كيفية حل الدرجة مع الأس الحقيقي. شهادة مع الأس العقلاني والحقيقي

درجة مع الأس المنطقي

تتضمن مجموعة الأعداد المنطقية أعدادًا صحيحة وأرقامًا كسرية.

التعريف 1

قوة رقم $ a $ مع الأس الصحيح $ n $هي نتيجة ضرب الرقم $ a $ بنفسه $ n $ مرات ، و: $ a ^ n = a \ cdot a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a $ ، لـ $ n> 0 $؛ $ a ^ n = \ frac (1) (a \ cdot a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a) $ ، لـ $ n

التعريف 2

قوة العدد $ a $ مع الأس الكسري $ \ frac (m) (n) $يسمى جذر $ n $ -th لـ $ a $ أس $ m $: $ a ^ \ frac (m) (n) = \ sqrt [n] (a ^ m) $ ، حيث $ a> 0 $ n $ رقم طبيعي ، و $ m $ عدد صحيح.

التعريف 3

قوة الصفر مع الأس الكسري $ \ frac (m) (n) $يتم تعريفه على النحو التالي: $ 0 ^ \ frac (m) (n) = \ sqrt [n] (0 ^ m) = 0 $ ، حيث $ m $ عدد صحيح ، $ m> 0 $ ، $ n $ عدد طبيعي رقم.

هناك طريقة أخرى لتحديد درجة الرقم مع الأس الكسري ، مما يدل على إمكانية وجود درجة من الرقم السالب أو الأس الكسري السالب.

على سبيل المثال ، التعبيرات $ \ sqrt ((- 3) ^ 6) $، $ \ sqrt ((- 3) ^ 3) $ أو $ \ sqrt ((- 7) ^ (- 10)) $ منطقية ، وبالتالي والتعبيرات $ (- 3) ^ \ frac (6) (7) $، $ (- 3) ^ \ frac (3) (7) $ و $ (- 7) ^ \ frac (-10) (6) يجب أن يكون $ منطقيًا ، بينما وفقًا لتعريف الدرجة ذات الأس على شكل كسر ذي أساس سالب ، فإنها غير موجودة.

دعنا نعطي تعريفًا آخر:

قوة $ a $ مع الأس الكسري $ \ frac (m) (n) $يسمى $ \ sqrt [n] (a ^ m) $ في الحالات التالية:

لأي عدد حقيقي $ a $ ، عدد صحيح $ m> 0 $ وعدد صحيح موجب فردي $ n $.

على سبيل المثال ، $ 13.4 ^ \ frac (7) (3) = \ sqrt (13.4 ^ 7) $، $ (- 11) ^ \ frac (8) (5) = \ sqrt ((- 11) ^ 8) $.

لأي عدد حقيقي غير صفري $ a $ ، عدد صحيح سالب $ m $ و فردي $ n $.

على سبيل المثال ، $ 13.4 ^ \ frac (-7) (3) = \ sqrt (13.4 ^ (- 7)) $، $ (- 11) ^ \ frac (-8) (5) = \ sqrt ((-11) ^ (- 8)) دولار.

لأي رقم غير سالب $ a $ ، عدد صحيح موجب $ m $ وحتى $ n $.

على سبيل المثال ، $ 13.4 ^ \ frac (7) (4) = \ sqrt (13.4 ^ 7) $، $ 11 ^ \ frac (3) (16) = \ sqrt (11 ^ 3) $.

لأي قيمة موجبة $ a $ ، عدد صحيح سالب $ m $ وحتى $ n $.

على سبيل المثال ، $ 13.4 ^ \ frac (-7) (4) = \ sqrt (13.4 ^ (- 7)) $، $ 11 ^ \ frac (-3) (8) = \ sqrt (11 ^ (- 3)) $ .

في ظل ظروف أخرى ، لا يمكن تحديد الدرجة بمؤشر كسري.

على سبيل المثال ، $ (- 13،4) ^ \ frac (10) (3) = \ sqrt ((- 13،4) ^ (10)) $، $ (- 11) ^ \ frac (5) (4) = \ sqrt ((- 11) ^ 5) $.

بالإضافة إلى ذلك ، عند تطبيق هذا التعريف ، من المهم أن يكون الأس الكسري $ \ frac (m) (n) $ كسرًا غير قابل للاختزال.

تكمن خطورة هذه الملاحظة في أن درجة الرقم السالب مع الأس المختزل الكسري ، على سبيل المثال ، $ \ frac (10) (14) $ سيكون رقمًا موجبًا ، ودرجة نفس الرقم مع الأس المختزل بالفعل سيكون $ \ frac (5) (7) $ رقمًا سالبًا.

على سبيل المثال ، $ (- 1) ^ \ frac (10) (14) = \ sqrt ((- 1) ^ (10)) = \ sqrt (1 ^ (10)) = 1 $ و $ (- 1) ^ \ frac (5) (7) = \ sqrt ((- 1) ^ 5) = - 1 $.

وبالتالي ، عند إجراء تخفيض الكسر $ \ frac (10) (14) = \ frac (5) (7) $ ، فإن المساواة $ (- 1) ^ \ frac (10) (14) = (- 1) ^ \ frac (5) (7) $.

ملاحظة 1

وتجدر الإشارة إلى أن التعريف الأول الأكثر ملاءمة وبساطة للدرجة مع الأس في شكل كسر يتم استخدامه في كثير من الأحيان.

في حالة كتابة الأس الكسري ككسر مختلط أو عشري ، من الضروري تحويل الأس إلى شكل كسر عادي.

على سبيل المثال ، $ (2 \ frac (3) (7)) ^ (1 \ frac (2) (7)) = (2 \ frac (3) (7)) ^ \ frac (9) (7) = \ الجذر التربيعي ((2 \ frac (3) (7)) ^ 9) $، $ 7 ^ (3،6) = 7 ^ \ frac (36) (10) = \ sqrt (7 ^ (36)) $.

شهادة مع الأس غير المنطقي والحقيقي

إلى صالحتتضمن الأرقام أرقامًا منطقية وغير منطقية.

دعونا نحلل مفهوم الدرجة بأس غير منطقي ، منذ ذلك الحين درجة مع الأس المنطقي الذي درسناه.

ضع في اعتبارك تسلسل تقريب للرقم $ \ alpha $ ، وهي أرقام منطقية. أولئك. لدينا سلسلة من الأرقام المنطقية $ \ alpha_1 $ ، $ \ alpha_2 $ ، $ \ alpha_3 $ ، $ \ ldots $ ، والتي تحدد الرقم $ \ alpha $ بأي درجة من الدقة. إذا قمنا بحساب القوى باستخدام هذه الأسس $ a ^ (\ alpha_1) $، $ a ^ (\ alpha_2) $، $ a ^ (\ alpha_3) $، $ \ ldots $ ، فيتبين أن هذه الأرقام تقريبية لـ بعض الأرقام $ b $.

التعريف 4

القوة $ a> 0 $ مع الأس غير المنطقي $ \ alpha $هو تعبير $ a ^ \ alpha $ له قيمة تساوي حد التسلسل $ a ^ (\ alpha_1) $، $ a ^ (\ alpha_2) $، $ a ^ (\ alpha_3) $، $ \ ldots $ ، حيث $ \ alpha_1 $ ، $ \ alpha_2 $ ، $ \ alpha_3 $ ،… هي تقديرات عشرية متتالية للرقم غير النسبي $ \ alpha $.

في هذه المقالة ، سوف نفهم ما هو درجة. سنقدم هنا تعريفات لدرجة الرقم ، مع الأخذ في الاعتبار بالتفصيل جميع الأسس المحتملة للدرجة ، بدءًا من الأس الطبيعي ، وانتهاءً برقم غير منطقي. ستجد في المادة الكثير من الأمثلة على الدرجات التي تغطي جميع التفاصيل الدقيقة التي تنشأ.

التنقل في الصفحة.

الدرجة ذات الأس الطبيعي ، مربع الرقم ، مكعب العدد

دعنا نبدء ب . بالنظر إلى المستقبل ، دعنا نقول أن تعريف درجة a مع الأس الطبيعي n معطى لـ a ، والذي سنسميه قاعدة الدرجة، و n ، الذي سنسميه الأس. لاحظ أيضًا أن الدرجة مع المؤشر الطبيعي يتم تحديدها من خلال المنتج ، لذلك لفهم المادة أدناه ، يجب أن يكون لديك فكرة عن مضاعفة الأرقام.

تعريف.

قوة العدد أ مع الأس الطبيعي nهو تعبير للصيغة a n ، التي تساوي قيمتها حاصل ضرب عوامل n ، كل منها يساوي a ، أي.
على وجه الخصوص ، درجة الرقم أ مع الأس 1 هي الرقم أ نفسه ، أي 1 = أ.

يجدر ذكر قواعد قراءة الدرجات على الفور. الطريقة العامة لقراءة الإدخال أ ن هي: "أ إلى قوة ن". في بعض الحالات ، تكون مثل هذه الخيارات مقبولة أيضًا: "a إلى القوة n" و "القوة n للرقم a". على سبيل المثال ، لنأخذ قوة 8 12 ، أي "ثمانية أس 12" ، أو "ثمانية أس 12" ، أو "12 أس ثمانية".

القوة الثانية للرقم ، وكذلك القوة الثالثة للرقم ، لها أسمائها الخاصة. القوة الثانية للرقم تسمى مربع الرقم، على سبيل المثال ، تتم قراءة 7 2 على أنها "سبعة تربيع" أو "مربع الرقم سبعة". القوة الثالثة للرقم تسمى رقم المكعب، على سبيل المثال ، يمكن قراءة 5 3 كـ "خمسة تكعيب" أو قول "مكعب من الرقم 5".

حان الوقت لجلب أمثلة على الدرجات مع المؤشرات المادية. لنبدأ بالقوة 5 7 ، حيث 5 هو أساس القوة و 7 هو الأس. دعنا نعطي مثالًا آخر: 4.32 هو الأساس ، والعدد الطبيعي 9 هو الأس (4.32) 9.

يرجى ملاحظة أنه في المثال الأخير ، تم كتابة قاعدة الدرجة 4.32 بين قوسين: لتجنب التناقضات ، سنأخذ بين قوسين جميع قواعد الدرجة التي تختلف عن الأرقام الطبيعية. كمثال ، نعطي الدرجات التالية بمؤشرات طبيعية ، قواعدها ليست أعدادًا طبيعية ، لذا فهي مكتوبة بين قوسين. حسنًا ، من أجل التوضيح الكامل في هذه المرحلة ، سنعرض الفرق الموجود في تسجيلات النموذج (−2) 3 و −2 3. التعبير (−2) 3 هو قوة −2 مع الأس الطبيعي 3 ، والتعبير −2 3 (يمكن كتابته كـ - (2 3)) يتوافق مع الرقم ، قيمة القوة 2 3.

لاحظ أن هناك تدوينًا لدرجة a مع الأس n بالشكل a ^ n. علاوة على ذلك ، إذا كان n عددًا طبيعيًا متعدد القيم ، فسيتم وضع الأس بين قوسين. على سبيل المثال ، 4 ^ 9 هو رمز آخر للقوة 4 9. وإليك المزيد من الأمثلة على كتابة الدرجات باستخدام الرمز "^": 14 ^ (21) ، (−2،1) ^ (155). فيما يلي ، سنستخدم تدوين درجة الصورة أ ن بشكل أساسي.

تتمثل إحدى المشكلات ، عكس الأس مع الأس الطبيعي ، في مشكلة إيجاد أساس الدرجة من قيمة معروفة للدرجة وأس معروف. هذه المهمة تؤدي إلى.

من المعروف أن مجموعة الأعداد المنطقية تتكون من أعداد صحيحة وأرقام كسرية ، ويمكن تمثيل كل عدد كسري ككسر عادي موجب أو سالب. لقد حددنا الدرجة مع الأس الصحيح في الفقرة السابقة ، لذلك ، من أجل استكمال تعريف الدرجة مع الأس المنطقي ، نحتاج إلى إعطاء معنى درجة الرقم أ مع الأس الكسري م / ن ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. لنفعلها.

ضع في اعتبارك درجة ذات أس كسري للصيغة. لكي تظل خاصية الدرجة العلمية صالحة ، يجب أن تستمر المساواة . إذا أخذنا في الاعتبار المساواة الناتجة والطريقة التي حددناها ، فمن المنطقي قبولها ، بشرط أن يكون التعبير منطقيًا بالنسبة لمعطى m و n و a.

من السهل التحقق من أن جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح صالحة لأن (يتم ذلك في القسم الخاص بخصائص الدرجة ذات الأس المنطقي).

المنطق أعلاه يسمح لنا بعمل ما يلي استنتاج: إذا كان التعبير معطى m و n و a منطقيًا ، فإن قوة الرقم a مع الأس الكسري m / n هي جذر الدرجة n من a مرفوعًا للقوة m.

هذه العبارة تقربنا من تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. يبقى فقط لوصف معنى m و n والتعبير. اعتمادًا على القيود المفروضة على m و n و a ، هناك طريقتان رئيسيتان.

أسهل طريقة لتقييد a هي افتراض a≥0 للإشارة إلى موجب m و a> 0 لسالب m (لأن m≤0 ليس لها قوة تساوي 0 m). ثم نحصل على التعريف التالي للدرجة ذات الأس الكسري.

تعريف.

قوة رقم موجب أ مع أس كسري م / ن، حيث m عدد صحيح ، و n عدد طبيعي ، يسمى جذر n من الرقم a مرفوع إلى أس m ، أي.

يتم تعريف الدرجة الكسرية للصفر أيضًا بالتحذير الوحيد بأن الأس يجب أن يكون موجبًا.

تعريف.

قوة الصفر مع الأس الموجب الجزئي م / ن، حيث m عدد صحيح موجب و n عدد طبيعي ، يتم تعريفه على أنه .
عندما لا يتم تعريف الدرجة ، أي أن درجة الرقم صفر بأسس سالب كسري لا معنى لها.

تجدر الإشارة إلى أنه مع مثل هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري ، هناك فارق بسيط واحد: بالنسبة لبعض السالب a وبعض m و n ، يكون التعبير منطقيًا ، وقد تجاهلنا هذه الحالات من خلال إدخال الشرط a≥0. على سبيل المثال ، من المنطقي أن تكتب أو ، والتعريف أعلاه يجبرنا على قول تلك الدرجات مع الأس الكسري للصيغة لا معنى لها ، لأن القاعدة يجب ألا تكون سالبة.

هناك طريقة أخرى لتحديد الدرجة باستخدام الأس الكسري m / n وهي النظر بشكل منفصل إلى الأس الزوجي والفردي للجذر. يتطلب هذا النهج شرطًا إضافيًا: درجة الرقم أ ، الذي يكون الأس ، يعتبر درجة الرقم أ ، الذي يمثل الأس الكسر المقابل غير القابل للاختزال (سيتم توضيح أهمية هذا الشرط أدناه). بمعنى ، إذا كانت m / n جزءًا غير قابل للاختزال ، فعندئذٍ يتم استبدال الدرجة أولاً بأي رقم طبيعي k.

بالنسبة إلى n و m موجب ، يكون التعبير منطقيًا لأي غير سالب a (جذر الدرجة الزوجية من رقم سالب لا معنى له) ، بالنسبة لسالب m ، يجب أن يظل الرقم a غير صفري (وإلا فإن القسمة بنسبة صفر سيحدث). وبالنسبة للفرد n والإيجابي m ، يمكن أن يكون الرقم a أي شيء (يتم تحديد جذر الدرجة الفردية لأي رقم حقيقي) ، وبالنسبة لسالب m ، يجب أن يكون الرقم a مختلفًا عن الصفر (بحيث لا يكون هناك قسمة على صفر).

يقودنا المنطق أعلاه إلى مثل هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري.

تعريف.

لنفترض أن m / n جزء غير قابل للاختزال ، و m عددًا صحيحًا ، و n عددًا طبيعيًا. لأي جزء عادي قابل للاختزال ، يتم استبدال الدرجة بـ. قوة a ذات الأس الكسري غير القابل للاختزال m / n هي لـ



دعونا نشرح لماذا يتم استبدال الدرجة ذات الأس الكسري القابل للاختزال بدرجة ذات أس غير قابل للاختزال. إذا قمنا بتعريف الدرجة ببساطة ، ولم نحفظ بشأن عدم إمكانية اختزال الكسر م / ن ، فسنواجه مواقف مشابهة لما يلي: منذ 6/10 = 3/5 ، ثم المساواة ، لكن ، أ .

موضوع الدرس:درجة بأس حقيقي.

مهام:

• تعليمي:
  • تعميم مفهوم الدرجة.
  • لتطوير القدرة على إيجاد قيمة الدرجة بمؤشر حقيقي ؛
  • تعزيز القدرة على استخدام خصائص الدرجة عند تبسيط التعبيرات ؛
  • تنمي مهارة استخدام خواص الدرجة في العمليات الحسابية.
• تعليمي:
  • التطور الفكري والعاطفي والشخصي للطالب ؛
  • تطوير القدرة على التعميم والتنظيم على أساس المقارنة والتوصل إلى نتيجة ؛
  • تنشيط النشاط المستقل ؛
  • تنمي الفضول.
• تعليمي:
  • تعليم الثقافة الاتصالية والإعلامية للطلاب ؛
  • يتم تنفيذ التعليم الجمالي من خلال تكوين القدرة على صياغة مهمة بشكل عقلاني ودقيق على السبورة وفي دفتر ملاحظات.

يجب أن يعرف الطلاب:تعريف وخصائص الدرجة مع الأس الحقيقي.

يجب أن يكون الطلاب قادرين على:

• تحديد ما إذا كان التعبير بدرجة ما منطقيًا ؛
• استخدام خصائص الدرجة في العمليات الحسابية وتبسيط التعبيرات ؛
• حل الأمثلة التي تحتوي على درجة ؛
• قارن ، ابحث عن أوجه التشابه والاختلاف.

شكل الدرس:ندوة - ورشة عمل مع عناصر البحث. دعم الكمبيوتر.

شكل تنظيم التدريب:الفردية والجماعية.

نوع الدرس:درس في البحث والعمل العملي.

أثناء الفصول

تنظيم الوقت

ذات يوم قرر الملك اختيار مساعده الأول من بين حاشيته. قاد الجميع إلى قلعة ضخمة. "من يفتحها أولاً سيكون المساعد الأول." لم يلمس أحد القلعة حتى. جاء وزير واحد فقط ودفع القفل ففتح. لم يكن مؤمنا.
ثم قال الملك: "ستحصل على هذا المنصب لأنك لا تعتمد فقط على ما تراه وتسمعه ، بل تعتمد على قوتك ولا تخشى المحاولة".
واليوم سنحاول أن نتوصل إلى القرار الصحيح.

1. ما هو المفهوم الرياضي المرتبط بالكلمات:

قاعدة
فِهرِس (درجة)
ما الكلمات التي يمكن أن تجمع بين الكلمات:
رقم منطقي
عدد صحيح
عدد طبيعي
عدد غير نسبي (عدد حقيقي)
قم بصياغة موضوع الدرس. (القوة مع الأس الحقيقي)

2. ما هو هدفنا الاستراتيجي؟ (استعمال)
اي نوع أهداف درسنا?
- تعميم مفهوم الدرجة.

مهام:

- كرر خواص الدرجة
- النظر في استخدام خصائص الدرجات في العمليات الحسابية وتبسيط التعبيرات
- تنمية المهارات الحسابية.

3. إذن ، a p ، حيث p هو رقم حقيقي.
أعط أمثلة (اختر من التعبيرات 5 -2 ، 43 ،) درجات

- بمؤشر طبيعي
- مع قيمة عددية
- بمؤشر منطقي
- مع مؤشر غير منطقي

4. في أي قيم أالتعبير منطقي

أ ، حيث ن (أ هو أي)
am حيث m (a 0) كيف تنتقل من درجة ذات أس سالب إلى درجة ذات أس موجب؟
حيث (a0)

5. من هذه التعبيرات ، اختر تلك التي لا معنى لها:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. احسب. الإجابات في كل عمود تشترك في خاصية واحدة مشتركة. حدد إجابة إضافية (ليس لديها هذه الخاصية)

2 = =
= 6 = (الآخرون الخطأ) = (لا يمكن كتابة قرارات أخرى)
= (كسر) ==

7. ما هي الإجراءات (العمليات الحسابية) التي يمكن أداؤها بالدرجات؟

مجموعة المباراة:

يكتب أحد الطلاب الصيغ (الخصائص) بعبارات عامة.

8. استكمل الدرجات من البند 3 بحيث يمكن تطبيق خصائص الدرجة على المثال الناتج.

(شخص واحد يعمل على السبورة ، والباقي في دفاتر الملاحظات. للتحقق ، وتبادل دفاتر الملاحظات ، وآخر يؤدي الإجراءات على السبورة)

9. على السبورة (أعمال الطالب):

احسب: =

بشكل مستقل (مع فحص الأوراق)

أي من الإجابات لا يمكن الحصول عليها في الجزء "ب" من الامتحان؟ إذا ظهرت الإجابة ، فكيف تكتب مثل هذه الإجابة في الجزء "ب"؟

10. إكمال المهمة بشكل مستقل (مع فحص على السبورة - عدة أشخاص)

مهمة الاختيار من متعدد

1
2	:
3	0,3
4

11. مهمة بإجابة قصيرة (حل على السبورة):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

لوحدك مع التحقق على السبورة المخفية:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . تصغير الكسر (على السبورة):

في هذا الوقت ، يقرر شخص واحد على السبورة بمفرده: = (فحوصات الفصل)

13. قرار مستقل (للتحقق)

لوضع علامة "3": اختبر مع اختيار الإجابات:

1. حدد تعبيرًا يساوي الدرجة

1.

2.

3.

4.

2. قدم المنتج كدرجة علمية: - شكرا لك على الدرس!

لأي زاوية α مثل أن α ≠ πk / 2 (k تنتمي إلى المجموعة Z) ، لدينا:

بالنسبة لأي زاوية α ، تكون المساواة صحيحة:

لأي زاوية α مثل أن α ≠ πk (k تنتمي إلى المجموعة Z) ، لدينا:

صيغ الصب

يحتوي الجدول على صيغ التخفيض للوظائف المثلثية.

الوظيفة (الزاوية في º)	90º - α	90º + α	180 درجة - ألفا	180º + α	270º - α	270º + α	360 درجة - α	360 درجة + α
الخطيئة	كوسلفا	كوسلفا	sinα	-سينا	-cos α	-cos α	-سينا	sinα
كوس	sinα	-سينا	-cos α	-cos α	-سينا	sinα	كوسلفا	كوسلفا
tg	كتج α	-كتج α	-تج α	tgα	كتج α	-كتج α	-تج α	tgα
ctg	tgα	-تج α	-كتج α	كتج α	tgα	-تج α	-كتج α	كتج α
الوظيفة (الزاوية بالتقدير الراديوي)	π / 2 - α	π / 2 + α	π – α	π + α	3π / 2 - α	3π / 2 + α	2π-α	2π + α

تماثل الدوال المثلثية. تتشكل الزاويتان φ و-عن طريق تدوير الحزمة في اتجاهين متعاكسين (في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة).
لذلك ، فإن طرفي النهايتين OA 1 و OA 2 من هاتين الزاويتين متماثلتان حول المحور x. إحداثيات متجه الوحدة OA 1 = ( X 1 , في 1) و А 2 = ( X 2 , ذ 2) إرضاء العلاقات: X 2 = X 1 ذ 2 = -في 1 لذلك cos (-) = cosφ ، sin (- φ) = -sin φ ، لذلك ، الجيب دالة فردية ، وجيب التمام دالة زوجية للزاوية.
بعد ذلك لدينا:
لهذا الظل وظل التمام هما دالتان فرديتان لزاوية.

8)الدوال المثلثية العكسية- التوابع الرياضية المعكوسة للدوال المثلثية. تتضمن الدوال المثلثية العكسية ست وظائف:

§ قوس(الرمز: arcsin)

§ جيب التمام القوسي(الرمز: arccos)

§ ظل القوس(التسمية: arctg ؛ في الأدب الأجنبي arctan)

§ ظل القوس(التعيين: arcctg ؛ في الأدب الأجنبي arccotan)

§ قوس قزح(الرمز: arcsec)

§ arccosecant(التعيين: arccosec ؛ في الأدب الأجنبي arccsc)

يتكون اسم الدالة المثلثية العكسية من اسم الدالة المثلثية المقابلة عن طريق إضافة البادئة "ark-" (من خط العرض. قوس- قوس). هذا يرجع إلى حقيقة أن قيمة الدالة المثلثية العكسية يمكن ربطها بطول قوس دائرة الوحدة (أو الزاوية التي تقابل هذا القوس) المقابلة لقطعة أو أخرى. من حين لآخر في الأدبيات الأجنبية يستخدمون تسميات مثل الخطيئة −1 للقوس ، وما إلى ذلك ؛ يعتبر هذا غير مبرر ، لأن الخلط بين رفع الوظيفة إلى القوة −1 أمر ممكن.

خصائص دالة arcsin

(الوظيفة غريبة). في .

في

في

خصائص وظيفة arccos [

· (الوظيفة متناظرة مركزيًا فيما يتعلق بالنقطة) ، غير مبال.

·

·

·

خصائص دالة arctg

·

· ، لـ x> 0.

خصائص دالة arcctg

(الرسم البياني للوظيفة متماثل مركزيًا فيما يتعلق بالنقطة

· لأي

·

12) قوة العدد a> 0 مع الأس المنطقي هي الأس ، ويمكن تمثيل الأس ككسر عادي غير قابل للاختزال x = m / n ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي ، و n > 1 (x هو الأس).

درجة مع الأس الحقيقي

يجب إعطاء رقم موجب ورقم حقيقي تعسفي. الرقم يسمى الدرجة ، الرقم هو أساس الدرجة ، الرقم هو الأس.

بحكم التعريف يفترض:

إذا كانت و هي أرقام موجبة ، وكانت أي أرقام حقيقية ، فإن الخصائص التالية صحيحة:

14)اللوغاريتم الأساسي لرقم(من اليونانية λόγος - "الكلمة" و "العلاقة" و ἀριθμός - "الرقم") يُعرَّف على أنه مؤشر على الدرجة التي يجب أن ترفع بها القاعدة للحصول على رقم. التسمية: ، تنطق: " اللوغاريتم الأساسي".

خصائص اللوغاريتمات:

1 ° - الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

لوغاريتم الوحدة في أي أساس موجب غير 1 هو صفر. هذا ممكن لأنه من أي رقم حقيقي لا يمكنك الحصول على 1 إلا برفعه إلى القوة الصفرية.

4 ° هو لوغاريتم المنتج.

لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

5 درجات هو لوغاريتم حاصل القسمة.

لوغاريتم حاصل القسمة (الكسر) يساوي فرق لوغاريتمات العوامل.

6 ° هو لوغاريتم الدرجة.

لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

7 درجة

8 درجة

9 درجة - الانتقال إلى أسس جديدة.

15) رقم حقيقي - (رقم حقيقي) ، أي رقم موجب أو سالب أو صفر. عن طريق الأعداد الحقيقية ، يتم التعبير عن نتائج قياس جميع الكميات المادية. ؛

16)وحدة خياليةعادة ما يكون عددًا مركبًا مربعه يساوي سالب واحد. ومع ذلك ، هناك خيارات أخرى ممكنة أيضًا: في بناء المضاعفة وفقًا لكايلي ديكسون أو في إطار الجبر وفقًا لكليفورد.

ارقام مركبة(أرقام تخيلية عفا عليها الزمن) - أرقام النموذج ، أين وأرقام حقيقية ، هي وحدة تخيلية ؛ هذا هو . عادة ما يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأرقام المركبة من خط العرض. مركب- وثيقة الصلة.

موضوع الدرس: شهادة مع الدعاة العقلانية والحقيقية.

الأهداف:

تعليمي :

• تعميم مفهوم الدرجة.

  لتطوير القدرة على إيجاد قيمة الدرجة بمؤشر حقيقي ؛

  تعزيز القدرة على استخدام خصائص الدرجة عند تبسيط التعبيرات ؛

  تنمي مهارة استخدام خواص الدرجة في العمليات الحسابية.

تعليمي :

• التطور الفكري والعاطفي والشخصي للطالب ؛

  تطوير القدرة على التعميم والتنظيم على أساس المقارنة والتوصل إلى نتيجة ؛

  تنشيط النشاط المستقل ؛

  تنمي الفضول.

تعليمي :

• تعليم الثقافة الاتصالية والإعلامية للطلاب ؛

  يتم تنفيذ التعليم الجمالي من خلال تكوين القدرة على صياغة مهمة بشكل عقلاني ودقيق على السبورة وفي دفتر ملاحظات.

يجب أن يعرف الطلاب: تعريف وخصائص الدرجة مع الأس الحقيقي

يجب أن يكون الطلاب قادرين على:

تحديد ما إذا كان التعبير بدرجة ما منطقيًا ؛

استخدام خصائص الدرجة في العمليات الحسابية وتبسيط التعبيرات ؛

حل الأمثلة التي تحتوي على درجة ؛

قارن ، ابحث عن أوجه التشابه والاختلاف.

شكل الدرس: ندوة - ورشة عمل مع عناصر البحث. دعم الكمبيوتر.

شكل تنظيم التدريب: الفردية والجماعية.

التقنيات التربوية الكلمات المفتاحية: التعلم القائم على حل المشكلات ، التعلم بالتعاون ، التعلم الموجه نحو الشخصية ، التواصل.

نوع الدرس: درس في البحث والعمل العملي.

مرئيات الدرس والنشرات:

عرض تقديمي

الصيغ والجداول (التطبيق 1.2)

مهمة العمل المستقل (الملحق 3)

خطة الدرس

№

مرحلة الدرس

الغرض من المرحلة

الوقت ، دقيقة.

بداية الدرس

الإبلاغ عن موضوع الدرس وتحديد أهداف الدرس.

1-2 دقيقة

العمل الشفوي

راجع معادلات الطاقة.

خصائص الدرجة.

4-5 دقائق

حل أمامي

لوحات من الكتاب المدرسي رقم 57 (1،3،5)

№58 (1،3،5) مع الالتزام التفصيلي لخطة الحل.

تكوين المهارات والقدرات

اطلب من الطلاب تطبيق الخصائص

الدرجات عند إيجاد قيم التعبير.

8-10 دقيقة

العمل في مجموعات صغيرة.

تحديد الفجوات في المعرفة

الطلاب ، وتهيئة الظروف لـ

التطور الفردي للطالب

في الدرس.

15-20 دقيقة

تلخيص العمل.

تتبع نجاح عملك

الطلاب ، عند حل المشكلات المتعلقة بموضوع ما بشكل مستقل ، يكتشفون ذلك

طبيعة الصعوبات وأسبابها ،

تقديم حلول جماعية.

5-6 دقائق

الواجب المنزلي

عرّف الطلاب على الواجبات المنزلية. قدم التفسيرات اللازمة.

1-2 دقيقة

أثناء الفصول

تنظيم الوقت

مرحبا يا شباب! اكتب في دفاتر ملاحظاتك الرقم وموضوع الدرس.

يقولون إن مخترع الشطرنج ، مكافأة على اختراعه ، طلب من الرجاء بعض الأرز: في الخلية الأولى من اللوحة طلب وضع حبة واحدة ، في الثانية - مرتين أكثر ، أي 2 حبة ، على ثالثًا - أكثر بمرتين ، أي 4 حبيبات ، وما إلى ذلك حتى 64 خلية.

بدا طلبه متواضعًا جدًا بالنسبة إلى الرجاء ، ولكن سرعان ما أصبح واضحًا أنه كان من المستحيل الوفاء به. يتم التعبير عن عدد الحبوب التي يجب منحها لمخترع الشطرنج كمكافأة بالمجموع

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

هذا المبلغ يساوي عددًا كبيرًا

18446744073709551615

وهي كبيرة جدًا لدرجة أن هذه الكمية من الحبوب يمكن أن تغطي كامل سطح كوكبنا ، بما في ذلك المحيط العالمي ، بطبقة من 1 سم.

تُستخدم الدرجات عند كتابة الأرقام والتعبيرات ، مما يجعلها أكثر إحكاما وملاءمة لأداء الإجراءات.

غالبًا ما تستخدم الدرجات عند قياس الكميات الفيزيائية ، والتي يمكن أن تكون "كبيرة جدًا" و "صغيرة جدًا".

كُتِبَت كتلة الأرض 6000000000000000000000 طن في صورة حاصل ضرب 6.10 21 ر

يُكتب قطر جزيء الماء 0.0000000003 م كمنتج

3.10 -10 م.

1. ما هو المفهوم الرياضي المرتبط بالكلمات:

قاعدة
فِهرِس(درجة)

ما الكلمات التي يمكن أن تجمع بين الكلمات:
رقم منطقي
عدد صحيح
عدد طبيعي
عدد غير نسبي(عدد حقيقي)
قم بصياغة موضوع الدرس.(القوة مع الأس الحقيقي)

2. لذا أ x،أينx هو رقم حقيقي. حدد من التعبيرات

مع مؤشر طبيعي

مع عدد صحيح

بأس عقلاني

مع الأس غير المنطقي

3. ما هو هدفنا؟(استعمال)
اي نوعأهداف درسنا ?
- تعميم مفهوم الدرجة.

مهام:

– كرر خصائص الدرجة
- النظر في استخدام خصائص الدرجات في العمليات الحسابية وتبسيط التعبيرات
- تنمية المهارات الحسابية

4 . درجة مع الأس المنطقي

قاعدة

الدرجة العلمية

الدرجة مع الأسص، القاعدة أ (نن, من

ص= ن

ص= - ن

ص= 0

ص= 0

ص = 0

أ ن= أ. أ. … . أ

أ -ن=

أ 0 =1

أ ن= أ. ….أ

أ -ن=

غير موجود

غير موجود

أ 0 =1

أ = 0

0 ن=0

غير موجود

غير موجود

غير موجود

5 . من هذه التعبيرات ، اختر تلك التي لا معنى لها:

6 . تعريف

إذا كان الرقمص- طبيعي إذن صهناك عملصالأرقام ، كل منها يساوي:

أ ص= أ. أ. … . أ

إذا كان الرقمص- كسري وإيجابي ، أي أينمون- طبيعي

الأرقام ، إذن

إذا كان المؤشرصهو منطقي وسالب ، ثم التعبيرأ ص

يتم تعريفه على أنه المعاملة بالمثلأ - ص

أو

اذا كان

7 . فمثلا

8 . تتمتع قوى الأعداد الموجبة بالخصائص الأساسية التالية:

9 . احسب

10. ما هي الإجراءات (العمليات الحسابية) التي يمكن أداؤها بالدرجات؟

مجموعة المباراة:

أ) عند ضرب الأسس بأساسيات متساوية

1) يتم ضرب الأسس ، لكن الأس يبقى كما هو

ب) عند قسمة الدرجات على أسس متساوية

2) الأسس مقسمة لكن الأس يبقى كما هو

ب) عند رفع قوة إلى قوة

3) الأساس يبقى كما هو لكن الأسس مضروبين

د) عند ضرب الأسس بأسس متساوية

4) يبقى الأساس كما هو ، ويتم طرح الأسس

هـ) عند قسمة الدرجات بمؤشرات متساوية

5) تظل القاعدة كما هي ، وتضيف المؤشرات

11 . من الكتاب المدرسي (على السبورة)

لحل الفصل:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . حسب مواد الامتحان

(عمل مستقل) على منشورات

الرابع عشرمئة عام.

الجواب: Oresma. 13. بالإضافة إلى ذلك (بشكل فردي) لأولئك الذين يمكنهم إكمال المهام بشكل أسرع:

14. الواجب المنزلي

المادة 5 (تعرف على التعاريف والصيغ)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

في نهاية الدرس:

"الرياضيات بعد ذلك تحتاج بالفعل إلى أن تُدرَّس ، لأنها تضع العقل بالترتيب"

– هكذا قال عالم الرياضيات الروسي العظيم ميخائيل لومونوسوف.

- شكرا لك على الدرس!

المرفقات 1

1. درجات. الخصائص الأساسية

مؤشر

أ 1 = أ

أ ن= أ. ….أ

ارن

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

الدرجة مع الأس الصحيح

أ 0 = 1 ،

اين ا

0 0 - غير محدد.

درجة مع عقلاني

مؤشر

أينأ

م

درجة مع الأس غير المنطقي

الجواب: == 25.9 ...

1. أ x. أ ذ= أ س + ص

2-أ x: أ ذ== أ س ص

3. .(أ x) ذ= أ x.y

4. (أ ب) ن= أ ن.ب ن

5. (=

6. (

الملحق 2

2. درجة مع الأس المنطقي

قاعدة

الدرجة العلمية

الدرجة مع الأسص، القاعدة أ (نن, من

ص= ن

ص= - ن

ص= 0

ص= 0

ص = 0

أ ن= أ. أ. … . أ

أ -ن=

أ 0 =1

أ ن= أ. ….أ

أ -ن=

غير موجود

غير موجود

أ 0 =1

أ = 0

0 ن=0

غير موجود

غير موجود

غير موجود

الملحق 3

3. العمل المستقل

لأول مرة ، تم استخدام الإجراءات على القوى من قبل عالم رياضيات فرنسيالرابع عشرمئة عام.

فك شفرة اسم العالم الفرنسي.