دع الدالة z - f (x، y) تُحدد في بعض المجالات D واجعل Mo (xo، y0) نقطة داخلية لهذا المجال. تعريف. إذا كان هناك رقم بحيث يكون عدم المساواة صحيحًا لكل ما يفي بالشروط ، فإن النقطة Mo (xo ، yo) تسمى نقطة الحد الأقصى المحلي للدالة f (x ، y) ؛ ومع ذلك ، إذا استوفيت الشروط | ثم النقطة Mo (x0، y0) تسمى الحد الأدنى المحلي الدقيق. بمعنى آخر ، النقطة M0 (x0 ، y0) هي نقطة الحد الأقصى أو الحد الأدنى للدالة f (x ، y) إذا كان هناك 6 مجاورة للنقطة A / o (x0 ، y0) بحيث تكون على الإطلاق النقاط M (x ، y) من هذا الحي ، فإن الزيادة في الدالة تحافظ على الإشارة. أمثلة. 1. بالنسبة للدالة ، النقطة هي النقطة الصغرى (الشكل 17). 2. بالنسبة للوظيفة ، النقطة 0 (0،0) هي النقطة القصوى (الشكل 18). 3. بالنسبة للوظيفة ، النقطة 0 (0،0) هي النقطة القصوى المحلية. 4 في الواقع ، هناك مجاورة للنقطة 0 (0 ، 0) ، على سبيل المثال ، دائرة نصف قطرها j (انظر الشكل 19) ، في أي نقطة تختلف عن النقطة 0 (0 ، 0) ، قيمة الدالة f (x، y) أقل من 1 = سننظر فقط في نقاط الحد الأقصى الصارم والحد الأدنى من الوظائف عندما تنطبق عدم المساواة الصارمة أو عدم المساواة الصارمة على جميع النقاط M (x) y) من بعض الجوار 6 المثقوب من النقطة Mq. تسمى قيمة الوظيفة عند النقطة القصوى بالحد الأقصى ، وتسمى قيمة الوظيفة عند الحد الأدنى الحد الأدنى لهذه الوظيفة. تسمى النقطتان العظمى والصغرى للدالة بالنقطتين النهائيتين للدالة ، وتسمى الحدود القصوى والدنيا للدالة نفسها بحدودها القصوى. نظرية 11 (شرط ضروري لأقصى حد). إذا كانت الدالة Extremum لدالة من عدة متغيرات مفهوم الحد الأقصى لدالة من عدة متغيرات. الشروط الضرورية والكافية للنقطة القصوى الشرطية للقيم الأكبر والأصغر للوظائف المستمرة حد أقصى عند النقطة ثم عند هذه النقطة كل مشتق جزئي وتختفي أو لا توجد. دع الدالة z = f (x) y) لها حد أقصى عند النقطة M0 (x0، y0). دعونا نعطي المتغير y القيمة yo. ثم ستكون الوظيفة z = / (x، y) دالة لمتغير واحد x \ بما أن x = xo لها حد أقصى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى ، الشكل 20) ، ثم مشتقها بالنسبة إلى x = "o ، | (* o، l>) "تساوي الصفر ، أو غير موجودة. وبالمثل ، نتحقق من ذلك) أو تساوي الصفر ، أو غير موجودة. النقاط التي تكون فيها = 0 و u = 0 أو غير موجودة هي تسمى النقاط الحرجة للدالة z = Dx، y) ، والنقاط التي عندها $ £ = u = 0 تسمى أيضًا بالنقاط الثابتة للوظيفة. 18 الشكل 20 من مشتقات immt التي تختفي عند. لكن هذه الوظيفة ضعيفة نوعًا ما على imvat “straumum. في الواقع ، الدالة تساوي الصفر عند النقطة 0 (0 ، 0) وتأخذ النقاط M (x ، y) ، بالقرب من النقطة 0 (0 ، 0) كما تريد ، kkk القيم الموجبة والسالبة. لذلك ، عند النقاط عند النقاط (0 ، y) للنقاط الصغيرة بشكل عشوائي ، تسمى النقطة 0 (0 ، 0) من هذا النوع نقطة mini-max (الشكل 21). يتم التعبير عن الشروط الكافية لدالة من متغيرين من خلال النظرية التالية. النظرية 12 (شروط كافية لحد أقصى من المتغيرات الضبابية). اجعل النقطة Mo (xo ، y0) نقطة ثابتة للدالة f (x ، y) ، وفي بعض المناطق المجاورة للنقطة / بما في ذلك النقطة Mo نفسها ، فإن الدالة f (r ، y) لها مشتقات جزئية مستمرة لأعلى إلى الدرجة الثانية شاملة. ثم "1) عند النقطة Mq (xq، V0) يكون للوظيفة f (x، y) حد أقصى إذا كان المحدد عند هذه النقطة 2) عند النقطة Mo (x0، V0) الدالة f (x، y) لها حد أدنى إذا كانت الوظيفة f (x ، y) عند النقطة Mo (xo، yo) ليس لها قيمة قصوى إذا كانت D (xo، yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) الحد الأقصى للدالة f (x، y) قد يكون أو لا يكون. في هذه الحالة ، هناك حاجة إلى مزيد من البحث. نحن نقتصر على إثبات التأكيدات 1) و 2) من النظرية. دعونا نكتب صيغة تايلور من الدرجة الثانية للوظيفة / (i، y): أين. من خلال الافتراض ، من أين يتضح أن علامة الزيادة D / يتم تحديدها من خلال علامة ثلاثي الحدود على الجانب الأيمن من (1) ، أي علامة التفاضل الثاني d2f. دعونا نشير للإيجاز. ثم يمكن كتابة المساواة (l) على النحو التالي: دعنا عند النقطة MQ (لذا ، y0) لدينا حي للنقطة M0 (s0 ، yo). إذا تم استيفاء الشرط (عند النقطة A / 0) ، وبسبب الاستمرارية ، سيحتفظ المشتق / ، z (s ، y) بعلامته في بعض المناطق المجاورة للنقطة Af0. في المنطقة حيث A 0 ، لدينا 0 في بعض المناطق المجاورة للنقطة M0 (x0) y0) ، ثم علامة ثلاثية الحدود AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 تتطابق مع العلامة A عند النقطة C لا يمكن أن يكون لها علامات مختلفة). نظرًا لأن علامة المجموع AAs2 + 2BAxAy + CAy2 عند النقطة (s0 + $ Ax، yo + 0 Du) تحدد علامة الاختلاف ، فإننا نصل إلى الاستنتاج التالي: إذا كانت الوظيفة f (s ، y) في النقطة الثابتة (s0 ، yo) تفي بالشرط ، ثم الصغيرة بما فيه الكفاية || سوف يستمر عدم المساواة. وبالتالي ، عند النقطة (sq ، y0) يكون للوظيفة / (s ، y) حد أقصى. ولكن إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة الثابتة (s0 ، yo) ، فعندئذٍ لجميع الأشياء الصغيرة بما فيه الكفاية | Ar | و | هل | المتباينة صحيحة ، مما يعني أن الدالة / (s ، y) لها حد أدنى عند النقطة (لذا ، yo). أمثلة. 1. تحقق من الوظيفة 4 للنهاية القصوى باستخدام الشروط الضرورية للنقطة القصوى ، نبحث عن نقاط ثابتة للوظيفة. للقيام بذلك ، نجد المشتقات الجزئية ، u ونساويها بصفر. نحصل على نظام المعادلات من أين - نقطة ثابتة. دعونا الآن نستخدم نظرية 12. لدينا ومن ثم ، هناك حد أقصى عند النقطة Ml. لأن هذا هو الحد الأدنى. إذا قمنا بتحويل الدالة g إلى النموذج ، فمن السهل أن نرى أن الجانب الأيمن (")" سيكون في حده الأدنى عندما يكون الحد الأدنى المطلق لهذه الوظيفة. 2. تحقق من دالة الطرف الأقصى ، ونجد النقاط الثابتة للدالة ، والتي نؤلف لها نظام معادلات من هنا بحيث تكون النقطة ثابتة. بما أنه ، بموجب النظرية 12 ، لا يوجد حد أقصى عند النقطة M. * 3. تحقق من وظيفة الطرف الأقصى أوجد النقاط الثابتة للوظيفة. من نظام المعادلات نحصل على ذلك ، بحيث تكون النقطة ثابتة. علاوة على ذلك ، لدينا حتى أن نظرية 12 لا تعطي إجابة على سؤال وجود أو عدم وجود حد أقصى. دعونا نفعل ذلك بهذه الطريقة. بالنسبة لدالة تتعلق بجميع النقاط بخلاف النقطة ، وبحسب التعريف ، عند النقطة A / o (0،0) ، يكون للوظيفة r حد أدنى مطلق. من خلال التجفيف المماثل ، نثبت أن الوظيفة لها حد أقصى عند النقطة ، لكن الوظيفة ليس لها حد أقصى عند هذه النقطة. دع دالة η المتغيرات المستقلة تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة ما ، تسمى النقطة Mo بالنقطة الثابتة للوظيفة إذا كانت النظرية 13 (شروط كافية لحدود أقصى). دع الدالة تُعرَّف ويكون لها مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية في بعض المناطق المجاورة للخط الدقيق Mc (xi ... ، وهي دالة دقيقة ثابتة ، إذا كان الشكل التربيعي (التفاضل الثاني للدالة f في الغرامة) النقطة موجبة - محددة (سالبة - محددة) ، النقطة الدنيا (على التوالي ، الحد الأقصى الدقيق) للوظيفة f جيدة إذا كانت الصيغة التربيعية (4) هي علامة متبادلة ، فلا يوجد حد أقصى في LG0. 15.2 شرطي أقصى حد حتى الآن ، كنا مهتمين بإيجاد القيم القصوى المحلية للدالة في النطاق الكامل لتعريفها ، عندما لا تكون وسيطات الوظيفة مرتبطة بأي شروط إضافية. دع الدالة z \ u003d / (x ، y) تُحدد في المنطقة D. لنفترض أن المنحنى L معطى في هذه المنطقة ، ومن الضروري إيجاد الحد الأقصى للدالة f (x> y) فقط من بين تلك القيم التي تتوافق مع نقاط المنحنى L. تسمى نفس القيمة القصوى الشرطية للدالة z = f (x) y) على المنحنى L. التعريف يقال أنه عند نقطة ملقاة على المنحنى L ، الوظيفة / (x ، y) لها حد أقصى مشروط (أدنى) إذا تم استيفاء عدم المساواة ، على التوالي ، في جميع النقاط M (s ، y) المنحنى L الذي ينتمي إلى بعض المناطق المجاورة للنقطة M0 (x0 ، Yo ) وتختلف عن النقطة M0 (إذا تم إعطاء المنحنى L بواسطة معادلة ، فإن مشكلة إيجاد الحد الأقصى الشرطي للدالة r - f (x ، y) على المنحنى! يمكن صياغتها على النحو التالي: أوجد الحد الأقصى للدالة x = / (z، y) في المنطقة D ، بشرط أنه عند إيجاد القيمة القصوى الشرطية للدالة z = y) ، لم يعد من الممكن اعتبار الوسيطات zn كمتغيرات مستقلة: فهي مترابطة من خلال العلاقة y) = 0 ، والتي تسمى معادلة القيد. لتوضيح الفرق بين m «* D y باعتباره أقصى حد غير مشروط وشرطي ، فلنلقِ نظرة على مثال آخر ، وهو الحد الأقصى غير المشروط للدالة (الشكل. 23) يساوي واحدًا ويتم الوصول إليه عند النقطة (0،0). إنه يتوافق تمامًا مع M - رأس pvvboloid. دعونا نضيف معادلة القيد y = j. ثم من الواضح أن الحد الأقصى الشرطي سيكون متساويًا ، ويتم الوصول إليه عند النقطة (o ، |) ، وهو يتوافق مع قمة Afj من pvvboloid ، وهو خط تقاطع pvvboloid مع المستوى y = j. في حالة وجود حد أدنى غير مشروط ، يكون لدينا أصغر تطبيق بين جميع تفسيرات السطح * = 1 - n ؛ 2 ~ y1 ؛ slumvv شرطي - فقط بين نقاط vllkvt pvrboloidv ، المقابلة لنقطة * من الخط المستقيم y = j ليس من مستوى xOy. تتمثل إحدى طرق العثور على الطرف الأقصى الشرطي لوظيفة ما في الوجود والاتصال على النحو التالي. دع معادلة الاتصال y) - O تحدد y كدالة قابلة للتفاضل أحادية القيمة للوسيطة x: استبدال الوظيفة بدلاً من y في الوظيفة ، نحصل على دالة من وسيطة واحدة تم فيها بالفعل أخذ شرط الاتصال في الاعتبار . الحد الأقصى (غير المشروط) للوظيفة هو الحد الأقصى الشرطي المطلوب. مثال. أوجد الحد الأقصى لدالة تحت الشرط Extremum لدالة من عدة متغيرات مفهوم الحد الأقصى لدالة من عدة متغيرات. الشروط الضرورية والكافية للنقطة القصوى الشرطية أكبر وأصغر قيم للوظائف المستمرة A من معادلة الاتصال (2 ") نجد y \ u003d 1-x. وباستبدال قيمة y في (V) ، نحصل على دالة من وسيطة واحدة x: نقوم بفحصها من أجل الحد الأقصى: من أين x \ u003d 1 - النقطة الحرجة ؛ بحيث تقدم حدًا أدنى مشروطًا للدالة r (الشكل 24). دعونا نوضح طريقة أخرى لحل مشكلة الشرطية القصوى ، تسمى طريقة مضاعف لاغرانج. لنفترض أن معادلة الاتصال تحدد وظيفة فريدة قابلة للتفاضل باستمرار في بعض المناطق المجاورة للنقطة xi. لنفترض أننا الحصول على أن المشتق فيما يتعلق بـ x للوظيفة / (r ، ip (x)) عند النقطة xq يجب أن يكون مساويًا للصفر أو ، وهو ما يعادل هذا ، تفاضل f (x ، y) عند النقطة Mo "O) من معادلة الاتصال لدينا (5) بعد ذلك ، نظرًا لتعسف dx ، نحصل على المساواة (6) و (7) للتعبير عن الشروط اللازمة لحد أقصى غير مشروط عند نقطة دالة تسمى وظيفة لاغرانج. وبالتالي ، فإن نقطة الحد الأقصى الشرطي للدالة / (س ، ص) ، إذا كانت ، بالضرورة ، هي نقطة ثابتة لدالة لاجرانج حيث أ هو بعض المعامل العددي. من هنا نحصل على قاعدة لإيجاد القيم القصوى الشرطية: من أجل إيجاد النقاط التي يمكن أن تكون نقاطًا لأقصى حد للدالة في وجود اتصال ، 1) نقوم بتكوين دالة لاغرانج ، 2) معادلة المشتقات و W لهذه الوظيفة إلى الصفر وإضافة معادلة الاتصال إلى المعادلات الناتجة ، نحصل على نظام من ثلاث معادلات نجد منها قيم A والإحداثيات x ، y للنقاط القصوى الممكنة. يتم حل مسألة وجود وطبيعة الحد الأقصى الشرطي على أساس دراسة علامة التفاضل الثاني لوظيفة لاغرانج لنظام القيم المدروس x0 ، Yo ، A ، التي تم الحصول عليها من (8) تحت الشرط أنه إذا ، عند النقطة (x0 ، Yo) يكون للوظيفة f (x ، y) حد أقصى مشروط ؛ إذا كانت d2F> 0 - ثم الحد الأدنى المشروط. على وجه الخصوص ، إذا كان المحدد D للوظيفة F (x ، y) عند نقطة ثابتة (xo ، J / o) موجبًا ، فعند النقطة (®o ، V0) يوجد حد أقصى مشروط للوظيفة / ( x ، y) if ، والحد الأدنى الشرطي للدالة / (x ، y) ، إذا كان المثال. دعنا ننتقل مرة أخرى إلى شروط المثال السابق: أوجد الحد الأقصى للدالة بشرط أن x + y = 1. سنحل المشكلة باستخدام طريقة مضاعف لاغرانج. دالة لاغرانج في هذه الحالة لها الشكل لإيجاد النقاط الثابتة ، نقوم بتكوين نظام من المعادلتين الأوليين للنظام ، نحصل على x = y. ثم من المعادلة الثالثة للنظام (معادلة الاقتران) نجد أن x - y = j - إحداثيات نقطة الحد الأقصى المحتمل. في هذه الحالة (يشار إلى أن A \ u003d -1. وبالتالي ، فإن وظيفة Lagrange. هي نقطة دنيا مشروطة للوظيفة * \ u003d x2 + y2 بشرط عدم وجود أقصى غير مشروط لوظيفة لاغرانج. x ، y) لا تعني بعد عدم وجود حد أقصى مشروط للوظيفة / (x ، y) في وجود اتصال مثال: ابحث عن الحد الأقصى للدالة تحت الشرط y 4 قم بتكوين دالة لاغرانج واكتب نظام لتحديد A وإحداثيات النقاط القصوى المحتملة: y = A = 0. وبالتالي ، فإن وظيفة Lagrange المقابلة لها الشكل عند النقطة (0 ، 0) ، لا تحتوي الوظيفة F (x ، y ؛ 0) على الحد الأقصى غير المشروط ، ولكن الحد الأقصى الشرطي للدالة r = xy. عندما تكون y = x ، يوجد "بالفعل ، في هذه الحالة r = x2. من هنا يتضح أنه عند النقطة (0،0) يوجد حد أدنى مشروط . "يتم نقل طريقة مضاعفات لاغرانج إلى حالة دوال أي عدد من الوسائط / دع الحد الأقصى للدالة يتم البحث عنه في وجود معادلات الاتصال Sostaalyaem دالة لاجرانج حيث A | ، Az ، ... ، A "، - ليس بعض العوامل الثابتة. معادلة الصفر لجميع المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة F وإضافة معادلات الاتصال (9) إلى المعادلات التي تم الحصول عليها ، نحصل على نظام معادلات n + m ، والتي نحدد منها Ab A3 | ... ، Am و الإحداثيات x \) x2). »xn من النقاط المحتملة للنقطة القصوى الشرطية. غالبًا ما يمكن حل مسألة ما إذا كانت النقاط التي تم العثور عليها بواسطة طريقة لاغرانج هي بالفعل نقاط قصوى شرطية على أساس اعتبارات ذات طبيعة فيزيائية أو هندسية. 15.3. القيم القصوى والدنيا للوظائف المستمرة دع الأمر مطلوبًا للعثور على القيمة القصوى (الأصغر) للدالة z = / (x ، y) المستمرة في بعض المجال المحدود الممتد D. من خلال النظرية 3 ، توجد في هذه المنطقة نقطة (xo ، V0) تأخذ فيها الوظيفة أكبر (أصغر) قيمة. إذا كانت النقطة (xo ، y0) تقع داخل المجال D ، فإن الوظيفة / لها حد أقصى (أدنى) فيه ، بحيث يتم احتواء النقطة التي تهمنا في هذه الحالة بين النقاط الحرجة للوظيفة / (x ، ذ). ومع ذلك ، يمكن أن تصل الوظيفة / (x ، y) أيضًا إلى أقصى قيمة (أصغر) لها عند حدود المنطقة. لذلك ، من أجل العثور على أكبر (أصغر) قيمة مأخوذة بواسطة الدالة z = / (x ، y) في منطقة مغلقة محدودة 2) ، من الضروري إيجاد جميع القيم القصوى (الدنيا) للدالة التي تم تحقيقها داخل هذه المنطقة ، بالإضافة إلى أكبر (أصغر) قيمة للدالة على حدود هذه المنطقة. أكبر (أصغر) من كل هذه الأرقام ستكون القيمة القصوى (الأصغر) المرغوبة للدالة z = / (x، y) في المنطقة 27. دعونا نوضح كيف يتم ذلك في حالة دالة قابلة للتفاضل. برمر. أوجد أكبر وأصغر قيم لدالة المنطقة 4. نجد النقاط الحرجة للدالة داخل المنطقة D. للقيام بذلك ، نقوم بتكوين نظام معادلات. من هنا نحصل على x \ u003d y "0 ، بحيث تكون النقطة 0 (0،0) هي النقطة الحرجة للدالة x. منذ ذلك الحين دعونا الآن نجد أكبر وأصغر قيم للوظيفة على الحدود Г للمنطقة D. على جزء من الحدود لدينا بحيث أن y \ u003d 0 هي نقطة حرجة ، ومنذ ذلك الحين \ u003d ثم عند هذا أشر إلى الوظيفة z \ u003d 1 + y2 لها حد أدنى يساوي واحدًا. في نهايات المقطع G "، عند النقاط (لدينا. باستخدام اعتبارات التناظر ، نحصل على نفس النتائج لأجزاء أخرى من الحدود. أخيرًا ، نحصل على: أصغر قيمة للدالة z \ u003d x2 + y2 in المنطقة "ب" تساوي الصفر ويتم الوصول إليها عند النقطة الداخلية 0 (0 ، 0) من المنطقة ، ويتم الوصول إلى القيمة القصوى لهذه الوظيفة ، التي تساوي اثنين ، عند أربع نقاط من الحدود (الشكل. 25) شكل 25 تمارين الدوال: أوجد المشتقات الجزئية للدوال واختلافاتها الكلية: أوجد مشتقات الدوال المعقدة: 3 أوجد ياء.استريموم لدالة من عدة متغيرات مفهوم الحد الأقصى لدالة متعددة المتغيرات ضروري وكافي شروط الحد الأقصى الشرطي القيم الأكبر والأصغر للدوال المستمرة 34. باستخدام صيغة مشتق دالة معقدة ، متغيرين ، إيجاد والدوال: 35. استخدام صيغة مشتقة دالة معقدة في متغيرين ، أوجد | J والدوال: أوجد دوال jj الضمنية: 40. أوجد ميل منحنى الظل عند نقطة التقاطع مع الخط المستقيم x = 3. 41. أوجد النقاط التي يكون فيها مماس المنحنى x موازيًا للمحور x. . في المهام التالية ، أوجد و Z: اكتب معادلات المستوى المماس والخط الطبيعي للسطح: 49. اكتب معادلات المستويات المماس للسطح x2 + 2y2 + Zr2 \ u003d 21 ، بالتوازي مع المستوى x + 4y + 6z \ u003d 0. أوجد المصطلحات الثلاثة إلى الأربعة الأولى للتوسع باستخدام صيغة تايلور: 50. y في منطقة مجاورة للنقطة (0 ، 0). باستخدام تعريف الحد الأقصى للدالة ، تحقق من الوظائف التالية للقيمة القصوى :). باستخدام الشروط الكافية للدالة القصوى لدالة من متغيرين ، تحقق من الحد الأقصى للدالة: 84. ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة z \ u003d x2 - y2 في دائرة مغلقة 85. أوجد الأكبر والأصغر قيم الدالة * \ u003d x2y (4-x-y) في مثلث يحده خطوط x \ u003d 0 ، y = 0 ، x + y = ب. 88. حدد أبعاد حوض سباحة خارجي مستطيل مع أصغر سطح ، بشرط أن يكون حجمه مساويًا لـ V. 87. أوجد أبعاد المستطيل المتوازي مع سطح إجمالي محدد يبلغ 5 أقصى حجم. الإجابات 1. و | مربع مكون من مقاطع خطية x بما في ذلك جوانبها. 3. عائلة الحلقات متحدة المركز 2 = 0،1،2 ، ... .4. المستوى بأكمله باستثناء نقاط الخطوط المستقيمة y. جزء الطائرة الموجود فوق القطع المكافئ y \ u003d -x ؟. 8. نقاط الدائرة x. المستوى بأكمله باستثناء الخطوط المستقيمة x التعبير الجذري غير سالب في حالتين j * ^ أو j x ^ ^ وهو ما يعادل سلسلة لانهائية من المتباينات ، على التوالي. مجال التعريف هو المربعات المظللة (الشكل 26) ؛ ل التي تعادل سلسلة لا نهائية يتم تعريف الوظيفة عند النقاط. أ) خطوط موازية للخط x ب) دوائر متحدة المركز متمركزة عند نقطة الأصل. 10. أ) القطع المكافئ ص) القطع المكافئة y أ) القطع المكافئة ب) القطوع الزائدة | طائرات xc 13.Prim - تجويف مفرط للثورة حول محور Oz ؛ من أجل و هما hyperboloids ذات صفحتين للثورة حول محور Oz ، يتم فصل كلتا عائلات الأسطح بواسطة مخروط ؛ لا يوجد حد ، ب) 0. 18. لنفترض أن y = kxt ثم z lim z = -2 ، بحيث لا يكون للدالة المعطاة عند النقطة (0،0) حد. 19. أ) النقطة (0.0) ؛ ب) النقطة (0،0). 20. أ) خط الفاصل - دائرة x2 + y2 = 1 ؛ ب) خط الفاصل هو خط مستقيم y \ u003d x. 21. أ) كسر الخطوط - تنسيق محاور Ox و Oy ؛ ب) 0 (مجموعة فارغة). 22. جميع النقاط (م ، ن) ، أين و ن أعداد صحيحة

التعريف 1: يقال أن الوظيفة لها حد أقصى محلي عند نقطة ما إذا كان هناك حي للنقطة مثل أي نقطة ممع الإحداثيات (س ، ص)يتحقق عدم المساواة:. في هذه الحالة ، أي زيادة الوظيفة< 0.

التعريف 2: يقال أن الوظيفة لها حد أدنى محلي عند نقطة ما إذا كان هناك حي للنقطة مثل أي نقطة ممع الإحداثيات (س ، ص)يتحقق عدم المساواة:. في هذه الحالة ، أي زيادة الوظيفة> 0.

التعريف 3: يتم استدعاء الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط المحلية النقاط القصوى.

النهايات الشرطية

عند البحث عن قيمة قصوى لدالة للعديد من المتغيرات ، غالبًا ما تنشأ المشكلات المتعلقة بما يسمى المدقع الشرطي.يمكن تفسير هذا المفهوم من خلال مثال دالة لمتغيرين.

دعونا نعطي وظيفة وخط إلعلى السطح 0xy. المهمة هي الخط إلتجد مثل هذه النقطة الفوسفور (س ، ص) ،حيث تكون قيمة الوظيفة هي الأكبر أو الأصغر مقارنة بقيم هذه الدالة عند نقاط الخط إليقع بالقرب من النقطة ص. مثل هذه النقاط صاتصل النقاط القصوى الشرطيةوظائف الخط إل. على عكس النقطة القصوى المعتادة ، تتم مقارنة قيمة الوظيفة عند النقطة القصوى الشرطية بقيم الوظيفة ليس في جميع نقاط بعض المناطق المجاورة لها ، ولكن فقط عند تلك التي تقع على الخط إل.

من الواضح تمامًا أن النقطة القصوى المعتادة (يقولون أيضًا النهايات غير المشروطة) هي أيضًا نقطة نهائية شرطية لأي خط يمر عبر هذه النقطة. العكس ، بالطبع ، ليس صحيحًا: قد لا تكون النقطة القصوى المشروطة نقطة نهائية تقليدية. اسمحوا لي أن أشرح هذا بمثال بسيط. الرسم البياني للدالة هو نصف الكرة العلوي (الملحق 3 (الشكل 3)).

هذه الوظيفة لها حد أقصى في الأصل ؛ يتوافق مع القمة منصفي الكرة الأرضية. إذا كان الخط إلهناك خط يمر عبر النقاط لكنو في(معادلتها س + ص -1 = 0) ، فمن الواضح هندسيًا أنه بالنسبة لنقاط هذا الخط ، يتم الوصول إلى الحد الأقصى لقيمة الوظيفة عند النقطة الواقعة في المنتصف بين النقاط لكنو في.هذه هي نقطة الحد الأقصى (الحد الأقصى) للوظيفة على السطر المحدد ؛ إنها تتوافق مع النقطة M 1 في نصف الكرة الأرضية ، ويمكن أن نرى من الشكل أنه لا يمكن أن يكون هناك أي شك في أي طرف عادي هنا.

لاحظ أنه في الجزء الأخير من مشكلة إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة ، علينا إيجاد القيم القصوى للدالة على حدود هذه المنطقة ، أي في بعض الخطوط ، وبالتالي حل المشكلة لحد أقصى شرطي.

دعنا ننتقل الآن إلى البحث العملي عن نقاط الحد الأقصى الشرطي للدالة Z = f (x ، y) بشرط أن تكون المتغيرات x و y مرتبطة بالمعادلة (x ، y) = 0. هذه العلاقة ستكون تسمى معادلة القيد. إذا كان من الممكن التعبير عن y صراحة من معادلة الاتصال من حيث x: y \ u003d (x) ، نحصل على وظيفة متغير واحد Z \ u003d f (x ، (x)) \ u003d Ф (x).

بعد العثور على قيمة x التي تصل عندها هذه الوظيفة إلى أقصى حد ، ثم تحديد القيم المقابلة لـ y من معادلة الاتصال ، سنحصل على النقاط المطلوبة من الحد الأقصى الشرطي.

لذلك ، في المثال أعلاه ، من معادلة الاتصال x + y-1 = 0 لدينا y = 1-x. من هنا

من السهل التحقق من أن z يصل إلى الحد الأقصى عند x = 0.5 ؛ ولكن بعد ذلك من معادلة الاتصال y = 0.5 ، ونحصل بالضبط على النقطة P ، التي تم العثور عليها من الاعتبارات الهندسية.

يتم حل المشكلة القصوى الشرطية بكل بساطة حتى عندما يمكن تمثيل معادلة القيد بواسطة المعادلات البارامترية x = x (t)، y = y (t). بالتعويض عن المقدارين لـ x و y في هذه الدالة ، نصل مرة أخرى إلى مشكلة إيجاد الحد الأقصى لدالة متغير واحد.

إذا كانت معادلة القيد لها شكل أكثر تعقيدًا ولا يمكننا التعبير صراحةً عن متغير واحد من حيث متغير آخر ، ولا نستبدلها بمعادلات بارامترية ، فإن مشكلة إيجاد أقصى حد شرطي تصبح أكثر صعوبة. سنستمر في افتراض أنه في التعبير عن الدالة z = f (x، y) المتغير (x، y) = 0. المشتق الكلي للدالة z = f (x، y) يساوي:

أين توجد مشتقة y` ، التي تم إيجادها من خلال قاعدة اشتقاق الدالة الضمنية. عند نقاط الطرف الأقصى الشرطي ، يجب أن يكون المشتق الإجمالي الموجود مساويًا للصفر ؛ هذا يعطينا معادلة واحدة تتعلق بـ x و y. نظرًا لأنه يجب عليهم أيضًا تلبية معادلة القيد ، نحصل على نظام من معادلتين مع مجهولين

دعنا نحول هذا النظام إلى نظام أكثر ملاءمة عن طريق كتابة المعادلة الأولى كنسبة وإدخال مجهول مساعد جديد:

(يتم وضع علامة ناقص في المقدمة للراحة). من السهل الانتقال من هذه المساواة إلى النظام التالي:

f` x = (x، y) + `x (x، y) = 0، f` y (x، y) +` y (x، y) = 0 (*)،

والتي ، مع معادلة القيد (س ، ص) = 0 ، تشكل نظامًا من ثلاث معادلات ذات مجاهيل x و y و.

هذه المعادلات (*) يسهل تذكرها باستخدام القاعدة التالية: من أجل إيجاد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط الطرف الأقصى الشرطي للدالة

Z = f (x ، y) مع معادلة القيد (x ، y) = 0 ، تحتاج إلى تكوين دالة مساعدة

و (س ، ص) = و (س ، ص) + (س ، ص)

أين يوجد بعض الثوابت ، واكتب معادلات لإيجاد النقاط القصوى لهذه الدالة.

يوفر نظام المعادلات المحدد ، كقاعدة عامة ، الشروط الضرورية فقط ، أي ليس كل زوج من قيم x و y التي تحقق هذا النظام هو بالضرورة نقطة نهائية شرطية. لن أعطي شروطًا كافية للنقاط القصوى المشروطة ؛ غالبًا ما يشير المحتوى المحدد للمشكلة نفسها إلى النقطة التي تم العثور عليها. تسمى التقنية الموصوفة لحل مشاكل الطرف الأقصى الشرطي طريقة مضاعفات لاغرانج.

شرط كافٍ لحد أقصى لدالة من متغيرين

1. اجعل الدالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر في بعض المناطق المجاورة للنقطة ولها مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية (نقية ومختلطة).

2. قم بالإشارة إلى المحدد من الدرجة الثانية

دالة محاضرة متغيرة

نظرية

إذا كانت النقطة ذات الإحداثيات هي نقطة ثابتة للوظيفة ، فعندئذٍ:

أ) عندما تكون نقطة متطرفة محلية ، وعند الحد الأقصى المحلي - الحد الأدنى المحلي ؛

ج) عندما لا تكون النقطة نقطة محلية متطرفة ؛

ج) إذا ، ربما كلاهما.

دليل - إثبات

نكتب صيغة تايلور للوظيفة ، ونقتصر على عضوين:

بما أن النقطة ثابتة ، وفقًا لشرط النظرية ، فإن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية تساوي الصفر ، أي و. ثم

دل

ثم ستأخذ الزيادة في الوظيفة الشكل:

نظرًا لاستمرارية المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية (نقية ومختلطة) ، وفقًا لحالة النظرية عند نقطة ما ، يمكننا كتابة:

أين أو و

1. دعونا و ، أي ، أو.

2. نضرب زيادة الدالة ونقسمها ، نحصل على:

3. استكمل التعبير الموجود بين قوسين معقوفين حتى مربع المجموع بالكامل:

4. التعبير الموجود بين قوسين معقوفين غير سالب ، منذ ذلك الحين

5. لذلك ، إذا ، وبالتالي ، وبالتالي ، وفقًا للتعريف ، فإن النقطة هي نقطة الحد الأدنى المحلي.

6. إذا كانت تعني ، ثم وفقًا للتعريف ، فإن النقطة ذات الإحداثيات هي نقطة قصوى محلية.

2. اعتبر مربعًا ثلاثي الحدود ، ومميزه ،.

3. إذا ، ثم هناك نقاط مثل أن كثير الحدود

4. الزيادة الإجمالية للدالة عند نقطة ما وفقًا للتعبير الذي تم الحصول عليه في I ، نكتب في النموذج:

5. نظرًا لاستمرارية المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية ، وفقًا لشرط النظرية عند نقطة ما ، يمكننا كتابة ما يلي

لذلك ، يوجد حي لنقطة ، بحيث يكون المربع ثلاثي الحدود أكبر من صفر لأي نقطة:

6. النظر - حي النقطة.

دعونا نختار أي قيمة ، هذه هي النقطة. بافتراض ذلك في معادلة الزيادة في الدالة

ما نحصل عليه:

7. منذ ذلك الحين.

8. بالمثل في الجدل حول الجذر ، نحصل على أنه في أي حي من النقطة توجد نقطة لا تحتفظ بها الإشارة في المنطقة المجاورة للنقطة ، وبالتالي لا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة.

الطرف الشرطي لدالة من متغيرين

عند البحث عن قيمة قصوى لدالة ذات متغيرين ، غالبًا ما تنشأ المشكلات المتعلقة بما يسمى الحد الأقصى الشرطي. يمكن تفسير هذا المفهوم من خلال مثال دالة لمتغيرين.

دع دالة وخط L تعطى على المستوى 0xy. تتمثل المهمة في العثور على نقطة P (x ، y) على السطر L ، حيث تكون قيمة الوظيفة هي الأكبر أو الأصغر مقارنة بقيم هذه الوظيفة عند نقاط السطر L ، وتقع بالقرب من النقطة P. تسمى هذه النقاط P وظائف النقاط القصوى المشروطة على الخط L. على عكس النقطة القصوى المعتادة ، تتم مقارنة قيمة الوظيفة عند النقطة القصوى الشرطية مع قيم الوظيفة التي ليست في جميع نقاط بعض أحياءها ، ولكن فقط في تلك التي تقع على الخط L.

من الواضح تمامًا أن نقطة الحد الأقصى المعتاد (يقولون أيضًا الطرف الأقصى غير المشروط) هي أيضًا نقطة الطرف الشرطي لأي خط يمر عبر هذه النقطة. العكس ، بالطبع ، ليس صحيحًا: قد لا تكون النقطة القصوى المشروطة نقطة نهائية تقليدية. دعنا نوضح ما قيل بمثال.

مثال 1.الرسم البياني للدالة هو نصف الكرة العلوي (الشكل 2).

أرز. 2.

هذه الوظيفة لها حد أقصى في الأصل ؛ إنه يتوافق مع الرأس M من نصف الكرة الأرضية. إذا كان الخط L هو خط مستقيم يمر عبر النقطتين A و B (معادلته) ، فمن الواضح هندسيًا أنه بالنسبة لنقاط هذا الخط ، يتم الوصول إلى الحد الأقصى لقيمة الوظيفة عند النقطة الواقعة في المنتصف بين النقطتين A و ب. هذه هي وظائف النقطة القصوى (القصوى) الشرطية على هذا الخط ؛ إنها تتوافق مع النقطة M 1 في نصف الكرة الأرضية ، ويمكن أن نرى من الشكل أنه لا يمكن أن يكون هناك أي شك في أي طرف عادي هنا.

لاحظ أنه في الجزء الأخير من مشكلة إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة ، يجب على المرء أن يجد القيم القصوى للدالة على حدود هذه المنطقة ، أي في بعض الخطوط ، وبالتالي حل المشكلة لحد أقصى شرطي.

التعريف 1.يقولون أنه حيث يوجد حد أقصى (حد أدنى) شرطي أو نسبي عند نقطة ترضي المعادلة: إذا كان أي منها يرضي المعادلة ، فإن عدم المساواة

التعريف 2.معادلة النموذج تسمى معادلة القيد.

نظرية

إذا كانت الدوال قابلة للتفاضل باستمرار في منطقة مجاورة لنقطة ، والمشتق الجزئي ، والنقطة هي نقطة الحد الأقصى الشرطي للدالة فيما يتعلق بمعادلة القيد ، فإن محدد الدرجة الثانية يساوي صفرًا:

دليل - إثبات

1. بما أنه ، وفقًا لشرط النظرية ، فإن المشتق الجزئي وقيمة الوظيفة ، ثم في بعض المستطيل

تعريف وظيفة ضمنية

سيكون للدالة المعقدة لمتغيرين عند نقطة حد أقصى محلي ، أو.

2. في الواقع ، وفقًا لخاصية الثبات للصيغة التفاضلية من الدرجة الأولى

3. يمكن تمثيل معادلة الاتصال بهذا الشكل ، مما يعني

4. اضرب المعادلة (2) في و (3) في وأضفهم

لذلك ، في

افتراضى. ح.

عاقبة

يتم البحث عن النقاط القصوى الشرطية لدالة لمتغيرين عمليًا من خلال حل نظام المعادلات

لذلك ، في المثال أعلاه رقم 1 من معادلة الاتصال لدينا. من هنا ، من السهل التحقق مما يصل إلى الحد الأقصى. ولكن بعد ذلك من معادلة الاتصال. نحصل على النقطة P ، التي توجد هندسيًا.

المثال رقم 2.أوجد النقاط القصوى الشرطية للدالة بالنسبة إلى معادلة القيد.

لنجد المشتقات الجزئية للدالة المحددة ومعادلة الاتصال:

لنقم بعمل محدد من الدرجة الثانية:

دعنا نكتب نظام المعادلات لإيجاد النقاط القصوى الشرطية:

ومن ثم ، هناك أربع نقاط نهائية شرطية للوظيفة ذات إحداثيات:.

المثال رقم 3.أوجد النقاط القصوى للدالة.

معادلة المشتقات الجزئية بالصفر: ، نجد نقطة ثابتة واحدة - الأصل. هنا،. لذلك ، فإن النقطة (0 ، 0) ليست نقطة قصوى أيضًا. المعادلة هي معادلة القطع المكافئ القطعي (الشكل 3) ، يوضح الشكل أن النقطة (0 ، 0) ليست نقطة نهائية.

أرز. 3.

أكبر وأصغر قيمة لدالة في منطقة مغلقة

1. دع الوظيفة يتم تعريفها ومستمرة في مجال مغلق محدود D.

2. دع الدالة لها مشتقات جزئية محدودة في هذه المنطقة ، باستثناء النقاط الفردية في المنطقة.

3. وفقًا لنظرية Weierstrass ، توجد في هذه المنطقة نقطة تأخذ فيها الدالة أكبر وأصغر القيم.

4. إذا كانت هذه النقاط هي النقاط الداخلية للمنطقة D ، فمن الواضح أنه سيكون لها حد أقصى أو أدنى.

5. في هذه الحالة ، فإن النقاط التي تهمنا هي من بين النقاط المشبوهة في أقصى الحدود.

6. ومع ذلك ، يمكن أن تأخذ الوظيفة أيضًا الحد الأقصى أو الحد الأدنى للقيمة على حدود المنطقة D.

7. من أجل العثور على أكبر (أصغر) قيمة للدالة في المنطقة D ، تحتاج إلى العثور على جميع النقاط الداخلية المشبوهة بحد أقصى ، وحساب قيمة الوظيفة فيها ، ثم مقارنتها بقيمة الدالة عند نقاط حدود المنطقة ، وستكون أكبر القيم الموجودة هي الأكبر في المنطقة المغلقة D.

8. تم النظر في طريقة إيجاد حد أقصى أو أدنى محلي سابقًا في القسم 1.2. و 1.3.

9. يبقى النظر في طريقة إيجاد القيم القصوى والدنيا للوظيفة على حدود المنطقة.

10. في حالة دالة ذات متغيرين ، فعادة ما يتضح أن المنطقة محددة بمنحنى أو عدة منحنيات.

11. على طول هذا المنحنى (أو عدة منحنيات) ، تعتمد المتغيرات وإما على بعضها البعض ، أو كلاهما يعتمد على معلمة واحدة.

12. وهكذا ، عند الحد ، يتبين أن الوظيفة تعتمد على متغير واحد.

13. تمت مناقشة طريقة إيجاد أكبر قيمة لدالة لمتغير واحد في وقت سابق.

14. دع حدود المنطقة D تُعطى بواسطة المعادلات البارامترية:

ثم في هذا المنحنى ، ستكون وظيفة متغيرين دالة معقدة للمعامل:. بالنسبة لمثل هذه الوظيفة ، يتم تحديد أكبر وأصغر قيمة بواسطة طريقة تحديد أكبر وأصغر قيم لدالة ذات متغير واحد.

Extrema دوال متعددة المتغيرات. شرط ضروري لأقصى حد. حالة كافية لأقصى حد. المدقع الشرطي. طريقة مضاعفات لاجرانج. إيجاد أكبر وأصغر القيم.

المحاضرة 5

التعريف 5.1.نقطة م 0 (× 0 ، ص 0)اتصل أقصى نقطةالمهام ض = و (س ، ص) ،إذا و (س س ، ص س) > و (س ، ص)لجميع النقاط (س ، ص) م 0.

التعريف 5.2.نقطة م 0 (× 0 ، ص 0)اتصل الحد الأدنى من النقاطالمهام ض = و (س ، ص) ،إذا و (س س ، ص س) < و (س ، ص)لجميع النقاط (س ، ص)من منطقة ما م 0.

ملاحظة 1. يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط النقاط القصوىدوال من عدة متغيرات.

ملاحظة 2. يتم تعريف النقطة القصوى لدالة أي عدد من المتغيرات بطريقة مماثلة.

نظرية 5.1(الظروف القصوى الضرورية). اذا كان م 0 (× 0 ، ص 0)هي النقطة القصوى للدالة ض = و (س ، ص) ،ثم في هذه المرحلة ، تكون المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لهذه الوظيفة مساوية للصفر أو غير موجودة.

دليل - إثبات.

دعنا نصلح قيمة المتغير فيعد ص = ص 0. ثم الوظيفة و (س ، ص 0)ستكون دالة لمتغير واحد X، لأي منهم س = س 0هي النقطة القصوى. لذلك ، من خلال نظرية فيرما أو لا وجود لها. تم إثبات نفس التأكيد ل.

التعريف 5.3.تسمى النقاط التي تنتمي إلى مجال دالة من عدة متغيرات ، حيث تكون المشتقات الجزئية للدالة مساوية للصفر أو غير موجودة نقاط ثابتةهذه الوظيفة.

تعليق. وبالتالي ، لا يمكن الوصول إلى الحد الأقصى إلا عند نقاط ثابتة ، ولكن لا يتم ملاحظتها بالضرورة في كل نقطة منها.

نظرية 5.2(شروط كافية لأقصى حد). دعونا في بعض الجوار من النقطة م 0 (× 0 ، ص 0)، وهي نقطة ثابتة للوظيفة ض = و (س ، ص) ،هذه الوظيفة لها مشتقات جزئية مستمرة حتى المرتبة الثالثة شاملة. أشر بعد ذلك إلى:

1) و (س ، ص)لديه في هذه النقطة م 0كحد أقصى إذا AC-B² > 0, أ < 0;

2) و (س ، ص)لديه في هذه النقطة م 0الحد الأدنى إذا AC-B² > 0, أ > 0;

3) لا يوجد حد أقصى عند النقطة الحرجة إذا AC-B² < 0;

4) إذا AC-B² = 0 ، يلزم إجراء بحث إضافي.

دليل - إثبات.

دعونا نكتب صيغة تايلور من الدرجة الثانية للوظيفة و (س ، ص) ،مع الأخذ في الاعتبار أنه عند نقطة ثابتة ، فإن المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى تساوي صفرًا:

أين إذا كانت الزاوية بين القطعة م 0 م، أين م (× 0 +Δ س ، ص 0 +Δ في) ، والمحور O Xتشير إلى φ ثم Δ س =Δ ρ كوس φ, Δ ص =Δρsinφ. في هذه الحالة ، ستتخذ صيغة تايلور الشكل التالي:. دعونا بعد ذلك يمكننا قسمة وضرب التعبير بين قوسين في لكن. نحن نحصل:

ضع في اعتبارك الآن أربع حالات محتملة:

1) AC-B² > 0, أ < 0. Тогда , и لصغيرة بما فيه الكفاية Δρ. لذلك ، في بعض الجوار م 0 و (س 0 + Δ س ، ص 0 +Δ ذ)< و (س 0 ، ص 0)، هذا هو م 0هي النقطة القصوى.

2) دع AC-B² > 0, أ> 0.ثم ، و م 0هي النقطة الدنيا.

3) دع AC-B² < 0, أ> 0. ضع في اعتبارك زيادة الوسائط على طول الشعاع φ = 0. ثم يتبع من (5.1) أن أي عندما تتحرك على طول هذا الشعاع ، تزداد الوظيفة. إذا تحركنا على طول شعاع مثل هذا tg φ 0 \ u003d -A / B ،ومن بعد لذلك ، عند التحرك على طول هذا الشعاع ، تقل الوظيفة. لذا فإن النقطة م 0ليست نقطة متطرفة.

3`) متى AC-B² < 0, أ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

على غرار السابق.

3 '') إذا AC-B² < 0, أ= 0 إذن. حيث . ثم ، بالنسبة إلى التعبير الصغير بدرجة كافية 2 بكوس + ج sinφ قريب من 2 في، أي أنه يحتفظ بعلامة ثابتة ، وعلامة تغيرات sinφ بالقرب من النقطة م 0.هذا يعني أن الزيادة في الدالة تتغير علامة بالقرب من النقطة الثابتة ، وبالتالي فهي ليست نقطة متطرفة.

4) إذا AC-B² = 0 و , ، أي ، يتم تحديد علامة الزيادة بالعلامة 2α 0. في الوقت نفسه ، هناك حاجة إلى مزيد من البحث لتوضيح مسألة وجود أقصى حد.

مثال. لنجد النقاط القصوى للدالة ض = س² - 2 xy + 2ذ² + 2 x.للبحث عن نقاط ثابتة ، نقوم بحل النظام . إذن ، النقطة الثابتة هي (-2 ، -1). حيث أ = 2, في = -2, من= 4. ثم AC-B² = 4> 0 ، لذلك ، يتم الوصول إلى الحد الأقصى عند النقطة الثابتة ، أي الحد الأدنى (منذ ذلك الحين أ > 0).

التعريف 5.4.إذا كانت وسيطات الوظيفة و (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن)ملزمة بشروط إضافية في النموذج مالمعادلات ( م< n) :

φ 1 ( × 1 ، × 2 ، ... ، × ن) = 0، 2 ( × 1 ، × 2 ، ... ، × ن) = 0،…، φ م ( × 1 ، × 2 ، ... ، × ن) = 0, (5.2)

حيث الدوال φ i لها مشتقات جزئية مستمرة ، ثم يتم استدعاء المعادلات (5.2) معادلات الاتصال.

التعريف 5.5.الحد الأقصى للوظيفة و (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن)تحت شروط (5.2) يسمى أقصى حد شرطي.

تعليق. يمكننا تقديم التفسير الهندسي التالي للطرف الأقصى الشرطي لدالة من متغيرين: دع وسيطات الدالة و (س ، ص)ترتبط بالمعادلة φ (س ، ص)= 0 ، تحديد بعض المنحنى في المستوى O هو. بعد الاستعادة من كل نقطة من هذا المنحنى تتعامد مع المستوى O هوقبل عبور السطح ض = و (س ، ص) ،نحصل على منحنى مكاني ملقى على السطح فوق المنحنى (س ، ص)= 0. تكمن المشكلة في إيجاد النقاط القصوى للمنحنى الناتج ، والتي ، بالطبع ، في الحالة العامة ، لا تتطابق مع النقاط القصوى غير المشروطة للدالة و (س ، ص).

دعونا نحدد الشروط القصوى الشرطية اللازمة لوظيفة من متغيرين من خلال تقديم التعريف التالي مسبقًا:

التعريف 5.6.دور L (x 1، x 2، ...، x n) = f (x 1، x 2، ...، x n) + λ 1 φ 1 (x 1، x 2، ...، x n) +

+ λ 2 φ 2 (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن) + ... + م φ م (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن), (5.3)

أين λ أنا -بعض الثوابت تسمى وظيفة لاغرانجوالأرقام λi– مضاعفات لاغرانج لأجل غير مسمى.

نظرية 5.3(الشروط القصوى المشروطة الضرورية). الطرف الشرطي للدالة ض = و (س ، ص)في وجود معادلة القيد φ ( س ، ص)لا يمكن الوصول إلى = 0 إلا عند النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج L (س ، ص) = و (س ، ص) + λφ (س ، ص).

دليل - إثبات. تحدد معادلة القيد التبعية الضمنية فيمن X، لذلك سنفترض ذلك فيهناك وظيفة من X: ص = ص (س).ثم ضهناك وظيفة معقدة X، ونقاطه الحرجة تحددها الحالة: . (5.4) يتبع من معادلة القيد أن . (5.5)

نضرب المساواة (5.5) ببعض الأرقام λ ونضيفها إلى (5.4). نحن نحصل:

، أو .

يجب أن تثبت المساواة الأخيرة عند النقاط الثابتة ، والتي تتبع منها:

(5.6)

يتم الحصول على نظام من ثلاث معادلات لثلاثة مجاهيل: س ، صو ، مع اعتبار المعادلتين الأوليين شروط النقطة الثابتة لوظيفة لاغرانج. بإزالة المجهول المساعد من النظام (5.6) ، نجد إحداثيات النقاط التي يمكن أن يكون للدالة الأصلية عندها حد أقصى شرطي.

ملاحظة 1. يمكن التحقق من وجود حد أقصى شرطي عند النقطة التي تم العثور عليها من خلال دراسة المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية لوظيفة لاغرانج عن طريق القياس مع نظرية 5.2.

ملاحظة 2. النقاط التي يمكن عندها الوصول إلى الحد الأقصى الشرطي للوظيفة و (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن)في ظل الظروف (5.2) ، يمكن تعريفها كحلول للنظام (5.7)

مثال. أوجد الحد الأقصى الشرطي للدالة ض = س صبشرط س + ص= 1. يؤلف دالة لاغرانج L (س ، ص) = س ص + λ (س + ص -واحد). ثم يبدو النظام (5.6) كالتالي:

من أين -2λ = 1 ، λ = -0.5 ، س = ص =-= 0.5 حيث L (س ، ص)يمكن تمثيلها كـ L (س ، ص) = - 0,5 (س ص) ² + 0.5 0.5 عند النقطة الثابتة الموجودة L (س ، ص)لديه الحد الأقصى و ض = س ص -الحد الأقصى المشروط.

دعونا أولاً ننظر في حالة دالة من متغيرين. الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z = f (x، y) $ عند النقطة $ M_0 (x_0؛ y_0) $ هو الحد الأقصى لهذه الدالة ، والذي تم الوصول إليه بشرط أن المتغيرين $ x $ و $ y $ في المنطقة المجاورة لهذه النقطة تحقق معادلة القيد $ \ varphi (x، y) = 0 $.

يرجع الاسم "الشرطي" الأقصى إلى حقيقة أن الشرط الإضافي $ \ varphi (x، y) = 0 $ مفروض على المتغيرات. إذا كان من الممكن التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر من معادلة الاتصال ، فإن مشكلة تحديد الحد الأقصى الشرطي يتم تقليلها إلى مشكلة الحد الأقصى المعتاد لدالة متغير واحد. على سبيل المثال ، إذا كان $ y = \ psi (x) $ يتبع معادلة القيد ، فعند استبدال $ y = \ psi (x) $ في $ z = f (x، y) $ ، نحصل على دالة لمتغير واحد $ z = f \ left (x، \ psi (x) \ right) $. ومع ذلك ، في الحالة العامة ، هذه الطريقة قليلة الاستخدام ، لذلك يلزم وجود خوارزمية جديدة.

طريقة مضاعفات لاجرانج لوظائف متغيرين.

طريقة مضاعفات لاغرانج هي أنه للعثور على الحد الأقصى الشرطي ، تتكون وظيفة لاجرانج: $ F (x، y) = f (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) $ (المعلمة $ \ lambda يسمى $ مضاعف لاغرانج). يتم توفير الشروط القصوى اللازمة من خلال نظام معادلات يتم من خلاله تحديد النقاط الثابتة:

$$ \ يسار \ (\ يبدأ (محاذاة) & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي س) = 0 ؛ \ & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي ص) = 0 ؛ \ & \ فارفي (س ، ص) = 0. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$

العلامة $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. إذا كان عند نقطة ثابتة $ d ^ 2F> 0 $ ، فإن الدالة $ z = f (x، y) $ لها حد أدنى مشروط في هذه المرحلة ، ولكن إذا كان $ d ^ 2F< 0$, то условный максимум.

هناك طريقة أخرى لتحديد طبيعة الطرف الأقصى. من معادلة القيد نحصل على: $ \ varphi_ (x) ^ (") dx + \ varphi_ (y) ^ (") dy = 0 $، $ dy = - \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) ( \ varphi_ (y) ^ (")) dx $ ، لذلك لدينا في أي نقطة ثابتة:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = F_ (xx) ^ ( "") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dx \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) + F_ (yy) ^ ("") \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (dx ^ 2) (\ left (\ varphi_ (y) ^ (") \ right) ^ 2) \ cdot \ left (- (\ varphi_ (y) ^ (")) ^ 2 F_ (xx) ^ (" ") +2 \ varphi_ (x) ^ (") \ varphi_ (y) ^ (") F_ (xy) ^ (" ") - (\ varphi_ (x) ^ (")) ^ 2 F_ (yy) ^ ("") \ حق) $$

يمكن تمثيل العامل الثاني (الموجود بين قوسين) بهذا الشكل:

عناصر $ \ left | \ start (مجموعة) (cc) F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ F_ (xy) ^ ("") & F_ (yy) ^ ("") \ end (مجموعة) \ right | $ وهو Hessian لوظيفة Lagrange. إذا كان $ H> 0 $ فإن $ d ^ 2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 دولار ، أي لدينا حد أدنى مشروط للدالة $ z = f (x، y) $.

ملاحظة على شكل المحدد $ H $. اظهر المخفي

$$ H = - \ left | \ start (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ نهاية (مجموعة) \ يمين | $$

في هذه الحالة ، تتغير القاعدة التي تمت صياغتها أعلاه على النحو التالي: إذا كان $ H> 0 $ ، فإن الوظيفة لها حد أدنى مشروط ، وللحالة $ H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

خوارزمية لدراسة دالة من متغيرين لأقصى شرطي

1. قم بتكوين دالة لاجرانج $ F (x، y) = f (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) $
2. حل النظام $ \ left \ (\ start (align) & \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 0 ؛ \\ & \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي y) = 0 ؛ \\ & \ varphi (x، y) = 0. \ end (محاذاة) \ right. $
3. حدد طبيعة الطرف الأقصى عند كل نقطة من النقاط الثابتة الموجودة في الفقرة السابقة. للقيام بذلك ، استخدم أيًا من الطرق التالية:
   • اكتب المحدد $ H $ واكتشف علامته
   • مع الأخذ بعين الاعتبار معادلة القيد ، احسب علامة $ d ^ 2F $

طريقة لاجرانج المضاعفة لوظائف المتغيرات n

لنفترض أن لدينا دالة من المتغيرات $ n $ $ z = f (x_1، x_2، \ ldots، x_n) معادلات القيد $ و $ m $ ($ n> m $):

$$ \ varphi_1 (x_1 ، x_2 ، \ ldots ، x_n) = 0 ؛ \ ؛ \ varphi_2 (x_1، x_2، \ ldots، x_n) = 0، \ ldots، \ varphi_m (x_1، x_2، \ ldots، x_n) = 0. $$

بالإشارة إلى مضاعفات لاجرانج $ \ lambda_1 ، \ lambda_2 ، \ ldots ، \ lambda_m $ ، نقوم بتكوين وظيفة لاجرانج:

$$ F (x_1، x_2، \ ldots، x_n، \ lambda_1، \ lambda_2، \ ldots، \ lambda_m) ​​= f + \ lambda_1 \ varphi_1 + \ lambda_2 \ varphi_2 + \ ldots + \ lambda_m \ varphi_m $$

يتم توفير الشروط اللازمة لوجود حد أقصى شرطي من خلال نظام معادلات يتم من خلاله العثور على إحداثيات النقاط الثابتة وقيم مضاعفات لاغرانج:

$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & \ فارك (\ جزئي F) (\ جزئي x_i) = 0 ؛ (i = \ overline (1، n)) \\ & \ varphi_j = 0 ؛ (j = \ overline (1، m)) \ end (محاذاة) \ right. $$

من الممكن معرفة ما إذا كانت الوظيفة لها حد أدنى أو حد أقصى مشروط عند النقطة التي تم العثور عليها ، كما كان من قبل ، باستخدام العلامة $ d ^ 2F $. إذا كانت النقطة التي تم العثور عليها $ d ^ 2F> 0 $ ، فإن الوظيفة لها حد أدنى مشروط ، ولكن إذا كان $ d ^ 2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

محدد المصفوفة $ \ left | \ start (array) (ccccc) \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) ^ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (2) ) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (1) \ جزئي x_ (n)) \\ \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_1) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) ^ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F ) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (2) \ جزئي x_ (n)) \ \ frac (\ جزئي ^ 2F) ) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (1)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) ^ (2)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (3) \ جزئي x_ (n)) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (1)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (2)) & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) \ جزئي x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ جزئي ^ 2F) (\ جزئي x_ (n) ^ (2)) \\ \ end ( array) \ right | $ المظلل باللون الأحمر في مصفوفة $ L $ هو دالة Hessian لوظيفة Lagrange. نستخدم القاعدة التالية:

• إذا كانت علامات الزاوية الصغرى هي $ H_ (2m + 1) ، \ ؛ H_ (2m + 2)، \ ldots، H_ (m + n) $ المصفوفات $ L $ تتطابق مع العلامة $ (- 1) ^ m $ ، فإن النقطة الثابتة قيد الدراسة هي الحد الأدنى الشرطي للدالة $ z = f (x_1، x_2، x_3، \ ldots، x_n) $.
• إذا كانت علامات الزاوية الصغرى هي $ H_ (2m + 1) ، \ ؛ H_ (2m + 2)، \ ldots، H_ (m + n) $ alternate وعلامة الصغير $ H_ (2m + 1) $ تتطابق مع علامة الرقم $ (- 1) ^ (m + 1 ) $ ، فإن النقطة الثابتة المدروسة هي النقطة القصوى المشروطة للدالة $ z = f (x_1، x_2، x_3، \ ldots، x_n) $.

مثال 1

أوجد الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z (x، y) = x + 3y $ تحت الشرط $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

التفسير الهندسي لهذه المشكلة كالتالي: مطلوب إيجاد أكبر وأصغر قيمة لتطبيق المستوى $ z = x + 3y $ لنقاط تقاطعها مع الأسطوانة $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 دولارات.

من الصعب نوعًا ما التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر من معادلة القيد واستبداله في الدالة $ z (x ، y) = x + 3y $ ، لذلك سنستخدم طريقة لاغرانج.

للدلالة على $ \ varphi (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $ ، نقوم بتكوين وظيفة لاغرانج:

$$ F (x، y) = z (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) = x + 3y + \ lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10)؛ \\ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 1 + 2 \ lambda x ؛ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي ص) = 3 + 2 \ لامدا ص. $$

دعونا نكتب نظام المعادلات لتحديد النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج:

$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & 1 + 2 \ لامدا س = 0 ؛ \\ & 3 + 2 \ لامدا y = 0 ؛ \\ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. \ النهاية (محاذاة) \ حق. $$

إذا افترضنا أن $ \ lambda = 0 $ ، فإن المعادلة الأولى تصبح: $ 1 = 0 $. التناقض الناتج يقول أن $ \ lambda \ neq 0 $. تحت الشرط $ \ lambda \ neq 0 $ ، من المعادلتين الأولى والثانية لدينا: $ x = - \ frac (1) (2 \ lambda) $ ، $ y = - \ frac (3) (2 \ lambda) $. باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في المعادلة الثالثة ، نحصل على:

$$ \ يسار (- \ فارك (1) (2 \ لامدا) \ يمين) ^ 2 + \ يسار (- \ فارك (3) (2 \ لامدا) \ يمين) ^ 2-10 = 0 ؛ \ \ فارك (1) (4 \ lambda ^ 2) + \ frac (9) (4 \ lambda ^ 2) = 10 ؛ \ lambda ^ 2 = \ frac (1) (4) ؛ \ يسار [\ ابدأ (محاذاة) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) ؛ \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2). \ نهاية (محاذاة) \ يمين \ تبدأ (محاذاة) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) ؛ \ ؛ x_1 = - \ frac (1) (2 \ lambda_1) = 1 ؛ \ ؛ y_1 = - \ frac (3) (2 \ lambda_1) = 3 ؛ \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2) ؛ \ ؛ x_2 = - \ frac (1) (2 \ lambda_2) = - 1 ؛ \ ؛ y_2 = - \ frac (3) (2 \ lambda_2) = - 3. \ نهاية (محاذاة) $$

لذلك ، النظام لديه حلين: $ x_1 = 1 ؛ \؛ y_1 = 3 ؛ \ ؛ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ و $ x_2 = -1 ؛ \ ؛ y_2 = -3 ؛ \ ؛ \ lambda_2 = \ frac (1) (2) $. دعونا نكتشف طبيعة الطرف الأقصى عند كل نقطة ثابتة: $ M_1 (1 ؛ 3) $ و $ M_2 (-1 ؛ -3) $. للقيام بذلك ، نحسب المحدد $ H $ عند كل نقطة.

$$ \ varphi_ (x) ^ (") = 2x ؛ \ ؛ \ varphi_ (y) ^ (") = 2y ؛ \ ؛ F_ (xx) ^ ("") = 2 \ لامدا ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = 0 ؛ \ ؛ F_ (yy) ^ ("") = 2 \ lambda. \\ H = \ left | \ start (مصفوفة) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \ lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | $$

عند النقطة $ M_1 (1؛ 3) $ نحصل على: $ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \ end (array) \ right | = 40> 0 $ ، لذلك عند النقطة $ M_1 (1؛ 3) $ الدالة $ z (x، y) = x + 3y $ لها حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = z (1؛ 3) = 10 $.

وبالمثل ، عند النقطة $ M_2 (-1 ؛ -3) $ نجد: $ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & -1 & -3 \\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \ end (array) \ right | = -40 $. منذ $ H.< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

ألاحظ أنه بدلاً من حساب قيمة المحدد $ H $ عند كل نقطة ، من الأنسب فتحه بطريقة عامة. من أجل عدم ازدحام النص بالتفاصيل ، سأخفي هذه الطريقة تحت ملاحظة.

ترميز $ H $ المحدد بشكل عام. اظهر المخفي

$$ H = 8 \ cdot \ left | \ start (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left (- \ lambda (y ^ 2) - \ lambda (x ^ 2) \ right) = -8 \ lambda \ cdot \ left (y ^ 2 + x ^ 2 \ right). $$

من حيث المبدأ ، من الواضح بالفعل علامة $ H $. نظرًا لعدم تطابق أي من النقاط $ M_1 $ أو $ M_2 $ مع الأصل ، فإن $ y ^ 2 + x ^ 2> 0 $. لذلك ، فإن علامة $ H $ هي عكس علامة $ \ lambda $. يمكنك أيضًا إكمال العمليات الحسابية:

$$ \ start (محاذاة) & H (M_1) = - 8 \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ right) = 40 ؛ \ \ & H (M_2) = - 8 \ cdot \ frac (1) (2) \ cdot \ left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 \ right) = - 40. نهاية (محاذاة) $$

يمكن حل السؤال حول طبيعة الحد الأقصى عند النقاط الثابتة $ M_1 (1؛ 3) $ و $ M_2 (-1؛ -3) $ بدون استخدام المحدد $ H $. ابحث عن علامة $ d ^ 2F $ عند كل نقطة ثابتة:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 \ lambda \ left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 \ right) $$

لاحظت أن الترميز $ dx ^ 2 $ يعني بالضبط $ dx $ مرفوعًا للقوة الثانية ، أي $ \ يسار (dx \ right) ^ 2 $. ومن ثم لدينا: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $ ، لذلك بالنسبة إلى $ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ نحصل على $ d ^ 2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

إجابه: عند النقطة $ (- 1؛ -3) $ يكون للوظيفة حد أدنى مشروط ، $ z _ (\ min) = - 10 $. عند النقطة $ (1؛ 3) $ يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = 10 $

المثال رقم 2

أوجد الحد الأقصى الشرطي للدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ تحت الشرط $ x + y = 0 $.

الطريقة الأولى (طريقة مضاعفات لاجرانج)

للدلالة على $ \ varphi (x، y) = x + y $ نقوم بتكوين دالة لاجرانج: $ F (x، y) = z (x، y) + \ lambda \ varphi (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + \ lambda (x + y) $.

$$ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي x) = 8x-y + \ lambda ؛ \ ؛ \ frac (\ جزئي F) (\ جزئي y) = 9y ^ 2-x + \ lambda. \\ \ left \ (\ start (align) & 8x-y + \ lambda = 0 ؛ \\ & 9y ^ 2-x + \ lambda = 0 ؛ \\ & x + y = 0. \ end (محاذاة) \ حق. $$

عند حل النظام ، نحصل على: $ x_1 = 0 $ ، $ y_1 = 0 $ ، $ \ lambda_1 = 0 $ و $ x_2 = \ frac (10) (9) $ ، $ y_2 = - \ frac (10) (9 ) $، $ \ lambda_2 = -10 دولارات. لدينا نقطتان ثابتتان: $ M_1 (0؛ 0) $ و $ M_2 \ left (\ frac (10) (9)؛ - \ frac (10) (9) \ right) $. دعونا نكتشف طبيعة الحد الأقصى عند كل نقطة ثابتة باستخدام المحدد $ H $.

$$ H = \ اليسار | \ start (مصفوفة) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ اليسار | \ start (مجموعة) (ccc) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \ end (array) \ right | = -10-18y $$

عند النقطة $ M_1 (0 ؛ 0) $ $ H = -10-18 \ cdot 0 = -10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0 $ ، لذا في هذه المرحلة يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) $.

نتحرى عن طبيعة الحد الأقصى عند كل نقطة من النقاط بطريقة مختلفة ، بناءً على علامة $ d ^ 2F $:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$

من معادلة القيد $ x + y = 0 $ لدينا: $ d (x + y) = 0 $ ، $ dx + dy = 0 $ ، $ dy = -dx $.

$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$

بما أن $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ ، فإن $ M_1 (0 ؛ 0) $ هو الحد الأدنى الشرطي للدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. وبالمثل ، $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

الطريقة الثانية

من معادلة القيد $ x + y = 0 $ نحصل على: $ y = -x $. بالتعويض عن $ y = -x $ في الدالة $ z (x، y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ ، نحصل على بعض وظائف المتغير $ x $. دعنا نشير إلى هذه الوظيفة كـ $ u (x) $:

$$ u (x) = z (x، -x) = 3 \ cdot (-x) ^ 3 + 4x ^ 2-x \ cdot (-x) = - 3x ^ 3 + 5x ^ 2. $$

وهكذا ، قمنا بتقليل مشكلة إيجاد الحد الأقصى الشرطي لدالة لمتغيرين إلى مشكلة تحديد الحد الأقصى لدالة متغير واحد.

$$ u_ (x) ^ (") = - 9x ^ 2 + 10x ؛ \\ -9x ^ 2 + 10x = 0 ؛ \ ؛ x \ cdot (-9x + 10) = 0 ؛ \\ x_1 = 0 ؛ \ ؛ y_1 = -x_1 = 0 ؛ \\ x_2 = \ frac (10) (9) ؛ \ ؛ y_2 = -x_2 = - \ frac (10) (9). $$

حصلت على النقاط $ M_1 (0؛ 0) $ و $ M_2 \ left (\ frac (10) (9)؛ - \ frac (10) (9) \ right) $. يُعرف المزيد من البحث من خلال مسار حساب التفاضل لوظائف متغير واحد. عند فحص علامة $ u_ (xx) ^ ("") $ في كل نقطة ثابتة أو التحقق من تغيير العلامة $ u_ (x) ^ (") $ في النقاط التي تم العثور عليها ، نحصل على نفس الاستنتاجات كما في الحل الأول . على سبيل المثال ، حدد علامة $ u_ (xx) ^ ("") $:

$$ u_ (xx) ^ ("") = - 18x + 10 ؛ \\ u_ (xx) ^ ("") (M_1) = 10 ؛ \ ؛ u_ (xx) ^ ("") (M_2) = - 10

بما أن $ u_ (xx) ^ ("") (M_1)> 0 $ ، فإن $ M_1 $ هو الحد الأدنى للدالة $ u (x) $ ، بينما $ u _ (\ min) = u (0) = 0 $. منذ $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

تتطابق قيم الدالة $ u (x) $ بموجب شرط الاتصال المحدد مع قيم الدالة $ z (x، y) $ ، أي. القيمة القصوى التي تم العثور عليها للدالة $ u (x) $ هي القيمة القصوى الشرطية المطلوبة للدالة $ z (x، y) $.

إجابه: عند النقطة $ (0؛ 0) $ يكون للوظيفة حد أدنى مشروط ، $ z _ (\ min) = 0 $. عند النقطة $ \ left (\ frac (10) (9) ؛ - \ frac (10) (9) \ right) $ ، يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) ) $.

لنفكر في مثال آخر نكتشف فيه طبيعة الحد الأقصى من خلال تحديد علامة $ d ^ 2F $.

المثال رقم 3

أوجد القيم القصوى والدنيا للدالة $ z = 5xy-4 $ إذا كانت المتغيرات $ x $ و $ y $ موجبة وتفي بمعادلة القيد $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac ( ص ^ 2) (2) -1 = 0 دولار.

قم بتكوين دالة لاغرانج: $ F = 5xy-4 + \ lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. أوجد النقاط الثابتة لوظيفة لاغرانج:

$$ F_ (x) ^ (") = 5y + \ frac (\ lambda x) (4)؛ \؛ F_ (y) ^ (") = 5x + \ lambda y. \\ \ left \ (\ start (align) & 5y + \ frac (\ lambda x) (4) = 0؛ \\ & 5x + \ lambda y = 0؛ \\ & \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0؛ \\ & x> 0؛ \؛ y> 0. \ end (محاذاة) \ right. $$

يتم إجراء جميع التحولات الأخرى مع الأخذ في الاعتبار $ x> 0 ؛ \ ؛ y> 0 $ (هذا منصوص عليه في حالة المشكلة). من المعادلة الثانية ، نعبر عن $ \ lambda = - \ frac (5x) (y) $ واستبدل القيمة التي تم العثور عليها في المعادلة الأولى: $ 5y- \ frac (5x) (y) \ cdot \ frac (x) ( 4) = 0 دولار ، 4 س ^ 2-س ^ 2 = 0 دولار ، س = 2 س دولار. بالتعويض عن $ x = 2y $ في المعادلة الثالثة ، نحصل على: $ \ frac (4y ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $ ، $ y ^ 2 = 1 $ ، $ ص = 1 دولار.

بما أن $ y = 1 $ ، فإن $ x = 2 $ ، $ \ lambda = -10 $. يتم تحديد طبيعة الحد الأقصى عند النقطة $ (2؛ 1) $ من علامة $ d ^ 2F $.

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (\ lambda) (4) ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = 5 ؛ \ ؛ F_ (yy) ^ ("") = \ lambda. $$

بما أن $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $ ، إذن:

$$ d \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) = 0 ؛ \ ؛ د \ يسار (\ فارك (س ^ 2) (8) \ يمين) + د \ يسار (\ فارك (y ^ 2) (2) \ يمين) = 0 ؛ \ ؛ \ frac (x) (4) dx + ydy = 0 ؛ \ ؛ dy = - \ frac (xdx) (4y). $$

من حيث المبدأ ، يمكنك هنا على الفور استبدال إحداثيات النقطة الثابتة $ x = 2 $ ، $ y = 1 $ والمعامل $ \ lambda = -10 $ ، وبالتالي الحصول على:

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (-5) (2) ؛ \ ؛ F_ (xy) ^ ("") = - 10 ؛ \ ؛ dy = - \ frac (dx) (2). \\ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - \ frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) -10 \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- \ frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$

ومع ذلك ، في مشاكل أخرى للطرف الأقصى الشرطي ، قد يكون هناك عدة نقاط ثابتة. في مثل هذه الحالات ، من الأفضل تمثيل $ d ^ 2F $ بشكل عام ، ثم استبدال إحداثيات كل نقطة ثابتة تم العثور عليها في التعبير الناتج:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2 + 10 \ cdot dx \ cdot \ frac (-xdx) (4y) + \ lambda \ cdot \ left (- \ frac (xdx) (4y) \ right) ^ 2 = \\ = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2- \ frac (5x) (2y) dx ^ 2 + \ lambda \ cdot \ frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = \ left (\ frac (\ lambda ) (4) - \ frac (5x) (2y) + \ frac (\ lambda \ cdot x ^ 2) (16y ^ 2) \ right) \ cdot dx ^ 2 $$

استبدال $ x = 2 $ ، $ y = 1 $ ، $ \ lambda = -10 $ ، نحصل على:

$$ d ^ 2 F = \ left (\ frac (-10) (4) - \ frac (10) (2) - \ frac (10 \ cdot 4) (16) \ right) \ cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$

منذ $ d ^ 2F = -10 \ cdot dx ^ 2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

إجابه: عند النقطة $ (2؛ 1) $ ، يكون للوظيفة حد أقصى مشروط ، $ z _ (\ max) = 6 $.

في الجزء التالي ، سننظر في تطبيق طريقة لاغرانج لوظائف عدد أكبر من المتغيرات.