واحد على خمسة عشر في النظام العشري. عشري إلى عادي التحويل

في هذه المقالة ، سوف نحلل كيف تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية، وكذلك النظر في العملية العكسية - تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية. سنقوم هنا بالتعبير عن القواعد لعكس الكسور وإعطاء حلول مفصلة لأمثلة نموذجية.

التنقل في الصفحة.

تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية

دعونا نشير إلى التسلسل الذي سنتعامل معه تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية.

أولاً ، سننظر في كيفية تمثيل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ككسور عشرية. هذا لأن الكسور العشرية هي أساسًا شكل مضغوط من الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ...

بعد ذلك ، سوف نذهب إلى أبعد من ذلك ونبين كيف يمكن كتابة أي كسر عادي (ليس فقط مع القواسم 10 ، 100 ، ...) ككسر عشري. مع هذا التحويل للكسور العادية ، يتم الحصول على كل من الكسور العشرية المحدودة والكسور العشرية الدورية اللانهائية.

الآن عن كل شيء بالترتيب.

تحويل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية

تحتاج بعض الكسور المنتظمة إلى "إعداد أولي" قبل تحويلها إلى كسور عشرية. ينطبق هذا على الكسور العادية ، حيث يكون عدد الأرقام في البسط أقل من عدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، يجب تحضير الكسر الشائع 2/100 أولاً للتحويل إلى كسر عشري ، ولكن لا يلزم تحضير الكسر 9/10.

يتكون "الإعداد الأولي" للكسور العادية الصحيحة للتحويل إلى كسور عشرية من إضافة العديد من الأصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح العدد الإجمالي للأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، سيبدو الكسر بعد إضافة الأصفار.

بعد تحضير الكسر العادي الصحيح ، يمكنك البدء في تحويله إلى كسر عشري.

هيا نعطي قاعدة لتحويل كسر مشترك سليم مقامه 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسر عشري. يتكون من ثلاث خطوات:

• اكتب 0 ؛
• ضع علامة عشرية بعدها ؛
• اكتب الرقم من البسط (مع الأصفار المضافة ، إذا أضفناها).

ضع في اعتبارك تطبيق هذه القاعدة في حل الأمثلة.

مثال.

حوّل الكسر الصحيح 37/100 إلى عدد عشري.

المحلول.

يحتوي المقام على الرقم 100 ، الذي يحتوي على صفرين في مدخله. يحتوي البسط على الرقم 37 ، وهناك رقمان في سجله ، لذلك لا يحتاج هذا الكسر إلى التحضير للتحويل إلى كسر عشري.

نكتب الآن 0 ، ونضع علامة عشرية ، ونكتب الرقم 37 من البسط ، بينما نحصل على الكسر العشري 0.37.

إجابه:

0,37 .

لتعزيز مهارات ترجمة الكسور العادية العادية مع البسط 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية ، سنحلل حل مثال آخر.

مثال.

اكتب الكسر الصحيح 107 / 10،000،000 في صورة عدد عشري.

المحلول.

عدد الأرقام في البسط هو 3 ، وعدد الأصفار في المقام هو 7 ، لذلك يجب تحضير هذا الكسر العادي للتحويل إلى رقم عشري. نحتاج إلى إضافة 7-3 = 4 أصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح إجمالي عدد الأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. نحن نحصل .

يبقى لتشكيل الكسر العشري المطلوب. للقيام بذلك ، أولاً ، نكتب 0 ، ثانيًا ، نضع فاصلة ، ثالثًا ، نكتب الرقم من البسط مع الأصفار 0000107 ، ونتيجة لذلك لدينا كسر عشري 0.0000107.

إجابه:

0,0000107 .

لا تحتاج الكسور الشائعة غير الصحيحة إلى تحضير عند التحويل إلى كسور عشرية. يجب الالتزام بما يلي قواعد تحويل الكسور الشائعة غير الصحيحة ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية:

• اكتب الرقم من البسط ؛
• نفصل بفاصلة عشرية عددًا من الأرقام على اليمين حيث يوجد أصفار في مقام الكسر الأصلي.

دعنا نحلل تطبيق هذه القاعدة عند حل مثال.

مثال.

تحويل الكسر المشترك غير الفعلي 56888038009/100000 إلى عدد عشري.

المحلول.

أولاً ، نكتب الرقم من البسط 56888038009 ، وثانيًا ، نفصل 5 أرقام على اليمين بعلامة عشرية ، حيث يوجد 5 أصفار في مقام الكسر الأصلي. نتيجة لذلك ، لدينا كسر عشري 568 880.38009.

إجابه:

568 880,38009 .

لتحويل رقم كسري إلى كسر عشري ، يكون مقام الجزء الكسري هو الرقم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... ، يمكنك تحويل الرقم الكسري إلى كسر عادي غير فعلي ، وبعد ذلك يكون الكسر الناتج يمكن تحويلها إلى كسر عشري. ولكن يمكنك أيضًا استخدام ما يلي قاعدة تحويل الأعداد الكسرية ذات مقام الجزء الكسري 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسور عشرية:

• إذا لزم الأمر ، فإننا نجري "الإعداد الأولي" للجزء الكسري من العدد الكسري الأصلي عن طريق إضافة العدد المطلوب من الأصفار على اليسار في البسط ؛
• اكتب الجزء الصحيح من العدد الكسري الأصلي ؛
• ضع علامة عشرية
• نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة.

دعنا نفكر في مثال ، عند الحل سنقوم بتنفيذ جميع الخطوات اللازمة لتمثيل رقم كسري ككسر عشري.

مثال.

تحويل عدد كسري إلى عدد عشري.

المحلول.

يوجد 4 أصفار في مقام الجزء الكسري ، والرقم 17 في البسط ، ويتكون من رقمين ، لذلك نحتاج إلى إضافة صفرين إلى اليسار في البسط بحيث يصبح عدد الأحرف هناك مساويًا لـ عدد الأصفار في المقام. بعمل هذا ، سيكون البسط هو 0017.

نكتب الآن الجزء الصحيح من الرقم الأصلي ، أي الرقم 23 ، ونضع علامة عشرية ، وبعد ذلك نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة ، أي 0017 ، بينما نحصل على الرقم العشري المطلوب كسر 23.0017.

دعنا نكتب الحل الكامل باختصار: .

مما لا شك فيه أنه كان من الممكن أولاً تمثيل الرقم المختلط ككسر غير فعلي ، ثم تحويله إلى كسر عشري. مع هذا النهج ، يبدو الحل كما يلي:

إجابه:

23,0017 .

تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية دورية محدودة ولانهائية

ليس فقط الكسور العادية ذات القواسم 10 ، 100 ، ... يمكن تحويلها إلى كسر عشري ، ولكن الكسور العادية ذات القواسم الأخرى. الآن سنكتشف كيف يتم ذلك.

في بعض الحالات ، يتم اختزال الكسر العادي الأصلي بسهولة إلى أحد القواسم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... (انظر اختزال الكسر العادي إلى مقام جديد) ، وبعد ذلك ليس من الصعب تقديم الناتج ككسر عشري. على سبيل المثال ، من الواضح أن الكسر 2/5 يمكن اختزاله إلى كسر مقامه 10 ، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في 2 ، وهو ما سيعطي كسرًا 4/10 ، والذي وفقًا لـ القواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة ، يمكن تحويلها بسهولة إلى كسر عشري 0 ، أربعة.

في حالات أخرى ، عليك استخدام طريقة مختلفة لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، وهو ما سننظر فيه الآن.

لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يتم تقسيم بسط الكسر على المقام ، ويتم استبدال البسط أولاً بكسر عشري متساوٍ مع أي عدد من الأصفار بعد الفاصلة العشرية (تحدثنا عن هذا في القسم يساوي و الكسور العشرية غير المتساوية). في هذه الحالة ، يتم إجراء القسمة بنفس طريقة القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، ويتم وضع الفاصلة العشرية في حاصل القسمة عندما ينتهي تقسيم الجزء الصحيح من المقسوم. كل هذا سيتضح من حلول الأمثلة الواردة أدناه.

مثال.

حوّل الكسر المشترك 621/4 إلى كسر عشري.

المحلول.

نمثل الرقم في البسط 621 في صورة كسر عشري بإضافة فاصلة عشرية وبضعة أصفار بعدها. بادئ ذي بدء ، سنضيف رقمين 0 ، لاحقًا ، إذا لزم الأمر ، يمكننا دائمًا إضافة المزيد من الأصفار. إذن ، لدينا 621.00.

الآن دعونا نقسم الرقم 621000 على 4 على عمود. لا تختلف الخطوات الثلاث الأولى عن القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، وبعد ذلك نصل إلى الصورة التالية:

إذن ، وصلنا إلى النقطة العشرية في المقسوم ، والباقي يختلف عن الصفر. في هذه الحالة ، نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ، ونواصل القسمة على عمود ، متجاهلين الفواصل:

اكتملت هذه القسمة ، ونتيجة لذلك حصلنا على الكسر العشري 155.25 ، والذي يتوافق مع الكسر العادي الأصلي.

إجابه:

155,25 .

لدمج المادة ، ضع في اعتبارك حل مثال آخر.

مثال.

حوّل الكسر المشترك 21/800 إلى عدد عشري.

المحلول.

لتحويل هذا الكسر المشترك إلى عدد عشري ، دعنا نقسم الكسر العشري 21000 ... على 800 على عمود. بعد الخطوة الأولى ، يجب أن نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ، ثم نواصل القسمة:

أخيرًا ، حصلنا على الباقي 0 ، وبذلك اكتمل تحويل الكسر العادي 21/400 إلى كسر عشري ، ووصلنا إلى الكسر العشري 0.02625.

إجابه:

0,02625 .

قد يحدث أنه عند قسمة البسط على مقام كسر عادي ، لا نحصل أبدًا على باقي 0. في هذه الحالات ، يمكن أن يستمر التقسيم طالما رغب في ذلك. ومع ذلك ، بدءًا من خطوة معينة ، تبدأ الباقي في التكرار بشكل دوري ، بينما تتكرر الأرقام الموجودة في حاصل القسمة أيضًا. هذا يعني أن الكسر المشترك الأصلي يُترجم إلى عدد عشري دوري لا نهائي. دعنا نظهر هذا بمثال.

مثال.

اكتب الكسر المشترك 19/44 في صورة عدد عشري.

المحلول.

لتحويل كسر عادي إلى رقم عشري ، نقوم بالقسمة على عمود:

من الواضح بالفعل أنه عند القسمة ، بدأ الباقيان 8 و 36 في التكرار ، بينما يتكرر الرقمان 1 و 8 في حاصل القسمة. وهكذا ، يتم ترجمة الكسر العادي الأصلي 19/44 إلى كسر عشري دوري 0.43181818 ... = 0.43 (18).

إجابه:

0,43(18) .

في ختام هذه الفقرة ، سنكتشف الكسور العادية التي يمكن تحويلها إلى كسور عشرية نهائية ، وأيها يمكن تحويلها إلى كسور دورية فقط.

دعونا نحصل على كسر عادي غير قابل للاختزال أمامنا (إذا كان الكسر قابلاً للاختزال ، فسنقوم أولاً باختزال الكسر) ، ونحتاج إلى معرفة الكسر العشري الذي يمكن تحويله إليه - محدود أو دوري.

من الواضح أنه إذا كان من الممكن اختزال كسر عادي إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ، فيمكن تحويل الكسر الناتج بسهولة إلى كسر عشري نهائي وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة. لكن بالنسبة إلى القواسم 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. لم يتم إعطاء جميع الكسور العادية. يمكن اختزال الكسور فقط إلى مثل هذه القواسم ، والتي تكون مقاماتها واحدة على الأقل من الأعداد 10 ، 100 ، ... وما هي الأرقام التي يمكن أن تكون قواسم على 10 ، 100 ، ...؟ ستسمح لنا الأرقام 10 ، 100 ، ... بالإجابة على هذا السؤال ، وهي كالتالي: 10 = 2 5 ، 100 = 2 2 5 5 ، 1000 = 2 2 2 5 5 5 ، .... ويترتب على ذلك أن القواسم على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. يمكن أن يكون هناك فقط أرقام تحتوي تحليلاتها إلى عوامل أولية على الأرقام 2 و (أو) 5 فقط.

يمكننا الآن التوصل إلى استنتاج عام حول تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية:

• إذا كان الرقمان 2 و (أو) 5 موجودين فقط في تحلل المقام إلى عوامل أولية ، فيمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري نهائي ؛
• إذا كان هناك ، بالإضافة إلى اثنين وخمسة ، أعداد أولية أخرى في توسيع المقام ، فسيتم ترجمة هذا الكسر إلى كسر دوري عشري لا نهائي.

مثال.

بدون تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، أخبرني أي من الكسور 47/20 ، 7/12 ، 21/56 ، 31/17 يمكن تحويلها إلى كسر عشري نهائي ، والتي لا يمكن تحويلها إلا إلى كسر دوري.

المحلول.

التحليل الأولي لمقام الكسر 47/20 له الصيغة 20 = 2 2 5. لا يوجد سوى اثنين وخمسة في هذا التوسع ، لذلك يمكن اختزال هذا الكسر إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... (في هذا المثال ، إلى المقام 100) ، لذلك يمكن تحويله إلى رقم عشري نهائي جزء.

التحليل الأولي لمقام الكسر 7/12 له الصيغة 12 = 2 2 3. نظرًا لأنه يحتوي على عامل بسيط 3 يختلف عن 2 و 5 ، لا يمكن تمثيل هذا الكسر ككسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر عشري دوري.

جزء 21/56 - قابل للتقلص ، بعد التخفيض يأخذ الشكل 3/8. يحتوي تحلل المقام إلى عوامل أولية على ثلاثة عوامل تساوي 2 ، لذلك يمكن ترجمة الكسر العادي 3/8 ، وبالتالي الكسر الذي يساوي 21/56 ، إلى كسر عشري نهائي.

أخيرًا ، توسيع مقام الكسر 31/17 هو نفسه 17 ، لذلك لا يمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر دوري لا نهائي.

إجابه:

يمكن تحويل 47/20 و 21/56 إلى رقم عشري نهائي ، بينما لا يمكن تحويل 7/12 و 31/17 إلا إلى رقم عشري دوري.

الكسور الشائعة لا تتحول إلى كسور عشرية لا نهائية غير متكررة

تثير المعلومات الواردة في الفقرة السابقة السؤال التالي: "هل يمكن الحصول على كسر غير دوري لا نهائي عند قسمة بسط الكسر على المقام"؟

الجواب: لا. عند ترجمة كسر عادي ، يمكن الحصول على كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري لانهائي. دعونا نشرح سبب ذلك.

يتضح من نظرية القسمة مع الباقي أن الباقي دائمًا أقل من المقسوم عليه ، أي إذا قسمنا بعض الأعداد الصحيحة على عدد صحيح q ، فإن واحدًا فقط من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، ... ، q يمكن أن يكون −1 هو الباقي. ويترتب على ذلك أنه بعد اكتمال قسمة الجزء الصحيح من بسط الكسر العادي على المقام q ، بعد ما لا يزيد عن q من الخطوات ، ستظهر إحدى الحالتين التاليتين:

• إما أن نحصل على الباقي 0 ، فهذا سينهي القسمة ، ونحصل على الكسر العشري الأخير ؛
• أو سنحصل على الباقي الذي ظهر بالفعل من قبل ، وبعد ذلك ستبدأ الباقي في التكرار كما في المثال السابق (لأنه عند قسمة الأرقام المتساوية على q ، يتم الحصول على الباقي المتساوي ، والذي يتبع نظرية القسمة المذكورة سابقًا) ، لذلك سيتم الحصول على كسر عشري دوري لانهائي.

لا يمكن أن تكون هناك خيارات أخرى ، لذلك ، عند تحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، لا يمكن الحصول على كسر عشري لا نهائي غير دوري.

ويترتب على المنطق المعطى في هذه الفقرة أن طول فترة الكسر العشري دائمًا ما يكون أقل من قيمة مقام الكسر العادي المقابل.

حول الكسور العشرية إلى كسور مشتركة

لنكتشف الآن كيفية تحويل كسر عشري إلى كسر عادي. لنبدأ بتحويل الكسور العشرية الأخيرة إلى كسور مشتركة. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك طريقة عكس الكسور العشرية الدورية اللانهائية. في الختام ، دعنا نقول عن استحالة تحويل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية إلى كسور عادية.

تحويل الكسور العشرية النهائية إلى كسور مشتركة

الحصول على كسر عادي مكتوب في صورة كسر عشري نهائي بسيط للغاية. قاعدة تحويل كسر عشري نهائي إلى كسر عادييتكون من ثلاث خطوات:

• أولاً ، اكتب الكسر العشري المعطى في البسط ، بعد تجاهل الفاصلة العشرية وجميع الأصفار الموجودة على اليسار ، إن وجدت ؛
• ثانيًا ، اكتب واحدًا في المقام وأضف إليه عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام بعد الفاصلة العشرية في الكسر العشري الأصلي ؛
• ثالثًا ، إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الكسر الناتج.

دعونا ننظر في الأمثلة.

مثال.

حوّل العدد العشري 3.025 إلى كسر مشترك.

المحلول.

إذا أزلنا العلامة العشرية من الكسر العشري الأصلي ، فسنحصل على الرقم 3025. ليس لديه أصفار على اليسار يمكننا تجاهلها. إذن ، في بسط الكسر المطلوب نكتب 3025.

نكتب الرقم 1 في المقام ونضيف 3 أصفار إلى يمينه ، نظرًا لوجود 3 أرقام في الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية.

إذن ، حصلنا على كسر عادي 3025/1000. يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار 25 ، نحصل على .

إجابه:

.

مثال.

حوّل عشري 0.0017 إلى كسر عادي.

المحلول.

بدون علامة عشرية ، يبدو الكسر العشري الأصلي مثل 00017 ، وبغض النظر عن الأصفار على اليسار ، نحصل على الرقم 17 ، وهو بسط الكسر العادي المطلوب.

نكتب في المقام وحدة بها أربعة أصفار ، حيث يوجد في الكسر العشري الأصلي 4 أرقام بعد العلامة العشرية.

نتيجة لذلك ، لدينا كسر عادي 17/10000. هذا الكسر غير قابل للاختزال ، وتم الانتهاء من تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي.

إجابه:

.

عندما يكون الجزء الصحيح من الكسر العشري النهائي الأصلي مختلفًا عن الصفر ، فيمكن تحويله على الفور إلى رقم مختلط ، متجاوزًا الكسر العادي. هيا نعطي قاعدة لتحويل عدد عشري نهائي إلى عدد كسري:

• يجب كتابة الرقم قبل العلامة العشرية كجزء صحيح من الرقم المختلط المطلوب ؛
• في بسط الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم الذي تم الحصول عليه من الجزء الكسري من الكسر العشري الأصلي بعد التخلص من جميع الأصفار الموجودة على اليسار فيه ؛
• في مقام الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم 1 ، والذي ، على اليمين ، أضف عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام في إدخال الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية ؛
• إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الجزء الكسري للعدد المختلط الناتج.

ضع في اعتبارك مثالاً لتحويل كسر عشري إلى رقم كسري.

مثال.

عبر عن العلامة العشرية 152.06005 كرقم كسري

المحلول.

رقم 152 إلى الفاصلة العشرية هو الجزء الصحيح من الرقم المختلط المطلوب.

بعد أن تكون العلامة العشرية 06005 ، بعد تجاهل الصفر على اليسار ، نحصل على الرقم 6005 - هذا هو بسط الجزء الكسري.

وفي مقام الجزء الكسري ، نكتب 1 ونضيف 5 أصفار ، نظرًا لوجود 6 أرقام بعد الفاصلة العشرية ، أي سيكون المقام 100000.

لذلك حصلنا على عدد كسري. يمكن تصغير الجزء الكسري من هذا الرقم بمقدار 5 ، وبعد ذلك لدينا.

هذا يكمل ترجمة الكسر العشري الأخير 152.06005 إلى عدد كسري.

إجابه:

3.75 (0) إلى الرقم العشري النهائي المتساوي 3.75. وكيف يتم تحويل الكسور العشرية النهائية إلى كسور عادية ، درسناها في الفقرة السابقة: . وبالتالي ، 3.75 (0) = 15/4.

إجابه:

3,75(0)=15/4 .

ننتقل إلى تحويل الكسور العشرية الدورية اللانهائية مع فترة غير 0 إلى كسور عادية. تستند هذه الترجمة إلى حقيقة أنه يمكن اعتبار الجزء الدوري من الكسر العشري الدوري مجموع شروط التدرج الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. فمثلا، 0,(73)=0,73+0,0073+0,000073+… أو 4.07 (254) = 4.07 + (0,00254+0,00000254+0,00000000254+…) .

تذكر أن مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي مع الحد الأول ب 8/9 (0.0018 + 0.000018 + 0.00000018 + ...) = 43/100+18/9900 .

بعد إضافة الكسور ذات المقامات المختلفة وتقليل الكسر الناتج ، نصل إلى الكسر العادي 19/44. هذا يكمل تحويل الكسر الدوري إلى كسر عادي.

إجابه:

0,43(18)=19/44 .

لا يتم تحويل الكسور العشرية اللانهائية غير المتكررة إلى كسور مشتركة

أعلاه ، اكتشفنا أن أي كسر عادي يُترجم إما إلى كسر عشري نهائي أو إلى كسر عشري دوري. ويترتب على ذلك أنه لا يمكن تحويل أي كسر عشري غير دوري لا نهائي إلى كسر عادي ، حيث لا يمكن تحويل الكسر العادي الناتج مرة أخرى إلى هذا الكسر غير الدوري اللانهائي.

فهرس.

• رياضيات: دراسات. لمدة 5 خلايا. تعليم عام المؤسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - الطبعة 21 ، ممحاة. - م: Mnemosyne، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.
• رياضيات.الصف السادس: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [N. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة الثانية والعشرون ، القس. - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

الرقم العشري يتكون من جزأين مفصول بينهما بفاصلات. الجزء الأول عبارة عن وحدة عدد صحيح ، والجزء الثاني عبارة عن عشرات (إذا كان الرقم بعد الفاصلة العشرية واحدًا) ، ومئات (رقمان بعد الفاصلة العشرية ، مثل صفرين في المائة) ، وألفًا ، إلخ. لنلقِ نظرة على أمثلة الكسور العشرية: 0 ، 2 ؛ 7 ، 54 ؛ 235.448 ؛ 5.1 ؛ 6.32 ؛ 0.5 هذه كلها كسور عشرية. كيف تقوم بتحويل كسر عشري إلى كسر مشترك؟

مثال واحد

لدينا كسر ، على سبيل المثال ، 0.5. كما ذكر أعلاه ، يتكون من جزأين. الرقم الأول ، 0 ، يوضح عدد الوحدات الصحيحة في الكسر. في حالتنا ، هم ليسوا كذلك. الرقم الثاني يظهر العشرات. يقرأ الكسر حتى صفر فاصلة خمسة أعشار. عدد عشري تحويل إلى كسرالآن لن يكون الأمر صعبًا ، نكتب 5/10. إذا رأيت أن الأرقام لها قاسم مشترك ، فيمكنك تقليل الكسر. لدينا هذا الرقم 5 ، بقسمة كلا الجزأين من الكسر على 5 ، نحصل على - 1/2.

المثال الثاني

لنأخذ كسرًا أكثر تعقيدًا - 2.25. يُقرأ على هذا النحو - اثنان كامل وخمسة وعشرون جزءًا من مائة. انتبه - المئات ، حيث يوجد رقمان بعد الفاصلة العشرية. يمكنك الآن التحويل إلى كسر مشترك. نكتب - 2 25/100. الجزء الصحيح هو 2 ، والجزء الكسري 25/100. كما في المثال الأول ، يمكن تقصير هذا الجزء. المقسوم المشترك على 25 و 100 هو 25. لاحظ أننا نختار دائمًا القاسم المشترك الأكبر. بقسمة كلا الجزأين من الكسر على GCD ، حصلنا على 1/4. 2 ، 25 هي 2 1/4.

المثال الثالث

ولدمج المادة ، لنأخذ الكسر العشري 4.112 - أربعة أجزاء كاملة ومائة واثنا عشر ألفًا. أعتقد أن لماذا جزء من الألف واضح. نكتب الآن 4 112/1000. وفقًا للخوارزمية ، نجد GCD للأرقام 112 و 1000. في حالتنا ، هذا هو الرقم 6. نحصل على 4 14/125.

استنتاج

1. نقوم بتقسيم الكسر إلى عدد صحيح وأجزاء كسرية.
2. ننظر إلى عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية. إذا كان واحد عشرات ، اثنان هو مئات ، ثلاثة هو جزء من الألف ، إلخ.
3. نكتب الكسر بالشكل المعتاد.
4. نختزل بسط الكسر ومقامه.
5. اكتب الكسر الناتج.
6. نجري فحصًا ، ونقسم الجزء العلوي من الكسر على الجزء السفلي. إذا كان هناك جزء صحيح ، أضفه إلى الكسر العشري الناتج. اتضح أن النسخة الأصلية - رائعة ، لذلك فعلت كل شيء بشكل صحيح.

باستخدام الأمثلة ، أوضحت كيف يمكنك تحويل كسر عشري إلى كسر عادي. كما ترى ، من السهل جدًا القيام بذلك.

مؤلف على يوتيوب: أناستاسيا إيفانوفا

التنزيل قم بتحويل الكسر العادي إلى عدد عشري والعكس صحيح. الكسور الدورية. دروس فيديو حول مواضيع أخرى ، بالإضافة إلى التحضير لامتحان الدولة الموحد وامتحان الدولة ، أنت [...]

التعليقات على هذا الفيديو:

أحدث التعليقات على الموقع

الغش في roblox (المرور عبر الجدران) - شاهد / تنزيل
⇒ "هل وعدك شخص ما أنه يمكنك تنزيل الغش هنا؟ :)"
تمت الإضافة - Comedy Club - Perfect Woman - Watch / Download
⇒ "أنا أحب دويتو ديميس كاريبيديس وأندريه سكوروخود) هؤلاء الرجال يعرفون كيف يضحكون ، أحب بشكل خاص لهجة كاريبيديس) لقد سئمت بالفعل من باشكا فوليا وخارلاموف ، ولكن هنا يمكنك رؤية النكات الجديدة غير المبتذلة. ومارينا كرافيتس تحترق أيضًا. بشكل عام ، أعتقد أن الوقت قد حان لتغيير شكل العرض قليلاً ، لتقديم بعض العناصر الجديدة. لسنوات عديدة بالفعل متعبة قليلاً. في هذا الصدد ، أحب حقًا Comedy Woman ، كل شيء ديناميكية للغاية وحديثة معهم ".
تمت الإضافة - لندن وداعًا: رجال الأعمال الهاربون يريدون العودة إلى روسيا - روسيا 24 - شاهد / تنزيل
⇒ "نعم ، صدقوا مثل هذه الأخبار أكثر. إن القلة الحاكمة لدينا الذين يعيشون في القلاع الإنجليزية يموتون من الرغبة في العودة إلى روسيا ، هل يؤمن أي شخص في بلدنا حقًا بمثل هذه الأخبار الدعائية. نحن نعود إلى الاتحاد السوفيتي. كل يوم أفهم أكثر و أكثر لماذا يتحول التلفزيون إلى زومبي ، فنحن نُملي كل يوم ما يجب أن نصدقه ، بغض النظر عما إذا كان ذلك صحيحًا أم لا ، الهراء الذي يتم فرضه على السكان ، من أجل إظهار مدى جودته هنا ، لكن لديهم يعيش الجحيم هناك ".
تمت الإضافة - Druzhko Show # 23 - شاهد / تنزيل
⇒ "تم إصدار إصدار ممتاز. تقريبًا كما هو الحال دائمًا. لا يزال ، لديه أسلوبه الخاص وجاذبيته ، وهو أمر جذاب للغاية."
تمت الإضافة - السياسيون يهنئون بوتين - عرض / تنزيل
⇒ "أحسنت ، ماذا يمكنني أن أقول ، الجميع شخص محترم ، كيف لا يمكنني أن أهنئ هنا. أنضم إلى التهاني بكل سرور".
تمت الإضافة -

عشري إلى عادي التحويل

يمكن تمثيل كل رقم عشري في صورة كسر عادي. فقط اكتب بالمقام للقيام بذلك.

القاعدة الأساسية لتحويل الكسر العشري إلى كسر عادي هي قراءة العلامة العشرية ، ولكن عادةً ما يتم كتابتها. فمثلا:

2.3 - نقطتان من ثلاث عشرات

نظرًا لاكتمال الكسر ، يمكن تحويله إلى رقم كسري أو كسر غير منتظم:

تحويل كسر صحيح إلى كسر عشري

يمكن تحويل الكسر غير التقليدي إلى كسر عشري ، كما هو الحال بالنسبة للتدوين العشري العادي ، يجب أن يبدأ المقام مع واحد أو أكثر من الأصفار ، مثل 10 و 100 و 1000 وما إلى ذلك.

كيفية تحويل إجمالي الحصة إلى عدد عشري

إذا قمنا بتوسيع هذا المقام بالعوامل الأولية ، فسنحصل على نفس عدد المضاعفات وخمسة:

100 = 10 10 = 2 5 2.5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

لا توجد عوامل أولية أخرى ، لذلك لا تحتوي هذه الامتدادات ، لذلك:

لا يمكن تمثيل الكسر العادي إلا على أنه رقم عشري إذا كان مقامه لا يحتوي على عوامل أخرى غير 2 و 5.

دعنا نشارك:

عندما يمتد المقام إلى العوامل الرئيسية ، تكون النتيجة حاصل ضرب 2 2:

إذا قمت بضربها في اثنين على أربعة ، يساوي الرقم خمسة إلى اثنين ، ستحصل على أحد القواسم المطلوبة - 100.

للحصول على ممر يساوي هذا ، يجب ضرب العداد في حاصل ضرب خمسين:

لنلق نظرة على فصيل آخر:

عندما يمتد المقام إلى العوامل الرئيسية ، تكون النتيجة ناتجًا عن 2.7 يحتوي على الرقم 7:

سيكون العامل 7 موجودًا في المقام لضربه أو ضرب الأعداد الصحيحة ، بحيث لا يحدث أبدًا منتج يحتوي على اثنين وخمسة فقط.

لذلك ، لا يمكن اختزال هذا الكسر إلى أي من القواسم الضرورية: 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. وهذا يعني أنه لا يمكن تمثيله كرقم عشري.

لا يمكن تمثيل الكسر العادي غير المتوافق كرقم عشري إذا كان مقامه يحتوي على عامل رئيسي واحد على الأقل من واحد إلى اثنين.

لاحظ أن القاعدة تتحدث فقط عن الكسور غير القابلة للعكس ، حيث يمكن تمثيل بعض الكسور ككسور عشرية باختصار.

لنلقِ نظرة على جزأين:

كل ما تبقى الآن هو ضرب كلا كسري العبارة في 5 للحصول على 10 في المقام ، ويمكنك تحويل الكسر إلى عدد عشري:

كيفية تحويل عدد عشري إلى كسر مشترك

هنا ، يبدو أن ترجمة الكسر العشري إلى جزء مشترك هو موضوع أولي ، لكن العديد من الطلاب لا يفهمونه!

لذلك ، سوف نلقي اليوم نظرة فاحصة على عدة خوارزميات في وقت واحد ، والتي من خلالها ستتعامل مع أي كسور في ثانية واحدة فقط.

اسمحوا لي أن أذكرك أن هناك شكلين على الأقل لكتابة نفس الكسر: عادي وعشري.

الكسور العشرية هي جميع أنواع الإنشاءات بالشكل 0.75 ؛ 1.33 ؛ وحتى -7.41. وإليك أمثلة على الكسور العادية التي تعبر عن نفس الأرقام:

الآن دعنا نفهم: كيف ننتقل من النظام العشري إلى العادي؟

والأهم: كيف نفعل ذلك في أسرع وقت ممكن؟

الخوارزمية الأساسية

في الواقع ، هناك خوارزميتان على الأقل. وسننظر الآن في كليهما. لنبدأ بالأول - الأبسط والأكثر قابلية للفهم.

لتحويل عدد عشري إلى كسر مشترك ، عليك اتباع ثلاث خطوات:

1. أعد كتابة الكسر الأصلي ككسر جديد: سيبقى الكسر العشري الأصلي في البسط ، ويجب وضع الكسر في المقام. في هذه الحالة ، يتم وضع علامة الرقم الأصلي أيضًا في البسط.

   فمثلا:

2. نضرب بسط الكسر الناتج ومقامه في 10 حتى تختفي الفاصلة في البسط. دعني أذكرك: مع كل عملية ضرب في 10 ، يتم إزاحة الفاصلة إلى اليمين بمقدار منزلة عشرية واحدة. بالطبع ، نظرًا لأن المقام مضروب أيضًا ، فسيظهر هناك بدلاً من الرقم 1 ، 10 ، 100 ، إلخ.
3. أخيرًا ، نقوم بتقليل الكسر الناتج وفقًا للمخطط القياسي: نقسم البسط والمقام على تلك الأرقام التي تكون من مضاعفاتها. على سبيل المثال ، في المثال الأول 0.75 = 75/100 ، بينما كل من 75 و 100 يقبلان القسمة على 25.

   لذلك ، نحصل على 0.75 دولار = \ frac (75) (100) = \ frac (3 \ cdot 25) (4 \ cdot 25) = \ frac (3) (4) $ - هذه هي الإجابة الكاملة. :)

ملاحظة مهمة حول الأرقام السالبة. إذا كانت هناك علامة ناقص في المثال الأصلي قبل الكسر العشري ، فيجب أن يكون هناك أيضًا علامة ناقص قبل الكسر العادي عند الإخراج.

تحويل كسر عادي إلى كسر عشري

وفيما يلي بعض الأمثلة أكثر:

أود أن أهتم بشكل خاص بالمثال الأخير. كما ترى ، يوجد في الكسر 0.0025 العديد من الأصفار بعد العلامة العشرية. لهذا السبب ، عليك أن تضرب البسط والمقام في 10 بقدر أربع مرات ، فهل من الممكن تبسيط الخوارزمية بطريقة ما في هذه الحالة؟

نعم ، يمكنك بالتأكيد. والآن سننظر في خوارزمية بديلة - يصعب فهمها قليلاً ، ولكن بعد القليل من الممارسة تعمل أسرع بكثير من الخوارزمية القياسية.

طريقة أسرع

تحتوي هذه الخوارزمية أيضًا على 3 خطوات.

للحصول على كسر مشترك من عدد عشري ، عليك القيام بما يلي:

1. احسب عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية. على سبيل المثال ، يحتوي الكسر 1.75 على رقمين من هذا القبيل ، و 0.0025 به أربعة. دعنا نشير إلى هذه الكمية بالحرف $ n $.
2. أعد كتابة الرقم الأصلي في صورة كسر بالصيغة $ \ frac (a) (((10) ^ (n))) $ ، حيث $ a $ هي جميع أرقام الكسر الأصلي (بدون "بدء" الأصفار على اليسار ، إن وجد) ، و $ n $ هو نفس عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية التي عدناها في الخطوة الأولى.

   بمعنى آخر ، من الضروري قسمة أرقام الكسر الأصلي على واحد باستخدام $ n $ أصفار.

3. إذا أمكن ، قم بتقليل الكسر الناتج.

هذا كل شئ! للوهلة الأولى ، يكون هذا المخطط أكثر تعقيدًا من المخطط السابق. لكن في الواقع ، إنها أبسط وأسرع. أحكم لنفسك:

كما ترى ، في الكسر 0.64 يوجد رقمان بعد الفاصلة العشرية - 6 و 4.

إذن ، $ n = 2 $. إذا أزلنا الفاصلة والأصفار على اليسار (في هذه الحالة ، صفر واحد فقط) ، فسنحصل على الرقم 64. انتقل إلى الخطوة الثانية: $ ((10) ^ (n)) = ((10) ^ ( 2)) = 100 دولار ، لذا فإن المقام يساوي مائة بالضبط. حسنًا ، يبقى فقط تقليل البسط والمقام. :)

مثال آخر:

هنا كل شيء أكثر تعقيدًا.

أولاً ، يوجد بالفعل 3 أرقام بعد الفاصلة العشرية ، أي $ n = 3 $ ، لذا عليك القسمة على $ ((10) ^ (n)) = ((10) ^ (3)) = 1000 $. ثانيًا ، إذا أزلنا الفاصلة من التدوين العشري ، فسنحصل على هذا: 0.004 → 0004. تذكر أنه يجب إزالة الأصفار الموجودة على اليسار ، لذلك في الواقع لدينا الرقم 4. ثم كل شيء بسيط: قسمة ، تقليل و احصل على الجواب.

أخيرًا ، المثال الأخير:

خصوصية هذا الكسر هو وجود جزء صحيح.

لذلك ، عند الخرج نحصل على كسر غير فعلي 47/25. يمكنك ، بالطبع ، محاولة قسمة 47 على 25 مع الباقي ، وبالتالي عزل الجزء بالكامل مرة أخرى.

لكن لماذا تعقد حياتك إذا كان من الممكن القيام بها حتى في مرحلة التحول؟ حسنًا ، دعنا نفهم ذلك.

ماذا تفعل مع الجزء كله

في الواقع ، كل شيء بسيط للغاية: إذا أردنا الحصول على الكسر الصحيح ، فنحن بحاجة إلى إزالة الجزء الصحيح منه لوقت التحويل ، وبعد ذلك ، عندما نحصل على النتيجة ، نضيفها مرة أخرى إلى اليمين في المقدمة من الشريط الكسري.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك نفس الرقم: 1.88. دعنا نسجل بواحد (الجزء الكامل) وننظر إلى الكسر 0.88.

يتم تحويله بسهولة:

ثم نتذكر الوحدة "المفقودة" ونضيفها في المقدمة:

\ [\ frac (22) (25) \ to 1 \ frac (22) (25) \]

هذا كل شئ! تبين أن الإجابة هي نفسها بعد اختيار الجزء بأكمله في المرة الأخيرة. بعض الأمثلة الأخرى:

\ [\ start (align) & 2،15 \ to 0،15 = \ frac (15) (100) = \ frac (3) (20) \ to 2 \ frac (3) (20) ؛ \\ & 13،8 \ to 0،8 = \ frac (8) (10) = \ frac (4) (5) \ to 13 \ frac (4) (5).

هذا هو جمال الرياضيات: بغض النظر عن الاتجاه الذي تذهب إليه ، إذا تم إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح ، فستظل الإجابة هي نفسها دائمًا. :)

في الختام ، أود التفكير في تقنية أخرى تساعد الكثيرين.

التحولات عن طريق الأذن

دعنا نفكر في ماهية العلامة العشرية.

بتعبير أدق ، كيف نقرأها. على سبيل المثال ، الرقم 0.64 - نقرأه على أنه "صفر عدد صحيح ، 64 جزء من مائة" ، أليس كذلك؟ حسنًا ، أو مجرد "64 جزءًا من مائة". الكلمة الأساسية هنا هي "المئات" ، أي رقم 100.

ماذا عن 0.004؟ هذا هو "نقطة الصفر ، 4 جزء من الألف" أو ببساطة "أربعة أجزاء من الألف".

بطريقة أو بأخرى ، الكلمة الأساسية هي "جزء من الألف" ، أي 1000.

حسنًا ، ما الخطأ في ذلك؟ وحقيقة أن هذه الأرقام هي التي "تظهر" في النهاية في القواسم في المرحلة الثانية من الخوارزمية. أولئك. 0.004 هو "أربعة آلاف" أو "4 مقسومًا على 1000":

حاول تدريب نفسك - الأمر بسيط للغاية. الشيء الرئيسي هو قراءة الكسر الأصلي بشكل صحيح. على سبيل المثال ، 2.5 هو "عددان صحيحان ، 5 أعشار" ، لذلك

وبالتالي فإن حوالي 1.125 هي "1 كامل ، 125 جزءًا من الألف"

في المثال الأخير ، بالطبع ، سيعترض شخص ما على أنه ليس من الواضح لكل طالب أن 1000 قابل للقسمة على 125.

لكن عليك هنا أن تتذكر أن 1000 = 103 ، و 10 = 2 ∙ 5 ، إذن

\ [\ start (align) & 1000 = 10 \ cdot 10 \ cdot 10 = 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 5 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 8 \ cdot 125 \ end (محاذاة) \]

وبالتالي ، فإن أي قوة من عشرة تتحلل فقط إلى عاملين 2 و 5 - فهذه العوامل هي التي يجب البحث عنها في البسط ، بحيث يتم تقليل كل شيء في النهاية.

انتهى هذا الدرس.

دعنا ننتقل إلى عملية عكسية أكثر تعقيدًا - انظر "الانتقال من كسر عادي إلى كسر عشري".

الكسر هو رقم يتكون من كسر واحد أو أكثر من الوحدة. هناك ثلاثة أنواع من الكسور في الرياضيات: مشتركة ، ومختلطة ، وعشرية.

• 
  الكسور المشتركة

يتم كتابة الكسر العادي كنسبة يعكس فيها البسط عدد أجزاء الرقم المأخوذة ، ويوضح المقام عدد الأجزاء المقسمة إلى الوحدة. إذا كان البسط أقل من المقام ، فسيكون لدينا كسر مناسب ، على سبيل المثال: ½، 3/5، 8/9.

إذا كان البسط يساوي المقام أو أكبر منه ، فإننا نتعامل مع كسر غير فعلي. على سبيل المثال: 5/5 ، 9/4 ، 5/2 قسمة البسط يمكن أن ينتج عنها عدد محدد. على سبيل المثال ، 40/8 \ u003d 5. لذلك ، يمكن كتابة أي عدد صحيح ككسر عادي غير لائق أو سلسلة من هذه الكسور. ضع في اعتبارك كتابة نفس الرقم كسلسلة مختلفة.

• كسور مختلطة

بشكل عام ، يمكن تمثيل الكسر المختلط بالصيغة:

وبالتالي ، يتم كتابة الكسر المختلط في صورة عدد صحيح وكسر مناسب عادي ، ويُفهم مثل هذا السجل على أنه مجموع الكل والجزء الكسري.

• الكسور العشرية

الكسر العشري هو نوع خاص من الكسور حيث يمكن تمثيل المقام كقوة من 10. هناك أعداد عشرية لا نهائية ومحدودة. عند كتابة هذا النوع من الكسر ، تتم الإشارة إلى الجزء الصحيح أولاً ، ثم يتم إصلاح الجزء الكسري من خلال الفاصل (نقطة أو فاصلة).

يتم دائمًا تحديد سجل الجزء الكسري من خلال أبعاده. يبدو الإدخال العشري كما يلي:

قواعد الترجمة بين أنواع مختلفة من الكسور

• تحويل كسر مختلط إلى كسر مشترك

لا يمكن تحويل الكسر المختلط إلا إلى كسر غير فعلي. للترجمة ، من الضروري إحضار الجزء بأكمله إلى نفس المقام مثل الجزء الكسري. بشكل عام ، سيبدو كما يلي:
ضع في اعتبارك استخدام هذه القاعدة على أمثلة محددة:

• تحويل كسر عادي إلى كسر مختلط

يمكن تحويل الكسر الشائع غير الصحيح إلى كسر مختلط عن طريق القسمة البسيطة ، مما ينتج عنه جزء صحيح وبقية (جزء كسري).

على سبيل المثال ، لنترجم الكسر 439/31 إلى كسر مختلط:
​​

• ترجمة كسر عادي

في بعض الحالات ، يكون تحويل الكسر إلى رقم عشري أمرًا بسيطًا للغاية. في هذه الحالة ، يتم تطبيق الخاصية الأساسية للكسر ، حيث يتم ضرب البسط والمقام في نفس الرقم ، لإحضار المقسوم عليه إلى أس 10.

فمثلا:

في بعض الحالات ، قد تحتاج إلى إيجاد حاصل القسمة على الزاوية أو باستخدام الآلة الحاسبة. ولا يمكن اختزال بعض الكسور إلى كسر عشري نهائي. على سبيل المثال ، الكسر 1/3 لن يعطي النتيجة النهائية عند القسمة.

بالفعل في المدرسة الابتدائية ، يواجه الطلاب الكسور. وبعد ذلك تظهر في كل موضوع. من المستحيل نسيان الإجراءات بهذه الأرقام. لذلك ، تحتاج إلى معرفة جميع المعلومات حول الكسور العادية والعشرية. هذه المفاهيم بسيطة ، الشيء الرئيسي هو فهم كل شيء بالترتيب.

لماذا نحتاج الكسور؟

يتكون العالم من حولنا من كائنات كاملة. لذلك ، ليست هناك حاجة للأسهم. لكن الحياة اليومية تدفع الناس باستمرار للعمل مع أجزاء من الأشياء والأشياء.

على سبيل المثال ، تتكون الشوكولاتة من عدة شرائح. ضع في اعتبارك الموقف الذي يتكون فيه البلاط من اثني عشر مستطيلاً. إذا قسمته إلى قسمين ، تحصل على 6 أجزاء. سيتم تقسيمها جيدًا إلى ثلاثة. لكن الخمسة لن يكونوا قادرين على إعطاء عدد كامل من شرائح الشوكولاتة.

بالمناسبة ، هذه الشرائح هي بالفعل كسور. ويؤدي تقسيمهم الإضافي إلى ظهور أعداد أكثر تعقيدًا.

ما هو "الكسر"؟

هذا رقم يتكون من أجزاء من واحد. ظاهريًا ، يبدو وكأنه رقمان مفصول بينهما أفقيًا أو شرطة مائلة. هذه الميزة تسمى كسور. الرقم المكتوب في الأعلى (على اليسار) يسمى البسط. واحد في الأسفل (على اليمين) هو المقام.

في الواقع ، تبين أن الشريط الكسري هو علامة قسمة. أي أن البسط يمكن أن يسمى مقسومًا ، والمقام يمكن أن يسمى مقسومًا عليه.

ما هي الكسور؟

في الرياضيات ، هناك نوعان فقط منهم: الكسور العادية والعشرية. يتعرف تلاميذ المدارس على الصفوف الأوائل في الصفوف الابتدائية ، ويطلقون عليهم ببساطة "الكسور". الثاني يتعلم في الصف الخامس. هذا عندما تظهر هذه الأسماء.

الكسور الشائعة هي كل تلك المكتوبة كرقمين مفصولين بشريط. على سبيل المثال ، 4/7. العشري هو الرقم الذي يحتوي فيه الجزء الكسري على تدوين موضعي ويتم فصله عن العدد الصحيح بفاصلة. على سبيل المثال ، 4.7. يجب أن يكون الطلاب واضحين في أن المثالين المذكورين هما رقمان مختلفان تمامًا.

يمكن كتابة كل كسر بسيط في صورة عدد عشري. هذه العبارة صحيحة دائمًا في الاتجاه المعاكس أيضًا. هناك قواعد تسمح لك بكتابة كسر عشري على هيئة كسر عادي.

ما هي الأنواع الفرعية التي تمتلكها هذه الأنواع من الكسور؟

من الأفضل البدء بترتيب زمني ، حيث يتم دراستها. الكسور المشتركة تأتي أولاً. من بينها ، يمكن تمييز 5 أنواع فرعية.

صحيح. البسط دائمًا أقل من المقام.

خاطئ - ظلم - يظلم. بسطه أكبر من أو يساوي المقام.

قابل للاختزال / غير قابل للاختزال. يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. هناك شيء آخر مهم ، وهو ما إذا كان البسط والمقام لهما عوامل مشتركة. إذا كان هناك ، فمن المفترض أن يقسموا كلا الجزأين من الكسر ، أي لتقليله.

مختلط. يتم تعيين عدد صحيح إلى الجزء الكسري الصحيح (غير صحيح) المعتاد. وهي دائمًا على اليسار.

مركب. يتكون من كسرين مقسومين على بعضهما البعض. أي أنه يحتوي على ثلاث سمات كسرية في وقت واحد.

تحتوي الكسور العشرية على نوعين فرعيين فقط:

أخيرًا ، أي الجزء الذي يكون فيه الجزء الكسري محدودًا (له نهاية) ؛

لانهائي - رقم لا تنتهي أرقامه بعد الفاصلة العشرية (يمكن كتابتها إلى ما لا نهاية).

كيفية تحويل عشري إلى عادي؟

إذا كان هذا رقمًا محدودًا ، فسيتم تطبيق ارتباط قائم على القاعدة - كما أسمع ، لذلك أكتب. أي أنك تحتاج إلى قراءتها بشكل صحيح وكتابتها ، ولكن بدون فاصلة ، ولكن بخط كسور.

كتلميح حول المقام المطلوب ، تذكر أنه دائمًا واحد وبضعة أصفار. يجب كتابة الأخير بقدر الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من الرقم المعني.

كيف يتم تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية إذا كان الجزء كله مفقودًا ، أي يساوي صفرًا؟ على سبيل المثال ، 0.9 أو 0.05. بعد تطبيق القاعدة المحددة ، اتضح أنك بحاجة إلى كتابة صفر أعداد صحيحة. لكن لم يتم الإشارة إليه. يبقى لكتابة الأجزاء الكسرية فقط. بالنسبة للرقم الأول ، سيكون المقام 10 ، وللثاني - 100. أي أن الأمثلة المشار إليها سيكون لها أرقام كإجابات: 9/10 ، 5/100. علاوة على ذلك ، فقد تبين أن الأخير يمكن تقليله بمقدار 5. لذلك ، يجب كتابة النتيجة 1/20.

كيف تصنع كسرًا عاديًا من عدد عشري إذا كان الجزء الصحيح مختلفًا عن الصفر؟ على سبيل المثال ، 5.23 أو 13.00108. كلا المثالين يقرأان الجزء الصحيح ويكتبان قيمته. في الحالة الأولى ، هذا هو 5 ، في الحالة الثانية ، 13. ثم عليك الانتقال إلى الجزء الكسري. معهم من الضروري إجراء نفس العملية. الرقم الأول 23/100 ، والثاني 108/100000. يجب تخفيض القيمة الثانية مرة أخرى. الإجابة هي كسور مختلطة: 5 23/100 و 13 27/25000.

كيفية تحويل عدد عشري لا نهائي إلى كسر مشترك؟

إذا كانت غير دورية ، فلا يمكن تنفيذ مثل هذه العملية. ترجع هذه الحقيقة إلى حقيقة أن كل كسر عشري يتم تحويله دائمًا إلى نهائي أو دوري.

الشيء الوحيد المسموح به مع مثل هذا الكسر هو تقريبه. ولكن بعد ذلك ستكون العلامة العشرية مساوية تقريبًا لذلك اللانهائي. يمكن بالفعل أن تتحول إلى واحدة عادية. لكن العملية العكسية: التحويل إلى عشري - لن تعطي القيمة الأولية أبدًا. أي أن الكسور اللانهائية غير الدورية لا تُترجم إلى كسور عادية. يجب تذكر هذا.

كيف تكتب كسر دوري لانهائي في شكل عادي؟

في هذه الأرقام ، يظهر رقم واحد أو أكثر دائمًا بعد الفاصلة العشرية ، والتي تتكرر. يطلق عليهم فترات. على سبيل المثال ، 0.3 (3). هنا "3" في تلك الفترة. يتم تصنيفها على أنها عقلانية ، حيث يمكن تحويلها إلى كسور عادية.

يعرف أولئك الذين واجهوا كسورًا دورية أنها يمكن أن تكون نقية أو مختلطة. في الحالة الأولى ، تبدأ الفترة على الفور من الفاصلة. في الجزء الثاني ، يبدأ الجزء الكسري بأي أرقام ، ثم يبدأ التكرار.

القاعدة التي يجب أن تكتب بها عددًا عشريًا لا نهائيًا في شكل كسر عادي ستكون مختلفة لهذين النوعين من الأرقام. من السهل جدًا كتابة كسور دورية نقية ككسور عادية. كما هو الحال مع الأخيرة ، يجب تحويلها: اكتب الفترة في البسط ، وسيكون الرقم 9 هو المقام ، مع تكرار عدد المرات التي توجد فيها أرقام في الفترة.

على سبيل المثال ، 0 ، (5). لا يحتوي الرقم على جزء صحيح ، لذلك عليك المتابعة فورًا إلى الجزء الكسري. اكتب 5 في البسط واكتب 9 في المقام ، أي أن الإجابة ستكون الكسر 5/9.

قاعدة حول كيفية كتابة كسر عشري مشترك يكون كسرًا مختلطًا.

انظر إلى طول الفترة. 9 سيكون له المقام.

اكتب المقام: أول تسعة ، ثم أصفار.

لتحديد البسط ، عليك كتابة الفرق بين عددين. سيتم تقليل جميع الأرقام بعد الفاصلة العشرية جنبًا إلى جنب مع الفترة. قابل للطرح - بدون فترة.

على سبيل المثال ، 0.5 (8) - اكتب الكسر العشري الدوري ككسر مشترك. الجزء الكسري قبل الفترة هو رقم واحد. لذا فإن الصفر سيكون واحدًا. يوجد أيضًا رقم واحد فقط في الفترة - 8. أي تسعة واحد فقط. أي أنك تحتاج إلى كتابة 90 في المقام.

لتحديد البسط من 58 ، عليك أن تطرح 5. اتضح أن 53. على سبيل المثال ، سيكون عليك كتابة 53/90 كإجابة.

كيف يتم تحويل الكسور الشائعة إلى كسور عشرية؟

أبسط خيار هو رقم مقامه العدد 10 و 100 وهكذا. ثم يتم تجاهل المقام ببساطة ، ويتم وضع فاصلة بين الأجزاء الكسرية والأجزاء الصحيحة.

هناك حالات يتحول فيها المقام بسهولة إلى 10 ، 100 ، إلخ. على سبيل المثال ، الأرقام 5 ، 20 ، 25. يكفي ضربهم في 2 و 5 و 4 على التوالي. فقط من الضروري الضرب ليس فقط في المقام ، ولكن أيضًا في البسط بنفس الرقم.

في جميع الحالات الأخرى ، ستكون هناك قاعدة بسيطة مفيدة: اقسم البسط على المقام. في هذه الحالة ، قد تحصل على إجابتين: كسر عشري نهائي أو دوري.

العمليات مع الكسور المشتركة

جمع وطرح

يتعرف الطلاب عليهم في وقت أبكر من غيرهم. وفي البداية يكون للكسرين نفس المقامات ، ثم يختلفان. يمكن اختزال القواعد العامة لمثل هذه الخطة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام.

اكتب عوامل إضافية لجميع الكسور العادية.

اضرب البسط والمقام في العوامل المحددة لهما.

اجمع (اطرح) بسط الكسور واترك المقام المشترك دون تغيير.

إذا كان بسط المطروح أقل من المطروح ، فأنت بحاجة إلى معرفة ما إذا كان لدينا عدد كسري أو كسر مناسب.

في الحالة الأولى ، يجب أن يأخذ الجزء الصحيح واحدًا. أضف مقامًا إلى بسط الكسر. ثم قم بعملية الطرح.

في الثانية - من الضروري تطبيق قاعدة الطرح من عدد أصغر إلى رقم أكبر. وهذا يعني ، طرح معامل الحد الأدنى من مقياس المطروح ، ووضع علامة "-" في الاستجابة.

انظر بعناية إلى نتيجة الجمع (الطرح). إذا حصلت على كسر غير حقيقي ، فمن المفترض أن تحدد الجزء بأكمله. أي اقسم البسط على المقام.

الضرب والقسمة

لتنفيذها ، لا يلزم اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. هذا يجعل من السهل اتخاذ الإجراءات. لكن لا يزال يتعين عليهم اتباع القواعد.

عند ضرب الكسور العادية ، من الضروري مراعاة الأرقام الموجودة في البسط والمقام. إذا كان لأي بسط ومقام عامل مشترك ، فيمكن اختزالهما.

اضرب البسط.

اضرب القواسم.

إذا حصلت على كسر قابل للاختزال ، فمن المفترض أن يتم تبسيطه مرة أخرى.

عند القسمة ، يجب أولاً استبدال القسمة بالضرب والمقسوم عليه (الكسر الثاني) بالمقلوب (بدل البسط والمقام).

ثم تابع الضرب (بدءًا من الخطوة 1).

في المهام التي تحتاج فيها إلى الضرب (القسمة) على عدد صحيح ، من المفترض أن تتم كتابة الأخير ككسر غير لائق. هذا هو ، مع المقام 1. ثم تابع كما هو موضح أعلاه.



العمليات ذات الكسور العشرية

جمع وطرح

بالطبع ، يمكنك دائمًا تحويل الكسر العشري إلى كسر مشترك. والتصرف وفقًا للخطة التي سبق وصفها. لكن في بعض الأحيان يكون من الأنسب العمل بدون هذه الترجمة. ثم ستكون قواعد الجمع والطرح هي نفسها تمامًا.

معادلة عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم ، أي بعد الفاصلة العشرية. قم بتعيين العدد المفقود من الأصفار فيه.

اكتب الكسور بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة.

أضف (اطرح) مثل الأعداد الطبيعية.

قم بإزالة الفاصلة.

الضرب والقسمة

من المهم ألا تحتاج إلى إلحاق أصفار هنا. من المفترض ترك الكسور كما وردت في المثال. ثم اذهب وفقًا للخطة.

في عملية الضرب ، تحتاج إلى كتابة كسور واحدة تحت الأخرى ، دون الانتباه إلى الفواصل.

اضرب مثل الأعداد الطبيعية.

ضع فاصلة في الإجابة ، مع العد من النهاية اليمنى للإجابة عدد الأرقام كما هو الحال في الأجزاء الكسرية لكلا العاملين.

للقسمة ، يجب عليك أولاً تحويل المقسوم عليه: اجعله رقمًا طبيعيًا. أي اضربها في 10 ، 100 ، إلخ ، اعتمادًا على عدد الأرقام في الجزء الكسري من المقسوم عليه.

اضرب المقسوم في نفس الرقم.

اقسم العلامة العشرية على رقم طبيعي.

ضع فاصلة في الإجابة في اللحظة التي ينتهي فيها تقسيم الجزء كله.



ماذا لو كان هناك كلا النوعين من الكسور في مثال واحد؟

نعم ، غالبًا ما توجد أمثلة في الرياضيات تحتاج فيها إلى إجراء عمليات على الكسور العادية والعشرية. هناك نوعان من الحلول الممكنة لهذه المشاكل. تحتاج إلى وزن الأرقام بموضوعية واختيار أفضلها.

الطريقة الأولى: تمثيل الكسور العشرية العادية

يكون مناسبًا إذا تم الحصول على الكسور النهائية عند القسمة أو التحويل. إذا أعطى رقم واحد على الأقل جزءًا دوريًا ، فإن هذه التقنية محظورة. لذلك ، حتى إذا كنت لا تحب العمل مع الكسور العادية ، فسيتعين عليك حسابها.

الطريقة الثانية: اكتب الكسور العشرية على أنها عادية

هذه التقنية مناسبة إذا كان هناك 1-2 رقم في الجزء الذي يلي الفاصلة العشرية. إذا كان هناك المزيد منها ، فيمكن أن يظهر كسر عادي كبير جدًا وستسمح لك الإدخالات العشرية بحساب المهمة بشكل أسرع وأسهل. لذلك ، من الضروري دائمًا إجراء تقييم رصين للمهمة واختيار أبسط طريقة للحل.