الاحتمال ص = 0.7. أوجد العدد الأكثر احتمالاً م 0 للأشخاص الذين سيحضرون الاجتماع والاحتمال المقابل P n (م 0).

المحلول. بما أن P 50 (m 0) = C 50 m 0 (0.7) m 0 (0.3) 50 - m 0 ، فإن المشكلة تكمن في إيجاد عدد صحيح غير سالب m 0 ≤ 50 يكبر الدالة P 50 (m 0). رأينا أعلاه أن هذا الرقم يُعطى بالصيغة (6.4). في

ف 50 (35) = ج 50 35 (0.7) 35 (0.3) 15 0.123.

6.4. صيغة بواسون

تعطي الصيغتان (6.1) و (6.3) الاحتمالات الدقيقة المرتبطة بمخطط تجارب برنولي المستقلة. ومع ذلك ، فإن العمليات الحسابية باستخدام هذه الصيغ ، خاصة عندما قيم كبيرة n و m صعبان للغاية. من الأهمية العملية الحصول على صيغ تقريبية بسيطة إلى حد ما لحساب الاحتمالات المقابلة. أولاً صيغة مماثلةولدت في عام 1837 عالم رياضيات فرنسيوالفيزيائي سيمون بواسون (1781-1840). يوجد أدناه صياغة نتيجة بواسون.

ضع في اعتبارك مخطط برنولي للتجارب المستقلة حيث يكون عدد التجارب n "كبيرًا نسبيًا" ، واحتمال "النجاح" p "صغير نسبيًا" ، والمنتج λ = np "ليس صغيرًا ولا كبيرًا" 41. في ظل هذه الظروف ، الصيغة

هذا هو تقريب Poisson الشهير لـ توزيع ثنائي. سيتم تقديم إثبات الصيغة (6.6) في ملحق هذا القسم.

41 سيتم شرح المعنى الدقيق للمصطلحات المقتبسة أدناه ، ولا سيما في الفقرة 6 هـ.

يتم استدعاء الوظيفة الموجودة على الجانب الأيمن من الصيغة (6.6)

توزيع السم:

باستخدام هذا الترميز ، سيكون p (k ، λ) تعبيرًا تقريبيًا لاحتمال b (k ؛ n ، λn) عندما يكون n "كبيرًا بدرجة كافية".

قبل مناقشة الصيغة (6.6) ، نقدم جدًا أمثلة توضيحيةاستخدامه.

يتم عرض قيم التوزيع ذي الحدين وقيم توزيع بواسون عند n = 100 ، p = 0.01 ، λ = 1 في الجدول. 6.2 كما نرى ، دقة الصيغة التقريبية عالية جدًا.

كلما كان n أكبر ، زادت دقة صيغة بواسون. ويتضح ذلك من خلال المثال التالي. دعونا نحسب الاحتمال p k أنه في مجتمع مكون من 500 شخص ولد بالضبط k شخص في نفس اليوم المحدد من العام. إذا تم اختيار هؤلاء الأشخاص البالغ عددهم 500 شخصًا بشكل عشوائي ، فيمكن تطبيق مخطط برنولي من n = 500 تجربة مع احتمال "النجاح" p = 1365. يتم عرض الحسابات بالصيغة الدقيقة (6.1) والمعادلة التقريبية (6.6) عند λ = 500365 × 1.3699 في الجدول. 6.3 كما نرى ، الخطأ موجود في المكان العشري الرابع فقط ، وهو أمر مقبول تمامًا للممارسة.

			الجدول 6.2
	ب (ك ؛ 100 ، 1.100)		ع (ك ؛ 1)

الجدول 6.3.

		ب (ك ؛ 500.1 / 365)	ص (ك ، λ)
ضع في اعتبارك المثال النموذجي التالي لتطبيق الصيغة
بواسون.

وليكن معلومًا أن احتمال حدوث "فشل" في تشغيل مقسم الهاتف لكل مكالمة هو 0.002. استقبل 1000 مكالمة. تحديد احتمال حدوث 7 "فشل" في هذه الحالة.

المحلول. من الطبيعي أن نفترض ذلك في الظروف الطبيعيةالمكالمات التي تصل إلى مقسم الهاتف مستقلة عن بعضها البعض. سننظر في "نجاح" في الاختبار - المكالمة - فشل التبادل الهاتفي. يمكن اعتبار احتمال الفشل (p = 0.002) قيمة "صغيرة بما فيه الكفاية" ، وعدد المكالمات (n = 1000) "كبير بما فيه الكفاية". وهكذا ، نحن في شروط نظرية بواسون. بالنسبة للمعامل λ ، نحصل على القيمة

دعونا الآن نناقش حدود قابلية تطبيق صيغة بواسون. في

عند استخدام أي صيغة تقريبية ، فإن مسألة حدود قابليتها للتطبيق تنشأ بشكل طبيعي. عند القيام بذلك ، نواجه جانبين من المشكلة. أولاً ، من الطبيعي أن نسأل تحت أي ظروف حقيقية ينطبق قانون بواسون؟ تظهر التجربة أن توزيع بواسون البسيط له قابلية تطبيق عالمية نسبيًا. بشكل عام ، من وجهة نظر التطبيقات ، تعتبر النظريات الرياضية جيدة وسيئة بالمعنى التالي: تستمر النظريات الجيدة في العمل حتى لو تم انتهاك شروطها ، وتتوقف النظريات السيئة على الفور إذا تم انتهاك شروط اشتقاقها . نظرية بواسون (6.6) جيدة وممتازة في هذا المعنى. وبالتحديد ، يستمر قانون بواسون في العمل حتى في حالة انتهاك شروط مخطط برنولي (أي ، يمكن للمرء أن يفترض احتمالية متغيرة للنجاح وحتى اعتماد غير قوي للغاية على نتائج التجارب الفردية) 42. يمكن للمرء أن يجادل في أن توزيع بواسون له قابلية تطبيق عالمية نسبيًا. يجب أن يُفهم هذا بمعنى أنه إذا أظهرت البيانات التجريبية أن قانون بواسون لا ينطبق ، في حين ، وفقًا لـ الفطرة السليمة، يجب أن تعمل ، فمن الطبيعي أن نتساءل عن الاستقرار الإحصائي لبياناتنا بدلاً من البحث عن قانون توزيع آخر. وبعبارة أخرى ، توزيع بواسون هو صيغة رياضية ناجحة للغاية لأحد قوانين الطبيعة العامة (ضمن إمكانية تطبيق نظرية الاحتمالات).

ثانيًا ، يطرح السؤال حول ترتيب حجم تلك المعلمات المضمنة في صيغة بواسون ، والتي استخدمنا لها أعلاه المصطلحات الغامضة "كبيرة نسبيًا" ، "صغيرة نسبيًا" ، "ليست صغيرة وكبيرة". توفر ممارسة تطبيق المعادلة (6.6) إجابات توضيحية. اتضح أن صيغة بواسون دقيقة بما فيه الكفاية ل تطبيق عمليإذا كان عدد المحاولات n لديه الترتيب

42 وبطبيعة الحال ، لا ينبغي إساءة استخدام ميزات توزيع بواسون هذه. على سبيل المثال ، من الواضح أن قانون بواسون ينتهك في المواقف التي تعتمد فيها نتائج الاختبارات الفردية بشكل كبير.

عدة عشرات (يفضل المئات) ، وتقع قيمة المعلمة λ = np في النطاق من 0 إلى 10.

لتوضيح تطبيق صيغة بواسون ، فكر في مثال آخر.

فليعلم أن 10000 حبة زبيب تعتمد على خبز 1000 خبز زبيب حلو. مطلوب إيجاد توزيع عدد الزبيب في بعض الكعك المختار عشوائياً.

المحلول. نشكل تسلسل الاختبارات المستقلة على النحو التالي. سيكون هناك n = 10000 تجربة في المجموع (بعدد الزبيب) ، أي: رقم التجربة k سيكون هو أننا نحدد ما إذا كنا قد حصلنا على رقم الزبيب k في الكعكة المختارة عشوائيًا. بعد ذلك ، نظرًا لوجود 1000 كعكة في المجموع ، فإن احتمال دخول الزبيب k إلى الخبز لدينا هو p = 1/1000 (بافتراض خلط العجين جيدًا عند تحضير الكعك). نطبق الآن توزيع بواسون بالمعامل λ = np = 10000 11000 = 10. نحصل على:

الفوسفور 10000 (ك) ≈ ل (ك ، 10) = 10 ك. - 10.

على وجه الخصوص ، فإن احتمال حصولنا على كعكة بدون زبيب على الإطلاق (ك = 0) يساوي e - 10 0.5 10-4. سيكون أكثر عدد محتمل من الزبيب ، وفقًا للصيغة (6.4) ، يساوي 10. الاحتمال المقابل

ف 10000 (10) ≈ 10 10 هـ - 10 0.125. عشرة!

المثال مع الكعك والزبيب ، على الرغم من صياغته الدنيوية ، شديد جدًا الطابع العام. لذلك ، بدلاً من الزبيب في الكعك ، يمكنك التحدث ، على سبيل المثال ، عن عدد البكتيريا في قطرة ماء مأخوذة من دلو ممزوج جيدًا. مثال آخر. لنفترض الذرات مادة مشعةتتحلل بشكل مستقل عن بعضها البعض ، وخلال فترة زمنية معينة ، يحدث اضمحلال ذرة معينة مع

43 لاحظ أن شراء كعكة في متجر يمكن اعتباره اختيارًا عشوائيًا.

دع التجربة تنفذ الاختبارات المتكررةوفقًا لمخطط برنولي وعدد التجارب كبير ، فإن احتمال حدوث حدث مرصود في تجربة واحدة صغير ، والمعلمة هي قيمة ثابتة. ثم بالنسبة للاحتمال - احتمال ظهور الحدث في الاختبارات مرة واحدة ، فإن العلاقة صحيحة

. (3.1)

عند حساب الاحتمال في مثل هذه التجربة العشوائية ، يمكنك استخدام الصيغة التقريبية

, (3.2)

من اتصل صيغة بواسون ،والرقم معلمة بواسون.

المهمة 3.1. احتمالية الزواج في تصنيع منتج معين هي 0.008. أوجد احتمال عدم وجود أكثر من عنصرين معيبين من بين 500 عنصر أثناء الاستقصاء.

الحل: نظرًا لأن الاحتمالية صغيرة وعدد المحاولات كبير ، يمكننا تطبيق صيغة بواسون مع المعلمة. الاحتمال المطلوب هو احتمال مجموع ثلاثة أحداث: كان هناك منتجان معيبان ، واحد أو لا شيء. لهذا

التعريف 3.1

تدفق الأحداثهي سلسلة من الأحداث التي تحدث في أوقات عشوائية.

فمثلا, سيكون تدفق الأحداث عبارة عن مكالمات تصل إلى PBX ، وإشارات أثناء جلسة الراديو ، ورسائل تصل إلى الخادم ، وما إلى ذلك.

التعريف 3.2

تيار الأحداث يسمى بواسون(أبسط) إذا كان لديه الخصائص التالية:

1. خاصية ثابتة، بمعنى آخر. معدل المد و الجزر- مستمر.

2. خاصية الاعتيادية ،أولئك. من المستحيل عمليا حدوث حدثين أو أكثر في فترة زمنية صغيرة.

3. خاصية عدم وجود تأثير لاحق ،أولئك. لا يعتمد احتمال وقوع الأحداث في فترة زمنية على عدد الأحداث التي ظهرت في أي جزء آخر.

إذا أشرنا إلى - احتمال حدوث أحداث تدفق بواسون بكثافة بمرور الوقت ، فإن الصيغة صحيحة:

. (3.3)

المهمة 3.2. شركة تأمين تخدم 10000 عميل. احتمال اتصال العميل بالشركة خلال يوم واحد هو 0.0003. ما هو احتمال اتصال 4 عملاء به في غضون يومين؟

المحلول:كثافة تدفق العملاء خلال يوم واحد تساوي

بالتالي، .

حل المشكلات 3.1 و 3.2 في البيئة Mathcad هو مبين في الشكل. 3.

المهمة 3.3. احتمال فشل قارئ الباب الدوار لقطار الأنفاق في غضون ساعة ضئيل. أوجد هذا الاحتمال إذا كان احتمال حدوث عطل واحد على الأقل خلال 8 ساعات هو 0.98 ، وإذا كان معروفًا أن ما معدله 1000 شخص يمر عبر البوابة الدوارة في الساعة؟

المحلول:وفقًا للصيغتين (1.3) و (3.3) مع ، فإن احتمال حدوث فشل واحد على الأقل خلال 8 ساعات يساوي:

باستخدام أوامر رمزية ، ثم يتم تحديد الاحتمال المطلوب.

ضع في اعتبارك المعادلة

حيث يتم تعريف الوظيفة على.

تحدد هذه المعادلة انتشار موجة متنقلة في وسط متجانس ذو أبعاد n بسرعة أفي نقاط زمنية ر > 0 .

لكي يكون الحل واضحًا ، من الضروري تحديد الشروط الأولية. تحدد الشروط الأولية حالة الفضاء (أو ، كما يقولون ، "الاضطراب الأولي") في لحظة من الزمن ر = 0 :

ثم تعطي صيغة كيرشوف المعممة حلاً لهذه المشكلة.

يعتبر كيرشوف نفسه الحالة ثلاثية الأبعاد فقط.

فكرة الحصول على حل

الاشتقاق البسيط لحل المشكلة الرئيسية يستخدم تحويل فورييه. صيغة كيرشوف المعممة لها العرض التالي:

.

إذا كانت معادلة الموجة تحتوي على الجزء الصحيح F، سيظهر المصطلح على الجانب الأيمن من الصيغة:

العواقب المادية

تعمل جبهتا الموجة الأمامية والخلفية الناتجة عن اضطراب موضعي في الفضاء على المراقب لفترة زمنية محدودة

اتركه لحظة أوليةزمن ر= 0 في بعض الاتفاق مهناك اضطراب محلي (و / أو). إذا كنا في مرحلة ما ، إذن ، كما يتضح من الصيغة (منطقة التكامل) ، سنشعر بالاضطراب بعد الوقت .

خارج الفاصل الزمني حيث ، وظيفة ش(x 0 , ر) يساوي صفرًا.

وبالتالي ، فإن الاضطراب الأولي ، المترجمة في الفضاء ، يتسبب في كل نقطة في الفضاء في حدوث فعل محلي في الوقت المناسب ، أي أن الاضطراب ينتشر في شكل موجة ذات جبهات رئيسية وخلفية ، مما يعبر عن مبدأ Huygens). على متن الطائرة ، تم انتهاك هذا المبدأ. المبرر لذلك هو حقيقة أن الناقل المضطرب ، الذي يكون مضغوطًا ، لن يكون مضغوطًا بعد الآن ، ولكنه سيشكل أسطوانة لا نهائية ، وبالتالي ، سيكون الاضطراب غير محدود في الوقت المناسب (y موجات اسطوانيةالحافة الخلفية مفقودة).

صيغة بواسون بارسيفال

حل معادلة تذبذب الغشاء

(وظيفة F(x,ر)

بشروط أولية

تعطى بالصيغة:

tex "alt =" (! LANG: + \ frac (\ جزئي) (\ جزئي t) \ frac (1) (2 \ pi a) \ iint \ limits_ (r .

الفورمولا د "ألمبر

حل أحادي البعد معادلة الموجة

(وظيفة F(x,ر) يتوافق مع القوة الدافعة)

بشروط أولية

لديه الشكل

إلى المنطقة IIالخصائص تأتي من عائلة واحدة فقط

عند استخدام صيغة d "Alembert ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه في بعض الأحيان قد لا يكون الحل فريدًا في كامل المنطقة قيد الدراسة. يتم تمثيل حل معادلة الموجة كمجموع وظيفتين: ش(x,ر) = F(x + أر) + ز(x − أر) ، أي أنه يتم تحديده من خلال عائلتين من الخصائص:. يوضح المثال الموضح في الشكل على اليمين معادلة الموجة لسلسلة شبه لانهائية ، والشروط الأولية فيها معطاة على الخط الأخضر فقط x≥0. يمكن ملاحظة ذلك في المنطقة أناتأتي كل من خصائص ξ وخصائص ، أثناء وجودها في المنطقة IIلا يوجد سوى خصائص ξ. هذا هو ، في المنطقة IIصيغة دالمبرت لا تعمل.

تطبيق الصيغ

في نظرة عامةصيغة كيرشوف مرهقة إلى حد ما ، وبالتالي فإن حل المشاكل الفيزياء الرياضيةعادة ما يكون استخدامه صعبًا. ومع ذلك ، يمكن للمرء استخدام خطية معادلة الموجة بشروط أولية وابحث عن حل في شكل مجموع ثلاث وظائف: ش(x,ر) = أ(x,ر) + ب(x,ر) + ج(x,ر) هذا يرضي الشروط التالية:

مثل هذه العملية بحد ذاتها لا تبسط استخدام صيغة كيرشوف ، ولكن بالنسبة لبعض المشكلات ، من الممكن تحديد حل ، أو تقليل مشكلة متعددة الأبعاد إلى مشكلة أحادية البعد عن طريق تغيير المتغيرات. على سبيل المثال ، دعونا . ثم إجراء الاستبدال ξ = x + 3ذ − 2ض ، ستأخذ معادلة المشكلة "ج" الشكل:

وهكذا توصلنا إلى معادلة أحادية البعد ، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغة d "Alembert:

بسبب التكافؤ الحالة الأولية، سيحتفظ المحلول بمظهره في المنطقة بأكملها ر > 0 .

المؤلفات

Mikhailov V.P. ، Mikhailova T.V. ، Shabunin M.I.مجموعة مهام نموذجيةبالطبع معادلات الفيزياء الرياضية. - م: MIPT ، 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

الروابط

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

شاهد ما هي "صيغة بواسون" في القواميس الأخرى:

صيغة كيرشوف هي تعبير تحليلي لحل المعادلة التفاضلية الجزئية الزائدية (ما يسمى "معادلة الموجة") في كل شيء مساحة ثلاثية الأبعاد. من خلال طريقة النسب (أي بتقليل البعد) منه يمكنك ... ... ويكيبيديا

صيغة كيرشوف هي تعبير تحليلي لحل المعادلة التفاضلية الجزئية الزائدية (ما يسمى "معادلة الموجة") في الفضاء بأكمله. من خلال طريقة النسب (أي بتقليل البعد) ، يمكن للمرء الحصول على حلول ثنائية الأبعاد منه ... ... ويكيبيديا

الصيغة التي تمثل الوحدة. كلاسيكي حل ش (س ، تي) لمسألة كوشي لمعادلة الموجة في الزمكان ثلاثي الأبعاد ، (حيث c هي سرعة انتشار الإشارة) إذا كانت البيانات الأولية f (x) ، p (x) ، على التوالي ، ثلاثة مرات ومرتين ... ... موسوعة فيزيائية

صيغة حساب مجموع سلسلة من النموذج إذا كان تحويل فورييه (يختلف نوعًا ما عن المعتاد ، طبيعي) للدالة F (x) ، إذن (m و n عددان صحيحان). هذا هو P. f. مع.؛ ربما تكون… … الموسوعة السوفيتية العظمى

الصيغة P. f. مع. يحمل ، على سبيل المثال ، إذا كانت الوظيفة g (x) قابلة للتكامل تمامًا على فاصل زمني ، ولها تباين محدود ، و P.f. مع. مكتوب أيضًا حيث يكون ai و b أي اثنين أرقام موجبة، تلبية للشرط ab = 2p ، و c (u). هو… ... موسوعة رياضية

1) نفس تكامل بواسون. 2) الصيغة التي تعطي التمثيل المتكامل لحل مشكلة كوشي لمعادلة الموجة في الفضاء: ولها الصيغة (1) حيث هي متوسط ​​قيمة الوظيفة j على كرة جلس في الفضاء (س ، ص ، ع) من نصف القطر عند ... ... موسوعة رياضية

التوزيع غير المحدود للقسمة في نظرية الاحتمالات هو التوزيع متغير عشوائيبحيث يمكن تمثيله كعدد تعسفي من المصطلحات المستقلة الموزعة بالتساوي. المحتويات 1 التعريف 2 ... ... ويكيبيديا

حيث λ تساوي متوسط ​​عدد تكرارات الأحداث في نفس الوقت اختبارات مستقلة، بمعنى آخر. λ = n × p ، حيث p هو احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة ، e = 2.71828.

سلسلة توزيع قانون بواسون لها الشكل:

مهمة الخدمة. تُستخدم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لبناء توزيع بواسون وحساب جميع خصائص السلسلة: التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري. يتم إعداد التقرير مع القرار بتنسيق Word.

عدد من المحاكمات:ن = ، الاحتمال ص =
احسب احتمال:م =
تأتي ذات مرة
أقل ذات مرة
على الأقل ذات مرة
أكثر ذات مرة
لا أكثر ذات مرة
على الأقل ولا اكثر ذات مرة
تعال مرة واحدة على الأقل

في الحالة التي تكون فيها n كبيرة ، و λ = p n> 10 ، تعطي صيغة بواسون تقديرًا تقريبيًا للغاية وتستخدم نظريات Moivre-Laplace المحلية والمتكاملة لحساب P n (m).

الخصائص العددية لمتغير عشوائي X

التوقع الرياضي لتوزيع بواسون
M [X] = λ

تباين توزيع بواسون
D [X] = λ

مثال 1. تحتوي البذور على 0.1٪ حشائش. ما هو احتمال العثور على 5 بذور حشائش في اختيار عشوائي من 2000 بذرة؟
المحلول.
الاحتمال ص صغير والعدد ن كبير. np = 2 P (5) = λ 5 e -5 / 5! = 0.03609
القيمة المتوقعة: M [X] = = 2
تشتت: D [X] = = 2

المثال رقم 2. يوجد 0.4٪ بذور حشائش بين بذور الجاودار. ضع قانون توزيع عدد الحشائش باختيار عشوائي من 5000 بذرة. تجد القيمة المتوقعةوتباين هذا المتغير العشوائي.
المحلول. التوقع: M [X] = λ = 0.004 * 5000 = 20. الفرق: D [X] = λ = 20
قانون التوزيع:

X	0	1	2	…	م	…
ص	ه -20	20e-20	200e-20	…	20 متر - 20 / متر!	…

المثال رقم 3. في مقسم الهاتف ، يحدث اتصال غير صحيح مع احتمال 1/200. أوجد احتمال أن يكون هناك من بين 200 اتصال:
أ) اتصال خاطئ واحد بالضبط ؛
ب) أقل من ثلاثة اتصالات غير صحيحة ؛
ج) أكثر من وصلتين غير صحيحين.
المحلول.وفقًا لظروف المشكلة ، يكون احتمال حدوث حدث صغيرًا ، لذلك نستخدم صيغة بواسون (15).
أ) معطى: n = 200، p = 1/200، k = 1. أوجد P 200 (1).
نحن نحصل: . ثم P 200 (1) ≈ e -1 0.3679.
ب) المعطى: n = 200، p = 1/200، k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
لدينا: أ = 1.

ج) معطى: n = 200، p = 1/200، k> 2. أوجد P 200 (k> 2).
يمكن حل هذه المشكلة بشكل أكثر بساطة: أوجد الاحتمال حدث معاكس، لأنه في هذه الحالة من الضروري حساب عدد أقل من المصطلحات. مع الأخذ بعين الاعتبار الحالة السابقة لدينا

ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها n كبيرًا بما يكفي و p صغيرًا بدرجة كافية ؛ نضع np = a ، حيث a هو رقم ما. في هذه الحالة ، يتم تحديد الاحتمال المطلوب بواسطة صيغة بواسون:

يمكن أيضًا العثور على احتمال حدوث أحداث k في وقت مدته t باستخدام صيغة Poisson:
حيث λ هي شدة تدفق الأحداث ، أي متوسط ​​عدد الأحداث التي تظهر لكل وحدة زمنية.

المثال رقم 4. احتمال وجود عيب في جزء هو 0.005. تم فحص 400 جزء. حدد معادلة حساب احتمال وجود أكثر من 3 أجزاء معيبة.

مثال رقم 5. احتمالية ظهور الأجزاء المعيبة عندما تكون كذلك الإنتاج بكثافة الإنتاج بكميات ضخمةيساوي ص. تحديد احتمال احتواء مجموعة من الأجزاء N على أ) ثلاثة أجزاء بالضبط ؛ ب) ما لا يزيد عن ثلاثة أجزاء معيبة.
ع = 0.001 ؛ العدد = 4500
المحلول.
الاحتمال ص صغير والعدد ن كبير. np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
المتغير العشوائي X له المدى (0،1،2 ، ... ، م). يمكن العثور على احتمالات هذه القيم من خلال الصيغة:

لنجد سلسلة التوزيع X.
هنا λ = np = 4500 * 0.001 = 4.5
P (0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
الفوسفور (1) = e -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

إذن ، فإن احتمال احتواء مجموعة من الأجزاء N على ثلاثة أجزاء بالضبط يساوي:

ثم يكون احتمال أن دفعة من الأجزاء N لا تحتوي على أكثر من ثلاثة أجزاء معيبة هو:
ص (x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

رقم المثال 6. يستقبل التبادل الهاتفي التلقائي ، في المتوسط ​​، N مكالمات في الساعة. حدد احتمال أن تتلقى في دقيقة معينة: أ) مكالمتين بالضبط ؛ ب) أكثر من مكالمتين.
العدد = 18
المحلول.
في دقيقة واحدة ، تتلقى ATS في المتوسط ​​λ = 18/60 دقيقة. = 0.3
بافتراض أن عددًا عشوائيًا X من المكالمات تم تلقيها في PBX في دقيقة واحدة ،
يطيع قانون بواسون ، من خلال الصيغة نجد الاحتمال المطلوب

لنجد سلسلة التوزيع X.
هنا λ = 0.3
الفوسفور (0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
الفوسفور (1) = e-= 0.3e -0.3 = 0.2222

احتمال تلقيها مكالمتين بالضبط في دقيقة معينة هو:
الفوسفور (2) = 0.03334
احتمال تلقيها أكثر من مكالمتين في الدقيقة الواحدة هو:
الفوسفور (x> 2) = 1 - 0.7408 - 0.2222 - 0.03334 = 0.00366

رقم المثال 7. نحن نعتبر عنصرين يعملان بشكل مستقل عن بعضهما البعض. مدة الجهوزية لها توزيع أسي مع المعلمة λ1 = 0.02 للعنصر الأول و λ2 = 0.05 للعنصر الثاني. أوجد الاحتمال أنه في غضون 10 ساعات: أ) سيعمل كلا العنصرين بشكل لا تشوبه شائبة ؛ ب) فقط احتمال ألا يفشل العنصر رقم 1 خلال 10 ساعات:
المحلول.
P 1 (0) \ u003d e -1 * t \ u003d e -0.02 * 10 \ u003d 0.8187

احتمال ألا يفشل العنصر رقم 2 خلال 10 ساعات هو:
P 2 (0) \ u003d e -λ2 * t \ u003d e -0.05 * 10 \ u003d 0.6065

أ) كلا العنصرين سيعملان بشكل لا تشوبه شائبة ؛
الفوسفور (2) = ف 1 (0) * ف 2 (0) = 0.8187 * 0.6065 = 0.4966
ب) سيفشل عنصر واحد فقط.
الفوسفور (1) = P 1 (0) * (1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0)) * P 2 (0) = 0.8187 * (1-0.6065) + (1-0.8187) * 0.6065 = 0.4321

رقم المثال 7. الإنتاج يعطي 1٪ من الزواج. ما هو احتمال عدم رفض أكثر من 17 منتجًا من أصل 1100 منتج تم أخذها للبحث؟
ملحوظة: منذ هنا n * p = 1100 * 0.01 = 11> 10 ، فمن الضروري استخدام

في العديد من المشكلات العملية ، يتعين على المرء أن يتعامل مع المتغيرات العشوائية الموزعة وفقًا لقانون خاص يسمى قانون بواسون.

ضع في اعتبارك متغير عشوائي غير مستمر ، والذي يمكن أن يأخذ فقط قيمًا صحيحة وغير سالبة:

وتسلسل هذه القيم غير محدود نظريًا.

يُقال إن المتغير العشوائي يتم توزيعه وفقًا لقانون بواسون إذا كان الاحتمال الذي يستغرقه قيمة معينة، يتم التعبير عنها بالصيغة

حيث a هي قيمة موجبة ، تسمى معلمة قانون بواسون.

سلسلة توزيع المتغير العشوائي ، الموزعة وفقًا لقانون بواسون ، لها الشكل:

دعنا أولاً نتأكد من أن تسلسل الاحتمالات المعطى بواسطة الصيغة (5.9.1) يمكن أن يكون سلسلة توزيع ، أي أن مجموع كل الاحتمالات يساوي واحدًا. نملك:

.

على التين. يوضح الشكل 5.9.1 مضلعات توزيع متغير عشوائي موزعة وفقًا لقانون بواسون المقابل لـ معان مختلفةمعامل . يسرد الجدول 8 من الملحق القيم لمختلف.

دعنا نحدد الخصائص الرئيسية - التوقع والتباين الرياضي - لمتغير عشوائي موزع وفقًا لقانون بواسون. من خلال تعريف التوقع الرياضي

.

المصطلح الأول من المجموع (المقابل لـ) يساوي صفرًا ، لذلك يمكن البدء في الجمع من:

دعنا نشير ؛ ومن بعد

. (5.9.2)

وبالتالي ، فإن المعلمة ليست أكثر من توقع رياضي لمتغير عشوائي.

لتحديد التشتت ، نجد أولاً اللحظة الأولية الثانية للكمية:

بحسب ما سبق إثباته

علاوة على ذلك،

وبالتالي ، فإن تشتت المتغير العشوائي الموزع وفقًا لقانون بواسون يساوي توقعه الرياضي.

غالبًا ما تُستخدم خاصية توزيع بواسون في الممارسة لتقرير ما إذا كانت الفرضية القائلة بأن متغيرًا عشوائيًا يتم توزيعها وفقًا لقانون بواسون معقولة أم لا. للقيام بذلك ، حدد من التجربة الخصائص الإحصائية - التوقع والتباين الرياضي - لمتغير عشوائي. إذا كانت قيمها متقاربة ، فيمكن أن يكون هذا بمثابة حجة لصالح فرضية توزيع بواسون ؛ الاختلاف الحاد في هذه الخصائص ، على العكس من ذلك ، يشهد ضد الفرضية.

بالنسبة للمتغير العشوائي الموزع وفقًا لقانون بواسون ، دعنا نحدد احتمال أن يأخذ قيمة لا تقل عن قيمة معينة. دعنا نشير إلى هذا الاحتمال:

من الواضح أن الاحتمال يمكن حسابه على أنه المجموع

ومع ذلك ، فمن الأسهل بكثير تحديد ذلك من احتمال وقوع حدث معاكس:

(5.9.4)

على وجه الخصوص ، احتمال أن تأخذ القيمة قيمة موجبة، يتم التعبير عنها بالصيغة

(5.9.5)

لقد ذكرنا بالفعل أن العديد من المهام العملية تؤدي إلى توزيع Poisson. النظر في واحدة من مهام نموذجيةمن هذا النوع.

دع النقاط توزع عشوائيا على المحور السيني الثور (الشكل 5.9.2). افترض أن التوزيع العشوائي للنقاط يستوفي الشروط التالية:

1. إن احتمال ضرب عدد معين من النقاط على مقطع ما يعتمد فقط على طول هذا المقطع ، ولكنه لا يعتمد على موضعه على المحور السيني. بمعنى آخر ، يتم توزيع النقاط على المحور السيني بنفس متوسط ​​الكثافة. دعنا نشير إلى هذه الكثافة (أي التوقع الرياضي لعدد النقاط لكل وحدة طول) على النحو التالي.

2. يتم توزيع النقاط على المحور السيني بشكل مستقل عن بعضها البعض ، أي احتمالية الوصول إلى عدد أو آخر من النقاط قطعة معينةلا يعتمد على كم منها سقط على أي شريحة أخرى لا تتداخل معها.

3. إن احتمال إصابة منطقة صغيرة من نقطتين أو أكثر لا يكاد يذكر مقارنة باحتمال الوصول إلى نقطة واحدة (هذا الشرط يعني الاستحالة العملية لمصادفة نقطتين أو أكثر).

دعنا نفرد قطعة طول معينة على محور الإحداثية ونفكر في متغير عشوائي منفصل - عدد النقاط الواقعة على هذا المقطع. ستكون القيم المحتملة للكمية

نظرًا لأن النقاط تقع على المقطع بشكل مستقل عن بعضها البعض ، فمن الممكن نظريًا أن يكون هناك عدد كبير منهم بشكل تعسفي ، أي تستمر السلسلة (5.9.6) إلى أجل غير مسمى.

دعنا نثبت أن المتغير العشوائي لديه قانون توزيع بواسون. للقيام بذلك ، نحسب احتمال أن تقع النقاط بالضبط على المقطع.

دعنا نحل المزيد أولاً مهمة بسيطة. ضع في اعتبارك قسمًا صغيرًا على محور الثور واحسب احتمال وقوع نقطة واحدة على الأقل في هذا القسم. سوف نجادل على النحو التالي. من الواضح أن التوقع الرياضي لعدد النقاط التي تقع في هذا القسم متساوٍ (لأن هناك نقاطًا في المتوسط ​​لكل وحدة طول). وفقًا للشرط 3 ، بالنسبة للجزء الصغير ، يمكن إهمال احتمال وقوع نقطتين أو أكثر عليه. لذلك ، فإن التوقع الرياضي لعدد النقاط التي تقع في القسم سيكون مساويًا تقريبًا لاحتمال سقوط نقطة واحدة عليه (أو ، وهو ما يعادله في ظروفنا ، نقطة واحدة على الأقل).

وهكذا ، تصل إلى متناهية الصغر أعلى ترتيب، عندما يمكننا النظر في احتمال أن تساوي نقطة واحدة (واحدة على الأقل) على الموقع ، واحتمال عدم تساوي أي منها.

دعنا نستخدم هذا لحساب احتمال ضرب نقاط بالضبط على المقطع. قسّم المقطع إلى اجزاء متساويةالطول . دعونا نتفق على تسمية مقطع أولي "فارغ" إذا لم يحتوي على نقطة واحدة ، و "مشغول" إذا سقط واحد على الأقل فيه. وفقًا لما سبق ، فإن احتمال أن يكون الجزء "مشغولاً" يساوي تقريبًا ؛ احتمال أن تكون "فارغة" هو. نظرًا لأن مرات الوصول للنقاط في الأجزاء غير المتداخلة ، وفقًا للشرط 2 ، مستقلة ، يمكن اعتبار مقاطعنا n "تجارب" مستقلة ، يمكن في كل منها أن يكون "مشغولًا" باحتمالية. أوجد احتمال وجود "مشغول" بالضبط من بين الأجزاء. وفقًا لنظرية التكرار ، فإن هذا الاحتمال يساوي

أو دلالة

(5.9.7)

بالنسبة إلى الحجم الكبير بما فيه الكفاية ، يكون هذا الاحتمال مساويًا تقريبًا لاحتمال وقوع النقاط بالضبط على المقطع ، نظرًا لأن نقطتين أو أكثر تقع على المقطع لها احتمال ضئيل. من أجل العثور على القيمة الدقيقة لـ ، من الضروري في التعبير (5.9.7) الانتقال إلى الحد عند:

(5.9.8)

دعنا نحول التعبير تحت علامة الحد:

(5.9.9)

من الواضح أن الكسر الأول ومقام الكسر الأخير في التعبير (5.9.9) عنده يميلان إلى الوحدة. لا يعتمد التعبير على. يمكن تحويل بسط الكسر الأخير على النحو التالي:

(5.9.10)

متى والتعبير (5.9.10) يميل إلى. وبالتالي ، فقد ثبت أن احتمال وقوع النقاط بالضبط في مقطع ما يتم التعبير عنه بواسطة الصيغة

أين ، أي يتم توزيع الكمية X وفقًا لقانون Poisson مع المعلمة.

لاحظ أن معنى القيمة هو متوسط ​​عدد النقاط لكل مقطع.

المقدار (احتمال أن تكون X موجبة) في هذه القضيةيعبر عن احتمال وقوع نقطة واحدة على الأقل في المقطع:

وبالتالي ، فقد رأينا أن توزيع بواسون يحدث حيث تحتل بعض النقاط (أو العناصر الأخرى) موقعًا عشوائيًا بشكل مستقل عن بعضها البعض ، ويتم حساب عدد هذه النقاط التي تقع في بعض المناطق. في حالتنا ، كانت هذه "المنطقة" جزءًا من المحور السيني. ومع ذلك ، يمكن توسيع استنتاجنا بسهولة ليشمل حالة توزيع النقاط في المستوى (مجال النقاط المسطح العشوائي) وفي الفضاء (المجال المكاني العشوائي للنقاط). من السهل إثبات أنه إذا تم استيفاء الشروط التالية:

1) النقاط موزعة إحصائياً بشكل موحد في الحقل بمتوسط ​​كثافة ؛

2) تقع النقاط في مناطق غير متداخلة بشكل مستقل ؛

3) تظهر النقاط منفردة ، وليس في أزواج ، أو ثلاثية ، وما إلى ذلك ، ثم يتم توزيع عدد النقاط التي تقع في أي منطقة (مسطحة أو مكانية) وفقًا لقانون بواسون:

أين هو متوسط ​​عدد النقاط التي تقع في المنطقة.

للحالة المسطحة

أين هي منطقة المنطقة؟ للمكان

أين هو حجم المنطقة.

لاحظ أنه بالنسبة لتوزيع بواسون لعدد النقاط التي تقع في مقطع أو منطقة ، فإن حالة الكثافة الثابتة () ليست ضرورية. إذا تم استيفاء الشرطين الآخرين ، فسيظل قانون بواسون ساريًا ، فقط المعلمة a الموجودة فيه تكتسب تعبيرًا مختلفًا: اتضح أنه لا الضرب البسيطعلى طول المنطقة أو مساحتها أو حجمها ، ولكن من خلال دمج كثافة متغيرة على جزء أو مساحة أو حجم. (للمزيد عن هذا راجع رقم 19.4)

إن وجود نقاط عشوائية متناثرة على خط ما أو على مستوى أو على وحدة تخزين ليس هو الشرط الوحيد الذي يحدث تحته توزيع بواسون. يمكن للمرء ، على سبيل المثال ، إثبات أن قانون بواسون يحد من التوزيع ذي الحدين:

, (5.9.12)

إذا قمنا في نفس الوقت بتوجيه عدد التجارب إلى ما لا نهاية ، والاحتمال إلى الصفر ، وظل ناتجها ثابتًا:

في الواقع ، يمكن كتابة هذه الخاصية المقيدة للتوزيع ذي الحدين على النحو التالي:

. (5.9.14)

ولكن من الشرط (5.9.13) يتبع ذلك

بالتعويض عن (5.9.15) في (5.9.14) نحصل على المساواة

, (5.9.16)

التي تم إثباتها للتو من قبلنا في مناسبة أخرى.

غالبًا ما تُستخدم هذه الخاصية المقيدة للقانون ذي الحدين في الممارسة. لنفترض أنه تم إنتاجه عدد كبير منتجارب مستقلة ، لكل منها احتمال ضئيل للغاية للحدث. بعد ذلك ، لحساب احتمال وقوع حدث مرة واحدة بالضبط ، يمكنك استخدام الصيغة التقريبية:

, (5.9.17)

أين هي معلمة قانون بواسون ، الذي يحل محل التوزيع ذي الحدين تقريبًا.

من هذه الخاصية لقانون بواسون - للتعبير عن التوزيع ذي الحدين بعدد كبير من التجارب واحتمال ضئيل لحدث ما - يأتي اسمه ، وغالبًا ما يستخدم في كتب الإحصاء المدرسية: القانون أحداث نادرة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة المتعلقة بتوزيع بواسون من مختلف مجالات الممارسة.

مثال 1: يستقبل التبادل الهاتفي التلقائي مكالمات بمتوسط ​​كثافة مكالمات في الساعة. بافتراض أن عدد المكالمات في أي فترة زمنية يتم توزيعها وفقًا لقانون بواسون ، فأوجد احتمال وصول ثلاث مكالمات بالضبط إلى المحطة في دقيقتين.

المحلول. متوسط ​​عدد المكالمات لكل دقيقتين هو:

متر مربع لضرب الهدف ، جزء واحد على الأقل يكفي لضربه. أوجد احتمال إصابة الهدف لموضع معين لنقطة عدم الاستمرارية.

المحلول. . باستخدام الصيغة (5.9.4) ، نجد احتمال إصابة جزء واحد على الأقل:

(لحساب القيمة دالة أسيةاستخدم الجدول 2 في الملحق).

مثال 7 متوسط ​​الكثافةالميكروبات المسببة للأمراض في واحد متر مكعبالهواء 100. يتم أخذ 2 متر مكعب لعينة. الهواء dm. أوجد احتمال وجود ميكروب واحد على الأقل فيه.

المحلول. بقبول فرضية توزيع بواسون لعدد الميكروبات في المجلد نجد:

مثال 8. تم إطلاق 50 طلقة مستقلة على بعض الأهداف. احتمال إصابة الهدف بطلقة واحدة هو 0.04. الاستفادة تقييد الملكيةالتوزيع ذي الحدين (الصيغة (5.9.17)) ، أوجد تقريبًا احتمال إصابة الهدف: لا مقذوف ، مقذوف واحد ، مقذوفان.

المحلول. نملك . وفقًا للجدول 8 من التطبيق ، نجد الاحتمالات.