صيغة برنولي للاحتمالات المختلفة. تعميم مخطط برنولي

يجب إجراء تجارب n فيما يتعلق بالحدث A. دعنا نقدم الأحداث التالية: Аk - تم تحقيق الحدث А أثناء اختبار k-th ، $ k = 1،2 ، \ dots ، n $. ثم $ \ bar (A) _ (k) $ هو الحدث المعاكس (الحدث A لم يحدث أثناء اختبار k-th ، $ k = 1،2 ، \ dots ، n $).

ما هي تجارب الأقران والمستقلة

تعريف

يتم استدعاء الاختبارات من نفس النوع فيما يتعلق بالحدث A إذا كانت احتمالات الأحداث $ A1 ، A2 ، \ dots ، $ هي نفسها: $ P (A1) = P (A2) = \ dots = P (An) $ (على سبيل المثال ، يكون احتمال حدوث الحدث A في تجربة واحدة ثابتًا في جميع التجارب).

من الواضح ، في هذه الحالة الاحتمالات أحداث معاكسةتطابق أيضًا: $ P (\ bar (A) _ (1)) = P (\ bar (A) _ (2)) = ... = P (\ bar (A) _ (n)) $.

تعريف

تسمى المحاكمات مستقلة فيما يتعلق بالحدث A إذا كانت الأحداث $ A1 ، A2 ، \ dots ، An $ مستقلة.

في هذه الحالة

في هذه الحالة ، يتم الحفاظ على المساواة عند استبدال أي حدث بـ $ \ bar (A) _ (k) $.

دعونا ، فيما يتعلق بالحدث أ ، سلسلة من ن مماثلة اختبارات مستقلة. نحمل الترميز: p - احتمال وقوع الحدث A في اختبار واحد ؛ q هو احتمال وقوع حدث معاكس. وبالتالي ، P (Ak) = p ، $ P (\ bar (A) _ (k)) = q $ لأي k و p + q = 1.

يتم حساب احتمال حدوث الحدث A في سلسلة من التجارب n بالضبط k مرة (0 ≤ k ≤ n) بالصيغة:

$ P_ (n) (k) = C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (1)

المساواة (1) تسمى معادلة برنولي.

احتمال حدوث سلسلة من n تجارب مستقلة من نفس النوع الحدث A على الأقل k1 مرة وفي أقصى k2 مرة يتم حسابها بواسطة الصيغة:

$ P_ (n) (k_ (1) \ le k \ le k_ (2)) = \ sum \ limits _ (k = k_ (1)) ^ (k_ (2)) C_ (n) ^ (k) p ^ (ك) q ^ (n-k) $ (2)

تطبيق صيغة برنولي ل قيم كبيرةيؤدي n إلى حسابات مرهقة ، لذلك في هذه الحالات من الأفضل استخدام صيغ أخرى - مقاربة.

تعميم مخطط برنولي

فكر في تعميم مخطط برنولي. إذا كان في سلسلة من التجارب المستقلة n ، كل منها لها نتائج غير متوافقة ومحتملة في الزوج مع الاحتمالات المقابلة Рk = рk (Аk). إذن ، تكون صيغة التوزيع متعدد الحدود صالحة:

مثال 1

يبلغ احتمال الإصابة بالأنفلونزا أثناء الوباء 0.4. أوجد احتمال إصابة 6 موظفين بالشركة بالمرض

1. بالضبط 4 موظفين ؛
2. لا يزيد عن 4 موظفين.

المحلول. 1) من الواضح ، لحل هذه المشكلة ، أن صيغة برنولي قابلة للتطبيق ، حيث ن = 6 ؛ ك = 4 ؛ ص = 0.4 ؛ ف = 1-ص = 0.6. بتطبيق الصيغة (1) ، نحصل على: $ P_ (6) (4) = C_ (6) ^ (4) \ cdot 0.4 ^ (4) \ cdot 0.6 ^ (2) \ حوالي 0.138 $.

لحل هذه المشكلة ، الصيغة (2) قابلة للتطبيق ، حيث k1 = 0 و k2 = 4. نملك:

\ [\ start (array) (l) (P_ (6) (0 \ le k \ le 4) = \ sum \ limits _ (k = 0) ^ (4) C_ (6) ^ (k) p ^ ( ك) q ^ (6-k) = C_ (6) ^ (0) \ cdot 0.4 ^ (0) \ cdot 0.6 ^ (6) + C_ (6) ^ (1) \ cdot 0.4 ^ (1) \ cdot 0.6 ^ (5) + C_ (6) ^ (2) \ cdot 0.4 ^ (2) \ cdot 0.6 ^ (4) +) \\ (+ C_ (6) ^ (3) \ cdot 0.4 ^ (3) \ cdot 0.6 ^ (3) + C_ (6) ^ (4) \ cdot 0.4 ^ (4) \ cdot 0.6 ^ (2) \ حوالي 0.959.) \ end (array) \]

وتجدر الإشارة إلى أن هذه المهمة أسهل في الحل باستخدام الحدث المعاكس - فقد أصيب أكثر من 4 موظفين بالمرض. بعد ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار الصيغة (7) حول احتمالات الأحداث المعاكسة ، نحصل على:

الجواب: $ 0.959.

مثال 2

تحتوي الجرة على 20 كرة بيضاء و 10 كرات سوداء. يتم إخراج 4 كرات ، ويتم إرجاع كل كرة إلى الجرة قبل سحب الكرة التالية وخلط الكرات الموجودة في الجرة. أوجد احتمال وجود كرتين أبيضتين من بين الكرات الأربع المسحوبة.

الصورة 1.

المحلول. دع الحدث "أ" يتألف من حقيقة أن - حصلت كرة بيضاء. ثم الاحتمالات $ D (A) = \ frac (2) (3) ، \ ، \ ، D (\ overline (A)) = 1- \ frac (2) (3) = \ frac (1) (3) $.

وفقًا لمعادلة برنولي ، فإن الاحتمال المطلوب هو $ D_ (4) (2) = N_ (4) ^ (2) \ left (\ frac (2) (3) \ right) ^ (2) \ left (\ frac (1) (3) \ right) ^ (2) = \ frac (8) (27) $.

الجواب: $ \ frac (8) (27) $.

مثال 3

حدد احتمال ألا يكون لدى الأسرة التي لديها 5 أطفال أكثر من 3 فتيات. من المفترض أن تكون احتمالات إنجاب ولد وبنت هي نفسها.

المحلول. احتمال إنجاب فتاة $ \ جزئي = \ frac (1) (2) ، \ ، q = \ frac (1) (2) $ -حتمال إنجاب ولد. لا يوجد أكثر من ثلاث فتيات في الأسرة ، مما يعني أن واحدة أو اثنتين أو ثلاث فتيات قد ولدت ، أو كل الأولاد في الأسرة.

أوجد احتمالات عدم وجود فتيات في الأسرة ، ولدت فتاة واحدة أو فتاتان أو ثلاث: $ D_ (5) (0) = q ^ (5) = \ frac (1) (32) $،

\ \ \

لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب هو $ D = D_ (5) (0) + D_ (5) (1) + D_ (5) (2) + D_ (5) (3) = \ frac (13) (16) $ .

الجواب: $ \ frac (13) (16) $.

مثال 4

يمكن أن يصيب مطلق النار الأول برصاصة واحدة المراكز العشرة الأولى باحتمال 0.6 ، والتسعة باحتمال 0.3 ، والثمانية باحتمال 0.1. ما هو احتمال أنه ، من خلال 10 تسديدات ، سيضرب عشر ست مرات ، وتسع ثلاث مرات ، وثماني مرات؟

انصح توزيع ثنائي، حساب التوقعات الرياضية ، التباين ، الوضع. باستخدام دالة MS EXCEL BINOM.DIST () ، سنرسم دالة التوزيع والرسوم البيانية لكثافة الاحتمال. دعونا نقدر معامل التوزيع p ، توقع رياضيالتوزيع و الانحراف المعياري. ضع في اعتبارك أيضًا توزيع برنولي.

تعريف. دعهم يعقدون نالاختبارات ، يمكن أن يحدث في كل منها حدثان فقط: حدث "نجاح" مع احتمال ص أو حدث "فشل" مع الاحتمال ف = 1-p (ما يسمى ب مخطط برنولي ،برنوليمحاكمات).

احتمالية الحصول بالضبط x النجاح في هذه ن الاختبارات تساوي:

عدد النجاحات في العينة x هو متغير عشوائي له توزيع ثنائي(إنجليزي) ذات الحدينتوزيع) صو ن– معلمات هذا التوزيع.

أذكر ذلك من أجل التقديم مخططات برنوليوفي المقابل توزيع ثنائي،يجب استيفاء الشروط التالية:

• يجب أن يكون لكل تجربة نتيجتان بالضبط ، يطلق عليهما "نجاح" و "فشل".
• يجب ألا تعتمد نتيجة كل اختبار على نتائج الاختبارات السابقة (اختبار الاستقلال).
• معدل النجاح ص يجب أن تكون ثابتة لجميع الاختبارات.

التوزيع ذو الحدين في MS EXCEL

في MS EXCEL ، بدءًا من الإصدار 2010 ، لـ توزيع ثنائيهناك وظيفة BINOM.DIST () ، الاسم الانجليزي- BINOM.DIST () ، والذي يسمح لك بحساب احتمال أن تكون العينة بالضبط X"النجاحات" (أي دالة كثافة الاحتمال p (x) ، انظر الصيغة أعلاه) ، و دالة التوزيع المتكاملة(احتمال وجود العينة xأو أقل "نجاحات" ، بما في ذلك 0).

قبل MS EXCEL 2010 ، كان لدى EXCEL وظيفة BINOMDIST () ، والتي تتيح لك أيضًا حساب دالة التوزيعو كثافة الاحتمالص (خ). تم ترك BINOMDIST () في MS EXCEL 2010 للتوافق.

يحتوي ملف المثال على رسوم بيانية كثافة التوزيع الاحتماليةو .

توزيع ثنائيلديه التعيين ب(ن; ص) .

ملحوظة: للبناء دالة التوزيع المتكاملةنوع مخطط مناسب تمامًا برنامج، إلى عن على كثافة التوزيع – رسم بياني مع التجميع. لمزيد من المعلومات حول إنشاء المخططات ، اقرأ مقال الأنواع الرئيسية للمخططات.

ملحوظة: لتسهيل كتابة المعادلات في ملف المثال ، تم إنشاء أسماء للمعلمات توزيع ثنائي: ن و ص.

يُظهر ملف المثال حسابات احتمالية مختلفة باستخدام وظائف MS EXCEL:

كما هو موضح في الصورة أعلاه ، من المفترض أن:

• تحتوي المجموعة اللانهائية التي تتكون منها العينة على 10٪ (أو 0.1) عناصر جيدة (معلمة ص، وسيطة الوظيفة الثالثة = BINOM.DIST ())
• لحساب احتمال أن عينة من 10 عناصر (المعلمة ن، الوسيطة الثانية للدالة) سيكون هناك بالضبط 5 عناصر صالحة (الوسيطة الأولى) ، تحتاج إلى كتابة الصيغة: = BINOM.DIST (5، 10، 0.1، FALSE)
• تم تعيين العنصر الأخير الرابع = FALSE ، أي يتم إرجاع قيمة الوظيفة كثافة التوزيع.

إذا كانت قيمة الوسيطة الرابعة = TRUE ، فتُرجع الدالة BINOM.DIST () القيمة دالة التوزيع المتكاملةأو ببساطة دالة التوزيع. في هذه الحالة ، يمكننا حساب احتمال أن يكون عدد العناصر الجيدة في العينة نطاق معين، على سبيل المثال ، 2 أو أقل (بما في ذلك 0).

للقيام بذلك ، تحتاج إلى كتابة الصيغة:
= قائمة BINOM.DIST (2، 10، 0.1، TRUE)

ملحوظة: للحصول على قيمة غير صحيحة لـ x،. على سبيل المثال ، ستُرجع الصيغ التالية نفس القيمة:
= BINOM.DIST ( 2 ؛ عشرة؛ 0.1 ؛ صحيح)
= BINOM.DIST ( 2,9 ؛ عشرة؛ 0.1 ؛ صحيح)

ملحوظة: في ملف المثال كثافة الاحتمالو دالة التوزيعتم حسابها أيضًا باستخدام التعريف ووظيفة COMBIN ().

مؤشرات التوزيع

في مثال على ورقة مثالتوجد معادلات لحساب بعض مؤشرات التوزيع:

• = ن * ع ؛
• (الانحراف المعياري التربيعي) = n * p * (1-p) ؛
• = (ن + 1) * ص ؛
• = (1-2 * p) * ROOT (n * p * (1-p)).

نشتق الصيغة توقع رياضي توزيع ثنائياستخدام مخطط برنولي.

حسب التعريف قيمة عشوائية X بوصة مخطط برنولي(متغير برنولي العشوائي) له دالة التوزيع:

هذا التوزيع يسمى توزيع برنولي.

ملحوظة: توزيع برنولي – حالة خاصة توزيع ثنائيمع المعلمة ن = 1.

دعونا ننشئ 3 مصفوفات من 100 رقم باستخدام احتمالات مختلفةالنجاح: 0.1 ؛ 0.5 و 0.9. للقيام بذلك ، في النافذة توليد عدد عشوائيتعيين المعلمات التاليةلكل احتمال ص:

ملحوظة: إذا قمت بتعيين الخيار نثر عشوائي (البذور عشوائي) ، ثم يمكنك اختيار ملف مجموعة عشوائيةالأرقام المولدة. على سبيل المثال ، من خلال تعيين هذا الخيار = 25 ، يمكنك إنشاء نفس مجموعات الأرقام العشوائية على أجهزة كمبيوتر مختلفة (إذا كانت ، بالطبع ، معلمات التوزيع الأخرى هي نفسها). يمكن أن تأخذ قيمة الخيار قيم عدد صحيح من 1 إلى 32767. اسم الخيار نثر عشوائييمكن أن تربك. سيكون من الأفضل ترجمتها كـ قم بتعيين رقم بأرقام عشوائية.

نتيجة لذلك ، سيكون لدينا 3 أعمدة من 100 رقم ، بناءً على ذلك ، على سبيل المثال ، يمكننا تقدير احتمالية النجاح صحسب الصيغة: عدد النجاحات / 100(سم. مثال على ورقة ملف توليد برنولي).

ملحوظة: إلى عن على توزيعات برنوليمع p = 0.5 ، يمكنك استخدام الصيغة = RANDBETWEEN (0 ؛ 1) ، والتي تتوافق مع.

توليد عدد عشوائي. توزيع ثنائي

افترض أن هناك 7 عناصر معيبة في العينة. وهذا يعني أنه من "المحتمل جدًا" أن تكون نسبة المنتجات المعيبة قد تغيرت. ص، وهي سمة من سمات عملية الإنتاج لدينا. على الرغم من أن هذا الموقف "محتمل جدًا" ، إلا أن هناك احتمالًا (خطر ألفا ، خطأ من النوع 1 ، "إنذار كاذب") صبقيت على حالها ، وكان العدد المتزايد من المنتجات المعيبة بسبب أخذ العينات العشوائية.

كما يتضح من الشكل أدناه ، 7 هو عدد المنتجات المعيبة المقبولة لعملية مع p = 0.21 بنفس القيمة ألفا. يوضح هذا أنه عند تجاوز عتبة العناصر المعيبة في العينة ، صزاد "على الأرجح". تعني عبارة "على الأرجح" أن هناك فرصة بنسبة 10٪ فقط (100٪ -90٪) أن الانحراف في النسبة المئوية للمنتجات المعيبة التي تتجاوز الحد الأدنى يرجع إلى أسباب عشوائية فقط.

وبالتالي ، فإن تجاوز الحد الأدنى لعدد المنتجات المعيبة في العينة قد يكون بمثابة إشارة إلى أن العملية قد أصبحت مضطربة وبدأت في إنتاج ب حولنسبة أعلى من المنتجات المعيبة.

ملحوظة: قبل MS EXCEL 2010 ، كان لدى EXCEL وظيفة CRITBINOM () ، والتي تعادل BINOM.INV (). تم ترك CRITBINOM () في MS EXCEL 2010 والإصدارات الأحدث للتوافق.

علاقة التوزيع ذي الحدين بالتوزيعات الأخرى

إذا كانت المعلمة ن توزيع ثنائييميل إلى اللانهاية و صيميل إلى 0 ، ثم في هذه الحالة توزيع ثنائييمكن تقريبه.
من الممكن صياغة الشروط عند التقريب توزيع السميعمل بشكل جيد:

• ص<0,1 (الأقل صو اكثر ن، كلما كان التقريب أكثر دقة) ؛
• ص>0,9 (معتبرا أن ف=1- ص، يجب إجراء الحسابات في هذه الحالة باستخدام ف(أ Xيحتاج إلى استبداله بـ ن- x). لذلك ، أقل فو اكثر ن، كلما كان التقريب أكثر دقة).

عند 0.1<=p<=0,9 и n*p>10 توزيع ثنائييمكن تقريبه.

بدوره ، توزيع ثنائييمكن أن يكون بمثابة تقدير تقريبي جيد عندما يكون حجم السكان هو N التوزيع الهندسي المفرطأكبر بكثير من حجم العينة n (أي N >> n أو n / N<<1).

يمكنك قراءة المزيد حول علاقة التوزيعات المذكورة أعلاه في المقالة. هناك أيضًا أمثلة على التقريب ، ويتم شرح الشروط عندما يكون ذلك ممكنًا وبأي دقة.

النصيحة: يمكنك أن تقرأ عن التوزيعات الأخرى لـ MS EXCEL في المقالة.

نظرية موجزة

تتعامل نظرية الاحتمالات مع التجارب التي يمكن تكرارها (على الأقل من الناحية النظرية) لعدد غير محدود من المرات. دع بعض التجارب تتكرر مرة واحدة ، ونتائج كل تكرار لا تعتمد على نتائج التكرارات السابقة. تسمى سلسلة التكرار هذه بالمحاكمات المستقلة. حالة خاصة من هذه الاختبارات هي محاكمات برنولي المستقلةوتتميز بشرطين:

1) نتيجة كل اختبار هي واحدة من نتيجتين محتملتين ، تسمى على التوالي "نجاح" أو "فشل".

2) لا يعتمد احتمال "النجاح" في كل اختبار لاحق على نتائج الاختبارات السابقة ويبقى ثابتًا.

نظرية برنولي

إذا تم إجراء سلسلة من تجارب برنولي المستقلة ، وفي كل منها يحدث "نجاح" باحتمالية ، فإن احتمال حدوث "النجاح" في التجارب مرة واحدة بالضبط يتم التعبير عنه بالصيغة:

أين هو احتمال الفشل.

- عدد مجموعات العناصر حسب (انظر الصيغ الأساسية للتوليفات)

هذه الصيغة تسمى صيغة برنولي.

تسمح لك صيغة برنولي بالتخلص من عدد كبير من العمليات الحسابية - إضافة ومضاعفة الاحتمالات - بعدد كبير من الاختبارات.

يُطلق على مخطط اختبار برنولي أيضًا اسم المخطط ذي الحدين ، وتسمى الاحتمالات المقابلة ذات الحدين ، والتي ترتبط باستخدام المعاملات ذات الحدين.

يسمح التوزيع وفقًا لنظام برنولي ، على وجه الخصوص ، بالعثور على العدد الأكثر احتمالية لحدوث حدث ما.

إذا كان عدد المحاكمات نرائع ، ثم استمتع:

مثال على حل المشكلة

المهمة

إنبات بذور نبات معين 70٪. ما هو احتمال أن يتم زرع بذور من أصل 10: 8 ، على الأقل 8 ؛ 8 على الأقل؟

حل المشكلة

دعنا نستخدم صيغة برنولي:

في حالتنا هذه

دع الحدث - من 10 بذور تنبت 8:

دع الحدث - يرتفع على الأقل 8 (وهذا يعني 8 أو 9 أو 10)

دع الحدث يرتفع على الأقل 8 (وهذا يعني 8.9 أو 10)

إجابه

متوسطتكلفة حل أعمال التحكم هي 700-1200 روبل (ولكن ليس أقل من 300 روبل للطلب بأكمله). يتأثر السعر بشدة بإلحاح القرار (من أيام إلى عدة ساعات). تكلفة المساعدة عبر الإنترنت في الامتحان / الاختبار - من 1000 روبل. لحل التذكرة.

يمكن ترك التطبيق مباشرة في الدردشة ، بعد أن ألغى سابقًا حالة المهام وإبلاغك بالمواعيد النهائية لحلها. وقت الاستجابة عدة دقائق.

دعونا لا نفكر في النبيلة لفترة طويلة - لنبدأ على الفور بتعريف.

- هذا عندما يتم إجراء n تجارب مستقلة من نفس النوع ، قد يظهر في كل منها حدث A يهمنا ، واحتمال هذا الحدث P (A) \ u003d p معروف. مطلوب لتحديد احتمال وقوع الحدث A بالضبط k مرة خلال n من التجارب.

المهام التي يتم حلها وفقًا لنظام برنولي متنوعة للغاية: من المهام البسيطة (مثل "العثور على احتمال أن يصوب مطلق النار مرة واحدة من أصل 10") إلى المهام الشديدة جدًا (على سبيل المثال ، مهام النسب المئوية أو أوراق اللعب) . في الواقع ، غالبًا ما يستخدم هذا المخطط لحل المشكلات المتعلقة بمراقبة جودة المنتج وموثوقية الآليات المختلفة ، والتي يجب معرفة جميع خصائصها قبل بدء العمل.

دعنا نعود إلى التعريف. نظرًا لأننا نتحدث عن تجارب مستقلة ، وفي كل تجربة ، فإن احتمالية الحدث A هي نفسها ، فهناك نتيجتان فقط ممكنتان:

1. A هو حدوث الحدث A مع الاحتمال p ؛
2. "ليس A" - لم يظهر الحدث A ، والذي يحدث مع الاحتمال q = 1 - p.

إن أهم شرط بدونه يفقد مخطط برنولي معناه هو الثبات. بغض النظر عن عدد التجارب التي نجريها ، فنحن مهتمون بالحدث نفسه أ ، والذي يحدث بنفس الاحتمال ص.

بالمناسبة ، لا يمكن اختزال كل المشكلات في نظرية الاحتمالات إلى ظروف ثابتة. أي مدرس مختص في الرياضيات العليا سيخبرك بهذا. حتى الشيء البسيط مثل انتقاء الكرات الملونة من الصندوق لا يعد تجربة ذات ظروف ثابتة. أخذوا كرة أخرى - تغيرت نسبة الألوان في الصندوق. لذلك ، تغيرت الاحتمالات أيضًا.

إذا كانت الظروف ثابتة ، فيمكن للمرء أن يحدد بدقة احتمالية وقوع الحدث A بالضبط k مرة من n ممكن. نصوغ هذه الحقيقة في شكل نظرية:

اجعل احتمال حدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ويساوي p. ثم يتم حساب احتمال ظهور الحدث A بالضبط في n من التجارب المستقلة بواسطة الصيغة:

حيث C n k هو عدد التوليفات ، q = 1 - p.

هذه الصيغة تسمى: من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن المشاكل أدناه قد تم حلها بالكامل دون استخدام هذه الصيغة. على سبيل المثال ، يمكنك تطبيق صيغ جمع الاحتمالات. ومع ذلك ، فإن مقدار الحساب سيكون ببساطة غير واقعي.

مهمة. احتمال إنتاج منتج معيب على الجهاز هو 0.2. أوجد احتمال أن يكون k بالضبط بدون عيوب في دفعة من عشرة أجزاء منتجة على آلة معينة. حل المسألة من أجل k = 0 ، 1 ، 10.

حسب الشرط ، نحن مهتمون بالحدث A لإصدار منتجات بدون عيوب ، والذي يحدث في كل مرة مع احتمال p = 1 - 0.2 = 0.8. نحتاج إلى تحديد احتمال وقوع هذا الحدث ك مرة. الحدث أ يعارض الحدث "ليس أ" ، أي إنتاج منتج معيب.

وهكذا ، لدينا: n = 10 ؛ ع = 0.8 ؛ ف = 0.2.

لذلك ، نجد احتمال أن تكون جميع الأجزاء في الدفعة معيبة (ك = 0) ، وأن جزءًا واحدًا فقط معيب (ك = 1) ، وأنه لا توجد أجزاء معيبة على الإطلاق (ك = 10):

مهمة. تم رمي العملة 6 مرات. من المحتمل بنفس القدر فقدان شعار النبالة وذيول. أوجد احتمال أن:

1. شعار النبالة يسقط ثلاث مرات ؛
2. شعار النبالة سيسقط مرة واحدة ؛
3. سيظهر شعار النبالة مرتين على الأقل.

لذلك ، نحن مهتمون بالحدث A ، عندما يسقط شعار النبالة. احتمالية حدوث هذا الحدث هي p = 0.5. يتم مواجهة الحدث A بالحدث "ليس A" ، عندما يظهر ذيول ، والذي يحدث مع الاحتمال q = 1 - 0.5 = 0.5. من الضروري تحديد احتمال سقوط شعار النبالة k مرة.

وهكذا ، لدينا: n = 6 ؛ ع = 0.5 ؛ ف = 0.5.

دعونا نحدد احتمال سقوط شعار النبالة ثلاث مرات ، أي ك = 3:

لنحدد الآن احتمال سقوط شعار النبالة مرة واحدة فقط ، أي ك = 1:

يبقى تحديد ما هو احتمال سقوط شعار النبالة مرتين على الأقل. العقبة الرئيسية هي عبارة "لا أقل". اتضح أن أي k ، باستثناء 0 و 1 ، سوف يناسبنا ، أي تحتاج إلى إيجاد قيمة المجموع X \ u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

لاحظ أن هذا المبلغ يساوي أيضًا (1 - P 6 (0) - P 6 (1)) ، أي من بين جميع الخيارات الممكنة ، يكفي "قطع" تلك الخيارات عندما سقط شعار النبالة مرة واحدة (ك = 1) أو لم يسقط على الإطلاق (ك = 0). بما أن P 6 (1) نعلم بالفعل ، يبقى إيجاد P 6 (0):

مهمة. يبلغ احتمال أن يكون التلفزيون به عيوبًا خفية هو 0.2. استقبل المستودع 20 جهاز تلفزيون. ما هو الحدث الأكثر احتمالًا: وجود جهازي تلفزيون بهما عيوب خفية في هذه الدفعة أو الثلاثة؟

حدث الاهتمام A هو وجود عيب كامن. إجمالي أجهزة التلفزيون n = 20 ، احتمال وجود عيب خفي p = 0.2. وفقًا لذلك ، فإن احتمال الحصول على جهاز تلفزيون بدون عيب خفي هو q = 1 - 0.2 = 0.8.

نحصل على شروط البداية لنظام برنولي: n = 20 ؛ ع = 0.2 ؛ ف = 0.8.

لنجد احتمال الحصول على جهازي تلفاز "معيبين" (k = 2) وثلاثة (k = 3):

\ [\ start (array) (l) (P_ (20)) \ left (2 \ right) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

من الواضح ، P 20 (3)> P 20 (2) ، أي من المرجح أن تحصل ثلاثة أجهزة تلفزيون بها عيوب خفية على جهازي تلفزيون فقط من هذا القبيل. علاوة على ذلك ، فإن الاختلاف ليس ضعيفًا.

ملاحظة صغيرة حول العوامل. يشعر الكثير من الناس بشعور غامض بعدم الراحة عندما يرون الإدخال "0"! (اقرأ "صفر عاملي"). إذن ، 0! = 1 بالتعريف.

ملاحظة والاحتمال الأكبر في المهمة الأخيرة هو الحصول على أربعة أجهزة تلفزيون بها عيوب خفية. قم بالحسابات وانظر بنفسك.

أنظر أيضا:

شكرا لك على القراءة والمشاركة مع الآخرين

عند حل المشكلات الاحتمالية ، غالبًا ما يواجه المرء مواقف تتكرر فيها نفس التجربة عدة مرات وتكون نتيجة كل تجربة مستقلة عن نتائج الآخرين. هذه التجربة تسمى أيضًا مخطط الاختبارات المستقلة المتكررةأو مخطط برنولي.

أمثلة على إعادة الاختبارات:

1) الاستخراج المتعدد لكرة واحدة من الجرة ، بشرط أن تُعاد الكرة بعد تسجيل لونها إلى الجرة ؛

2) التكرار بواسطة مطلق واحد للطلقات على نفس الهدف ، بشرط أن يكون احتمال الضربة الناجحة مع كل لقطة هو نفسه (لا يؤخذ دور التصفير في الاعتبار).

لذلك ، نتيجة للاختبار ممكن نتيجتين: إما أن يظهر حدث لكن، أو الحدث المعاكس. دعونا نجري تجارب ن برنولي. هذا يعني أن جميع التجارب n مستقلة ؛ احتمال حدوث الحدث $ A $ في كل اختبار فردي أو فردي ثابت ولا يتغير من اختبار إلى آخر (على سبيل المثال ، يتم إجراء الاختبارات في نفس الظروف). دعونا نشير إلى احتمال حدوث الحدث $ A $ في تجربة واحدة بالحرف $ p $ ، أي $ p = P (A) $ ، واحتمال وقوع الحدث المعاكس (لم يحدث الحدث $ A $) يُعطى بالحرف $ q = P (\ overline (A)) = 1-p $.

ثم احتمالية أن يكون الحدث لكنسوف تظهر في هذه ناختبارات بالضبط كمرات ، أعرب صيغة برنولي

$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^ (n-k) ، \ quad q = 1-p. $$

يسمى توزيع عدد حالات النجاح (تكرارات الحدث) توزيع ثنائي.

حاسبات على الإنترنت لصيغة برنولي

يتم تحليل بعض أكثر أنواع المشكلات شيوعًا التي تستخدم معادلة برنولي في مقالات وتزويدها بآلة حاسبة عبر الإنترنت ، يمكنك الانتقال إليها باستخدام الروابط:

أمثلة على حلول المشكلات في صيغة برنولي

مثال.تحتوي الجرة على 20 كرة بيضاء و 10 كرات سوداء. يتم إخراج 4 كرات ، ويتم إرجاع كل كرة إلى الجرة قبل سحب الكرة التالية وخلط الكرات الموجودة في الجرة.

صيغة برنولي. حل المشاكل

أوجد احتمال أن تكون 2 من الكرات الأربع المرسومة بيضاء.

المحلول.حدث لكن- حصلت على كرة بيضاء. ثم الاحتمالات
, .
وفقًا لمعادلة برنولي ، فإن الاحتمال المطلوب هو
.

مثال.حدد احتمال ألا يكون لدى الأسرة التي لديها 5 أطفال أكثر من 3 فتيات. من المفترض أن تكون احتمالات إنجاب ولد وبنت هي نفسها.

المحلول.احتمالية إنجاب فتاة
، ومن بعد .

لنجد احتمالات عدم وجود فتيات في الأسرة ، أو ولدت فتاة واحدة أو فتاتان أو ثلاث:

, ,

, .

لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب

.

مثال.من بين الأجزاء التي تمت معالجتها بواسطة العامل ، يوجد في المتوسط ​​4٪ غير قياسي. أوجد احتمال أن يكون اثنان من الأجزاء الثلاثين المأخوذة للاختبار غير قياسيين.

المحلول.هنا تكمن التجربة في فحص كل جزء من الأجزاء الثلاثين للتحقق من الجودة.

الحدث أ هو "ظهور جزء غير قياسي" ، وبالتالي يكون احتماله. من هنا ، من خلال صيغة برنولي ، نجد
.

مثال.لكل طلقة فردية من البندقية ، يكون احتمال إصابة الهدف 0.9. أوجد احتمال أن يكون عدد اللقطات الناجحة من بين 20 تسديدة 16 على الأقل و 19 على الأكثر.

المحلول.نحسب بصيغة برنولي:

مثال.تستمر المحاكمات المستقلة حتى الحدث لكنلن يحدث كذات مرة. أوجد الاحتمال الذي سيستغرقه نالتجارب (ن ³ ك) ، إذا كانت في كل منها.

المحلول.حدث في- بالضبط نالاختبارات من قبل ك- وقوع الحدث لكنهو نتاج الحدثين التاليين:

D- في نالاختبار ال لكنحدث

ج - أولا (ن – 1)الاختبار ال لكنظهر (ك -1)ذات مرة.

تعطي نظرية الضرب وصيغة برنولي الاحتمال المطلوب:

وتجدر الإشارة إلى أن استخدام القانون ذي الحدين غالبًا ما يرتبط بصعوبات حسابية. لذلك ، مع زيادة القيم نو ميصبح من المناسب استخدام الصيغ التقريبية (Poisson ، Moivre-Laplace) ، والتي ستتم مناقشتها في الأقسام التالية.

فيديو تعليمي بصيغة برنولي

بالنسبة لأولئك الذين هم أكثر وضوحًا في شرح الفيديو المتسلسل ، مقطع فيديو مدته 15 دقيقة:

صيغة الاحتمالية الكلية: النظرية وأمثلة لحل المشكلات

صيغة الاحتمال الكلي والاحتمالات الشرطية للأحداث

معادلة الاحتمالية الإجمالية هو نتيجة للقواعد الأساسية لنظرية الاحتمالات - قاعدة الجمع وقاعدة الضرب.

تسمح لك صيغة الاحتمالية الإجمالية بإيجاد احتمالية وقوع حدث أ، والتي يمكن أن تحدث فقط مع كل من نالأحداث المتنافية التي تشكل نظامًا كاملاً إذا كانت احتمالاتها معروفة ، و الاحتمالات الشرطية التطورات أفيما يتعلق بكل من أحداث النظام متساوون.

تسمى الأحداث أيضًا بالفرضيات ، فهي متنافية. لذلك ، في الأدبيات ، يمكنك أيضًا العثور على تعيينهم ليس بالحرف ب، ولكن بحرف ح(فرضية).

لحل المشاكل مع مثل هذه الظروف ، من الضروري مراعاة 3 أو 4 أو 5 أو في الحالة العامة ناحتمال وقوع حدث أمع كل حدث.

باستخدام نظريات الجمع وضرب الاحتمالات ، نحصل على مجموع حاصل ضرب احتمال كل حدث من أحداث النظام بواسطة احتمال مشروط التطورات ألكل حدث في النظام.

21 محاكمات برنولي. صيغة برنولي

وهذا هو احتمال وقوع حدث أيمكن حسابها بالصيغة

أو بشكل عام

,

من اتصل صيغة الاحتمال الكلي .

صيغة الاحتمال الكلي: أمثلة على حل المشكلات

مثال 1هناك ثلاث جرارات متطابقة المظهر: في الأولى هناك 2 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء ، وفي الثانية 4 كرات بيضاء وواحدة سوداء ، وفي الثالثة هناك ثلاث كرات بيضاء. يقترب شخص ما بشكل عشوائي من إحدى الجرار ويخرج منها كرة واحدة. الاستفادة صيغة الاحتمال الكلي، أوجد احتمال أن تكون الكرة بيضاء.

المحلول. حدث أ- مظهر كرة بيضاء. طرحنا ثلاث فرضيات:

- يتم اختيار الجرة الأولى ؛

- يتم اختيار الجرة الثانية ؛

- يتم اختيار الجرة الثالثة.

احتمالات الحدث الشرطي ألكل من الفرضيات:

, , .

نطبق معادلة الاحتمال الكلي ، نتيجة لذلك - الاحتمال المطلوب:

.

مثال 2في المصنع الأول ، من بين كل 100 مصباح ، يتم إنتاج 90 مصباحًا قياسيًا ، في الثانية - 95 ، في الثالث - 85 ، ويكون ناتج هذه المصانع على التوالي 50 ٪ و 30 ٪ و 20 ٪ من يتم توريد جميع اللمبات الكهربائية للمحلات التجارية في منطقة معينة. أوجد احتمال شراء مصباح كهربائي قياسي.

المحلول. دعونا نشير إلى احتمال الحصول على مصباح كهربائي قياسي أ، والأحداث التي تم فيها تصنيع المصباح الذي تم شراؤه في المصانع الأول والثاني والثالث ، على التوالي ، من خلال. حسب الشرط ، فإن احتمالات هذه الأحداث معروفة: ، والاحتمالات الشرطية للحدث أبخصوص كل منهم: , , . هذه هي احتمالات الحصول على مصباح قياسي ، بشرط أن يتم تصنيعه في المصانع الأول والثاني والثالث على التوالي.

حدث أسيحدث في حالة وقوع حدث أو ك- المصباح مصنوع في المصنع الأول وهو قياسي أو حدث إل- المصباح مصنوع في المصنع الثاني وهو قياسي أو حدث م- المصباح الكهربائي مصنع في المصنع الثالث وهو قياسي.

الاحتمالات الأخرى لحدوث الحدث أرقم. لذلك ، الحدث أهو مجموع الأحداث ك, إلو مالتي تتعارض. بتطبيق نظرية الجمع الاحتمالية ، فإننا نمثل احتمال وقوع حدث أكما

ومن خلال نظرية الضرب الاحتمالية نحصل عليها

هذا هو، حالة خاصة من معادلة الاحتمال الكلي.

بالتعويض عن الاحتمالات في الجانب الأيسر من الصيغة ، نحصل على احتمال وقوع الحدث أ:

ليس لديك وقت للخوض في الحل؟ يمكنك طلب وظيفة!

مثال 3الطائرة تهبط في المطار. إذا سمح الطقس بذلك ، يهبط الطيار بالطائرة مستخدماً ، بالإضافة إلى الأدوات ، المراقبة البصرية. في هذه الحالة ، يكون احتمال الهبوط الناجح. إذا كان المطار ملبدًا بالغيوم المنخفضة ، فإن الطيار يهبط بالطائرة ، ويوجه نفسه فقط على الأجهزة. في هذه الحالة ، يكون احتمال الهبوط الناجح ؛ .

تتمتع الأجهزة التي توفر هبوطًا أعمى بالموثوقية (احتمال التشغيل الخالي من الأعطال) ص. في حالة وجود غيوم منخفضة وتعطل أدوات الهبوط العمياء ، يكون احتمال الهبوط الناجح ؛ . تظهر الإحصائيات أن في ك٪ من عمليات الهبوط ، المطار مغطى بالغيوم المنخفضة. تجد الاحتمال الكامل للحدثأ- هبوط الطائرة بأمان.

المحلول. الفرضيات:

- لا توجد غيوم منخفضة

- يوجد غطاء سحابة منخفض.

احتمالات هذه الفرضيات (الأحداث):

;

احتمال مشروط.

تم العثور على الاحتمال الشرطي مرة أخرى بواسطة صيغة الاحتمال الكلي بالفرضيات

- أجهزة الهبوط العمياء تعمل ؛

- فشل أجهزة الهبوط العمياء.

احتمالات هذه الفرضيات هي:

حسب معادلة الاحتمال الكلي

مثال 4يمكن للجهاز العمل في وضعين: عادي وغير طبيعي. لوحظ الوضع الطبيعي في 80٪ من جميع حالات تشغيل الجهاز ، وغير طبيعي - في 20٪ من الحالات. احتمال فشل الجهاز في وقت معين ريساوي 0.1 ؛ في 0.7 الشاذ. تجد الاحتمال الكاملفشل الجهاز في الوقت المناسب ر.

المحلول. نشير مرة أخرى إلى احتمال فشل الجهاز كـ أ. لذلك ، فيما يتعلق بتشغيل الجهاز في كل وضع (أحداث) ، تُعرف الاحتمالات بالشرط: بالنسبة للوضع العادي تكون 80٪ () ، للوضع غير الطبيعي - 20٪ (). احتمالية الحدث أ(أي فشل الجهاز) اعتمادًا على الحدث الأول (الوضع العادي) هو 0.1 () ؛ اعتمادًا على الحدث الثاني (الوضع غير الطبيعي) - 0.7 ( ). نستبدل هذه القيم في معادلة الاحتمال الإجمالي (أي مجموع حاصل ضرب احتمال كل حدث من أحداث النظام والاحتمال الشرطي للحدث أفيما يتعلق بكل حدث من أحداث النظام) ولدينا النتيجة المطلوبة.

صيغة برنولي- صيغة في نظرية الاحتمالات تسمح لك بإيجاد احتمالية وقوع حدث ما أ (displaystyle A)في اختبارات مستقلة. تسمح لك صيغة برنولي بالتخلص من عدد كبير من العمليات الحسابية - إضافة ومضاعفة الاحتمالات - بعدد كبير من الاختبارات. سميت على اسم عالم الرياضيات السويسري البارز جاكوب برنولي ، الذي اشتق هذه الصيغة.

موسوعي يوتيوب

1 / 3

نظرية الاحتمالات. 22. صيغة برنولي. حل المشاكل

صيغة ✪ برنولي

✪ 20 كرر الاختبارات صيغة برنولي

ترجمات

الصياغة

نظرية.إذا كان الاحتمال * (displaystyle p)حدث أ (displaystyle A)ثابت في كل تجربة ، ثم الاحتمال الفوسفور ل، n (displaystyle P_ (k، n))هذا الحدث أ (displaystyle A)يأتي بالضبط ك (displaystyle k)مرة n (displaystyle n)الاختبارات المستقلة تساوي: الفوسفور ك، n = C n ك ⋅ * ك ⋅ q n - ك (displaystyle P_ (k، n) = C_ (n) ^ (k) cdot p ^ (k) cdot q ^ (n-k))، أين ف = 1 - * (displaystyle q = 1-p).

دليل - إثبات

دعها تعقد n (displaystyle n)اختبارات مستقلة ، ومن المعروف أنه نتيجة كل اختبار ، حدث أ (displaystyle A)يأتي مع احتمال الفوسفور (A) = * (displaystyle P left (A right) = p)وبالتالي لا يحدث مع الاحتمال الفوسفور (A ¯) = 1 - * = q (displaystyle P left ((bar (A)) right) = 1-p = q). دعونا ، أيضا ، في سياق اختبارات الاحتمالية * (displaystyle p)و ف (displaystyle q)يبقى على حاله. ما هو احتمال أن نتيجة لذلك n (displaystyle n)اختبار مستقل ، حدث أ (displaystyle A)يأتي بالضبط ك (displaystyle k)ذات مرة؟

اتضح أنه من الممكن حساب عدد التوليفات "الناجحة" لنتائج الاختبار التي حدث لها الحدث بدقة أ (displaystyle A)يأتي ك (displaystyle k)مرة n (displaystyle n)التجارب المستقلة ، هو بالضبط عدد مجموعات n (displaystyle n)على ك (displaystyle k) :

ج ن (ك) = ن! ك! (ن - ك)! (displaystyle C_ (n) (k) = (frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

في الوقت نفسه ، نظرًا لأن جميع التجارب مستقلة ونتائجها غير متوافقة (حدث أ (displaystyle A)إما يحدث أم لا) ، فإن احتمال الحصول على مجموعة "ناجحة" هو بالضبط:.

أخيرًا ، من أجل إيجاد احتمال ذلك n (displaystyle n)حدث اختبار مستقل أ (displaystyle A)يأتي بالضبط ك (displaystyle k)مرات ، تحتاج إلى جمع احتمالات الحصول على كل التوليفات "الناجحة". إن احتمالات الحصول على كل التوليفات "الناجحة" متساوية ومتساوية * ل ⋅ q n - ك (displaystyle p ^ (k) cdot q ^ (n-k))، فإن عدد التوليفات "الناجحة" هو ج ن (ك) (displaystyle C_ (n) (k))، لذلك نحصل أخيرًا على:

الفوسفور ك، n = C n ك ⋅ * ك ⋅ q n - ك = C n ك ⋅ * ك ⋅ (1 - *) n - ك (displaystyle P_ (k، n) = C_ (n) ^ (k) cdot p ^ ( ك) \ cdot q ^ (n-k) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ (k) \ cdot (1-p) ^ (n-k)).

التعبير الأخير ليس سوى صيغة برنولي. من المفيد أيضًا ملاحظة أنه نظرًا لاكتمال مجموعة الأحداث ، سيكون ذلك صحيحًا:

∑ ل = 0 n (الفوسفور ل، n) = 1 (displaystyle sum _ (k = 0) ^ (n) (P_ (k، n)) = 1).