كيفية حل معادلة معقدة. التعبيرات والمعادلات وأنظمة المعادلات ذات الأعداد المركبة
استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. من أجل الوضوح ، دعنا نحل المشكلة التالية:
احسب \ [(z_1 \ cdot z_2) ^ (10) ، \] إذا \
بادئ ذي بدء ، دعنا ننتبه إلى حقيقة أن أحد الأرقام يتم تمثيله في الصورة الجبرية ، والآخر - في الصورة المثلثية. يحتاج إلى تبسيط و النوع التالي
\ [z_2 = \ frac (1) (4) (\ cos \ frac (\ pi) (6) + i \ sin \ frac (\ pi) (6)). \]
يشير التعبير \ ، أولاً وقبل كل شيء ، إلى أننا نقوم بالضرب والرفع إلى الأس 10 وفقًا لصيغة Moivre. تمت صياغة هذه الصيغة للصيغة المثلثية للعدد المركب. نحن نحصل:
\ [\ start (vmatrix) z_1 \ end (vmatrix) = \ sqrt ((-1) ^ 2 + (\ sqrt 3) ^ 2) = \ sqrt 4 = 2 \]
\ [\ varphi_1 = \ pi + \ arctan \ frac (\ sqrt 3) (- 1) = \ pi \ arctan \ sqrt 3 = \ pi- \ frac (\ pi) (3) = \ frac (2 \ pi) ( 3) \]
بالتمسك بقواعد ضرب الأعداد المركبة في الشكل المثلثي ، سنفعل ما يلي:
في حالتنا هذه:
\ [(z_1 + z_2) ^ (10) = (\ frac (1) (2)) ^ (10) \ cdot (\ cos (10 \ cdot \ frac (5 \ pi) (6)) + i \ sin \ cdot \ frac (5 \ pi) (6))) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot \ cos \ frac (25 \ pi) (3) + i \ sin \ frac (25 \ بي) (3). \]
بجعل الكسر \ [\ frac (25) (3) = 8 \ frac (1) (3) \] صحيحًا ، نستنتج أنه من الممكن "تحريف" 4 لفات \ [(8 \ pi rad.): \ ]
\ [(z_1 + z_2) ^ (10) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot (\ cos \ frac (\ pi) (3) + i \ sin \ frac (\ pi) (3 )) \]
الإجابة: \ [(z_1 + z_2) ^ (10) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot (\ cos \ frac (\ pi) (3) + i \ sin \ frac (\ pi) (3)) \]
يمكن حل هذه المعادلة بطريقة أخرى ، والتي تتلخص في إحضار الرقم الثاني إلى الصورة الجبرية ، ثم إجراء عملية الضرب في شكل جبري، ترجم النتيجة إلى شكل مثلث وطبق صيغة De Moivre:
أين يمكنني حل نظام المعادلات ذات الأعداد المركبة عبر الإنترنت؟
يمكنكم حل نظام المعادلات على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.
الوكالة الاتحادية للتعليم
المؤسسة التعليمية الحكومية
التعليم المهني العالي
"جامعة ولاية فورونيج البيداغوجية"
كرسي اغلبرا والهندسة
ارقام مركبة
(المهام المحددة)
أعمال التأهيل النهائي
تخصص 050201.65 رياضيات
(مع تخصص إضافي 050202.65 المعلوماتية)
المنجز: طالب سنة خامسة
الفيزيائية والرياضية
الأساتذه
المستشار العلمي:
فورونيج - 2008
1 المقدمة……………………………………………………...…………..…
2. الأعداد المركبة (مشاكل مختارة)
2.1. الأعداد المركبة في الصورة الجبرية ....
2.2. التفسير الهندسي للأعداد المركبة ………… ..…
2.3 الشكل المثلثي للأعداد المركبة
2.4 تطبيق نظرية الأعداد المركبة على حل معادلات الدرجة الثالثة والرابعة …………… .. …………………………………………………………….
2.5 الأعداد والمعلمات المعقدة .............. ............................. ...... ......
3 - الخلاصة…………………………………………………….................
4. قائمة المراجع …………………………… .. …………………… .............
1 المقدمة
في برنامج الرياضيات دورة مدرسيةيتم تقديم نظرية الأعداد على أمثلة لمجموعات من الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والعقلانية ، وغير المنطقية ، أي على مجموعة الأعداد الحقيقية التي تملأ صورها خط الأعداد بالكامل. لكن بالفعل في الصف الثامن لا يوجد مخزون كافٍ من الأعداد الحقيقية ، حل المعادلات التربيعية بمميز سالب. لذلك ، كان من الضروري تجديد مخزون الأعداد الحقيقية بأرقام مركبة يكون جذرها التربيعي عدد السلبيله المعنى.
اختيار موضوع "الأعداد المركبة" ليكون موضوع التخرج الخاص بي العمل المؤهل، يكمن في حقيقة أن مفهوم العدد المركب يوسع معرفة الطلاب حول الأنظمة العددية ، وحول حل فئة واسعة من مشاكل المحتوى الجبر والهندسي ، وحول حل المعادلات الجبريةأي درجة وحول حل المشاكل مع المعلمات.
في هذا البحث ، تم النظر في حل 82 مشكلة.
يحتوي الجزء الأول من القسم الرئيسي "الأعداد المركبة" على حلول لمشكلات ارقام مركبةفي الشكل الجبري ، يتم تحديد عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وعملية الاقتران للأعداد المركبة في الصورة الجبرية ودرجة الوحدة التخيلية ومعامل العدد المركب كما يتم تحديد قاعدة الاستخراج الجذر التربيعيمن عدد مركب.
في الجزء الثاني ، يتم حل المشكلات من أجل التفسير الهندسي للأعداد المركبة في شكل نقاط أو متجهات للمستوى المركب.
الجزء الثالث يتعامل مع العمليات على الأعداد المركبة في الشكل المثلثي. يتم استخدام الصيغ: De Moivre واستخراج جذر من رقم مركب.
الجزء الرابع مخصص لحل المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة.
عند حل مشاكل الجزء الأخير "الأرقام والمعلمات المركبة" ، يتم استخدام المعلومات الواردة في الأجزاء السابقة وتوحيدها. تم تخصيص سلسلة من مشاكل الفصل لتعريف عائلات الخطوط في المستوى المركب ، من المعادلات(عدم المساواة) مع معلمة. في جزء من التمارين ، تحتاج إلى حل المعادلات بمعامل (فوق الحقل C). هناك مهام يفي فيها متغير معقد بعدد من الشروط في نفس الوقت. من سمات حل مشاكل هذا القسم اختزال العديد منها لحل المعادلات (عدم المساواة ، النظم) من الدرجة الثانية ، غير المنطقية ، المثلثية ذات المعلمة.
ميزة عرض مادة كل جزء هي المدخلات الأولية الأسس النظرية، وبعد ذلك تطبيقها العملي في حل المشكلات.
فى النهاية فرضيةيتم تقديم قائمة بالأدب المستخدم. معظمها مفصلة للغاية ويمكن الوصول إليها. مادة نظرية، يتم النظر في حلول لبعض المشاكل و مهام عمليةإلى عن على حل مستقل. انتباه خاصأود أن أشير إلى مصادر مثل:
1. Gordienko N.A.، Belyaeva ES، Firstov V.E.، Serebryakova I.V. الأعداد المركبة وتطبيقاتها: كتاب مدرسي. . مواد دليل الدراسةقدمت في شكل محاضرات وتمارين عملية.
2. شكليارسكي دي أو ، تشينتسوف إن ، ياغلوم آي إم. المهام المميزةونظريات الرياضيات الابتدائية. الحساب والجبر. يحتوي الكتاب على 320 مسألة تتعلق بالجبر والحساب ونظرية الأعداد. وبحكم طبيعتها ، تختلف هذه المهام اختلافًا كبيرًا عن المهام المدرسية القياسية.
2. الأعداد المركبة (مشاكل مختارة)
2.1. الأعداد المركبة في شكل جبري
يتم تقليل حل العديد من المشكلات في الرياضيات والفيزياء إلى حل المعادلات الجبرية ، أي معادلات النموذج
,حيث a0، a1،…، a أعداد حقيقية. لذلك ، فإن دراسة المعادلات الجبرية هي واحدة من القضايا الحرجةفي الرياضيات. على سبيل المثال ، المعادلة التربيعية ذات التمييز السلبي ليس لها جذور حقيقية. أبسط هذه المعادلة هي المعادلة
.لكي تحصل هذه المعادلة على حل ، من الضروري توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية بإضافة جذر المعادلة إليها
.دعنا نشير إلى هذا الجذر كـ
. وبالتالي ، بحكم التعريف ، أو ،بالتالي،
. تسمى الوحدة التخيلية. بمساعدتها وبمساعدة زوج من الأرقام الحقيقية ، يتم تكوين تعبير عن النموذج.كان التعبير الناتج يسمى الأعداد المركبة لأنها تحتوي على أجزاء حقيقية وخيالية.
لذلك ، تسمى الأعداد المركبة تعبيرات النموذج
، وهي أرقام حقيقية ، وهي بعض الرموز التي تفي بالشرط. يسمى الرقم الجزء الحقيقي من العدد المركب ، ويسمى الرقم الجزء التخيلي منه. الرموز تستخدم لتسميتها.الأعداد المركبة للنموذج
نكون أرقام حقيقيةوبالتالي ، فإن مجموعة الأعداد المركبة تحتوي على مجموعة الأعداد الحقيقية. الأعداد المركبة للنموذج
تسمى تخيلية بحتة. رقمان مركبان من النموذج ويسمى متساويان إذا تساوت أجزائهما الحقيقية والخيالية ، أي إذا كانت المساواة.يجعل التدوين الجبري للأعداد المركبة من الممكن إجراء العمليات عليها وفقًا لقواعد الجبر المعتادة.
لحل مسائل الأعداد المركبة ، تحتاج إلى فهم التعريفات الأساسية. المهمة الرئيسيةمن مقالة المراجعة هذه - لشرح ماهية الأعداد المركبة ، ولتقديم طرق لحل المشكلات الأساسية ذات الأعداد المركبة. وبالتالي ، فإن الرقم المركب هو رقم من النموذج ض = أ + ثنائية، أين أ ، ب- الأعداد الحقيقية ، والتي تسمى الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب ، على التوالي ، والدلالة أ = إعادة (ض) ، ب = إم (ض).
أناتسمى الوحدة التخيلية. أنا 2 \ u003d -1. على وجه الخصوص ، يمكن اعتبار أي رقم حقيقي معقدًا: أ = أ + 0 ط، حيث يكون a حقيقيًا. إذا أ = 0و ب ≠ 0، ثم يسمى الرقم التخيلي البحت.
نقدم الآن عمليات على الأعداد المركبة.
ضع في اعتبارك عددين مركبين ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 ط.
انصح ض = أ + ثنائية.
تمد مجموعة الأعداد المركبة مجموعة الأعداد الحقيقية ، والتي بدورها توسع المجموعة أرقام نسبيةإلخ. يمكن رؤية هذه السلسلة من الاستثمارات في الشكل: N - أعداد صحيحة، Z هي أعداد صحيحة ، Q منطقية ، R حقيقية ، C معقدة. 
تمثيل الأعداد المركبة
تدوين جبري.
ضع في اعتبارك عددًا مركبًا ض = أ + ثنائية، هذا الشكل من كتابة عدد مركب يسمى جبري. لقد ناقشنا بالفعل هذا الشكل من الكتابة بالتفصيل في القسم السابق. غالبًا ما تستخدم الرسم التوضيحي التالي 
شكل مثلث.
يمكن أن نرى من الرقم أن الرقم ض = أ + ثنائيةيمكن كتابتها بشكل مختلف. من الواضح أن أ = rcos (φ), ب = رسين (φ), ص = | ض |، بالتالي ض = rcos (φ) + rsin (φ) أنا, φ ∈ (-π; π)
تسمى سعة العدد المركب. هذا التمثيل للعدد المركب يسمى شكل مثلث. أحيانًا يكون الشكل المثلثي للتدوين مناسبًا جدًا. على سبيل المثال ، من الملائم استخدامه لرفع رقم مركب إلى قوة عدد صحيح ، أي إذا ض = rcos (φ) + rsin (φ) أنا، ومن بعد z n = r n cos (nφ) + r n sin (nφ) i، هذه الصيغة تسمى صيغة دي Moivre.
شكل توضيحي.
انصح ض = rcos (φ) + rsin (φ) أناهو رقم مركب في الصورة المثلثية ، نكتبه بصيغة مختلفة z = r (cos (φ) + sin (φ) i) = re iφ، تأتي المساواة الأخيرة من صيغة أويلر ، لذلك نحصل عليها صيغة جديدةإدخالات الأرقام المعقدة: ض = إعادة أنا، من اتصل إيضاحي. هذا الشكل من التدوين مناسب أيضًا لرفع رقم مركب إلى قوة: z n = r n e inφ، هنا نليس بالضرورة عددًا صحيحًا ، ولكن يمكن أن يكون تعسفيًا عدد حقيقي. غالبًا ما يستخدم هذا النوع من الكتابة لحل المشكلات.
النظرية الأساسية للجبر العالي
تخيل أن لدينا معادلة تربيعية x 2 + x + 1 = 0. من الواضح أن المميز في هذه المعادلة سالب وليس له جذور حقيقية ، لكن اتضح أن هذه المعادلة لها جذرين مركبين مختلفين. لذا ، فإن النظرية الرئيسية للجبر الأعلى تنص على أن أي كثير حدود من الدرجة n لها جذر مركب واحد على الأقل. ويترتب على ذلك أن أي كثير حدود من الدرجة n لها جذور معقدة n بالضبط ، مع مراعاة تعددها. هذه النظرية جدا نتيجة مهمةفي الرياضيات ويستخدم على نطاق واسع. النتيجة البسيطة لهذه النظرية هي النتيجة التالية: هناك n بالضبط جذور مختلفةالقوى ن الخروج من الوحدة.
الأنواع الرئيسية للمهام
سيغطي هذا القسم الأنواع الرئيسية مهام بسيطةإلى الأعداد المركبة. تقليديا ، يمكن تقسيم المشاكل على الأعداد المركبة إلى الفئات التالية.
- إجراء عمليات حسابية بسيطة على الأعداد المركبة.
- إيجاد جذور كثيرات الحدود في الأعداد المركبة.
- رفع الأعداد المركبة إلى قوة.
- استخراج الجذور من الأعداد المركبة.
- تطبيق الأعداد المركبة لحل مسائل أخرى.
فكر الآن الطرق العامةحلول لهذه المشاكل.
يتم إجراء أبسط العمليات الحسابية بأرقام معقدة وفقًا للقواعد الموضحة في القسم الأول ، ولكن إذا تم تقديم الأرقام المركبة في أشكال مثلثية أو أسية ، فيمكن في هذه الحالة تحويلها إلى صيغة جبرية وتنفيذ العمليات وفقًا للقواعد المعروفة.
عادةً ما يأتي إيجاد جذور كثيرات الحدود لإيجاد جذور معادلة تربيعية. لنفترض أن لدينا معادلة من الدرجة الثانية ، إذا كان المميز الخاص بها غير سالب ، فستكون جذورها حقيقية ويتم العثور عليها وفقًا لصيغة معروفة. إذا كان المميز سالبًا د = -1 ∙ أ 2، أين أهو رقم معين ، ثم يمكننا تمثيل المميز في الصورة د = (ia) 2، بالتالي √D = أنا | أ |، وبعد ذلك يمكنك استخدام ملفات الصيغة الشهيرةلجذور المعادلة التربيعية.
مثال. العودة إلى ما سبق معادلة من الدرجة الثانيةس 2 + س + 1 = 0.
مميز - د \ u003d 1-4 ∙ 1 \ u003d -3 \ u003d -1 (√3) 2 \ u003d (i√3) 2.
الآن يمكننا بسهولة العثور على الجذور: 
يمكن رفع الأعداد المركبة إلى قوة بعدة طرق. إذا كنت ترغب في رفع رقم مركب في الصورة الجبرية إلى قوة صغيرة (2 أو 3) ، فيمكنك القيام بذلك عن طريق الضرب المباشر ، ولكن إذا كانت الدرجة أكبر (غالبًا ما تكون أكبر بكثير في المشكلات) ، فأنت بحاجة إلى ذلك اكتب هذا الرقم في شكل مثلثي أو أسي واستخدم طرقًا معروفة بالفعل.
مثال. اعتبر أن z = 1 + i وارفعه إلى الأس العاشرة.
نكتب z بالصيغة الأسية: z = √2 e iπ / 4.
ثم z 10 = (√2 e iπ / 4) 10 = 32 e 10iπ / 4.
لنعد إلى الصورة الجبرية: z 10 = -32i.
استخراج الجذور من الأعداد المركبة هو العملية العكسية للأس ، لذلك يتم بطريقة مماثلة. لاستخراج الجذور ، غالبًا ما يتم استخدام الشكل الأسي لكتابة رقم.
مثال. أوجد كل جذور الدرجة 3 للعدد واحد. للقيام بذلك ، نجد كل جذور المعادلة z 3 = 1 ، وسوف نبحث عن الجذور في الصورة الأسية.
عوّض في المعادلة: r 3 e 3iφ = 1 أو r 3 e 3iφ = e 0.
ومن ثم: r = 1 ، 3φ = 0 + 2πk ، وبالتالي φ = 2πk / 3.
يتم الحصول على جذور مختلفة عند φ = 0 ، 2π / 3 ، 4π / 3.
ومن ثم فإن 1 ، e i2π / 3 ، e i4π / 3 هي جذور.
أو بشكل جبري: 
يتضمن نوع المهمة الأخير حشد كبيرالمشاكل ولا توجد طرق عامة لحلها. فيما يلي مثال بسيط لمثل هذه المهمة:
أوجد المبلغ الخطيئة (x) + الخطيئة (2x) + الخطيئة (2x) + ... + الخطيئة (nx).
على الرغم من أن صياغة هذه المشكلة لا في السؤالحول الأعداد المركبة ، ولكن بمساعدتهم يمكن حلها بسهولة. لحلها ، يتم استخدام التمثيلات التالية: 
إذا عوضنا الآن بهذا التمثيل في المجموع ، فسيتم تقليل المشكلة إلى مجموع التقدم الهندسي المعتاد.
استنتاج
تُستخدم الأرقام المركبة على نطاق واسع في الرياضيات ، في مقالة المراجعة هذه ، تم النظر في العمليات الأساسية على الأعداد المركبة ، وتم وصف عدة أنواع من المشكلات القياسية ووصفها بإيجاز الطرق الشائعةحلولهم ، من أجل دراسة أكثر تفصيلاً لإمكانيات الأعداد المركبة ، يوصى باستخدام الأدبيات المتخصصة.
العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين
تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر
مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة