بهذا الفيديو ، أبدأ سلسلة طويلة من الدروس حول المشتقات. يتكون هذا الدرس من عدة أجزاء.

بادئ ذي بدء ، سأخبرك ما هي المشتقات بشكل عام وكيفية حسابها ، ولكن ليس بلغة أكاديمية متطورة ، ولكن بالطريقة التي أفهمها بها بنفسي وكيف أشرحها لطلابي. ثانيًا ، سننظر في أبسط قاعدة لحل المشكلات التي سنبحث فيها عن مشتقات المبالغ ومشتقات الفرق ومشتقات دالة الأس.

سننظر في أمثلة مجمعة أكثر تعقيدًا ، والتي ستتعلم منها ، على وجه الخصوص ، أنه يمكن حل المشكلات المماثلة التي تتضمن جذورًا وحتى كسورًا باستخدام صيغة مشتقة دالة أس. بالإضافة إلى ذلك ، بالطبع ، سيكون هناك العديد من المهام والأمثلة للحلول بمستويات مختلفة من التعقيد.

بشكل عام ، كنت سأقوم في البداية بتسجيل مقطع فيديو قصير مدته 5 دقائق ، ولكن يمكنك أن ترى بنفسك ما جاء منه. يكفي من الكلمات - دعنا نبدأ العمل.

ما هو المشتق؟

لذا ، لنبدأ من بعيد. منذ عدة سنوات ، عندما كانت الأشجار أكثر خضرة وكانت الحياة أكثر متعة ، فكر علماء الرياضيات في هذا: فكر في وظيفة بسيطة قدمها الرسم البياني ، دعنا نسميها $ y = f \ left (x \ right) $. بالطبع ، لا يوجد الرسم البياني من تلقاء نفسه ، لذلك تحتاج إلى رسم المحور $ x $ ، وكذلك المحور $ y $. والآن لنختار أي نقطة على هذا التمثيل البياني ، أي نقطة على الإطلاق. دعنا نسمي الإحداثي $ ((x) _ (1)) $ ، الإحداثي ، كما قد تتخيل ، سيكون $ f \ left (((x) _ (1)) \ right) $.

ضع في اعتبارك نقطة أخرى على نفس الرسم البياني. لا يهم أيهما ، الشيء الرئيسي هو أنه يختلف عن الأصل. مرة أخرى ، يحتوي على حدود الإحداثية ، دعنا نسميها $ ((x) _ (2)) $ ، بالإضافة إلى الإحداثي - $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

لذلك ، حصلنا على نقطتين: لديهم أشكال مختلفة ، وبالتالي ، قيم دالة مختلفة ، على الرغم من أن الأخيرة اختيارية. ولكن المهم حقًا هو أننا نعلم من مسار قياس الكواكب أنه يمكن رسم خط مستقيم من خلال نقطتين ، علاوة على نقطة واحدة فقط. هنا ، لنشغلها.

والآن لنرسم خطًا مستقيمًا يمر به أولهما موازيًا للمحور x. نحصل على مثلث قائم الزاوية. لنسميها $ ABC $ ، الزاوية اليمنى $ C $. هذا المثلث له خاصية واحدة مثيرة للاهتمام: الحقيقة هي أن الزاوية $ \ alpha $ تساوي في الواقع الزاوية التي يتقاطع تحتها الخط المستقيم $ AB $ مع استمرار محور الإحداثي. أحكم لنفسك:

1. السطر $ AC $ يوازي المحور $ Ox $ بالبناء ،
2. السطر $ AB $ يتقاطع مع $ AC $ تحت $ \ alpha $ ،
3. ومن ثم يتقاطع $ AB $ مع $ Ox $ تحت نفس $ \ alpha $.

ماذا يمكننا أن نقول عن $ \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () $؟ لا شيء ملموسًا ، باستثناء أنه في المثلث $ ABC $ ، فإن نسبة الضلع $ BC $ إلى الضلع $ AC $ تساوي مماس هذه الزاوية بالذات. لذلك دعونا نكتب:

بالطبع ، AC $ في هذه القضيةيعتبر بسهولة:

وبالمثل بالنسبة لـ $ BC $:

بمعنى آخر يمكننا كتابة ما يلي:

\ [\ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () = \ frac (f \ left (((x) _ (2)) \ right) -f \ left ( ((x) _ (1)) \ right)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

الآن وقد انتهينا من كل ذلك ، فلنعد إلى الرسم البياني ونلقي نظرة على نقطة $ B $ الجديدة. امسح القيم القديمة وخذ $ B $ في مكان ما أقرب إلى $ ((x) _ (1)) $. دعنا نشير مرة أخرى إلى الحد الفاصل له على أنه $ ((x) _ (2)) $ ، والإحداثيات الخاصة به $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

فكر مرة أخرى في المثلث الصغير $ ABC $ و $ \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () $ بداخله. من الواضح تمامًا أن هذه ستكون زاوية مختلفة تمامًا ، وسيكون الظل مختلفًا أيضًا لأن أطوال المقطعين $ AC $ و $ BC $ تغيرتا بشكل كبير ، ولم تتغير صيغة ظل الزاوية على الإطلاق - لا تزال هذه هي النسبة بين تغيير الوظيفة وتغيير الوسيطة.

أخيرًا ، نستمر في تحريك $ B $ أقرب وأقرب إلى النقطة الأولية $ A $ ، ونتيجة لذلك ، سينخفض ​​المثلث أكثر ، وسيبدو الخط الذي يحتوي على المقطع $ AB $ أكثر فأكثر مثل الظل لـ الرسم البياني للوظيفة.

نتيجة لذلك ، إذا واصلنا الاقتراب من النقاط ، أي قللنا المسافة إلى الصفر ، فإن الخط المستقيم $ AB $ سيتحول بالفعل إلى مماس للرسم البياني عند هذه النقطة ، و $ \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () $ سيتغير من عنصر مثلث عادي إلى زاوية بين المماس للرسم البياني والاتجاه الموجب لمحور $ Ox $.

وهنا ننتقل بسلاسة إلى تعريف $ f $ ، أي مشتق الوظيفة عند النقطة $ ((x) _ (1)) $ هو ظل الزاوية $ \ alpha $ بين المماس إلى الرسم البياني عند النقطة $ ((x) _ (1)) $ والاتجاه الإيجابي للمحور $ Ox $:

\ [(f) "\ left (((x) _ (1)) \ right) = \ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () \]

بالعودة إلى الرسم البياني الخاص بنا ، تجدر الإشارة إلى أنه مثل $ ((x) _ (1)) $ ، يمكنك اختيار أي نقطة على الرسم البياني. على سبيل المثال ، وبنفس النجاح ، يمكننا إزالة الحد من النقطة الموضحة في الشكل.

لنسمي الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور $ \ beta $. وفقًا لذلك ، فإن $ f $ في $ ((x) _ (2)) $ سيكون مساويًا لمماس هذه الزاوية $ \ beta $.

\ [(f) "\ left (((x) _ (2)) \ right) = tg \ text () \! \! \ beta \! \! \ text () \]

سيكون لكل نقطة في الرسم البياني ظلها الخاص ، وبالتالي قيمتها الخاصة للدالة. في كل حالة من هذه الحالات ، بالإضافة إلى النقطة التي نبحث عندها عن مشتق فرق أو مجموع ، أو مشتق من دالة قوة ، من الضروري أن نأخذ نقطة أخرى تقع على مسافة ما منها ، ثم قم بتوجيه هذه النقطة إلى النقطة الأصلية ، وبالطبع اكتشف كيف ستغير هذه الحركة من خلال هذه العملية ظل زاوية الميل.

مشتق دالة القدرة

للأسف ، هذا التعريف لا يناسبنا على الإطلاق. كل هذه الصيغ والصور والزوايا لا تعطينا أدنى فكرة عن كيفية حساب المشتق الحقيقي في المشاكل الحقيقية. لذلك ، دعنا نبتعد قليلاً عن التعريف الرسمي ونفكر في الصيغ والتقنيات الأكثر فاعلية التي يمكنك من خلالها حل المشكلات الحقيقية بالفعل.

لنبدأ بأبسط الإنشاءات ، وهي الدوال التي لها شكل $ y = ((x) ^ (n)) $ ، أي. وظائف الطاقة. في هذه الحالة ، يمكننا كتابة ما يلي: $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. بمعنى آخر ، تظهر الدرجة التي كانت في الأس في المضاعف أمامه ، ويتم تقليل الأس نفسه بوحدة ، على سبيل المثال:

\ [\ start (align) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ end (align) \]

وهنا خيار آخر:

\ [\ start (align) & y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \ end (محاذاة) \]

باستخدام هذه القواعد البسيطة ، دعنا نحاول التخلص من الأمثلة التالية:

لذلك نحصل على:

\ [((\ left (((x) ^ (6)) \ right)) ^ (\ prime)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

لنحل الآن التعبير الثاني:

\ [\ start (align) & f \ left (x \ right) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ left (((x) ^ (100)) \ right)) ^ (\ رئيس)) = 100 \ cdot ((س) ^ (99)) = 100 ((س) ^ (99)) \ نهاية (محاذاة) \]

بالطبع ، كانت هذه مهام بسيطة للغاية. ومع ذلك ، فإن المشاكل الحقيقية أكثر تعقيدًا ولا تقتصر على صلاحيات الوظيفة.

إذن ، القاعدة رقم 1 - إذا تم تمثيل الدالة على أنها الاثنان الآخران ، فإن مشتق هذا المجموع يساوي مجموع المشتقات:

\ [((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" \]

وبالمثل ، فإن مشتق الفرق بين وظيفتين يساوي فرق المشتقات:

\ [((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" \]

\ [((\ left (((x) ^ (2)) + x \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ رئيس)) + ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 2x + 1 \]

بالإضافة إلى ذلك ، هناك قاعدة مهمة أخرى: إذا كان بعض $ f $ مسبوقًا بثابت $ c $ ، حيث يتم ضرب هذه الدالة ، فإن $ f $ لهذا البناء بأكمله يعتبر على النحو التالي:

\ [((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ left (3 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ رئيس)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

أخيرًا ، هناك قاعدة أخرى مهمة جدًا: غالبًا ما تحتوي المشكلات على مصطلح منفصل لا يحتوي على $ x $ على الإطلاق. على سبيل المثال ، يمكننا ملاحظة ذلك في تعبيرات اليوم. مشتق الثابت ، أي الرقم الذي لا يعتمد بأي شكل من الأشكال على $ x $ ، يساوي دائمًا صفرًا ، ولا يهم على الإطلاق ما يساوي الثابت $ c $:

\ [((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

مثال على الحل:

\ [((\ left (1001 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (1) (1000) \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

مرة أخرى النقاط الرئيسية:

1. دائمًا ما يكون مشتق مجموع وظيفتين مساويًا لمجموع المشتقات: $ ((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" $؛
2. لأسباب مماثلة ، فإن مشتق الفرق بين وظيفتين يساوي الفرق بين مشتقتين: $ ((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" $؛
3. إذا كان للدالة ثابت عامل ، فيمكن إخراج هذا الثابت من علامة المشتق: $ ((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) " $ ؛
4. إذا كانت الدالة بأكملها ثابتة ، فإن مشتقها يكون دائمًا صفرًا: $ ((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 $.

دعونا نرى كيف يعمل كل شيء مع أمثلة حقيقية. لذا:

نكتب:

\ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + (7) "= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\ end (محاذاة) \]

في هذا المثال ، نرى كلًا من مشتق المجموع ومشتق الفرق. إذن ، فإن المشتق هو $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

دعنا ننتقل إلى الوظيفة الثانية:

اكتب الحل:

\ [\ start (align) & ((\ left (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (2x \ right)) ^ (\ prime)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ left (((x)) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) - 2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ end (align) \]

هنا وجدنا الجواب.

دعنا ننتقل إلى الوظيفة الثالثة - إنها بالفعل أكثر جدية:

\ [\ start (align) & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \ frac (1) (2) x-5 \ right)) ^ (\ Prime)) = ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right )) ^ (\ Prime)) + ((\ left (\ frac (1) (2) x \ right)) ^ (\ prime)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ left (( (x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2)) -6x + \ frac (1) (2) \\\ end (محاذاة) \]

لقد وجدنا الجواب.

دعنا ننتقل إلى التعبير الأخير - الأكثر تعقيدًا والأطول:

لذلك نحن نعتبر:

\ [\ start (align) & ((\ left (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ right)) ^ (\ prime)) = ( (\ left (6 ((x) ^ (7)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (14 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (4x \ right)) ^ (\ prime)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ end (align) \]

لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد ، لأننا مطالبون ليس فقط بإزالة الحد ، ولكن بحساب قيمته عند نقطة معينة ، لذلك نستبدل 1 بدلاً من $ x $ في التعبير:

\ [(y) "\ يسار (-1 \ يمين) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

نذهب أبعد من ذلك وننتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدًا وإثارة للاهتمام. النقطة هي أن صيغة حل مشتق القوة $ ((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ له نطاق أوسع مما هو شائع. بمساعدتها ، يمكنك حل الأمثلة ذات الكسور والجذور وما إلى ذلك. وهذا ما سنفعله الآن.

بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب الصيغة مرة أخرى ، والتي ستساعدنا في إيجاد مشتقة دالة القوة:

والانتباه الآن: حتى الآن اعتبرنا الأعداد الطبيعية هي $ n $ ، لكن لا شيء يمنعنا من التفكير في الكسور وحتى الأرقام السالبة. على سبيل المثال يمكننا كتابة ما يلي:

\ [\ start (align) & \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ رئيس الوزراء)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\\ end (محاذاة) \]

لا يوجد شيء معقد ، لذلك دعونا نرى كيف ستساعدنا هذه الصيغة في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا. إذن مثال:

اكتب الحل:

\ [\ start (align) & \ left (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ right) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime )) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) \ & ((\ يسار (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ ( \ رئيس)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot ((x ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ يسار (\ sqrt (x) \ يمين)) ^ (\ Prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x)) ^ (3)))) \\\ end (محاذاة) \]

دعنا نعود إلى مثالنا ونكتب:

\ [(y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4 \ الجذر التربيعي (((س) ^ (3)))) \]

هذا قرار صعب

دعنا ننتقل إلى المثال الثاني - لا يوجد سوى مصطلحين ، لكن كل منهما يحتوي على الدرجة الكلاسيكية والجذور.

الآن سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتق دالة القوة ، والتي تحتوي بالإضافة إلى ذلك على جذر:

\ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) \ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = (( \ يسار (((x) ^ (3+ \ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (11) (3 ))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2 ))) \\ & ((\ left (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7 )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7 \ frac (1) (3 ))) \ right)) ^ (\ prime)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3 ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \ end (محاذاة) \]

يتم حساب كلا المصطلحين ، ويبقى كتابة الإجابة النهائية:

\ [(y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

لقد وجدنا الجواب.

مشتق كسر بدلالة دالة أس

لكن إمكانيات صيغة حل مشتق دالة القوة لا تنتهي عند هذا الحد. الحقيقة هي أنه بمساعدتها ، لا يمكنك حساب الأمثلة ذات الجذور فحسب ، بل أيضًا بالكسور. هذه مجرد فرصة نادرة تبسط حل مثل هذه الأمثلة إلى حد كبير ، ولكن غالبًا ما يتم تجاهلها ليس فقط من قبل الطلاب ، ولكن أيضًا من قبل المعلمين.

إذن ، سنحاول الآن دمج صيغتين في وقت واحد. من ناحية أخرى ، المشتق الكلاسيكي لدالة القوة

\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

من ناحية أخرى ، نعلم أن التعبير بالصيغة $ \ frac (1) (((x) ^ (n))) $ يمكن تمثيله كـ $ ((x) ^ (- n)) $. بالتالي،

\ [\ left (\ frac (1) (((x) ^ (n))) \ right) "= ((\ left (((x) ^ (- n)) \ right)) ^ (\ prime) ) = - n \ cdot ((x) ^ (- n-1)) = - \ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \]

\ [((\ left (\ frac (1) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ left (((x) ^ (- 1)) \ right) = - 1 \ cdot ((x ) ^ (- 2)) = - \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

وهكذا ، فإن مشتقات الكسور البسيطة ، حيث البسط ثابت والمقام درجة ، تُحسب أيضًا باستخدام الصيغة الكلاسيكية. دعونا نرى كيف يعمل في الممارسة.

لذا فإن الوظيفة الأولى:

\ [((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 2)) \ يمين)) ^ (\ Prime)) = - 2 \ cdot ((x) ^ (- 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

تم حل المثال الأول ، دعنا ننتقل إلى المثال الثاني:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ \ & = ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ Prime)) - ((\ left (\ frac (2) (3 (( x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left ( 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) \ & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ رئيس)) = \ فارك (7) (4) ((\ يسار (\ فارك (1) (((س) ^ (4))) \ يمين)) ^ (\ رئيس)) = \ فارك (7 ) (4) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ right) ) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ left (2)) ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ يسار (3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ end (محاذاة) \] ...

الآن نجمع كل هذه المصطلحات في صيغة واحدة:

\ [(y) "= - \ frac (7) (((x) ^ (5))) + \ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

حصلنا على رد.

ومع ذلك ، قبل الانتقال ، أود أن ألفت انتباهك إلى شكل كتابة التعبيرات الأصلية نفسها: في التعبير الأول كتبنا $ f \ left (x \ right) = ... $ ، في الثاني: $ y = ... يفقد العديد من الطلاب عندما يرون أشكالًا مختلفة من الرموز. ما الفرق بين $ f \ left (x \ right) $ و $ y $؟ في الواقع شيئا. إنها مجرد مداخل مختلفة لها نفس المعنى. إنه فقط عندما نقول $ f \ left (x \ right) $ ، فإننا نتحدث أولاً عن دالة ، وعندما نتحدث عن $ y $ ، فإننا غالبًا ما نعني الرسم البياني للدالة. خلاف ذلك ، هو نفسه ، أي يعتبر المشتق هو نفسه في كلتا الحالتين.

مشاكل معقدة مع المشتقات

في الختام ، أود أن أفكر في مشكلتين مركبتين مركبتين تستخدمان كل ما درسناه اليوم في وقت واحد. فيها نحن ننتظر الجذور والكسور والمجموع. ومع ذلك ، ستكون هذه الأمثلة معقدة فقط في إطار عمل فيديو تعليمي اليوم ، لأن وظائف مشتقة معقدة بالفعل ستكون في انتظارك.

إذن ، الجزء الأخير من فيديو تعليمي اليوم ، يتألف من مهمتين مدمجتين. لنبدأ بالأول:

\ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) - \ frac (1) (((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ رئيس)) = ((\ يسار (((س) ^ (3)) \ يمين)) ^ (\ رئيس)) - ((\ يسار (\ فارك (1) (((س) ^ (3)) )) \ right)) ^ (\ prime)) + \ left (\ sqrt (x) \ right) \\ & ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ يسار (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 3 \ cdot ((x) ^ (- 4)) = - \ frac (3) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (\ frac (2) (3)))) = \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\ end (محاذاة) \]

مشتق الوظيفة هو:

\ [(y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \]

تم حل المثال الأول. تأمل المشكلة الثانية:

في المثال الثاني ، نتصرف بالمثل:

\ [((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt (((x) ^ (3)) )) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ رئيس)) \]

دعنا نحسب كل مصطلح على حدة:

\ [\ start (align) & ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((\ left ( ((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1 ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ يسار (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3 ) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = 4 \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4))) \ right)) ^ ( \ رئيس)) = \\ & = 4 \ cdot \ يسار (-1 \ frac (3) (4) \ يمين) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ left (- \ frac (7) (4) \ right) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (2 \ frac (3) (4)))) = \ frac (-7) (((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = - \ frac (7) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ end (محاذاة) \]

يتم احتساب جميع الشروط. نعود الآن إلى الصيغة الأصلية ونجمع الحدود الثلاثة معًا. لقد حصلنا على أن الإجابة النهائية ستكون:

\ [(y) "= \ frac (8) (((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) - \ frac (7 ) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

و هذا كل شيئ. كان هذا درسنا الأول. في الدروس التالية ، سنلقي نظرة على الإنشاءات الأكثر تعقيدًا ، ونكتشف أيضًا سبب الحاجة إلى المشتقات على الإطلاق.

مستوى اول

مشتق وظيفي. الدليل الشامل (2019)

تخيل طريقًا مستقيمًا يمر عبر منطقة جبلية. أي أنه يتحرك لأعلى ولأسفل ، لكنه لا ينعطف يمينًا أو يسارًا. إذا تم توجيه المحور أفقيًا على طول الطريق وعموديًا ، فسيكون خط الطريق مشابهًا جدًا للرسم البياني لبعض الوظائف المستمرة:

المحور هو مستوى معين من ارتفاع الصفر ، في الحياة نستخدم مستوى سطح البحر كما هو.

بالمضي قدمًا على طول هذا الطريق ، نتحرك أيضًا لأعلى أو لأسفل. يمكننا أيضًا أن نقول: عندما تتغير الحجة (تتحرك على طول محور الإحداثي) ، تتغير قيمة الوظيفة (تتحرك على طول المحور الإحداثي). الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد "انحدار" طريقنا؟ ماذا يمكن أن تكون هذه القيمة؟ بسيط جدًا: كم سيتغير الارتفاع عند التحرك للأمام مسافة معينة. في الواقع ، في أقسام مختلفة من الطريق ، ونحن نتحرك للأمام (على طول الإحداثي) كيلومترًا واحدًا ، سنرتفع أو ننخفض عددًا مختلفًا من الأمتار بالنسبة إلى مستوى سطح البحر (على طول الإحداثي).

نشير إلى التقدم إلى الأمام (اقرأ "دلتا س").

يستخدم الحرف اليوناني (دلتا) بشكل شائع في الرياضيات كبادئة تعني "التغيير". هذا هو - هذا تغيير في الحجم ، - تغيير ؛ ما هي اذا؟ هذا صحيح ، تغيير في الحجم.

هام: التعبير هو كيان واحد ، متغير واحد. يجب ألا تمزق "دلتا" من حرف "x" أو أي حرف آخر! هذا هو ، على سبيل المثال ،.

لذلك ، تقدمنا ​​إلى الأمام ، أفقيًا ، إلى الأمام. إذا قارنا خط الطريق بمخطط دالة ، فكيف نشير إلى الارتفاع؟ بالطبع، . أي عندما نتحرك للأمام نرتفع أعلى.

من السهل حساب القيمة: إذا كنا في البداية على ارتفاع ، وبعد التحرك كنا على ارتفاع ، إذن. إذا اتضح أن نقطة النهاية أقل من نقطة البداية ، فستكون سالبة - وهذا يعني أننا لسنا في الصعود ، بل بالهبوط.

العودة إلى "الانحدار": هذه هي القيمة التي تشير إلى مقدار زيادة الارتفاع (بشكل حاد) عند التحرك للأمام لكل وحدة مسافة:

افترض أنه في جزء من المسار ، عند التقدم بمقدار كيلومتر ، يرتفع الطريق بمقدار كيلومتر. ثم الانحدار في هذا المكان متساوية. واذا كان الطريق عند تقدمه م غرقا بالكيلومتر؟ ثم الميل يساوي.

فكر الآن في قمة التل. إذا أخذت بداية القسم نصف كيلومتر إلى الأعلى ، والنهاية - بعد نصف كيلومتر بعده ، يمكنك أن ترى أن الارتفاع هو نفسه تقريبًا.

وهذا يعني ، وفقًا لمنطقنا ، أن الميل هنا يساوي صفرًا تقريبًا ، ومن الواضح أن هذا غير صحيح. يمكن أن يتغير الكثير على بعد أميال قليلة. يجب النظر في المناطق الأصغر للحصول على تقدير أكثر دقة ودقة للانحدار. على سبيل المثال ، إذا قمت بقياس التغير في الارتفاع عند التحرك لمتر واحد ، فستكون النتيجة أكثر دقة. ولكن حتى هذه الدقة قد لا تكون كافية بالنسبة لنا - ففي النهاية ، إذا كان هناك عمود في منتصف الطريق ، فيمكننا ببساطة الانزلاق خلاله. ما المسافة التي يجب أن نختارها إذن؟ سنتيمتر؟ مليمتر؟ اقل هو الافضل!

في الحياة الواقعية ، يعد قياس المسافة إلى أقرب ملليمتر أكثر من كافٍ. لكن علماء الرياضيات يسعون دائمًا لتحقيق الكمال. لذلك ، كان المفهوم متناهي الصغر، أي أن قيمة modulo أقل من أي رقم يمكننا تسميته. على سبيل المثال ، تقول: واحد تريليون! كم أقل؟ وتقسم هذا الرقم على - وسيكون أقل من ذلك. وهلم جرا. إذا أردنا أن نكتب أن القيمة صغيرة بشكل لا نهائي ، نكتب هكذا: (نقرأ "x تميل إلى الصفر"). من المهم جدا أن نفهم أن هذا الرقم لا يساوي الصفر!لكن قريب جدا منه. هذا يعني أنه يمكن تقسيمها إلى.

المفهوم المعاكس للصغير اللامتناهي كبير بشكل لانهائي (). ربما تكون قد واجهتها بالفعل عندما كنت تعمل على المتباينات: هذا الرقم أكبر في المقياس من أي رقم يمكنك التفكير فيه. إذا توصلت إلى أكبر عدد ممكن ، فقط اضربه في اثنين وستحصل على المزيد. واللانهاية أكثر مما يحدث. في الواقع ، إن الحجم الكبير والصغير اللامتناهي مقلوب لبعضهما البعض ، أي في ، والعكس صحيح: في.

الآن عد إلى طريقنا. المنحدر المحسوب بشكل مثالي هو المنحدر المحسوب لجزء صغير غير محدود من المسار ، أي:

ألاحظ أنه مع إزاحة صغيرة غير محدودة ، سيكون التغيير في الارتفاع أيضًا صغيرًا بشكل لا نهائي. لكن دعني أذكرك أن الصغر اللامتناهي لا يعني أن يساوي صفرًا. إذا قمت بقسمة الأرقام اللامتناهية على بعضها البعض ، فيمكنك الحصول على رقم عادي تمامًا ، على سبيل المثال ،. أي أن قيمة صغيرة يمكن أن تكون ضعف قيمة الأخرى بالضبط.

لماذا كل هذا؟ الطريق ، الانحدار ... لن نسير في مسيرة ، لكننا نتعلم الرياضيات. وفي الرياضيات ، كل شيء هو نفسه تمامًا ، ولا يُسمى إلا بشكل مختلف.

مفهوم المشتق

مشتق الدالة هو نسبة الزيادة في الدالة إلى زيادة الوسيطة في زيادة متناهية في الصغر من الوسيطة.

زيادة راتبفي الرياضيات يسمى التغيير. إلى أي مدى تغيرت الوسيطة () عند استدعاء التحرك على طول المحور زيادة الحجةويُشار إليها بمدى تغير الوظيفة (الارتفاع) عند استدعاء التحرك للأمام على طول المحور بمسافة زيادة الوظيفةويتم وضع علامة.

إذن ، مشتق الدالة هو العلاقة بمتى. نشير إلى المشتق بنفس الحرف مثل الوظيفة ، فقط بضربة من أعلى اليمين: أو ببساطة. لنكتب صيغة الاشتقاق باستخدام هذه الرموز:

كما في القياس مع الطريق ، هنا ، عندما تزداد الدالة ، يكون المشتق موجبًا ، وعندما ينقص ، يكون سالبًا.

لكن هل المشتق يساوي صفرًا؟ بالطبع. على سبيل المثال ، إذا كنا نسير على طريق أفقي منبسط ، فإن الانحدار يساوي صفرًا. في الواقع ، الارتفاع لا يتغير على الإطلاق. إذن مع المشتق: مشتق دالة ثابتة (ثابت) يساوي صفرًا:

لأن الزيادة في مثل هذه الوظيفة تساوي صفرًا لأي.

لنأخذ مثال قمة التل. اتضح أنه كان من الممكن ترتيب نهايات المقطع على جوانب متقابلة من الرأس بحيث يتضح أن الارتفاع في النهايات هو نفسه ، أي أن القطعة موازية للمحور:

لكن الأجزاء الكبيرة هي علامة على القياس غير الدقيق. سنرفع القطعة موازيةً لنفسها ، ثم يقل طولها.

في النهاية ، عندما نكون قريبين بشكل لا نهائي من القمة ، سيصبح طول المقطع صغيراً بشكل لا نهائي. لكن في الوقت نفسه ، بقيت موازية للمحور ، أي أن فرق الارتفاع عند نهاياته يساوي صفرًا (لا يميل ، ولكنه يساوي). لذا فإن المشتق

يمكن فهم هذا على النحو التالي: عندما نقف في القمة ، فإن تحولًا صغيرًا إلى اليسار أو اليمين يغير ارتفاعنا بشكل مهم.

هناك أيضًا تفسير جبري بحت: إلى يسار الجزء العلوي ، تزداد الوظيفة ، وإلى اليمين تتناقص. كما اكتشفنا سابقًا ، عندما تزداد الدالة ، يكون المشتق موجبًا ، وعندما ينقص ، يكون سالبًا. لكنها تتغير بسلاسة ، بدون قفزات (لأن الطريق لا يغير ميله بشكل حاد في أي مكان). لذلك ، يجب أن يكون هناك بين القيم السالبة والموجبة. سيكون المكان الذي لا تزيد فيه الوظيفة ولا تنقص - عند نقطة الرأس.

وينطبق الشيء نفسه على الوادي (المنطقة التي تتناقص فيها الوظيفة على اليسار وتزداد على اليمين):

المزيد عن الزيادات.

لذلك نغير السعة إلى قيمة. من أي قيمة نغير؟ ماذا أصبح (الحجة) الآن؟ يمكننا اختيار أي نقطة ، والآن سنرقص منها.

ضع في اعتبارك نقطة ذات تنسيق. قيمة الوظيفة فيه متساوية. ثم نقوم بنفس الزيادة: زيادة الإحداثي بمقدار. ما هي الحجة الآن؟ سهل جدا: . ما هي قيمة الوظيفة الآن؟ حيث تذهب الوسيطة ، تذهب الوظيفة هناك:. ماذا عن زيادة الوظيفة؟ لا شيء جديد: لا يزال هذا هو المقدار الذي تغيرت به الوظيفة:

تدرب على إيجاد الزيادات:

1. أوجد زيادة الدالة عند نقطة مع زيادة الوسيطة التي تساوي.
2. نفس الشيء بالنسبة لدالة عند نقطة ما.

حلول:

في نقاط مختلفة ، مع نفس الزيادة في الوسيطة ، ستكون زيادة الدالة مختلفة. هذا يعني أن للمشتق عند كل نقطة خاصته (ناقشنا هذا في البداية - يختلف انحدار الطريق عند نقاط مختلفة). لذلك ، عندما نكتب مشتقًا ، يجب أن نشير إلى أي نقطة:

وظيفة الطاقة.

تسمى وظيفة القوة وظيفة حيث تكون الحجة إلى حد ما (منطقية ، أليس كذلك؟).

و- لاي حد:.

أبسط حالة هي عندما يكون الأس:

لنجد مشتقها عند نقطة. تذكر تعريف المشتق:

لذا فإن الحجة تتغير من إلى. ما هي زيادة الوظيفة؟

الزيادة. لكن الدالة عند أي نقطة تساوي سعتها. لهذا:

المشتق هو:

مشتق من:

ب) فكر الآن في الوظيفة التربيعية ():.

الآن دعونا نتذكر ذلك. هذا يعني أنه يمكن إهمال قيمة الزيادة ، لأنها صغيرة للغاية ، وبالتالي فهي غير مهمة على خلفية مصطلح آخر:

إذن ، لدينا قاعدة أخرى:

ج) نواصل السلسلة المنطقية:.

يمكن تبسيط هذا التعبير بطرق مختلفة: افتح القوس الأول باستخدام صيغة الضرب المختصر لمكعب المجموع ، أو حلل التعبير بأكمله إلى عوامل باستخدام صيغة الفرق بين المكعبات. حاول أن تفعل ذلك بنفسك بأي من الطرق المقترحة.

لذلك ، حصلت على ما يلي:

ودعونا نتذكر ذلك مرة أخرى. هذا يعني أنه يمكننا إهمال جميع المصطلحات التي تحتوي على:

نحن نحصل: .

د) يمكن الحصول على قواعد مماثلة للقوى الكبيرة:

هـ) اتضح أن هذه القاعدة يمكن تعميمها لوظيفة طاقة ذات أس تعسفي ، ولا حتى عدد صحيح:

(2)

يمكنك صياغة القاعدة بالكلمات: "يتم تقديم الدرجة كمعامل ، ثم تنخفض بمقدار".

سنثبت هذه القاعدة لاحقًا (تقريبًا في النهاية). الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. أوجد مشتق الوظائف:

1. (بطريقتين: من خلال الصيغة واستخدام تعريف المشتق - عن طريق حساب زيادة الوظيفة) ؛

1. . صدق أو لا تصدق ، هذه وظيفة طاقة. إذا كانت لديك أسئلة مثل "كيف ذلك؟ وأين الدرجة؟ "، تذكر موضوع" "!
   نعم ، نعم ، الجذر أيضًا درجة ، فقط جزء كسري:.
   إذن الجذر التربيعي هو مجرد قوة ذات أس:
   .
   نحن نبحث عن المشتق باستخدام الصيغة التي تم تعلمها مؤخرًا:

   إذا أصبح الأمر غير واضح في هذه المرحلة مرة أخرى ، كرر الموضوع "" !!! (حوالي درجة بمؤشر سلبي)

2. . الآن الأس:

   والآن من خلال التعريف (هل نسيت بعد؟):
   ;
   .
   الآن ، كالعادة ، نتجاهل المصطلح الذي يحتوي على:
   .

3. . الجمع بين الحالات السابقة:.

الدوال المثلثية.

هنا سوف نستخدم حقيقة واحدة من الرياضيات العليا:

عند التعبير.

سوف تتعلم الدليل في السنة الأولى من المعهد (وللوصول إلى هناك ، يجب أن تجتاز الاختبار جيدًا). الآن سأعرضها بشكل بياني:

نرى أنه في حالة عدم وجود الوظيفة - يتم ثقب النقطة على الرسم البياني. ولكن كلما اقتربنا من القيمة ، كلما اقتربت الوظيفة من هذه "الجهود" ذاتها.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك التحقق من هذه القاعدة باستخدام الآلة الحاسبة. نعم ، نعم ، لا تخجل ، خذ الآلة الحاسبة ، نحن لسنا في الامتحان بعد.

اذا لنجرب: ؛

لا تنس تبديل الآلة الحاسبة إلى وضع الراديان!

إلخ. نرى أنه كلما كانت النسبة أصغر ، كلما كانت قيمة النسبة أقرب إلى.

أ) النظر في وظيفة. كالعادة نجد زيادتها:

دعنا نحول فرق الجيب إلى منتج. للقيام بذلك ، نستخدم الصيغة (تذكر الموضوع "") :.

الآن المشتق:

لنقم باستبدال:. ثم ، بالنسبة إلى الصغر اللامتناهي ، فهو أيضًا صغير بلا حدود:. يأخذ التعبير عن الشكل:

والآن نتذكر ذلك مع التعبير. وأيضًا ، ماذا لو تم إهمال قيمة صغيرة بلا حدود في المجموع (أي ، في).

لذلك نحصل على القاعدة التالية: مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

هذه مشتقات أساسية ("جدول"). ها هم في قائمة واحدة:

في وقت لاحق سنضيف المزيد إليهم ، لكن هذه هي الأهم ، حيث يتم استخدامها في أغلب الأحيان.

يمارس:

1. أوجد مشتق دالة عند نقطة ؛
2. العثور على مشتق من وظيفة.

حلول:

1. أولاً ، نجد المشتقة في صورة عامة ، ثم نعوض بقيمتها بدلاً من ذلك:
   ;
   .
2. هنا لدينا شيء مشابه لدالة القوة. دعنا نحاول إحضارها إلى
   العرض العادي:
   .
   حسنًا ، يمكنك الآن استخدام الصيغة:
   .
   .
3. . Eeeeeee… .. ما هو ؟؟؟؟

حسنًا ، أنت محق ، ما زلنا لا نعرف كيفية إيجاد مثل هذه المشتقات. هنا لدينا مجموعة من عدة أنواع من الوظائف. للعمل معهم ، تحتاج إلى معرفة المزيد من القواعد:

الأس واللوغاريتم الطبيعي.

توجد مثل هذه الوظيفة في الرياضيات ، مشتقها لأي منها يساوي قيمة الوظيفة نفسها لنفسها. تسمى "الأس" ، وهي دالة أسية

أساس هذه الدالة - ثابت - هو كسر عشري لانهائي ، أي عدد غير نسبي (مثل). يُطلق عليه "رقم أويلر" ، ولهذا يُشار إليه بحرف.

فالقاعدة هي:

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا ، لن نذهب بعيدًا ، سننظر على الفور في الدالة العكسية. ما هو معكوس الدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا ، الأساس هو رقم:

مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) يسمى اللوغاريتم "الطبيعي" ، ونستخدم تدوينًا خاصًا له: نكتب بدلاً من ذلك.

ما يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الوظيفة؟

الإجابات: يعتبر الأس واللوغاريتم الطبيعي دالات بسيطة بشكل فريد من حيث المشتق. سيكون للدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي قاعدة أخرى مشتق مختلف ، سنقوم بتحليله لاحقًا ، بعد أن ننتقل إلى قواعد التفاضل.

قواعد التمايز

ما هي القواعد؟ مصطلح جديد مرة أخرى؟! ...

التفاضلهي عملية إيجاد المشتق.

فقط وكل شيء. ما هي الكلمة الأخرى لهذه العملية؟ ليس proizvodnovanie ... يسمى التفاضل في الرياضيات بزيادة الوظيفة في. يأتي هذا المصطلح من الاختلاف اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند اشتقاق كل هذه القواعد ، سنستخدم وظيفتين ، على سبيل المثال ، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتق.

إذا - رقم ثابت (ثابت) ، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا مع الاختلاف:.

دعنا نثبت ذلك. اسمحوا ، أو أسهل.

أمثلة.

ابحث عن مشتقات الوظائف:

1. عند النقطة
2. عند النقطة
3. عند النقطة
4. في هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط ، لأنه دالة خطية ، تذكر؟) ؛

مشتق من المنتج

كل شيء متشابه هنا: نقدم وظيفة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. البحث عن مشتقات الوظائف و ؛
2. أوجد مشتق دالة عند نقطة.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتق أي دالة أسية ، وليس فقط الأس (هل نسيت ما هو عليه حتى الآن؟).

إذن أين يوجد عدد.

نحن نعلم بالفعل مشتقة الدالة ، لذلك دعونا نحاول نقل الدالة إلى أساس جديد:

للقيام بذلك ، نستخدم قاعدة بسيطة:. ثم:

حسنًا ، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة ، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

هنا ، تحقق من نفسك:

تبين أن الصيغة تشبه إلى حد بعيد مشتق الأس: كما كانت ، لا تزال ، ظهر عامل فقط ، وهو مجرد رقم ، ولكن ليس متغيرًا.

أمثلة:
ابحث عن مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة ، أي أنه لا يمكن كتابته بشكل أبسط. لذلك ، في الإجابة يتم تركها بهذا الشكل.

مشتق دالة لوغاريتمية

هذا مشابه: أنت تعرف بالفعل مشتق اللوغاريتم الطبيعي:

لذلك ، لإيجاد تعسفي من اللوغاريتم بأساس مختلف ، على سبيل المثال:

علينا إحضار هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف تغير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط بدلاً من أن نكتب:

تبين أن المقام مجرد ثابت (رقم ثابت ، بدون متغير). المشتق بسيط للغاية:

لم يتم العثور على مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية في الامتحان تقريبًا ، ولكن لن يكون من الضروري معرفتها.

مشتق دالة معقدة.

ما هي "وظيفة معقدة"؟ لا ، هذا ليس لوغاريتمًا ، وليس ظلًا قوسيًا. قد يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنه إذا كان اللوغاريتم يبدو صعبًا بالنسبة لك ، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وسيعمل كل شيء) ، ولكن من حيث الرياضيات ، فإن كلمة "معقد" لا تعني "صعبة".

تخيل ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الأعمال باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال ، يلف الأول شريط شوكولاتة في غلاف ، والثاني يربطه بشريط. اتضح مثل هذا الكائن المركب: شريط شوكولاتة ملفوف ومربوط بشريط. لأكل لوح شوكولاتة ، عليك القيام بالخطوات المعاكسة بترتيب عكسي.

دعنا ننشئ خط أنابيب رياضيًا مشابهًا: أولاً سنجد جيب التمام لأحد الأرقام ، ثم سنقوم بتربيع الرقم الناتج. لذا ، يعطوننا رقمًا (شوكولاتة) ، أجد جيب التمام (غلاف) ، ثم تربّع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ دور. هذا مثال على دالة معقدة: عندما ، من أجل إيجاد قيمتها ، نقوم بتنفيذ الإجراء الأول مباشرة مع المتغير ، ثم إجراء آخر آخر مع ما حدث كنتيجة للأول.

قد نقوم بنفس الإجراءات بترتيب عكسي: أولاً أنت تربيع ، ثم أبحث عن جيب التمام للعدد الناتج :. من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. ميزة مهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات ، تتغير الوظيفة.

بعبارات أخرى، الوظيفة المعقدة هي وظيفة تمثل حجة دالة أخرى: .

في المثال الأول ،.

المثال الثاني: (same). .

سيتم استدعاء الإجراء الأخير الذي نقوم به وظيفة "خارجية"، والإجراء الذي تم تنفيذه أولاً - على التوالي وظيفة "داخلية"(هذه أسماء غير رسمية ، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأيها داخلية:

الإجابات:الفصل بين الوظائف الداخلية والخارجية مشابه جدًا للمتغيرات المتغيرة: على سبيل المثال ، في الوظيفة

1. ما هو الإجراء الذي سنتخذه أولاً؟ أولاً نحسب الجيب ، وعندها فقط نرفعها إلى مكعب. إذن فهي وظيفة داخلية وليست خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تكوينها:.
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا ، الآن سنستخرج الشوكولاتة - ابحث عن المشتق. يتم عكس الإجراء دائمًا: أولاً نبحث عن مشتق الدالة الخارجية ، ثم نضرب النتيجة في مشتق الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي ، يبدو كالتالي:

مثال آخر:

لذا ، دعنا أخيرًا نصيغ القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو أن كل شيء بسيط ، أليس كذلك؟

دعنا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ؛

خارجي: ؛

2) داخلي: ؛

(فقط لا تحاول التقليل الآن! لا شيء مأخوذ من تحت جيب التمام ، تذكر؟)

3) داخلي: ؛

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هناك وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات هنا: بعد كل شيء ، هذه بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها ، وما زلنا نستخرج الجذر منها ، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (ضع الشوكولاتة في غلاف وشريط في حقيبة). لكن لا يوجد سبب للخوف: على أي حال ، سوف "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق الجذر أولاً ، ثم جيب التمام ، وبعد ذلك فقط المقدار الموجود بين قوسين. ثم نضربها كلها.

في مثل هذه الحالات ، من الملائم ترقيم الإجراءات. أي دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سنقوم بتنفيذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا ، كلما كانت الوظيفة المقابلة "خارجية". تسلسل الإجراءات - كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام من 4 مستويات. دعونا نحدد مسار العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. الجيوب الأنفية. .

4. مربع. .

5. تجميعها جميعًا:

المشتق. باختصار حول الرئيسي

مشتق وظيفي- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة مع زيادة متناهية في الصغر للوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتق:

مشتق من المجموع:

منتج مشتق:

مشتق من حاصل القسمة:

مشتق دالة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الوظيفة "الداخلية" ، ونجد مشتقها.
2. نحدد الوظيفة "الخارجية" ، ونجد مشتقها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

حيث قمنا بتحليل أبسط المشتقات ، وكذلك تعرفنا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات لإيجاد المشتقات. وبالتالي ، إذا لم تكن جيدًا مع مشتقات الدوال أو لم تكن بعض نقاط هذه المقالة واضحة تمامًا ، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. يرجى ضبط الحالة المزاجية الجادة - المواد ليست سهلة ، لكنني سأحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية ، عليك التعامل مع مشتق دالة معقدة في كثير من الأحيان ، حتى أنني أقول دائمًا تقريبًا ، عندما يتم تكليفك بمهام لإيجاد المشتقات.

ننظر في الجدول إلى القاعدة (رقم 5) لتمييز دالة معقدة:

نحن نتفهم. بادئ ذي بدء ، دعنا نلقي نظرة على الترميز. هنا لدينا وظيفتان - والوظيفة ، بالمعنى المجازي ، متداخلة في الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل إحدى الوظائف في أخرى) بالدالة المعقدة.

سوف أستدعي الوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة).

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للتخصيصات. أنا أستخدم التعبيرات غير الرسمية "وظيفة خارجية" ، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المواد.

لتوضيح الموقف ، ضع في اعتبارك:

مثال 1

أوجد مشتق دالة

تحت الجيب ، ليس لدينا فقط الحرف "x" ، ولكن التعبير بالكامل ، لذلك لن ينجح إيجاد المشتق مباشرة من الجدول. نلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربعة الأولى هنا ، ويبدو أن هناك اختلافًا ، ولكن الحقيقة هي أنه من المستحيل "تمزيق" الجيب:

في هذا المثال ، من توضيحاتي ، من الواضح بشكل حدسي أن الوظيفة هي وظيفة معقدة ، وأن كثير الحدود هو وظيفة داخلية (التضمين) ، ووظيفة خارجية.

الخطوة الأولى، والتي يجب إجراؤها عند إيجاد مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأي وظيفة خارجية.

في حالة الأمثلة البسيطة ، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود متداخلة تحت الجيب. لكن ماذا لو لم يكن واضحًا؟ كيف تحدد بالضبط الوظيفة الخارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك ، أقترح استخدام التقنية التالية ، والتي يمكن تنفيذها عقليًا أو على مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير باستخدام آلة حاسبة (بدلاً من واحد ، يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا نحسب اولا؟ أولا قبل كل شيءسوف تحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: ، لذا فإن كثير الحدود سيكون وظيفة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى البحث ، لذا فإن الجيب - سيكون دالة خارجية:

بعد نحن تفهممع الدوال الداخلية والخارجية ، حان الوقت لتطبيق قاعدة تمايز الدالة المركبة .

نبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيف تجد المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

أولاًنجد مشتق الوظيفة الخارجية (الجيب) ، وننظر إلى جدول مشتقات الوظائف الأولية ونلاحظ ذلك. جميع الصيغ الجدولية قابلة للتطبيق حتى إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

لاحظ أن الوظيفة الداخلية لم يتغير ، نحن لا نتطرق إليه.

حسنًا ، من الواضح تمامًا أن

نتيجة تطبيق الصيغة تبدو نظيفة مثل هذا:

يوضع العامل الثابت عادة في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم ، فاكتب القرار على الورق واقرأ التفسيرات مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

مثال 3

أوجد مشتق دالة

كالعادة نكتب:

نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية ، وأين توجد وظيفة داخلية. للقيام بذلك ، نحاول (عقليًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير لـ. ما الذي يجب القيام به أولا؟ بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى حساب ما تساوي القاعدة: ، مما يعني أن كثير الحدود هو الوظيفة الداخلية:

وعندها فقط يتم تنفيذ الأس ، وبالتالي ، فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

حسب الصيغة ، عليك أولاً إيجاد مشتق الدالة الخارجية ، في هذه الحالة الدرجة. نحن نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول:. نكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "x" ، ولكن أيضًا للتعبير المعقد. وبالتالي ، نتيجة تطبيق قاعدة تفاضل دالة معقدة التالي:

أؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتق الوظيفة الخارجية ، فإن الوظيفة الداخلية لا تتغير:

الآن يبقى إيجاد مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية و "مشط" النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على الحل الذاتي (الإجابة في نهاية الدرس).

لتوطيد فهم مشتق دالة معقدة ، سأقدم مثالًا بدون تعليقات ، أحاول اكتشافه بنفسك ، السبب ، أين هو الخارجي وأين الوظيفة الداخلية ، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتق التابع

ب) أوجد مشتق الوظيفة

مثال 6

أوجد مشتق دالة

هنا لدينا جذر ، ولتمييز الجذر ، يجب تمثيله كدرجة. وبالتالي ، فإننا نضع الدالة أولاً في الشكل المناسب للتفاضل:

عند تحليل الوظيفة ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن مجموع المصطلحات الثلاثة هو وظيفة داخلية ، وأن الأس هو وظيفة خارجية. نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة :

يتم تمثيل الدرجة مرة أخرى على أنها جذرية (جذر) ، وبالنسبة لمشتق الوظيفة الداخلية ، نطبق قاعدة بسيطة لتمييز المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا إحضار التعبير إلى مقام موحد بين قوسين وكتابة كل شيء في صورة كسر واحد. إنه أمر جميل بالطبع ، ولكن عندما يتم الحصول على مشتقات طويلة مرهقة ، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل الخلط ، وارتكاب خطأ غير ضروري ، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق).

مثال 7

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على الحل الذاتي (الإجابة في نهاية الدرس).

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه في بعض الأحيان ، بدلاً من قاعدة تمييز دالة معقدة ، يمكن للمرء استخدام القاعدة لاشتقاق حاصل القسمة ، لكن مثل هذا الحل سيبدو انحرافًا غير عادي. هنا هو مثال نموذجي:

المثال 8

أوجد مشتق دالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

نحضر دالة التفاضل - نخرج علامة الطرح للمشتق ، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو دالة داخلية ، الأُس دالة خارجية.
دعنا نستخدم قاعدتنا :

نجد مشتق الوظيفة الداخلية ، ونعيد ضبط جيب التمام لأسفل:

مستعد. في المثال المدروس ، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة ، حاول حلها بالقاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

المثال 9

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على الحل الذاتي (الإجابة في نهاية الدرس).

حتى الآن ، نظرنا في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في دالة معقدة. في المهام العملية ، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات ، حيث ، مثل الدمى المتداخلة ، واحدة داخل الأخرى ، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

المثال 10

أوجد مشتق دالة

نحن نفهم مرفقات هذه الوظيفة. نحاول تقييم التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف نعتمد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى البحث ، مما يعني أن القوس هو أعمق تداخل:

يجب بعد ذلك تربيع قوس الزاوية هذا:

وأخيرًا ، نرفع السبعة إلى الأس:

أي في هذا المثال لدينا ثلاث وظائف مختلفة وعشاشين ، في حين أن الوظيفة الأعمق هي القوس ، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

نبدأ في اتخاذ القرار

حسب القاعدة أولا عليك أن تأخذ مشتق الدالة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتق الدالة الأسية: الاختلاف الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير مركب ، والذي لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن ، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة التالي.

إثبات واشتقاق الصيغ لمشتق الأسي (e إلى قوة x) والدالة الأسية (a إلى قوة x). أمثلة على حساب مشتقات e ^ 2x و e ^ 3x و e ^ nx. صيغ مشتقات الطلبات الأعلى.

مشتق الأس يساوي الأس نفسه (مشتق e أس x يساوي e أس x):
(1) (ه س) ′ = ه س.

مشتق الدالة الأسية مع أساس الدرجة a يساوي الدالة نفسها ، مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ a:
(2) .

اشتقاق صيغة مشتق الأس ، e أس x

الأس هو دالة أسية قاعدتها الأسية تساوي الرقم e ، وهو الحد التالي:
.
هنا يمكن أن يكون رقمًا طبيعيًا أو رقمًا حقيقيًا. بعد ذلك ، نشتق الصيغة (1) لمشتق الأس.

اشتقاق صيغة مشتق الأس

ضع في اعتبارك الأس ، e أس x:
ص = ه س.
تم تعريف هذه الوظيفة للجميع. فلنوجد مشتقها بالنسبة إلى x. حسب التعريف ، فإن المشتق هو الحد التالي:
(3) .

دعنا نحول هذا التعبير لاختصاره إلى قواعد وقواعد رياضية معروفة. لهذا نحتاج إلى الحقائق التالية:
لكن)خاصية الأس:
(4) ;
ب)خاصية اللوغاريتم:
(5) ;
في)استمرارية اللوغاريتم وخاصية الحدود لوظيفة مستمرة:
(6) .
هنا ، دالة لها نهاية وهذه النهاية موجبة.
ز)معنى الحد الثاني الرائع:
(7) .

نحن نطبق هذه الحقائق على حدودنا (3). نستخدم الخاصية (4):
;
.

لنقم بالتعويض. ثم ؛ .
بسبب استمرارية الأس ،
.
لذلك ، في ،. نتيجة لذلك ، نحصل على:
.

لنقم بالتعويض. ثم . في ، . ونحن لدينا:
.

نطبق خاصية اللوغاريتم (5):
. ثم
.

دعونا نطبق الملكية (6). نظرًا لوجود حد موجب واللوغاريتم مستمر ، إذن:
.
استخدمنا هنا أيضًا الحد الملحوظ الثاني (7). ثم
.

وهكذا ، حصلنا على الصيغة (1) لمشتق الأس.

اشتقاق صيغة مشتق الدالة الأسية

نشتق الآن الصيغة (2) لمشتقة الدالة الأسية بأساس الدرجة أ. نعتقد أن و. ثم الوظيفة الأسية
(8)
مصمم للجميع.

دعونا نحول الصيغة (8). لهذا نستخدم خصائص الدالة الأسيةواللوغاريتم.
;
.
لذلك قمنا بتحويل الصيغة (8) إلى الشكل التالي:
.

المشتقات ذات الرتبة الأعلى لـ e أس x

لنجد الآن مشتقات من الرتب الأعلى. لنلقِ نظرة على الأس أولاً:
(14) .
(1) .

نرى أن مشتق الدالة (14) يساوي الدالة (14) نفسها. بالتفريق (1) ، نحصل على مشتقات من الرتبة الثانية والثالثة:
;
.

يوضح هذا أن مشتق الرتبة n يساوي أيضًا الوظيفة الأصلية:
.

مشتقات الرتبة الأعلى للدالة الأسية

فكر الآن في دالة أسية بقاعدة الدرجة أ:
.
وجدنا مشتقه من الدرجة الأولى:
(15) .

بالتفريق (15) ، نحصل على مشتقات من الرتبة الثانية والثالثة:
;
.

نرى أن كل اشتقاق يؤدي إلى ضرب الدالة الأصلية في. لذلك ، فإن المشتق n له الشكل التالي:
.

تعريف الوظيفة الأسية. اشتقاق صيغة لحساب مشتقها. يتم تحليل أمثلة حساب مشتقات الدوال الأسية بالتفصيل.

دالة أسية هي دالة لها شكل دالة أس
ص = ش ت ،
التي قاعدتها u والأس v هي بعض وظائف المتغير x:
ش = ش (خ)؛ ت = ت (خ).
هذه الوظيفة تسمى أيضا القوة الأسيةأو .

لاحظ أنه يمكن تمثيل الوظيفة الأسية في شكل أسي:
.
لذلك ، يطلق عليه أيضًا دالة أسية معقدة.

الحساب باستخدام المشتق اللوغاريتمي

أوجد مشتق التابع الأسي
(2) ,
أين و هي وظائف المتغير.
للقيام بذلك ، نأخذ لوغاريتم المعادلة (2) ، باستخدام خاصية اللوغاريتم:
.
اشتق بالنسبة إلى x:
(3) .
يتقدم قواعد اشتقاق دالة مركبةويعمل:
;
.

البديل في (3):
.
من هنا
.

لذلك وجدنا مشتق الدالة الأسية:
(1) .
إذا كان الأس ثابتًا ، إذن. ثم المشتق يساوي مشتق دالة القدرة المركبة:
.
إذا كانت قاعدة الدرجة ثابتة ، إذن. ثم المشتق يساوي مشتق الدالة الأسية المركبة:
.
عندما تكون دالة x ودوالها ، فإن مشتق الدالة الأسية يساوي مجموع مشتقات القوة المركبة والوظائف الأسية.

حساب المشتق بالاختزال إلى دالة أسية معقدة

الآن نجد مشتقة الدالة الأسية
(2) ,
تمثيلها كدالة أسية معقدة:
(4) .

لنفرق المنتج:
.
نطبق القاعدة لإيجاد مشتقة دالة معقدة:

.
وحصلنا مرة أخرى على الصيغة (1).

مثال 1

أوجد مشتق الوظيفة التالية:
.

المحلول

نحسب باستخدام المشتق اللوغاريتمي. نأخذ لوغاريتم الوظيفة الأصلية:
(P1.1) .

من جدول المشتقات نجد:
;
.
وفقًا لصيغة مشتق المنتج ، لدينا:
.
نفرق (A1.1):
.
بسبب ال
,
ومن بعد
.

إجابه

مثال 2

أوجد مشتق دالة
.

المحلول

نأخذ لوغاريتم الوظيفة الأصلية:
(P2.1) .