابي.

دليل على عدم المساواة

طريقة التوليف.

هذه طريقة تعتمد على الحصول على (تجميع) عدم المساواة (التي تحتاج إلى تبرير) من عدم المساواة المرجعية (الأساسية) وطرق تأسيسها.

لنحل المشكلة باستخدام طريقة التجميع

المشكلة 1. إثبات ذلك لأي غير سلبيأ ، ب ، ج عدم المساواة

المحلول. دعونا نكتب ثلاث متباينات تحدد العلاقة بين المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي لرقمين غير سالبين

نضرب حد المتباينات التي تم الحصول عليها في حد ، لأن الجزأين الأيمن والأيسر غير سالبين

المشكلة الثانية: طبِّق متباينة كوشي لإثبات عدم المساواة هذه:

طريقة استخدام الهويات.

جوهر الطريقة هو أن عدم المساواة المعطى يتم تقليله إلى هوية واضحة عن طريق التحولات المكافئة.

فكر في حل المشكلة بهذه الطريقة.

مهمة. إثبات ذلك لأي أرقام حقيقيةأ و ب عدم المساواة.

المحلول. دعونا نفرد المربع الكامل في الجانب الأيسر من المتباينة

لأي صالحأ و ب هذا التعبير غير سالب ، مما يعني أن هذه المتباينة ممكنة أيضًا ، أي.

استنتاج

يهدف هذا العمل البحثي إلى حل المشكلات التالية:

• جمع المعلومات والدراسة أساليب مختلفةوتقنيات إثبات عدم المساواة ؛
• الإلمام بعدم المساواة الكوشي الملحوظة ، وإثباتها بطريقة جبرية وهندسية ؛
• تطبيق المعرفة المكتسبة لإثبات عدم المساواة ؛
• الإلمام بطريقة التوليف واستخدام الهويات في حل المشكلات.

في عملية حل المشاكل ، حققنا هدفنا عمل بحثي- إيجاد الأمثل طريقة فعالةدليل على عدم المساواة.

فهرس

1. الجبر. الصف الثامن: كتاب مدرسي. للطلاب بشكل عام المعهد / يو إن ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، كي نيشكوف ، آي إي فيوكتيستوف ، الطبعة الثالثة عشر.

1. الجبر. الصف 8. المواد التعليمية. القواعد الارشادية/ أي إي فيوكتيستوف ، الطبعة الثالثة ، Ster.-M: Mnemozina ، 2013. -173 ص.

1. مردكوفيتش أ. الجبر. الصف 8. الساعة 2 ظهرًا الجزء الأول. كتاب الطالب المؤسسات التعليمية/ اي جي. مردكوفيتش. - الطبعة العاشرة ، ممحاة. - م: Mnemosyne ، 2008. - 215 ثانية ، ص 185-200.

1. بيركولايكو إس تي استخدام متباينة كوشي في حل المشكلات. - م: كفانت ، 1975. - رقم 4.

أولمبياد نادر يعمل بدون مشاكل حيث يكون مطلوبًا لإثبات بعض عدم المساواة. تم إثبات عدم المساواة الجبرية باستخدام طرق مختلفة تستند إلى التحولات المكافئةوخصائص عدم المساواة العددية:

1) إذا كانت a - b> 0 ، ثم a> b ؛ إذا أ - ب

2) إذا كانت أ> ب ، ثم ب أ ؛

3) إذا أ

4) إذا أ

5) إذا كان 0 ، ثم ac

6) إذا كان a bc ؛ أ / ج> ب / ج ؛

7) إذا كان 1

8) إذا كانت 0

دعونا نتذكر بعض التفاوتات الأساسية التي غالبًا ما تُستخدم لإثبات عدم المساواة الأخرى:

1) أ 2> 0 ؛

2) أх 2 + ب س + ج> 0 ، مع أ> 0 ، ب 2 - 4 أ

3) × + 1 / س > 2 ، لـ x> 0 ، و x + 1 / x –2 ، لـ x

4) | أ + ب | | أ | + | ب | ، | أ - ب | > | أ | - | ب | ؛

5) إذا كانت أ> ب> 0 ، ثم 1 / أ

6) إذا كانت a> b> 0 و x> 0 ، فإن a x> b x ، على وجه الخصوص ، لـ n الطبيعي> 2

أ 2> ب 2 و ن √ أ> ن √ ب;

7) إذا كانت a> b> 0 و x

8) إذا كانت x> 0 ، إذن الخطيئة x

يتم حل العديد من مشاكل مستوى الأولمبياد ، وهذه ليست مجرد حالات عدم مساواة ، بشكل فعال بمساعدة بعض التفاوتات الخاصة التي لا يعرفها طلاب المدارس في كثير من الأحيان. بادئ ذي بدء ، يجب أن تشمل:

• عدم المساواة بين الوسط الحسابي والمتوسط ​​الهندسي أرقام موجبة(عدم المساواة كوشي):

• عدم المساواة في برنولي:

(1 + α) n ≥ 1 + nα ، حيث α> -1 ، n عدد طبيعي ؛

• عدم المساواة Cauchy-Bunyakovsky:

(أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 +.. + أ ن ب ن) 2 ≤ (أ 1 2 + أ 2 2 +.. + أ ن 2) (ب 1 2 + ب 2 2 +.. + ب ن 2 ) ؛

تشمل الأساليب "الأكثر شيوعًا" لإثبات عدم المساواة ما يلي:

• إثبات عدم المساواة على أساس التعريف ؛
• طريقة اختيار المربع
• طريقة التقييمات المتتالية.
• طريقة الاستنتاج الرياضي;
• استخدام التفاوتات الخاصة والكلاسيكية ؛
• استخدام عناصر التحليل الرياضي.
• استخدام الاعتبارات الهندسية.
• فكرة التضخيم ، إلخ.

مشاكل الحلول

1. إثبات عدم المساواة:

أ) أ 2 + ب 2 + ص 2 + 3> 2 (أ + ب + ج) ؛

ب) أ 2 + ب 2 + 1 > أب + أ + ب ؛

ج) س 5 + ص 5 - س 4 ص - س 4 ص> 0 س> 0 ، ص> 0.

أ) لدينا

أ 2 + ب 2 + ص 2 + 1 + 1 + 1 - 2 أ - 2 ب - 2 ج = (أ - 1) 2 + (ب - 1) 2 + (ج - 1) 2> 0 ،

وهو أمر واضح.

ب) المتباينة التي سيتم إثباتها ، بعد ضرب كلا الجزأين في 2 ، تأخذ الصورة

2 أ 2 + 2 ب 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b ،

أو

(أ 2 - 2 أ ب + ب 2) + (أ 2 - 2 أ + 1) + (ب 2 - 2 ب + 1)> 0 ،

أو

(أ - ب) 2 + (أ - 1) 2 + (ب - 1) 2> 0 ،

وهو أمر واضح. تحدث المساواة فقط عندما تكون أ = ب = 1.

ج) لدينا

س 5 + ص 5 - س 4 ص - س 4 ص = س 5 - س 4 ص - (س 4 ص - ص 5) = س 4 (س - ص) - ص 4 (س - ص) =

\ u003d (س - ص) (س 4 - ص 4) \ u003d (س - ص) (س - ص) (س + ص) (س 2 + ص 2) \ u003d (س - ص) 2 (س + ص ) (س 2 + ص 2)> 0.

2. إثبات عدم المساواة:

أ)	أ	+	ب		>	2 ل> 0 ، ب> 0 ؛
	ب		أ

ب)	ر	+	ر	+	ر		> 9 ، حيث أ ، ب ، ج هي الأضلاع و P هي محيط المثلث ؛
	أ		ب		ج

ج) أب (أ + ب - 2 ج) + ب ج (ب + ج - 2 أ) + أس (أ + ج - 2 ب)> 0 ، حيث أ> 0 ، ب> 0 ، ج> 0.

أ) لدينا:

أ	+	ب	– 2 =	أ 2 + ب 2 - 2 أب	=	(أ - ب) 2		> 0.
ب		أ		أب		أب

ب ) يأتي إثبات عدم المساواة بشكل أساسي من التقدير التالي:

ب + ج	+	أ + ج	+	أ + ب	=
أ		ب		ج

=

ب

+

ج

+

أ

+

ج

+

أ

+

ب

=

أ

أ

ب

ب

ج

ج

= (

ب

+

أ

) + (

ج

+

أ

) + (

ج

+

ب

) > 6,

أ

ب

أ

ج

ب

ج

يتم تحقيق المساواة ل مثلث متساوي الاضلاع.

ج) لدينا:

أب (أ + ب - 2 ج) + ب ج (ب + ج - 2 أ) + ج (أ + ج - 2 ب) =

= أبج (

أ

+

ب

– 2 +

ب

+

ج

– 2 +

أ

+

ج

– 2 ) =

ج

ج

أ

أ

ب

ب

= أبج ((

أ

+

ب

– 2) + (

أ

+

ج

– 2) + (

ب

+

ج

– 2) ) > 0,

ب

أ

ج

أ

ج

ب

لأن مجموع عددين موجبين مقلوبين أكبر من أو يساوي 2.

3. أثبت أنه إذا كانت أ + ب = 1 ، فإن المتباينة أ 8 + ب 8> 1/128 تبقى ثابتة.

من الشرط أن أ + ب = 1 ، يتبع ذلك

أ 2 + 2 أب + ب 2 = 1.

دعونا نضيف هذه المساواة مع اللامساواة الواضحة

أ 2 - 2 أب + ب 2 > 0.

نحن نحصل:

2 أ 2 + 2 ب 2 > 1 أو 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2> 1.

4 أ 4 - 8 أ 2 ب 2 + 4 ب 2> 0 ،

نحن نحصل:

8 أ 4 + 8 ب 4 > 1 ، حيث 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4> 1.

إضافة هذا التفاوت إلى عدم المساواة الواضحة

64 أ 8 - 128 أ 4 ب 4 + 64 ب 4> 0 ،

نحن نحصل:

128a8 + 128 ب 8 > 1 أو 8 + ب 8> 1/128.

4. ما هو أكثر ه ه π πأو ه 2 بي?

ضع في اعتبارك الوظيفة و (خ) = س - π سجل س . بسبب ال و '(س) = 1 - π / س , وعلى يسار النقطة X = π f '(x) 0 , وعلى اليمين - f '(x)> 0 ، ومن بعد و (خ)لديها أصغر قيمةفي هذه النقطة X = π . في هذا الطريق و (هـ)> و (π)، هذا هو

ه - π ln e = e - π> π - π ln π

أو

ه + π تسجيل π > 2π .

ومن ثم حصلنا على ذلك

ه البريد + π تسجيل π > ه 2 بي,

لها· ه π تسجيل π > ه 2 π ,

ه ه π π > ه 2 بي.

5. إثبات ذلك

تسجيل (ن + 1)>	lg 1 + lg 2 +. . . + سجل	.
	ن

باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، من السهل تقليل عدم المساواة إلى عدم مساواة مكافئة:

(ن + 1) ن> ن !،

أين ن! = 1 2 3. . . · ن (عاملي n). بالإضافة إلى ذلك ، هناك نظام من التفاوتات الواضحة:

ن + 1> 1 ،

ن + 1> 2 ،

ن + 1> 3 ،

. . . . .

ن + 1> ن

بعد عملية الضرب مصطلحًا تلو الآخر ، نحصل على الفور على (n + 1) n> n !.

6. إثبات أن 2013 2015 2015 2013

نملك:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014-1) 2013 (2014 + 1) 2013

من الواضح أنه يمكن للمرء أيضًا الحصول على بيان عام: لأي n طبيعي ، المتباينة

(ن - 1) ن +1 (ن + 1) ن –1

7. إثبات أن المتباينة التالية تنطبق على أي عدد طبيعي n:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2 ن - 1	.
1!		2!		3!		ن!		ن

دعونا نقدر الجانب الأيسر من عدم المساواة:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		ن!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 2 3. . . ن

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(ن - 1) ن

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		ن - 1		ن		ن

Q.E.D.

8. لنفترض أ 1 2 ، أ 2 2 ، أ 3 2 ،. . . ، و n 2 هي مربعات n من الأعداد الطبيعية المختلفة. اثبت ذلك

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	أ 1 2			أ 2 2			أ 3 2			أ ن 2		2

دع أكبر هذه الأرقام يساوي م. ثم

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	أ 1 2			أ 2 2			أ 3 2			أ ن 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			م 2

منذ ذلك الحين في الجانب الأيمنتمت إضافة مضاعفات أصغر من 1.نحسب الجانب الأيمن من خلال تحليل كل قوس:

=	2 3 2 4 2. . . (م - 1) 2 (م + 1)	=	م + 1	=	1	+	1	>	1	.
	2 2 3 2 4 2. . . م 2 عند فتح القوسين على الجانب الأيسر ، نحصل على المجموع 1 + (a 1 +... + a n) + (a 1 a 2 +... + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 +... + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2. . . أ مجموع الأرقام في القوس الثاني لا يتجاوز (a 1 +... + a n) 2 ، المجموع في القوس الثالث لا يتجاوز (a 1 +... + a n) 3 ، وهكذا. ومن ثم ، فإن المنتج بأكمله لا يتجاوز 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +. . . + 1 / 2n = 2-1 / 2n الطريقة الثانية. دعنا نثبت بطريقة الاستقراء الرياضي أنه بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، فإن عدم المساواة التالية صحيحة: (1 + a1). . . (1 + أ) بالنسبة إلى n = 1 لدينا: 1 + a 1 1 . لنفترض أن n = k لدينا:(1 + أ 1). . . (1 + أ ك) 1 +. . . + أ ك). ضع في اعتبارك الحالة n = k +1:(1 + أ 1). . . (1 + أ ك) (1 + أ ك +1) (1 + 2 (أ 1 +.. + أ ك) ) (1 + أك + 1 ) ≤ 1 + 2 (أ 1 +. . . + أ ك) + أ ك +1 (1 + 2 1/2) = 1 + 2 (أ 1 +.. + أ ك + أ ك +1). بحكم مبدأ الاستقراء الرياضي ، تم إثبات عدم المساواة. 10. إثبات عدم المساواة في برنولي: (1 + α) ن ≥ 1 + ن α ، حيث α> -1 ، n عدد طبيعي. دعنا نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي. بالنسبة إلى n = 1 نحصل على عدم المساواة الحقيقية: 1 + α 1 + α. لنفترض أن المتباينة التالية صحيحة: (1 + α) ن ≥ 1 + ن α. دعونا نظهر ذلك ثم لدينا (1 + α) ن + 1 ≥ 1 + (ن + 1) α. في الواقع ، بما أن α> –1 تعني α + 1> 0 ، ثم نضرب طرفي المتباينة (1 + α) ن ≥ 1 + ن α على (أ + 1) ، نحصل على (1 + α) ن (1 + α) ≥ (1 + nα) (1 + α) أو (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1) α + nα 2 بما أن nα 2 ≥ 0 ، (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1) α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1) α. وبالتالي ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن عدم مساواة برنولي صحيحة. مشاكل بلا حلول 1. إثبات عدم المساواة ل القيم الإيجابيةالمتغيرات أ 2 ب 2 + ب 2 ص 2 + أ 2 ص 2 ≥ أ ب ج (أ + ب + ج). 2. إثبات أن لأي متباينة 3 (1 + أ 2 + أ 4) ≥ (1 + أ + أ 2) 2. 3. إثبات أن كثير الحدود x 12 – x 9 + x 4 – x+ 1 موجب لجميع قيم x. 4. ل 0 e إثبات عدم المساواة (ه+ x) ه- x> ( ه- x) ه+ س. 5. لنفترض أن أ ، ب ، ج تكون أرقامًا موجبة. اثبت ذلك أ + ب + ب + ج + أ + ج ≤ 1 + 1 +

MOU Grishino - مدرسة سلوبودسكايا الثانوية

برنامج الوحدة النمطية

"طرق إثبات عدم المساواة"

ضمن المقرر الاختياري

"خلف صفحات كتاب رياضيات"

للطلاب في الصفوف 10-11

جمعتها:

مدرس رياضيات

Pankova E.Yu.

ملاحظة توضيحية

"تسمى الرياضيات علمًا حشوًا: بمعنى آخر ، يقال أن علماء الرياضيات يقضون وقتًا في إثبات أن الأشياء متساوية مع نفسها. هذا البيان غير دقيق للغاية لسببين. أولاً ، الرياضيات ، رغم خصائصها لغة علمية، ليس علما. بدلا من ذلك ، يمكن أن يطلق عليه الفن. ثانيًاغالبًا ما يتم التعبير عن النتائج الأساسية للرياضيات من خلال التفاوتات بدلاً من المساواة ".

يتم استخدام عدم المساواة في العمل التطبيقيالرياضيات في كل وقت. يتم استخدامها للحصول على عدد من الخصائص المتطرفة المهمة والمثيرة للاهتمام للأشكال "المتماثلة": مربع ، ومكعب ، ومثلث متساوي الأضلاع ، وكذلك لإثبات تقارب العمليات التكرارية وحساب بعض الحدود. دور عدم المساواة مهم أيضًا في مختلف مسائل العلوم الطبيعية والتكنولوجيا.

تعتبر مشاكل إثبات عدم المساواة هي الأكثر صعوبة وإثارة للاهتمام من المشاكل التقليدية. يتطلب إثبات عدم المساواة براعة حقيقية وإبداعًا يجعل الرياضيات موضوعًا مثيرًا.

يلعب تعليم الأدلة دورًا كبيرًا في تنمية التفكير الاستنتاجي الرياضي وقدرات التفكير العام لدى الطلاب. كيف تُعلِّم الطلاب أن يقوموا بشكل مستقل بإثباتات عدم المساواة؟ الجواب: فقط من خلال التفكير في العديد من تقنيات وطرق الإثبات وتطبيقها بانتظام.

تتنوع الأفكار المستخدمة لإثبات عدم المساواة تقريبًا مثل عدم المساواة نفسها. في حالات محددة ، غالبًا ما تؤدي الأساليب العامة إلى حلول قبيحة. لكن المزيج غير الواضح للعديد من التفاوتات "الأساسية" ممكن فقط لعدد قليل من أطفال المدارس. وإلى جانب ذلك ، لا شيء يمنع الطالب في كل حالة محددة من البحث عن حل أفضل من ذلك الذي حصل عليه بالطريقة العامة. لهذا السبب ، غالبًا ما يُنزل إثبات عدم المساواة إلى عالم الفن. وكما هو الحال في أي فن ، فإن له تقنياته الفنية الخاصة ، ومجموعته واسعة جدًا ومن الصعب جدًا إتقانها جميعًا ، ولكن يجب على كل معلم أن يسعى جاهداً لتوسيع الأداة الرياضية المتوفرة في مخزونه.

يوصى بهذه الوحدة للطلاب في الصفوف 10-11. لا يتم النظر هنا في جميع الطرق الممكنة لإثبات عدم المساواة (طريقة تغيير المتغير ، وإثبات عدم المساواة باستخدام المشتق ، وطريقة البحث والتعميم ، وتقنية الترتيب لا تتأثر). يمكنك عرض التفكير في طرق أخرى في المرحلة الثانية (على سبيل المثال ، في الصف 11) ، إذا كانت هذه الوحدة من الدورة تثير الاهتمام بين الطلاب ، بالإضافة إلى التركيز على نجاح إتقان الجزء الأول من الدورة.

		المعادلات والمتباينات مع معلمة.
		طرق إثبات عدم المساواة.
		المعادلات والمتباينات التي تحتوي على المجهول تحت علامة الوحدة.
		أنظمة المتباينات بمتغيرين.

"خلف صفحات كتاب رياضيات"

"طرق إثبات عدم المساواة"

		مقدمة.
		إثبات عدم المساواة على أساس التعريف.
		طريقة الاستقراء الرياضي.
		تطبيق اللامساواة الكلاسيكية.
		طريقة الرسم.
		الطريقة المعاكسة.
		تقنية للنظر في عدم المساواة فيما يتعلق بأحد المتغيرات.
		فكرة التضخيم.
		الدرس - التحكم.

الدرس 1. مقدمة.

إثبات عدم المساواة هو موضوع رائع وصعب في الرياضيات الابتدائية. غياب نهج موحدإلى مشكلة إثبات عدم المساواة ، يؤدي إلى البحث عن عدد من التقنيات المناسبة لإثبات عدم المساواة أنواع معينة. ستدرس هذه الدورة الاختيارية الطرق التاليةإثبات عدم المساواة:

تكرار:

قم بعمل البراهين على بعض الممتلكات.

عدم المساواة الكلاسيكية:

1)
(عدم المساواة كوشي)

2)

3)

4)

مرجع التاريخ:

تمت تسمية عدم المساواة (1) بعد عالم رياضيات فرنسيأغسطس كوشي. رقم
اتصل المتوسط ​​الحسابيالأرقام أ و ب ؛

رقم
اتصل الوسط الهندسيالأرقام أ و ب. وبالتالي ، فإن عدم المساواة تعني أن المتوسط ​​الحسابي لرقمين موجبين لا يقل عن الوسط الهندسي.

بالإضافة إلى ذلك:

فكر في العديد من المغالطات الرياضية مع عدم المساواة.

مغالطة رياضية- بيان مذهل ، يتم فيه إخفاء أخطاء غير محسوسة وأحيانًا خفية تمامًا.

المحاباة هي نتائج خاطئة تم الحصول عليها بمساعدة التفكير الذي يبدو أنه صحيح فقط ، ولكنه يحتوي بالضرورة على خطأ أو آخر.

مثال:

أربعة على اثني عشر

الدرس 2. إثبات عدم المساواة على أساس التعريف.

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: من أجل إثبات صحة المتباينات F (x، y، z)> S (x، y، z) تشكل الفرق F (x، y، z) -S ( x ، y ، z) وإثبات أنها موجبة. باستخدام هذه الطريقة ، غالبًا ما يفرد المرء مربعًا أو مكعبًا لمجموع أو فرق أو مربع غير مكتمل لمجموع أو فرق. هذا يساعد على تحديد علامة الاختلاف.

مثال. أثبت عدم المساواة (x + y) (x + y + 2cosx) +2 2sin 2x

دليل - إثبات:

ضع في اعتبارك الفرق (x + y) (x + y + 2cosx) + 2- 2sin 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx) + 2cos 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx ) + cos 2 x + cos 2 x = (x + y) 2 +2 (x + y) cosx + cos 2 x + cos 2 x = ((x + y) + cosx) 2 + cos 2 x 0.

إثبات عدم المساواة:

1.ab (a + b) + bc (b + c) + ac (a + c) 6abc

3.

4.
> 2x-20

5.

6. (أ + ب) (ب + ج) (ج + أ) 8abc

7.

الدرس 3. طريقة الاستقراء الرياضي.

عند إثبات عدم المساواة التي تشمل أعداد صحيحةغالبًا ما يلجأ إلى طريقة الاستقراء الرياضي. هذه الطريقة على النحو التالي:

1) تحقق من صحة النظرية من أجل n = 1 ؛

2) نفترض أن النظرية صحيحة لبعض n = k ، وبناءً على هذا الافتراض نثبت صحة نظرية n = k + 1 ؛

3) بناءً على الخطوتين الأوليين ومبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن النظرية صحيحة لأي n.

مثال.

إثبات عدم المساواة

دليل - إثبات:

1) بالنسبة إلى n = 2 ، تكون عدم المساواة صحيحة:

2) دع عدم المساواة يكون صحيحًا لـ n = k أي
(*)

دعنا نثبت أن عدم المساواة صحيحة لـ n = k + 1 ، أي
. دعونا نضرب كلا جزأي المتباينة (*) في
نحصل على 3) من البند 1. والبند 2 نستنتج أن المتباينة صحيحة لأي n.

الواجبات للفصول الدراسية والعمل المنزلي

إثبات عدم المساواة:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

الدرس 4 تطبيق اللامساواة الكلاسيكية.

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: باستخدام سلسلة من التحولات ، يتم اشتقاق عدم المساواة المطلوبة باستخدام بعض المتباينات الكلاسيكية.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

كمرجع لعدم المساواة ، نستخدم
.

نقوم بتقليل عدم المساواة إلى النوع التالي:

، ومن بعد

لكن =
، ومن بعد

إثبات عدم المساواة:

1) (p + 2) (q + 2) (p + q) 16pq (للإثبات نستخدم المتباينة
)

2)
(للتوثيق ، يتم استخدام عدم المساواة)

3) (أ + ب) (ب + ج) (ج + أ) 8 أ ب ج (تستخدم عدم المساواة للإثبات)

4)
(بالنسبة إلى doc-va ، يتم استخدام عدم المساواة).

الدرس الخامس طريقة الرسم.

إثبات عدم المساواة طريقة الرسمهو كالتالي: إذا أثبتنا عدم المساواة f (x)> g (x) (f (x)

1) بناء الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و y = g (x) ؛

2) إذا كان الرسم البياني للدالة y = f (x) يقع أعلى (أسفل) الرسم البياني للدالة y = g (x) ، فإن المتباينة التي تم إثباتها صحيحة.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

كوسكس
، × 0

دليل - إثبات:

دعونا نبني في نظام إحداثي واحد الرسوم البيانية للوظائف y = cosx و

يمكن أن نرى من الرسم البياني أنه عند x0 ، يقع الرسم البياني للدالة y = cosx أعلى الرسم البياني للدالة y =.

تكليفات للعمل في الفصل والمنزل.

إثبات عدم المساواة:

1)

3) ln (1 + x) 0

4)
.

5)

الدرس 6

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: فليكن من الضروري إثبات حقيقة عدم المساواة F (x، y، z) S (x، y، z) (1). يُفترض العكس ، أي أن المتباينة F (x ، y ، z) S (x ، y ، z) (2) صالحة لمجموعة واحدة على الأقل من المتغيرات. باستخدام خصائص عدم المساواة ، يتم إجراء تحويلات عدم المساواة (2). إذا تم الحصول على تفاوت خاطئ نتيجة لهذه التحولات ، فهذا يعني أن الافتراض حول صحة عدم المساواة (2) خاطئ ، وبالتالي فإن عدم المساواة (1) صحيح.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

افترض العكس ، أي.

دعونا نربّع كلا الجزأين من المتباينة ، نحصل من أين
وما بعدها

. لكن هذا يتناقض مع عدم المساواة كوشي. لذا فإن افتراضنا خاطئ ، أي أن عدم المساواة صحيحة

تكليفات للعمل في الفصل والمنزل.

إثبات عدم المساواة:

الدرس السابع تقنية للنظر في عدم المساواة فيما يتعلق بأحد المتغيرات.

جوهر الطريقة هو النظر في عدم المساواة وحلها بالنسبة لمتغير واحد.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

تكليفات للعمل في الفصل والمنزل.

إثبات عدم المساواة:

1)

2)

3)

الدرس 9 الدرس - التحكم في معرفة الطلاب.

يمكن تنظيم العمل في هذا الدرس في أزواج أو إذا كان هناك عدد كبير من الفصل في مجموعات. في نهاية الدرس ، يجب تقييم كل طالب. هذا هو نص هذه الدورة. لا يوصى بالقيام بأعمال تحكم في هذا الموضوع. إثبات عدم المساواة ، كما سبق ذكره في الملاحظة التفسيرية ، ينتمي إلى مجال الفن. في البداية ، يُطلب من الطلاب تحديد طريقة إثبات عدم المساواة المقترحة بأنفسهم. إذا واجه الطلاب صعوبات ، فإن المعلم يخبرهم بالطريقة العقلانية ، محذرًا المجموعة من أن هذا ، بالطبع ، سيؤثر على تقييمهم.

طُرق دليل - إثباتعدم المساواة. هو - هي طريقةالدليل لعدم المساواةمن خلال إدخال الوظائف المساعدة ...

مقرر اختياري في رياضيات طرق إثبات عدم المساواة

دورة اختيارية

غير مألوف ، مختلف طُرقالدليل لعدم المساواةوكذلك التطبيق عدم المساواة عدم المساواةباستخدام طريقة طريقةإلى عن على الدليل لعدم المساواة، لحل المشاكل...

مقرر اختياري في الرياضيات طرق إثبات عدم المساواة ملاحظة توضيحية

دورة اختيارية

غير مألوف ، مختلف طُرقالدليل لعدم المساواةوكذلك التطبيق عدم المساواةعند حل المشكلات المتنوعة .. تكون قادرة على: التقييم عدم المساواةباستخدام طريقةشتورم ، تطبيق يعتبر طريقةإلى عن على الدليل لعدم المساواة، لحل المشاكل...

مقرر اختياري في الرياضيات طرق إثبات عدم المساواة ملاحظة توضيحية (1)

دورة اختيارية

غير مألوف ، مختلف طُرقالدليل لعدم المساواةوكذلك التطبيق عدم المساواةعند حل المشكلات المتنوعة .. تكون قادرة على: التقييم عدم المساواةباستخدام طريقةشتورم ، تطبيق يعتبر طريقةإلى عن على الدليل لعدم المساواة، لحل المشاكل...