14. تقييم معاملات نموذج الانحدار المزدوج باستخدام معدل أخذ العيناتطريقة الانحدار المربعات الصغرى، والتي تحدد في معظم الحالات المعلمات غير المعروفة لنموذج الانحدار ، في حالة نموذج الانحدار المقترن الخطي

15. تقدير تباين الخطأ العشوائي لنموذج الانحدار تحليل الانحدارالصعوبة الرئيسية هي أن التباين العامالخطأ العشوائي هو كمية غير معروفة ، مما يجعل من الضروري حسابها غير متحيز

18. خصائص جودة نموذج الانحدار جودة نموذج الانحدار هي ملاءمة النموذج المركب للبيانات الأولية (الملحوظة). تستخدم مؤشرات خاصة لتقييم جودة نموذج الانحدار. جودة الزوج الخطي نموذج الانحدار

35. اختبار الفرضية حول أهمية معاملات الانحدار ونموذج الانحدار المتعدد ككل. اختبار أهمية معاملات الانحدار يعني اختبار الفرضية الرئيسية حول اختلافها المعنوي عن الصفر.

39- نماذج الانحدار غير الخطي في متغيرات العوامل عند دراسة الظواهر والعمليات الاجتماعية والاقتصادية ، لا يمكن وصف جميع التبعيات باستخدام اتصال خطي. لذلك ، في النمذجة الاقتصادية القياسية ، فئة اللاخطية

40- نماذج الانحدار غير الخطية من حيث المعاملات المقدرة

41. نماذج الانحدار مع تعريف نقاط التوقف. تسمى نماذج الانحدار بنقاط الانحدار النماذج التي لا يمكن اختزالها إلى شكل خطي ، أي نماذج الانحدار غير الخطي داخليًا. وتنقسم نماذج الانحدار إلى فئتين: 1) نماذج الانحدار الخطي الجزئي ؛ 2)

44- طرق التقدير غير الخطي لمعاملات نموذج الانحدار: إن دالة الخسائر أو الأخطاء هي دالة وظيفية للنموذج. وكذلك ، كدالة خسارة ، مجموع وحدات الانحرافات للقيم المرصودة لـ يمكن استخدام ميزة فعالة y من تلك النظرية

46. ​​اختبار الفرضية حول أهمية نموذج الانحدار غير الخطي. اختبار الفرضية حول الاعتماد الخطيبين متغيرات نموذج الانحدار إلى نماذج الانحدار غير الخطي التي تكون خطية في جوهرها ، أي قابلة للاختزال إلى شكل خطي، كل انتشار

58. اختبار جلاسر لاكتشاف التغاير المرونة لبقايا نموذج الانحدار هناك عدة اختبارات لاكتشاف التغاير المرونة لبقايا نموذج الانحدار.

59- اختبار Goldfeld-Quandt لاكتشاف التغاير المرونة لبقايا نموذج الانحدار الشرط الرئيسي لاختبار Goldfeld-Quandt هو افتراض أن القانون العاديالتوزيع العشوائي للخطأ؟ i لنموذج الانحدار. ضع في اعتبارك تطبيق هذا

60. إزالة التغاير المرونة لبقايا نموذج الانحدار هناك العديد من الطرق لإزالة التغاير المرونة لبقايا نموذج الانحدار. دعونا نلقي نظرة على بعضها طريقة بسيطةالقضاء على تغاير المرونة لبقايا نموذج الانحدار

61. الارتباط التلقائي لبقايا نموذج الانحدار. عواقب الارتباط الذاتي. وظيفة الارتباط التلقائي الارتباط التلقائي هو الارتباط الذي يحدث بين مستويات متغير الاهتمام. إنه ارتباط يظهر بمرور الوقت. غالبًا ما يكون وجود الارتباط الذاتي

62. اختبار Durbin-Watson لاكتشاف الارتباط الذاتي لبقايا نموذج الانحدار بالإضافة إلى الارتباط الذاتي والخاصة وظائف الارتباط التلقائيللكشف عن الارتباط التلقائي لبقايا نموذج الانحدار ، يتم استخدام اختبار Durbin-Watson. ومع ذلك ، هذا المعيار

63. إزالة الترابط الذاتي لبقايا نموذج الانحدار بسبب حقيقة أن وجود في نموذج الانحدار للارتباط الذاتي بين بقايا النموذج يمكن أن يؤدي إلى نتائج سلبيةللعملية الكاملة لتقدير المعاملات غير المعروفة للنموذج ، الارتباط التلقائي للمخلفات

67. نماذج الانحدار ذات البنية المتغيرة. المتغيرات الوهمية عند بناء نموذج الانحدار ، قد تنشأ حالة عندما يكون من الضروري تضمين ليس فقط المتغيرات الكمية ، ولكن أيضًا المتغيرات النوعية (على سبيل المثال ، العمر والتعليم والجنس والعرق

تقييم دقة نماذج الانحدار.

لتقييم الدقة ، غالبًا ما يتم استخدام مؤشرين ، وهما خطي ولأجل النماذج غير الخطيةيشبه:

1. متوسط ​​الخطأ التقريبي

2. خطأ تقريب RMS

8.1. جوهر وأسباب عدم التجانس

يعد شرط Gauss-Markov الثاني المتعلق بالمثلية الجنسية ، أي قابلية تغير البقايا ، أحد أهم المتطلبات الأساسية لـ LSM.

نظرًا لأن متوسط ​​القيم المتبقية في كل ملاحظة هو صفر ، يمكن أن تكون مربعات القيم المتبقية بمثابة تقديرات لفروقها.

يتم تضمين هذه المربعات المتبقية في وفاق سطيف(والذي تم تصغيره في LSM) بنفس أوزان الوحدة ، وهذا ليس مبررًا دائمًا ، نظرًا لأن التباين غير المتماثل ليس نادرًا جدًا في الممارسة.

على سبيل المثال ، مع زيادة الدخل ، ليس فقط مستوى متوسطالاستهلاك ، ولكن أيضًا التباين في الاستهلاك. وهو أكثر توارثًا في الكيانات ذات الدخل المرتفع ، حيث أن لديها مجالًا أكبر لتوزيع الدخل. تعتبر مشكلة عدم التجانس أكثر شيوعًا بالنسبة للعينات المكانية. من الواضح ، في وجود تغاير المرونة ، يجب أن تكون الملاحظات ذات التشتت الأكبر وفاق سطيفتعطي وزناً أقل والعكس صحيح ، ولا تعتبرها متساوية الأهمية ، كما هو الحال في المربعات الصغرى الكلاسيكية.

تحدد النقطة الموجودة على مخطط التشتت المشتق من ملاحظة ذات تباين أقل اتجاه خط الانحدار بشكل أكثر دقة من نقطة من ملاحظة ذات تباين أكبر.

الآثار المترتبة على عدم التجانس هي:

1. لن تكون تقديرات المعلمات فعالة ، أي أنها لن يكون لها أدنى فرق مقارنة بالتقديرات الأخرى ؛ ومع ذلك ، سوف يظلون غير متحيزين.

2. سيتم تغيير الفروق في التقديرات ، حيث سيتم تغيير التباين بدرجة واحدة من الحرية ، والتي تُستخدم في حساب تقديرات الفروق لجميع المعاملات.

3. استنتاجات مستخلصة من تضخم Fو رالإحصائيات و تقديرات الفاصلسيكون غير موثوق به.

8.2.تحديد عدم التجانس

هذه ليست مهمة سهلة؛ تشتت σ 2 (ε ط) عادة لا يمكن تحديدها ، لأن المتغير التوضيحي لقيمة معينة س طأو قيمة متجهية محددة xفي الانحدار المتعدد ، لدينا قيمة واحدة فقط للمتغير التابع أناويمكننا حساب قيمة النموذج الوحيدة للمتغير

ومع ذلك ، فقد تم الآن تطوير عدد من الطرق والاختبارات للكشف عن عدم التجانس:

1. الرسم- لقد قلنا ذلك بالفعل م(ε ط) = 0 ؛ وهذا يعني أنه يمكن استبدال التباين في المتبقي بتقديره ، ويمكن اعتبار القيمة على أنها هذا التقدير. في هذه الحالة ، يمكنك إنشاء رسم بياني في الإحداثيات: هناك وظيفة س طواستخدامها لدراسة طبيعة هذا الاعتماد. إذا كان هناك العديد من المتغيرات التوضيحية ، فسيتم التحقق من الاعتماد على كل متغير س يأي أننا ندرس الاعتماد

يمكن للمرء أيضًا استكشاف التبعية ، منذ المتغير فيهو مزيج خطي من جميع المتغيرات التفسيرية.

2. اختبار ارتباط الترتيبالرامح

قيم س طو ε طبترتيب تصاعدي ولكل ملاحظة في السلسلة Xوعلى التوالي ε يتم تعيين رتبته (الرقم) وفقًا لهذا الترتيب. فرق د طبين الرتب xو ε لكل رقم ملاحظة يتم حسابه على النحو التالي

ثم يتم حساب معامل ارتباط الرتبة:

.

من المعروف أنه إذا كانت القيم المتبقية لا ترتبط بالمتغيرات التوضيحية ، فإن الإحصائيات

له توزيع الطلاب مع عدد درجات الحرية

df = n − 2.

إذا كانت القيمة المحسوبة ر- تتجاوز الإحصائيات القيمة الحرجة المجدولة عند مستوى الأهمية المعين γ للفرضية ح 0 ، ثم يتم رفض فرضية عدم وجود تغاير المرونة ويتم التعرف على عدم التجانس على أنه مهم. قيمة حرجة ريتم تحديد الإحصائيات من الجدول كـ

في حالة تعدد نموذج الانحدار ، يتم اختبار الفرضية حيتم تنفيذ 0 لكل متغير توضيحي.

3. اختبار Goldfeld - Quandt

من المفترض أن تباين القيم المتبقية في كل ملاحظة يتناسب أو يتناسب عكسياً مع معامل الانحدار المعني ، ويفترض أيضًا أن القيم المتبقية يتم توزيعها بشكل طبيعي ولا يوجد ارتباط ذاتي في القيم المتبقية.

في حالة الانحدار المتعدد ، من المستحسن إجراء اختبار لكل انحدار على حدة.

تسلسل الاختبار:

أ) الملاحظات (صفوف الجدول) مرتبة بترتيب تصاعدي لعامل التراجع الذي يهمنا ؛

ب) يتم تقسيم العينة المطلوبة بهذه الطريقة إلى 3 عينات فرعية بأحجام ، القيم التالية: ن = 30, ك = 11; ن = 60, ك = 22; ن = 100, ك= 36…38; ن = 300, ك = 110 وما إلى ذلك (انظر الجدول 8.1).

عند تقدير معاملات معادلة الانحدار ، نطبق طريقة المربعات الصغرى. في الوقت نفسه ، نقوم بعمل افتراضات معينة بخصوص المكون العشوائي . في النموذج

في = أ + ب 1  x + 

المكون العشوائي  هو كمية لا يمكن ملاحظتها. بعد تقييم معلمات النموذج ، بعد حساب الفرق بين القيم الفعلية والنظرية للميزة الفعالة فييمكننا تحديد تقديرات المكون العشوائي ( في). عند تغيير مواصفات النموذج ، إضافة ملاحظات جديدة إليه ، عينة من تقديرات المخلفات أنا، ربما يتغير. لذلك ، فإن مهمة تحليل الانحدار لا تشمل فقط بناء النموذج نفسه ، ولكن أيضًا دراسة الانحرافات العشوائية  أنا، بمعنى آخر. القيم المتبقية.

تناول القسم السابق الاختبارات الشكلية للصحة الإحصائية باستخدام معاملات الانحدار والارتباط ر- معيار الطالب F-معايير. عند استخدام هذه المعايير ، يتم وضع افتراضات حول سلوك القيم المتبقية  أنا. القيم المتبقية عبارة عن متغيرات عشوائية مستقلة ومتوسطها 0 ؛ لديهم نفس التباين (الثابت) ويتبعون التوزيع الطبيعي.

يجب أن تفي تقديرات معاملات الانحدار بمعايير معينة: أن تكون غير متحيزة ومتسقة وفعالة.

تقدير غير متحيزيعني أن توقع القيم المتبقية هو صفر. لذلك ، مع وجود عدد كبير من تقديرات العينة ، لن تتراكم البقايا ومعامل الانحدار الموجود ب أنايمكن اعتباره متوسط ​​عدد كبير محتمل من التقديرات غير المتحيزة.

لأغراض عملية ، ليس فقط عدم التحيز مهمًا ، ولكن أيضًا كفاءة التقديرات. تعتبر التقييمات فعالإذا كان لديهم أصغر فرق.

يتم ضمان درجة الواقعية لفترات الثقة لمعلمات الانحدار إذا لم تكن التقديرات غير متحيزة وفعالة فحسب ، بل أيضًا ثري. اتساق التقديرات يميز الزيادة في دقتها مع زيادة حجم العينة.

البحث المتبقي  أناتتضمن التحقق من وجود افتراضات LSM الخمسة التالية (انظر شروط Gauss-Markov):

الطبيعة العشوائية للبقايا.

للقيام بذلك ، ارسم اعتماد البقايا  أنامن القيم النظرية للميزة الفعالة .إذا لم يكن هناك اتجاه في موقع النقاط على الرسم البياني  أناثم الباقي  أنامتغيرات عشوائية والمربعات الصغرى لها ما يبررها ، القيم النظرية تقريب القيم الفعلية بشكل جيد في.

صفر متوسط ​​القيمةالمخلفات ، بغض النظر عن X أنا .

الافتراض الثاني لمخطط المربعات الصغر فيما يتعلق بالمتوسط ​​الصفري للمخلفات يعني أن  ( في ) = 0. هذا ممكن للنماذج والنماذج الخطية غير الخطية فيما يتعلق بالمتغيرات المضمنة. بالنسبة للنماذج غير الخطية من حيث المعلمات المقدرة والمختصرة إلى شكل خطي بأخذ اللوغاريتم ، يعني الخطأهي صفر لوغاريتمات البيانات الأصلية. لذلك ، للحصول على نموذج للشكل

اللواط تباين كل انحراف أنا نفس الشيء بالنسبة لجميع القيمX.

تتطلب الفرضية الثالثة للمربعات الصغرى أن يكون تباين القيم المتبقية مثلي الجنس. هذا يعني أن لكل قيمة من قيمة العامل X أناالقيم المتبقية لها نفس التباين. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط لتطبيق LSM ، فعندئذ يكون لدينا تغاير المرونة(رسم بياني 1).

تعني اللواط في المخلفات أن تباين القيم المتبقية أنانفس الشيء لكل قيمة X.

وجود تغاير في حالات فرديةيمكن أن يؤدي إلى التحيز في تقديرات معاملات الانحدار ، على الرغم من أن عدم التحيز في تقديرات معاملات الانحدار يعتمد بشكل أساسي على مراعاة الفرضية الثانية لـ LSM ، أي استقلالية المخلفات وقيم العوامل.

سوف تؤثر التغاير المرونة على انخفاض كفاءة التقديرات ب أنا. على وجه الخصوص ، يصبح من الصعب استخدام صيغة الخطأ المعياري لمعامل الانحدار ، والتي تفترض تباينًا واحدًا في القيم المتبقية لأي قيم للعامل.

انصح الاختباراتالتي تسمح لنا بتحليل نموذج المثلية الجنسية.

مع حجم عينة صغير ، وهو الأكثر شيوعًا لدراسات الاقتصاد القياسي ، يمكن تقييم التغاير المرونة باستخدام طريقة جولدفيلد  كواندا تم تطويره في عام 1965 بواسطة Goldfeld and Quandt ، ويعتبر نموذجًا خطيًا أحادي العامل يزداد تباين القيم المتبقية مع مربع العامل. من أجل تقييم انتهاك المثلية ، اقترحوا اختبار حدوديوالتي تتضمن الخطوات التالية:

يأمر صالملاحظات كلما زاد المتغير X.

الاستبعاد من الاعتبار منالملاحظات المركزية حيث ( ص ج) / 2> ص، أين ص عدد المعلمات المقدرة.

من الحسابات التجريبية التي أجراها مؤلفو الطريقة لحالة عامل واحد ، يوصى به ص= 30 قبول من= 8 بينما ص= 60 - على التوالي من = 16.

تقسيم السكان من ( ص  من) الملاحظات في مجموعتين (على التوالي ، بقيم صغيرة وكبيرة للعامل X) وتعريف لكل مجموعة من مجموعات معادلات الانحدار.

تحديد المجموع المتبقي للمربعات لأول ( س 1) والثاني ( س 2) المجموعات وإيجاد علاقتها: ص = س 1 /س 2 ، أين س 1 > س 2 .

تحت الفرضية الصفرية للمثلية الجنسية ، فإن النسبة صسوف ترضي F-المعيار مع ( صمن2ص) / 2 درجة حرية لكل مجموع متبقي من المربعات. كلما زادت القيمة صيتجاوز قيمة الجدول F-المعيار ، كلما تم انتهاك فرضية المساواة في تشتت القيم المتبقية.

يستخدم اختبار Goldfeld-Quandt أيضًا لاختبار بقايا الانحدار المتعدد من أجل عدم التجانس.

يمكن أيضًا التحقق من وجود تغاير المرونة في بقايا الانحدار باستخدام ارتباط رتبة سبيرمان . جوهر الشيك هو أنه في حالة عدم التجانس ، فإن البقايا المطلقة  أنامرتبطة بقيم العامل X أنا. يمكن قياس هذا الارتباط باستخدام معامل ارتباط رتبة سبيرمان:

, (31)

أين د فرق مطلق بين رتب القيم X أناو |  أنا |.

يمكن تقدير الدلالة الإحصائية لـ باستخدام ر-معايير:

. (32)

مقارنة هذه القيمة بالقيمة المجدولة عند  = 0.05 وعدد درجات الحرية ( ص  م). من المفترض أنه إذا ر  > ر ، ثم الارتباط بين  أناو X أناذو دلالة إحصائية ، أي أن هناك تغاير المرونة للبقايا. خلاف ذلك ، يتم قبول فرضية عدم وجود تغاير المرونة في المخلفات.

لا توفر المعايير المدروسة تقييمًا كميًا لاعتماد تباين خطأ الانحدار على القيم المقابلة للعوامل المدرجة في الانحدار. أنها تسمح فقط لأحد لتحديد وجود أو عدم وجود تغاير المرونة من المخلفات. لذلك ، إذا تم إنشاء تغاير المرونة للبقايا ، فمن الممكن تحديد اعتماد تباين خطأ الانحدار على قيم العامل. لهذا الغرض ، يمكن استخدام اختبارات White و Park و Glaser وما إلى ذلك.

اختبار الأبيض يفترض أن تباين خطأ الانحدار هو دالة تربيعية لقيم العامل ، أي في وجود عامل واحد  2 = أ+ bx + cx 2 + ش، أو إذا كانت هناك عوامل:

 2 = أ + ب 1 x 1 + ب 11 +ب 2 x 2 + ب 22 +ب 12 x 1 x 2 + … + ب ص x ص + ب ص + + ب 1 ص x 1 x ص + ب 2 ص x 2 x ص + … + ش.

لذلك لا يشتمل النموذج على قيم العوامل فحسب ، بل يشمل أيضًا مربعاتها ، بالإضافة إلى المنتجات الزوجية. منذ كل معلمة من النموذج =F(X أنا) على أساس عدد كافٍ من درجات الحرية ، فكلما قل حجم السكان قيد الدراسة ، قلت قدرة الدالة التربيعية على احتواء المنتجات الزوجية للعوامل. على سبيل المثال ، إذا تم بناء الانحدار على 30 ملاحظة مثل ذ أنا = أ + ب 1 x +  أنا، ثم لا يمكن تمثيل الدالة التربيعية اللاحقة للباقي إلا كـ

 2 = أ + ب 1 x + ب 11 X 2 + ش,

لأن لكل معلمة Xيجب أن يكون هناك ما لا يقل عن 6-7 ملاحظات. حاليًا ، يتم تضمين اختبار White في برنامج تحليل الانحدار القياسي في حزمة طرق العرض الاقتصادية. يتم الحكم على وجود أو عدم وجود تغاير المرونة للبقايا من خلال القيمة F- معيار فيشر ل وظيفة من الدرجة الثانيةالانحدار المتبقي. إذا كانت القيمة الفعلية F-المعيار أعلى من الجدول ، وبالتالي ، هناك ارتباط واضح بين تباين الخطأ وقيم العوامل المدرجة في الانحدار ، وهناك تغاير المرونة في القيم المتبقية. خلاف ذلك ( Fحقيقة< Fالجدول) إلى عدم وجود تغاير المرونة لبقايا الانحدار.

اختبار بارك يشير أيضًا إلى اختبارات التغاير الرسمية. من المفترض أن تباين القيم المتبقية مرتبط بقيم عوامل الوظائف ln  2 = أ + ب ln X + و. تم بناء هذا الانحدار لكل عامل في ظروف نموذج متعدد العوامل. تم التحقق من أهمية معامل الانحدار بعلى ر- معيار الطالب. إذا تبين أن معامل الانحدار للمعادلة ln 2 ذو دلالة إحصائية ، إذن ، فهناك اعتماد على ln 2 على ln X، بمعنى آخر. المخلفات غير متجانسة.

إذا كانت اختبارات White and Park مصممة لتقييم المرونة المتغايرة للمخلفات التربيعية  2 ، إذن اختبار جلاسر يعتمد على انحدار القيم المطلقة للبقايا |  | ، أي الوظيفة |  أنا | = أ + ب + و أنا. الانحدار |  أنا| من X أنابني في معان مختلفةمعامل مع، ومن ثم يتم تحديد الوظيفة التي لها معامل الانحدار بتبين أنه الأكثر أهمية ، أي أعلى قيمة ر- معيار الطالب أو F- معيار فيشر و ص 2 .

عندما يتم الكشف عن تغاير المرونة لمخلفات الانحدار ، فإن الهدف هو القضاء عليها ، وهو استخدام طريقة المربعات الصغرى المعممة (انظر أدناه).

لا يوجد ارتباط تلقائي للمخلفات. القيم المتبقية أنا ، موزعة بشكل مستقل.

يعني الارتباط التلقائي للمخلفات وجود ارتباط بين بقايا الملاحظات الحالية والسابقة (اللاحقة).

عند بناء نماذج الانحدار ، من المهم للغاية الامتثال لهذا الشرط. معامل الارتباط بين  أناو  أنا-1 ، أين  أنا مخلفات الملاحظات الحالية ،  أنا-1 ، يمكن تعريف بقايا الملاحظات السابقة

, (33)

والذي يتوافق مع صيغة معامل الارتباط الخطي. إذا تبين أن هذا المعامل يختلف اختلافًا كبيرًا عن الصفر ، فسيتم ربط القيم المتبقية تلقائيًا ودالة كثافة الاحتمال F() يعتمد على ينقطة المراقبة عشر وعلى توزيع القيم المتبقية في نقاط المراقبة الأخرى.

يضمن عدم وجود ارتباط تلقائي للمتبقي اتساق وكفاءة تقديرات معاملات الانحدار. من المهم بشكل خاص ملاحظة فرضية LSM هذه عند إنشاء نماذج الانحدار للسلسلة الزمنية ، حيث ، في وجود اتجاه ، تعتمد المستويات اللاحقة من السلسلة الزمنية ، كقاعدة عامة ، على مستوياتها السابقة.

تتبع المخلفات التوزيع الطبيعي.

يسمح افتراض التوزيع الطبيعي للمخلفات باختبار معلمات الانحدار والارتباط باستخدام المعايير رو F. في الوقت نفسه ، فإن تقديرات الانحدار التي تم العثور عليها باستخدام طريقة المربعات الصغرى لها خصائص جيدة حتى في حالة عدم وجود توزيع طبيعي للمخلفات ، أي عند انتهاك الفرضية الخامسة لطريقة المربعات الصغرى.

إلى جانب المتطلبات الأساسية لطريقة المربعات الصغرى كطريقة لتقدير معاملات الانحدار ، عند بناء نماذج الانحدار ، يجب مراعاة متطلبات معينة فيما يتعلق بالمتغيرات المدرجة في النموذج. بادئ ذي بدء ، عدد المتغيرات ريجب ألا يزيد عن
. خلاف ذلك ، فإن معلمات الانحدار غير ذات دلالة إحصائية. في نظرة عامةيمكن استخدام المربعات الصغرى إذا كان عدد المشاهدات صيتجاوز عدد المعلمات المقدرة ر، بمعنى آخر. النظام المعادلات العاديةلديه حل فقط عندما ص > ر.

إذا لم يتم استيفاء المتطلبات الأساسية ، يجب على LSM تصحيح النموذج عن طريق تغيير مواصفاته ، وإضافة (استبعاد) بعض العوامل ، وتحويل البيانات الأولية من أجل الحصول على تقديرات لمعاملات الانحدار التي لها خاصية عدم التحيز ، ويكون لها حجم أصغر التباين المتبقي ، وبالتالي ، يوفر اختبارًا إحصائيًا أكثر كفاءة لأهمية معلمات الانحدار. هذا الهدف ، كما ذكرنا سابقًا ، هو استخدام الطريقة المعممة للمربعات الصغرى.