في بعض مشاكل الفيزياء ، لا يمكن إنشاء علاقة مباشرة بين الكميات التي تصف العملية. ولكن هناك إمكانية للحصول على مساواة تحتوي على مشتقات الوظائف قيد الدراسة. هذه هي الطريقة التي تنشأ بها المعادلات التفاضلية والحاجة إلى حلها لإيجاد دالة غير معروفة.

هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يواجهون مشكلة حل معادلة تفاضلية تكون فيها الوظيفة غير المعروفة دالة لمتغير واحد. تم بناء النظرية بطريقة تتيح لك القيام بعملك مع عدم فهم المعادلات التفاضلية.

يرتبط كل نوع من المعادلات التفاضلية بطريقة الحل مع تفسيرات وحلول مفصلة لأمثلة ومشكلات نموذجية. عليك فقط تحديد نوع المعادلة التفاضلية لمشكلتك ، والعثور على مثال مشابه تم تحليله وتنفيذ إجراءات مماثلة.

إلى عن على حل ناجحالمعادلات التفاضلية من جانبك ، ستحتاج أيضًا إلى القدرة على إيجاد مجموعات من المشتقات العكسية (تكاملات غير محددة) من وظائف مختلفة. إذا لزم الأمر ، نوصي بالرجوع إلى القسم.

أولاً ، ضع في اعتبارك أنواع المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى التي يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق ، ثم سننتقل إلى المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، ثم سنركز على المعادلات ذات الترتيب الأعلى وننتهي من أنظمة المعادلات التفاضلية.

تذكر أنه إذا كانت y دالة في المتغير x.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى للصيغة.

دعونا نكتب العديد من الأمثلة على هذا النوع من DE .

المعادلات التفاضلية يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق عن طريق قسمة طرفي المساواة على f (x). في هذه الحالة ، نصل إلى المعادلة التي ستكون مكافئة للمعادلة الأصلية لـ f (x) ≠ 0. ومن الأمثلة على مثل هذه المعادلات الخارجية.

إذا كانت هناك قيم للوسيطة x حيث تتلاشى الدالتان f (x) و g (x) في نفس الوقت ، فستظهر حلول إضافية. حلول إضافية للمعادلة نظرًا لأن x هي أي وظائف محددة لقيم الوسيطة هذه. أمثلة على هذه المعادلات التفاضلية.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة.

LODE ذو المعاملات الثابتة هو نوع شائع جدًا من المعادلات التفاضلية. حلهم ليس صعبًا بشكل خاص. تم العثور على الجذور أولاً معادلة مميزة . بالنسبة إلى p و q المختلفة ، هناك ثلاث حالات ممكنة: يمكن أن تكون جذور المعادلة المميزة حقيقية ومختلفة وحقيقية ومتطابقة أو اقتران معقد. اعتمادًا على قيم جذور المعادلة المميزة ، يتم كتابتها قرار مشتركالمعادلة التفاضلية ، أو ، أو على التوالي.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة. جذور معادلته المميزة هي k 1 = -3 و k 2 = 0. الجذور حقيقية ومختلفة ، وبالتالي ، فإن الحل العام لمعاملات LDE الثابتة هو


المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

يتم البحث عن الحل العام لـ LIDE من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة y كمجموع للحل العام لـ LODE المقابل وحل خاص من النص الأصلي معادلة متجانسة، هذا هو، . الفقرة السابقة مكرسة لإيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة ذات معاملات ثابتة. ويتم تحديد حل معين بطريقة المعاملات غير المحددة عند شكل معينالدالة f (x) ، تقف على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية ، أو بطريقة تغيير الثوابت التعسفية.

كأمثلة على LIDEs من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة ، نقدمها


افهم النظرية وتعرف عليها قرارات مفصلةأمثلة نقدمها لك في صفحة المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة.

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة (LODEs) والمعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية (LNDEs).

حالة خاصة من المعادلات التفاضلية من هذا النوع هي LODE و LODE مع معاملات ثابتة.

يتم تمثيل الحل العام لـ LODE في فترة زمنية معينة من خلال مجموعة خطية من حلين خاصين مستقلين خطيًا y 1 و y 2 من هذه المعادلة ، أي ، .

تكمن الصعوبة الرئيسية بالتحديد في إيجاد حلول جزئية مستقلة خطيًا لهذا النوع من المعادلات التفاضلية. عادة ، يتم اختيار حلول معينة من الأنظمة التاليةوظائف مستقلة خطيًا:


ومع ذلك ، لا يتم تقديم حلول معينة دائمًا في هذا النموذج.

مثال على LODU هو .

يتم البحث عن الحل العام لـ LIDE بالشكل ، حيث يكون الحل العام لـ LODE المقابل ، وهو حل خاص للمعادلة التفاضلية الأصلية. تحدثنا للتو عن إيجاد ، ولكن يمكن تحديده باستخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

مثال على LNDE هو .

المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى.

المعادلات التفاضلية التي تقبل تخفيض الأمر.

ترتيب المعادلة التفاضلية ، التي لا تحتوي على الوظيفة المطلوبة ومشتقاتها حتى ترتيب k-1 ، يمكن اختزالها إلى n-k عن طريق الاستبدال.

في هذه الحالة ، يتم تقليل المعادلة التفاضلية الأصلية إلى. بعد إيجاد الحل p (x) ، يبقى العودة إلى البديل وتحديد الوظيفة غير المعروفة y.

على سبيل المثال ، المعادلة التفاضلية بعد أن يصبح الاستبدال معادلة قابلة للفصل ، وينخفض ​​ترتيبها من الثالث إلى الأول.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة الحل.
المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة

المعادلات التفاضلية (DE). هاتان الكلمتان عادة ما ترعبان الشخص العادي العادي. يبدو أن المعادلات التفاضلية أمر شائن ويصعب إتقانه للعديد من الطلاب. Uuuuuu… المعادلات التفاضلية كيف يمكنني النجاة من كل هذا ؟!

مثل هذا الرأي ومثل هذا الموقف هو خطأ جوهري ، لأنه في الواقع المعادلات التفاضلية بسيطة وممتعة حتى. ما الذي تحتاج إلى معرفته والقدرة على تعلم حل المعادلات التفاضلية؟ لدراسة الاختلافات بنجاح ، يجب أن تكون جيدًا في الدمج والتمييز. كلما تمت دراسة المواضيع بشكل أفضل مشتق دالة لمتغير واحدو تكامل غير محدد، سيكون من الأسهل فهم المعادلات التفاضلية. سأقول أكثر من ذلك ، إذا كانت لديك مهارات تكامل أكثر أو أقل ، فسيتم إتقان الموضوع عمليًا! المزيد من التكاملات أنواع مختلفةأنت تعرف كيف تقرر - كان ذلك أفضل. لماذا ا؟ عليك أن تندمج كثيرًا. وتفرق. ايضا موصى بة بشدةتعلم أن تجد.

في 95٪ من الحالات في مراقبة العملهناك 3 أنواع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: معادلات قابلة للفصل، والتي سنغطيها في هذا الدرس ؛ معادلات متجانسةو معادلات خطية غير متجانسة. بالنسبة للمبتدئين لدراسة الناشرين ، أنصحك بقراءة الدروس في هذا التسلسل ، وبعد دراسة أول مقالتين ، لن يضرك تعزيز مهاراتك في ورشة عمل إضافية - المعادلات التي تختزل إلى متجانسة.

هناك أنواع نادرة من المعادلات التفاضلية: المعادلات في مجموع الفروق ، معادلات برنولي ، وبعض المعادلات الأخرى. الأهم من الاثنين أحدث الأنواعهي المعادلات في مجموع الفروق، لأنه بالإضافة إلى هذا DE أعتبره مواد جديدة – تكامل جزئي.

إذا لم يتبق لديك سوى يوم أو يومين، ومن بعد لتحضير فائق السرعةيوجد دورة مداهماتبتنسيق pdf.

لذلك ، تم تعيين المعالم - دعنا نذهب:

دعونا أولاً نتذكر المعادلات الجبرية المعتادة. تحتوي على متغيرات وأرقام. أبسط مثال:. ماذا يعني حل معادلة عادية؟ هذا يعني أن تجد مجموعة من الأرقامالتي ترضي هذه المعادلة. من السهل ملاحظة أن معادلة الأبناء لها جذر واحد:. من أجل المتعة ، دعنا نجري فحصًا ، استبدل الجذر الموجود في معادلتنا:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل موجود بشكل صحيح.

يتم ترتيب النشرات بنفس الطريقة إلى حد كبير!

المعادلة التفاضلية الطلب الأولفي الحالة العامة يحتوي على:
1) متغير مستقل ؛
2) المتغير التابع (الوظيفة) ؛
3) المشتق الأول للدالة:.

في بعض المعادلات من الترتيب الأول ، قد لا يكون هناك "x" أو (و) "y" ، لكن هذا ليس ضروريًا - مهمبحيث في DU كنتالمشتق الأول و لم يكن لديمشتقات الطلبات الأعلى - إلخ.

ماذا يعني ؟لحل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد مجموعة من جميع الوظائفالتي ترضي هذه المعادلة. غالبًا ما يكون لمثل هذه المجموعة من الوظائف الشكل (ثابت تعسفي) ، والذي يسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية

ذخيرة كاملة. من أين نبدأ المحلول?

أولًا ، عليك إعادة كتابة المشتق بصيغة مختلفة قليلًا. نتذكر التدوين المرهق ، الذي ربما اعتقد الكثير منكم أنه سخيف وغير ضروري. إنه الذي يحكم الناشرون!

في الخطوة الثانية ، دعنا نرى ما إذا كان ذلك ممكنًا متغيرات الانقسام؟ماذا يعني فصل المتغيرات؟ تحدث تقريبا، على الجانب الأيسرنحن بحاجة للمغادرة فقط "ألعاب"، أ على جهة اليمينتنظم س فقط. يتم فصل المتغيرات بمساعدة التلاعب في "المدرسة": الأقواس ، ونقل المصطلحات من جزء إلى آخر مع تغيير علامة ، ونقل العوامل من جزء إلى جزء وفقًا لقاعدة التناسب ، إلخ.

الفوارق كاملة المضاعفات والمشاركين النشطين في الأعمال العدائية. في هذا المثال ، يمكن فصل المتغيرات بسهولة عن طريق التقليب العوامل وفقًا لقاعدة التناسب:

يتم فصل المتغيرات. على الجانب الأيسر - فقط "لعبة" ، على الجانب الأيمن - فقط "X".

المرحلة القادمة - تكامل المعادلة التفاضلية. الأمر بسيط ، فنحن نعلق التكاملات على كلا الجزأين:

بالطبع ، يجب أخذ التكاملات. في هذه القضيةهم مجدولون:

كما نتذكر ، يتم تخصيص ثابت لأي مشتق عكسي. يوجد تكاملان هنا ، لكن يكفي كتابة الثابت مرة واحدة (لأن الثابت + ثابت لا يزال مساويًا لثابت آخر). في معظم الحالات ، يتم وضعه على الجانب الأيمن.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، بعد أخذ التكاملات ، تعتبر المعادلة التفاضلية قد تم حلها. الشيء الوحيد هو أن "y" الخاص بنا لا يتم التعبير عنه من خلال "x" ، أي أن الحل مقدم في الضمنيشكل. يسمى الحل الضمني للمعادلة التفاضلية التكامل العام للمعادلة التفاضلية. هذا هو ، هو التكامل العام.

الإجابة في هذا النموذج مقبولة تمامًا ، لكن هل هناك خيار أفضل؟ دعنا نحاول الحصول عليها قرار مشترك.

لو سمحت، تذكر التقنية الأولى، فهو شائع جدًا وغالبًا ما يستخدم في ملفات مهام عملية: إذا ظهر لوغاريتم على الجانب الأيمن بعد التكامل ، فمن المستحسن أيضًا في كثير من الحالات (ولكن ليس دائمًا بأي حال من الأحوال!) كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

هذا هو، بدلاً منعادة ما يتم كتابة السجلات .

لماذا هذا مطلوب؟ ولتسهيل التعبير عن "y". نستخدم خاصية اللوغاريتمات . في هذه الحالة:

يمكن الآن إزالة اللوغاريتمات والوحدات النمطية:

يتم تقديم الوظيفة بشكل صريح. هذا هو الحل العام.

إجابه: قرار مشترك: .

من السهل التحقق من إجابات العديد من المعادلات التفاضلية. في حالتنا ، يتم ذلك بكل بساطة ، نأخذ الحل الذي تم العثور عليه ونفرقه:

ثم نستبدل المشتق بالمعادلة الأصلية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل العام يفي بالمعادلة التي كان مطلوبًا التحقق منها.

بإعطاء قيم مختلفة ثابتة ، يمكنك الحصول على عدد لا نهائي من قرارات خاصةالمعادلة التفاضلية. من الواضح أن أيًا من الوظائف ، وما إلى ذلك. يفي بالمعادلة التفاضلية.

في بعض الأحيان يسمى الحل العام عائلة الوظائف. في هذا المثالقرار مشترك - هذه عائلة وظائف خطية، أو بالأحرى ، عائلة من النسب المباشرة.

بعد مناقشة تفصيلية للمثال الأول ، من المناسب الإجابة على بعض الأسئلة الساذجة حول المعادلات التفاضلية:

1)في هذا المثال ، تمكنا من فصل المتغيرات. هل من الممكن دائما أن تفعل هذا؟لا، ليس دائما. وحتى في كثير من الأحيان لا يمكن فصل المتغيرات. على سبيل المثال ، في معادلات متجانسة من الدرجة الأولىيجب استبداله أولا. في أنواع أخرى من المعادلات ، على سبيل المثال ، في معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى ، تحتاج إلى استخدام حيل وطرق مختلفة لإيجاد حل عام. المعادلات المتغيرة القابلة للفصل التي ننظر إليها في الدرس الأول هي - أبسط نوعالمعادلات التفاضلية.

2) هل من الممكن دائمًا تكامل معادلة تفاضلية؟لا، ليس دائما. من السهل جدًا التوصل إلى معادلة "خيالية" لا يمكن دمجها ، بالإضافة إلى وجود تكاملات لا يمكن أخذها. ولكن يمكن حل مثل هذه العناصر تقريبًا باستخدام طرق خاصة. يضمن D'Alembert و Cauchy ... ... آه ، متردد.لقد قرأت كثيرًا الآن ، لقد أضفت تقريبًا "من العالم الآخر".

3) في هذا المثال ، حصلنا على حل في شكل تكامل عام . هل من الممكن دائمًا إيجاد حل عام من التكامل العام ، أي التعبير عن "y" بشكل صريح؟لا، ليس دائما. فمثلا: . حسنًا كيف يمكنني التعبير عن "y" هنا ؟! في مثل هذه الحالات ، يجب كتابة الإجابة كجزء متكامل عام. بالإضافة إلى ذلك ، في بعض الأحيان يمكن العثور على حل عام ، ولكن يتم كتابته بشكل مرهق وغير متقن لدرجة أنه من الأفضل ترك الإجابة في شكل تكامل عام

4) ... ربما يكفي الآن. في المثال الأول ، التقينا اخر نقطة مهمة ، ولكن من أجل عدم تغطية "الدمى" بانهيار جليدي معلومات جديدةسأتركه حتى الدرس التالي.

دعونا لا نسرع. جهاز تحكم عن بعد بسيط آخر وحل نموذجي آخر:

مثال 2

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي

المحلول: حسب الحالة المراد إيجادها قرار خاص DE الذي يفي بشرط أولي معين. يسمى هذا النوع من الاستجواب أيضًا مشكلة كوشي.

أولاً ، نجد حلاً عامًا. لا يوجد متغير "x" في المعادلة ، لكن هذا لا ينبغي أن يكون محرجًا ، الشيء الرئيسي هو أنه يحتوي على المشتق الأول.

نعيد كتابة المشتق في الشكل المطلوب:

من الواضح أنه يمكن تقسيم المتغيرات ، الأولاد على اليسار ، البنات على اليمين:

ندمج المعادلة:

يتم الحصول على التكامل العام. لقد رسمت هنا ثابتًا بنجمة مميزة ، والحقيقة هي أنه سيتحول قريبًا إلى ثابت آخر.

نحاول الآن تحويل التكامل العام إلى حل عام (عبر عن "y" صراحة). نتذكر المدرسة القديمة الجيدة: . في هذه الحالة:

لا يبدو الثابت في المؤشر بطريقة ما كوشير ، لذلك عادةً ما يتم إنزاله من السماء إلى الأرض. بالتفصيل ، يحدث مثل هذا. باستخدام خاصية الدرجات ، نعيد كتابة الدالة على النحو التالي:

إذا كان ثابتًا ، فهو ثابت أيضًا ، فقم بإعادة تصميمه بالحرف:

تذكر أن "هدم" ثابت هو التقنية الثانية، والذي يستخدم غالبًا في سياق حل المعادلات التفاضلية.

لذا فإن الحل العام هو: هذه عائلة لطيفة من الوظائف الأسية.

في المرحلة النهائية ، تحتاج إلى إيجاد حل معين يلبي الشرط الأولي المحدد. إنه بسيط أيضًا.

ما هي المهمة؟ بحاجة لالتقاط مثلقيمة الثابت للوفاء بالشرط.

يمكنك ترتيبها بطرق مختلفة ، ولكن ربما يكون الأمر الأكثر قابلية للفهم على هذا النحو. في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، نعوض اثنين:



هذا هو،

إصدار التصميم القياسي:

الآن نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها للثابت في الحل العام:
- هذا هو الحل المحدد الذي نحتاجه.

إجابه: private solution:

لنقم بفحص. يتضمن التحقق من حل معين مرحلتين:

أولاً ، من الضروري التحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي؟ بدلاً من "x" نستبدل الصفر ونرى ما سيحدث:
- نعم ، في الواقع ، تم الحصول على شيطان ، مما يعني أن الشرط الأولي مستوفى.

المرحلة الثانية مألوفة بالفعل. نأخذ الحل المعين الناتج ونجد المشتق:

استبدل في المعادلة الأصلية:

- الحصول على المساواة الصحيحة.

الخلاصة: تم العثور على حل معين بشكل صحيح.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر أهمية.

مثال 3

حل المعادلة التفاضلية

المحلول:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

تقييم ما إذا كان يمكن فصل المتغيرات؟ يستطيع. ننقل المصطلح الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير العلامة:

ونقلب العوامل حسب قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات ، دعنا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك ، يوم القيامة قادم. إذا لم تكن قد تعلمت جيدًا تكاملات غير محددة، تم حل بعض الأمثلة ، فلا يوجد مكان تذهب إليه - عليك إتقانها الآن.

يسهل العثور على تكامل الجانب الأيسر ، مع تكامل ظل التمام نتعامل مع التقنية القياسية التي أخذناها في الاعتبار في الدرس تكامل التوابع المثلثيةفي العام الماضي:

على الجانب الأيمن ، لدينا لوغاريتم ، ووفقًا لتوصيتي الفنية الأولى ، يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

الآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا لوغاريتمات فقط ، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. باستخدام الخصائص المعروفةأقصى حد "حزمة" اللوغاريتمات. سأكتب بتفصيل كبير:

العبوة كاملة لتكون ممزقة بوحشية:

هل من الممكن التعبير عن "y"؟ يستطيع. كلا الجزأين يجب تربيعهما.

لكن ليس عليك ذلك.

النصيحة التقنية الثالثة:إذا كنت تريد الحصول على حل عام ، فأنت بحاجة إلى الارتقاء إلى قوة أو أن تتجذر ، إذن في معظم الحالاتيجب أن تمتنع عن هذه الإجراءات وتترك الإجابة في شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو سيئًا - بجذور كبيرة وعلامات ونفايات أخرى.

لذلك ، نكتب الإجابة كتكامل عام. يعتبر تقديمه بشكل جيد شكلًا ، أي على الجانب الأيمن ، إذا أمكن ، اترك فقط ثابتًا. ليس من الضروري القيام بذلك ، لكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ؛-)

إجابه:التكامل العام:

! ملحوظة: لا يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة الطريقة الوحيدة. وبالتالي ، إذا لم تتطابق نتيجتك مع إجابة معروفة مسبقًا ، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

يتم أيضًا التحقق من التكامل العام بسهولة تامة ، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا. لنفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بالضبط ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على قرار مستقل.

أذكرك أن الخوارزمية تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام ؛
2) إيجاد الحل المعين المطلوب.

يتم إجراء الفحص أيضًا على خطوتين (انظر العينة في المثال رقم 2) ، تحتاج إلى:
1) تأكد من أن الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي الشرط الأولي ؛
2) تحقق من أن حلًا معينًا يفي بالمعادلة التفاضلية بشكل عام.

الحل الكاملوالجواب في نهاية الدرس.

مثال 5

ابحث عن حل معين لمعادلة تفاضلية ، واستيفاء الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

المحلول:أولاً ، لنجد حلًا عامًا ، تحتوي هذه المعادلة بالفعل على متفاضلات جاهزة ، مما يعني أن الحل مبسط. فصل المتغيرات:

ندمج المعادلة:

التكامل على اليسار جدولي ، والتكامل على اليمين مأخوذ طريقة جمع الدالة تحت علامة التفاضل:

تم الحصول على التكامل العام ، هل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ يستطيع. نحن نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين. نظرًا لأنها إيجابية ، فإن علامات modulo زائدة عن الحاجة:

(أتمنى أن يفهم الجميع التحول ، يجب أن تكون هذه الأشياء معروفة بالفعل)

لذا فإن الحل العام هو:

لنجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد.
في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، لوغاريتم اثنين:

تصميم مألوف أكثر:

نعوض بالقيمة التي تم إيجادها للثابت في الحل العام.

إجابه:حل خاص:

تحقق: أولاً ، تحقق مما إذا تم استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

دعنا الآن نتحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. نجد المشتق:

لنلقِ نظرة على المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في تفاضلات. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

نعوض بالحل المعين الموجود والمشتق الناتج في المعادلة الأصلية :

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل المحدد موجود بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتدقيق معكوسة ومألوفة أكثر: من المعادلة عبر عن المشتق ، لذلك نقسم كل القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل المعين الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. نتيجة للتبسيط ، يجب أيضًا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. عبر عن الإجابة باعتبارها جزءًا لا يتجزأ من عامة.

هذا مثال على الحل الذاتي والحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما هي الصعوبات التي تنتظر حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصةً إبريق الشاي) أنه يمكن فصل المتغيرات. انصح مثال شرطي:. هنا تحتاج إلى إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور:. كيفية المضي قدمًا واضحة.

2) صعوبات في الاندماج نفسه. غالبًا ما تنشأ التكاملات ليست أبسطها ، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات البحث تكامل غير محدد، عندها سيكون الأمر صعبًا مع العديد من الموزعات. بالإضافة إلى ذلك ، فإن جامعي المجموعات والكتيبات مشهورون بالمنطق "نظرًا لأن المعادلة التفاضلية بسيطة ، فإن التكاملات على الأقل ستكون أكثر تعقيدًا."

3) التحولات ذات ثابت. كما لاحظ الجميع ، يمكن التعامل مع ثابت في المعادلات التفاضلية بحرية تامة ، وبعض التحولات لا تكون دائمًا واضحة للمبتدئين. لنلقِ نظرة على مثال افتراضي آخر: . في ذلك ، يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت ، والذي يمكن الإشارة إليه من خلال: . نعم ، ونظرًا لوجود لوغاريتم على الجانب الأيمن ، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت باعتباره ثابتًا آخر: .

تكمن المشكلة في أنهم غالبًا لا يهتمون بالمؤشرات ويستخدمون نفس الحرف. نتيجة لذلك ، يتخذ سجل القرار العرض التالي:

ما بدعة؟ ها هي الأخطاء! بالمعنى الدقيق للكلمة ، نعم. ومع ذلك ، من وجهة نظر موضوعية ، لا توجد أخطاء ، لأنه نتيجة لتحويل ثابت متغير ، لا يزال يتم الحصول على ثابت متغير.

أو مثال آخر ، افترض أنه أثناء حل المعادلة ، يتم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة ، لذا يُنصح بتغيير إشارة كل مصطلح: . رسميًا ، هناك خطأ مرة أخرى - على اليمين ، يجب كتابته. ولكن من المفهوم ضمنيًا بشكل غير رسمي أن "ناقص" لا يزال ثابتًا ( والتي تأخذ أيضًا أي قيم!)لذا فإن وضع علامة "ناقص" لا معنى له ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب أسلوب الإهمال ، مع الاستمرار في وضع فهارس مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. قم بإجراء فحص.

المحلول:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. فصل المتغيرات:

ندمج:

لا يجب تعريف الثابت هنا تحت اللوغاريتم ، لأنه لن يأتي منه أي خير.

إجابه:التكامل العام:

تحقق: قم بتمييز الإجابة ( وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور ، لذلك نضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

المثال 8

ابحث عن حل خاص لـ DE.
,

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". التلميح الوحيد هو أنك هنا تحصل على تكامل عام ، والأصح أنك تحتاج إلى التدبر حتى لا تجد حلاً معينًا ، ولكن تكامل خاص . الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

معادلة من الدرجة الأولى على شكل a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \ u003d b (x) تسمى معادلة تفاضلية خطية.إذا كانت b (x) ≡ 0 ، فإن المعادلة تسمى متجانسة ، وإلا - غير متجانسة. بالنسبة للمعادلة التفاضلية الخطية ، فإن نظرية الوجود والتفرد لها شكل أكثر واقعية.

مهمة الخدمة. آلة حاسبة على الانترنتيمكن استخدامها لاختبار الحل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة وغير المتجانسةمثل y "+ y = b (x).

=

استخدم التعويض المتغير y = u * v
استخدم طريقة التباين الثابت التعسفي
أوجد حلاً خاصًا لـ y ( ) = .

للحصول على حل ، يجب تقليل التعبير الأصلي إلى الشكل: a 1 (x) y "+ a 0 (x) y = b (x). على سبيل المثال ، لـ y" -exp (x) = 2 * y سيكون y "-2 * y = exp (x).

نظرية. لنفترض أن أ 1 (س) ، أ 0 (س) ، ب (س) تكون متصلة على الفاصل الزمني [α ، β] ، 1 ≠ 0 من أجل ∀x∈ [α ، β]. ثم لأي نقطة (x 0 ، y 0) ، x 0 ∈ [α ، β] ، هناك حل فريد للمعادلة التي تفي بالشرط y (x 0) = y 0 ويتم تحديدها في الفترة بأكملها [α ، β].
اعتبر معادلة تفاضلية خطية متجانسة أ 1 (س) ص "+ أ 0 (س) ص = 0.
نحصل على فصل المتغيرات ، أو دمج كلا الجزأين ، العلاقة الأخيرة ، مع الأخذ في الاعتبار الترميز exp (x) = e x ، مكتوبة في النموذج

دعونا الآن نحاول إيجاد حل للمعادلة في شكل محدد، حيث يتم استبدال الدالة C (x) بالثابت C ، أي في الصورة

استبدال هذا الحل بالحل الأصلي ، بعد التحولات اللازمة ، نحصل عليها دمج الأخير ، لدينا

حيث C 1 هو ثابت جديد. باستبدال التعبير الناتج لـ C (x) ، نحصل أخيرًا على حل المعادلة الخطية الأصلية
.

مثال. حل المعادلة y "+ 2y = 4x. ضع في اعتبارك المعادلة المتجانسة المقابلة y" + 2y = 0. بحلها ، نحصل على y = Ce -2 x. نبحث الآن عن حل للمعادلة الأصلية بالصيغة y = C (x) e -2 x. استبدال y و y "= C" (x) e -2 x - 2C (x) e -2 x في المعادلة الأصلية ، لدينا C "(x) = 4xe 2 x ، حيث C (x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 و y (x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1) e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x هو الحل العام للمعادلة الأصلية. هذا الحل ، y 1 (x) \ u003d 2x-1 - حركة كائن تحت تأثير القوة b (x) \ u003d 4x ، y 2 (x) \ u003d C 1 e -2 x - الحركة الخاصةهدف.

المثال رقم 2. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى y "+3 y tan (3x) = 2 cos (3x) / sin 2 2x.
هو - هي معادلة غير متجانسة. لنقم بتغيير المتغيرات: y = u v، y "= u" v + uv ".
3u v tg (3x) + u v "+ u" v = 2cos (3x) / sin 2 2x أو u (3v tg (3x) + v ") + u" v = 2cos (3x) / sin 2 2x
يتكون الحل من خطوتين:
1. u (3vtg (3x) + v ") = 0
2. u "v \ u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. معادلة u = 0 ، أوجد الحل لـ 3v tg (3x) + v "= 0
التمثيل بالصيغة: v "= -3v tg (3x)

التكامل ، نحصل على:

ln (v) = ln (cos (3x))
ت = كوس (3 س)
2. معرفة v ، ابحث عن u من الحالة: u "v \ u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u "cos (3x) = 2cos (3x) / sin 2 2x
u "= 2 / sin 2 2x
التكامل ، نحصل على:
من الحالة y = u v ، نحصل على:
y = u v = (C-cos (2x) / sin (2x)) cos (3x) أو y = C cos (3x) -cos (2x) ctg (3x)

حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى بالنسبة للمشتق

كيفية حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

دعنا نحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى تم حلها فيما يتعلق بالمشتق:
.
قسمة هذه المعادلة على ، نحصل على معادلة الشكل:
,
أين .

بعد ذلك ، ننظر لمعرفة ما إذا كانت هذه المعادلات تنتمي إلى أحد الأنواع المدرجة أدناه. إذا لم يكن كذلك ، فإننا نعيد كتابة المعادلة في شكل اشتقاقات. للقيام بذلك ، نكتب ونضرب المعادلة في. نحصل على المعادلة على شكل تفاضلات:
.

إذا لم تكن هذه المعادلة معادلة في مجموع الفروق ، فإننا نعتبرها في هذه المعادلة متغيرًا مستقلاً ، وهي دالة لـ. دعنا نقسم المعادلة على:
.
بعد ذلك ، نتطلع لمعرفة ما إذا كانت هذه المعادلة تنتمي إلى أحد الأنواع المدرجة أدناه ، مع الأخذ في الاعتبار ذلك وقد تم تبديلها.

إذا لم يتم العثور على نوع لهذه المعادلة ، فإننا نتطلع لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط المعادلة بتعويض بسيط. على سبيل المثال ، إذا كانت المعادلة هي:
,
ثم نلاحظ ذلك. ثم نقوم بالتعويض. بعد ذلك ، ستأخذ المعادلة شكلًا أبسط:
.

إذا لم يساعد ذلك ، فإننا نحاول إيجاد عامل تكامل.

المعادلات المتغيرة القابلة للفصل

;
.
قسّم على ودمج. عندما نصل:
.

المعادلات التي تختزل إلى المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل

معادلات متجانسة

نحل بالتناوب:
,
أين هي وظيفة. ثم
;
.
افصل بين المتغيرات ودمجها.

معادلات الاختزال إلى متجانسة

نقدم المتغيرات و:
;
.
ويتم اختيار الثوابت بحيث تختفي المصطلحات الحرة:
;
.
نتيجة لذلك ، نحصل على معادلة متجانسة في المتغيرات و.

معادلات متجانسة معممة

نجري الاستبدال. نحصل على معادلة متجانسة في المتغيرات و.

المعادلات التفاضلية الخطية

هناك ثلاث طرق لحل المعادلات الخطية.

2) طريقة برنولي.
نحن نبحث عن حل في شكل منتج من وظيفتين ومن متغير:
.
;
.
يمكننا اختيار إحدى هذه الوظائف بشكل تعسفي. لذلك ، حيث نختار أي حل غير صفري للمعادلة:
.

3) طريقة اختلاف الثابت (لاجرانج).
هنا نحل أولاً المعادلة المتجانسة:

الحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل:
,
أين ثابت. بعد ذلك ، نستبدل الثابت بدالة تعتمد على المتغير:
.
عوّض في المعادلة الأصلية. نتيجة لذلك ، نحصل على معادلة نحدد منها.

معادلات برنولي

عن طريق الاستبدال ، يتم تقليل معادلة برنولي إلى معادلة خطية.

يمكن أيضًا حل هذه المعادلة بطريقة برنولي. أي أننا نبحث عن حل في شكل منتج من وظيفتين اعتمادًا على المتغير:
.
نستبدل المعادلة الأصلية:
;
.
حيث نختار أي حل غير صفري للمعادلة:
.
بعد التحديد ، نحصل على معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل لـ.

معادلات ريكاتي

لم يتم حلها في نظرة عامة. الاستبدال

يتم تقليل معادلة Riccati إلى الشكل:
,
اين ثابت ؛ .
بعد ذلك ، الاستبدال:

يبدو مثل:
,
أين .

يتم عرض خصائص معادلة Riccati وبعض الحالات الخاصة لحلها على الصفحة
معادلة Riccati التفاضلية >>>

معادلات جاكوبي

تم حلها عن طريق الاستبدال:
.

المعادلات في مجموع التفاضلات

بشرط
.
عندما يتم استيفاء هذا الشرط ، يكون التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المساواة هو تفاضل بعض الوظائف:
.
ثم
.
من هنا نحصل على تكامل المعادلة التفاضلية:
.

الطريقة الأكثر ملاءمة للعثور على الوظيفة هي الطريقة اختيار متسلسلالتفاضليه. لهذا ، يتم استخدام الصيغ:
;
;
;
.

عامل التكامل

إذا لم يتم اختزال المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى إلى أي من الأنواع المدرجة ، فيمكنك محاولة العثور على عامل تكامل. عامل التكامل هو مثل هذه الوظيفة ، عندما يتم ضربها ، تصبح المعادلة التفاضلية معادلة في مجموع الفروق. تحتوي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى على عدد لا حصر له من عوامل التكامل. لكن، الطرق الشائعةللعثور على عامل التكامل ليس كذلك.

لم تحل المعادلات للمشتق y "

المعادلات التي تقبل حلاً فيما يتعلق بالمشتق y "

تحتاج أولاً إلى محاولة حل المعادلة بالنسبة إلى المشتق. إذا أمكن ، يمكن اختزال المعادلة إلى أحد الأنواع المذكورة أعلاه.

معادلات تسمح بالعامل

إذا كان بإمكانك تحليل المعادلة إلى عوامل:
,
ثم المهمة حل متسقمعادلات أكثر بساطة:
;
;

;
. نحن نؤمن . ثم
أو .
بعد ذلك ، نقوم بدمج المعادلة:
;
.
نتيجة لذلك ، نحصل على تعبير المتغير الثاني من خلال المعلمة.

أكثر المعادلات العامة:
أو
يتم حلها أيضًا في شكل حدودي. للقيام بذلك ، تحتاج إلى اختيار دالة بحيث يمكنك التعبير عنها من المعادلة الأصلية أو من خلال المعلمة.
للتعبير عن المتغير الثاني من حيث المعلمة ، نقوم بدمج المعادلة:
;
.

حل المعادلات فيما يتعلق y

معادلات كليروت

هذه المعادلة لها حل عام

معادلات لاغرانج

نحن نبحث عن حل في شكل حدودي. نحن نفترض ، أين هي المعلمة.

المعادلات المؤدية إلى معادلة برنولي

يتم اختزال هذه المعادلات إلى معادلة برنولي إذا بحثنا عن حلولها في شكل حدودي عن طريق إدخال معلمة وإجراء استبدال.

مراجع:
في. ستيبانوف ، دورة المعادلات التفاضلية ، LKI ، 2015.
ن. غونتر ، R.O. كوزمين ، مجموعة من المهام على رياضيات أعلى، "لان" ، 2003.

1. المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى لها الشكل

إذا كان من الممكن حل هذه المعادلة فيما يتعلق بـ ta ، فيمكن كتابتها كـ

في هذه الحالة ، نقول إن المعادلة التفاضلية قد تم حلها بالنسبة للمشتق. بالنسبة لمثل هذه المعادلة ، فإن النظرية التالية صحيحة ، والتي تسمى نظرية وجود وتفرد حل للمعادلة التفاضلية. نظرية. إذا كان في المعادلة

الدالة ومشتقها الجزئي فيما يتعلق بـ y مستمران في بعض المجالات D على مستوى يحتوي على نقطة معينة ، ثم هناك حل فريد لهذه المعادلة

تلبية الشرط في

سيتم إثبات هذه النظرية في § 27 الفصل. السادس عشر.

المعنى الهندسي للنظرية هو وجود ، علاوة على ذلك ، وظيفة فريدة يمر رسمها البياني عبر النقطة

من النظرية التي ذكرت للتو ، يتبع ذلك أن المعادلة لها عدد لا نهائي حلول مختلفة(على سبيل المثال ، الحل الذي يمر الرسم البياني الخاص به من خلال نقطة ، حل آخر يمر الرسم البياني الخاص به عبر نقطة ، وما إلى ذلك ، إذا كانت هذه النقاط تقع فقط في المنطقة

الشرط الذي يجب أن تكون فيه الدالة y مساوية لرقم معين يسمى الشرط الأولي. غالبًا ما يتم كتابته كـ

التعريف 1. الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى هو دالة

الذي يعتمد على ثابت تعسفي C واحد ويفي بالشروط التالية:

أ) يفي بالمعادلة التفاضلية لأي قيمة معينة للثابت C ؛

ب) مهما كان الشرط الأولي ، يمكنك العثور على مثل هذه القيمة التي تحقق الوظيفة الشرط الأولي المحدد. من المفترض أن القيم تنتمي إلى منطقة تباين المتغيرين x و y ، حيث يتم استيفاء شروط نظرية الوجود وتفرد الحل.

2. في عملية البحث عن حل عام لمعادلة تفاضلية ، غالبًا ما نصل إلى علاقة مع النموذج

غير مسموح به فيما يتعلق لحل هذه العلاقة فيما يتعلق بـ y ، نحصل على الحل العام. ومع ذلك ، للتعبير عن y من العلاقة (2) في وظائف الابتدائيةليس دائما ممكنا في مثل هذه الحالات يتم ترك الحل العام ضمنيًا. تسمى المساواة في الشكل الذي يحدد ضمنيًا حلًا عامًا تكاملًا عامًا للمعادلة التفاضلية.

التعريف 2. حل معين هو أي وظيفة يتم الحصول عليها من الحل العام ، إذا أضفنا في آخر ثابت عشوائي C قيمة معينةتسمى العلاقة في هذه الحالة بالتكامل الجزئي للمعادلة.

مثال 1. لمعادلة من الدرجة الأولى

سيكون الحل العام عبارة عن مجموعة من الوظائف ؛ يمكن التحقق من ذلك عن طريق استبدال بسيط في المعادلة.

دعونا نجد حلاً معينًا يفي بالشرط الأولي التالي: لاستبدال هذه القيم في الصيغة ، نحصل على أو لذلك ، سيكون الحل المحدد المطلوب هو الوظيفة

من وجهة نظر هندسية ، التكامل العام عبارة عن مجموعة من المنحنيات الموجودة على خطة تنسيق، اعتمادًا على ثابت تعسفي واحد C (أو ، كما يقولون ، على معلمة واحدة C).

تسمى هذه المنحنيات منحنيات متكاملة لمعادلة تفاضلية معينة. يتوافق التكامل الجزئي مع منحنى واحد لهذه العائلة يمر ببعض نقطة معينةطائرات.

نعم في المثال الأخيريتم تمثيل التكامل العام هندسيًا بواسطة عائلة من القطوع الزائدة ، ويتم تمثيل التكامل الخاص المحدد بواسطة الشرط الأولي المشار إليه بواسطة أحد هذه القطع الزائدة التي تمر عبر النقطة. يوضح الشكل 251 منحنيات الأسرة المقابلة لبعض قيم المعلمات: إلخ.

لجعل التفكير المنطقي أكثر وضوحًا ، من الآن فصاعدًا ، سنسمي حل المعادلة ليس فقط وظيفة ترضي المعادلة ، ولكن أيضًا منحنى التكامل المقابل. في هذا الصدد ، سنتحدث ، على سبيل المثال ، عن حل يمر عبر النقطة.

تعليق. لا تحتوي المعادلة على حل يمر عبر نقطة تقع على محور الشكل. 251) ، منذ ذلك الحين الجزء الصحيحلم يتم تعريف معادلة من أجل ، وبالتالي ، ليست مستمرة.

يعني حل المعادلة التفاضلية ، أو كما يقال غالبًا ، ما يلي:

أ) إيجاد الحل العام أو التكامل العام (إذا لم يتم توفير الشروط الأولية) ، أو

ب) أوجد هذا الحل المعين للمعادلة الذي يرضي المعطى الشروط الأولية(إن وجد).

3. دعونا نعطي تفسيرًا هندسيًا للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

دع معادلة تفاضلية يتم حلها فيما يتعلق بالمشتق:

وليكن هناك حل عام معادلة معينة. يحدد هذا الحل العام مجموعة من المنحنيات المتكاملة في المستوى

تحدد المعادلة (D) لكل نقطة M بإحداثيات x و y قيمة المشتق ، أي ميلمماس للمنحنى المتكامل الذي يمر عبر هذه النقطة. وبالتالي ، فإن المعادلة التفاضلية (D) تعطي مجموعة من الاتجاهات ، أو ، كما يقولون ، تحدد مجال الاتجاهات على المستوى

لذلك ، مع نقطة هندسيةمن وجهة النظر ، تتمثل مهمة دمج المعادلة التفاضلية في إيجاد المنحنيات التي يتزامن اتجاهها مع اتجاه المجال عند النقاط المقابلة.

بالنسبة للمعادلة التفاضلية (1) ، يُطلق على موضع النقاط التي تحمل العلاقة عندها اسم الخط المتساوي للمعادلة التفاضلية المحددة.

في قيم مختلفةك نحصل على خطوط متساوية مختلفة. من الواضح أن معادلة isocline المطابقة لقيمة k ستكون: من خلال إنشاء عائلة من الخطوط المتساوية ، يمكن للفرد تقريبًا إنشاء عائلة من المنحنيات المتكاملة. يقال أنه بمعرفة الخطوط المتساوية ، يمكن تحديد موقع المنحنيات المتكاملة على المستوى نوعيًا.