أسباب فقدان الجذور عند حل المعادلات. الجذور الدخيلة للمعادلة ، غربلة الجذور الدخيلة

الطرق الأساسية لحل المعادلات

ما هو حل المعادلة؟

تحويل الهوية. رئيسي

أنواع التحولات المتطابقة.

جذر أجنبي. فقدان الجذر.

حل المعادلة هي عملية تتكون أساسًا من استبدال معادلة معينة بمعادلة أخرى مكافئة لها . يسمى هذا الاستبدالتحويل الهوية . التحولات الرئيسية في الهوية هي كما يلي:

1.

استبدال تعبير بآخر مساوٍ له. على سبيل المثال ، المعادلة (3 x + 2 ) 2 = 15 x + يمكن الاستعاضة عن 10 بالمكافئ التالي:9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

نقل شروط المعادلة من جانب إلى آخر بإشارات معاكسة. لذلك ، في المعادلة السابقة ، يمكننا نقل جميع أعضائها من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر بعلامة "-": 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 س- 10 = 0 ، وبعد ذلك نحصل على:9 x 2 – 3 س- 6 = 0 .

3.

الضرب أو القسمة على طرفي المعادلة بنفس التعبير (الرقم) بخلاف الصفر. هذا مهم جدا ، لأنقد لا تكون المعادلة الجديدة معادلة للمعادلة السابقة إذا كان التعبير الذي نضرب به أو نقسمه يساوي صفرًا.

مثال المعادلةس- 1 = 0 له جذر واحدس = 1.

ضرب كلا الطرفين فيس- 3 ، نحصل على المعادلة

( س- 1)( س- 3) = 0 وله جذران:س = 1 وx = 3.

القيمة الأخيرة ليست جذر المعادلة المعطاة

س- 1 = 0. هذا هو ما يسمىجذر دخيل .

على العكس من ذلك ، يمكن أن يؤدي الانقسام إلىفقدان الجذر . لذا

في حالتنا ، إذاس- 1 )( س- 3 ) = 0 هو الأصل

المعادلة ثم الجذرس = 3 سوف تضيع في القسمة

كلا طرفي المعادلةس- 3 .

في المعادلة الأخيرة (العنصر 2) ، يمكننا قسمة جميع شروطها على 3 (وليس صفر!) وأخيراً الحصول على:

3 x 2 - س - 2 = 0 .

هذه المعادلة تعادل المعادلة الأصلية:

(3 x + 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

يستطيعارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة فردية أواستخرج جذرًا فرديًا من طرفي المعادلة . يجب أن نتذكر ما يلي:

أ) الانتصابحتى درجة قد ينتجلاكتساب جذور دخيلة ;

ب)خاطئ - ظلم - يظلم اِستِخلاصحتى الجذر يمكن أن تؤدي إلىفقدان الجذور .

أمثلة. المعادلة 7x = 35 له جذر واحدx = 5 .

من خلال تربيع طرفي هذه المعادلة ، نحصل على

المعادلة:

49 x 2 = 1225 .

له جذور:x = 5 وx = – 5. آخر قيمة

هو جذر أجنبي.

خاطئ - ظلم - يظلم أخذ الجذر التربيعي لكليهما

أجزاء من المعادلة 49x 2 = 1225 نتيجة في 7x = 35,

ونفقد الجذرx = – 5.

صحيح أخذ الجذر التربيعي يؤدي إلى

المعادلة: | 7x | = 35, أ ومن هنا حالتان:

1) 7 x = 35, ومن بعدx = 5 ; 2) – 7 x = 35, ومن بعدx = – 5 .

لذلك ، فيصحيح استخراج مربع

الجذر لا نفقد جذور المعادلة.

ماذا يعنيحقا استخراج الجذر؟ هنا نلتقي

بمفهوم مهم للغايةجذر حسابي

(سم. ).

أسنان. تشبه أسنان الفقاريات في بنيتها وتطورها تمامًا حراشف بلاكويد التي تغطي جلد أسماك القرش بالكامل. نظرًا لأن تجويف الفم بأكمله ، وجزئيًا تجويف البلعوم ، مبطن بظهارة الأديم الظاهر ، وهي بلاكويد نموذجي ... ...

داء السل الرئوي- الدرن الرئوي. المحتويات: 1. التشريح المرضي ........... 110 II. تصنيف السل الرئوي ... 124 III. عيادة ..................... 128 IV. التشخيص .................. 160 V. التشخيص .................. 190 VI. علاج او معاملة … موسوعة طبية كبيرة

تسمم- تسمم. يُفهم التسمم على أنه "اضطرابات في وظائف الحيوان. الكائنات الحية التي تسببها مواد خارجية أو داخلية ، أو كيميائية أو فيزيائية كيميائية ، تكون غريبة من حيث الجودة أو الكمية أو التركيز ... ... موسوعة طبية كبيرة

بكتيريا عقيدة البقوليات- تشير بيانات الحفريات إلى أن أقدم البقوليات التي كانت تحتوي على عقيدات كانت بعض النباتات التي تنتمي إلى مجموعة Eucaesalpinioideae. في الأنواع الحديثة من النباتات البقولية ، تم العثور على عقيدات ... الموسوعة البيولوجية

قائمة حلقات مسلسل الرسوم المتحركة "لونتيك"- تفتقر هذه المقالة إلى روابط لمصادر المعلومات. يجب أن تكون المعلومات قابلة للتحقق ، وإلا فقد يتم استجوابها وإزالتها. يمكنك ... ويكيبيديا

المصنع والبيئة- إن حياة النبات ، مثل أي كائن حي آخر ، عبارة عن مجموعة معقدة من العمليات المترابطة ؛ أهمها ، كما هو معروف ، هو تبادل المواد مع البيئة. البيئة هي المصدر الذي منه ... ... الموسوعة البيولوجية

قائمة حلقات مسلسل "لونتيك"- المقال الرئيسي: مغامرات لونتيك وأصدقائه المحتويات 1 عدد الحلقات 2 قائمة حلقات سلسلة الرسوم المتحركة لونتيك وأصدقائه ... ويكيبيديا

أمراض أشجار الفاكهة- يجب أن تصل أشجار الفاكهة ، بسبب الرعاية المستمرة للإنسان ، إلى سن أكبر بكثير من أقاربها غير المزروعين ، لولا التأثيرات المضادة للعديد من ظروف الثقافة نفسها ، وهي المتطلبات التي نفرضها ... .. .

قطع الغابات- V. الغابات ، أو استخراج دخل الغابات على شكل خشب ولحاء ، يمكن أن يتم بطريقتين: عن طريق حفر أو اقتلاع أشجار كاملة ، أي جذوع مع جذور ، أو بشكل منفصل ، في أجزاء ، تسقط أولاً ، أو تمت إزالتها من ... ... القاموس الموسوعي F.A. Brockhaus و I.A. إيفرون

بيني- (بولندي grosz ، من الألمانية Groschen ، من لاتينية Grossus (dēnārius) "سميك دينار") عملة من بلدان وأزمنة مختلفة. المحتويات 1 ظهور فلسا واحدا ... ويكيبيديا

عملات أمريكية- 20 دولار من دولارات سانت جودنز هي أجمل وأغلى عملة أمريكية ، تم سك عملات معدنية أمريكية في دار سك العملة الأمريكية. صدر منذ عام 1792 ... ويكيبيديا

كتب

• الأسباب الرئيسية لتساقط الشعر عند النساء ، أليكسي ميتشمان ، ست من كل عشر نساء يعانين من مشكلة تساقط الشعر في مرحلة ما من حياتهن. يمكن أن يحدث تساقط الشعر لعدد من الأسباب مثل الوراثة والتغيرات الهرمونية في ... الفئة:

§ 1. الجذور المفقودة والأجنبية في حل المعادلات (على سبيل المثال)

المواد المرجعية

1. في نظريتي القسم 3 من الفصل السابع ، قيل أي الإجراءات على المعادلات لا تنتهك تكافؤهم.

2. فكر الآن في مثل هذه العمليات على المعادلات التي يمكن أن تؤدي إلى معادلة جديدة لا تعادل المعادلة الأصلية. بدلاً من الاعتبارات العامة ، نقتصر على النظر في أمثلة محددة فقط.

3. مثال 1. معادلة معطاة لنفتح الأقواس في هذه المعادلة ، وننقل كل الحدود إلى الجانب الأيسر ونحل المعادلة التربيعية. جذورها

إذا اختزلنا كلا الجزأين من المعادلة بعامل مشترك ، فسنحصل على معادلة لا تعادل المعادلة الأصلية ، لأنها تحتوي على جذر واحد فقط

وبالتالي ، فإن اختزال طرفي المعادلة بعامل يحتوي على المجهول يمكن أن يؤدي إلى فقدان جذور المعادلة.

4. مثال 2. تم إعطاء معادلة. هذه المعادلة لها جذر واحد. قمنا بتربيع كلا الجزأين من هذه المعادلة ، ونحصل على حل هذه المعادلة ، ونجد جذرين:

نرى أن المعادلة الجديدة لا تكافئ المعادلة الأصلية.الجذر هو جذر المعادلة التي ، بعد تربيع كلا الجزأين ، تؤدي إلى المعادلة

5. يمكن أن تظهر الجذور الدخيلة أيضًا عندما يتم ضرب طرفي المعادلة بعامل يحتوي على المجهول ، إذا اختفى هذا العامل بالنسبة للقيم الحقيقية لـ x.

مثال 3. إذا ضربنا كلا الجزأين من المعادلة في ذلك ، فسنحصل على معادلة جديدة ، والتي ، بعد نقل المصطلح من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر وتحليلها ، تعطي معادلة من حيث

لا يفي الجذر بمعادلة لها جذر واحد

من هذا نستنتج: عند تربيع كلا الجزأين من المعادلة (بشكل عام ، إلى قوة متساوية) ، وكذلك عند الضرب بعامل يحتوي على المجهول والتلاشي عند القيم الحقيقية للمجهول ، قد تظهر الجذور الدخيلة.

تنطبق جميع الاعتبارات المعبر عنها هنا بشأن فقدان وظهور الجذور الدخيلة للمعادلة بالتساوي على أي معادلات (جبري ، مثلثي ، إلخ).

6. تسمى المعادلة الجبرية إذا تم إجراء العمليات الجبرية فقط على المجهول - الجمع والطرح والضرب والقسمة والرفع إلى قوة واستخراج جذر بأس طبيعي (علاوة على ذلك ، فإن عدد هذه العمليات محدود).

لذلك ، على سبيل المثال ، المعادلات

هي المعادلات الجبرية

يبدأ موضوع المعادلات المثلثية بمحاضرة مدرسية ، مبنية على شكل محادثة إرشادية. تناقش المحاضرة المادة النظرية وأمثلة لحل جميع المهام النموذجية وفقًا للخطة:

• أبسط المعادلات المثلثية.
• الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.
• معادلات متجانسة.

في الدروس التالية ، يبدأ تطوير المهارات المستقلة ، بناءً على تطبيق مبدأ النشاط المشترك للمعلم والطالب. أولاً ، يتم تحديد الأهداف للطلاب ، أي إنه مُحدد من يريد أن يعرف ليس أكثر مما يتطلبه معيار الدولة ، ومن مستعد لفعل المزيد.

يتم إنشاء التشخيص النهائي مع مراعاة تمايز المستوى ، والذي يسمح للطلاب بتحديد الحد الأدنى من المعرفة بوعي وهو أمر ضروري للحصول على درجة "3". بناءً على ذلك ، يتم اختيار المواد متعددة المستويات لتشخيص معرفة الطلاب. يجعل هذا العمل من الممكن تنفيذ نهج فردي للطلاب ، وإشراك الجميع في أنشطة التعلم الواعية ، وتشكيل مهارات التنظيم الذاتي والتعلم الذاتي ، وضمان الانتقال إلى التفكير النشط والمستقل.

تعقد الندوة بعد العمل على المهارات الأساسية لحل المعادلات المثلثية. قبل الندوة ببضعة دروس ، يتم إعطاء الطلاب أسئلة سيتم أخذها في الاعتبار فيها.

تتكون الندوة من ثلاثة اجزاء.

1. في الجزء التمهيدي ، يتم النظر في جميع المواد النظرية ، بما في ذلك مقدمة عن المشكلات التي ستنشأ عند حل المعادلات المعقدة.

2. في الجزء الثاني ، نأخذ في الاعتبار حل المعادلات بالشكل:

• و cosx + bsinx = ج.
• أ (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• تحل المعادلات بخفض الدرجة.

في هذه المعادلات ، يتم استخدام الاستبدال الشامل ، وصيغ تخفيض الدرجة ، وطريقة الحجة المساعدة.

3. الجزء الثالث يتناول مشاكل فقدان الجذر واكتساب الجذور الدخيلة. يوضح كيفية تحديد الجذور.

يعمل الطلاب في مجموعات. لحل هذه الأمثلة ، يتم استدعاء الرجال المدربين جيدًا والذين يمكنهم عرض المواد وشرحها.

الندوة مصممة لطالب جيد الإعداد لأن. يتعامل مع القضايا التي تقع إلى حد ما خارج نطاق مادة البرنامج. يتضمن معادلات ذات شكل أكثر تعقيدًا ، ويتم إيلاء اهتمام خاص للمشكلات التي تنشأ عند حل المعادلات المثلثية المعقدة.

أقيمت الندوة لطلبة الصفوف 10-11. أتيحت الفرصة لكل طالب لتوسيع وتعميق معرفته حول هذا الموضوع ، لمقارنة مستوى معرفته ليس فقط بمتطلبات خريج المدرسة ، ولكن أيضًا بمتطلبات المتقدمين إلى V.U.Z.

ندوة

عنوان:"حل المعادلات المثلثية"

الأهداف:

• تعميم المعرفة في حل المعادلات المثلثية بجميع أنواعها.
• التركيز على المشاكل: فقدان الجذور. جذور دخيلة اختيار الجذر.

أثناء الفصول.

I. مقدمة

1. الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية

• العوملة.
• إدخال متغير جديد.
• طريقة وظيفية رسومية.

2. بعض أنواع المعادلات المثلثية.

• المعادلات التي تختزل إلى المعادلات التربيعية فيما يتعلق بـ cos x \ u003d t ، sin x \ u003d t.

Asin 2x + Bcosx + C = 0 ؛ أكوس 2 س + بسينكس + ج = 0.

يتم حلها عن طريق إدخال متغير جديد.

• معادلات متجانسة من الدرجة الأولى والثانية

معادلة الدرجة الأولى: Asinx + Bcosx = 0 مقسومًا على cos x ، نحصل على Atg x + B = 0

معادلة الدرجة الثانية: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 مقسومًا على cos 2 x ، نحصل على Atg 2 x + Btgx + C = 0

يتم حلها بطريقة العوامل وطريقة إدخال متغير جديد.

يتم تطبيق جميع الطرق.

• تخفيض:

واحد). Acos2x + Bcos 2 x = C ؛ أكوس 2 س + بسين 2 س = ج.

يتم حلها بطريقة العوامل.

2). Asin2x + Bsin2x = C ؛ Asin2x + Bcos 2x = C.

• اكتب المعادلة: أ (sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

اختزل إلى مربع بالنسبة إلى t = sinx + cosx ؛ sin2x \ u003d t 2-1.

3. الصيغ.

س + 2 ن ؛ مطلوب التحقق!

• الرجوع إلى إصدار سابق: cos 2 x = (1 + cos2x): 2 ؛ الخطيئة 2 س = (1 - جا 2 س): 2
• طريقة الحجة المساعدة.

دعنا نستبدل Acosx + Bsinx بـ Csin (x +) ، حيث sin = a / C ؛ كوس = ث / ج ؛

هي حجة مساعدة.

4. القواعد.

• رأيت مربعًا - خفض الدرجة.
• رأيت العمل - اصنع المبلغ.
• رأيت المبلغ - قم بالعمل.

5. فقدان الجذور ، الجذور الزائدة.

• خسارة الجذر: قسمة على g (x) ؛ الصيغ الخطرة (الاستبدال الشامل). هذه العمليات تضيق مجال التعريف.

• الجذور الإضافية: ارفع إلى قوة متساوية ؛ اضرب في g (x) (نتخلص من المقام). من خلال هذه العمليات ، نوسع مجال التعريف.

ثانيًا. أمثلة على المعادلات المثلثية

1. المعادلات من النموذج Asinx + Bcosx = C

1) الاستبدال الشامل. x أي.

3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0.

tgx = ش. س / 2 + ن ؛

ش = - 1/3.

tg x = –1/3، x = arctg (–1/3) + k، k Z.

فحص: 3sin (+ 2n) + cos (+ 2n) + 1 = 3 sin + cos + 1 = 0-1 + 1 = 0.

x \ u003d / 2 + n، n e Z. هو جذر المعادلة.

إجابه: x \ u003d arctg (-1/3) + k، k Z. x \ u003d / 2 + n، n Z.

2) طريقة وظيفية رسومية. د. x أي.

sinx - cosx = 1
sinx = cosx + 1.

لنقم ببناء رسوم بيانية للوظائف: y = sinx ، y = cosx + 1.

إجابه:س \ u003d / 2 + 2 ن ، ض ؛ س = + 2 ك ، ك Z.

3) مقدمة من حجة مساعدة. O.D.Z .: س - أي.

8 cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1 لأن (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1 ، ثم يوجد مثل هذا الخطيئة = 8/17 ،

cos \ u003d 15/17 ، ثم sin cosx + sinx cos \ u003d 1 ؛ = arcsin 8/17.

إجابه: x = / 2 + 2n - ، x = / 2 + 2n - arcsin 8/17 ، n Z.

2. تخفيض التصنيف: Acos2x + Bsin2x = C.

واحد). الخطيئة 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z .: x - أي.

1 - cos 6x + 1 - cos 8x + 1 - cos 12x + 1 - cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x (cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0 ، cos3x = 0 ، cosx = 0.

إجابه: x = / 20 + n / 10، n Z. x = / 6 + k / 3، k Z، x = / 2 + m، m Z.

في

ك = 1 وم = 0 ك = 4 وم = 1.

سلسلة مباراة.

3. الاختزال إلى المتجانسة. Asin2x + Bsin 2 x = C ، Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x - أي.
5 sin 2 x + 3 sinx + 6cos 2 x - 5 sin 2 x - 5 cos 2 x \ u003d 0
3 sinxcosx + cos 2 x \ u003d 0 (1) لا يمكن تقسيمه على cos 2 x ، لأننا نفقد الجذور.
cos 2 x = 0 تحقق المعادلة.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0 ، 3 sinx + cosx = 0.
x \ u003d / 2 + k، k Z. tgx \ u003d -1/3 ، x \ u003d - / 6 + n ، n Z.

إجابه: x \ u003d / 2 + k، k Z.، x \ u003d - / 6 + n، n Z

4. معادلة بالصيغة: A (sinx + cosx) + B sin2x + C \ u003d 0.

واحد). 4 + 2sin2x - 5 (sinx + cosx) = 0. O.D.Z .: x هو أي.
sinx + cosx \ u003d t ، sin2x \ u003d t 2-1.
4 + 2 طن 2 - 2 - 5 طن = 0 ، | ر | < 2
2 ر 2-5 طن + 2 \ u003d 0. t 1 \ u003d 2 ، t 2 \ u003d S.
sinx + cosx = S. cosx = الخطيئة (x + / 2) ،
sinx + sin (x + / 2) = 1/2 ،
2sin (x + / 4) cos (- / 4) = 1/2
الخطيئة (س + / 4) = 1/22 ؛
x + / 4 \ u003d (–1) k arcsin (1/2 O 2) + k، k Z.

إجابه:س \ u003d (-1) ك قوسين (1/22) - / 4 + ك ، ك Z.

5. التخصيم.

1) cos 2 x - 2 cosx \ u003d 4 sinx - sin2x
cosx (cosx - 2) = 2 sinx (2 - cosx) ،
(cosx - 2) (cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2 ، لا جذور.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

إجابه:س = arctg (1/2) + n ، nZ.

ثالثا. المشاكل التي تنشأ عند حل المعادلات المثلثية

1. فقدان الجذور: قسمة على g (x) ؛ استخدام الصيغ الخطرة.

1) ابحث عن الخطأ.

1 - cosx = sinx * sinx / 2 ،
1 - cosx \ u003d 2sin 2 x / 2 الصيغة.
2 sin 2 x / 2 \ u003d 2 sinx / 2 * cosx / 2 * sinx / 2 مقسومًا على 2 sin 2 x / 2 ،
1 = cosx / 2
x / 2 \ u003d 2n ، x \ u003d 4n ، n "Z.
الجذور المفقودة sinx / 2 = 0 ، x = 2k ، k Z.

القرار الصحيح: 2sin 2 x / 2 (1 - cosx / 2) = 0.

الخطيئة 2 س / 2 = 0 س = 2 كيلو ، كيلو هرتز.

1 - cosx / 2 = 0 س = 4 ص ن ، ن Z.

2. الجذور الدخيلة: تخلص من المقام. رفعت إلى قوة متساوية.

واحد). (sin4x - sin2x - cos3x + 2sinx - 1) : (2sin2x - 3) = 0. O.D.Z .: sin2x 3/2.

2cos3x sinx - cos3x + 2sinx - 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx - 1) = 0

واحد). cos3x + 1 = 0 س \ u003d / 3 + 2n / 3 ، ن Z.

2). 2sinx - 1 = 0 س = (–1) ك / 6 + ك ، ك Z.

أولاً: x \ u003d / 3 + 2n / 3 1.n = 0 الخطيئة 2/3 = 3/2 لا ترضي. د. 2.n = 1 sin2 = 0 إرضاء O.D.Z. 3.n = 2 الخطيئة 2/3 = -3 / 2 إرضاء O.D.Z.

ثانيًا. س = (–1) ك / 6 + ك ، ك ع 1. ك = 0 الخطيئة 2/6 = 3/2 لا ترضي O.D.Z. 2. ك = 1 sin2 * 5/6 = -3 / 2 إرضاء O.D.Z.

إجابه:س = + 2 ك ، س = 5/3 + 2 ك ، س = 5/6 + 2 ك ، ك Z.t = 5 sin3x = 0