لبعض الوقت الآن ، في TheBat (ليس من الواضح لأي سبب) ، توقفت قاعدة بيانات الشهادات المضمنة لـ SSL عن العمل بشكل صحيح.

عند التحقق من المنشور ، ينبثق خطأ:

شهادة CA غير معروفة
لم يقدم الخادم شهادة جذر في الجلسة ولم يتم العثور على شهادة الجذر المقابلة في دفتر العناوين.
لا يمكن أن يكون هذا الاتصال سريًا. لو سمحت
اتصل بمسؤول الخادم الخاص بك.

ويتم تقديم خيار من الإجابات - نعم / لا. وهكذا في كل مرة تقوم فيها بتصوير البريد.

المحلول

في هذه الحالة ، تحتاج إلى استبدال معيار تنفيذ S / MIME و TLS بـ Microsoft CryptoAPI في TheBat!

نظرًا لأنني احتجت إلى دمج جميع الملفات في ملف واحد ، فقد قمت أولاً بتحويل جميع ملفات المستندات إلى ملف pdf واحد (باستخدام برنامج Acrobat) ، ثم قمت بنقلها إلى fb2 من خلال محول عبر الإنترنت. يمكنك أيضًا تحويل الملفات بشكل فردي. يمكن أن تكون التنسيقات على الإطلاق أي (مصدر) و doc و jpg وحتى أرشيف مضغوط!

اسم الموقع يتوافق مع الجوهر :) Online Photoshop.

تحديث مايو 2015

لقد وجدت موقعًا رائعًا آخر! أكثر ملاءمة وعملية لإنشاء مجمعة عشوائية تمامًا! هذا الموقع http://www.fotor.com/ru/collage/. استخدم على الصحة. وسوف أستخدمه بنفسي.

تواجه في الحياة مع إصلاح المواقد الكهربائية. لقد قمت بالفعل بالكثير من الأشياء ، وتعلمت الكثير ، ولكن بطريقة ما لم يكن لدي الكثير لأفعله بالبلاط. كان من الضروري استبدال جهات الاتصال على المنظمين والشعلات. نشأ السؤال - كيفية تحديد قطر الموقد على الموقد الكهربائي؟

تبين أن الجواب بسيط. لا حاجة لقياس أي شيء ، يمكنك بهدوء تحديد الحجم الذي تحتاجه بالعين.

اصغر شعلة 145 ملم (14.5 سم)

شعلة متوسطة 180 ملم (18 سم).

وأخيرا الأكثر موقد كبير 225 ملم (22.5 سم).

يكفي تحديد الحجم بالعين وفهم القطر الذي تحتاجه للموقد. عندما لم أكن أعرف هذا ، كنت أرتفع بهذه الأحجام ، ولم أكن أعرف كيف أقيس ، وما هي الحافة التي يجب أن أتنقل فيها ، وما إلى ذلك. الآن أنا حكيم :) آمل أن يكون قد ساعدك أيضًا!

واجهت مثل هذه المشكلة في حياتي. أعتقد أنني لست الوحيد.

من أهم مهام حساب التفاضل هو تطوير أمثلة عامة لدراسة سلوك الوظائف.

إذا كانت الدالة y \ u003d f (x) متصلة على الفاصل الزمني ، وكان مشتقها موجبًا أو يساوي 0 على الفاصل الزمني (أ ، ب) ، فإن y \ u003d f (x) يزيد بمقدار (f "(x) 0). إذا كانت الدالة y \ u003d f (x) متصلة على المقطع ، وكان مشتقها سالبًا أو يساوي 0 على الفترة (أ ، ب) ، فإن y = f (x) ينقص بمقدار (f "( خ) 0)

تسمى الفترات التي لا تنقص فيها الوظيفة أو تزيد بفترات رتابة الوظيفة. لا يمكن أن تتغير طبيعة رتابة الوظيفة إلا في تلك النقاط من مجال تعريفها ، حيث تتغير علامة المشتق الأول. تسمى النقاط التي يختفي عندها المشتق الأول للدالة أو ينكسر بالنقاط الحرجة.

النظرية 1 (الشرط الأول الكافي لوجود الحد الأقصى).

دع الدالة y = f (x) تُعرَّف عند النقطة x 0 وليكن هناك جوار δ> 0 بحيث تكون الوظيفة مستمرة على المقطع ، وقابلة للتفاضل على الفاصل الزمني (x 0 -δ، x 0) u ( x 0، x 0 + δ) ومشتقها يحتفظ بإشارة ثابتة على كل من هذه الفترات. ثم إذا كانت علامات المشتق على x 0 -δ و x 0) و (x 0، x 0 +) مختلفة ، فإن x 0 هي نقطة نهائية ، وإذا كانت متطابقة ، فإن x 0 ليست نقطة نهائية . علاوة على ذلك ، عند المرور عبر النقطة x0 ، يتغير المشتق من علامة زائد إلى ناقص (إلى يسار x 0 ، يتم تنفيذ f "(x)> 0 ، فإن x 0 هي النقطة القصوى ؛ إذا تغير المشتق إشارة من سالب إلى زائد (على يمين x 0 يتم تنفيذه بواسطة f "(x)<0, то х 0 - точка минимума.

تسمى النقاط العظمى والصغرى بالنقطتين النهائيتين للدالة ، وتسمى الحدود القصوى والدنيا للدالة قيمها القصوى.

النظرية 2 (المعيار الضروري للأقصى المحلي).

إذا كانت الدالة y = f (x) لها قيمة قصوى عند التيار x = x 0 ، فإما أن f '(x 0) = 0 أو f' (x 0) غير موجود.
عند النقاط القصوى للدالة القابلة للاشتقاق ، يكون مماس الرسم البياني الخاص بها موازيًا لمحور الثور.

خوارزمية لدراسة دالة لأقصى حد:

1) أوجد مشتق الوظيفة.
2) ابحث عن النقاط الحرجة ، أي النقاط التي تكون فيها الوظيفة متصلة ويكون المشتق صفراً أو غير موجود.
3) ضع في اعتبارك جوار كل نقطة ، وافحص علامة المشتق على يسار ويمين هذه النقطة.
4) تحديد إحداثيات النقاط القصوى ، لهذه القيمة من النقاط الحرجة ، استبدل هذه الوظيفة. باستخدام الشروط القصوى الكافية ، استخلص الاستنتاجات المناسبة.

مثال 18. تحقق من الدالة y = x 3-9x 2 + 24x

المحلول.
1) ص "= 3 س 2 -18 س + 24 = 3 (س -2) (س -4).
2) معادلة المشتق بصفر ، نجد x 1 = 2 ، x 2 = 4. في هذه الحالة ، يتم تعريف المشتق في كل مكان ؛ وبالتالي ، باستثناء النقطتين الموجودتين ، لا توجد نقاط حرجة أخرى.
3) علامة المشتق y "= 3 (x-2) (x-4) تتغير اعتمادًا على الفترة الزمنية كما هو موضح في الشكل 1. عند المرور بالنقطة x = 2 ، يتغير المشتق من موجب إلى ناقص ، وعند المرور بالنقطة س = 4 - من سالب إلى موجب.
4) عند النقطة x = 2 ، يكون للدالة حد أقصى y max = 20 ، وعند النقطة x = 4 - الحد الأدنى y min = 16.

النظرية 3. (الشرط الثاني الكافي لوجود حد أقصى).

دع f "(x 0) و f" (x 0) موجودان عند النقطة x 0. ثم إذا كانت f "" (x 0)> 0 ، فإن x 0 هي النقطة الدنيا ، وإذا كانت f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

في المقطع ، يمكن أن تصل الوظيفة y \ u003d f (x) إلى أصغر قيمة (على الأقل) أو أكبر قيمة (على الأكثر) إما في النقاط الحرجة للوظيفة الموجودة في الفاصل الزمني (أ ؛ ب) ، أو في النهايات من الجزء.

الخوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة y = f (x) على المقطع:

1) ابحث عن f "(x).
2) أوجد النقاط التي لا توجد عندها f "(x) = 0 أو f" (x) ، واختر منها تلك التي تقع داخل المقطع.
3) احسب قيمة الوظيفة y \ u003d f (x) عند النقاط التي تم الحصول عليها في الفقرة 2) ، وكذلك في نهايات المقطع واختر الأكبر والأصغر منها: فهي الأكبر (على التوالي) ( لأكبر) وأصغر (لأصغر) قيم الدالة على المقطع.

مثال 19. أوجد أكبر قيمة لدالة متصلة y = x 3 -3x 2-45 + 225 في المقطع.

1) لدينا y "= 3x 2 -6x-45 في المقطع
2) المشتق y "موجود لكل x. لنجد النقاط حيث y" = 0؛ نحن نحصل:
3 × 2 - 6 × 45 = 0
× 2 -2 س -15 = 0
× 1 \ u003d -3 ؛ س 2 = 5
3) احسب قيمة الدالة عند النقاط س = 0 ص = 225 ، س = 5 ص = 50 ، س = 6 ص = 63
فقط النقطة س = 5 تنتمي إلى المقطع. أكبر القيم التي تم العثور عليها للدالة هي 225 ، وأصغرها هي الرقم 50. لذلك ، عند الحد الأقصى = 225 ، عند الحد الأقصى = 50.

التحقيق في وظيفة التحدب

يوضح الشكل الرسوم البيانية لوظيفتين. يتم قلب أولهم مع انتفاخ ، والثاني - مع انتفاخ لأسفل.

الوظيفة y = f (x) متصلة على المقطع وقابلة للتفاضل في الفترة (أ ؛ ب) ، تسمى محدبة لأعلى (لأسفل) على هذا المقطع ، إذا لم يكن الرسم البياني بالنسبة إلى المحور أعلى (وليس أقل) من المماس مرسومة عند أي نقطة M 0 (x 0 ؛ f (x 0)) ، حيث axb.

النظرية 4. اجعل الدالة y = f (x) لها مشتق ثانٍ عند أي نقطة داخلية x من المقطع وتكون متصلة في نهايات هذا المقطع. ثم إذا تم استيفاء المتباينة f "" (x) 0 في الفترة (أ ؛ ب) ، تكون الوظيفة محدبة لأسفل على المقطع ؛ إذا كانت المتباينة f "" (x) 0 محققة في الفترة (а؛ b) ، فإن الدالة محدبة لأعلى.

النظرية 5. إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق ثانٍ في الفترة (أ ؛ ب) وإذا تغيرت الإشارة عند المرور بالنقطة x 0 ، فإن M (x 0 ؛ f (x 0)) تكون نقطة انعطاف.

حكم إيجاد نقاط الانعطاف:

1) ابحث عن النقاط التي لا توجد فيها f "" (x) أو تتلاشى.
2) افحص العلامة f "" (x) على يسار ويمين كل نقطة تم العثور عليها في الخطوة الأولى.
3) بناءً على النظرية 4 ، استخلص نتيجة.

مثال 20. أوجد النقاط القصوى ونقاط الانعطاف في الرسم البياني للوظيفة y = 3x4 -8x 3 + 6x 2 +12.

لدينا f "(x) = 12x 3 -24x 2 + 12x = 12x (x-1) 2. من الواضح أن f" (x) = 0 لـ x 1 = 0 ، x 2 = 1. المشتق ، عند المرور بالنقطة x = 0 ، يتغير الإشارة من سالب إلى زائد ، وعند المرور بالنقطة x = 1 ، لا يغير العلامة. هذا يعني أن x = 0 هي النقطة الدنيا (y min = 12) ، ولا يوجد حد أقصى عند النقطة x = 1. بعد ذلك ، نجد . يتلاشى المشتق الثاني عند النقاط x 1 = 1 ، x 2 = 1/3. علامات تغيير المشتق الثاني على النحو التالي: على الشعاع (-؛) لدينا f "" (x)> 0 ، في الفترة الزمنية (؛ 1) لدينا f "" (x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. لذلك ، x = هي نقطة انعطاف الرسم البياني للوظيفة (الانتقال من التحدب نزولاً إلى التحدب لأعلى) و x = 1 هي أيضًا نقطة انعطاف (الانتقال من التحدب إلى التحدب لأسفل). إذا كانت x = ، فإن y = ؛ إذا ، إذن س = 1 ، ص = 13.

خوارزمية لإيجاد الخط المقارب للرسم البياني

I. إذا كانت y = f (x) مثل x → a ، فإن x = a هو خط مقارب عمودي.
ثانيًا. إذا كانت y = f (x) مثل x → ∞ أو x →-، فإن y = A هو الخط المقارب الأفقي.
ثالثا. للعثور على الخط المقارب المائل ، نستخدم الخوارزمية التالية:
1) احسب. إذا كانت النهاية موجودة وتساوي b ، فإن y = b هي الخط المقارب الأفقي ؛ إذا ، فانتقل إلى الخطوة الثانية.
2) احسب. إذا كان هذا الحد غير موجود ، فلا يوجد خط مقارب ؛ إذا كانت موجودة وتساوي k ، فانتقل إلى الخطوة الثالثة.
3) احسب. إذا كان هذا الحد غير موجود ، فلا يوجد خط مقارب ؛ إذا كان موجودًا ويساوي ب ، فانتقل إلى الخطوة الرابعة.
4) اكتب معادلة الخط المقارب المائل y = kx + b.

مثال 21: ابحث عن خط مقارب لوظيفة

1)
2)
3)
4) معادلة الخط المقارب المائل لها الشكل

مخطط دراسة الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها

I. أوجد مجال الوظيفة.
ثانيًا. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.
ثالثا. ابحث عن الخطوط المقاربة.
رابعا. ابحث عن نقاط الحد الأقصى المحتملة.
خامسا البحث عن النقاط الحرجة.
السادس. باستخدام الرسم الإضافي ، تحقق من علامة المشتقين الأول والثاني. تحديد مناطق الزيادة والنقصان في الدالة ، والعثور على اتجاه تحدب الرسم البياني ، ونقاط الحد الأقصى ونقاط الانعطاف.
سابعا. أنشئ رسمًا بيانيًا ، مع مراعاة الدراسة التي أجريت في الفقرات 1-6.

مثال 22: ارسم مخططًا وظيفيًا وفقًا للمخطط أعلاه

المحلول.
I. مجال الوظيفة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، باستثناء x = 1.
ثانيًا. نظرًا لأن المعادلة x 2 + 1 = 0 ليس لها جذور حقيقية ، فإن الرسم البياني للوظيفة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع محور Ox ، ولكنه يتقاطع مع محور Oy عند النقطة (0 ؛ -1).
ثالثا. دعونا نوضح مسألة وجود الخطوط المقاربة. نحن نحقق في سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع س = 1. بما أن y → ∞ لـ x →-، y → + ∞ لـ x → 1+ ، فإن الخط x = 1 هو خط مقارب رأسي للرسم البياني للدالة.
إذا كانت x → + ∞ (x →-) ، إذن y → + ∞ (y →-) ؛ لذلك ، لا يحتوي الرسم البياني على خط مقارب أفقي. علاوة على ذلك ، من وجود حدود

بحل المعادلة × 2 -2 س -1 = 0 ، نحصل على نقطتين من الحد الأقصى المحتمل:
x 1 = 1-2 و x 2 = 1 + 2

V. لإيجاد النقاط الحرجة ، نحسب المشتق الثاني:

بما أن f "" (x) لا تختفي ، فلا توجد نقاط حرجة.
السادس. نتحرى عن علامة المشتقين الأول والثاني. النقاط القصوى المحتملة التي يجب أخذها في الاعتبار: x 1 = 1-√2 و x 2 = 1 + 2 ، اقسم مساحة وجود الدالة إلى فترات (-∞ ؛ 1-√2) ، (1-2 ؛ 1 + 2) و (1 + √2 ؛ +).

في كل فترة من هذه الفترات ، يحتفظ المشتق بعلامته: في الأول - زائد ، في الثاني - ناقص ، في الثالث - زائد. سيتم كتابة تسلسل علامات المشتق الأول على النحو التالي: + ، - ، +.
نحصل على أن الوظيفة على (-؛ 1-√2) تزداد ، على (1-2 ؛ 1 + 2) تنخفض ، وعلى (1 + √2 ؛ +) تزداد مرة أخرى. نقاط Extremum: الحد الأقصى عند x = 1-√2 ، علاوة على ذلك f (1-√2) = 2-2√2 كحد أدنى عند x = 1 + √2 ، علاوة على ذلك f (1 + √2) = 2 + 2√2. في (-∞ ؛ 1) يكون الرسم البياني محدبًا لأعلى ، وفي (1 ؛ + ∞) - لأسفل.
VII لنقم بعمل جدول للقيم التي تم الحصول عليها

VIII بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها ، قمنا بإنشاء رسم تخطيطي للرسم البياني للوظيفة

للحصول على دراسة كاملة للوظيفة والتخطيط للرسم البياني لها ، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1) ابحث عن نطاق الوظيفة ؛

2) ابحث عن نقاط عدم الاستمرارية للوظيفة والخطوط المقاربة العمودية (إن وجدت) ؛

3) التحقيق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة ؛

4) التحقيق في وظيفة التكافؤ (الغرابة) والدورية (للوظائف المثلثية) ؛

5) البحث عن القيم القصوى وفترات رتابة الوظيفة ؛

6) تحديد فترات التحدب والانعطاف ؛

7) ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات ، إن أمكن ، وبعض النقاط الإضافية التي تعمل على تحسين الرسم البياني.

تتم دراسة الوظيفة بالتزامن مع بناء الرسم البياني الخاص بها.

المثال 9استكشف الوظيفة وقم ببناء رسم بياني.

1. مجال التعريف: ؛

2. وظيفة تنكسر عند النقاط
,
;

نحن نبحث في وظيفة وجود الخطوط المقاربة العمودية.

;
,
─ خط مقارب عمودي.

;
,
─ خط مقارب عمودي.

3. نتحرى عن وظيفة وجود خطوط مقاربة مائلة وأفقية.

مستقيم
─ خط مقارب مائل ، إذا
,
.

,
.

مستقيم
─ خط مقارب أفقي.

4. الوظيفة حتى لأن
. يشير تكافؤ الوظيفة إلى تناظر الرسم البياني فيما يتعلق بالمحور y.

5. أوجد فترات الرتابة والنهايات القصوى للوظيفة.

لنجد النقاط الحرجة ، أي النقاط التي يكون فيها المشتق 0 أو غير موجود:
;
. لدينا ثلاث نقاط
;

. تقسم هذه النقاط المحور الحقيقي بأكمله إلى أربع فترات. دعونا نحدد العلامات على كل منهم.

على الفواصل الزمنية (-؛ -1) و (-1 ؛ 0) تزداد الوظيفة ، على الفواصل الزمنية (0 ؛ 1) و (1 ؛ + ∞) تتناقص. عند المرور عبر نقطة
يتغير المشتق من موجب إلى ناقص ، وبالتالي ، في هذه المرحلة ، يكون للدالة قيمة قصوى
.

6. دعونا نجد فترات التحدب ونقاط الانعطاف.

دعونا نجد النقاط حيث هو 0 ، أو غير موجود.

ليس له جذور حقيقية.
,
,

نقاط
و
قسّم المحور الحقيقي إلى ثلاث فترات. دعونا نحدد العلامة في كل فترة.

وهكذا ، فإن المنحنى على فترات
و
محدب لأسفل ، على الفاصل الزمني (-1 ؛ 1) محدب لأعلى ؛ لا توجد نقاط انعطاف ، لأن الوظيفة عند النقاط
و
لم يحدد.

7. إيجاد نقاط التقاطع مع المحاور.

مع المحور
يتقاطع الرسم البياني للوظيفة عند النقطة (0 ؛ -1) ومع المحور
الرسم البياني لا يتقاطع لأن ليس لبسط هذه الدالة جذور حقيقية.

يظهر الرسم البياني لوظيفة معينة في الشكل 1.

الشكل 1 ، رسم بياني للوظيفة

تطبيق مفهوم المشتق في الاقتصاد. مرونة الوظيفة

لدراسة العمليات الاقتصادية وحل المشكلات التطبيقية الأخرى ، غالبًا ما يستخدم مفهوم مرونة الوظيفة.

تعريف.مرونة الوظيفة
يسمى حد نسبة الزيادة النسبية للدالة للزيادة النسبية للمتغير في
و. (السابع)

تُظهر مرونة الدالة تقريبًا عدد النسبة المئوية التي ستتغير فيها الوظيفة
عند تغيير المتغير المستقل بنسبة 1٪.

يتم استخدام مرونة الوظيفة في تحليل الطلب والاستهلاك. إذا كانت مرونة الطلب (بالقيمة المطلقة)
، فإن الطلب يعتبر مرنًا إذا
─ محايد إذا
─ غير مرن فيما يتعلق بالسعر (أو الدخل).

المثال 10احسب مرونة دالة
وإيجاد قيمة مؤشر المرونة ل = 3.

الحل: حسب الصيغة (VII) مرونة الوظيفة:

دع x = 3 ثم
هذا يعني أنه إذا زاد المتغير المستقل بنسبة 1٪ ، فإن قيمة المتغير التابع ستزيد بنسبة 1.42٪.

المثال 11دع وظيفة الطلب بخصوص السعر لديه الشكل
، أين ─ معامل ثابت. أوجد قيمة مؤشر مرونة دالة الطلب بالسعر x = 3 den. الوحدات

الحل: احسب مرونة دالة الطلب باستخدام الصيغة (VII)

بافتراض
الوحدات النقدية ، نحصل عليها
. هذا يعني أن السعر
الوحدة النقدية ستؤدي زيادة السعر بنسبة 1 ٪ إلى انخفاض في الطلب بنسبة 6 ٪ ، أي الطلب مرن.

قم بإجراء دراسة كاملة ورسم رسم بياني للوظائف

y (x) = x2 + 81 x.y (x) = x2 + 81 x.

1) نطاق الوظيفة. بما أن الدالة كسر ، فعليك إيجاد أصفار المقام.

1 − س = 0 ، ⇒x = 1.1 − س = 0 ، ⇒x = 1.

نستبعد النقطة الوحيدة x = 1x = 1 من منطقة تعريف الوظيفة ونحصل على:

د (ص) = (- ∞ ؛ 1) ∪ (1 ؛ + ∞). د (ص) = (- ∞ ؛ 1) ∪ (1 ؛ + ∞).

2) دعونا ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع. ابحث عن حدود من جانب واحد:

بما أن النهايتين تساويان اللانهاية ، فإن النقطة x = 1x = 1 هي انقطاع من النوع الثاني ، فالخط x = 1x = 1 خط مقارب رأسي.

3) دعنا نحدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.

لنجد نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي OyOy ، والذي نساوي فيه x = 0 x = 0:

وبالتالي ، فإن نقطة التقاطع مع المحور OyOy لها إحداثيات (0 ؛ 8) (0 ؛ 8).

لنجد نقاط التقاطع مع محور الإحداثيات OxOx ، والتي حددنا لها y = 0y = 0:

المعادلة ليس لها جذور ، لذلك لا توجد نقاط تقاطع مع محور OxOx.

لاحظ أن x2 + 8> 0x2 + 8> 0 لأي xx. لذلك ، بالنسبة إلى x∈ (−∞ ؛ 1) x∈ (−∞ ؛ 1) ، الدالة y> 0y> 0 (تأخذ قيمًا موجبة ، يكون الرسم البياني أعلى من المحور x) ، بالنسبة إلى x∈ (1 ؛ + ∞ ) x∈ (1 ؛ + ∞) وظيفة y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) الوظيفة ليست زوجية ولا فردية للأسباب التالية:

5) نحن نحقق في وظيفة الدورية. الوظيفة ليست دورية ، لأنها دالة كسرية.

6) نحن نبحث في وظيفة النهايات والرتابة. للقيام بذلك ، نجد أول مشتق للدالة:

دعونا نساوي المشتق الأول بالصفر ونجد النقاط الثابتة (التي عندها y ′ = 0y ′ = 0):

لقد حصلنا على ثلاث نقاط حرجة: x = −2 ، x = 1 ، x = 4x = −2 ، x = 1 ، x = 4. نقسم المجال الكامل للدالة إلى فترات زمنية بنقاط معينة ونحدد علامات المشتق في كل فترة:

بالنسبة إلى x∈ (−∞ ؛ −2) ، (4 ؛ + ∞) x∈ (−∞ ؛ −2) ، (4 ؛ + ∞) المشتق y ′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

بالنسبة إلى x∈ (−2 ؛ 1) ، (1 ؛ 4) x∈ (−2 ؛ 1) ، (1 ؛ 4) المشتق y ′> 0y ′> 0 ، تزداد الدالة في هذه الفترات.

في هذه الحالة ، x = −2x = −2 هي نقطة دنيا محلية (تتناقص الوظيفة ثم تزيد) ، x = 4x = 4 هي نقطة قصوى محلية (تزيد الدالة ثم تنقص).

لنجد قيم الدالة في هذه النقاط:

وبالتالي ، فإن النقطة الدنيا هي (2 ؛ 4) (- 2 ؛ 4) ، والنقطة القصوى هي (4 ؛ −8) (4 ؛ −8).

7) ندرس وظيفة مكامن الخلل والتحدب. لنجد المشتق الثاني للدالة:

يساوي المشتق الثاني بصفر:

المعادلة الناتجة ليس لها جذور ، لذلك لا توجد نقاط انعطاف. علاوة على ذلك ، عندما تكون x∈ (−∞ ؛ 1) x∈ (−∞ ؛ 1) y ′ ′> 0y ″> 0 راضية ، أي أن الوظيفة تكون مقعرة عندما x∈ (1 ؛ + ∞) x∈ (1 ؛ + ∞) ذ ′ ′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) نحن نحقق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، أي في.

نظرًا لأن الحدود غير محدودة ، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

دعنا نحاول تحديد الخطوط المقاربة المائلة بالشكل y = kx + by = kx + b. نحسب قيم k و bk و b وفقًا للصيغ المعروفة:

وجدنا أن للدالة خطًا مقاربًا مائلًا واحدًا y = −x − 1y = −x − 1.

9) نقاط إضافية. دعنا نحسب قيمة الوظيفة في بعض النقاط الأخرى من أجل بناء رسم بياني أكثر دقة.

ص (−5) = 5.5 ؛ ص (2) = - 12 ؛ ص (7) = - 9.5. ص (−5) = 5.5 ؛ ص (2) = - 12 ؛ ص (7) = - 9.5.

10) بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها ، سنبني رسمًا بيانيًا ، ونكمله بالخطوط المقاربة x = 1x = 1 (أزرق) ، y = −x − 1y = −x − 1 (أخضر) ونضع علامة على النقاط المميزة (التقاطع مع محور الإحداثيات أرجواني ، وأقصى لون برتقالي ، ونقاط إضافية سوداء):

المهمة 4: مشاكل هندسية واقتصادية (ليس لدي أي فكرة عن ذلك ، إليك اختيار تقريبي للمشكلات مع حل وصيغ)

المثال 3.23. أ

المحلول. xو ذ ذ
ص \ u003d أ - 2 × أ / 4 \ u003d أ / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، فلنتحقق مما إذا كانت علامة المشتق تتغير عند المرور عبر هذه النقطة. بالنسبة إلى xa / 4 S "> 0 ، وللحالة x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.

المحلول.
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

المثال 3.22.أوجد القيمة القصوى للدالة f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

المحلول.بما أن f "(x) \ u003d 6x 2-30x +36 \ u003d 6 (x - 2) (x - 3) ، فإن النقاط الحرجة للوظيفة x 1 \ u003d 2 و x 2 \ u003d 3. يمكن للنقاط القصوى تكون فقط عند هذه النقاط ، فكما هو الحال عند المرور بالنقطة x 1 \ u003d 2 ، يتغير المشتق علامة زائد إلى ناقص ، ثم عند هذه النقطة يكون للوظيفة حد أقصى. يتغير علامة ناقص إلى زائد ، لذلك عند النقطة x 2 \ u003d 3 ، يكون للوظيفة حد أدنى. حساب قيم الوظيفة بالنقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3 ، نجد الحد الأقصى للدالة: الحد الأقصى f (2) = 14 والحد الأدنى f (3) = 13.

المثال 3.23.من الضروري بناء منطقة مستطيلة بالقرب من الجدار الحجري بحيث يتم تسييجها بشبكة سلكية من ثلاث جهات ، وتجاور الجدار من الجانب الرابع. لهذا هناك أمتر خطي للشبكة. ما هي نسبة العرض إلى الارتفاع التي سيشغل بها الموقع أكبر مساحة؟

المحلول.دلالة على جوانب الموقع من خلال xو ذ. مساحة الموقع S = xy. يترك ذهو طول الضلع المجاور للجدار. بعد ذلك ، بشرط ، يجب أن تثبت المساواة 2x + y = a. لذلك ص = أ - 2 س و س = س (أ - 2 س) ، أين
0 ≤ x ≤ a / 2 (لا يمكن أن يكون طول وعرض المنطقة سالبين). S "= a - 4x ، a - 4x = 0 لـ x = a / 4 ، من أين
ص \ u003d أ - 2 × أ / 4 \ u003d أ / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، فلنتحقق مما إذا كانت علامة المشتق تتغير عند المرور عبر هذه النقطة. بالنسبة إلى xa / 4 S "> 0 ، وللحالة x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.مطلوب عمل خزان اسطواني مغلق بسعة V = 16p ≈ 50 m 3. ما هي أبعاد الخزان (نصف القطر R والارتفاع H) من أجل استخدام أقل كمية من المواد لتصنيعها؟

المحلول.إجمالي مساحة الأسطوانة هي S = 2pR (R + H). نحن نعلم حجم الأسطوانة V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. ومن ثم ، S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). نجد مشتق هذه الوظيفة:
S "(R) \ u003d 2p (2R- 16 / R 2) \ u003d 4p (R- 8 / R 2). S" (R) \ u003d 0 لـ R 3 \ u003d 8 ، لذلك ،
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

معلومات مماثلة.