كيفية إيجاد فترات رتابة دالة. ب - الرقم النهائي

نظرية في حدود دالة رتيبة. يتم تقديم إثبات النظرية باستخدام طريقتين. كما يتم إعطاء تعريفات للوظائف المتزايدة بشكل صارم ، وغير المتناقصة ، والمتناقصة بشكل صارم ، وغير المتزايدة. تعريف دالة رتيبة.

تعريفات

تعريفات وظائف الزيادة والنقصان
دع الوظيفة f (خ)المحددة في بعض المجموعات أرقام حقيقية x.
الوظيفة تسمى زيادة صارمة (تناقص صارم)، إذا كان لجميع x ′ ، x ′ ′ ∈ Xمثل هذا x ′< x′′ выполняется неравенство:
F (س ′)< f(x′′) (F (س ′)> و (س ′ ′) ) .
الوظيفة تسمى غير متناقص (غير متزايد)، إذا كان لجميع x ′ ، x ′ ′ ∈ Xمثل هذا x ′< x′′ выполняется неравенство:
F (س ′) ≤ و (س ′ ′)(F (س ′) ≥ و (س ′ ′) ) .

هذا يعني أن الوظيفة المتزايدة بشكل صارم لا تتناقص أيضًا. إن الوظيفة المتناقصة بشكل صارم هي أيضًا غير قابلة للتزايد.

تعريف دالة رتيبة
الوظيفة تسمى رتيبإذا كان غير متناقص أو غير متزايد.

لدراسة رتابة دالة في مجموعة معينة X ، تحتاج إلى إيجاد اختلاف قيمها في مجموعتين نقاط اعتباطيةتنتمي إلى هذه المجموعة. إذا ، فإن الوظيفة تتزايد بشكل صارم ؛ إذا ، فإن الوظيفة لا تنقص ؛ إذا ، ثم ينخفض ​​بشكل صارم ؛ إذا ، ثم لا يزيد.

إذا كانت الوظيفة إيجابية في بعض المجموعات: ثم لتحديد الرتابة ، يمكن للمرء أن يبحث في حاصل قسمة قيمه على نقطتين تعسفيتين من هذه المجموعة. إذا ، فإن الوظيفة تتزايد بشكل صارم ؛ إذا ، فإن الوظيفة لا تنقص ؛ إذا ، ثم ينخفض ​​بشكل صارم ؛ إذا ، ثم لا يزيد.

نظرية
دع الوظيفة f (خ)لا ينقص خلال الفاصل الزمني (أ ، ب)، أين .
إذا كان محددًا من الأعلى بالرقم M: فهناك حد أيسر محدود عند النقطة b:. إذا كان f (خ)غير مقيدة أعلاه ، إذن.
إذا كان f (خ)يحدها من الأسفل الرقم م: ، ثم يوجد حد أيمن منتهي عند النقطة أ:. إذا كان f (خ)غير مقيدة أدناه ، إذن.

إذا كانت النقطتان أ و ب على ما لا نهاية ، فإن علامات النهاية في التعبيرات تعني ذلك.
يمكن صياغة هذه النظرية بشكل أكثر إحكاما.

دع الوظيفة f (خ)لا ينقص خلال الفاصل الزمني (أ ، ب)، أين . ثم هناك حدود من جانب واحد عند النقطتين (أ) و (ب):
;
.

نظرية مماثلة لدالة غير متزايدة.

دع الوظيفة لا تزيد في الفاصل الزمني ، حيث. ثم هناك حدود من جانب واحد:
;
.

عاقبة
دع الوظيفة تكون رتيبة في الفترة. ثم في أي نقطة من هذه الفترة الزمنية ، توجد حدود محدودة من جانب واحد للوظيفة:
و .

إثبات النظرية

الوظيفة لا تنقص

ب - الرقم النهائي

وظيفة محدودة من أعلى

1.1.1. دع الدالة مقيدة من أعلى بالرقم M: for.

.
;
.

بما أن الوظيفة لا تنقص ، إذن. ثم
في .
دعنا نحول آخر متباينة:
;
;
.
لأنه عندها . ثم
في .

في .
"تعريفات حدود وظيفة من جانب واحد عند نقطة محدودة").

لا تقتصر الوظيفة من فوق

1. دع الوظيفة لا تنقص في الفاصل الزمني.
1.1 اجعل الرقم ب محدودًا:.
1.1.2. دع الوظيفة غير محدودة من الأعلى.
دعونا نثبت أن هناك حدًا في هذه الحالة.

.

في .

دعنا نشير. ثم لأي موجود ، لذلك أن
في .
هذا يعني أن الحد على اليسار عند النقطة ب هو (انظر "تعريفات الحدود اللانهائية من جانب واحد للدالة عند نقطة النهاية").

ب في وقت مبكر بالإضافة إلى اللانهاية

وظيفة محدودة من أعلى

1. دع الوظيفة لا تنقص في الفاصل الزمني.
1.2.1. دع الدالة مقيدة من أعلى بالرقم M: for.
دعونا نثبت أن هناك حدًا في هذه الحالة.

نظرًا لأن الوظيفة مقيدة من أعلى ، فهناك حد أعلى محدود
.
حسب تعريف الدقيق الوجه العلوي، تم تحقيقها وفقا للشروط:
;
لأي إيجابية هناك حجة من أجلها
.

بما أن الوظيفة لا تنقص ، إذن. ثم في. أو
في .

لذلك وجدنا أنه لأي رقم يوجد ، لذلك
في .
"تعريفات الحدود من جانب واحد عند اللانهاية").

لا تقتصر الوظيفة من فوق

1. دع الوظيفة لا تنقص في الفاصل الزمني.
1.2 دع الرقم ب يكون زائد ما لا نهاية:.
1.2.2. دع الوظيفة غير محدودة من الأعلى.
دعونا نثبت أن هناك حدًا في هذه الحالة.

نظرًا لأن الوظيفة غير مقيدة من أعلى ، فهناك حجة لأي رقم M
.

بما أن الوظيفة لا تنقص ، إذن. ثم في.

لذلك ، لأي رقم يوجد ، لذلك
في .
هذا يعني أن الحد عند (راجع "تعريفات الحدود اللانهائية من جانب واحد عند اللانهاية").

الوظيفة لا تزيد

فكر الآن في الحالة التي لا تتزايد فيها الوظيفة. يمكنك ، على النحو الوارد أعلاه ، النظر في كل خيار على حدة. لكننا سنغطيهم على الفور. لهذا نستخدم. دعونا نثبت أن هناك حدًا في هذه الحالة.

ضع في اعتبارك الحد الأدنى المحدود لمجموعة قيم الوظيفة:
.
هنا يمكن أن يكون B إما عددًا محدودًا أو نقطة في اللانهاية. وفقًا لتعريف الإصابة الدقيقة ، يتم استيفاء الشروط التالية:
;
لأي حي من النقطة B هناك حجة من أجلها
.
حسب شرط النظرية ،. لهذا .

بما أن الوظيفة لا تزيد ، إذن من أجل. منذ ذلك الحين
في .
أو
في .
علاوة على ذلك ، نلاحظ أن عدم المساواة تحدد الجوار المثقوب الأيسر للنقطة ب.

لذلك ، وجدنا أنه بالنسبة لأي منطقة مجاورة للنقطة ، يوجد مثل هذا الحي الأيسر المثقوب للنقطة b ذلك
في .
هذا يعني أن الحد على اليسار عند النقطة ب هو:

(انظر التعريف العام لنهاية الوظيفة وفقًا لكوشي).

حد عند النقطة أ

لنبين الآن أن هناك حدًا عند النقطة a ونوجد قيمتها.

دعنا نفكر في وظيفة. حسب حالة النظرية ، تكون الوظيفة رتيبة لـ. دعنا نستبدل المتغير x بـ - x (أو نقوم بالتعويض ثم نستبدل المتغير t بـ x). ثم تكون الوظيفة رتيبة لـ. ضرب المتباينات في -1 وتغيير ترتيبها ، نستنتج أن الوظيفة رتيبة لـ.

بطريقة مماثلة ، من السهل إظهار أنه إذا لم ينقص ، فلن يزداد. ثم ، حسب ما تم إثباته أعلاه ، هناك حد
.
إذا لم يزداد ، فلن ينقص. في هذه الحالة ، هناك حد
.

يبقى الآن إظهار أنه إذا كان هناك حد للدالة عند ، فهناك حد للدالة عند ، وهذه النهايات متساوية:
.

دعنا نقدم الترميز:
(1) .
دعنا نعبر عن f بدلالة g:
.
خذ رقمًا موجبًا عشوائيًا. يجب ألا يكون هناك حي إبسيلون من النقطة أ. يتم تعريف حي إبسيلون لكل من القيم المحدودة وغير المحدودة لـ A (انظر "جوار نقطة"). نظرًا لوجود حد (1) ، إذن ، وفقًا لتعريف الحد ، يوجد مثل هذا الحد
في .

اسمح أن يكون عددًا محدودًا. دعونا نعبر عن الجوار المثقوب الأيسر للنقطة - أ باستخدام عدم المساواة:
في .
دعنا نستبدل x بـ -x ونأخذ في الاعتبار ما يلي:
في .
تحدد المتباينتان الأخيرتان الحي الأيمن المثقوب للنقطة أ. ثم
في .

اسمحوا أن يكون عدد لا حصر له ،. نكرر المناقشة.
في ؛
في ؛
في ؛
في .

لذلك ، وجدنا أنه لأي شخص يوجد مثل هذا
في .
هذا يعني انه
.

لقد تم إثبات النظرية.

التقينا لأول مرة في دورة الجبر للصف السابع. بالنظر إلى الرسم البياني للوظيفة ، أزلنا المعلومات ذات الصلة: إذا كنا نتحرك على طول الرسم البياني من اليسار إلى اليمين ، فنحن في نفس الوقت نتحرك من أسفل إلى أعلى (كما لو كنا نتسلق تلًا) ، ثم أعلنا زيادة الدالة (الشكل 124) ؛ إذا انتقلنا من أعلى إلى أسفل (نزول التل) ، فإننا أعلنا أن الوظيفة تتناقص (الشكل 125).

ومع ذلك ، فإن علماء الرياضيات ليسوا مغرمين جدًا بهذه الطريقة في دراسة خصائص الوظيفة. إنهم يعتقدون أن تعريفات المفاهيم لا ينبغي أن تستند إلى رسم - يجب أن يوضح الرسم فقط خاصية أو أخرى لوظيفة ما جدول. دعونا نعطي تعريفات صارمة لمفاهيم زيادة الوظائف وتناقصها.

التعريف 1. تسمى الدالة y \ u003d f (x) زيادة على الفاصل الزمني X ، إذا كانت من المتباينة x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

التعريف 2. تسمى الدالة y \ u003d f (x) بالتناقص على الفاصل الزمني X ، إذا كانت من المتباينة x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует عدم المساواة f (x1)> f (x2).

من الناحية العملية ، من الأنسب استخدام الصيغ التالية:

تزيد الدالة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع القيمة الأكبر للدالة ؛
تتناقص الدالة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع القيمة الأصغر للدالة.

استخدام هذه التعريفات والخصائص المنصوص عليها في الفقرة 33 عدم المساواة العددية، سنكون قادرين على إثبات الاستنتاجات حول زيادة أو نقصان الوظائف التي تمت دراستها مسبقًا.

1. الدالة الخطية y = kx + m

إذا كانت k> 0 ، فإن الوظيفة تزداد على الكل (الشكل 126) ؛ إذا ك< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

دليل - إثبات. دع f (x) = kx + m. إذا × 1< х 2 и k >إذن ، وفقًا للخاصية 3 من عدم المساواة العددية (انظر الفقرة 33) ، kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

إذن ، من المتباينة x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. خطيوظائف y = kx + m.

إذا × 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 ، ووفقًا للخاصية 2 ، من kx 1> kx 2 يتبع ذلك kx 1 + m> kx 2 + t.

إذن ، من المتباينة x 1< х 2 следует, что f(х 1) >و (× 2). هذا يعني أن الوظيفة y \ u003d f (x) تقل ، أي دالة خطيةص = ك س + م.

إذا كانت الوظيفة تتزايد (تتناقص) في مجال تعريفها بالكامل ، فيمكن عندئذٍ تسميتها زيادة (تناقص) دون تحديد الفترة الزمنية. على سبيل المثال ، حول الوظيفة y \ u003d 2x - 3 ، يمكننا القول إنها تزيد على خط الأرقام بالكامل ، ولكن يمكننا أيضًا أن نقول باختصار: y \ u003d 2x - 3 - زيادة
وظيفة.

2. الوظيفة y = x2

1. ضع في اعتبارك الوظيفة y \ u003d x 2 على الحزمة. خذ رقمين غير موجبين x 1 و x 2 بحيث x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- × 2. نظرًا لأن العددين - x 1 و - x 2 غير سالبين ، إذن ، بتربيع كلا الجزأين من المتباينة الأخيرة ، نحصل على متباينة بنفس المعنى (-x 1) 2> (-x 2) 2 ، أي هذا يعني أن f (x 1)> f (x 2).

إذن ، من المتباينة x 1< х 2 следует, что f(х 1) >و (× 2).

لذلك ، تقل الوظيفة y \ u003d x 2 على الحزمة (- 00 ، 0] (الشكل 128).

1. ضع في اعتبارك دالة في الفترة الزمنية (0 ، + 00).
اسمحوا x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >و (x2).

إذن ، من المتباينة x 1< х 2 следует, что f(x 1) >و (x2). هذا يعني أن الوظيفة تتناقص على الشعاع المفتوح (0 ، + 00) (الشكل 129).

2. ضع في اعتبارك وظيفة في الفترة الزمنية (-oo ، 0). اسمحوا x 1< х 2 , х 1 и х 2 - أرقام سالبة. ثم - x 1> - x 2 وكلا جزأي المتراجحة الأخيرة - أرقام موجبة، وبالتالي (استخدمنا مرة أخرى عدم المساواة المثبتة في المثال 1 من الفقرة 33). ثم لدينا من أين نصل.

إذن ، من المتباينة x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2) أي تقل الوظيفة على الشعاع المفتوح (- 00 ، 0)

عادة ما يتم الجمع بين المصطلحين "وظيفة متزايدة" و "دالة تناقص" اسم شائعتسمى الوظيفة الرتيبة ، ودراسة وظيفة الزيادة والنقصان ، دراسة وظيفة الرتابة.

المحلول.

1) دعنا نرسم الدالة y \ u003d 2x 2 ونأخذ فرع هذا القطع المكافئ عند x< 0 (рис. 130).

2) دعونا نبني ونختار الجزء الخاص به على المقطع (الشكل 131).

3) نقوم ببناء القطع الزائد ونختار الجزء الخاص به على الشعاع المفتوح (4 ، + 00) (الشكل 132).
4) سيتم تصوير "القطع" الثلاث في نفس نظام الإحداثيات - هذا هو الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) (الشكل 133).

دعنا نقرأ الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x).

1. نطاق الوظيفة هو خط الأعداد بأكمله.

2. y \ u003d 0 لـ x \ u003d 0 ؛ y> 0 لـ x> 0.

3. تتناقص الوظيفة على الشعاع (-oo ، 0] ، وتزداد على القطعة ، وتنقص على الشعاع ، وتحدب لأعلى على القطعة ، وتحدب لأسفل على الشعاعضع في اعتبارك الوظيفة \ (f (t) = t ^ 3 + t \). ثم ستتم إعادة كتابة المعادلة بالشكل التالي: \ نقوم بفحص الوظيفة \ (f (t) \). \ لذلك ، فإن الوظيفة \ (f (t) \) تتزايد للجميع \ (t \). هذا يعني أن كل قيمة للدالة \ (f (t) \) تتوافق مع قيمة واحدة بالضبط من الوسيطة \ (t \). لذلك ، لكي يكون للمعادلة جذور ، فأنت بحاجة إلى: \ لكي يكون للمعادلة الناتجة جذرين ، يجب أن يكون مميزها موجبًا: \

إجابه:

\ (\ يسار (- infty؛ \ dfrac1 (12) \ يمين) \)

المهمة 2 # 2653

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

ابحث عن جميع قيم المعلمة \ (a \) التي معادلة لها \

له جذور.

(مهمة من المشتركين.)

لنقم باستبدال: \ (ax ^ 2-2x = t \) ، \ (x ^ 2-1 = u \). ثم تأخذ المعادلة الشكل: \ ضع في اعتبارك الوظيفة \ (f (w) = 7 ^ w + \ sqrtw \). ثم ستأخذ معادلتنا الشكل:

لنجد المشتق \ لاحظ أنه بالنسبة لجميع \ (w \ ne 0 \) ، يكون المشتق \ (f "(w)> 0 \) ، منذ \ (7 ^ w> 0 \) ، \ (w ^ 6> 0 \). لاحظ أيضًا أن الوظيفة \ (f (w) \) نفسها معرّفة للجميع \ (w \) ، ولأن \ (f (w) \) مستمر ، يمكننا أن نستنتج أن \ (f (w) \) هو يزداد على الكل (\ mathbb (R) \).
ومن ثم ، فإن المساواة \ (f (t) = f (u) \) ممكنة إذا وفقط إذا \ (t = u \). دعنا نعود إلى المتغيرات الأصلية ونحل المعادلة الناتجة:

\ من أجل أن يكون لهذه المعادلة جذران ، يجب أن تكون مربعة ومميزها يجب أن يكون موجبًا:

\ [\ start (الحالات) a-1 \ ne 0 \\ 4-4 (a-1)> 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) a \ ne1 \\ a<2\end{cases}\]

إجابه:

\ ((- infty ؛ 1) كوب (1 ؛ 2) \)

المهمة 3 # 3921

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

ابحث عن جميع القيم الموجبة للمعامل \ (a \) الذي معادلة له

لديه على الأقل \ (2 \) من الحلول.

لننقل جميع المصطلحات التي تحتوي على \ (ax \) إلى اليسار ، وتلك التي تحتوي على \ (x ^ 2 \) إلى اليمين ، ونفكر في الوظيفة
\

ثم تأخذ المعادلة الأصلية الشكل:
\

لنجد المشتق:
\

لان \ ((t-2) ^ 2 \ geqslant 0 ، \ e ^ t> 0 ، \ 1+ \ cos (2t) \ geqslant 0 \)، ثم \ (f "(t) \ geqslant 0 \) لأي \ (t \ in \ mathbb (R) \).

علاوة على ذلك ، \ (f "(t) = 0 \) إذا \ ((t-2) ^ 2 = 0 \) و \ (1+ \ cos (2t) = 0 \) في نفس الوقت ، وهذا ليس صحيحًا لأي \ (t \) لذلك \ (f "(t)> 0 \) لأي \ (t \ in \ mathbb (R) \).

وبالتالي فإن الوظيفة \ (f (t) \) تتزايد بشكل صارم لجميع \ (t \ in \ mathbb (R) \).

لذا فإن المعادلة \ (f (ax) = f (x ^ 2) \) تعادل المعادلة \ (ax = x ^ 2 \).

المعادلة \ (x ^ 2-ax = 0 \) مع \ (a = 0 \) لها جذر واحد \ (x = 0 \) ، ومع \ (a \ ne 0 \) يكون لها جذران جذر مختلف\ (x_1 = 0 \) و \ (x_2 = أ \).
نحتاج إلى إيجاد القيم \ (أ \) التي سيكون للمعادلة لها جذران على الأقل ، مع الأخذ في الاعتبار أيضًا حقيقة أن \ (أ> 0 \).
لذلك ، الجواب هو: \ (a \ in (0 ؛ + \ infty) \).

إجابه:

\ ((0 ؛ + \ infty) \).

المهمة 4 # 1232

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

ابحث عن جميع قيم المعلمة \ (a \) ، لكل منها المعادلة \

لديه حل فريد.

اضرب الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة بـ \ (2 ^ (\ sqrt (x + 1)) \) (لأن \ (2 ^ (\ sqrt (x + 1))> 0 \)) وأعد كتابة المعادلة بالشكل : \

ضع في اعتبارك الوظيفة \ (y = 2 ^ t \ cdot \ log _ (\ frac (1) (9)) ((t + 2)) \)لـ \ (t \ geqslant 0 \) (بسبب \ (\ sqrt (x + 1) \ geqslant 0 \)).

المشتق \ (y "= \ left (-2 ^ t \ cdot \ log_9 ((t + 2)) \ right)" = - \ dfrac (2 ^ t) (\ ln9) \ cdot \ left (\ ln 2 \ cdot \ ln ((t + 2)) + \ dfrac (1) (t + 2) \ حق) \).

لان \ (2 ^ t> 0، \ \ dfrac (1) (t + 2)> 0، \ \ ln ((t + 2))> 0 \)للجميع \ (t \ geqslant 0 \) ، ثم \ (y "<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

وبالتالي ، بالنسبة لـ \ (t \ geqslant 0 \) تقل الوظيفة \ (y \) بشكل رتيب.

يمكن عرض المعادلة على أنها \ (y (t) = y (z) \) ، حيث \ (z = ax ، t = \ sqrt (x + 1) \). يترتب على رتابة الوظيفة أن المساواة ممكنة فقط إذا \ (t = z \).

هذا يعني أن المعادلة تعادل المعادلة: \ (ax = \ sqrt (x + 1) \) ، وهذا بدوره يعادل النظام: \ [\ start (الحالات) a ^ 2x ^ 2-x-1 = 0 \\ ax \ geqslant 0 \ end (cases) \]

بالنسبة إلى \ (a = 0 \) ، يحتوي النظام على حل واحد \ (x = -1 \) ، والذي يفي بالشرط \ (ax \ geqslant 0 \).

ضع في اعتبارك الحالة \ (a \ ne 0 \). مميز المعادلة الأولى للنظام \ (D = 1 + 4a ^ 2> 0 \) للجميع \ (أ \). لذلك ، فإن المعادلة دائمًا لها جذران \ (x_1 \) و \ (x_2 \) ، ولديهما إشارات مختلفة (لأن نظرية فييتا \ (x_1 \ cdot x_2 = - \ dfrac (1) (أ ^ 2)<0\) ).

هذا يعني أن لـ \ (a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0 \) الجذر الإيجابي يناسب الشرط. لذلك ، يتمتع النظام دائمًا بحل فريد.

لذلك \ (a \ in \ mathbb (R) \).

إجابه:

\ (a \ in \ mathbb (R) \).

المهمة 5 # 1234

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

ابحث عن جميع قيم المعلمة \ (a \) ، لكل منها المعادلة \

له جذر واحد على الأقل من الفاصل \ ([- 1 ؛ 0] \).

ضع في اعتبارك الوظيفة \ (f (x) = 2x ^ 3-3x (ax + x-a ^ 2-1) -3a-a ^ 3 \)لبعض الثابتة \ (أ \). لنجد مشتقها: \ (f "(x) = 6x ^ 2-6ax-6x + 3a ^ 2 + 3 = 3 (x ^ 2-2ax + a ^ 2 + x ^ 2-2x + 1) = 3 ((x-a) ^ 2 + (x-1) ^ 2) \).

لاحظ أن \ (f "(x) \ geqslant 0 \) لجميع قيم \ (x \) و \ (a \) ، ويساوي \ (0 \) فقط لـ \ (x = a = 1 \) ولكن بالنسبة لـ \ (أ = 1 \):
\ (f "(x) = 6 (x-1) ^ 2 \ Rightarrow f (x) = 2 (x-1) ^ 3 \ Rightarrow \)المعادلة \ (2 (x-1) ^ 3 = 0 \) لها جذر واحد \ (x = 1 \) لا يفي بالشرط. لذلك ، لا يمكن أن يكون \ (a \) مساويًا لـ \ (1 \).

ومن ثم ، بالنسبة للجميع \ (a \ ne 1 \) فإن الوظيفة \ (f (x) \) تتزايد بشكل صارم ، وبالتالي يمكن أن تحتوي المعادلة \ (f (x) = 0 \) على جذر واحد على الأكثر. بالنظر إلى خصائص الدالة التكعيبية ، سيبدو الرسم البياني \ (f (x) \) لبعض العناصر الثابتة \ (a \) كما يلي:

لذلك ، لكي يكون للمعادلة جذر من المقطع \ ([- 1 ؛ 0] \) ، من الضروري: \ [\ start (cases) f (0) \ geqslant 0 \\ f (-1) \ leqslant 0 \ end (cases) \ rightarrow \ begin (cases) a (a ^ 2 + 3) \ leqslant 0 \\ ( a + 2) (a ^ 2 + a + 4) \ geqslant 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ start (cases) a \ leqslant 0 \\ a \ geqslant -2 \ end (cases) \ Rightarrow -2 \ leqslant أ \ leqslant 0 \]

لذلك \ (a \ in [-2؛ 0] \).

إجابه:

\ (a \ in [-2؛ 0] \).

المهمة 6 # 2949

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

ابحث عن جميع قيم المعلمة \ (a \) ، لكل منها المعادلة \ [(\ sin ^ 2x-5 \ sin x-2a (\ sin x-3) +6) \ cdot (\ sqrt2a + 8x \ sqrt (2x-2x ^ 2)) = 0 \]

له جذور.

(مهمة من المشتركين)

معادلة odz: \ (2x-2x ^ 2 \ geqslant 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad x \ in \). لذلك ، من أجل أن يكون للمعادلة جذور ، من الضروري أن تكون واحدة على الأقل من المعادلات \ [\ sin ^ 2x-5 \ sin x-2a (\ sin x-3) + 6 = 0 \ quad (\ small (\ text (or))) \ quad \ sqrt2a + 8x \ sqrt (2x-2x ^ 2) = 0 \]لديها قرارات بشأن ODZ.

1) النظر في المعادلة الأولى \ [\ sin ^ 2x-5 \ sin x-2a (\ sin x-3) + 6 = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ start (التجمع) \ start (align) & \ sin x = 2a + 2 \\ & \ sin x = 3 \\ \ end (محاذاة) \ end (مجمعة) \ right. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ sin x = 2a + 2 \]يجب أن يكون لهذه المعادلة جذور في \ (\). ضع في اعتبارك دائرة:

وهكذا ، نرى أنه بالنسبة لأي \ (2a + 2 \ في [\ sin 0؛ \ sin 1] \) سيكون للمعادلة حل واحد ، ولن يكون لها حل بالنسبة لجميع الآخرين. لذلك ، متى \ (a \ in \ left [-1؛ -1+ \ sin 1 \ right] \)المعادلة لها حلول.

2) النظر في المعادلة الثانية \ [\ sqrt2a + 8x \ sqrt (2x-2x ^ 2) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad 8x \ sqrt (x-x ^ 2) = - a \]

ضع في اعتبارك الوظيفة \ (f (x) = 8x \ sqrt (x-x ^ 2) \). لنجد مشتقها: \ في ODZ ، يحتوي المشتق على صفر واحد: \ (x = \ frac34 \) ، وهي أيضًا النقطة القصوى للدالة \ (f (x) \).
لاحظ أن \ (f (0) = f (1) = 0 \). لذلك ، من الناحية التخطيطية ، يبدو الرسم البياني \ (f (x) \) كما يلي:

لذلك ، من أجل أن يكون للمعادلة حلول ، من الضروري أن يتقاطع الرسم البياني \ (f (x) \) مع الخط \ (y \ u003d -a \) (يظهر أحد الخيارات المناسبة في الشكل) . هذا هو ، من الضروري أن \ . مع هذه \ (س \):

الدالة \ (y_1 = \ sqrt (x-1) \) تتزايد بشكل صارم. الرسم البياني للدالة \ (y_2 = 5x ^ 2-9x \) هو قطع مكافئ رأسه عند النقطة \ (x = \ dfrac (9) (10) \). لذلك ، بالنسبة لجميع \ (x \ geqslant 1 \) ، فإن الوظيفة \ (y_2 \) تتزايد أيضًا بشكل صارم (الفرع الأيمن من القطع المكافئ). لان يتزايد مجموع الوظائف المتزايدة بشكل صارم ، ثم \ (f_a (x) \) يتزايد بشكل صارم (الثابت \ (3a + 8 \) لا يؤثر على رتابة الوظيفة).

الوظيفة \ (g_a (x) = \ dfrac (a ^ 2) (x) \) للجميع \ (x \ geqslant 1 \) هي جزء من الفرع الأيمن للقطع الزائد وتتناقص بشكل صارم.

حل المعادلة \ (f_a (x) = g_a (x) \) يعني إيجاد نقاط تقاطع الدالتين \ (f \) و \ (g \). ويترتب على ذلك أن المعادلة يمكن أن تحتوي على جذر واحد على الأكثر.

لـ \ (x \ geqslant 1 \) \ (f_a (x) \ geqslant 3a + 4، \ \ \ 0 . لذلك ، سيكون للمعادلة حل فريد إذا:

\\فنجان

إجابه:

\ (a \ in (- \ infty؛ -1] \ كوب)