تاريخ موجز جدًا لحل المعادلات التربيعية. المعادلات التربيعية في الخورزمي

من تاريخ ظهور المعادلات التربيعية

نشأ الجبر فيما يتعلق بحل مشاكل مختلفة باستخدام المعادلات. عادة في المشاكل هو مطلوب للعثور على واحد أو عدة مجاهيل ، مع معرفة نتائج بعض الإجراءات التي يتم تنفيذها على الكميات المرغوبة والمحددة. يتم تقليل هذه المشكلات إلى حل واحد أو نظام من عدة معادلات ، لإيجاد المعادلات المرغوبة بمساعدة العمليات الجبرية على كميات معينة. يدرس الجبر الخصائص العامة للإجراءات على الكميات.

عُرفت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية منذ 4000 عام في بابل القديمة.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق الأرض وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك و الرياضيات نفسها. عرف البابليون كيفية حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif "width =" 93 "height =" 41 src = ">

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق وضع معادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 2. "ابحث عن رقمين ، مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

يجادل Diophantus على النحو التالي: يترتب على حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فإن منتجها لن يساوي 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهم ، أي .10 + س. الآخر أصغر ، أي 10 - س. الفرق بينهما هو 2x. ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10-س) = 96 ،

ومن ثم فإن x = 2. أحد الأرقام المرغوبة هو 12 ، والآخر هو 8. الحل x = - 2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المجهولة على أنه المجهول ، فيمكننا الوصول إلى حل المعادلة:

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة.

المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

الفأس 2 + ب س = ج ، أ>

في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على المجد في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif "width =" 12 "height =" 26 src = "> x2 - 64x = - 768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة للمربع ، يضيف 322 إلى كلا الجانبين ، ثم يحصل على:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

س 1 = 16 ، س 2 = 48.

معادلات الخوارزمي التربيعية

تعطي أطروحة الخوارزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax2 = bx.

2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي ax2 = c.

3) "الجذور تساوي العدد" أي فأس \ u003d ج.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax2 + c = bx.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي ax2 + bx = c.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + c == ax2.

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراره ، بالطبع ، لا يتوافق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول ، فإن الخوارزمي ، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الاعتبار الصفر. ربما لأنه في مهام عملية محددة ، لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة ، ثم البراهين الهندسية.

لنأخذ مثالا.

المسألة 4. "المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. أوجد الجذر "(جذر المعادلة x2 + 21 \ u003d 10x ضمني).

الحل: قسّم عدد الجذور إلى النصف ، تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ، اطرح 21 من الناتج ، يتبقى 4. خذ جذر 4 ، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3 ، هذا سيكون الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم تقديم تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم الصيغ لحلها.

المعادلات التربيعية في أوروباثاني عشر- السابع عشرفي.

تم وصف أشكال حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتب عام 1202. عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا.

ساهم هذا الكتاب في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم نقل العديد من المهام من هذا الكتاب إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. تمت صياغة القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية إلى شكل أساسي واحد x2 + bx = c مع جميع التوليفات الممكنة من العلامات والمعاملات b ، c ، وقد تمت صياغتها في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تتخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا ..

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات ، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات ذات الطبيعة الرياضية ، التي تم حلها بواسطة أجهزة الكمبيوتر المصرية والسومرية والبابلية (القرنان السادس والعشرون قبل الميلاد) ، كان لها طبيعة محسوبة. ومع ذلك ، حتى ذلك الحين ، من وقت لآخر ، ظهرت مشاكل حيث تم تحديد القيمة المرغوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة ، مما يتطلب ، من وجهة نظرنا الحديثة ، صياغة معادلة أو نظام معادلات. في البداية ، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المشاكل. في وقت لاحق ، بدأت بدايات التمثيلات الجبرية في التكون. على سبيل المثال ، استطاعت الآلات الحاسبة البابلية حل مسائل تم اختزالها ، من وجهة نظر التصنيف الحديث ، إلى معادلات من الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل مشاكل النص ، والتي استخدمت فيما بعد كأساس لإبراز المكون الجبري ودراسته المستقلة.

تم إجراء هذه الدراسة بالفعل في حقبة أخرى ، أولاً من قبل علماء الرياضيات العرب (القرنين السادس والعاشر الميلادي) ، الذين حددوا الإجراءات المميزة التي تم من خلالها اختزال المعادلات إلى شكل قياسي ، واختزال المصطلحات المماثلة ، ونقل المصطلحات من جزء واحد من معادلة لأخرى مع علامة التغيير. ثم قام علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة ، نتيجة بحث طويل ، بإنشاء لغة الجبر الحديثة ، واستخدام الحروف ، وإدخال الرموز للعمليات الحسابية ، والأقواس ، إلخ. في مطلع القرن السادس عشر- القرن السابع عشر. الجبر كجزء محدد من الرياضيات ، والذي له موضوعه وطريقته ومجالات تطبيقه ، قد تم تشكيله بالفعل. تمثّل تطويرها الإضافي ، حتى وقتنا هذا ، في تحسين الأساليب ، وتوسيع نطاق التطبيقات ، وتوضيح المفاهيم وعلاقاتها بمفاهيم فروع الرياضيات الأخرى.

لذلك ، في ضوء أهمية واتساع المادة المرتبطة بمفهوم المعادلة ، ترتبط دراستها في المنهجية الحديثة للرياضيات بثلاثة مجالات رئيسية لحدوثها وعملها.

لحل أي معادلة من الدرجة الثانية ، عليك أن تعرف:

صيغة إيجاد المميز ؛

صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية ؛

· خوارزميات لحل المعادلات من هذا النوع.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ؛

حل المعادلات التربيعية الكاملة ؛

حل المعادلات التربيعية المعطاة ؛

البحث عن الأخطاء في المعادلات المحلولة وتصحيحها ؛

قم بفحص.

يتكون حل كل معادلة من جزأين رئيسيين:

تحويل هذه المعادلة إلى أبسطها ؛

حل المعادلات وفقًا للقواعد أو الصيغ أو الخوارزميات المعروفة.

يتم تعميم طرق نشاط الطلاب في حل المعادلات التربيعية بشكل تدريجي. يمكن تمييز المراحل التالية عند دراسة موضوع "المعادلات التربيعية":

المرحلة الأولى - "حل المعادلات التربيعية غير المكتملة".

المرحلة الثانية - "حل المعادلات التربيعية الكاملة".

المرحلة الثالثة - "حل المعادلات التربيعية المختصرة".

في المرحلة الأولى ، يتم النظر في المعادلات التربيعية غير المكتملة. منذ أن تعلم علماء الرياضيات في البداية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، لأنهم لم يضطروا ، كما يقولون ، إلى ابتكار أي شيء. هذه معادلات من الشكل: ax2 = 0 ، ax2 + c = 0 ، حيث c ≠ 0 ، ax2 + bx = 0 ، حيث b ≠ 0. ضع في اعتبارك حل العديد من هذه المعادلات:

1. إذا كان ax2 = 0. تم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) ابحث عن x2 ؛

2) ابحث عن x.

على سبيل المثال ، 5 × 2 = 0. بقسمة كلا طرفي المعادلة على 5 ، يتضح أن: x2 = 0 ، ومن ثم x = 0.

2. إذا كان ax2 + c = 0 ، c ≠ 0 يتم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) نقل الشروط إلى الجانب الأيمن ؛

2) أوجد جميع الأرقام التي تساوي مربعاتها الرقم c.

على سبيل المثال ، x2 - 5 = 0 ، هذه المعادلة تعادل المعادلة x2 = 5. لذلك ، تحتاج إلى إيجاد جميع الأرقام التي تكون مربعاتها مساوية للرقم 5..gif "width =" 16 "height =" 19 "> .. gif" width = "16" height = "19 src ="> وليس له جذور أخرى.

3. إذا كانت а2 + bх = 0 ، ب 0. يتم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) انقل العامل المشترك من الأقواس ؛

2) ابحث عن x1، x2.

على سبيل المثال ، x2 - 3x \ u003d 0. دعونا نعيد كتابة المعادلة x2 - 3x \ u003d 0 بالصيغة x (x - 3) \ u003d 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذور x1 \ u003d 0 ، x2 \ u003d 3. إنها ليس له جذور أخرى ، لأنه إذا استبدل أي رقم بخلاف الصفر و 3 بدلاً من x ، فعندئذٍ على الجانب الأيسر من المعادلة x (x - 3) \ u003d 0 تحصل على رقم لا يساوي الصفر.

لذلك ، توضح هذه الأمثلة كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة:

1) إذا كانت المعادلة على الشكل ax2 = 0 ، فإن لها جذر واحد x = 0 ؛

2) إذا كانت المعادلة على شكل ax2 + bx = 0 ، فسيتم استخدام طريقة التحليل: x (ax + b) = 0 ؛ لذلك إما x = 0 أو ax + b = 0..gif "width =" 16 "height =" 41 "> في حالة -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0 ، أي - = م ، حيث م> 0 ، فإن المعادلة س 2 = م لها جذرين

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif "width =" 29 "height =" 24 src = ">. gif" width = "29" height = "24 src =">، (في هذه الحالة ، يُسمح بالتدوين الأقصر =.

لذلك يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية غير المكتملة جذران ، جذر واحد ، بدون جذور.

في المرحلة الثانية ، يتم الانتقال إلى حل المعادلة التربيعية الكاملة. هذه معادلات من الشكل ax2 + bx + c = 0 ، حيث أ ، ب ، ج معطاة أرقام ، أ ≠ 0 ، س هي المجهول.

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية كاملة إلى النموذج ، من أجل تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية وإيجاد هذه الجذور. يتم النظر في الحالات التالية لحل المعادلات التربيعية الكاملة: د< 0, D = 0, D > 0.

1. إذا د< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

على سبيل المثال ، 2x2 + 4x + 7 = 0. الحل هنا أ = 2 ، ب = 4 ، ج = 7.

D \ u003d b2 - 4ac = 42-4 * 2 * 7 \ u003d 16-56 \ u003d - 40.

منذ د< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. إذا كانت D \ u003d 0 ، فإن المعادلة التربيعية ax2 + bx + c \ u003d 0 لها جذر واحد ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة.

على سبيل المثال ، 4x - 20x + 25 = 0. الحل: أ = 4 ، ب = - 20 ، ج = 25.

د \ u003d b2 - 4ac \ u003d (-20) 2-4 * 4 * 25 \ u003d 400-400 \ u003d 0.

بما أن D = 0 ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد. تم العثور على هذا الجذر باستخدام الصيغة ..gif "width =" 100 "height =" 45 ">. gif" width = "445" height = "45 src =">.

تم تجميع خوارزمية لحل معادلة النموذج ax2 + bx + c = 0.

1. احسب المميز D باستخدام الصيغة D = b2 - 4ac.

2. إذا د< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد يتم إيجاده بواسطة الصيغة

4..gif "العرض =" 101 "الارتفاع =" 45 ">.

هذه الخوارزمية عالمية ، وهي قابلة للتطبيق على كل من المعادلات التربيعية غير المكتملة والكاملة. ومع ذلك ، لا يتم عادةً حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بواسطة هذه الخوارزمية.

علماء الرياضيات أناس عمليون واقتصاديون ، لذا فهم يستخدمون الصيغة: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif "width =" 155 "height =" 53 ">. [4)

2..gif "width =" 96 "height =" 49 src = "> لها نفس علامة D..gif" width = "89" height = "49"> ثم المعادلة (3) لها جذران ؛

2) إذا كان للمعادلة جذران متطابقان ؛

3) إذا لم يكن للمعادلة جذور.

نقطة مهمة في دراسة المعادلات التربيعية هي النظر في نظرية فييتا ، التي تنص على وجود علاقة بين الجذور ومعاملات المعادلة التربيعية المختصرة.

نظرية فييتا. مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني.

بمعنى آخر ، إذا كانت x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0 ، إذن

تسمى هذه الصيغ بصيغ فييتا تكريما لعالم الرياضيات الفرنسي F. Vieta () ، الذي قدم نظامًا للرموز الجبرية ، طور أسس الجبر الأولي. كان من أوائل الذين بدأوا في تعيين الأرقام بالأحرف ، مما طور بشكل كبير نظرية المعادلات.

على سبيل المثال ، المعادلة أعلاه x2 - 7x +10 \ u003d 0 لها جذور 2 و 5. مجموع الجذور هو 7 ، والمنتج هو 10. يمكن ملاحظة أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ، مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر.

هناك أيضًا نظرية معاكسة لنظرية فييتا.

نظرية معكوسة لنظرية فييتا. إذا كانت الصيغ (5) صالحة للأرقام x1 ، x2 ، p ، q ، إذن x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0.

غالبًا ما تستخدم نظرية فييتا ونظريتها العكسية في حل المشكلات المختلفة.

فمثلا. لنكتب المعادلة التربيعية الآتية ، وجذورها هي العددين 1 و -3.

وفقًا لصيغ فييتا

- ص = س 1 + س 2 = - 2 ،

لذلك ، فإن المعادلة المرغوبة لها الشكل x2 + 2x - 3 = 0.

يرتبط تعقيد إتقان نظرية فييتا بعدة ظروف. بادئ ذي بدء ، من الضروري مراعاة الفرق بين النظريات المباشرة والعكسية. في نظرية فييتا المباشرة ، يتم إعطاء معادلة تربيعية وجذورها ؛ يوجد في المعكوس رقمان فقط ، وتظهر المعادلة التربيعية في ختام النظرية. غالبًا ما يرتكب الطلاب خطأ إثبات تفكيرهم بإشارة غير صحيحة إلى نظرية فيتا المباشرة أو المعكوسة.

على سبيل المثال ، عند العثور على جذور المعادلة التربيعية عن طريق التحديد ، تحتاج إلى الرجوع إلى نظرية فيتا المعكوسة ، وليس إلى النظرية المباشرة ، كما يفعل الطلاب غالبًا. لتوسيع نظريات فييتا لتشمل حالة المميز الصفري ، علينا أن نتفق على أن المعادلة التربيعية في هذه الحالة لها جذران متساويان. تتجلى ملاءمة مثل هذه الاتفاقية في تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل.

لا توجد نسخة HTML من العمل حتى الان.

وثائق مماثلة

تاريخ تطور الصيغ لجذور المعادلات التربيعية. المعادلات التربيعية في بابل القديمة. حل المعادلات التربيعية بواسطة Diophantus. المعادلات التربيعية في الهند والخوارزمية وأوروبا في القرنين الثالث عشر والسابع عشر. نظرية فييتا ، تدوين جبري حديث.

الاختبار ، تمت إضافة 11/27/2010

تاريخ المعادلات التربيعية: المعادلات في بابل القديمة والهند. صيغ لمعامل زوجي عند x. المعادلات التربيعية ذات الطبيعة الخاصة. نظرية فييتا لكثيرات الحدود من الدرجات العليا. دراسة المعادلات البيكودية. جوهر صيغة كوردانو.

الملخص ، تمت الإضافة في 05/09/2009

اشتقاق معادلة حل المعادلة التربيعية في تاريخ الرياضيات. التحليل المقارن لتقنيات الطرق المختلفة لحل المعادلات من الدرجة الثانية ، أمثلة على تطبيقها. نظرية موجزة لحل المعادلات التربيعية ، وتجميع كتاب مشكلة.

الملخص ، تمت إضافة 12/18/2012

أهمية الرياضيات في حياتنا. تاريخ الحساب. تطور أساليب الرياضيات الحسابية في الوقت الحاضر. استخدام الرياضيات في العلوم الأخرى ، دور النمذجة الرياضية. حالة تعليم الرياضيات في روسيا.

تمت إضافة المقال بتاريخ 01/05/2010

الرياضيات اليونانية. العصور الوسطى وعصر النهضة. بدايات الرياضيات الحديثة. الرياضيات الحديثة. الرياضيات لا تقوم على المنطق ، ولكن على الحدس السليم. مشاكل أسس الرياضيات فلسفية.

الملخص ، تمت الإضافة 09/06/2006

تاريخ تطور العلوم الرياضية في أوروبا في القرنين السادس والرابع عشر ، وممثليها وإنجازاتها. تطور الرياضيات في عصر النهضة. إنشاء حساب التفاضل والتكامل الحرفي ، نشاط فرانسوا فييتا. تحسينات في الحوسبة في أواخر القرن السادس عشر - أوائل القرن السادس عشر

عرض تقديمي ، تمت الإضافة 09/20/2015

مراجعة لتطور الرياضيات الأوروبية في القرنين السابع عشر والثامن عشر. التطور غير المتكافئ للعلوم الأوروبية. الهندسة التحليلية. إنشاء التحليل الرياضي. مدرسة ليبنيز العلمية. الخصائص العامة للعلم في القرن الثامن عشر. اتجاهات تطوير الرياضيات.

عرض تقديمي ، تمت الإضافة 09/20/2015

فترة ولادة الرياضيات (حتى القرنين السابع والخامس قبل الميلاد). زمن رياضيات الثوابت (القرنان السابع والخامس قبل الميلاد - القرن السابع عشر الميلادي). رياضيات المتغيرات (القرنين السابع عشر والتاسع عشر). الفترة الحديثة لتطور الرياضيات. ملامح رياضيات الحاسوب.

عرض تقديمي ، تمت الإضافة 09/20/2015

إنجازات علماء الرياضيات اليونانيين القدماء الذين عاشوا بين القرن السادس قبل الميلاد. والقرن الخامس الميلادي. ملامح الفترة الأولية لتطور الرياضيات. دور مدرسة فيثاغورس في تطوير الرياضيات: أفلاطون ، إيودوكسوس ، زينو ، ديموقريطس ، إقليدس ، أرخميدس ، أبولونيوس.

الاختبار ، تمت إضافة 09/17/2010

تاريخ تشكيل الرياضيات كعلم. فترة الرياضيات الابتدائية. فترة إنشاء رياضيات المتغيرات. إنشاء الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. تطور الرياضيات في روسيا في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر.

عمل بحثي

حول الموضوع

طرق حل المعادلات التربيعية

إجراء:
المجموعة 8 فئة "G"

مدير العمل:
بنكوفسكايا ماريا ميخائيلوفنا

أهداف وغايات المشروع.

1. أظهر أن الرياضيات ، مثل أي علم آخر ، لديها ما يكفي من الألغاز التي لم يتم حلها.
2. التأكيد على أن علماء الرياضيات يتميزون بالتفكير غير القياسي. وأحيانًا تكون براعة وحدس عالم رياضيات جيد أمرًا مثيرًا للإعجاب!
3. أظهر أن محاولة حل المعادلات التربيعية ساهمت في تطوير مفاهيم وأفكار جديدة في الرياضيات.
4. تعلم كيفية العمل مع مصادر مختلفة من المعلومات.
5. مواصلة العمل البحثي في الرياضيات

مراحل البحث

1. تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

2. تعريف المعادلة التربيعية وأنواعها.

3. حل المعادلات التربيعية باستخدام صيغة التمييز.

4. فرانسوا فيت ونظريته.

5. خواص المعاملات لإيجاد جذور المعادلة التربيعية بسرعة.

6. التوجه العملي.

من خلال المعادلات والنظريات

لقد قمت بحل الكثير من المشاكل.

(تشوسر ، شاعر إنجليزي ، العصور الوسطى.)

المسرح. تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية ، حتى في العصور القديمة ، ناتجة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق أرض وأعمال ترابية ذات طبيعة عسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك والرياضيات نفسها.

كان البابليون قادرين على حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القواعد الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون لإيجاد القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق صياغة معادلات من درجات مختلفة ، لكنها لا تحتوي على عرض منهجي للجبر.

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحات الفلكية "Aryabhattiam" ، التي جمعت في عام 499. عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

تعطي أطروحة الخورزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. المؤلف لديه 6 أنواع من المعادلات. بالنسبة للخوارزمي ، الذي لم يكن يعرف الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل معادلة هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في الوقت نفسه ، لا يتم أخذ المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية في الاعتبار بشكل متعمد ؛ عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة ، لا يأخذ الخوارزمي ، مثل جميع العلماء قبل القرن السابع عشر ، في الاعتبار الحل الصفري.

إن أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم عرض تصنيف المعادلات التربيعية والصيغ لحلها بشكل منهجي.

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم باكتماله ووضوح عرضه. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأساليب الجبرية الجديدة لحل المشكلات ، وكان أول من اقترب من إدخال الأعداد السالبة في أوروبا. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. مرت العديد من المشكلات من كتاب العداد إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر والثامن عشر جزئيًا.

قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية مختزلة إلى صيغة واحدة أساسية مع كل التوليفات الممكنة لعلامات المعاملين b ، c تمت صياغتها في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون Tartaglia و Cardano و Bombelli من بين الأوائل في القرن السادس عشر الذين أخذوا في الاعتبار ليس فقط الجذور الإيجابية ، ولكن أيضًا الجذور السلبية. فقط في القرن السابع عشر ، وبفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، اتخذت طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا.

يتحول:

تم العثور على مشاكل في المعادلات التربيعية بالفعل في 499.

في الهند القديمة ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة - أولمبيادز .

© 2015-2019 الموقع
جميع الحقوق تنتمي إلى مؤلفيها. لا يدعي هذا الموقع حقوق التأليف ، ولكنه يوفر الاستخدام المجاني.
تاريخ إنشاء الصفحة: 2016-04-11

مدرسة Kopyevskaya الثانوية الريفية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرأس: باتريكيفا غالينا أناتوليفنا ،

مدرس رياضيات

s.Kopyevo ، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثالث عشر والسابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

استنتاج

المؤلفات

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يجادل Diophantus على النحو التالي: ينتج عن حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فلن يكون ناتجها 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهم أكثر من نصف المجموع ، أي. 10 + سوالآخر أصغر أي 10's. الفرق بينهما 2x .

ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2-4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة هو 12 ، آخر 8 . المحلول س = -2بالنسبة إلى Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المرغوبة باعتباره المجهول ، فسنصل إلى حل المعادلة

ص (20 - ص) = 96 ،

ص 2 - 20 ص + 96 = 0. (2)

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في المسالك الفلكية "Aryabhattam" ، التي جمعت في 499 من قبل عالم الرياضيات والفلك الهندي Aryabhatta. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

آه 2+ ب س = ج ، أ> 0. (1)

في المعادلة (1) ، المعاملات ، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند القديمة ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على مجد آخر في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

المهمة 13.

"قطيع مرح من القرود واثنا عشر في الكروم ...

بعد أن أكل السلطة ، استمتع. بدأوا في القفز ، معلقين ...

الجزء الثامن منهم في مربع كم عدد القردة هناك ،

يلهون في المرج. أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمسألة 13 هي:

( x /8) 2 + 12 = x

يكتب باسكارا تحت ستار:

× 2 - 64 × = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، يضيف إلى كلا الجانبين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64 × + 32 2 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

س - 32 = ± 16 ،

× 1 = 16 ، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

تعطي أطروحة الخورزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج = ب X.

2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي الفأس 2 = ق.

3) "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج = ب X.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي آه 2+ bx = ق.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + ج \ u003d فأس 2.

الخوارزمي ، مثله مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الحسبان الحل الصفري ، ربما لأنه لا يهم في مشاكل عملية محددة. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يحدد الخورزمي قواعد الحل ، ثم البراهين الهندسية ، باستخدام أمثلة عددية معينة.

المهمة 14."المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر " (بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يتحول حل المؤلف إلى شيء كالتالي: اقسم عدد الجذور إلى النصف ، وستحصل على 5 ، واضرب 5 في نفسه ، واطرح 21 من الناتج ، ويتبقى 4. خذ جذر 4 ، وستحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، أنت الحصول على 3 ، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

تعتبر رسالة الخورزمي أول كتاب وصل إلينا ، حيث تم تحديد تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - السابع عشر قرون

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم ، الذي يعكس تأثير الرياضيات ، في كل من بلاد الإسلام واليونان القديمة ، بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم تمرير العديد من المهام من "كتاب العداد" إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وجزئيا الثامن عشر.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل أساسي واحد:

× 2+ bx = مع

لجميع المجموعات الممكنة لعلامات المعاملات ب , معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. ضع في اعتبارك ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية مظهرًا حديثًا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها ، التي تحمل اسم فيتا ، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: ب + دمضروبا أ - أ 2 ، يساوي BD، ومن بعد أيساوي فيومتساو د ».

لفهم فييتا ، يجب على المرء أن يتذكر ذلك لكن، مثل أي حرف علة ، يعني بالنسبة له المجهول (لدينا X)، حروف العلة في، د- معاملات المجهول. بلغة الجبر الحديثة ، فإن صياغة فييتا أعلاه تعني: إذا

(أ + ب ) س - س 2 = أب ,

× 2 - (أ + ب ) x + أ ب = 0,

س 1 = أ ، س 2 = ب .

للتعبير عن العلاقة بين جذور المعادلات ومعاملاتها بالصيغ العامة المكتوبة باستخدام الرموز ، أسس فيت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك ، فإن رمزية فييتا لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأرقام السالبة ، وبالتالي ، عند حل المعادلات ، لم يأخذ في الاعتبار سوى الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير المنطقية والمتجاوزة والمتباينات. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية. ومن هنا جاءت المعادلة: (10 + x) (10 - x) \ u003d 96 أو: 100 - x2 \ u003d 96 x2 - 4 \ u003d 0 (1) الحل x \ u003d -2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية يعرف الأرقام الموجبة فقط.

Src = "https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt = "(! LANG: المعادلات التربيعية في الهند. ax2 + bx = c، a> 0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

المعادلات التربيعية في الخورزمي. 1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax2 + c \ u003d bx. 2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي ax2 = c. 3) "الجذور تساوي العدد" أي ah \ u003d c. 4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax2 + c = bx. 5) "المربعات والجذور تساوي عددًا" ، أي ax2 + bx = c. 6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + c \ u003d ax2.

المعادلات التربيعية في أوروبا في القرنين الثالث عشر والسابع عشر. x2 + bx = c ، مع كل التوليفات الممكنة لعلامات المعاملين b ، c تمت صياغتها في أوروبا فقط في 1544 بواسطة M. Stiefel.

في نظرية فييتا. "إذا كان B + D مضروبًا في A - A 2 يساوي BD ، فإن A يساوي B ويساوي D." بلغة الجبر الحديثة ، تعني صيغة فييتا أعلاه: إذا (أ + ب) س - س 2 = أب ، أي س 2 - (أ + ب) س + أب = 0 ، إذن س 1 = أ ، س 2 = ب.

طرق حل المعادلات التربيعية. 1. الطريقة: تحلل الجانب الأيسر من المعادلة إلى عوامل. حل المعادلة x2 + 10 x - 24 = 0. حلل الجانب الأيسر إلى عوامل: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2). لذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: (س + 12) (س - 2) = 0 بما أن المنتج يساوي صفرًا ، فإن أحد عواملها على الأقل هو صفر. لذلك ، يختفي الجانب الأيسر من المعادلة عند x = 2 وأيضًا عند x = - 12. وهذا يعني أن الرقم 2 و - 12 هما جذور المعادلة x2 + 10 x - 24 = 0.

2. الطريقة: طريقة اختيار مربع كامل. لنحل المعادلة x2 + 6 x - 7 = 0. اختر مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر. للقيام بذلك ، نكتب التعبير x2 + 6 x بالشكل التالي: x2 + 6 x \ u003d x2 + 2 x 3. في التعبير الناتج ، يكون المصطلح الأول هو مربع الرقم x ، والثاني هو حاصل ضرب مضاعف لـ x في 3. لذلك ، للحصول على مربع كامل ، عليك إضافة 32 ، لأن x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3) 2. نقوم الآن بتحويل الجانب الأيسر من المعادلة x2 + 6 x - 7 \ u003d 0 ، ونضيف إليها ونطرح 32. لدينا: x2 + 6 x - 7 \ u003d x2 + 2 x 3 + 32-7 \ u003d (x + 3) 2-9-7 \ u003d (x + 3) 2 - 16. وهكذا ، يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي: (x + 3) 2-16 \ u003d 0 ، (x + 3) 2 \ u003d 16 . لذلك ، x + 3 - 4 \ u003d 0 ، x1 = 1 ، أو x + 3 = -4 ، x2 = -7.

3. الطريقة: حل المعادلات التربيعية بالصيغة. اضرب طرفي المعادلة ax2 + bx + c = 0 ، a ≠ 0 في 4 a وعلى التوالي لدينا: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0، ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - ب 2 + 4 أك = 0 ، (2 فأس + ب) 2 = ب 2-4 أك ، 2 فأس + ب = ± √ ب 2-4 أك ، 2 فأس = - ب ± √ ب 2-4 أك و

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا. كما تعلم ، فإن المعادلة التربيعية المعطاة لها الشكل x2 + px + c \ u003d 0. (1) تتوافق جذورها مع نظرية Vieta ، والتي بالنسبة لـ a \ u003d 1 لها الشكل x 1 x 2 \ u003d q ، x 1 + × 2 \ u003d - ص أ) × 2-3 × + 2 = 0 ؛ x 1 = 2 و x 2 = 1 ، حيث أن q = 2> 0 و p = - 3 0 و p = 8> 0. ب) x 2 + 4 x - 5 = 0 ؛ × 1 \ u003d - 5 و × 2 \ u003d 1 ، منذ ف \ u003d - 5 0 ؛ × 2-8 × - 9 = 0 ؛ × 1 \ u003d 9 و × 2 \ u003d - 1 ، منذ ف \ u003d - 9

5. الطريقة: حل المعادلات باستخدام طريقة "النقل". ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية ax2 + bx + c \ u003d 0 ، حيث a ≠ 0. بضرب أجزائه في a ، نحصل على المعادلة a 2 x2 + abx + ac \ u003d 0. دع الفأس \ u003d y ، من أين س \ u003d ذ / أ ؛ ثم نصل إلى المعادلة y2 + by + ac = 0 ، وهو ما يعادل المعطى المعطى. نجد جذريها y1 و y2 باستخدام نظرية فييتا. أخيرًا ، نحصل على x1 = y1 / a و x1 = y2 / a.

مثال. لنحل المعادلة 2 × 2 - 11 × + 15 = 0. الحل. "ارمي" المعامل 2 إلى الحد الحر ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة y2 - 11 y + 30 = 0. وفقًا لنظرية Vieta ، y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 الإجابة : 2 ، 5 ؛ 3. × 1 = 2 ، 5 × 2 = 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية. A. دع المعادلة التربيعية ax2 + bx + c \ u003d 0 تُعطى ، حيث a ≠ 0. 1) إذا ، a + b + c \ u003d 0 (أي مجموع المعاملات هو صفر) ، ثم x1 \ u003d 1 ، x2 \ u003d ج / أ. دليل - إثبات. قسّم طرفي المعادلة على ≠ 0 ، نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + b / a x + c / a \ u003d 0. وفقًا لنظرية Vieta x 1 + x 2 \ u003d - b / a، x 1 × 2 \ u003d 1 ج / أ. حسب الشرط أ - ب + ج = 0 ، من أين ب = أ + ج. وبالتالي ، x 1 + x 2 \ u003d - a + b / a \ u003d -1 - c / a ، x 1 x 2 \ u003d - 1 (- c / a) ، أي x1 \ u003d -1 و x2 \ u003d c / أ ، والتي كان من المقرر إثباتها.

إذا كان المعامل الثاني b \ u003d 2 k هو رقم زوجي ، فإن صيغة الجذر C. المعادلة أعلاه x2 + px + q \ u003d 0 تتطابق مع المعادلة العامة ، حيث a \ u003d 1 ، b \ u003d p و ج \ u003d ف. لذلك ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المختصرة ، صيغة الجذور

7. الطريقة: الحل الرسومي لمعادلة تربيعية. إذا قمنا في المعادلة x2 + px + q = 0 بنقل المصطلحين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن ، فسنحصل على x2 = - px - q. لنقم ببناء الرسوم البيانية للاعتماد y \ u003d x2 و y \ u003d - px - q.

مثال 1) دعونا نحل المعادلة بيانياً x2 - 3 x - 4 = 0 (الشكل 2). المحلول. نكتب المعادلة بالصيغة x2 \ u003d 3 x + 4. نقوم ببناء القطع المكافئ y \ u003d x2 والخط المستقيم y \ u003d 3 x + 4. يمكن إنشاء خط مستقيم y \ u003d 3 x + 4 باستخدام اثنين النقاط M (0 ؛ 4) و N (3 ؛ 13). الجواب: س 1 = - 1 ؛ س 2 = 4

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية بالبوصلة والمسطرة. إيجاد جذور بوصلة مربعة ومسطرة (الشكل 5). المعادلات بعد ذلك ، من خلال نظرية القاطع ، لدينا OB OD = OA OC ، حيث OC = OB OD / OA = x1 x2 / 1 = c / a. ax2 + bx + c = 0 مع

Src = "https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt = "(! LANG: 1) نصف قطر دائرة أكبر من تنسيق المركز (AS> SK أو R> a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني. z 2 + pz + q = 0. تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 11): بافتراض OS = p ، ED = q ، OE = a (الكل في سم) ، من تشابه المثلثات SAN و CDF نحصل على النسبة

أمثلة. 1) بالنسبة للمعادلة z 2-9 z + 8 = 0 ، يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 8 ، 0 و z 2 = 1 ، 0 (الشكل 12). 2) باستخدام الرسم البياني ، نحل المعادلة 2 z 2-9 z + 2 = 0. اقسم معاملات هذه المعادلة على 2 ، نحصل على المعادلة z 2-4 ، 5 z + 1 = 0. يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 4 و z 2 = 0، 5. 3) بالنسبة للمعادلة z 2-25 z + 66 \ u003d 0 ، المعاملتان p و q خارج النطاق ، نقوم بإجراء الاستبدال z \ u003d 5 t ، نحن احصل على المعادلة t 2-5 t + 2 ، 64 \ u003d 0 ، والتي نحلها بواسطة المخططات البيانية ونحصل على t 1 = 0.6 و t 2 = 4.4 ، حيث z 1 = 5 t 1 = 3.0 و z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. الطريقة: طريقة هندسية لحل المعادلات التربيعية. أمثلة. 1) لنحل المعادلة x2 + 10 x = 39. في الأصل ، تمت صياغة هذه المسألة على النحو التالي: "الجذر التربيعي والعشرة يساوي 39" (الشكل 15). نحصل على الضلع المطلوب x من المربع الأصلي

y2 + 6 y - 16 = 0. الحل موضح في الشكل. 16 ، حيث y2 + 6 y = 16 ، أو y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. الحل. التعابير y2 + 6 y + 9 و 16 + 9 هي هندسيًا نفس المربع ، والمعادلة الأصلية y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 هي نفس المعادلة. من حيث نحصل على y + 3 = ± 5 ، أو y1 = 2 ، y2 = - 8 (الشكل 16).