المشتق النهائي. المعنى الميكانيكي والهندسي

تعريف.دع الدالة \ (y = f (x) \) تُعرّف في بعض الفترات التي تحتوي على النقطة \ (x_0 \) بالداخل. دعنا نزيد \ (\ Delta x \) إلى الوسيطة حتى لا نترك هذا الفاصل الزمني. ابحث عن الزيادة المقابلة للدالة \ (\ Delta y \) (عند المرور من النقطة \ (x_0 \) إلى النقطة \ (x_0 + \ Delta x \)) وقم بتكوين العلاقة \ (\ frac (\ Delta y ) (\ Delta x) \). إذا كان هناك حد لهذه العلاقة عند \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \) ، فسيتم استدعاء الحد المشار إليه دالة مشتقة\ (y = f (x) \) عند النقطة \ (x_0 \) والدلالة \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

غالبًا ما يستخدم الرمز y للإشارة إلى المشتق. لاحظ أن y "= f (x) هي وظيفة جديدة ، ولكنها مرتبطة بشكل طبيعي بالدالة y = f (x) ، المحددة في جميع النقاط x التي يوجد عندها الحد أعلاه. تسمى هذه الوظيفة على النحو التالي: مشتق من الوظيفة y \ u003d f (x).

المعنى الهندسي للمشتقيتكون مما يلي. إذا كان من الممكن رسم الظل غير الموازي للمحور y على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند نقطة مع الإحداثي x \ u003d a ، فإن f (a) تعبر عن ميل الظل:
\ (ك = و "(أ) \)

بما أن \ (k = tg (a) \) ، فإن المساواة \ (f "(a) = tg (a) \) صحيحة.

والآن نفسر تعريف المشتقة من منظور المساواة التقريبية. دع الدالة \ (y = f (x) \) لها مشتق عند نقطة معينة \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
هذا يعني أنه بالقرب من النقطة س ، المساواة التقريبية \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ almost f "(x) \) ، أي \ (\ Delta y \ almost f" (x) \ cdot \ Deltax \). المعنى الهادف للمساواة التقريبية التي تم الحصول عليها هو كما يلي: زيادة الوظيفة "متناسبة تقريبًا" مع زيادة الحجة ، ومعامل التناسب هو قيمة المشتق عند نقطة معينة x. على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة \ (y = x ^ 2 \) فإن المساواة التقريبية \ (\ Delta y \ almost 2x \ cdot \ Delta x \) صحيحة. إذا قمنا بتحليل تعريف المشتق بعناية ، فسنجد أنه يحتوي على خوارزمية لإيجاده.

دعونا نصيغها.

كيف تجد مشتق الوظيفة y \ u003d f (x)؟

1. إصلاح القيمة \ (x \) ، البحث عن \ (f (x) \)
2. زيادة \ (x \) وسيطة \ (\ Delta x \) ، الانتقال إلى نقطة جديدة \ (x + \ Delta x \) ، ابحث عن \ (f (x + \ Delta x) \)
3. أوجد زيادة الدالة: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. قم بتكوين العلاقة \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. احسب $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
هذه النهاية هي مشتقة الدالة عند x.

إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق عند النقطة x ، فإنها تسمى قابلة للاشتقاق عند النقطة x. يسمى الإجراء الخاص بإيجاد مشتق الوظيفة y \ u003d f (x) التفاضلوظائف y = f (x).

دعونا نناقش السؤال التالي: كيف ترتبط استمرارية وظيفة ما وتمييزها في نقطة ما؟

اجعل الدالة y = f (x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x. ثم يمكن رسم المماس للرسم البياني للوظيفة عند النقطة M (x ؛ f (x)) وتذكر أن ميل الظل يساوي f "(x). لا يمكن لمثل هذا الرسم البياني أن" ينكسر "عند النقطة M ، أي يجب أن تكون الوظيفة متصلة عند x.

كان المنطق "على الأصابع". دعونا نقدم حجة أكثر صرامة. إذا كانت الوظيفة y = f (x) قابلة للتفاضل عند النقطة x ، فإن المساواة التقريبية \ (\ Delta y \ almost f "(x) \ cdot \ Delta x \) تحمل صفر ، ثم \ (\ Delta y \) ) يميل أيضًا إلى الصفر ، وهذا هو شرط استمرارية الوظيفة عند نقطة ما.

لذا، إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة x ، فهي أيضًا متصلة عند هذه النقطة.

والعكس ليس صحيحا. على سبيل المثال: الوظيفة y = | x | مستمر في كل مكان ، لا سيما عند النقطة x = 0 ، لكن الظل للرسم البياني للوظيفة عند "نقطة الوصل" (0 ؛ 0) غير موجود. إذا كان من المستحيل في وقت ما رسم ظل للرسم البياني للوظيفة ، فلا توجد مشتقة في هذه المرحلة.

مثال آخر. الدالة \ (y = \ sqrt (x) \) متصلة على خط الأعداد بالكامل ، بما في ذلك عند النقطة x = 0. والماس للرسم البياني للوظيفة موجود في أي نقطة ، بما في ذلك عند النقطة x = 0 . لكن عند هذه النقطة يتطابق المماس مع المحور y ، أي أنه عمودي على محور الإحداثي ، وتكون معادلته على شكل x \ u003d 0. لا يوجد ميل لمثل هذا الخط المستقيم ، مما يعني أن \ ( f "(0) \) غير موجود أيضًا

لذلك ، تعرفنا على خاصية جديدة للدالة - التفاضل. كيف يمكنك معرفة ما إذا كانت الوظيفة قابلة للاشتقاق من الرسم البياني للدالة؟

الجواب في الواقع معطى أعلاه. إذا كان من الممكن في وقت ما رسم المماس إلى الرسم البياني لدالة غير متعامدة على المحور x ، فعندئذٍ تكون الوظيفة قابلة للاشتقاق. إذا لم يكن المماس للرسم البياني للدالة موجودًا في وقت ما أو كان عموديًا على المحور x ، فعندئذٍ تكون الوظيفة غير قابلة للاشتقاق.

قواعد التمايز

تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل. عند إجراء هذه العملية ، غالبًا ما يتعين عليك العمل مع حاصل القسمة ، والمجاميع ، ومنتجات الوظائف ، وكذلك مع "وظائف الوظائف" ، أي الوظائف المعقدة. بناءً على تعريف المشتق ، يمكننا اشتقاق قواعد التفاضل التي تسهل هذا العمل. إذا كان C عددًا ثابتًا و f = f (x) ، g = g (x) هي بعض الوظائف القابلة للتفاضل ، فإن ما يلي يكون صحيحًا قواعد التمايز:

$$ C "= 0 $$ $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ $$ ( Cf) "= Cf" $$ $$ \ left (\ frac (f) (g) \ right) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ left (\ frac (C) (g) \ right) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ مشتق دالة مركبة:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

جدول مشتقات بعض الوظائف

$$ \ يسار (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ left (x ^ a \ right) "= a x ^ (a-1) $$ $$ \ left (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $$ \ يسار (e ^ x \ right) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ frac (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ text (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x)" = \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ text (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $

عند حل المشكلات المختلفة للهندسة والميكانيكا والفيزياء وفروع المعرفة الأخرى ، أصبح من الضروري استخدام نفس العملية التحليلية من وظيفة معينة ص = و (س)الحصول على وظيفة جديدة تسمى دالة مشتقة(أو ببساطة مشتق) من هذه الوظيفة f (x)ويرمز لها

العملية التي بواسطتها وظيفة معينة و (خ)الحصول على وظيفة جديدة و "(خ)، اتصل التفاضلوتتكون من الخطوات الثلاث التالية: 1) نعطي الحجة xزيادة راتب  xوتحديد الزيادة المقابلة للدالة  ص = و (س + x) -f (x)؛ 2) تكوين العلاقة

3) العد xدائم و  x0 ، نجد
، والذي يشير إليه و "(خ)، كما لو كان التأكيد على أن الوظيفة الناتجة تعتمد فقط على القيمة x، والذي ننتقل فيه إلى الحد الأقصى. تعريف: المشتق y "= f" (x) وظيفة معينة y = f (x) نظرا xيسمى حد نسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن تكون الزيادة في الوسيطة تميل إلى الصفر ، إذا كان هذا الحد موجودًا بالطبع ، أي محدود. في هذا الطريق،
، أو

لاحظ أنه إذا كان لبعض القيمة x، على سبيل المثال متى س = أ، علاقة
في  xلا تميل 0 إلى حد محدود ، ثم في هذه الحالة نقول أن الدالة و (خ)في س = أ(أو عند هذه النقطة س = أ) ليس له مشتق أو غير قابل للتفاضل عند نقطة معينة س = أ.

2. المعنى الهندسي للمشتق.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) ، القابلة للتفاضل بالقرب من النقطة x 0

و (خ)

لنفكر في وجود خط مستقيم تعسفي يمر عبر نقطة الرسم البياني للوظيفة - النقطة A (x 0، f (x 0)) ويتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة ما B (x؛ f (x)). يسمى هذا الخط المستقيم (AB) القاطع. من ∆ABC: ​​AC = ∆x ؛ BC \ u003d ∆y ؛ tgβ = y / ∆x.

منذ AC || Ox ، ثم ALO = BAC = β (على النحو المقابل على التوازي). لكن ALO هي زاوية ميل القاطع AB إلى الاتجاه الإيجابي لمحور Ox. ومن ثم ، فإن tgβ = k هو ميل الخط المستقيم AB.

الآن سنقلل ∆x ، أي ∆x → 0. في هذه الحالة ، ستقترب النقطة B من النقطة A وفقًا للرسم البياني ، وسوف يدور القاطع AB. سيكون الموضع المحدد للقاطع AB عند ∆x → 0 هو الخط المستقيم (أ) ، المماس للرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند النقطة A.

إذا تجاوزنا الحد كـ ∆х → 0 في المساواة tgβ = y / ∆x ، فإننا نحصل على
أو tg \ u003d f "(x 0) ، منذ ذلك الحين
-زاوية ميل الظل إلى الاتجاه الإيجابي لمحور الثور
، من خلال تعريف المشتق. لكن tg \ u003d k هو ميل الظل ، مما يعني أن k \ u003d tg \ u003d f "(x 0).

إذن ، المعنى الهندسي للمشتق هو كما يلي:

مشتق دالة عند النقطة x 0 يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة المرسومة عند النقطة التي تحتوي على المحور x 0 .

3. المعنى المادي للمشتق.

ضع في اعتبارك حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع النقطة تنسق في أي وقت x (t). من المعروف (من مسار الفيزياء) أن متوسط ​​السرعة على مدى فترة زمنية يساوي نسبة المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة الزمنية إلى الوقت ، أي

فاف = ∆x / t. دعونا ننتقل إلى الحد الأقصى في المساواة الأخيرة مثل ∆t → 0.

lim Vav (t) =  (t 0) - السرعة اللحظية في الوقت t 0 ، ∆t → 0.

و lim = x / ∆t = x "(t 0) (من خلال تعريف المشتق).

إذن ،  (t) = x "(t).

المعنى المادي للمشتق هو كما يلي: مشتق الوظيفةذ = F(x) عند النقطةx 0 هو معدل تغير الوظيفةF(خ) عند النقطةx 0

يتم استخدام المشتق في الفيزياء لإيجاد السرعة من دالة معروفة للإحداثيات من وقت ، التسارع من وظيفة معروفة للسرعة من وقت.

 (t) \ u003d x "(t) - السرعة ،

أ (و) =  "(تي) - تسارع ، أو

إذا كان قانون حركة نقطة مادية على طول دائرة معروفًا ، فمن الممكن إيجاد السرعة الزاوية والتسارع الزاوي أثناء الحركة الدورانية:

φ = φ (t) - تغير في الزاوية مع الوقت ،

ω \ u003d φ "(t) - السرعة الزاوية ،

ε = φ "(t) - التسارع الزاوي ، أو ε = φ" (t).

إذا كان قانون التوزيع لكتلة قضيب غير متجانس معروفًا ، فيمكن العثور على الكثافة الخطية للقضيب غير المتجانس:

م = م (س) - الكتلة ،

س  ، ل - طول القضيب ،

ع \ u003d م "(س) - الكثافة الخطية.

بمساعدة المشتق ، يتم حل المشكلات من نظرية المرونة والاهتزازات التوافقية. نعم ، وفقًا لقانون هوك

F = -kx ، x - إحداثيات متغيرة ، k - معامل مرونة الزنبرك. بوضع ω 2 \ u003d k / m ، نحصل على المعادلة التفاضلية للبندول الربيعي x "(t) + ω 2 x (t) \ u003d 0 ،

حيث ω = √k / m هو تردد التذبذب (l / c) ، k هو معدل الربيع (H / m).

معادلة الصيغة y "+ ω 2 y \ u003d 0 تسمى معادلة التذبذبات التوافقية (الميكانيكية ، الكهربائية ، الكهرومغناطيسية). حل هذه المعادلات هو الوظيفة

y = Asin (t + φ 0) أو y = Acos (t + φ 0) ، حيث

أ - سعة التذبذب ، ω - تردد دوري ،

φ 0 - المرحلة الأولية.

في هذه المقالة ، سنقدم المفاهيم الأساسية التي ستبنى عليها جميع النظريات الإضافية حول موضوع مشتق دالة لمتغير واحد.

المسار x هو وسيطة الدالة f (x) وهو رقم صغير غير صفري.

(قراءة "دلتا س") يسمى زيادة وسيطة الدالة. في الشكل ، يُظهر الخط الأحمر التغيير في الوسيطة من قيمة x إلى القيمة (هذا هو المكان الذي يظهر فيه جوهر اسم "زيادة" الوسيطة).

عند الانتقال من قيمة الوسيطة إلى قيم الوظيفة ، فإنها تتغير وفقًا لشرط رتابة الوظيفة في الفترة الزمنية. الفرق يسمى زيادة الوظيفة f (x)، المقابلة للزيادة المعطاة للوسيطة. في الشكل ، يتم عرض زيادة الوظيفة بالخط الأزرق.

لنفكر في هذه المفاهيم في مثال ملموس.

خذ على سبيل المثال الوظيفة . دعونا نصلح النقطة وزيادة الحجة. في هذه الحالة ، ستكون الزيادة في الدالة أثناء الانتقال من إلى مساوية لـ

تشير الزيادة السالبة إلى انخفاض في الوظيفة في المقطع.

الرسم التوضيحي

تعريف مشتق دالة عند نقطة.

دع الدالة f (x) تُحدد في الفاصل الزمني (أ ؛ ب) و - نقاط هذا الفاصل الزمني. مشتق الدالة f (x) عند نقطة مايسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة عند. يعني .

عندما يأخذ الحد الأخير قيمة نهائية معينة ، يتحدث المرء عن الوجود المشتق النهائي عند نقطة. إذا كانت النهاية لانهائية ، فإننا نقول ذلك المشتق لانهائي عند نقطة معينة. إذا كان الحد غير موجود ، إذن مشتق الوظيفة غير موجود في هذه المرحلة.

تسمى الوظيفة f (x) قابل للتفاضل عند نقطة ماعندما يحتوي على مشتق محدود فيه.

إذا كانت الوظيفة f (x) قابلة للتفاضل في كل نقطة من فاصل زمني معين (أ ؛ ب) ، فإن الوظيفة تسمى قابلة للتفاضل في هذه الفترة. وبالتالي ، يمكن ربط أي نقطة x من الفاصل الزمني (أ ؛ ب) بقيمة مشتق الوظيفة في هذه المرحلة ، أي أن لدينا الفرصة لتحديد وظيفة جديدة ، والتي تسمى مشتق من الوظيفة f (x) في الفترة (أ ؛ ب).

تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل.

دعونا نفرق في طبيعة مفاهيم مشتق دالة عند نقطة وعلى فترة زمنية: مشتق دالة عند نقطة ما هو رقم ، ومشتق دالة في فترة ما هو دالة.

دعنا نقسمها بأمثلة من أجل الوضوح. عند الاشتقاق ، سنستخدم تعريف المشتق ، أي سننتقل إلى إيجاد النهايات. في حالة وجود صعوبات ، نوصيك بالرجوع إلى قسم النظرية.

مثال.

أوجد مشتق دالة عند نقطة باستخدام التعريف.

المحلول.

نظرًا لأننا نبحث عن مشتقة دالة عند نقطة ما ، يجب أن تكون الإجابة رقمًا. دعنا نكتب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة ونستخدم صيغ حساب المثلثات:

(مشتق دالة \ كبير \ bf)

ضع في اعتبارك الوظيفة ص = و (س)، في الفترة (أ ، ب). يترك x- أي فاصل زمني ثابت (أ ، ب)، أ Δx- رقم تعسفي ، بحيث تكون القيمة س + Δxينتمي أيضًا إلى الفاصل الزمني (أ ، ب). هذا العدد Δxيسمى زيادة الوسيطة.

تعريف. زيادة الوظيفة ص = و (س)في هذه النقطة x، المقابلة لزيادة الوسيطة Δx، دعنا نتصل بالرقم

Δy = f (x + Δx) - f (x).

نحن نصدق ذلك Δx ≠ 0. ضع في اعتبارك نقطة ثابتة معينة xنسبة الزيادة في الدالة عند تلك النقطة إلى الزيادة المقابلة في الوسيطة Δx

هذه العلاقة ستسمى علاقة الاختلاف. منذ القيمة xنحن نعتبر ثابتًا ، فإن علاقة الفرق هي دالة في السعة Δx. يتم تعريف هذه الوظيفة لجميع قيم الوسيطة Δx، ينتمون إلى حي صغير بما فيه الكفاية للنقطة ∆x = 0، باستثناء النقطة ∆x = 0. وبالتالي ، لدينا الحق في النظر في مسألة وجود حد للوظيفة المحددة لـ ∆x → 0.

تعريف. دالة مشتقة ص = و (س)عند نقطة ثابتة معينة xيسمى الحد ∆x → 0العلاقة التفاضلية ، وهذا هو

بشرط وجود هذا الحد.

تعيين. ص (س)أو و ′ (س).

المعنى الهندسي للمشتق: مشتق من الوظيفة و (خ)عند هذه النقطة xيساوي ظل الزاوية بين المحور ثوروظل الرسم البياني لهذه الوظيفة عند النقطة المقابلة:

و ′ (س 0) = \ tgα.

المعنى الميكانيكي للمشتق: مشتق المسار فيما يتعلق بالوقت يساوي سرعة الحركة المستقيمة للنقطة:

معادلة خط الظل ص = و (س)في هذه النقطة M0 (x0، y0)يأخذ الشكل

ص ص 0 = و (س 0) (س-س 0).

الخط العمودي للمنحنى عند نقطة ما هو عمودي على المماس عند نفس النقطة. اذا كان و ′ (س 0) ≠ 0، ثم معادلة الخط الطبيعي ص = و (س)في هذه النقطة M0 (x0، y0)مكتوب مثل هذا:

مفهوم تفاضل الوظيفة

دع الوظيفة ص = و (س)محددة في بعض الفواصل الزمنية (أ ، ب), x- بعض القيمة الثابتة للوسيطة من هذه الفترة ، Δx- أي زيادة في الحجة بحيث تكون قيمة الوسيطة س + Δx ∈ (أ ، ب).

تعريف. دور ص = و (س)يسمى التفاضل عند نقطة معينة xإذا كانت الزيادة Δyهذه الوظيفة عند النقطة x، المقابلة لزيادة الوسيطة Δx، يمكن تمثيلها كـ

Δy = A Δx + αΔx,

أين أهو رقم مستقل عن Δx، أ α - وظيفة الحجة Δx، وهو صغير بشكل لا نهائي في ∆x → 0.

منذ حاصل ضرب وظيفتين متناهي الصغر αΔxهو ترتيب أعلى متناهي الصغر من Δx(خاصية 3 من الدوال المتناهية الصغر) ، يمكننا كتابة:

∆y = A ∆x + o (∆x).

نظرية. من أجل الوظيفة ص = و (س)كان قابلاً للتفاضل عند نقطة معينة x، من الضروري والكافي أن يكون لها مشتق محدود في هذه المرحلة. حيث أ = و ′ (س)، هذا هو

Δy = f ′ (x) Δx + o (Δx).

عادة ما تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل.

نظرية. إذا كانت الوظيفة ص = و (س) x، إذن فهو مستمر عند هذه النقطة.

تعليق. من استمرارية الوظيفة ص = و (س)عند هذه النقطة xبشكل عام ، لا يتبع ذلك أن الوظيفة قابلة للتفاضل و (خ)عند هذه النقطة. على سبيل المثال ، الوظيفة ص = | س |- مستمر عند نقطة س = 0، ولكن ليس لها مشتق.

مفهوم تفاضل الوظيفة

تعريف. وظيفة التفاضل ص = و (س)يسمى ناتج مشتق هذه الوظيفة وزيادة المتغير المستقل x:

dy = y ′ ∆x، df (x) = f ′ (x) ∆x.

للوظيفة ص = سنحن نحصل dy = dx = x'Δx = 1 Δx = Δx، هذا هو dx = Δx- تفاضل المتغير المستقل يساوي الزيادة في هذا المتغير.

وهكذا يمكننا أن نكتب

dy = y′dx، df (x) = f ′ (x) dx

التفاضليه دىوالزيادة Δyالمهام ص = و (س)عند هذه النقطة x، كلاهما يقابل نفس الزيادة في الوسيطة Δxبشكل عام ، لا تساوي بعضها البعض.

المعنى الهندسي للتفاضل: تفاضل دالة يساوي زيادة إحداثيات الظل للرسم البياني للدالة المعينة عند زيادة الوسيطة Δx.

قواعد التمايز

نظرية. إذا كان كل من الوظائف ش (س)و الخامس (خ)قابلة للتفاضل عند نقطة معينة x، ثم مجموع هذه الوظائف وفرقها وحاصلها وحاصل قسمة هذه الدوال (حاصل القسمة بشرط أن ت (س) ≠ 0) قابلة للتفاضل أيضًا في هذه المرحلة ، والصيغ التالية تحمل:

ضع في اعتبارك وظيفة معقدة ص = و (φ (س)) ≡ و (س)، أين ص = و (ش), ش = φ (س). في هذه الحالة شاتصل حجة وسيطة, x - متغير مستقل.

نظرية. اذا كان ص = و (ش)و ش = φ (س)هي وظائف قابلة للتفاضل في حججهم ، ثم مشتق الوظيفة المعقدة ص = و (φ (س))موجود ويساوي ناتج هذه الوظيفة فيما يتعلق بالوسيطة الوسيطة ومشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل ، أي

تعليق. لوظيفة معقدة هي تراكب لثلاث وظائف ص = و (و (φ (س)))، قاعدة التفاضل لها الشكل

y ′ x = y ′ u u ′ v v x,

حيث الوظائف ت = φ (س), ش = و (ت)و ص = F (ش)هي وظائف قابلة للتفاضل في حججهم.

نظرية. دع الوظيفة ص = و (س)يتزايد (أو يتناقص) ومستمر في بعض المناطق المجاورة للنقطة × 0. دع ، بالإضافة إلى ذلك ، هذه الوظيفة قابلة للتفاضل عند النقطة المشار إليها × 0ومشتقاته في هذه المرحلة و ′ (س 0) ≠ 0. ثم في بعض الحي من النقطة المقابلة y0 = f (x0)معكوس ص = و (س)وظيفة س = و -1 (ص)، والدالة العكسية المشار إليها قابلة للاشتقاق عند النقطة المقابلة y0 = f (x0)ومشتقاته في هذه المرحلة ذالصيغة صحيحة

جدول مشتق

ثبات شكل التفاضل الأول

ضع في اعتبارك تفاضل دالة معقدة. اذا كان ص = و (س), س = φ (ر)هي وظائف قابلة للتفاضل في حججهم ، ثم مشتق الوظيفة ص = و (φ (ر))يتم التعبير عنها بالصيغة

y ′ t = y ′ x x ′ t.

حسب التعريف دى = لا دت، ثم نحصل

dy = y ′ t dt = y ′ x x ′ t dt = y ′ x (x ′ t dt) = y ′ x dx,

dy = y ′ x dx.

لذلك ، لقد أثبتنا

خاصية الثبات في شكل أول تفاضل للدالة: كما في الحال عند الحجة xهو متغير مستقل ، وفي حالة عندما تكون الوسيطة xهي نفسها دالة تفاضلية للمتغير الجديد ، التفاضل دىالمهام ص = و (س)يساوي مشتق هذه الدالة ، مضروبًا في تفاضل الوسيطة dx.

تطبيق التفاضل في الحسابات التقريبية

لقد أظهرنا أن الفارق دىالمهام ص = و (س)، بصفة عامة ، لا تساوي الزيادة Δyهذه الوظيفة. ومع ذلك ، يصل إلى وظيفة صغيرة بشكل لا نهائي من رتبة أعلى من الصغر Δx، المساواة التقريبية

y ≈ دى.

تسمى النسبة الخطأ النسبي للمساواة في هذه المساواة. لان ∆y-dy = o (∆x)، ثم يصبح الخطأ النسبي لهذه المساواة صغيرًا بشكل تعسفي | Δх |.

بشرط Δy = f (x + δx) -f (x), dy = f ′ (x) Δx، نحن نحصل f (x + δx) -f (x) ≈ f ′ (x) Δxأو

و (س + δx) ≈ و (س) + و ′ (س) Δx.

هذه المساواة التقريبية تسمح بوجود خطأ س (Δx)استبدال الوظيفة و (خ)في حي صغير من نقطة x(أي للقيم الصغيرة Δx) دالة خطية للحجة Δxيقف على الجانب الأيمن.

مشتقات الطلبات الأعلى

تعريف. المشتق الثاني (أو المشتق الثاني) للدالة ص = و (س)يسمى مشتق مشتقه الأول.

تدوين المشتق الثاني للدالة ص = و (س):

المعنى الميكانيكي للمشتق الثاني. إذا كانت الوظيفة ص = و (س)يصف قانون حركة نقطة مادية في خط مستقيم ، ثم المشتق الثاني و ″ (س)يساوي تسارع النقطة المتحركة في الوقت المناسب x.

يتم تعريف المشتقات الثالثة والرابعة بالمثل.

تعريف. نالمشتق -th (أو المشتق نالترتيب) وظائف ص = و (س)يسمى مشتق منه ن -1المشتق -th:

y (n) = (y (n-1)) ′، f (n) (x) = (f (n-1) (x)) ′.

التعيينات: ذ ″ ′, ذ رابعا, ذ الخامسإلخ.

عملية إيجاد المشتق تسمى التفاضل.

نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات لأبسط الوظائف (وليست بسيطة جدًا) من خلال تعريف المشتق على أنه حد نسبة الزيادة إلى الزيادة في الوسيطة ، ظهر جدول للمشتقات وقواعد محددة بدقة للتفاضل . كان إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات.

لذلك ، في عصرنا ، من أجل العثور على مشتق أي دالة ، ليس من الضروري حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، ولكن تحتاج فقط إلى استخدام الجدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة لإيجاد المشتق.

لإيجاد المشتق، فأنت بحاجة إلى تعبير تحت علامة السكتة الدماغية تحطيم الوظائف البسيطةوتحديد ما هي الإجراءات (المنتج ، المجموع ، الحاصل)ترتبط هذه الوظائف. علاوة على ذلك ، نجد مشتقات الدوال الأولية في جدول المشتقات ، والصيغ الخاصة بمشتقات المنتج ، والجمع والحاصل - في قواعد التفاضل. يتم إعطاء جدول المشتقات وقواعد التفاضل بعد المثالين الأولين.

مثال 1أوجد مشتق دالة

المحلول. من قواعد التفاضل نجد أن مشتق مجموع الوظائف هو مجموع مشتقات الوظائف ، أي

من جدول المشتقات ، نجد أن مشتق "X" يساوي واحدًا ، ومشتق جيب التمام هو جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتق الذي تتطلبه حالة المشكلة:

مثال 2أوجد مشتق دالة

المحلول. اشتق كمشتق من المجموع ، حيث يمكن إخراج المصطلح الثاني بعامل ثابت من علامة المشتق:

إذا كانت لا تزال هناك أسئلة حول مصدر شيء ما ، فإنها ، كقاعدة عامة ، تصبح واضحة بعد قراءة جدول المشتقات وأبسط قواعد التفاضل. نحن نذهب إليهم الآن.

جدول مشتقات الدوال البسيطة

1. مشتق ثابت (رقم). أي رقم (1 ، 2 ، 5 ، 200 ...) موجود في تعبير الدالة. دائما صفر. من المهم جدًا تذكر هذا ، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان
2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "x". دائما يساوي واحد. من المهم أيضًا تذكر هذا
3. مشتق من الدرجة. عند حل المشكلات ، تحتاج إلى تحويل الجذور غير التربيعية إلى أس.
4. مشتق متغير من القوة -1
5. مشتق من الجذر التربيعي
6. مشتق الجيب
7. مشتق جيب التمام
8. مشتق الظل
9. مشتق ظل التمام
10. مشتق القوسين
11. مشتق قوس جيب التمام
12. مشتق قوس الظل
13. مشتق من معكوس الظل
14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي
15. مشتق دالة لوغاريتمية
16. مشتق من الأس
17. مشتق من الدالة الأسية

قواعد التمايز

1. مشتق من المجموع أو الفرق
2. مشتق من المنتج
2 أ. مشتق من تعبير مضروب بعامل ثابت
3. مشتق من حاصل القسمة
4. مشتق دالة معقدة

المادة 1إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، ثم الوظائف في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق المجموع الجبري للوظائف يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال.

عاقبة. إذا اختلفت وظيفتان قابلتان للتفاضل بواسطة ثابت ، فإن مشتقاتهما تكون، بمعنى آخر.

القاعدة 2إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما ، فإن منتجها قابل للتفاضل أيضًا في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر.

النتيجة 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:

النتيجة 2. مشتق ناتج العديد من الوظائف القابلة للتفاضل يساوي مجموع حاصل ضرب مشتق كل من العوامل وكل العوامل الأخرى.

على سبيل المثال ، لثلاثة مضاعفات:

القاعدة 3إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما و , عند هذه النقطة يكون حاصل قسمةها أيضًا قابلاً للاشتقاق.u / v و

أولئك. مشتق خارج قسمة وظيفتين يساوي كسر ، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط والبسط ومشتق المقام ، والمقام هو مربع البسط السابق .

أين تبحث في الصفحات الأخرى

عند العثور على مشتق المنتج وحاصل القسمة في مشاكل حقيقية ، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد تفاضل في وقت واحد ، لذلك توجد المزيد من الأمثلة على هذه المشتقات في المقالة."مشتق المنتج والحاصل".

تعليق.يجب ألا تخلط بين ثابت (أي رقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! في حالة المصطلح ، يكون مشتقه مساويًا للصفر ، وفي حالة وجود عامل ثابت ، يتم استبعاده من علامة المشتقات. هذا خطأ نموذجي يحدث في المرحلة الأولى من دراسة المشتقات ، ولكن عندما يحل الطالب العادي عدة أمثلة مكونة من مكونين ، لم يعد الطالب العادي يرتكب هذا الخطأ.

وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ش"الخامس، حيث ش- رقم ، على سبيل المثال ، 2 أو 5 ، أي ثابت ، ثم مشتق هذا الرقم سيكون مساويًا للصفر ، وبالتالي ، فإن المصطلح بأكمله سيكون مساويًا للصفر (يتم تحليل هذه الحالة في المثال 10) .

خطأ شائع آخر هو الحل الميكانيكي لمشتق دالة معقدة كمشتق لدالة بسيطة. لهذا مشتق دالة معقدةمكرسة لمقال منفصل. لكن أولاً سوف نتعلم إيجاد مشتقات وظائف بسيطة.

على طول الطريق ، لا يمكنك الاستغناء عن تحولات التعبيرات. للقيام بذلك ، قد تحتاج إلى فتح كتيبات النوافذ الجديدة أفعال ذات قوى وجذورو الأفعال مع الكسور .

إذا كنت تبحث عن حلول للمشتقات ذات القوى والجذور ، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم اتبع الدرس "مشتق من مجموع الكسور مع القوى والجذور".

إذا كان لديك مهمة مثل ، فأنت في الدرس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".

أمثلة خطوة بخطوة - كيفية إيجاد المشتق

مثال 3أوجد مشتق دالة

المحلول. نحدد أجزاء تعبير الدالة: يمثل التعبير بأكمله المنتج ، وعوامله عبارة عن مجاميع ، وفي الثانية يحتوي أحد المصطلحات على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتج: مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر:

بعد ذلك ، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق مجموع الدوال الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا ، في كل مجموع ، الحد الثاني بعلامة ناقص. في كل مجموع ، نرى متغيرًا مستقلاً ، مشتقه يساوي واحدًا ، وثابتًا (رقمًا) مشتقه يساوي صفرًا. لذا ، يتحول "x" إلى واحد ، وسالب 5 - إلى صفر. في التعبير الثاني ، يتم ضرب "x" في 2 ، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتق "x". نحصل على القيم التالية للمشتقات:

نستبدل المشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتق الوظيفة الكاملة التي تتطلبها حالة المشكلة:

مثال 4أوجد مشتق دالة

المحلول. مطلوب منا إيجاد مشتق خارج القسمة. نطبق صيغة اشتقاق خارج القسمة: مشتق خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا يكون بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط ومشتق المقام ، و المقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:

لقد وجدنا بالفعل مشتق العوامل في البسط في المثال 2. دعونا لا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب ، وهو العامل الثاني في البسط في المثال الحالي ، مأخوذ بعلامة ناقص:

إذا كنت تبحث عن حلول لمثل هذه المشاكل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتق دالة ، حيث توجد كومة مستمرة من الجذور والدرجات ، مثل ، على سبيل المثال ، ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتق مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .

إذا كنت بحاجة إلى معرفة المزيد عن مشتقات الجيب وجيب التمام والظل وغيرها من الدوال المثلثية ، أي عندما تبدو الدالة مثل ، ثم لديك درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .

مثال 5أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى منتجًا ، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل ، والذي تعرفنا على مشتقه في جدول المشتقات. وفقًا لقاعدة تمايز المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

مثال 6أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى حاصل القسمة الذي يكون المقسوم عليه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. وفقًا لقاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، التي كررناها وطبقناها في المثال 4 ، والقيمة المجدولة لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

للتخلص من الكسر في البسط ، اضرب البسط والمقام في.