أمثلة على المهام في موقع النقاط.

الهندسة (الهندسة اليونانية ، من ge - Earth و metreo - قياس)

فرع الرياضيات الذي يدرس العلاقات والأشكال المكانية ، وكذلك العلاقات والأشكال الأخرى المشابهة لتلك المكانية في بنيتها.

يمكن تفسير أصل المصطلح "G." ، والذي يعني حرفيًا "مسح الأرض" ، بالكلمات التالية المنسوبة إلى العالم اليوناني القديم Eudemus of Rhodes (القرن الرابع قبل الميلاد): "اكتشف المصريون الهندسة ونشأت عندما قياس الأرض. كان هذا القياس ضروريًا بسبب فيضان نهر النيل ، الذي جرف الحدود باستمرار. "بالفعل بين الإغريق القدماء ، كانت الجيوديسيا تعني علمًا رياضيًا ، بينما تم تقديم مصطلح الجيوديسيا لعلم قياس الأرض . إذا حكمنا من خلال الأجزاء الباقية من الكتابات المصرية القديمة ، فإن الجاذبية تطورت ليس فقط من قياسات الأرض ، ولكن أيضًا من قياسات الأحجام والأسطح أثناء أعمال الحفر وأعمال البناء ، وما إلى ذلك.

نشأت المفاهيم الأولية للجاذبية نتيجة التجريد من جميع خصائص وعلاقات الأجسام ، باستثناء الموقع والحجم النسبيين. يتم التعبير عن الأول في اللمس أو تجاور الأجساد مع بعضها البعض ، في حقيقة أن أحد الجسد هو جزء من الآخر ، في الموقع "بين" و "الداخل" ، إلخ. يتم التعبير عن الأخير في مفاهيم "أكثر" ، "أقل" ، في مفهوم المساواة بين الأجساد.

بنفس التجريد ، ينشأ مفهوم الجسم الهندسي. الجسم الهندسي هو تجريد يتم فيه الحفاظ على الشكل والأبعاد فقط في تجريد كامل من جميع الخصائص الأخرى. في الوقت نفسه ، كما هو الحال في الرياضيات بشكل عام ، تستخرج الهندسة نفسها تمامًا من عدم التحديد والتنقل للأشكال والأحجام الحقيقية وتعتبر جميع العلاقات والأشكال التي تبحث عنها دقيقة ومحددة تمامًا. يؤدي التجريد من امتداد الأجسام إلى مفاهيم الأسطح والخطوط والنقاط. يتم التعبير عن هذا بوضوح ، على سبيل المثال ، في التعريفات التي قدمها إقليدس: "الخط هو طول بدون عرض" ، "السطح هو ذلك الذي له الطول والعرض". النقطة التي ليس لها أي امتداد هي فكرة تجريدية تعكس إمكانية التخفيض اللامحدود في جميع أبعاد الجسم ، والحد التخيلي لانقسامه اللامتناهي. ثم هناك مفهوم عام للشكل الهندسي ، والذي لا يُفهم فقط على أنه جسم أو سطح أو خط أو نقطة ، ولكن أيضًا أي مزيج منها.

G. في معناه الأصلي هو علم الشخصيات ، والترتيب المتبادل وحجم أجزائها ، وكذلك تحول الشخصيات. هذا التعريف يتفق تمامًا مع تعريف الهندسة على أنها علم الأشكال والعلاقات المكانية. في الواقع ، الشكل ، كما يُنظر إليه في G. ، هو شكل مكاني ؛ لذلك ، في G. يقولون ، على سبيل المثال ، "كرة" ، وليس "جسم كروي" ؛ يتم تحديد الموقع والأبعاد من خلال العلاقات المكانية ؛ أخيرًا ، التحويل ، كما هو مفهوم في G. ، هو أيضًا علاقة معينة بين رقمين - المعطى والشخص الذي يتم تحويله إليه.

بالمعنى الحديث والأكثر عمومية ، تشمل الهندسة مجموعة متنوعة من النظريات الرياضية ، التي لا يتم تحديد انتمائها إلى الهندسة فقط من خلال التشابه (وإن كان بعيدًا جدًا في بعض الأحيان) لموضوعها مع الأشكال والعلاقات المكانية العادية ، ولكن أيضًا من خلال حقيقة أن لقد تطوروا تاريخيًا ويتم تشكيلهم على G. في معناها الأصلي وفي بنائهم تنطلق من تحليل وتعميم وتعديل مفاهيمها. ترتبط الجغرافيا بهذا المعنى العام ارتباطًا وثيقًا بفروع الرياضيات الأخرى ، وحدودها ليست دقيقة. انظر تعميم الهندسة والهندسة الحديثة.

تطوير الهندسة. في تطور الجيولوجيا ، يمكن الإشارة إلى أربع فترات رئيسية ، تشير التحولات بينها إلى تغيير نوعي في الجيولوجيا.

الأولى - فترة ولادة الهندسة كعلم رياضي - استمرت في مصر القديمة وبابل واليونان حتى حوالي القرن الخامس. قبل الميلاد ه. تظهر المعلومات الهندسية الأولية في المراحل الأولى من تطور المجتمع. يجب اعتبار بدايات العلم إنشاء القوانين العامة الأولى ، في هذه الحالة ، التبعيات بين الكميات الهندسية. لا يمكن تأريخ هذه اللحظة. أقدم عمل يحتوي على أساسيات ج. نزل إلينا من مصر القديمة ويعود إلى القرن السابع عشر تقريبًا. قبل الميلاد البريد ، لكنها بالتأكيد ليست الأولى. لم تكن المعلومات الهندسية لتلك الفترة كثيرة وتم اختزالها في المقام الأول لحساب مناطق وأحجام معينة. تم ذكرها في شكل قواعد ، على ما يبدو ، إلى حد كبير من أصل تجريبي ، في حين أن البراهين المنطقية ربما كانت لا تزال بدائية للغاية. اليونان ، وفقًا للمؤرخين اليونانيين ، تم نقلها إلى اليونان من مصر في القرن السابع. قبل الميلاد ه. هنا ، على مدار عدة أجيال ، تطورت إلى نظام متماسك. تمت هذه العملية من خلال تراكم المعرفة الهندسية الجديدة ، وتوضيح الروابط بين الحقائق الهندسية المختلفة ، وتطوير طرق الإثبات ، وأخيراً ، تكوين مفاهيم حول الشكل ، وحول الجملة الهندسية وحول الإثبات.

أدت هذه العملية في النهاية إلى نقلة نوعية. أصبحت الهندسة علمًا رياضيًا مستقلاً: ظهرت عروضها المنهجية ، حيث تم إثبات افتراضاتها باستمرار. منذ ذلك الوقت ، بدأت المرحلة الثانية من تطور الجغرافيا ، وهناك مراجع معروفة للعروض التقديمية المنهجية للجيولوجيا ، والتي تم تقديمها في القرن الخامس. قبل الميلاد ه. أبقراط خيوس (انظر أبقراط خيوس). لقد نجوا ولعبوا دورًا حاسمًا في المستقبل ، والذي ظهر حوالي 300 قبل الميلاد. ه. "بدايات" إقليدس (انظر بدايات إقليدس). هنا يتم تقديم الأشكال الهندسية بالطريقة التي لا تزال مفهومة بشكل عام حتى يومنا هذا ، إذا اقتصرنا على الهندسة الأولية (انظر الهندسة الأولية) ؛ هذا هو علم أبسط الأشكال والعلاقات المكانية ، التي تم تطويرها في تسلسل منطقي ، بناءً على أحكام أساسية مصاغة بوضوح - البديهيات والتمثيلات المكانية الأساسية. تم تطوير الهندسة على نفس الأسس (البديهيات) ، حتى يتم صقلها وإثرائها في كل من الموضوع وفي طرق التحقيق ، تسمى الهندسة الإقليدية. حتى في اليونان ، تمت إضافة نتائج جديدة إليها ، حيث ظهرت طرق جديدة لتحديد المناطق والأحجام (أرخميدس ، القرن الثالث قبل الميلاد) ، وعقيدة المقاطع المخروطية (Apollonius of Perga ، القرن الثالث قبل الميلاد) ، وأضيفت بدايات علم المثلثات (Hipparchus , 2 في. قبل الميلاد ه) و G. على الكرة (مينيلوس ، القرن الأول الميلادي). أدى تدهور المجتمع القديم إلى ركود مقارن في تطور الغجر ، لكنه استمر في التطور في الهند وآسيا الوسطى ودول الشرق العربي.

أدت نهضة العلوم والفنون في أوروبا إلى ازدهار الجغرافيا بشكل أكبر ، واتُخذت خطوة أساسية جديدة في النصف الأول من القرن السابع عشر. ر. ديكارت ، الذي قدم طريقة الإحداثيات في الهندسة. جعلت طريقة الإحداثيات من الممكن ربط الهندسة بالجبر الذي تم تطويره آنذاك والتحليل الناشئ. أدى تطبيق مناهج هذه العلوم في الجيولوجيا إلى ظهور الجغرافيا التحليلية ، ثم الجغرافيا التفاضلية. انتقل G. إلى مستوى جديد نوعيًا مقارنة بـ G. من القدماء: فهو يعتبر بالفعل أرقامًا أكثر عمومية ويستخدم طرقًا جديدة بشكل أساسي. منذ ذلك الوقت ، بدأت المرحلة الثالثة من تطور G ، حيث تدرس الهندسة التحليلية الأشكال والتحولات التي أعطتها المعادلات الجبرية في إحداثيات مستطيلة ، باستخدام طرق الجبر. الهندسة التفاضلية التي نشأت في القرن الثامن عشر. كنتيجة لعمل L.Euler و H. Monge وآخرين ، فقد درس بالفعل أي خطوط وأسطح منحنية ناعمة بما فيه الكفاية ، وعائلاتهم (أي مجموعاتهم المستمرة) ، والتحولات (مفهوم "الهندسة التفاضلية" هو الآن غالبًا ما يتم إعطاء معنى أكثر عمومية ، والذي تمت مناقشته في قسم الهندسة الحديثة). يرتبط اسمها بشكل أساسي بطريقتها ، والتي تأتي من حساب التفاضل والتكامل. بحلول النصف الأول من القرن السابع عشر. يشير إلى أصل الهندسة الإسقاطية (انظر الهندسة الإسقاطية) في أعمال J. Desargues و B. Pascal (انظر باسكال). نشأت من مشاكل تصوير الجثث على متن طائرة. موضوعها الأول هو خصائص الأشكال المستوية التي يتم الاحتفاظ بها عند الإسقاط من مستوى إلى آخر من أي نقطة. تم تقديم الصيغة النهائية والعرض المنهجي لهذه الاتجاهات الجديدة في الجيولوجيا في القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر. تم تطوير أويلر للرسم البياني التحليلي (1748) ، مونجي للرسم البياني التفاضلي (1795) ، جيه بونسيليت للرسم البياني الإسقاطي (1822) ، وعقيدة التمثيل الهندسي ذاتها (فيما يتعلق مباشرة بمشاكل الرسم) تم تطويرها في وقت سابق (1799) وتم إدخاله إلى النظام بواسطة Monge في شكل هندسة وصفية (انظر الهندسة الوصفية). في كل هذه التخصصات الجديدة ، ظلت أسس الهندسة (البديهيات ، المفاهيم الأولية) دون تغيير ، بينما توسع نطاق الأشكال المدروسة وخصائصها ، وكذلك الأساليب المستخدمة.

تبدأ الفترة الرابعة في تطوير الهندسة ببناء N. I. Lobachevsky (انظر Lobachevsky) في عام 1826 هندسة جديدة غير إقليدية ، تسمى الآن هندسة Lobachevsky (انظر هندسة Lobachevsky). بشكل مستقل عن Lobachevsky ، في عام 1832 ، بنى J. Bolyai نفس الهندسة (طور K. Gauss نفس الأفكار ، لكنه لم ينشرها). يتلخص مصدر وجوهر وأهمية أفكار Lobachevsky في ما يلي. في هندسة إقليدس ، توجد بديهية حول المتوازيات ، والتي تنص على: "من خلال نقطة لا تقع على خط معين ، يمكن للمرء رسم خط واحد على الأكثر موازية لخط معين". لقد حاول العديد من المقاييس الهندسية إثبات هذه البديهية من المقدمات الأساسية الأخرى لهندسة إقليدس ، ولكن دون جدوى. توصل لوباتشيفسكي إلى استنتاج مفاده أن مثل هذا الدليل مستحيل. يقول البيان المعاكس لبديهية إقليدس: "من خلال نقطة لا تقع على خط معين ، لا يمكن للمرء أن يرسم خطًا واحدًا ، ولكن على الأقل خطين موازيين له". هذه هي بديهية Lobachevsky. ووفقًا لـ Lobachevsky ، فإن إضافة هذا الحكم إلى الأحكام الأساسية الأخرى لـ G. تؤدي إلى استنتاجات منطقية خالية من العيوب. يشكل نظام هذه الاستنتاجات هندسة جديدة غير إقليدية. تكمن ميزة Lobachevsky في حقيقة أنه لم يعبر عن هذه الفكرة فحسب ، بل قام بالفعل ببناء هندسة جديدة وطورها بشكل شامل ، تمامًا كما هو منطقي تمامًا وغني بالاستنتاجات مثل إقليدي ، على الرغم من عدم اتساقها مع التمثيلات المرئية المعتادة. اعتبر Lobachevsky هندسته كنظرية محتملة للعلاقات المكانية ؛ ومع ذلك ، فقد ظل افتراضيًا حتى تم توضيح معناه الحقيقي (في عام 1868) ، وبالتالي تم تقديم تبريره الكامل (انظر قسم تفسيرات الهندسة).

إن الثورة في الهندسة التي أحدثها Lobachevsky هي في أهميتها لا تقل عن أي من الثورات في العلوم الطبيعية ، وليس عبثًا أن أطلق على Lobachevsky اسم "Copernicus of Geometry". تم تحديد ثلاثة مبادئ في أفكاره ، والتي حددت التطور الجديد للهندسات: المبدأ الأول هو أنه ليس فقط الهندسة الإقليدية يمكن تصورها منطقيًا ، ولكن أيضًا "الهندسة" الأخرى. المبدأ الثاني هو مبدأ بناء نظريات هندسية جديدة من خلال تعديل وتعميم الأحكام الرئيسية للإقليدية ج.المبدأ الثالث هو أن حقيقة النظرية الهندسية ، بمعنى التوافق مع الخصائص الحقيقية للفضاء ، يمكن يتم التحقق منها فقط عن طريق البحث الفيزيائي ومن الممكن أن تثبت مثل هذه الدراسات ، بهذا المعنى ، عدم دقة الإقليدية G. وقد أكدت الفيزياء الحديثة ذلك. ومع ذلك ، فإن الدقة الرياضية للهندسة الإقليدية لا تضيع بسبب هذا ، منذ ذلك الحين يتم تحديده من خلال التناسق المنطقي (التناسق) لهذه G. وبنفس الطريقة ، فيما يتعلق بأي نظرية هندسية ، يجب على المرء أن يميز بين حقيقته الفيزيائية والرياضية ؛ الأول يتألف من توافق الواقع الذي تتحقق منه التجربة ، والثاني في التناسق المنطقي. أعطى Lobachevsky ، بالتالي ، نهجًا ماديًا لفلسفة الرياضيات. لعبت هذه المبادئ العامة دورًا مهمًا ليس فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في الرياضيات بشكل عام ، في تطوير منهجها البدهي ، وفي فهم علاقتها بالواقع.

السمة الرئيسية للفترة الجديدة في تاريخ الهندسة ، التي بدأها Lobachevsky ، هي تطوير نظريات هندسية جديدة - "أشكال هندسية" جديدة وفي التعميم المقابل لموضوع الهندسة ؛ ينشأ مفهوم الأنواع المختلفة من "الفراغات" (مصطلح "الفضاء" له معنيان في العلم: من ناحية ، إنه فضاء حقيقي عادي ، ومن ناحية أخرى ، هو "فضاء رياضي" مجرد). في الوقت نفسه ، تشكلت بعض النظريات داخل الجغرافيا الإقليدية في شكل فصول خاصة بها ، وعندها فقط اكتسبت أهمية مستقلة. هذه هي الطريقة التي تم بها تشكيل الهندسة الإسقاطية ، والأفينية ، والامتثالية ، وغيرها ، وموضوعها هو خصائص الأشكال المحفوظة في ظل التحولات المناسبة (الإسقاطية ، الأفينية ، المطابقة ، إلخ). نشأت فكرة المساحات الإسقاطية ، الأفينية ، والامتثالية ؛ بدأ اعتبار الجغرافيا الإقليدية نفسها ، بمعنى ما ، رأس الجغرافيا الإسقاطية. تم بناء النظريات ، مثل هندسة Lobachevsky ، منذ البداية على أساس تغيير وتعميم مفاهيم الهندسة الإقليدية ، وهكذا ، تم إنشاء الهندسة متعددة الأبعاد ، على سبيل المثال ؛ تمثل الأعمال الأولى المتعلقة به (G. Grassman و A. Cayley ، 1844) تعميمًا رسميًا للجاذبية التحليلية المعتادة من ثلاثة إحداثيات إلى ن. لخص ف. كلاين بعض نتائج تطور كل هذه "الأشكال الهندسية" الجديدة في عام 1872 ، مشيرًا إلى المبدأ العام لبنائها.

ريمان اتخذ خطوة أساسية (محاضرة 1854 ، نُشرت عام 1867). أولاً ، صاغ بوضوح المفهوم العام للفضاء كمجموعة مستمرة من أي كائنات أو ظواهر متجانسة (انظر قسم تعميم موضوع الهندسة). ثانيًا ، قدم مفهوم الفضاء مع أي قانون لقياس المسافات بخطوات متناهية الصغر (على غرار قياس طول خط بمقياس صغير جدًا). من هنا تطورت منطقة جورجيا الشاسعة ، ما يسمى ب. الهندسة الريمانية وتعميماتها ، والتي وجدت تطبيقات مهمة في نظرية النسبية ، في الميكانيكا ، إلخ.

مثال آخر. يتم تحديد حالة الغاز في الاسطوانة تحت المكبس بالضغط ودرجة الحرارة. يمكن بالتالي تمثيل مجمل جميع الحالات الممكنة للغاز على أنه فضاء ثنائي الأبعاد. "نقاط" هذا "الفضاء" هي حالات الغاز. تختلف "النقاط" في "إحداثيات" - الضغط ودرجة الحرارة ، تمامًا كما تختلف النقاط الموجودة على مستوى في قيم إحداثياتها. يتم تمثيل التغيير المستمر للحالة بخط في هذا الفضاء.

علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يتخيل أي نظام مادي - ميكانيكي أو فيزيائي - كيميائي. مجموع كل الحالات الممكنة لهذا النظام يسمى "فضاء الطور". "نقاط" هذا الفضاء هي الدول نفسها. إذا تم تحديد حالة النظام نثم نقول أن النظام لديه ندرجات الحرية. تلعب هذه الكميات دور إحداثيات حالة النقطة ، كما في مثال الغاز ، يلعب الضغط ودرجة الحرارة دور الإحداثيات. وفقًا لهذا ، يتم استدعاء مساحة الطور هذه للنظام ن-الأبعاد. يتم تمثيل تغيير الحالة بخط في هذا الفضاء ؛ ستكون المناطق الفردية للولايات ، والتي تتميز بميزة أو بأخرى ، مناطق فضاء الطور ، وستكون حدود المناطق عبارة عن أسطح في هذا الفضاء. إذا كان النظام يتمتع بدرجتين فقط من الحرية ، فيمكن تمثيل حالاته بنقاط على المستوى. وهكذا ، حالة الغاز مع الضغط صودرجة الحرارة تيممثلة بنقطة مع إحداثيات صو تي ،وسيتم تمثيل العمليات التي تحدث مع الغاز بخطوط على المستوى. طريقة التمثيل الرسومي هذه معروفة جيدًا وتستخدم باستمرار في الفيزياء والتكنولوجيا لتصور العمليات وقوانينها. ولكن إذا كان عدد درجات الحرية أكبر من 3 ، فإن التمثيل الرسومي البسيط (حتى في الفضاء) يصبح مستحيلاً. ثم ، من أجل الحفاظ على المقارنات الهندسية المفيدة ، يلجأ المرء إلى مفهوم فضاء الطور المجرد. وهكذا ، فإن أساليب الرسم المرئي تنمو في هذا التمثيل التجريدي. تستخدم طريقة فضاء الطور على نطاق واسع في الميكانيكا والفيزياء النظرية والكيمياء الفيزيائية. في الميكانيكا ، يتم تمثيل حركة النظام الميكانيكي بحركة نقطة في فضاء طورها. في الكيمياء الفيزيائية ، من المهم بشكل خاص النظر في الشكل والترابط المتبادل لتلك المناطق من فضاء الطور لنظام من عدة مواد تتوافق مع حالات مختلفة نوعياً. الأسطح التي تفصل بين هذه المناطق هي أسطح التحولات من نوعية إلى أخرى (الذوبان ، التبلور ، إلخ). في الهندسة نفسها ، يُنظر أيضًا إلى الفراغات المجردة ، والتي تكون "نقاطها" أشكالًا ؛ هذه هي الطريقة التي يتم بها تحديد "مسافات" الدوائر والأشكال الكروية والخطوط وما إلى ذلك. في الميكانيكا ونظرية النسبية ، يتم أيضًا تقديم فضاء مجردة رباعي الأبعاد ، مضيفًا الوقت إلى الإحداثيات المكانية الثلاثة باعتباره الإحداثي الرابع. هذا يعني أنه يجب تمييز الأحداث ليس فقط من خلال الموقع في الفضاء ، ولكن أيضًا في الوقت المناسب.

وهكذا ، يصبح من الواضح كيف يمكن وضع مجموعات مستمرة من مختلف الأشياء والظواهر والحالات تحت المفهوم العام للفضاء. في مثل هذا الفضاء يمكن للمرء رسم "خطوط" تصور التسلسلات المستمرة للظواهر (الحالات) ، ورسم "الأسطح" وتحديد "المسافات" بطريقة مناسبة بين "النقاط" ، وبالتالي إعطاء تعبير كمي للمفهوم المادي لدرجة اختلاف الظواهر (الحالات) المقابلة ، وما إلى ذلك. وهكذا ، عن طريق القياس مع الهندسة العادية ، تنشأ "هندسة" الفضاء المجرد ؛ هذا الأخير قد يحمل القليل من التشابه مع الفضاء العادي ، كونه ، على سبيل المثال ، غير متجانسة في خصائصه الهندسية ومحدودة ، مثل سطح مغلق منحني بشكل غير متساو.

إن موضوع الجيولوجيا بالمعنى العام ليس فقط الأشكال والعلاقات المكانية ، ولكن أي أشكال وعلاقات ، مأخوذة في تجريد من محتواها ، تتحول إلى أن تكون مشابهة للأشكال والعلاقات المكانية العادية. تسمى أشكال الواقع الشبيهة بالفضاء "الفراغات" و "الأشكال". الفضاء بهذا المعنى عبارة عن مجموعة مستمرة من الأشياء المتجانسة ، والظواهر ، والحالات التي تلعب دور النقاط في الفضاء ، وفي هذه المجموعة توجد علاقات شبيهة بالعلاقات المكانية العادية ، مثل ، على سبيل المثال ، المسافة بين النقاط ، والمساواة من الأرقام ، إلخ. (الرقم هو بشكل عام جزء من الفضاء). ينظر G. إلى هذه الأشكال من الواقع في صورة تجريدية من المحتوى الملموس ، في حين أن دراسة الأشكال والعلاقات المحددة فيما يتعلق بمحتواها الفريد نوعيًا هي موضوع العلوم الأخرى ، ويعمل G. يمكن أن يكون أي تطبيق للهندسة المجردة بمثابة مثال ، حتى لو كان التطبيق أعلاه ن- الفضاء البُعدى فى الكيمياء الفيزيائية. يتميز G. بمثل هذا النهج للكائن ، والذي يتكون من تعميم ونقل المفاهيم الهندسية المعتادة والتمثيلات المرئية إلى كائنات جديدة. هذا هو بالضبط ما تم القيام به في الأمثلة المذكورة أعلاه لمساحة الألوان ، وما إلى ذلك. هذا النهج الهندسي ليس اصطلاحًا خالصًا على الإطلاق ، ولكنه يتوافق مع طبيعة الظواهر ذاتها. ولكن غالبًا ما يمكن تمثيل الحقائق الحقيقية نفسها تحليليًا أو هندسيًا ، تمامًا كما يمكن إعطاء نفس الاعتماد بواسطة معادلة أو خط على الرسم البياني.

ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يمثل تطور الهندسة بطريقة تسجل وتصف فقط في اللغة الهندسية الأشكال والعلاقات التي تمت مواجهتها بالفعل في الممارسة ، على غرار المكانية. في الواقع ، تحدد الهندسة فئات واسعة من المساحات والأشكال الجديدة فيها ، انطلاقًا من تحليل وتعميم بيانات الهندسة المرئية والنظريات الهندسية القائمة بالفعل. في التعريف المجرد ، تظهر هذه الفراغات والأشكال كأشكال ممكنة للواقع. وبالتالي ، فهي ليست مجرد بنايات تخمينية ، ولكنها يجب أن تكون في نهاية المطاف وسيلة للبحث ووصف الحقائق الحقيقية. Lobachevsky ، الذي أنشأ هندسته ، اعتبرها نظرية محتملة للعلاقات المكانية. وكما تم إثبات هندسته بمعنى تناسقها المنطقي وقابليتها للتطبيق على الظواهر الطبيعية ، فإن أي نظرية هندسية مجردة تمر بنفس الاختبار المزدوج. للتحقق من التناسق المنطقي ، فإن طريقة بناء النماذج الرياضية للمساحات الجديدة ضرورية. ومع ذلك ، فقط تلك المفاهيم المجردة التي يتم تبريرها من خلال بناء نموذج اصطناعي والتطبيقات ، إن لم تكن مباشرة في العلوم الطبيعية والتكنولوجيا ، ثم على الأقل في النظريات الرياضية الأخرى ، والتي من خلالها ترتبط هذه المفاهيم بطريقة أو بأخرى بالواقع ، تأخذ في النهاية جذور في العلم. إن السهولة التي يعمل بها علماء الرياضيات والفيزياء الآن مع "مساحات" مختلفة قد تحققت نتيجة للتطور الطويل للهندسة المرتبط ارتباطًا وثيقًا بتطور الرياضيات ككل والعلوم الدقيقة الأخرى. ونتيجة لهذا التطور بالتحديد ، فإن الجانب الثاني من الجاذبية ، المشار إليه في التعريف العام الوارد في بداية المقالة ، قد تبلور واكتسب أهمية كبيرة: التضمين في الجاذبية لدراسة الأشكال والعلاقات المتشابهة لأشكال وعلاقات في الفضاء العادي.

كمثال على نظرية هندسية مجردة ، يمكن للمرء أن يعتبر G. نالفضاء الإقليدي الأبعاد. تم إنشاؤه من خلال تعميم بسيط للأحكام الرئيسية للهندسة العادية ، وهناك العديد من الاحتمالات لذلك: يمكن للمرء ، على سبيل المثال ، تعميم البديهيات في الهندسة العادية ، ولكن يمكن أيضًا المضي قدمًا من تحديد النقاط بالإحداثيات. مع النهج الثاني نيُعرَّف الفضاء-الأبعاد على أنه مجموعة من أي نقاط-عناصر تُعطى بواسطة (كل) نأعداد × 1, x2,…, xn، الموجودة في ترتيب معين ، - إحداثيات النقاط. علاوة على ذلك ، المسافة بين النقطتين X \ u003d (x 1، x 2، ...، xn)و X "= (x '1، x' 2، ...، x 'n)يتم تحديده من خلال الصيغة:

وهو تعميم مباشر للصيغة المعروفة للمسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يتم تعريف الحركة على أنها تحول في الشكل لا يغير المسافات بين نقطته. ثم الموضوع نيتم تعريف هندسة الأبعاد على أنها دراسة خصائص الأشكال التي لا تتغير أثناء الحركة. على هذا الأساس ، فإن مفاهيم الخط المستقيم ، والمستويات ذات الأعداد المختلفة من الأبعاد من اثنين إلى ن-1 ، حول الكرة ، إلخ. الذي - التي. تظهر نظرية غنية بالمحتوى ، تشبه في كثير من النواحي الهندسة الإقليدية العادية ، ولكنها تختلف عنها في كثير من النواحي أيضًا. غالبًا ما يحدث أن يتم نقل النتائج التي تم الحصول عليها لمساحة ثلاثية الأبعاد بسهولة ، مع التغييرات المناسبة ، إلى مساحة بأي عدد من الأبعاد. على سبيل المثال ، النظرية القائلة بأنه من بين جميع الأجسام ذات الحجم نفسه ، فإن الكرة بها أصغر مساحة سطحية ، تتم قراءتها حرفيًا بنفس الطريقة في مساحة أي عدد من الأبعاد [عليك فقط أن تضع في اعتبارك نحجم الأبعاد ، ( ن-1) منطقة الأبعاد و نالكرة ذات الأبعاد ، والتي يتم تعريفها بشكل مشابه تمامًا لمفاهيم الجاذبية العادية]. بعد ذلك ، في ن- مساحة الأبعاد ، وحجم المنشور يساوي حاصل ضرب منطقة القاعدة والارتفاع ، وحجم الهرم يساوي مثل هذا المنتج مقسومًا على ن. مثل هذه الأمثلة يمكن أن تستمر. من ناحية أخرى ، توجد حقائق جديدة نوعيًا أيضًا في فضاءات متعددة الأبعاد.

تفسيرات الهندسة. تسمح نفس النظرية الهندسية بتطبيقات مختلفة ، وتفسيرات مختلفة (إدراك ، نماذج ، أو تفسيرات). أي تطبيق لنظرية ما هو إلا تحقيق لبعض استنتاجاتها في مجال الظواهر المقابلة.

تعد إمكانية التطبيقات المختلفة خاصية مشتركة لأي نظرية رياضية. وهكذا ، تتحقق العلاقات الحسابية على أكثر مجموعات الأشياء تنوعًا ؛ غالبًا ما تصف نفس المعادلة ظواهر مختلفة تمامًا. لا تنظر الرياضيات إلا في شكل الظاهرة ، مجردة من المحتوى ، ومن وجهة نظر الشكل ، غالبًا ما تتشابه العديد من الظواهر النوعية المختلفة. إن تنوع تطبيقات الرياضيات ، والهندسة على وجه الخصوص ، مكفول بدقة من خلال طابعها المجرد. يُعتقد أن نظامًا معينًا للأشياء (مجال الظواهر) يوفر تحقيقًا لنظرية إذا كان من الممكن وصف العلاقات في هذا المجال من الكائنات بلغة النظرية بطريقة يعبر فيها كل بيان من النظرية عن واحد. أو حقيقة أخرى تحدث في المنطقة قيد النظر. على وجه الخصوص ، إذا تم بناء النظرية على أساس نظام من البديهيات ، فإن تفسير هذه النظرية يتكون في مثل هذه المقارنة لمفاهيمها مع أشياء معينة وعلاقاتها ، حيث تكون البديهيات راضية عن هذه الأشياء.

نشأ الإقليدية G. كانعكاس لحقائق الواقع. تفسيرها المعتاد ، حيث تعتبر الخيوط الممدودة مستقيمة ، وحركة ميكانيكية ، وما إلى ذلك ، تسبق الجاذبية كنظرية رياضية. لم تكن مسألة التفسيرات الأخرى ولا يمكن طرحها حتى ظهر فهم أكثر تجريدًا للهندسة. ابتكر Lobachevsky الهندسة غير الإقليدية باعتبارها هندسة محتملة ، ثم نشأ سؤال حول تفسيرها الحقيقي. تم حل هذه المشكلة في عام 1868 من قبل إي. بلترامي ، الذي لاحظ أن هندسة Lobachevsky تتطابق مع الهندسة الداخلية للأسطح ذات الانحناء السلبي الثابت ، أي أن نظريات Lobachevsky الهندسية تصف الحقائق الهندسية على هذه الأسطح (في هذه الحالة ، يكون دور الخطوط المستقيمة هو تلعبها الخطوط الجيوديسية ، وحركات الدور - ثني السطح نحو نفسه). نظرًا لأن هذا السطح في نفس الوقت هو كائن من الهندسة الإقليدية ، فقد اتضح أن هندسة Lobachevsky يتم تفسيرها من حيث هندسة إقليدس. وهكذا ، تم إثبات اتساق هندسة Lobachevsky منذ ذلك الحين التناقض فيه ، بحكم هذا التفسير ، يستلزم تناقضًا في هندسة إقليدس.

وهكذا ، يتم توضيح المعنى المزدوج لتفسير النظرية الهندسية - الفيزيائي والرياضي. إذا كنا نتحدث عن تفسير لأشياء محددة ، فإننا نحصل على إثبات تجريبي لحقيقة النظرية (بالطبع ، بدقة مناسبة) ؛ إذا كانت الكائنات نفسها ذات طابع تجريدي (مثل السطح الهندسي في إطار هندسة إقليدس) ، فإن النظرية مرتبطة بنظرية رياضية أخرى ، في هذه الحالة مع الهندسة الإقليدية ، ومن خلالها مع البيانات التجريبية الملخصة فيها. أصبح مثل هذا التفسير لنظرية رياضية واحدة عن طريق أخرى طريقة رياضية لإثبات نظريات جديدة ، طريقة لإثبات اتساقها ، لأن التناقض في نظرية جديدة من شأنه أن يؤدي إلى تناقض في النظرية التي يتم تفسيرها فيها. لكن النظرية التي يتم بها التفسير ، بدورها ، تحتاج إلى إثبات. لذلك ، فإن الطريقة الرياضية المحددة لا تزيل حقيقة أن الممارسة تظل المعيار النهائي للحقيقة للنظريات الرياضية. في الوقت الحاضر ، غالبًا ما يتم تفسير النظريات الهندسية بشكل تحليلي ؛ على سبيل المثال ، يمكن ربط النقاط الموجودة على مستوى Lobachevsky بأزواج من الأرقام Xو في، خطوط مستقيمة - يتم تحديدها بواسطة المعادلات ، إلخ. توفر هذه التقنية تبريرًا للنظرية لأن التحليل الرياضي نفسه مبرر ، في التحليل النهائي ، من خلال الممارسة الواسعة لتطبيقه.

الهندسة الحديثة. ينطلق التعريف الرياضي الرسمي لمفاهيم الفضاء والشكل المقبول في الرياضيات الحديثة من مفهوم المجموعة (انظر نظرية المجموعات). يتم تعريف الفضاء على أنه مجموعة من أي عناصر ("نقاط") بشرط أن يتم في هذه المجموعة إنشاء بعض العلاقات المشابهة للعلاقات المكانية العادية. مجموعة الألوان ، مجموعة حالات النظام المادي ، مجموعة الوظائف المستمرة المحددة في المقطع ، إلخ. فضاءات تكون فيها النقاط عبارة عن ألوان ، حالات ، وظائف. بتعبير أدق ، تُفهم هذه المجموعات على أنها مسافات إذا تم تثبيت العلاقات المقابلة فيها فقط ، على سبيل المثال ، المسافة بين النقاط ، وتلك الخصائص والعلاقات التي يتم تحديدها من خلالها. وبالتالي ، يمكن تعريف المسافة بين الدوال على أنها الحد الأقصى للقيمة المطلقة لاختلافها: max | F(x)-g(x)| . يتم تعريف الرقم على أنه مجموعة تعسفية من النقاط في مساحة معينة. (في بعض الأحيان ، يكون الفضاء عبارة عن نظام من مجموعات العناصر. على سبيل المثال ، في الهندسة الإسقاطية ، من المعتاد اعتبار النقاط والخطوط والمستويات ككائنات هندسية أولية متساوية متصلة بعلاقات "اتصال".)

الأنواع الرئيسية للعلاقات التي ، في مجموعات مختلفة ، تؤدي إلى مجموعة متنوعة كاملة من "المساحات" في الهندسة الحديثة هي كما يلي:

1) العلاقات العامة الموجودة في أي مجموعة هي علاقات العضوية والشمول: تنتمي النقطة إلى مجموعة ، والمجموعة هي جزء من الأخرى. إذا تم أخذ هذه العلاقات فقط في الاعتبار ، فلن يتم تحديد أي "هندسة" في المجموعة بعد ، فلن تصبح مساحة. ومع ذلك ، إذا تم تحديد بعض الأشكال الخاصة (مجموعات النقاط) ، فيمكن تحديد "هندسة" الفضاء من خلال قوانين ربط النقاط بهذه الأشكال. يتم لعب هذا الدور من خلال البديهيات المركبة في الهندسة الأولية ، والهندسة الأفينية ، والهندسة الإسقاطية ؛ هنا تعمل الخطوط والطائرات كمجموعات خاصة.

يسمح لنا نفس مبدأ اختيار بعض المجموعات الخاصة بتعريف مفهوم الفضاء الطوبولوجي - مساحة يتم فيها تمييز "أحياء" النقاط كمجموعات خاصة (بشرط أن تنتمي النقطة إلى جوارها وأن يكون لكل نقطة على الأقل حي واحد ؛ فرض المزيد من المتطلبات على الأحياء يحدد نوعًا أو نوعًا آخر من المساحات الطوبولوجية). إذا كان لأي حي من نقطة معينة نقاط مشتركة مع مجموعة ما ، فإن هذه النقطة تسمى نقطة اتصال هذه المجموعة. يمكن استدعاء مجموعتين باللمس إذا كانت إحداهما على الأقل تحتوي على نقاط اتصال للآخر ؛ سيكون الفضاء أو الشكل مستمرًا ، أو ، كما يقولون ، متصلًا إذا كان لا يمكن تقسيمه إلى جزأين غير متجاورين ؛ يكون التحول مستمرًا إذا لم يقطع الاتصال. وهكذا ، فإن مفهوم الفضاء الطوبولوجي بمثابة تعبير رياضي لمفهوم الاستمرارية. [يمكن أيضًا تحديد الفضاء الطوبولوجي من خلال مجموعات خاصة أخرى (مغلقة ، مفتوحة) أو مباشرة من خلال علاقة تماس ، حيث ترتبط أي مجموعة من النقاط بنقاط التماس الخاصة بها.] المساحات الطوبولوجية على هذا النحو ، والمجموعات فيها ، وتحولاتها هي موضوع الطوبولوجيا. إن موضوع الهندسة المناسبة (إلى حد كبير) هو دراسة الفراغات والأشكال الطوبولوجية فيها ، والتي تتمتع بخصائص إضافية.

2) ثاني أهم مبدأ لتحديد فضاءات معينة ودراستها هو إدخال الإحداثيات. المتشعب هو مساحة طوبولوجية (متصلة) في محيط كل نقطة يمكن للمرء أن يقدم إحداثيات من خلال وضع نقاط الحي في مراسلات فردية ومستمرة بشكل متبادل مع أنظمة من نأرقام حقيقية × 1 ، × 2 ،(، xn. رقم نهو عدد أبعاد المشعب. المساحات التي تمت دراستها في معظم النظريات الهندسية متشعبة. أبسط الأشكال الهندسية (أجزاء ، أجزاء من الأسطح التي تحدها منحنيات ، إلخ) عادة ما تكون قطعًا من المشعبات. إذا كان من بين جميع أنظمة الإحداثيات التي يمكن إدخالها في أجزاء المنوع ، هناك أنظمة إحداثيات من هذا النوع يتم التعبير عن بعض الإحداثيات من حيث أخرى من خلال وظائف قابلة للتفاضل (واحد أو عدد آخر من المرات) أو وظائف تحليلية ، إذن نحن الحصول على ما يسمى ب. متشعب سلس (تحليلي). يعمم هذا المفهوم التمثيل المرئي لسطح أملس. المشعبات الملساء على هذا النحو هي موضوع ما يسمى. الطوبولوجيا التفاضلية. في G. صحيح ، لقد وهبوا بخصائص إضافية. توفر الإحداثيات مع الشرط المقبول لقابلية التفاضل في تحويلاتها الأساس للاستخدام الواسع النطاق للطرق التحليلية - حساب التفاضل والتكامل التفاضلي ، بالإضافة إلى تحليل المتجه والموتر (انظر حساب التفاضل والتكامل المتجه ، حساب الموتر). تشكل مجمل نظريات الجيولوجيا التي طورتها هذه الأساليب جغرافيا تفاضلية عامة ؛ أبسط حالاتها هي النظرية الكلاسيكية للمنحنيات والأسطح الملساء ، والتي ليست سوى مشعبات متباينة أحادية وثنائية الأبعاد.

3) يؤدي تعميم مفهوم الحركة كتحول لشخص ما إلى آخر إلى مبدأ عام لتعريف الفراغات المختلفة ، عندما يُنظر إلى الفضاء على أنه مجموعة من العناصر (النقاط) التي فيها مجموعة من واحد إلى- يتم إعطاء تحويلات واحدة من هذه المجموعة على نفسها. تتكون "هندسة" هذا الفضاء من دراسة خصائص الأشكال المحفوظة في ظل التحولات من هذه المجموعة. لذلك ، من وجهة نظر مثل هذه الهندسة ، يمكن اعتبار الأشكال "متساوية" إذا انتقل أحدهم إلى الآخر من خلال تحول من مجموعة معينة. على سبيل المثال ، تدرس الهندسة الإقليدية خصائص الأشكال المحفوظة تحت الحركات ، وتدرس الهندسة الأفينية خصائص الأشكال المحفوظة في ظل التحولات الأفينية ، وتدرس الطوبولوجيا خصائص الأشكال المحفوظة تحت أي تحولات فردية ومستمرة . يتضمن نفس المخطط هندسة Lobachevsky والهندسة الإسقاطية وغيرها. في الواقع ، يتم دمج هذا المبدأ مع إدخال الإحداثيات. يُعرَّف الفضاء على أنه مشعب سلس يتم فيه إعطاء التحويلات من خلال وظائف تتعلق بإحداثيات كل نقطة معينة والنقطة التي تمر إليها (تُعطى إحداثيات صورة نقطة كوظائف لإحداثيات النقطة نفسها و المعلمات التي يعتمد عليها التحويل ؛ على سبيل المثال ، يتم تعريف التحويلات الأفينية على أنها خطية: x "i = a i1 x 1 + a i2 x 2 + ... + a في x n ، i = 1 ، ... ، n). لذلك ، فإن الجهاز العام لتطوير مثل هذه "الأشكال الهندسية" هو نظرية المجموعات المستمرة للتحولات. وجهة نظر أخرى ، مكافئة بشكل أساسي ، ممكنة ، وفقًا لها لا يتم تحديد تحويلات الفضاء ، ولكن يتم تنسيق التحولات فيها ، ويتم دراسة خصائص الأشكال التي يتم التعبير عنها بالتساوي في أنظمة إحداثيات مختلفة. وجدت وجهة النظر هذه تطبيقًا في نظرية النسبية ، والتي تتطلب نفس التعبير عن القوانين الفيزيائية في أنظمة إحداثيات مختلفة ، تسمى إطارات مرجعية في الفيزياء.

4) مبدأ عام آخر لتعريف الفراغات ، أشار إليه ريمان عام 1854 ، ينطلق من تعميم مفهوم المسافة. وفقًا لريمان ، فإن الفضاء عبارة عن مشعب سلس يتم فيه تعيين قانون قياس المسافات ، وبشكل أكثر دقة ، الأطوال ، بخطوات متناهية الصغر ، أي أن تفاضل طول قوس المنحنى يتم تعيينه كدالة لإحداثيات نقطة المنحنى وفروقها. هذا تعميم للهندسة الداخلية للأسطح ، التي حددها Gauss على أنها دراسة خصائص الأسطح ، والتي يمكن إنشاؤها عن طريق قياس أطوال المنحنيات عليها. يتم تمثيل أبسط حالة من خلال ما يسمى ب. المساحات الريمانية التي تثبت فيها نظرية فيثاغورس في الصغر اللامتناهي (على سبيل المثال ، في منطقة مجاورة لكل نقطة ، يمكن للمرء تقديم إحداثيات بطريقة تجعل مربع تفاضل طول القوس في هذه المرحلة مساويًا لمجموع مربعات تفاضلات الإحداثيات ؛ في الإحداثيات التعسفية ، يتم التعبير عنها من خلال شكل تربيعي موجب عام ، انظر هندسة ريماني (انظر الهندسة الريمانية)). لذلك ، فإن مثل هذا الفضاء هو إقليدي في متناهية الصغر ، ولكن بشكل عام قد لا يكون إقليديًا ، تمامًا كما لا يمكن تصغير السطح المنحني إلى مستوى متناهٍ في الصغر بدقة مناسبة. اتضح أن هندسة إقليدس ولوباتشيفسكي حالة خاصة لهذا الريماني ج.أدى التعميم الأوسع لمفهوم المسافة إلى مفهوم الفضاء المتري العام مثل مجموعة العناصر التي يتم إعطاء "متري" فيها ، على سبيل المثال ، يتم تعيين رقم لكل زوج من العناصر - المسافة بينهما ، تخضع فقط لشروط عامة جدًا. تلعب هذه الفكرة دورًا مهمًا في التحليل الوظيفي وتكمن وراء بعض أحدث النظريات الهندسية ، مثل الحدود الجوهرية للأسطح غير الملساء والتعميمات المقابلة لحدود ريمان.

5) الجمع بين فكرة ريمان حول تعريف "الهندسة" في مساحات صغيرة للغاية من متشعب مع تعريف "الهندسة" عن طريق مجموعة من التحولات أدت (إي. كارتان ، 1922-1925) إلى مفهوم مساحة تُعطى فيها التحولات فقط في مناطق صغيرة للغاية ؛ بعبارة أخرى ، هنا تنشئ التحولات صلة بين القطع المتقاربة بلا حدود فقط من المشعب: يتم تحويل قطعة واحدة إلى أخرى ، قريبة بشكل لا نهائي. لذلك ، يتحدث المرء عن مسافات ذات "اتصال" من نوع أو آخر. على وجه الخصوص ، المساحات ذات "الصلة الإقليدية" هي المساحات الريمانية. مزيد من التعميمات تعود إلى مفهوم الفضاء كمشعب سلس حيث يتم إعطاء "مجال" بعض "الكائن" بشكل عام ، والذي يمكن أن يكون شكلًا تربيعيًا ، كما هو الحال في هندسة ريمان ، مجموعة من الكميات التي تحدد الاتصال ، موتر واحد أو آخر ، إلخ. وهذا يشمل أيضًا ما يسمى. مساحات ذات طبقات. تتضمن هذه المفاهيم ، على وجه الخصوص ، تعميمًا للهندسة الريمانية المرتبطة بنظرية النسبية ، عندما يتم اعتبار الفراغات حيث لم يعد يتم إعطاء المقياس بشكل إيجابي ، ولكن من خلال شكل تربيعي متناوب مع الإشارة (تسمى هذه المسافات أيضًا Riemannian ، أو ريمانيان زائف ، إذا أرادوا تمييزهم عن ريمانيان بالمعنى الأصلي). هذه المساحات عبارة عن مسافات ذات اتصال محدد من قبل المجموعة المقابلة ، تختلف عن مجموعة الحركات الإقليدية.

على أساس نظرية النسبية ، نشأت نظرية الفراغات التي يتم فيها تعريف مفهوم تعاقب النقاط ، بحيث تكون كل نقطة Xمجموعة الإجابات الخامس (X)النقاط التي تتبعها. (هذا تعميم رياضي طبيعي لتسلسل الأحداث ، محددًا بحقيقة أن الحدث صيتبع الحدث س ،إذا Xيؤثر نعم ،وثم صيتبع Xفي الوقت المناسب في أي إطار مرجعي.) منذ تعيين المجموعات ذاتها الخامسيحدد النقاط التالية س ،على أنها تنتمي إلى المجموعة الخامس (X)، ثم تبين أن تعريف هذا النوع من الفراغات هو تطبيق أول المبادئ المذكورة أعلاه ، عندما يتم تحديد "هندسة" الفضاء من خلال اختيار مجموعات خاصة. بالطبع ، في حين أن الكثير الخامسيجب أن يخضع للشروط ذات الصلة ؛ في أبسط الحالات ، هذه أقماع محدبة. تتضمن هذه النظرية نظرية المساحات الريمانية الزائفة المقابلة.

6) الطريقة البديهية في شكلها النقي تعمل الآن إما على صياغة نظريات جاهزة ، أو لتحديد الأنواع العامة للمساحات بمجموعات خاصة مميزة. إذا تم تحديد نوع أو آخر من المساحات الأكثر تحديدًا من خلال صياغة خصائصها كبديهيات ، فسيتم استخدام إما إحداثيات أو مقياس ، وما إلى ذلك. ، كما تم القيام به لأول مرة للهندسة Lobachevsky. تم بناء النموذج نفسه من كائنات رياضية مجردة ، لذا فإن "التبرير النهائي" لأي نظرية هندسية يذهب إلى مجال أسس الرياضيات بشكل عام ، والتي لا يمكن أن تكون نهائية بالمعنى الكامل ، ولكنها تتطلب التعميق (انظر الرياضيات ، طريقة بديهية ).

تؤدي هذه المبادئ في مجموعات وتنوعات مختلفة إلى ظهور مجموعة متنوعة من النظريات الهندسية. يتم تحديد أهمية كل منها ودرجة الاهتمام بمشاكلها من خلال محتوى هذه المشاكل والنتائج التي تم الحصول عليها ، وارتباطها بنظريات الهندسة الأخرى ، مع مجالات الرياضيات الأخرى ، مع العلوم الطبيعية الدقيقة ، ومع المشاكل التكنولوجيا. يتم تعريف كل نظرية هندسية من بين النظريات الهندسية الأخرى ، أولاً ، من خلال أي مساحة أو نوع المساحة التي تراها. ثانيًا ، يتضمن تعريف النظرية إشارة إلى الأرقام قيد الدراسة. هذه هي الطريقة التي يتم بها تمييز نظريات متعددات الوجوه ، والمنحنيات ، والأسطح ، والأجسام المحدبة ، وما إلى ذلك. يمكن أن تتطور كل من هذه النظريات في مساحة معينة. على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن ينظر في نظرية متعدد الوجوه في الفضاء الإقليدي المعتاد ، في ن- الفضاء الإقليدي الأبعاد ، في فضاء Lobachevsky ، إلخ. من الممكن تطوير النظرية المعتادة للأسطح ، الإسقاط ، في فضاء Lobachevsky ، إلخ. ثالثًا ، طبيعة الخصائص المدروسة للشخصيات مهمة. وبالتالي ، يمكن دراسة خصائص الأسطح المحفوظة في ظل تحولات معينة ؛ يمكن للمرء أن يميز بين عقيدة انحناء الأسطح ، وعقيدة الانحناءات (أي التشوهات التي لا تغير أطوال المنحنيات على السطح) ، و G الداخلية. الطريقة الأساسية وطبيعة صياغة المشاكل. يتميز G. بهذه الطريقة: ابتدائي ، تحليلي ، تفاضلي ؛ على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يتحدث عن الأشكال الهندسية الأولية أو التحليلية لفضاء Lobachevsky. يتم تمييز G. "في الصغير" ، الذي يأخذ في الاعتبار فقط خصائص القطع الصغيرة العشوائية لصورة هندسية (منحنى ، سطح ، متشعب) ، من G "ككل" ، والتي ، كما هو واضح من اسمها ، هندسية الصور ككل بطولها بالكامل. يتم التمييز بشكل عام بين الأساليب التحليلية وطرق الهندسة التركيبية (أو الطرق الهندسية بدقة) ؛ يستخدم الأول وسائل حساب التفاضل والتكامل المقابل: التفاضل ، والموتر ، وما إلى ذلك ، ويعمل الأخير مباشرة مع الصور الهندسية.

من بين كل مجموعة متنوعة من النظريات الهندسية ، في الواقع ، الأكثر تطورًا ن- الهندسة الإقليدية الأبعاد والهندسة الريمانية (بما في ذلك الهندسة الريمانية الزائفة). في الأولى ، على وجه الخصوص ، تم تطوير نظرية المنحنيات والسطوح (والأسطح الفائقة بأعداد مختلفة من الأبعاد) ؛ سلس ، ودرس في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية ؛ وهذا يشمل أيضًا متعددات الوجوه (الأسطح متعددة السطوح). ثم من الضروري تسمية نظرية الأجسام المحدبة ، والتي ، مع ذلك ، يمكن أن تُعزى في جزء كبير منها إلى نظرية الأسطح ككل ، منذ ذلك الحين. يتم تحديد الجسم من خلال سطحه. التالي هو نظرية الأنظمة العادية للأرقام ، أي تلك التي تسمح بالحركات التي تنقل النظام بأكمله إلى نفسه وأي من أشكاله إلى أي شكل آخر (انظر مجموعات فيدوروف (انظر مجموعة فيدوروف)). يمكن ملاحظة أن عددًا كبيرًا من النتائج الأكثر أهمية في هذه المجالات يرجع إلى Sov. المقاييس الهندسية: تطور كامل للغاية لنظرية الأسطح المحدبة وتطور هام لنظرية الأسطح غير المحدبة العامة ، نظريات مختلفة على الأسطح بشكل عام (وجود وتفرد الأسطح المحدبة بمقياس جوهري معين أو بمقياس معين أو "وظيفة انحناء" أخرى ، نظرية حول استحالة وجود سطح كامل به انحناء ، في كل مكان أقل من بعض الأرقام السالبة ، وما إلى ذلك) ، ودراسة التقسيم الصحيح للفضاء ، إلخ.

في نظرية فضاء ريمانيان ، تمت دراسة الأسئلة المتعلقة بربط خصائصها المترية بالبنية الطوبولوجية ، وسلوك الخطوط الجيوديسية (الأقصر في الأقسام الصغيرة) بشكل عام ، مثل مسألة وجود الجيوديسيا المغلقة ، أسئلة " الغمر "، أي تحقيق معطى ن- فضاء ريماني الأبعاد في الشكل ن-سطح الأبعاد في الفضاء الإقليدي بأي عدد من الأبعاد ، أسئلة الهندسة الريمانية الزائفة المتعلقة بالنظرية النسبية العامة ، وغيرها.

بالإضافة إلى ذلك ، يجب ذكر الهندسة الجبرية (انظر الهندسة الجبرية) ، والتي تم تطويرها من الهندسة التحليلية ودراسة الصور الهندسية المحددة بواسطة المعادلات الجبرية ؛ تحتل مكانة خاصة ، لأن لا يشمل فقط المسائل الهندسية ، ولكن أيضًا المسائل الجبرية والحسابية. هناك أيضًا مجال واسع ومهم لدراسة المساحات اللانهائية الأبعاد ، والتي ، مع ذلك ، ليست مدرجة في فئة عدم التجانس ، ولكنها مدرجة في التحليل الوظيفي ، منذ ذلك الحين يتم تعريف المساحات اللانهائية الأبعاد على وجه التحديد على أنها مسافات تكون نقاطها وظائف معينة. ومع ذلك ، يوجد في هذا المجال العديد من النتائج والمشكلات ذات الطبيعة الهندسية حقًا والتي يجب أن تُنسب إلى G.

القيمة الهندسية.يعد استخدام الهندسة الإقليدية هو الظاهرة الأكثر شيوعًا حيثما يتم تحديد المساحات والأحجام وما إلى ذلك. جميع التقنيات ، حيث يلعب شكل وحجم الأجسام دورًا في ذلك ، تستخدم الجيروسكوب الإقليدي ، ورسم الخرائط ، والجيوديسيا ، وعلم الفلك ، وجميع طرق الرسم ، والميكانيكا لا يمكن تصورها بدون الجيروسكوب. يمكنه الاستفادة من حقيقة أن القطع الناقص تمت دراسته بواسطة مقاييس الهندسة القديمة. علم البلورات الهندسي هو تطبيق عميق لعلم البلورات الهندسي ، والذي كان بمثابة مصدر ومجال تطبيق لنظرية الأنظمة العادية للأشكال (راجع علم البلورات).

تُستخدم النظريات الهندسية الأكثر تجريدًا على نطاق واسع في الميكانيكا والفيزياء ، عندما يتم اعتبار مجموعة حالات النظام كمساحة معينة (انظر قسم تعميم موضوع الهندسة). لذلك ، فإن جميع التكوينات الممكنة (الترتيب المتبادل للعناصر) للنظام الميكانيكي تشكل "مساحة تكوين" ؛ يتم تمثيل حركة النظام بحركة نقطة في هذا الفضاء. مجموع جميع حالات النظام الفيزيائي (في أبسط الحالات ، مواضع وسرعات نقاط المواد التي تشكل النظام ، على سبيل المثال ، جزيئات الغاز) تعتبر "فضاء الطور" للنظام. تجد وجهة النظر هذه ، على وجه الخصوص ، تطبيقًا في الفيزياء الإحصائية (انظر الفيزياء الإحصائية) ، إلخ.

لأول مرة ، وُلد مفهوم الفضاء متعدد الأبعاد في اتصال مع الميكانيكا في وقت مبكر مثل J. Lagrange ، عندما كانت ثلاثة مسافات. إحداثيات س ، ص ، ضيضاف الوقت رسميًا باعتباره الرابع ر. هذه هي الطريقة التي يظهر بها "الزمكان" رباعي الأبعاد ، حيث يتم تحديد النقطة بأربعة إحداثيات x ، y ، z ، t. يتميز كل حدث بهذه الإحداثيات الأربعة ، وبشكل تجريدي ، يتبين أن مجموعة جميع الأحداث في العالم عبارة عن فضاء رباعي الأبعاد. تم تطوير هذا الرأي في التفسير الهندسي لنظرية النسبية التي قدمها هـ. مينكوفسكي (انظر Minkowski) ، ثم في بناء أ. أينشتاين للنظرية النسبية العامة. في ذلك ، استخدم الهندسة الريمانية رباعية الأبعاد (الريمانية الزائفة) ، وهكذا اتضح أن النظريات الهندسية ، التي تطورت من تعميم البيانات من التجربة المكانية ، طريقة رياضية لبناء نظرية أعمق للمكان والزمان. بدورها ، أعطت نظرية النسبية دفعة قوية لتطوير النظريات الهندسية العامة. بعد أن نشأت من الممارسة الأولية ، تعود الجغرافيا إلى العلوم الطبيعية والممارسة على مستوى أعلى كطريقة من خلال سلسلة من التجريدات والتعميمات.

من وجهة نظر هندسية ، عادةً ما يتم التعامل مع مشعب الزمكان في النظرية العامة للنسبية على أنه غير متجانس من نوع ريمان ، ولكن بمقياس يتم تحديده بواسطة شكل تغيير الإشارة ، يتم تقليله في منطقة متناهية الصغر إلى الشكل

dx 2 + dy 2 + dz 2 - ص 2 dt 2

(مع -سرعة الضوء في الفراغ). الفضاء نفسه ، لأنه يمكن فصله عن الزمن ، اتضح أيضًا أنه ريماني غير متجانس. من وجهة نظر هندسية حديثة ، من الأفضل النظر إلى نظرية النسبية بالطريقة التالية. تدعي النظرية النسبية الخاصة أن متنوع الزمان والمكان هو فضاء إقليدي زائف ، أي أن دور "الحركات" يلعبه التحولات التي تحافظ على الشكل التربيعي

س 2 + ص 2 + ع 2 - ص 2 ر 2

بتعبير أدق ، إنها مساحة بها مجموعة من التحولات التي تحافظ على الشكل التربيعي المشار إليه. أي صيغة تعبر عن قانون فيزيائي مطلوبة لعدم تغييرها في ظل تحولات مجموعة هذا الفضاء ، والتي تسمى تحولات لورينتز. وفقًا للنظرية العامة للنسبية ، فإن مشعب الزمكان غير متجانس وفقط في كل منطقة "صغيرة بلا حدود" يتم اختزاله إلى شبه إقليدي ، أي أنه فضاء من النوع كارتان (انظر قسم الهندسة الحديثة). ومع ذلك ، أصبح هذا الفهم ممكنًا في وقت لاحق فقط ، لأنه. ظهر مفهوم الفضاءات من هذا النوع بعد نظرية النسبية وتم تطويره تحت تأثيرها المباشر.

في الرياضيات نفسها ، يتم تحديد موقع ودور الهندسة بشكل أساسي من خلال حقيقة أن الاستمرارية تم إدخالها في الرياضيات من خلالها. الرياضيات ، كعلم لأشكال الواقع ، تواجه أولاً شكلين عامين: التحفظ والاستمرارية. يعطي حساب الكائنات المنفصلة (المنفصلة) مسافات حسابية. (ز) يدرس الاستمرارية ، ومن أهم التناقضات الدافعة لتطور الرياضيات هو الصدام بين المنفصل والمستمر. حتى تقسيم الكميات المستمرة إلى أجزاء والقياس يمثل مقارنة بين المنفصل والمستمر: على سبيل المثال ، يتم رسم المقياس على طول المقطع المقاس في خطوات منفصلة. ظهر التناقض. بوضوح خاص ، عندما تم اكتشاف عدم قابلية القياس لضلع وقطر المربع في اليونان القديمة (ربما في القرن الخامس قبل الميلاد): لم يتم التعبير عن طول قطر المربع مع الضلع 1 بأي رقم ، لأنه لم يكن مفهوم العدد غير المنطقي موجودًا. استغرق الأمر تعميمًا لمفهوم العدد - إنشاء مفهوم الرقم غير المنطقي (والذي تم القيام به في وقت لاحق فقط في الهند). تم إنشاء النظرية العامة للأعداد غير المنطقية فقط في السبعينيات. القرن ال 19 بدأ اعتبار الخط المستقيم (ومعه أي رقم) كمجموعة من النقاط. الآن وجهة النظر هذه هي السائدة. ومع ذلك ، أظهرت صعوبات نظرية المجموعات حدودها. التناقض بين المنفصل والمستمر لا يمكن إزالته بالكامل.

يكمن الدور العام للهندسة في الرياضيات أيضًا في حقيقة أنها مرتبطة بالتفكير التركيبي الدقيق ، الذي ينطلق من التمثيلات المكانية ، وغالبًا ما يجعل من الممكن فهم ما يتم تحقيقه بالكامل من خلال التحليل والحسابات فقط من خلال سلسلة طويلة من خطوات. وبالتالي ، لا تتميز الهندسة فقط بموضوعها ، ولكن أيضًا بطريقتها ، التي تنطلق من التمثيلات المرئية وتثبت أنها مثمرة في حل العديد من المشكلات في مجالات أخرى من الرياضيات. في المقابل ، يستخدم G. على نطاق واسع أساليبهم. وبالتالي ، يمكن معالجة مشكلة رياضية واحدة في كثير من الأحيان إما تحليليًا أو هندسيًا ، أو في مزيج من كلتا الطريقتين.

بمعنى ما ، يمكن اعتبار جميع الرياضيات تقريبًا على أنها تتطور من تفاعل الجبر (الحساب في الأصل) والهندسة ، وبمعنى الطريقة ، من مزيج من الحسابات والتمثيلات الهندسية. يمكن رؤية هذا بالفعل في مفهوم مجموع جميع الأرقام الحقيقية كخط أرقام يربط الخصائص الحسابية للأرقام مع الاستمرارية. فيما يلي بعض النقاط البارزة لتأثير G. في الرياضيات.

1) إلى جانب الميكانيكا ، كانت الهندسة ذات أهمية حاسمة في ظهور التحليل وتطوره. يأتي التكامل من إيجاد المساحات والأحجام ، التي بدأها العلماء القدماء ، علاوة على ذلك ، من المساحة والحجم حيث اعتبرت الكميات معينة ؛ لم يتم تقديم أي تعريف تحليلي للتكامل حتى النصف الأول من القرن التاسع عشر. كان رسم الظلال إحدى المشكلات التي أدت إلى التمايز. لعب التمثيل الرسومي للوظائف دورًا مهمًا في تطوير مفاهيم التحليل واحتفظ بأهميته. في مصطلحات التحليل ذاتها ، يكون المصدر الهندسي لمفاهيمه مرئيًا ، على سبيل المثال ، في المصطلحات: "نقطة الانهيار" ، "نطاق تغيير المتغير" ، إلخ. كان أول مسار للتحليل ، كتبه في عام 1696 ج. يتم تفسير نظرية المعادلات التفاضلية في الغالب هندسيًا (منحنيات متكاملة ، إلخ). حساب الاختلافات نشأت وتطورت إلى حد كبير على مشاكل الهندسة ، وتلعب مفاهيمها دورًا مهمًا فيها.

2) أثبتت الأعداد المركبة نفسها أخيرًا في الرياضيات في مطلع القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. فقط كنتيجة لمقارنتها بنقاط المستوى ، أي ببناء "مستوى معقد". في نظرية وظائف المتغير المعقد ، تلعب الأساليب الهندسية دورًا أساسيًا. مفهوم الوظيفة التحليلية ث = و(ض) لمتغير معقد يمكن تعريفه هندسيًا بحتًا: هذه الوظيفة هي تعيين امتثالي للمستوى ض(أو مناطق من المستوى ض) في الطائرة ث. تجد مفاهيم وطرق الهندسة الريمانية تطبيقًا في نظرية دوال العديد من المتغيرات المعقدة.

3) الفكرة الرئيسية للتحليل الوظيفي هي أن وظائف فئة معينة (على سبيل المثال ، جميع الوظائف المستمرة المحددة في الفاصل الزمني) تعتبر نقاطًا في "الفضاء الوظيفي" ، ويتم تفسير العلاقات بين الوظائف على أنها هندسية العلاقات بين النقاط المقابلة (على سبيل المثال ، يتم تفسير تقارب الوظائف على أنه تقارب النقاط ، والحد الأقصى للقيمة المطلقة لاختلاف الوظائف - كمسافة ، وما إلى ذلك). ثم تتلقى العديد من أسئلة التحليل معالجة هندسية ، والتي في كثير من الحالات تكون مثمرة للغاية. بشكل عام ، يعد تمثيل بعض الأشياء الرياضية (الوظائف والأشكال وما إلى ذلك) كنقاط من مساحة ما مع التفسير الهندسي المقابل لعلاقات هذه الأشياء أحد أكثر الأفكار عمومية وإثمارًا في الرياضيات الحديثة ، والتي تغلغلت تقريبًا كل أقسامها.

4) يؤثر G. في الجبر وحتى الحساب - نظرية الأعداد. يستخدم الجبر ، على سبيل المثال ، مفهوم الفضاء المتجه. في نظرية الأعداد ، تم إنشاء اتجاه هندسي يجعل من الممكن حل العديد من المشكلات التي لا تكاد تكون قابلة للطريقة الحسابية. في المقابل ، يجب أن نلاحظ أيضًا الطرق الرسومية للحساب (انظر الرسم البياني) والطرق الهندسية للنظرية الحديثة للحسابات وأجهزة الكمبيوتر.

5) لعب التحسين والتحليل المنطقي لبديهيات نظرية ما دورًا حاسمًا في تطوير شكل مجرد للطريقة البديهية بتجريده الكامل من طبيعة الأشياء والعلاقات التي تظهر في النظرية البديهية. على أساس نفس المادة ، تم تطوير مفاهيم الاتساق والاكتمال واستقلالية البديهيات.

على العموم ، فإن تغلغل الهندسة ومجالات الرياضيات الأخرى قريب جدًا لدرجة أن الحدود غالبًا ما تكون مشروطة ومرتبطة بالتقاليد فقط. فقط أقسام مثل الجبر المجرد ، والمنطق الرياضي ، وبعض الأقسام الأخرى تظل تقريبًا أو غير مرتبطة على الإطلاق بالهندسة.

أشعل.: الأعمال الكلاسيكية الكبرى.إقليدس ، البدايات ، العابرة. من كتاب يوناني. 1-15 ، M. - L. ، 1948-50 ؛ ديكارت ر. ، الهندسة ، العابرة. من اللاتينية. ، M. - L. ، 1938 ؛ مونج جي ، تطبيقات التحليل في الهندسة ، العابرة. من الفرنسية ، M. - L. ، 1936 ؛ Ponselet J. V.، Traite des Proprietes projectives des Figures، Metz - R.، 1822؛ Gauss KF ، بحث عام حول الأسطح المنحنية ، مترجم. من الألمانية ، في المجموعة: على أسس الهندسة ، M. ، 1956 ؛ Lobachevsky NI ، Poln. كول. soch. ، v. 1-3 ، M. - L. ، 1946-51 ؛ بولاي يا ، الملحق. التطبيق ، ... ، لكل. من اللاتينية. ، M. - L. ، 1950 ؛ ريمان ب ، حول الفرضيات الكامنة وراء أسس الهندسة ، عبر. من الألمانية ، في المجموعة: على أسس الهندسة ، M. ، 1956 ؛ Klein، F.، A Comparative Review of the Newest Geometric Research ("Erlangen Program")، ibid .؛ E. Kartan ، مجموعات Holonomy للمساحات المعممة ، العابرة. من الفرنسية ، في الكتاب: المسابقة الدولية الثامنة للجائزة التي تحمل اسم نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي (1937) ، كازان ، 1940 ؛ هيلبرت د. ، أسس الهندسة ، العابرة. من الألمانية. ، M. - L. ، 1948.

قصة.كولمان إي ، تاريخ الرياضيات في العصور القديمة ، M. ، 1961 ؛ Yushkevich A. P.، تاريخ الرياضيات في العصور الوسطى، M.، 1961؛ Vileitner G. ، تاريخ الرياضيات من ديكارت إلى منتصف القرن التاسع عشر ، عبر. من الألمانية ، الطبعة الثانية ، M. ، 1966 ؛ Cantor M.، Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik، Bd 1-4، Lpz.، 1907-08.

ب) الهندسة الأولية. Hadamard J. ، الهندسة الابتدائية ، العابرة. من الفرنسية ، الجزء 1 ، الطبعة الثالثة ، M. ، 1948 ، الجزء 2 ، M. ، 1938 ؛ بوغوريلوف إيه في ، الهندسة الأولية ، موسكو ، 1969.

في) الهندسة التحليلية.الكسندروف بس ، محاضرات في الهندسة التحليلية ... ، م ، 1968 ؛ Pogorelov A.V ، الهندسة التحليلية ، الطبعة الثالثة ، M. ، 1968.

ه) الهندسة الوصفية والإسقاطية. Glagolev N.A ، الهندسة الوصفية ، الطبعة الثالثة ، M. - L. ، 1953 ؛ Efimov NV ، الهندسة العليا ، الطبعة الرابعة ، M. ، 1961.

ه) الهندسة الريمانية وتعميماتها. Rashevsky P.K. ، الهندسة الريمانية وتحليل الموتر ، الطبعة الثانية ، M. - L. ، 1964 ؛ Norden A. P.، Spaces of Affine Connection، M. - L.، 1950؛ Cartan E. ، هندسة المساحات الريمانية ، ترجمة. من الفرنسية ، M. - L. ، 1936 ؛ Eisenhart L.P. ، الهندسة الريمانية ، ترجمة. من الإنجليزية ، M. ، 1948.

بعض الدراسات عن الهندسة. Fedorov ES ، التناظر وهيكل البلورات. الأعمال الأساسية ، م ، 1949 ؛ Alexandrov A. D. ، محدب متعدد الوجوه ، M. - L. ، 1950 ؛ له ، الهندسة الداخلية للأسطح المحدبة ، M. - L. ، 1948 ؛ Pogorelov A. V. ، الهندسة الخارجية للأسطح المحدبة ، موسكو ، 1969 ؛ Buseman G. ، هندسة الجيوديسيا ، العابرة. من الإنجليزية ، M. ، 1962 ؛ له ، السطوح المحدبة ، العابرة. من الإنجليزية ، M. ، 1964 ؛ إي كارتان ، طريقة الإطار المتحرك ، نظرية المجموعات المستمرة والفراغات المعممة ، ترجمة. من الفرنسية ، M. - L. ، 1936 ؛ Finikov S. P. ، طريقة كارتان للأشكال الخارجية في الهندسة التفاضلية ، M. - L. ، 1948 ؛ الهندسة الخاصة به ، الإسقاطية التفاضلية ، M. - L. ، 1937 ؛ نظريته الخاصة ، نظرية التطابق ، M. - L. ، 1950 ؛ شوتين آي أ ، سترويك دي جيه ، مقدمة في الأساليب الجديدة للهندسة التفاضلية ، مترجم. من الإنجليزية ، المجلد 1-2 ، M. - L. ، 1939-48 ؛ نوميزو ك ، مجموعات الكذبة والهندسة التفاضلية ، العابرة. من الإنجليزية ، M. ، 1960 ؛ Milnor J.، Morse Theory، trans. من الإنجليزية ، M. ، 1965.

قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

4. أمثلة على المشاكل في موضع النقاط

1. تتدحرج عجلتان من نصف القطر r 1 و r 2 على طول خط مستقيم l. أوجد مجموعة نقاط التقاطع M من ظلها الداخلي المشترك.

الحل: لنفترض أن O 1 و O 2 هما مركزا عجلات نصف قطر r 1 و r 2 على التوالي. إذا كانت M هي نقطة تقاطع الظل الداخلي ، إذن O 1 M: O 2 M = r 1: r 2. من هذه الحالة ، من السهل معرفة أن المسافة من النقطة M إلى الخط l تساوي 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2). لذلك ، تقع جميع نقاط تقاطع الظلال الداخلية المشتركة على خط مستقيم موازٍ للخط المستقيم l ومباعدة عنه بمسافة 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2).

2. ابحث عن موضع مراكز الدوائر التي تمر عبر نقطتين معينتين.

الحل: دع دائرة مركزها O تمر عبر النقطتين A و B. بما أن OA = OB (مثل نصف قطر دائرة واحدة) ، فإن النقطة O تقع على المنصف العمودي للقطعة المستقيمة AB. على العكس من ذلك ، فإن كل نقطة O تقع على المنصف العمودي لـ AB تكون على مسافة متساوية من النقطتين A و B. وبالتالي ، فإن النقطة O هي مركز الدائرة التي تمر عبر النقطتين A و B.

3. الجانبين AB و CD للرباعي ABCD للمنطقة S غير متوازيين. أوجد HMT X الكذب داخل الشكل الرباعي حيث S ABX + S CDX = S / 2.

الحل: لنفترض أن O هي نقطة تقاطع الخطين AB و CD. دعونا نرسم المقاطع OK و OL على الأشعة OA و OD ، مساوية لـ AB و CD ، على التوالي. ثم S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ± S KXL. لذلك ، فإن مساحة المثلث KXL ثابتة ، أي أن النقطة X تقع على خط موازٍ لـ KL.

4. تم إعطاء النقطتين A و B على المستوى ، أوجد GMT M الذي يكون الفرق بين مربعي طولي المقطع AM و BM ثابتًا.

الحل: نقدم نظام إحداثيات باختيار النقطة A كأصل وتوجيه محور Ox على طول الشعاع AB. دع النقطة م لها إحداثيات (س ، ص). ثم AM 2 = x 2 + y 2 و BM 2 = (x - a) 2 + y 2 حيث a = AB. لذلك AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2. هذه القيمة تساوي k للنقاط M ذات الإحداثيات ((a 2 + k) / 2a، y) ؛ كل هذه النقاط تقع على خط عمودي على AB.

5. المستطيل ABCD معطى. ابحث عن GMT X التي من أجلها AX + BX = CX + DX.

الحل: دعني أكون خطًا يمر عبر نقطتي منتصف الضلع BC و AD. افترض أن النقطة X لا تقع على الخط l ، على سبيل المثال ، أن النقطتين A و X تقعان على نفس الجانب من الخط l. ثم AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

6. بإعطاء خطين يتقاطعان عند نقطة O. أوجد GMT X حيث يكون مجموع أطوال إسقاط المقاطع OX على هذه الخطوط ثابتًا.

الحل: لنفترض أن a و b متجهين وحدة موازية لخطوط معينة ؛ x يساوي المتجه x. مجموع أطوال إسقاطات المتجه x على الخطوط المعطاة يساوي | (أ ، س) | + | (ب ، س) | = | (أ ± ب ، س) | ، ويحدث تغيير العلامة على الخطوط العمودية التي أقيمت من النقطة O إلى الخطوط المحددة. لذلك ، فإن GMT المطلوب هو مستطيل تكون جوانبه موازية لمنصرات الزوايا بين الخطوط المعينة ، والتي تقع رؤوسها على الخطوط العمودية المشار إليها.

7. إعطاء دائرة S ونقطة M خارجها. من خلال النقطة M ، يتم رسم جميع الدوائر الممكنة S 1 ، التي تتقاطع مع الدائرة S ؛ X - نقطة تقاطع المماس عند النقطة M مع الدائرة S 1 مع استمرار الوتر المشترك للدائرتين S و S 1. ابحث عن GMT X.

الحل: لنفترض أن A و B هما نقطتا تقاطع الدائرتين S و S 1. ثم XM 2 = XA. XB \ u003d XO 2 - R 2 ، حيث O و R هما مركز ونصف قطر الدائرة S. لذلك ، XO 2 - XM 2 \ u003d R 2 ، مما يعني أن النقاط X تقع على عمودي على الخط OM.

8. تم إعطاء دائرتين غير متقاطعتين. ابحث عن موضع نقاط مراكز الدوائر التي تقسم الدوائر المعينة (أي تتقاطع معها في نقاط متقابلة تمامًا).

الحل: لنفترض أن O 1 و O 2 هما مركز هذه الدوائر ، R 1 و R 2 هما أنصاف أقطارها. دائرة نصف قطرها r مع مركز X تتقاطع مع الدائرة الأولى عند نقاط متقابلة تمامًا إذا وفقط إذا كانت r 2 \ u003d XO 1 2 + R 1 2 ، لذلك يتكون GMT المطلوب من النقاط X بحيث يكون XO 1 2 + R 1 2 \ u003d XO 2 2 + R 2 2 ، كل هذه النقاط من X تقع على خط عمودي على O 1 O 2.

9. تم أخذ النقطة A داخل الدائرة. ابحث عن موضع نقاط التقاطع الخاصة بظل الدائرة المرسومة عبر نهايات جميع الأوتار الممكنة التي تحتوي على النقطة A.

الحل: لنفترض أن O هي مركز الدائرة ، R نصف قطرها ، M هي نقطة تقاطع الظلال المرسومة عبر نهايات الوتر الذي يحتوي على النقطة A ، P نقطة منتصف هذا الوتر. ثم OP * OM = R 2 و OP = OA cos f ، حيث f = AOP. لذلك ، AM 2 \ u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f \ u003d OM 2 + OA 2 - 2R 2 ، مما يعني أن قيمة OM 2 - AM 2 \ u003d 2R 2 - OA 2 ثابتة. لذلك ، تقع جميع نقاط M على خط عمودي على OA.

10. أوجد موضع النقاط M التي تقع داخل المعين ABCD ولها خاصية AMD + BMC = 180 o.

الحل: لنفترض أن N نقطة بحيث تكون المتجهات MN = DA. ثم NAM = DMA و NBM = BMC ، لذا فإن AMBN عبارة عن رباعي محفور. قطري الشكل الرباعي المدرج AMBN متساويان ، لذا AM | BN أو BM | AN. في الحالة الأولى AMD = MAN = AMB ، وفي الحالة الثانية BMC = MBN = BMA. إذا كان AMB = AMD ، فإن AMB + BMC = 180 o والنقطة M تقع على قطري AC ، وإذا كانت BMA = BMC ، فإن النقطة M تقع على قطري BD. من الواضح أيضًا أنه إذا كانت النقطة M تقع على أحد الأقطار ، فإن AMD + BMC = 180 o.

11. أ) إعطاء متوازي الأضلاع ABCD. إثبات أن الكمية AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 لا تعتمد على اختيار النقطة X.

ب) الشكل الرباعي ABCD ليس متوازي أضلاع. برهن على أن جميع نقاط X التي تحقق العلاقة AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 تقع على نفس الخط المستقيم العمودي على القطعة التي تربط نقاط منتصف الأقطار.

الحل: لنفترض أن P و Q هما نقطتا منتصف القطرين AC و BD. ثم AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2/2 و BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2/2 ، لذلك ، في المشكلة ب) ، يتكون HMT المطلوب من النقاط X مثل أن PX 2 - QX 2 = (BD 2 - AC 2) / 4 ، وفي المشكلة أ) P = Q ، وبالتالي فإن الكمية قيد النظر تساوي (BD 2 - AC 2) / 2.

المؤلفات

1. Pogorelov A.V. الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 7-9 من المؤسسات التعليمية. - م: التنوير ، 2000 ، ص. 61.

2. Savin A.P. طريقة الأماكن الهندسية / مقرر اختياري في الرياضيات: كتاب مدرسي للصفوف 7-9 من الثانوية العامة. شركات انا. نيكولسكايا. - م: التربية ، 1991 ، ص. 74.

3. Smirnova I.M.، Smirnov V.A. الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 7-9 من المؤسسات التعليمية. - م: Mnemosyne، 2005، p. 84.

4. Sharygin I.F. الهندسة. الصفوف 7-9: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام. - م: بوستارد ، 1997 ، ص. 76.

5. مورد الإنترنت: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm

السببية المعلوماتية للتفاعلات (تحييد الانتروبيا) المرتبطة بعمليات انعكاس درجات النظام (الإثارة) ، وامتلاك نظام عالمي للعلاقات بين المكان والزمان ، وتفرد "الكم المطلق" في ظاهرة ظاهرية للطبيعة الفيزيائية . يمكن أن يكون تجسيدًا ماديًا غير متوقع لتلك المادة الفعالة الأولية ، والتي هي المثالية الموضوعية ، ...

Q (y) من هذا القسم تساوي ، حيث يفترض أن تكون y ثابتة أثناء التكامل. بدمج Q (y) في نطاق y ، أي من c إلى d ، نصل إلى التعبير الثاني للتكامل المزدوج (B) ، هنا ، يتم تنفيذ التكامل أولاً على x ، ثم على y. توضح الصيغتان (أ) و (ب) أن حساب التكامل المزدوج يتم تقليله إلى الحساب المتسلسل لاثنين عاديين ...

الهندسةهو علم يدرس العلاقات المكانية وأشكال الأشياء.

الهندسة الإقليديةهي نظرية هندسية تستند إلى نظام من البديهيات المنصوص عليها لأول مرة في عناصر إقليدس.

هندسة Lobachevsky (الهندسة الزائدية)- واحدة من الأشكال الهندسية غير الإقليدية ، وهي نظرية هندسية تستند إلى نفس المقدمات الأساسية للهندسة الإقليدية العادية ، باستثناء بديهية الخطوط المتوازية ، والتي تم استبدالها ببديهية Lobachevsky للخطوط المتوازية.

يسمى الخط المستقيم الذي يحده أحد الطرفين وغير المحدود من الطرف الآخر شعاعًا.

يسمى جزء الخط المستقيم المحدود من كلا الجانبين قطعة مستقيمة.

ركن- هذا شكل هندسي يتكون من شعاعين (جانبي زاوية) ينبثقان من نقطة واحدة (رأس الزاوية). يتم استخدام وحدتين لقياس الزاوية: الراديان والدرجات. الزاوية 90 درجة تسمى الزاوية اليمنى ؛ الزاوية الأقل من 90 درجة تسمى الزاوية الحادة ؛ الزاوية الأكبر من 90 درجة تسمى الزاوية المنفرجة.

الزوايا المجاورةهي الزوايا التي لها رأس مشترك وجانب مشترك ؛ الجانبان الآخران امتدادات لبعضهما البعض. مجموع الزوايا المجاورة 180 درجة. الزاويتان الرأسيتان زاويتان برأس مشترك ، حيث تكون جوانب إحداهما امتدادًا لجوانب الأخرى.

زاوية منصفيسمى الشعاع الذي يشطر زاوية.

يسمى الخطان بالتوازي إذا كانا يقعان في نفس المستوى ولا يتقاطعان ، مهما طال استمرارهما. جميع الخطوط الموازية لخط واحد متوازية مع بعضها البعض. جميع الخطوط العمودية على نفس الخط موازية لبعضها البعض ، والعكس صحيح ، يكون الخط العمودي على أحد الخطوط المتوازية متعامدًا مع الخطوط الأخرى. طول المقطع العمودي المحاط بخطين متوازيين هو المسافة بينهما. عندما يتقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث ، يتم تكوين ثماني زوايا ، والتي تسمى في أزواج: الزوايا المتناظرة (هذه الزوايا متساوية في الزوج) ؛ زوايا الكذب الداخلية المتقاطعة (متساوية في أزواج) ؛ زوايا استلقاء متقاطعة خارجية (متساوية في أزواج) ؛ الزوايا الداخلية من جانب واحد (مجموعها 180 درجة) ؛ الزوايا الخارجية أحادية الجانب (مجموعها 180 درجة).

نظرية طاليس. عندما تتقاطع جوانب الزاوية بخطوط متوازية ، يتم تقسيم جوانب الزاوية إلى مقاطع متناسبة.

بديهيات الهندسة. بديهية الانتماء: من خلال أي نقطتين على المستوى يمكن للمرء رسم خط مستقيم ، وعلاوة على ذلك ، يمكن رسم خط واحد فقط. بديهية النظام: من بين أي ثلاث نقاط تقع على الخط ، توجد نقطة واحدة على الأكثر بين نقطتين أخريين.

بديهية التطابق (المساواة)المقاطع والزوايا: إذا تطابق جزءان (زاويتان) مع الجزء الثالث ، فإنهما متطابقان مع بعضهما البعض. بديهية الخطوط المتوازية: من خلال أي نقطة تقع خارج الخط ، من الممكن رسم خط آخر موازٍ للخط المعطى ، وعلاوة على ذلك ، خط واحد فقط.

بديهية الاستمرارية (بديهية أرخميدس): لأي جزأين AB و CD ، توجد مجموعة محدودة من النقاط A1 ، A2 ، ... ، ملقاة على الخط AB ، مثل المقاطع AA1 ، A1A2 ، ... ، An-1An تتطابق مع المقطع CD ، وتقع النقطة B بين A و An.

يسمى الشكل المسطح المكون من سلسلة مغلقة من القطع المضلع.
اعتمادًا على عدد الزوايا ، يمكن أن يكون المضلع مثلثًا ، أو رباعيًا ، أو خماسيًا ، أو مسدسًا ، وما إلى ذلك. ويسمى مجموع الأطوال بالمحيط ويُرمز إليه بالرمز p.
إذا كانت جميع الأقطار تقع داخل المضلع ، فيطلق عليها محدب. مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب هو 180 درجة * (ن -2) ، حيث ن هو عدد زوايا (أو جوانب) المضلع.

مثلثهو مضلع بثلاثة جوانب (أو ثلاث زوايا). إذا كانت الزوايا الثلاث حادة ، فهذا يعني أنها مثلث حاد. إذا كانت إحدى الزوايا قائمة ، فهو مثلث قائم الزاوية ؛ تسمى الجوانب التي تشكل الزاوية اليمنى الأرجل ؛ الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر. إذا كانت إحدى الزوايا منفرجة ، فهذا يعني أنها مثلث منفرج. يكون المثلث متساوي الساقين إذا تساوي ضلعه. يكون المثلث متساوي الأضلاع إذا كانت جميع جوانبه متساوية.

في المثلث الأيمن العلاقات التالية صحيحة:

مساحة المثلث القائم:

نصف قطر الدائرة المنقوشة:

في مثلث عشوائي:

يمكن كتابة دائرة في أي مضلع عادي ويمكن وصف دائرة حولها:

حيث a هو الضلع ، n هو عدد أضلاع المضلع ، R هو نصف قطر الدائرة المقيدة ، r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة (مجموعة أضلاع المضلع المنتظم).

مساحة المضلع المنتظم:

أطوال الجوانب والأقطار مرتبطة بالصيغة:

الخصائص الأساسية للمثلثات:

• مقابل الضلع الأكبر توجد زاوية أكبر والعكس صحيح ؛
• الأضلاع المتقابلة متساوية الزوايا والعكس صحيح ؛
• مجموع زوايا المثلث 180 درجة ؛
• استمرار أحد جانبي المثلث ، نحصل على الزاوية الخارجية. الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية غير المجاورة له ؛
• أي ضلع في المثلث يكون أصغر من مجموع الضلعين الآخرين وأكبر من الفرق بينهما.

علامات تساوي المثلثات: تكون المثلثات متطابقة إذا كانت متساوية:

• جانبان والزاوية بينهما.
• زاويتان والجانب المجاور لهما ؛
• ثلاث جهات.

اختبارات مساواة المثلث الأيمن: يتطابق المثلثان الأيمنان إذا تحقق أحد الشروط التالية:

• أرجلهم متساوية
• الساق والوتر في مثلث واحد متساويان مع الساق والوتر في الآخر ؛
• الوتر والزاوية الحادة لمثلث واحد يساوي الوتر والزاوية الحادة للمثلث الآخر ؛
• الساق والزاوية الحادة المجاورة لمثلث واحد تساوي الساق والزاوية الحادة المجاورة للمثلث الآخر ؛
• الساق والزاوية الحادة المقابلة لمثلث واحد تساوي الساق والزاوية الحادة المقابلة للمثلث الآخر.

ارتفاع المثلث هو عمودي يتم إسقاطه من أي رأس إلى الجانب المقابل (أو امتداده). يسمى هذا الجانب قاعدة المثلث. تتقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث دائمًا عند نقطة واحدة ، تسمى مركز تقويم المثلث. يقع مركز تقويم المثلث الحاد داخل المثلث ، ويقع مركز تقويم المثلث المنفرج في الخارج ؛ يتزامن مركز تقويم المثلث الأيمن مع رأس الزاوية اليمنى.

صيغة ارتفاع المثلث هي:

الوسيطهي قطعة مستقيمة تربط أي رأس في مثلث بنقطة منتصف الضلع المقابل. تتقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقع دائمًا داخل المثلث وهي مركز ثقله. تقسم هذه النقطة كل وسيط 2: 1 من الأعلى.

منصف- هذا جزء من منصف الزاوية من الرأس إلى نقطة التقاطع مع الضلع المقابل. تتقاطع المنصفات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة ، والتي تقع دائمًا داخل المثلث وهي مركز الدائرة المنقوشة. يقسم المنصف الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الضلعين المتجاورين.
صيغة منصف المثلث هي:

متوسط ​​عموديهو عمودي مرسوم من نقطة منتصف المقطع (الجانب). تتقاطع الخطوط العمودية الثلاثة المتوسطة للمثلث عند نقطة واحدة ، وهي مركز الدائرة المُحددة. في المثلث الحاد ، تقع هذه النقطة داخل المثلث ؛ في منفرجة - في الخارج ؛ في مستطيل واحد - في منتصف الوتر. يتطابق مركز التقويم ومركز الثقل ومركز الدائرة ومركز الدائرة المنقوشة فقط في مثلث متساوي الأضلاع.

نظرية فيثاغورس. في المثلث القائم ، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين: c2 = a2 + b2.

في الحالة العامة (لمثلث عشوائي) لدينا: c2 = a2 + b2–2؟ a؟ b؟ cosC ، حيث C هي الزاوية بين الجانبين a و b.

رباعي- شكل يتكون من أربع نقاط (رؤوس) ، لا تقع ثلاثة منها على نفس الخط المستقيم ، وأربعة أجزاء (جوانب) متتالية تربط بينها ، والتي لا ينبغي أن تتقاطع.

متوازي الاضلاعشكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية. يسمى أي جانبين متقابلين من متوازي الأضلاع قواعده ، والمسافة بينهما تسمى ارتفاعه.

خصائص متوازي الأضلاع:

• الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية ؛
• الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية ؛
• تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين عند نقطة تقاطعها ؛
• مجموع مربعات الأقطار في متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه الأربعة.

منطقة متوازي الأضلاع:

نصف قطر دائرة منقوشة في متوازي أضلاع:

مستطيلمتوازي أضلاع جميع زواياه تساوي 90 درجة.

الخصائص الأساسية للمستطيل.
أضلاع المستطيل هي أيضًا ارتفاعاته.
أقطار المستطيل متساوية: AC = BD.

يساوي مربع قطر المستطيل مجموع مربعات أضلاعه (وفقًا لنظرية فيثاغورس).

منطقة المستطيل: S = أب.

قطر المستطيل:

نصف قطر دائرة محددة حول مستطيل:

المعين هو متوازي أضلاع تتساوى فيه جميع الجوانب. أقطار المعين متعامدة بشكل متبادل وتنصف زواياها.

يتم التعبير عن مساحة المعين بدلالة الأقطار:

المربع هو متوازي أضلاع بزوايا قائمة وأضلاع متساوية. المربع هو حالة خاصة من المستطيل والمعين في نفس الوقت ، لذلك فهو يحتوي على جميع خصائصهما المذكورة أعلاه.

مساحة مربعة:

نصف قطر دائرة محددة حول مربع:

نصف قطر دائرة منقوشة في مربع:

قطري مربع:

أرجوحةشكل رباعي مع ضلعين متقابلين متوازيين. تسمى الأضلاع المتوازية قواعد شبه المنحرف ، والوجهان الآخران يسمىان الجانبين. المسافة بين القاعدتين هي الارتفاع. يُطلق على الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف على الجانبين خط الوسط شبه المنحرف. خط الوسط لشكل شبه منحرف يساوي نصف مجموع القواعد وموازيًا لها. يسمى شبه المنحرف ذو الجوانب المتساوية شبه منحرف متساوي الساقين. في شبه منحرف متساوي الساقين ، تكون الزوايا عند كل قاعدة متساوية.

منطقة شبه منحرف: ، حيث a و b القاعدتان ، h هو الارتفاع.

الخط الأوسط للمثلثعبارة عن قطعة مستقيمة تصل بين نقاط المنتصف لأضلاع المثلث. خط الوسط لمثلث يساوي نصف قاعدته ويوازيه. تأتي هذه الخاصية من خاصية شبه المنحرف ، حيث يمكن اعتبار المثلث حالة انحلال في شبه المنحرف ، عندما تصبح إحدى قواعده نقطة.

تشابه الأشكال الطائرة. إذا قمت بتغيير جميع أبعاد الشكل المسطح بنفس عدد المرات (نسبة التشابه) ، فإن الأشكال القديمة والجديدة تسمى متشابهة. يتشابه مضلعان إذا كانت زاياهما متساوية وضلوعهما متناسبان.

علامات تشابه المثلثات. يتشابه مثلثا إذا:

• جميع الزوايا المقابلة لها متساوية (زاويتان كافيتان) ؛
• كل جوانبها متناسبة.
• يتناسب ضلعا أحد المثلث مع ضلعين في الآخر ، والزوايا المتضمنة بين هذين الضلعين متساوية.

تتناسب المناطق ذات الأشكال المتشابهة مع مربعات خطوطها المتشابهة (على سبيل المثال ، الجوانب والأقطار).

مركز النقاطهي مجموعة جميع النقاط التي تفي بشروط معينة.

دائرة- هذا هو موضع النقاط على مستوى على مسافة متساوية من نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة. الجزء الذي يربط مركز الدائرة بأي من نقاطها يسمى نصف القطر ويشار إليه - r. يسمى جزء المستوى الذي تحده دائرة بالدائرة. جزء من دائرة يسمى القوس. يُطلق على الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطتين من الدائرة اسم القاطع ، ويسمى الجزء الموجود داخل الدائرة بالوتر. يُطلق على الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة اسم القطر ويُرمز إليه ب. القطر هو أكبر وتر ، يساوي في الحجم نصف قطر: d = 2r.

حيث أ هو الحقيقي ، ب هو نصف المحور التخيلي.

معادلة مستوى في الفضاء:
الفأس + By + Cz + D = 0 ،
حيث x ، y ، z هي إحداثيات مستطيلة لنقطة متغيرة على المستوى ، A ، B ، C أرقام ثابتة.
يُطلق على الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة في دائرة متعامدة مع نصف القطر المرسوم على هذه النقطة اسم الظل. هذه النقطة تسمى نقطة الاتصال.

خصائص الظل:

• يكون ظل الدائرة عموديًا على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التلامس ؛
• من نقطة خارج الدائرة ، يمكن رسم مماسين للدائرة نفسها ؛ شرائحهم متساوية.

قطعة- هذا هو الجزء من الدائرة الذي يحده قوس والوتر المقابل. يُطلق على طول العمود العمودي المرسوم من منتصف الوتر إلى التقاطع مع القوس ارتفاع المقطع.

قطاع- هذا جزء من دائرة يحدها قوس ونصف قطر مرسومان إلى نهايات هذا القوس.

الزوايا في دائرة. الزاوية المركزية هي زاوية مكونة من نصف قطر. الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يتكون منها وتران مرسومان من النقطة المشتركة بينهما. الزاوية الموصوفة هي الزاوية المكونة من مماسين مرسومين من نقطة مشتركة واحدة.

هذه الصيغة هي الأساس لتحديد قياس الزوايا بالراديان. قياس الراديان لأي زاوية هو نسبة طول القوس المرسوم بنصف قطر تعسفي والمحاط بين جانبي هذه الزاوية إلى نصف قطرها.

العلاقات بين عناصر الدائرة.

الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية بناءً على نفس القوس. لذلك ، فإن جميع الزوايا المحيطية القائمة على نفس القوس متساوية. وبما أن الزاوية المركزية تحتوي على نفس عدد درجات قوسها ، فإن أي زاوية محيطية تقاس بنصف القوس الذي تستقر عليه.

جميع الزوايا المنقوشة القائمة على نصف دائرة هي زوايا قائمة.

الزاوية المكونة من وترين تقاس بنصف مجموع الأقواس المحاطة بين جانبيها.

الزاوية المكونة من قاطعين تقاس بنصف فرق الأقواس المحاطة بين جانبيها.

الزاوية المتكونة من المماس والوتر تقاس بنصف القوس المحاط بداخلها.

تُقاس الزاوية المتكونة من المماس والقاطع بنصف فرق الأقواس المحاطة بين جانبيها.

تُقاس الزاوية الموصوفة ، المكونة من مماسين ، بنصف فرق الأقواس المحاطة بين جانبيها.

تتساوى نواتج مقاطع الحبال التي يتم تقسيمها بواسطة نقطة التقاطع.

مربع الظل يساوي حاصل ضرب القاطع والجزء الخارجي منه.

ينقسم الوتر العمودي على القطر عند نقطة تقاطعهما.

يسمى المضلع المدرج في دائرة ، تقع رؤوسها على دائرة. المضلع المقيد بالقرب من دائرة هو مضلع تكون أضلاعه مماسة للدائرة. وفقًا لذلك ، تسمى الدائرة التي تمر عبر رؤوس المضلع مقيدة بالقرب من المضلع ؛ تسمى الدائرة التي تكون جوانبها مماسًا للدائرة المنقوشة. بالنسبة للمضلع التعسفي ، من المستحيل الكتابة فيه ووصف دائرة حوله. بالنسبة للمثلث ، هذا الاحتمال موجود دائمًا.

يمكن كتابة دائرة في شكل رباعي إذا كانت مجموع أضلاعها المقابلة متساوية. بالنسبة لمتوازي الأضلاع ، هذا ممكن فقط للمعين (المربع). يقع مركز الدائرة المنقوشة عند نقطة تقاطع الأقطار. يمكن تحديد دائرة حول شكل رباعي إذا كان مجموع زواياه المقابلة 180 درجة. بالنسبة لمتوازي الأضلاع ، هذا ممكن فقط للمستطيل (المربع). يقع مركز الدائرة المحددة عند نقطة تقاطع الأقطار. يمكن وصف دائرة حول شبه منحرف إذا كان متساوي الساقين. المضلع المنتظم هو مضلع له جوانب وزوايا متساوية.

الشكل الرباعي المنتظم هو مربع. المثلث القائم هو مثلث متساوي الأضلاع. كل ركن من أركان مضلع منتظم يساوي 180 درجة (ن - 2) / ن ، حيث ن هو عدد أركانه. يوجد داخل مضلع منتظم نقطة O ، على مسافة متساوية من جميع رؤوسه ، وتسمى مركز المضلع المنتظم. مركز المضلع المنتظم هو أيضًا على مسافة متساوية من جميع جوانبه. يمكن كتابة دائرة في شكل مضلع منتظم ويمكن وضع دائرة حولها. تتطابق مراكز الدوائر المنقوشة والمحددة مع مركز المضلع المنتظم. نصف قطر الدائرة المقيدة هو نصف قطر المضلع المنتظم ، ونصف قطر الدائرة المنقوشة هو شكلها.

البديهيات الأساسية للقياس الفراغي.

مهما كانت الطائرة ، فهناك نقاط تنتمي إلى هذه الطائرة ونقاط لا تنتمي إليها.

إذا كان لطائرتين مختلفتين نقطة مشتركة ، فإنهما يتقاطعان على طول خط مستقيم يمر عبر هذه النقطة.

إذا كان لخطين متميزين نقطة مشتركة ، فيمكن رسم مستوى واحد فقط من خلالهما.

من خلال ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم واحد ، يمكن للمرء رسم عدد لا حصر له من الطائرات ، والتي في هذه الحالة تشكل حزمة من الطائرات. يسمى الخط المستقيم الذي تمر عبره جميع مستويات الحزمة محور الحزمة. من خلال أي خط ونقطة خارج هذا الخط ، يمكن رسم مستوى واحد فقط. من خلال سطرين ، ليس من الممكن دائمًا رسم مستوى ، ثم تسمى هذه الخطوط الانحراف.

لا تتقاطع خطوط العبور مهما طال استمرارها ولكنها ليست خطوط متوازية لأنها لا تقع في نفس المستوى. الخطوط المتوازية فقط هي خطوط غير متقاطعة يمكن من خلالها رسم مستوى. الفرق بين خطوط الانحراف والخطوط المتوازية هو أن الخطوط المتوازية لها نفس الاتجاه ، لكن الخطوط المنحرفة لا تفعل ذلك. من خلال خطين متقاطعين ، يمكن دائمًا رسم مستوى واحد فقط. المسافة بين خطي الانحراف هي طول المقطع الذي يربط بين أقرب النقاط الموجودة على خطوط الانحراف. تسمى الطائرات غير المتقاطعة بالمستويات المتوازية. يتقاطع المستوى والخط (عند نقطة واحدة) أو لا يتقاطعان. في الحالة الأخيرة ، يقال إن الخط والمستوى متوازيان مع بعضهما البعض.

عمودي يتم إسقاطه من نقطة إلى مستوى هو مقطع خطي يربط نقطة معينة بنقطة على المستوى ويعمل على خط مستقيم متعامد مع المستوى.

إسقاط نقطة على مستوى هو قاعدة العمود العمودي المسقط من النقطة على المستوى. إسقاط مقطع على المستوى P هو مقطع تنتهي نهايته بإسقاطات نقاط هذا المقطع.

الزاوية ثنائية الأضلاع عبارة عن شكل يتكون من نصفين مع خط مستقيم مشترك يحيط بهما. تسمى أنصاف المستويات الوجوه ، والخط المستقيم الذي يحيط بها يسمى حافة الزاوية ثنائية السطوح. يعطي المستوى العمودي على الحافة زاوية عند تقاطعها مع أنصاف المستويات تسمى الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح. تُقاس الزاوية ثنائية السطوح بزاوية خطية.

زاوية متعددة السطوح. إذا رسمنا من خلال نقطة مجموعة من المستويات التي تتقاطع على التوالي مع بعضها البعض على طول خطوط مستقيمة ، فإننا نحصل على شكل يسمى الزاوية متعددة السطوح. تسمى الطائرات التي تشكل زاوية متعددة السطوح وجوهها ؛ تسمى الخطوط التي تتقاطع على طولها الوجوه بالتتابع حواف الزاوية متعددة السطوح. الحد الأدنى لعدد الوجوه ذات الزاوية متعددة السطوح هو ثلاثة.

يتم قطع المستويات المتوازية على حواف الزاوية متعددة السطوح ، والأجزاء المتناسبة وتشكيل المضلعات المتشابهة.

علامات التوازي لخط مستقيم ومستوى.

إذا كان الخط الموجود خارج المستوى موازيًا لأي خط موجود في ذلك المستوى ، فإنه يكون موازيًا لذلك المستوى.

إذا كان الخط والمستوى متعامدين على نفس الخط ، فإنهما متوازيان.

علامات الطائرات المتوازية:

• إذا كان خطان متقاطعتان في مستوى واحد متوازيين على التوالي لخطين متقاطعين في مستوى آخر ، فإن هذين المستويين متوازيين.
• إذا كان مستويان متعامدين على نفس الخط ، فهذا يعني أنهما متوازيان.
• علامات عمودية الخط المستقيم والمستوى.
• إذا كان الخط متعامدًا على خطين متقاطعين في مستوى ما ، فإنه يكون متعامدًا على هذا المستوى.
• إذا كان المستوى متعامدًا على أحد الخطوط المتوازية ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.

يسمى الخط المستقيم الذي يتقاطع مع مستوى وليس عموديًا عليه مائلًا للمستوى.

نظرية ثلاثة عمودي

الخط المستقيم الموجود في المستوى والعمودي على إسقاط المستوى المائل على هذا المستوى هو أيضًا عموديًا على المائل نفسه.

علامات الخطوط المتوازية في الفضاء:

• إذا كان الخطان متعامدين على نفس المستوى ، فهذا يعني أنهما متوازيان.
• إذا احتوت إحدى المستويات المتقاطعة على خط موازٍ لمستوى آخر ، فهذا يعني أنه موازٍ لخط تقاطع المستويات.

معادلة خط مستقيم على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل xy:
ax + bx + c = 0 ، حيث a ، b ، c أرقام ثابتة ، x و y هي إحداثيات النقطة المتغيرة M (x ، y) على الخط.

علامات الخطوط المتوازية:

علامة على عمودية المستويات: إذا مرت طائرة عبر خط عمودي على مستوى آخر ، فإن هذه المستويات تكون متعامدة.

نظرية في عمودي عام على خطين منحرفين.لأي خطين متقاطعين ، يوجد واحد فقط عمودي مشترك.

متعدد الوجوه- هذا جسم ، تتكون حدوده من قطع من المستويات (المضلعات). تسمى هذه المضلعات الوجوه ، وتسمى جوانبها الحواف ، ورؤوسها هي رؤوس متعدد السطوح. الأجزاء التي تربط رأسين ولا تقع على نفس الوجه تسمى قطري متعدد السطوح. يكون متعدد الوجوه محدبًا إذا كانت جميع الأقطار بداخله.

مكعب- شكل ثلاثي الأبعاد بستة وجوه متساوية.

حجم ومساحة سطح المكعب:

المنشور عبارة عن متعدد السطوح وجهه (قواعد المنشور) لهما مضلعات متساوية ذات جوانب متوازية على التوالي ، والأوجه المتبقية عبارة عن متوازي أضلاع.

تسمى الأجزاء التي تربط الرؤوس المقابلة بالحواف الجانبية. ارتفاع المنشور هو أي ارتفاع عمودي يتم إسقاطه من أي نقطة في القاعدة إلى مستوى القاعدة الأخرى. اعتمادًا على شكل المضلع الموجود في القاعدة ، يمكن أن يكون المنشور ، على التوالي ، مثلثًا ، رباعي الزوايا ، خماسي ، سداسي ، إلخ. إذا كانت الحواف الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى القاعدة ، فإن هذا المنشور يسمى خط مستقيم؛ خلاف ذلك ، هو منشور مائل. إذا كان المضلع المنتظم يقع في قاعدة منشور مستقيم ، فإن هذا المنشور يسمى أيضًا منتظم. إن قطري المنشور عبارة عن قطعة تربط رأسين من المنشور لا ينتميان إلى نفس الوجه.

مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم:
جانب S \ u003d P * H ، حيث P هو محيط القاعدة ، و H هو الارتفاع.

متوازي السطوحهو منشور أساسه متوازي الأضلاع. وهكذا ، فإن خط متوازي السطوح له ستة أوجه ، وكلها متوازيات أضلاع. الوجوه المتقابلة متساوية ومتوازية. خط الموازي له أربعة أقطار ؛ يتقاطعون جميعًا عند نقطة واحدة وينقسمون إلى نصفين عند نقطة واحدة.

إذا كانت الوجوه الجانبية الأربعة في خط متوازي السطوح مستطيلة ، فيُطلق عليها مستقيمة. يسمى خط متوازي السطوح الأيمن ، حيث تكون جميع الوجوه الستة مستطيلات ، مستطيلًا. يرتبط قطري المستطيل المتوازي d وحوافه a و b و c بالعلاقة d2 = a2 + b2 + c2. يسمى خط متوازي السطوح المستطيل ، وكل وجوهه مربعة ، بالمكعب. كل حواف المكعب متساوية.

حجم ومساحة سطح خط متوازي مستطيل الشكل:
V = a * b * c، S total = 2 (ab + ac + bc).

هرمهو متعدد الوجوه يكون فيه وجه واحد (قاعدة الهرم) مضلعًا عشوائيًا ، أما الوجوه المتبقية (الوجوه الجانبية) فهي مثلثات ذات قمة مشتركة تسمى قمة الهرم. يُطلق على العمود العمودي المتساقط من أعلى الهرم إلى قاعدته ارتفاع الهرم. اعتمادًا على شكل المضلع في القاعدة ، يمكن أن يكون الهرم ، على التوالي ، مثلثًا ، رباعي الزوايا ، خماسي ، سداسي ، إلخ. الهرم الثلاثي هو رباعي الوجوه ، الهرم رباعي الزوايا هو خماسي الوجوه ، إلخ. القاعدة عبارة عن مضلع منتظم ، وينخفض ​​ارتفاعها إلى مركز القاعدة. جميع الحواف الجانبية للهرم العادي متساوية ؛ كل الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين. يُطلق على ارتفاع الوجه الجانبي اسم هرم منتظم.

إذا رسمنا قسمًا موازيًا لقاعدة الهرم ، فإن الجسم المحاط بين هذه المستويات والسطح الجانبي يسمى الهرم المقطوع. تسمى الوجوه المتوازية القواعد ؛ المسافة بينهما هي الارتفاع. يسمى الهرم المقطوع صحيحًا إذا كان الهرم الذي تم الحصول عليه منه صحيحًا. جميع الوجوه الجانبية للهرم المنتظم المقطوع هي شبه منحرف متساوية الساقين.

مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم:
، حيث P هو محيط القاعدة ؛ h هو ارتفاع الوجه الجانبي (عروة الهرم المنتظم).

حجم الهرم المقطوع:

مساحة السطح الجانبي لهرم مبتور منتظم:
,
حيث P و P 'هما محيط القواعد ؛ h هو ارتفاع الوجه الجانبي (حجرة الهرم المقطوع المنتظم).

يتكون السطح الأسطواني بتحريك خط مستقيم يحافظ على اتجاهه ويتقاطع مع خط معين (منحنى). هذا الخط يسمى الدليل. تسمى الخطوط المستقيمة المقابلة للمواقف المختلفة للخط المستقيم أثناء تحركه مولدات السطح الأسطواني.

الأسطوانة عبارة عن جسم يحده سطح أسطواني بدليل مغلق ومستويان متوازيان. تسمى أجزاء من هذه الطائرات قواعد الأسطوانة. المسافة بين القاعدتين هي ارتفاع الأسطوانة. تكون الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع القاعدة ؛ وإلا تميل الاسطوانة. تسمى الاسطوانة دائرية إذا كانت قاعدتها دائرة. إذا كانت الأسطوانة مستقيمة ودائرية ، فإنها تسمى دائرية. المنشور هو حالة خاصة للأسطوانة.

حجم ومساحة الأسطح الجانبية والكاملة للأسطوانة:
,
حيث R هو نصف قطر القواعد ؛ H هو ارتفاع الاسطوانة.

المقاطع الأسطوانية للسطح الجانبي لأسطوانة دائرية.

الأقسام الموازية للقاعدة عبارة عن دوائر من نفس نصف القطر.

الأقسام الموازية لمولدات الأسطوانة عبارة عن أزواج من الخطوط المتوازية.

الأقسام التي لا تتوازى مع القاعدة أو المولدات هي علامات حذف.

يتكون السطح المخروطي عندما يتحرك خط مستقيم ويمر طوال الوقت عبر نقطة ثابتة ويتقاطع مع خط معين يسمى الدليل. تسمى الخطوط المقابلة للمواقف المختلفة للخط أثناء تحركه ، تكوينات السطح المخروطي ؛ النقطة هي القمة. يتكون السطح المخروطي من جزأين: أحدهما موصوف بشعاع ، والآخر باستمراريته.

عادة ، يعتبر أحد أجزائه سطحًا مخروطيًا.

مخروط- هذا جسم يحده أحد أجزاء السطح المخروطي بدليل مغلق ومستوى يتقاطع مع السطح المخروطي الذي لا يمر عبر الرأس.

يسمى جزء هذا المستوى الموجود داخل السطح المخروطي بقاعدة المخروط. يُطلق على العمود العمودي الساقط من أعلى إلى القاعدة ارتفاع المخروط.

الهرم حالة خاصة من المخروط. يسمى المخروط الدائري إذا كانت قاعدته دائرة. يسمى الخط المستقيم الذي يربط أعلى المخروط بمركز القاعدة محور المخروط. إذا تزامن ارتفاع المخروط الدائري مع محوره ، فإن هذا المخروط يسمى دائري.

حجم ومساحة الأسطح الجانبية والكاملة للمخروط:
,
أين ص هو نصف القطر ؛ سوسن - المنطقة ؛ P هو محيط القاعدة ؛ L هو طول المولد ؛ H هو ارتفاع المخروط.

حجم ومساحة السطح الجانبي لمخروط مقطوع:

المقاطع المخروطية.

أقسام المخروط الدائري الموازي لقاعدته عبارة عن دوائر.

المقطع الذي يتقاطع مع جزء واحد فقط من مخروط دائري ولا يتوازى مع أي من مولداته هو قطع ناقص.

الجزء الذي يتقاطع مع جزء واحد فقط من مخروط دائري ويوازي أحد مولداته هو القطع المكافئ.

القسم الذي يتقاطع مع جزأي مخروط دائري هو بشكل عام قطع زائد يتكون من فرعين. على وجه الخصوص ، إذا كان هذا القسم يمر عبر محور المخروط ، فإننا نحصل على زوج من الخطوط المتقاطعة (تشكيل مخروط).

سطح كروي- هذا هو موضع النقاط في الفضاء ، على مسافة متساوية من نقطة واحدة ، والتي تسمى مركز سطح كروي.

كرة (كرة)هو جسم يحده سطح كروي. يمكنك الحصول على كرة بتدوير نصف دائرة (أو دائرة) حول القطر. جميع أقسام مستوى الكرة هي دوائر. تقع الدائرة الأكبر في الجزء المار بمركز الكرة وتسمى الدائرة الكبرى. نصف قطرها يساوي نصف قطر الكرة. أي دائرتين كبيرتين تتقاطعان في قطر الكرة. هذا القطر هو أيضًا قطر الدوائر الكبرى المتقاطعة. من خلال نقطتين من سطح كروي يقعان في نهايات القطر نفسه ، يمكن للمرء رسم عدد لا حصر له من الدوائر الكبيرة.

حجم الكرة أقل مرة ونصف من حجم الأسطوانة الموصوف حولها ، وسطح الكرة أقل مرة ونصف من إجمالي سطح الأسطوانة نفسها.

معادلة الكرة في نظام إحداثيات مستطيل هي:
(x-x0) + (y-y) 2+ (z-z0) = R2 ،
هنا x ، y ، z هي إحداثيات نقطة متغيرة على الكرة ؛
x0 ، y0 ، z0 - إحداثيات المركز ؛
R هو نصف قطر الكرة.

حجم الكرة ومساحة الكرة:

حجم القطعة الكروية ومساحة السطح المجزأ:
,
أين ح هو ارتفاع الجزء الكروي.

الحجم والمساحة الكلية للقطاع الكروي:
,
حيث R هو نصف قطر الكرة ؛ h هو ارتفاع الجزء الكروي.

حجم ومساحة السطح الكلية للطبقة الكروية:
,
أين ح هو الارتفاع r1 و r2 هما أنصاف أقطار قواعد الطبقة الكروية.

حجم ومساحة سطح الطارة:
,
أين ص هو نصف قطر الدائرة ؛ R هي المسافة من مركز الدائرة إلى محور الدوران.

متوسط ​​انحناء السطح S عند النقطة A0:

أجزاء الكرة. يُطلق على جزء من الكرة (الكرة) ، مقطوعًا عنها بأي طائرة ، مقطعًا كرويًا (كرويًا). تسمى الدائرة بقاعدة القطعة الكروية. يسمى الجزء العمودي المرسوم من مركز الدائرة إلى التقاطع مع السطح الكروي ارتفاع المقطع الكروي. الجزء من الكرة المحاط بين مستويين متوازيين يتقاطعان مع السطح الكروي يسمى الطبقة الكروية. يسمى السطح المنحني للطبقة الكروية بالحزام الكروي (المنطقة). المسافة بين قواعد الحزام الكروي هي ارتفاعه. يُطلق على جزء الكرة المحاط بالسطح المنحني لقطعة كروية والسطح المخروطي ، الذي تشكل قاعدته قاعدة المقطع ، والقمة مركز الكرة ، قطاعًا كرويًا.

تناظر.

تناظر المرآة. يُقال إن الشكل الهندسي متماثل بالنسبة للمستوى S إذا كان من الممكن إيجاد النقطة E 'من نفس الشكل لكل نقطة E من هذا الشكل ، بحيث يكون المقطع EE' عموديًا على المستوى S ومقسومًا على هذه الطائرة في النصف. يُطلق على المستوى S مستوى التناظر. لا تتساوى الأشكال والأشياء والأجسام المتماثلة مع بعضها البعض بالمعنى الضيق للكلمة ، فهي تسمى مرآة متساوية.

التناظر المركزي. يُقال إن الشكل الهندسي متماثل بالنسبة للمركز C إذا كان من الممكن إيجاد النقطة E من نفس الشكل لكل نقطة A من هذا الشكل ، بحيث يمر المقطع AE عبر المركز C وينقسم عند هذه النقطة. النقطة C في هذه الحالة تسمى مركز التناظر.

تناظر الدوران. يمتلك الجسم تناظرًا دورانيًا إذا تم تدويره بزاوية 360 درجة / ن (n عدد صحيح) حول خط مستقيم AB (محور التناظر) ، فإنه يتطابق تمامًا مع موضعه الأولي. بالنسبة إلى n = 2 ، لدينا تناظر محوري.

أمثلة على أنواع التناظر.الكرة (الكرة) لها كلا من التناظر المركزي والمرآة والتناظر الدوراني. مركز التناظر هو مركز الكرة ؛ مستوى التماثل هو مستوى أي دائرة كبيرة ؛ محور التناظر هو قطر الكرة.

المخروط الدائري متماثل محوريًا ؛ محور التناظر هو محور المخروط.

المنشور المستقيم له تناظر معكوس. إن مستوى التناظر موازٍ لقواعده ويقع على نفس المسافة بينهما.

تناظر الأشكال المستوية.

تناظر محور المرآة. إذا كان الشكل المستوي متماثلًا بالنسبة للمستوى (وهو أمر ممكن فقط إذا كان الشكل المستوي متعامدًا على ذلك المستوى) ، فإن الخط الذي تتقاطع على طوله هذه المستويات هو محور التماثل من الدرجة الثانية من هذا الشكل. في هذه الحالة ، يسمى الشكل متماثل المرآة.

التناظر المركزي. إذا كان الشكل المستوي يحتوي على محور تناظر من الدرجة الثانية ، عموديًا على مستوى الشكل ، فإن النقطة التي يتقاطع عندها الخط ومستوى الشكل هي مركز التناظر.

أمثلة على تناظر الأشكال المستوية.

متوازي الأضلاع له تماثل مركزي فقط. مركز التناظر هو نقطة تقاطع الأقطار.
شبه منحرف متساوي الساقين له تناظر محوري فقط. محور التناظر الخاص به هو عمودي مرسوم من خلال نقاط المنتصف لقواعد شبه المنحرف.

المعين له تناظر مركزي ومحوري. محور التناظر هو أي من أقطارها ؛ مركز التناظر هو نقطة تقاطعهم.

موضع النقاط (المشار إليه فيما يلي باسم GMT) هو شكل مستوي يتكون من نقاط ذات خاصية معينة ، ولا يحتوي على نقطة واحدة لا تحتوي على هذه الخاصية.

سننظر فقط في تلك HMTs التي يمكن إنشاؤها باستخدام البوصلة والاستقامة.

دعونا نفكر في HMT على المستوى ، والتي لها أبسط الخصائص وأكثرها تعبيرًا:

1) HMT ، متباعدة على مسافة معينة r من نقطة معينة O ، هي دائرة متمركزة عند النقطة O من نصف القطر r.

2) توقيت جرينتش للنقطتين A و B على مسافة متساوية من نقطتين معينتين هو خط مستقيم عمودي على القطعة AB ويمر عبر منتصفه.

3) GMT متساوية البعد عن خطين متقاطعين معينين ، هناك زوج من الخطوط المتعامدة المتبادلة تمر عبر نقطة التقاطع ويقسم الزوايا بين الخطوط المعطاة إلى النصف.

4) GMT ، متباعدة على نفس المسافة h من خط مستقيم ، يوجد خطان مستقيمان موازيان لهذا الخط المستقيم ويقعان على جانبيه المتقابلين على مسافة معينة h.

5) يكون موضع مراكز الدوائر المماس لخط معين م عند نقطة معينة م عليها عموديًا على AB عند النقطة M (باستثناء النقطة M).

6) موقع مراكز الدوائر المماس لدائرة معينة عند نقطة معينة M عليها هو خط مستقيم يمر بالنقطة M ومركز الدائرة المعينة (باستثناء النقطتين M و O).

7) HMT ، الذي يظهر منه هذا المقطع بزاوية معينة ، عبارة عن قوسين من الدوائر موصوفين على مقطع معين وإحاطة زاوية معينة.

8) GMT ، المسافات التي من بينها إلى نقطتين معطاة A و B هي في النسبة m: n ، هي دائرة (تسمى دائرة Apollonius).

9) إن موضع النقاط الوسطى للأوتار المرسومة من نقطة واحدة في الدائرة هو دائرة مبنية على مقطع يربط نقطة معينة بمركز دائرة معينة ، كما هو الحال على القطر.

10) موقع رءوس المثلثات المتساوية في الحجم لواحد معين ولها قاعدة مشتركة هو خطان مستقيمان موازيان للقاعدة ويمران عبر رأس المثلث المعطى ومتماثل بالنسبة للخط الذي يحتوي على القاعدة.

دعونا نعطي أمثلة على إيجاد توقيت جرينتش.

مثال 2.ابحث عن GMT ، وهي نقاط المنتصف للأوتار ،مستمدة من نقطة واحدة في الدائرة المعينة(GMT رقم 9).

المحلول . دع دائرة مع مركز O يتم تحديدها والنقطة A يتم اختيارها على هذه الدائرة التي يتم رسم الأوتار منها. دعنا نوضح أن HMT المطلوب عبارة عن دائرة مبنية على AO كقطر (باستثناء النقطة A) (الشكل 3).

لنفترض أن AB يكون وترًا وأن يكون M هو منتصفه. دعنا نربط M و O. ثم MO ^ AB (نصف القطر الذي يقسم الوتر إلى النصف عمودي على هذا الوتر). لكن ، إذن RAMO = 90 0. لذا ينتمي M إلى دائرة قطرها AO (GMT رقم 7). لان تمر هذه الدائرة بالنقطة O ، ثم O تنتمي إلى GMT الخاصة بنا.

على العكس من ذلك ، دع M ينتمي إلى GMT الخاص بنا. بعد ذلك ، رسم الوتر AB عبر M وربط M و O ، نحصل على РАМО = 90 0 ، أي MO ^ AB ، وبالتالي ، M هو منتصف الوتر AB. إذا تزامن M مع O ، فإن O هي نقطة منتصف التيار المتردد.

غالبًا ما تسمح لك طريقة الإحداثيات بالعثور على توقيت جرينتش.

مثال 3.أوجد توقيت جرينتش ، المسافة التي من بينها إلى نقطتين معطاة أ وب في النسبة المعطاة م: ن (م ≠ ن).

المحلول . نختار نظام إحداثيات مستطيل بحيث تقع النقطتان A و B على محور Ox بشكل متماثل فيما يتعلق بأصل الإحداثيات ، ويمر محور Oy عبر منتصف AB (الشكل 4). وضعنا AB = 2a. ثم النقطة أ لها إحداثيات أ (أ ، 0) ، النقطة ب لها إحداثيات ب (-أ ، 0). لنفترض أن C تنتمي إلى HMT ، والإحداثيات C (x ، y) و CB / CA = م / ن.ولكن وسائل

(*)

دعنا نغير معادلتنا. نملك

تختلف الأجسام عن بعضها البعض في الوزن ، واللون ، والكثافة ، والصلابة ، والمساحة التي تشغلها ، وما إلى ذلك.

تسمى هذه العلامات بخصائص الأجسام.

الأجسام التي لها هذه الخصائص تسمى أجساد مادية.

بين هذه الخصائص ، تسمى خاصية الجسم الطول.

طوليوجد ملكية الجسم لشغل مكان معين في الفضاء.

يطلق عليه الخاصية الهندسية للجسم. تحدد هذه الخاصية شكل وحجم الجسم.

الجسم الذي له خاصية امتداد واحدة فقط يسمى جسمًا هندسيًا. بالنظر إلى جسم هندسي ، انتبه فقط لشكله وحجمه.

تسمى الخصائص المتبقية للجسم الفيزيائية.

جسم هندسييوجد المساحة التي يشغلها الجسد المادي.

الجسم الهندسي محدود من جميع الجوانب. يفصله سطح الجسم عن باقي المساحة. للتعبير عن هذا ، يقولون ذلك

سطحيوجد حد الجسم.

يتم فصل سطح واحد عن الآخر بخط. يحدد الخط السطح ، لذلك يسمى الخط حدود السطح.

خطيوجد حد السطح.

نهاية السطر تسمى نقطة. تحدد النقطة وتفصل خطًا عن آخر ، وهذا هو سبب تسمية النقطة بحدود الخط.

نقطةيوجد حد الخط.

يوضح الشكل 1 جسمًا على شكل صندوق مغلق من جميع الجوانب. يحدها ستة جوانب تشكل سطح الصندوق. يمكن رؤية كل جانب من جوانب الصندوق كسطح منفصل. يتم فصل هذه الجوانب عن بعضها البعض بـ 12 سطراً تشكل حواف الصندوق. الخطوط مفصولة عن بعضها بـ 8 نقاط تشكل زوايا الصندوق.

الأجسام والأسطح والخطوط ليست بنفس الحجم. هذا يعني أنهم يشغلون مساحة غير متكافئة ، أو مساحة غير متكافئة.

حجم الجسم. تسمى قيمة الجسم الهندسي حجم أو سعة الجسم.

مساحة السطح. مساحة السطح تسمى المنطقة.

طول الخط. طول الخط يسمى الطول.

الطول والمساحة والحجم كميات غير متجانسة. يتم قياسها بوحدات مختلفة واستخدامها لأغراض مختلفة. لإيجاد مسافة جسمين ، عرض الذراع ، وعمق البئر ، وارتفاع البرج ، حدد طول الخط. لهذا ، يتم إجراء قياس واحد فقط ، أي يتم إجراء القياس في اتجاه واحد. عند القياس ، لجأ إلى وحدات الطول. تسمى وحدات الطول هذه فيرست ، وسازينز ، وأرشينز ، وأقدام ، وأمتار ، وما إلى ذلك. ووحدة الطول لها بعد واحد ، ولهذا يقولون ذلك

الخطوط لها بعد واحد. الخطوط ليس لها عرض ولا سمك. هم نفس الطول.

للحصول على فكرة عن حجم الصورة ، عليك أن تعرف طولها وعرضها. يعطي الطول والعرض فكرة عن مساحة الصورة. لتحديد المنطقة ، أصبح من الضروري إجراء قياسين ، أو قياس الصورة في اتجاهين. لتحديد حجم المنطقة ، يتم استخدام وحدات المساحة. يُؤخذ المربع كوحدة مساحة ، ولكل من جوانبها وحدة طول معينة. تسمى وحدات المساحة بالأميال المربعة ، والفرست المربعة ، والقدم المربع ، وما إلى ذلك. المربع فيرست هو مساحة المربع مع كل جانب يساوي فيرست ، وهكذا. وحدة المساحة لها بعدين: الطول والعرض. نظرًا لأن الأسطح تقاس بوحدات المساحة ، فإنهم يقولون ذلك

الأسطح لها بعدين. الأسطح ليس لها سمك. يمكن أن يكون لديهم فقط الطول والعرض.

للحصول على فكرة عن سعة الغرفة أو الصندوق ، تحتاج إلى معرفة أحجامها. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة طول وعرض وارتفاع الغرفة ، أي إجراء ثلاثة قياسات أو قياسها في ثلاثة اتجاهات. يتم قياس الأحجام بوحدات الحجم. يُؤخذ المكعب كوحدة حجم ، كل جانب منه يساوي واحدًا. وحدات الحجم لها ثلاثة أبعاد: الطول والعرض والارتفاع. نظرًا لأن الأحجام تقاس بوحدات الحجم ، فإننا نقول ذلك

الأجسام لها ثلاثة أبعاد.

تسمى وحدات الحجم فيرست مكعبة ، قدم مكعب ، إلخ. اعتمادًا على طول جانب المكعب.

النقطة ليس لها طول ، أو عرض ، أو ارتفاع ، أو ليس للنقطة أبعاد.

ملحقات هندسية. تسمى الخطوط والأسطح والمواد الصلبة بالامتدادات الهندسية.

الهندسة هو علم خصائص وقياس الامتدادات الهندسية.

الهندسة هي علم الفضاء. يحدد مجموعة من العلاقات الضرورية المتعلقة بطبيعة الفضاء.

تشكيل نطاقات هندسية بالحركة

يمكن عرض الخط بنفس طريقة عرض الأثر الذي تتركه حركة نقطة ، والسطح باعتباره أثرًا تتركه حركة الخط ، والجسم باعتباره أثرًا تتركه حركة السطح. تعتمد التعريفات الأخرى للخط والسطح والصلب على هذه الاعتبارات.

خط هو موضع النقطة المتحركة.

سطح هو موضع الخط المتحرك.

الجسم هو موضع السطح المتحرك.

جميع الأشياء التي تعتبر في الطبيعة لها ثلاثة أبعاد. لا توجد نقاط ولا خطوط ولا أسطح فيها ، ولكن توجد أجسام فقط. ومع ذلك ، في الهندسة ، تعتبر النقاط والخطوط والأسطح منفصلة عن الأجسام. في الوقت نفسه ، تمنحنا قشرة رقيقة جدًا من الجسم بعض التمثيل المرئي التقريبي للسطح ، ويعطينا خيط رفيع جدًا أو شعرًا تمثيلًا مرئيًا للخط ونهاية الخيط حول النقطة.

خطوط

تنقسم الخطوط إلى خطوط مستقيمة وخطوط متقطعة ومنحنيات.

هي أقصر مسافة بين نقطتين.

يعطي الخيط الرفيع الممتد بإحكام بعض التمثيل المرئي لخط مستقيم.

يتم الإشارة إلى أي سطر بأحرف موضوعة عند نقاطه. يُظهر الرسم 2 خطًا مستقيمًا AB. في كل خط مستقيم ، يتم لفت الانتباه إلى اتجاهو القيمة.

يتم تحديد اتجاه الخط المستقيم من خلال موضعه.

يوجد اتصال متسلسل ومتواصل لعدة خطوط مستقيمة ذات اتجاهات مختلفة.

يتكون الخط المكسور ABCD (الشكل 3) من خطوط مستقيمة AB ، BC ، CD ، والتي ليس لها نفس الاتجاه.

هناك واحد لا يمكن أن يتكون من خطوط مستقيمة.

الخط الموضح في الشكل. 4 ، سيكون خطًا منحنيًا.

يسمى الخط المكون من خطوط مستقيمة ومنحنيات أحيانًا بالخط المركب.

يمثل الرسم (4 ، أ) مثل هذا الخط المركب.

الأسطح

تنقسم الأسطح إلى مستقيمة أو مسطحة ومنحنية. السطح المسطح يسمى المستوى.

طائرة. يسمى السطح بالمستوى عندما يقع عليه كل خط مستقيم مرسوم عبر كل نقطتين من السطح بكل نقاطه.

سطح المنحنى هناك واحد لا يمكن أن يتكون من طائرات.

لا يتناسب الخط المستقيم المرسوم بين أي نقطتين على سطح منحني مع جميع نقاطه الوسيطة.

يتم إعطاء بعض التمثيل المرئي للطائرة من خلال سطح مرآة مصقولة جيدًا أو سطح الماء الراكد. مثال على الأسطح المنحنية هو سطح كرة البلياردو.

أقسام الهندسة

تنقسم الهندسة إلى قياس الكواكب والهندسة الصلبة.

قياس الكواكب يدرس خاصية الامتدادات الهندسية المعتبرة على المستوى.

القياس المجسم يدرس خصائص مثل هذه الامتدادات الهندسية التي لا يمكن تمثيلها في مستوى واحد.

يُطلق على قياس الكواكب اسم الهندسة على مستوى ، والقياس الفراغي - الهندسة في الفضاء.

تنقسم الهندسة كذلك إلى أساسي وأعلى.في العمل الحالي ، يتم تقديم الهندسة الأولية فقط.

أشكال مختلفة من التعبير عن الحقائق الهندسية

يتم التعبير عن الحقائق الهندسية في شكل البديهيات ، والنظريات ، والليمس ، والمشاكل أو المهام.

اكسيوم هناك حقيقة ، لكن شواهدها لا تحتاج إلى برهان.

من الأمثلة على الحقائق التي لا تتطلب إثباتًا هي البديهيات التالية:

الكل يساوي مجموع أجزائه.

الكل أكبر من جانبه. الأجزاء أصغر من الكل.

كميتان متساويتان في الثلث متساويان.

من خلال الجمع أو الطرح بالتساوي من كميات متساوية ، نحصل على كميات متساوية.

عن طريق إضافة أو طرح قيم متساوية غير متساوية ، نحصل على قيم غير متساوية.

من خلال إضافة أو طرح القيم غير المتكافئة بالتساوي ، نحصل على قيم غير متساوية.

مجموع الأكبر أكبر من مجموع الأصغر.

الكمية المتجانسة ، التي لا تزيد ولا تقل عن أخرى ، تساويها ، إلخ.

نظرية. النظرية أو الافتراض حقيقة تتطلب برهانًا..

دليل - إثبات هي مجموعة من الحجج التي تجعل النظرية واضحة.

تم إثبات النظرية بمساعدة البديهيات.

تكوين النظرية. تتكون كل نظرية من شرط وخاتمة.

تسمى الحالة أحيانًا تخمين وافتراض، ويسمى الاستنتاج أحيانًا عاقبة. يتم إعطاء الشرط وبالتالي يحصل أحيانًا على الاسم معطى.

تسمى النظرية معكوس إذا أصبح الاستنتاج شرطًا ، وأصبح الشرط أو الافتراض خاتمة. في هذه الحالة ، تسمى هذه النظرية بالنظرية المباشرة. ليست كل نظرية لها معكوسها.

مشكلة أو تحدي هناك سؤال يمكن حله بمساعدة النظريات.

ليما هي حقيقة مساعدة تسهل إثبات النظرية.