صغير. منذ بحجم الخط: 14.0 نقطة "> ~ (انظر) ، إذن ~ .

بالنظر إلى هذا ، نحصل على:

لذلك تتباعد السلسلة.

د) حجم الخط: 14.0 نقطة "> ،

ومن هنا تتباعد السلسلة.

حالة هو من الضروري،لكن ليس كافيشرط التقارب المتسلسل: هناك مجموعة من السلاسل التي من أجلها، لكنها مع ذلك تتباعد.

مثال 3استكشف تقارب سلسلة font-size: 14.0pt "> المحلول.لاحظ أن https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif "width =" 119 "height =" 59 src = "> ، أي استيفاء شرط التقارب الضروري. مبلغ جزئي

غادر ">

- ذات مرة

so font-size: 14.0pt "> مما يعني أن السلسلة تتباعد حسب التعريف.

الشروط الكافية لتقارب سلسلة الإشارات الموجبة

يترك . ثم السلسلةحجم الخط: 14.0 نقطة "> علامة المقارنة

يترك وسلسلة إشارات إيجابية. إذا كانت المتباينة مرضية للجميع ، فإن تقارب السلسلة يتبع تقارب السلسلة ، ومن تباعد السلسلة

تظل هذه العلامة صالحة إذا كانت عدم المساواة https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif "width =" 60 "height =" 24 "> ، ولكن تبدأ فقط من بعض الأرقام. يمكن تفسيرها على النحو التالي: إذا تقاربت السلسلة الأكبر ، فإن السلسلة الأصغر تتقارب بشكل أكبر ؛ إذا تباعدت السلسلة الأصغر ، فإن السلسلة الأكبر تتباعد أيضًا.

مثال 4استكشاف تقارب الصف 0 "style =" margin-left: 50.4pt؛ border-collapse: collapse ">

;

المحلول.

أ) لاحظ أن حجم الخط: 14.0 نقطة "> للجميع . سلسلة ذات مصطلح مشترك

ب) قارن الصف بالصف ..gif "width =" 91 "height =" 29 src = ">. gif" width = "87" height = "59"> تتباعد ، لذلك تتباعد السلسلة أيضًا.

على الرغم من بساطة صياغة معيار المقارنة ، فإن النظرية التالية ، والتي هي نتائجه ، أكثر ملاءمة من الناحية العملية.

علامة حد للمقارنة

يترك https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif "width =" 53 "height =" 60 src = "> - سلسلة موجبة. إن وجدت محدودو غير صفريةحد ، ثم كلا الصفوف و

تتقارب في نفس الوقت أو تتباعد في نفس الوقت.

كسلسلة تستخدم للمقارنة مع البيانات ، سلسلة من النموذج . تسمى هذه السلسلة بالقرب من Dirichlet. في المثالين 3 و 4 ، تبين أن سلسلة Dirichlet تتباعد وتتباعد. يمكن الآن-

قل أن الصف بحجم الخط: 14.0pt "> .

إذا ، ثم الصف اتصل متناسق. تتباعد السلسلة التوافقية.

مثال 5تحقق من سلسلة التقاربباستخدام معيار المقارنة المحدد ، إذا

المحلول.أ) منذ https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif "width =" 31 "height =" 23 src = "> ، و

~ ثم ~ font-size: 14.0pt "> مقارنة بسلسلة توافقية معينةحجم الخط: 14.0 نقطة "> ، أي.

font-size: 14.0pt "> نظرًا لأن النهاية محدودة وغير صفرية وتتباعد السلسلة التوافقية ، فإن هذه السلسلة أيضًا تتباعد.

ب) من أجل https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif "width =" 111 "height =" 31 src = ">. gif" width = "129" height = "31 src = ">. gif" width = "132" height = "64 src ="> هو العضو الشائع في السلسلة لمقارنة هذا مع:

حجم الخط: 14.0 نقطة "> تتقارب السلسلة ( صف Dirichlet بحجم الخط: 16.0pt ">)، لذلك تتقارب هذه السلسلة أيضًا.

في) ، متناهية الصغرحجم الخط: 14.0pt "> يمكنك ذلك

بالقيمة المكافئة لها في(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif "width =" 13 "height =" 21 src = "> بحجم الخط: 20.0pt">). ;

;

;

ز)

;

.

تسمى هذه المبالغ صفوف لا نهاية لها، وشروطها هي شروط السلسلة. (تعني علامة القطع أن عدد المصطلحات لا نهائي.) نادرًا ما يمكن تمثيل حلول المشكلات الرياضية المعقدة بشكل دقيق باستخدام الصيغ. ومع ذلك ، في معظم الحالات يمكن كتابة هذه الحلول على شكل سلسلة. بعد العثور على مثل هذا الحل ، تسمح لنا طرق نظرية المتسلسلة بتقدير عدد مصطلحات السلسلة التي يجب أخذها لإجراء حسابات محددة أو كيفية كتابة الإجابة في الشكل الأكثر ملاءمة. جنبًا إلى جنب مع السلاسل العددية ، يمكننا النظر في ما يسمى ب. صفوف وظيفية، شروطها وظائف. يمكن تمثيل العديد من الوظائف باستخدام سلسلة الوظائف. تعد دراسة السلاسل العددية والوظيفية جزءًا مهمًا من حساب التفاضل والتكامل.

في المثالين (1) و (2) ، من السهل نسبيًا التخمين من خلال صياغة المصطلحات المتعاقبة للقانون. قد يكون قانون تكوين أعضاء السلسلة أقل وضوحًا. على سبيل المثال ، بالنسبة للمجموعة (3) ، سيتضح ما إذا كانت هذه السلسلة مكتوبة بالشكل التالي:

صفوف متقاربة.

نظرًا لأن إضافة عدد لا حصر له من مصطلحات السلسلة أمر مستحيل ماديًا ، فمن الضروري تحديد ما يجب أن يفهمه بالضبط مجموع سلسلة لانهائية. يمكن تخيل أن عمليات الجمع والطرح هذه تتم بالتتابع ، واحدة تلو الأخرى ، على سبيل المثال ، على الكمبيوتر. إذا اقتربت المجاميع الناتجة (المبالغ الجزئية) من رقم معين ، فمن المعقول تسمية هذا الرقم بمجموع سلسلة لا نهائية. وبالتالي ، يمكن تعريف مجموع سلسلة لا نهائية على أنه حد تسلسل المجاميع الجزئية. علاوة على ذلك ، تسمى هذه السلسلة متقاربة.

العثور على مجموع المتسلسلة (3) ليس بالأمر الصعب إذا لاحظت أن السلسلة المحولة (4) يمكن كتابتها كـ

المجاميع الجزئية المتتالية من المتسلسلة (5) هي

إلخ.؛ يمكنك أن ترى أن المجاميع الجزئية تميل إلى 1. وبالتالي ، تتقارب هذه السلسلة ويكون مجموعها 1.

كمثال على المتسلسلة اللانهائية ، ضع في اعتبارك الكسور العشرية اللانهائية. إذن ، 0.353535 ... هو كسر عشري متكرر لانهائي ، وهو طريقة مضغوطة لكتابة السلسلة

قانون تشكيل الأعضاء المتعاقبين واضح هنا. وبالمثل ، 3.14159265 ... يعني

لكن قانون تكوين الأعضاء اللاحقين من السلسلة ليس واضحًا هنا: الأرقام تشكل التوسع العشري للعدد ص، ومن الصعب تحديد الرقم 100000 على الفور ، على سبيل المثال ، على الرغم من أنه يمكن حساب هذا الرقم نظريًا.

صفوف متشعبة.

يُقال أن السلسلة اللانهائية التي لا تتقارب تتباعد (تسمى هذه السلسلة متشعب). على سبيل المثال ، صف

تباعد ، نظرًا لأن مجاميعها الجزئية هي 1/2 ، 1 ، 1/2 ، 2 ، .... لا تميل هذه المبالغ إلى أي رقم كحد ، لأنه من خلال أخذ شروط كافية من السلسلة ، يمكننا عمل جزء مهما كانت كبيرة. صف

تتباعد أيضًا ، ولكن لسبب مختلف: تتحول المبالغ الجزئية من هذه السلسلة بالتناوب إلى 1 ، ثم إلى 0 ولا تميل إلى الحد الأقصى.

خلاصة.

للعثور على مجموع سلسلة متقاربة (بدقة معينة) من خلال تلخيص شروطها على التوالي ، على الرغم من أنه ممكن نظريًا ، إلا أنه من الصعب عمليًا تنفيذها. على سبيل المثال ، صف

تتقارب ، ومجموعها في حدود عشر منازل عشرية هو 1.6449340668 ، ولكن لحسابها بهذه الدقة ، سيكون من الضروري أخذ قيمة تقريبية. 20 مليار عضو. عادة ما يتم تلخيص هذه السلسلة من خلال تحويلها أولاً باستخدام تقنيات مختلفة. في هذه الحالة ، يتم استخدام الطرق الجبرية أو الحسابية ؛ على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يظهر أن مجموع المتسلسلة (8) يساوي ص 2 /6.

الرموز.

عند العمل مع سلسلة لانهائية ، من المفيد أن يكون لديك تدوين مناسب. على سبيل المثال ، يمكن كتابة المجموع النهائي للسلسلة (8) كـ

هذا الدخول يدل على ذلك نيتم تعيينه على التوالي على 1 و 2 و 3 و 4 و 5 ، ويتم إضافة النتائج:

وبالمثل ، يمكن كتابة السلسلة (4) كـ

حيث يشير الرمز إلى أننا نتعامل مع سلسلة لا نهائية وليس مع جزءها المحدود. يسمى الرمز S (سيغما) بعلامة الجمع.

تقدم هندسي لانهائي.

تمكنا من جمع المتسلسلة (4) لوجود صيغة بسيطة لمجموعها الجزئية. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يجد مجموع المتسلسلة (2) ، أو بشكل عام ،

إذا صيأخذ القيم بين -1 و 1. في هذه الحالة ، مجموع المتسلسلة (9) يساوي 1 / (1 - ص) ؛ لقيم أخرى صسلسلة (9) يتباعد.

يمكنك التفكير في الكسور العشرية الدورية مثل 0.353535 ... كطريقة أخرى لكتابة تقدم هندسي لا نهائي.

يمكن أيضًا كتابة هذا التعبير كـ

حيث السلسلة (9) مع ص= 0.01 ؛ لذلك ، مجموع المتسلسلة (10) يساوي

بالطريقة نفسها ، يمكن تمثيل أي كسر عشري دوري ككسر مشترك.

علامات التقارب.

في الحالة العامة ، لا توجد معادلة بسيطة للمجاميع الجزئية لسلسلة لانهائية ، لذلك يتم استخدام طرق خاصة لإثبات التقارب أو الاختلاف في السلسلة. على سبيل المثال ، إذا كانت جميع شروط السلسلة موجبة ، فيمكن إظهار أن السلسلة تتقارب إذا لم يتجاوز كل مصطلح من شروطها المصطلح المقابل للسلسلة الأخرى ، والتي من المعروف أنها تتقارب. في الترميز المقبول ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي: if أ i 0 ويتقارب ، ثم يتقارب إذا كان 0 j ب ن Ј أ. على سبيل المثال ، نظرًا لأن السلسلة (4) تتقارب و

ثم يمكننا أن نستنتج أن السلسلة (8) تتقارب أيضًا. المقارنة هي الطريقة الرئيسية لتأسيس تقارب العديد من السلاسل من خلال مقارنتها بأبسط سلسلة متقاربة. في بعض الأحيان يتم استخدام معايير تقارب أكثر خاصة (يمكن العثور عليها في الأدبيات المتعلقة بنظرية السلاسل.) فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى للسلسلة المتقاربة ذات المصطلحات الإيجابية:

يمكن أيضًا استخدام المقارنة لإثبات اختلاف سلسلة. إذا تباعدت السلسلة ، فستتباعد السلسلة أيضًا إذا كانت 0 J ب ن Ј أ.

من أمثلة السلاسل المتباينة السلسلة

و ، على وجه الخصوص ، منذ ذلك الحين سلسلة متناسقة

يمكن التحقق من تباعد هذه السلسلة بإحصاء المبالغ الجزئية التالية:

إلخ. وبالتالي ، فإن المبالغ الجزئية التي تنتهي بالمصطلحات 1/4 ، 1/8 ، 1/16 ، 1/32 ، j تتجاوز المبالغ الجزئية للسلسلة المتباعدة (6) ، وبالتالي يجب أن تتباعد السلسلة (14).

التقارب المطلق والمشروط.

لخطوط مثل

طريقة المقارنة غير قابلة للتطبيق ، لأن مصطلحات هذه السلسلة لها علامات مختلفة. إذا كانت كل حدود المتسلسلة (15) موجبة ، فسنحصل على السلسلة (3) ، والتي من المعروف أنها تتقارب. يمكن إظهار أن هذا يعني أيضًا تقارب السلاسل (15). عند تغيير إشارات المصطلحات السالبة للسلسلة إلى العناصر المعاكسة ، يمكن تحويلها إلى علامة متقاربة ، يقولون أن السلسلة الأصلية يتقارب على الاطلاق.

السلسلة التوافقية المتناوبة (1) ليست متقاربة تمامًا ، منذ ذلك الحين السلسلة (14) ، التي تتكون من نفس المصطلحات ولكن الإيجابية فقط ، لا تتقارب. ومع ذلك ، بمساعدة معايير التقارب الخاصة للسلسلة المتناوبة ، يمكن للمرء أن يوضح أن السلسلة (1) تتقارب بالفعل. تسمى السلسلة المتقاربة التي لا تتقارب بشكل مطلق متقاربة مشروطًا.

عمليات مع الصفوف.

استنادًا إلى تعريف سلسلة متقاربة ، من السهل إظهار أن تقاربها لا ينتهك بحذف أو تعيين عدد محدود من المصطلحات لها ، وكذلك بضرب أو قسمة جميع شروط السلسلة على نفس الرقم (من بالطبع ، يتم استبعاد القسمة على 0). لأي إعادة ترتيب لشروط سلسلة متقاربة تمامًا ، لا يتم انتهاك تقاربها ، ولا يتغير المجموع. على سبيل المثال ، نظرًا لأن مجموع المتسلسلة (2) هو 1 ، فإن مجموع المتسلسلة

تساوي أيضًا 1 ، حيث يتم الحصول على هذه السلسلة من السلسلة (2) عن طريق تبادل المصطلحات المجاورة (المصطلح الأول مع الثاني ، إلخ). يمكنك تغيير ترتيب شروط سلسلة متقاربة تمامًا بشكل تعسفي ، طالما أن جميع أعضاء السلسلة الأصلية موجودون في السلسلة الجديدة. من ناحية أخرى ، فإن إعادة ترتيب شروط سلسلة متقاربة شرطيًا يمكن أن يغير مجموعها بل ويجعلها متباعدة. علاوة على ذلك ، يمكن دائمًا إعادة ترتيب شروط سلسلة متقاربة شرطيًا بحيث تتقارب مع أي مبلغ محدد مسبقًا.

سلسلتان متقاربة S. أو S. ب نيمكن إضافة (أو طرح) مصطلحًا بمصطلح ، بحيث يتم إضافة مجموع السلسلة الجديدة (التي تتقارب أيضًا) إلى مجموع السلسلة الأصلية ، في تدويننا

في ظل ظروف إضافية ، على سبيل المثال ، إذا تقاربت كلتا السلسلتين تمامًا ، فيمكن ضربهما ببعضهما البعض ، كما هو الحال بالنسبة للمجاميع المحدودة ، والسلسلة المزدوجة الناتجة ( انظر أدناه) إلى ناتج مبالغ السلسلة الأصلية.

تلخيص.

على الرغم من حقيقة أن تعريفنا لتقارب سلسلة لا نهائية يبدو طبيعيًا ، إلا أنه ليس الوحيد الممكن. يمكن تحديد مجموع سلسلة لا نهائية بطرق أخرى. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، السلسلة (7) ، والتي يمكن كتابتها بشكل مضغوط كـ

كما قلنا من قبل ، تأخذ مجاميعها الجزئية القيمتين 1 و 0 بالتناوب ، وبالتالي فإن المتسلسلة لا تتقارب. ولكن إذا شكلنا بالتناوب متوسطات زوجية لمجموعها الجزئية (المتوسط ​​الحالي) ، أي إذا قمنا أولاً بحساب متوسط ​​المجاميع الجزئية الأولى والثانية ، ثم متوسط ​​الثاني والثالث والثالث والرابع ، وما إلى ذلك ، فسيكون كل متوسط ​​من هذا القبيل مساوياً لـ 1/2 ، وبالتالي فإن حد المتوسطات الزوجية سيكون تساوي أيضًا 1/2. في هذه الحالة ، يُقال أن السلسلة قابلة للتجميع بالطريقة المحددة ومجموعها يساوي 1/2. تم اقتراح العديد من طرق الجمع ، مما يجعل من الممكن عزو المبالغ إلى فئات كبيرة إلى حد ما من السلاسل المتباعدة وبالتالي استخدام بعض السلاسل المتباعدة في العمليات الحسابية. بالنسبة لمعظم الأغراض ، تكون طريقة الجمع مفيدة ، ومع ذلك ، فقط إذا تم تطبيقها على سلسلة متقاربة ، فإنها تعطي مجموعها النهائي.

سلسلة ذات شروط معقدة.

حتى الآن ، افترضنا ضمنيًا أننا نتعامل فقط مع الأعداد الحقيقية ، لكن جميع التعريفات والنظريات تنطبق على سلاسل ذات أرقام مركبة (باستثناء أن المبالغ التي يمكن الحصول عليها من خلال إعادة ترتيب شروط المتسلسلة المتقاربة شرطيًا لا يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية).

صفوف وظيفية.

كما أشرنا بالفعل ، لا يمكن أن يكون أعضاء سلسلة لا نهائية أرقامًا فحسب ، بل وظائف أيضًا ، على سبيل المثال ،

مجموع هذه السلسلة هو أيضًا دالة يتم الحصول على قيمتها عند كل نقطة كحد للمبالغ الجزئية المحسوبة في تلك النقطة. على التين. يوضح الشكل 1 الرسوم البيانية للعديد من المجاميع الجزئية ومجموع سلسلة (مع x، متفاوتة من 0 إلى 1) ؛ ق(x) يعني مجموع الأول نأفراد. مجموع المتسلسلة هو دالة تساوي 1 عند 0 J x x = 1. يمكن أن تتقارب المتسلسلة الوظيفية لنفس القيم xويختلف مع الآخرين. في مثالنا ، تتقارب السلسلة عند –1J x x.

يمكن فهم مجموع سلسلة وظيفية بطرق مختلفة. في بعض الحالات ، من المهم معرفة أن المجاميع الجزئية قريبة (بمعنى أو آخر) من بعض الوظائف في الفترة الزمنية بأكملها ( أ, ب) من إثبات تقارب أو تباعد السلسلة عند نقاط فردية. على سبيل المثال ، دلالة على مبلغ جزئي نمن خلال الترتيب ق(x) ، نقول أن السلسلة تتقارب في المربع المتوسط ​​مع المجموع س(x)، إذا

قد تتقارب السلسلة في المربع المتوسط ​​حتى لو لم تتقارب عند أي نقطة مفردة. هناك أيضًا تعريفات أخرى لتقارب سلسلة وظيفية.

تتم تسمية بعض السلاسل الوظيفية على اسم الوظائف التي تتضمنها. كمثال ، يمكننا إعطاء سلسلة القوة ومبالغها:

أول هذه السلسلة تتلاقى للجميع x. يتقارب الصف الثاني من أجل | x| r x r x | Ј 1 إذا ص> 0 (باستثناء عندما صهو عدد صحيح غير سالب. في الحالة الأخيرة ، تنتهي السلسلة بعد عدد محدود من المصطلحات). تسمى الصيغة (17) بالتوسع ذي الحدين لدرجة عشوائية.

سلسلة ديريتشليت.

سلسلة Dirichlet هي سلسلة وظيفية على شكل S (1 / أ ن س) حيث الأرقام أزيادة إلى أجل غير مسمى مثال على سلسلة Dirichlet هي وظيفة Riemann zeta

غالبًا ما تستخدم سلسلة Dirichlet في نظرية الأعداد.

سلسلة مثلثية.

هذا هو اسم السلسلة الوظيفية التي تحتوي على الدوال المثلثية ؛ تسمى السلاسل المثلثية من النوع الخاص المستخدم في التحليل التوافقي سلسلة فورييه. مثال على سلسلة فورييه هو السلسلة

F( x) ، والتي لها الخاصية التالية: إذا أخذنا مجموعًا جزئيًا محددًا من السلسلة (18) ، على سبيل المثال ، مجموع مصطلحاتها الثلاثة الأولى ، فحينئذٍ يكون الفرق بين F(x) وهذا المبلغ الجزئي محسوب لبعض القيمة x، ستكون صغيرة لجميع القيم xبالقرب من 0. بمعنى آخر ، على الرغم من أننا لا نستطيع تحقيق تقريب جيد للوظيفة F(x) في أي نقطة معينة x، بعيدًا عن الصفر ، مع الأخذ في الاعتبار مصطلحات كثيرة جدًا في السلسلة ، ولكن من أجل xبالقرب من 0 ، فقط عدد قليل من مصطلحاته يعطي تقديرًا تقريبيًا جيدًا جدًا. تسمى هذه الصفوف مقارب. في الحسابات العددية ، عادة ما تكون السلاسل المقاربة أكثر فائدة من السلاسل المتقاربة ، لأنها توفر تقريبًا جيدًا إلى حد ما بمساعدة عدد صغير من المصطلحات. تستخدم السلاسل المقاربة على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات والفيزياء الرياضية.

صفوف مزدوجة.

في بعض الأحيان ، يتعين عليك جمع مصفوفات الأرقام ثنائية الأبعاد

يمكننا جمع صف بصف ثم جمع مجاميع الصفوف. بشكل عام ، ليس لدينا سبب معين لتفضيل الصفوف على الأعمدة ، ولكن إذا تم إجراء التجميع على الأعمدة أولاً ، فقد تكون النتيجة مختلفة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الصف المزدوج

هنا ، يتقارب كل صف إلى مجموع يساوي 0 ، وبالتالي فإن مجموع مجموع الصفوف يساوي صفرًا أيضًا. من ناحية أخرى ، مجموع أعضاء العمود الأول هو 1 وجميع الأعمدة الأخرى 0 ، وبالتالي فإن مجموع المبالغ فوق الأعمدة هو 1. السلسلة المزدوجة المتقاربة الوحيدة "الملائمة" هي السلسلة المزدوجة المتقاربة تمامًا : يمكن جمعها بالصفوف أو الأعمدة ، وأيضًا بأي طريقة أخرى ، والمبلغ هو نفسه دائمًا. لا يوجد تعريف طبيعي للتقارب الشرطي للسلسلة المزدوجة.

التعاريف الأساسية.

تعريف. يتم استدعاء مجموع شروط التسلسل الرقمي اللانهائي سلسلة عددية.

في نفس الوقت ، الأرقام
سيتم استدعاء أعضاء السلسلة ، و ش نهو عضو شائع في السلسلة.

تعريف. مسائل حسابية
,ن = 1, 2, … اتصل مبالغ خاصة (جزئية)صف.

وبالتالي ، من الممكن النظر في متواليات مجاميع جزئية من السلسلة س 1 , س 2 , …, س ن , …

تعريف. صف
اتصل متقاربةإذا تقارب تسلسل مجموعها الجزئي. مجموع المتسلسلة المتقاربةهو حد تسلسل مجموعها الجزئي.

تعريف. إذا تباعد تسلسل المجاميع الجزئية للسلسلة ، أي ليس لها حدود ، أو لها حد لانهائي ، ثم يتم استدعاء السلسلة متشعبولم يتم تخصيص أي مبلغ له.

خصائص الصف.

1) لن يتم انتهاك التقارب أو الاختلاف في السلسلة إذا قمت بتغيير أو تجاهل أو إضافة عدد محدود من المصطلحات في السلسلة.

2) النظر في صفين
و
، حيث C عدد ثابت.

نظرية. إذا كان الصف
يتقارب ومجموعهاسثم الصف
تتقارب أيضًا ، ومجموعها Cس. (ج  0)

3) النظر في صفين
و
.مجموعأو فرقستسمى هذه الصفوف الصف
، حيث يتم الحصول على العناصر نتيجة إضافة (طرح) العناصر الأصلية بنفس الأرقام.

نظرية. إذا كانت الصفوف
و
تتقارب ومجموعها متساوية ، على التوالي.سو ثم الصف
يتقارب أيضًا ومجموعها يساويس +  .

سيكون الاختلاف بين سلسلتين متقاربة أيضًا سلسلة متقاربة.

سيكون مجموع المتسلسلات المتقاربة والمتباعدة عبارة عن سلسلة متباعدة.

من المستحيل الإدلاء ببيان عام حول مجموع سلسلتين متباعدتين.

عند دراسة السلاسل ، يتم حل مشكلتين أساسيتين: دراسة التقارب وإيجاد مجموع المتسلسلة.

معيار كوشي.

(الشروط الضرورية والكافية لتلاقي السلسلة)

من أجل التسلسل
كانت متقاربة ، فمن الضروري والكافي أن أي
كان هناك رقمن، والذي فين > نوأيص> 0 ، حيث p عدد صحيح ، فإن المتباينة التالية ستحافظ على:

.

دليل - إثبات. (بحاجة إلى)

يترك
، ثم لأي رقم
هناك رقم N مثل عدم المساواة

يتم إجراؤه لـ n> N. بالنسبة إلى n> N وأي عدد صحيح p> 0 ، تنطبق المتباينة أيضًا
. بالنظر إلى كلا التفاوتين ، نحصل على:

تم إثبات الحاجة. لن ننظر في إثبات الاكتفاء.

دعونا نصيغ معيار كوشي للسلسلة.

من أجل رقم
كانت متقاربة ضرورية وكافية لأي
كان هناك رقمنمثل هذا فين> نوأيص> 0 يرضي عدم المساواة

.

ومع ذلك ، من الناحية العملية ، ليس من الملائم استخدام معيار كوشي مباشرة. لذلك ، كقاعدة عامة ، يتم استخدام معايير تقارب أبسط:

1) إذا كان الصف
يتقارب ، فمن الضروري أن المصطلح المشترك ش نتنجذب نحو الصفر. ومع ذلك ، فإن هذا الشرط لا يكفي. لا يسعنا إلا أن نقول إنه إذا كان المصطلح المشترك لا يميل إلى الصفر ، فإن المتسلسلة ستتباعد تمامًا. على سبيل المثال ، ما يسمى بالسلسلة التوافقية متشعب ، على الرغم من أن المصطلح المشترك يميل إلى الصفر.

مثال.تحقق من تقارب سلسلة

لنجد
- لم يتم استيفاء معيار التقارب الضروري ، وبالتالي فإن السلسلة تتباعد.

2) إذا تقاربت السلسلة ، فسيتم تقييد تسلسل مجموعها الجزئي.

ومع ذلك ، فإن هذه الميزة ليست كافية أيضًا.

على سبيل المثال ، السلسلة 1-1 + 1-1 + 1-1 + ... + (- 1) n +1 + ... تتباعد بسبب تسلسل مبالغها الجزئية يتباعد بسبب حقيقة أن

ومع ذلك ، في هذه الحالة ، فإن تسلسل المبالغ الجزئية محدود ، لأن
لأي ن.

سلسلة ذات مصطلحات غير سلبية.

عند دراسة السلاسل ذات العلامات الثابتة ، فإننا نقتصر على التفكير في المتسلسلات ذات المصطلحات غير السالبة ، منذ ذلك الحين عندما يتم ضربها ببساطة في -1 ، يمكن استخدام هذه السلسلة للحصول على سلاسل ذات مصطلحات سالبة.

نظرية. من أجل تقارب السلسلة
مع المصطلحات غير السالبة ، من الضروري والكافي أن يتم تقييد المبالغ الجزئية للسلسلة.

علامة مقارنة سلسلة مع أعضاء غير سلبيين.

يجب أن يكون هناك صفين
و
في ش ن , الخامس ن  0 .

نظرية. اذا كان ش ن  الخامس نلأي ن، ثم من تقارب السلسلة
يتبع تقارب السلسلة
، ومن تباعد السلسلة
يتبع اختلاف السلسلة
.

دليل - إثبات. للدلالة به س ن و  نمجاميع جزئية من المسلسلات
و
. لان وفقا لنظرية ، فإن السلسلة
يتقارب ، ثم يتم تقييد مجاميعه الجزئية ، أي للجميع ن n  M ، حيث M هو رقم ما. لكن منذ ش ن  الخامس ن، ومن بعد س ن   نثم المبالغ الجزئية للمسلسل
محدودة أيضًا ، وهذا كافٍ للتقارب.

مثال.تحقق من سلسلة التقارب

لان
، والمتسلسلة التوافقية يتباعد ، ثم تتباعد السلسلة
.

مثال.

لان
والصف
تتقارب (كتقدم هندسي متناقص) ، ثم السلسلة
يتقارب أيضا.

يتم أيضًا استخدام معيار التقارب التالي:

نظرية. اذا كان
وهناك حد
، أينحهو رقم غير صفري ، ثم السلسلة
و
تتصرف بنفس الطريقة من حيث التقارب.

علامة دالمبرت.

(جان ليرون دالمبيرت (1717 - 1783) - عالم رياضيات فرنسي)

إذا كان لسلسلة
بشروط موجبة ، هناك رقمف<1, что для всех достаточно больших نعدم المساواة

ثم الصف
تتقارب إذا كانت كبيرة بما فيه الكفاية للجميعنالحالة

ثم الصف
يتباعد.

الحد من علامة دالمبرت.

اختبار دالمبرت المحدد هو نتيجة لاختبار دالمبرت أعلاه.

إذا كان هناك حد
، ثم في < 1 ряд сходится, а при  > 1 - يتباعد. اذا كان = 1 ، إذن لا يمكن الإجابة على سؤال التقارب.

مثال.أوجد تقارب سلسلة .

الخلاصة: المسلسل يتقارب.

مثال.أوجد تقارب سلسلة

الخلاصة: المسلسل يتقارب.

علامة كوشي. (سمة جذرية)

إذا كان لسلسلة
بعبارات غير سالبة ، يوجد رقمف<1, что для всех достаточно больших نعدم المساواة

,

ثم الصف
تتقارب إذا كانت كبيرة بما فيه الكفاية للجميعنعدم المساواة

ثم الصف
يتباعد.

عاقبة. إذا كان هناك حد
، ثم عند <1 ряд сходится, а при >1 صف يتباعد.

مثال.أوجد تقارب سلسلة
.

الخلاصة: المسلسل يتقارب.

مثال.أوجد تقارب سلسلة
.

أولئك. معيار كوشي لا يجيب على السؤال حول تقارب السلسلة. دعونا نتحقق من استيفاء شروط التقارب الضرورية. كما ذكرنا أعلاه ، إذا تقاربت السلسلة ، فإن المصطلح المشترك للسلسلة يميل إلى الصفر.

,

وبالتالي ، فإن الشرط الضروري للتقارب غير مستوفٍ ، مما يعني أن السلسلة تتباعد.

اختبار كوشي لا يتجزأ.

اذا كان (س) دالة موجبة مستمرة تتناقص في الفترةو
ثم التكاملات
و
تتصرف بنفس الطريقة من حيث التقارب.

صفوف متغيرة.

صفوف متناوبة.

يمكن كتابة سلسلة بديلة على النحو التالي:

أين

علامة لايبنيز.

إذا كانت سلسلة بالتناوب القيم المطلقةش أنا تخفيض
والمصطلح الشائع يميل إلى الصفر
، ثم تتقارب السلسلة.

التقارب المطلق والمشروط للسلسلة.

ضع في اعتبارك بعض السلاسل البديلة (بشروط العلامات التعسفية).

(1)

وسلسلة تتكون من القيم المطلقة لشروط السلسلة (1):

(2)

نظرية. تقارب السلسلة (2) يعني تقارب السلسلة (1).

دليل - إثبات. السلسلة (2) بجوار المصطلحات غير السالبة. إذا تقاربت السلسلة (2) ، عندئذٍ بمعيار Cauchy لأي > 0 ، يوجد رقم N مثل n> N وأي عدد صحيح p> 0 ، تكون المتباينة التالية صحيحة:

حسب خاصية القيم المطلقة:

وهذا يعني ، وفقًا لمعيار كوشي ، أن تقارب السلسلة (2) يعني تقارب السلاسل (1).

تعريف. صف
اتصل متقاربة تماماإذا تقاربت السلسلة
.

من الواضح ، بالنسبة لسلسلة العلامات الثابتة ، أن مفهومي التقارب والتقارب المطلق يتطابقان.

تعريف. صف
اتصل متقاربة مشروطًا، إذا تقاربت ، والمسلسل
يتباعد.

اختبارات دالمبرت وكوشي للتناوب.

يترك
- سلسلة بالتناوب.

علامة دالمبرت. إذا كان هناك حد
، ثم عند <1 ряд
ستكون متقاربة تمامًا ، ومتى >

علامة كوشي. إذا كان هناك حد
، ثم عند <1 ряд
ستكون متقاربة تمامًا ، وعندما تكون> 1 ، ستكون السلسلة متباينة. عندما تكون  = 1 ، لا تعطي العلامة إجابة حول تقارب السلسلة.

خصائص سلسلة متقاربة تماما.

1) نظرية. من أجل التقارب المطلق للسلسلة
من الضروري والكافي أنه يمكن تمثيله على أنه اختلاف بين سلسلتين متقاربة مع مصطلحات غير سالبة.

عاقبة. السلسلة المتقاربة شرطيًا هي الاختلاف بين سلسلتين متباعدتين بشروط غير سالبة تميل إلى الصفر.

2) في سلسلة متقاربة ، أي تجميع لشروط السلسلة لا يغير ترتيبها يحافظ على تقارب وحجم السلسلة.

3) إذا تقاربت سلسلة بشكل مطلق ، فإن السلسلة التي تم الحصول عليها منها بأي تغيير للمصطلحات تتقارب أيضًا بشكل مطلق ولها نفس المجموع.

من خلال إعادة ترتيب شروط سلسلة متقاربة شرطيًا ، يمكن للمرء الحصول على سلسلة متقاربة مشروطًا لها أي مجموع محدد مسبقًا ، وحتى سلسلة متباعدة.

4) نظرية. مع أي تجمع لأعضاء سلسلة متقاربة تمامًا (في هذه الحالة ، يمكن أن يكون عدد المجموعات إما محدودًا أو غير محدود ، ويمكن أن يكون عدد الأعضاء في مجموعة إما محدودًا أو غير محدود) ، يتم الحصول على سلسلة متقاربة ، المجموع منها يساوي مجموع السلسلة الأصلية.

5) إذا كانت الصفوف و تتقارب بشكل مطلق ومجاميعها متساوية ، على التوالي. س و  ، ثم سلسلة مكونة من جميع منتجات النموذج
مأخوذة بأي ترتيب ، تتقارب أيضًا بشكل مطلق ومجموعها يساوي س - حاصل ضرب سلسلة المضاعفات.

ومع ذلك ، إذا تم ضرب سلسلة متقاربة شرطيًا ، فيمكن أن تكون النتيجة سلسلة متباعدة.

التسلسلات الوظيفية.

تعريف. إذا لم يكن أعضاء السلسلة أرقامًا ، لكنهم يعملون من X، ثم تسمى السلسلة وظيفي.

تعتبر دراسة تقارب السلاسل الوظيفية أكثر صعوبة من دراسة السلاسل العددية. يمكن للسلسلة الوظيفية نفسها ، لنفس قيم المتغير Xتتلاقى ، وفي الآخرين - تتباعد. لذلك ، يتم تقليل مسألة تقارب السلاسل الوظيفية إلى تحديد قيم المتغير تلك Xالتي تتقارب من أجلها السلسلة.

تسمى مجموعة هذه القيم منطقة التقارب.

نظرًا لأن حد كل دالة مدرجة في منطقة تقارب السلسلة هو رقم معين ، فإن حد التسلسل الوظيفي سيكون وظيفة معينة:

تعريف. اللاحقة ( F ن (x) } يتقاربللعمل F(x) على المقطع ، إذا كان لأي رقم > 0 وأي نقطة Xمن المقطع قيد النظر يوجد رقم N = N ( ، x) بحيث أن المتباينة

يتم إجراؤه لـ n> N.

مع القيمة المختارة > 0 ، تتوافق كل نقطة في المقطع مع الرقم الخاص بها ، وبالتالي ، سيكون هناك عدد لا حصر له من الأرقام المقابلة لجميع نقاط المقطع. إذا اخترت الأكبر من بين كل هذه الأرقام ، فسيكون هذا الرقم مناسبًا لجميع نقاط المقطع ، أي ستكون مشتركة لجميع النقاط.

تعريف. اللاحقة ( F ن (x) } يتقارب بشكل موحدللعمل F(x) على الفترة الزمنية إذا كان لأي عدد > 0 عدد N = N () بحيث تكون المتباينة

يتم إجراؤه لـ n> N لجميع نقاط المقطع.

مثال.ضع في اعتبارك التسلسل

يتقارب هذا التسلسل على محور الرقم بأكمله للدالة F(x)=0 ، لان

دعونا نرسم هذا التسلسل:

sinx

كما يتضح ، كلما زاد العدد نالرسم البياني التسلسلي يقترب من المحور X.

صفوف وظيفية.

تعريف. المبالغ الخاصة (الجزئية)نطاق وظيفي
تسمى الوظائف

تعريف. النطاق الوظيفي
اتصل متقاربةعند نقطة ( س = س 0 ) إذا كان تسلسل مجموعها الجزئي يتقارب عند هذه النقطة. حد التسلسل
اتصل مجموعصف
في هذه النقطة X 0 .

تعريف. مجموعة كل القيم X، التي تتقارب من أجلها السلسلة
اتصل منطقة التقاربصف.

تعريف. صف
اتصل متقاربة بشكل موحدعلى قطعة إذا كان تسلسل المجاميع الجزئية لهذه السلسلة يتقارب بشكل موحد في هذا المقطع.

نظرية. (معيار كوشي للتقارب المنتظم لسلسلة)

من أجل التقارب المنتظم للسلسلة
ضرورية وكافية لأي رقم > 0 كان هناك مثل هذا الرقمن( ) ، فين> نوأي كلص> 0 عدم المساواة

سيصمد لجميع x في الفترة الزمنية [أ, ب].

نظرية. (معيار التقارب الموحد Weierstrass)

(كارل ثيودور فيلهلم وييرستراس (1815 - 1897) - عالم رياضيات ألماني)

صف
يتقارب بشكل موحد وبشكل مطلق على الجزء [أ, ب] ، إذا كانت الوحدات النمطية لأعضائها في نفس المقطع لا تتجاوز الأعضاء المناظرين في السلسلة الرقمية المتقاربة ذات الأعضاء الموجبة:

أولئك. هناك عدم مساواة:

.

يقولون أيضًا أنه في هذه الحالة السلسلة الوظيفية
تخصصسلسلة عددية
.

مثال.تحقق من سلسلة التقارب
.

لان
دائما ، من الواضح أن
.

ومن المعروف أن السلسلة التوافقية العامة تتقارب عندما تكون = 3> 1 ، إذن ، وفقًا لاختبار Weierstrass ، تتقارب السلسلة قيد الدراسة بشكل موحد ، علاوة على ذلك ، في أي فترة زمنية.

مثال.تحقق من سلسلة التقارب .

على المقطع [-1،1] عدم المساواة
أولئك. وفقًا لاختبار Weierstrass ، تتقارب السلسلة قيد الدراسة في هذا الجزء وتتباعد على فترات (- ، -1)  (1 ، ).

خصائص متسلسلة متقاربة بشكل موحد.

1) نظرية استمرارية مجموع المتسلسلة.

إذا كان أعضاء السلسلة
- مستمر على الفاصل الزمني [أ, ب] وظيفة والسلسلة تتقارب بشكل موحد ، ثم مجموعهاس(x) هي دالة مستمرة في الفترة الزمنية [أ, ب].

2) نظرية تكامل سلسلة كل مصطلح على حدة.

متقاربة بشكل موحد على المقطع [أ, ب] يمكن تكامل السلسلة ذات المصطلحات المستمرة مصطلحًا بمصطلح في هذا الجزء ، أي سلسلة تتكون من تكاملات شروطها عبر الفترة [أ, ب] ، إلى تكامل مجموع المتسلسلة على هذه الفترة.

3) نظرية اشتقاق سلسلة على حدة.

إذا كان أعضاء السلسلة
تتقارب على الجزء [أ, ب] هي دوال متصلة بمشتقات مستمرة ، وتتكون السلسلة من هذه المشتقات
تتقارب بشكل موحد في هذا الفاصل الزمني ، ثم تتقارب السلسلة المعينة أيضًا بشكل موحد ويمكن تمييز المصطلح حسب المصطلح.

استنادًا إلى حقيقة أن مجموع السلسلة هو بعض وظائف المتغير X، يمكنك إجراء عملية تمثيل الوظيفة كسلسلة (توسيع دالة إلى سلسلة) ، والتي تُستخدم على نطاق واسع في التكامل والتمايز والعمليات الأخرى ذات الوظائف.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام توسيع الوظائف في سلسلة الطاقة.

سلسلة الطاقة.

تعريف. القوة التاليةيسمى سلسلة

.

لدراسة تقارب سلسلة الطاقة ، من الملائم استخدام اختبار DAlembert.

مثال.تحقق من سلسلة التقارب

نطبق علامة دالمبرت:

.

نجد أن هذه السلسلة تتقارب عند
ويتباعد عند
.

الآن دعنا نحدد نقطة التقارب عند نقطتي الحدود 1 و -1.

بالنسبة إلى x = 1:
تتقارب السلسلة وفقًا لاختبار Leibniz (انظر الشكل. علامة لايبنيز.).

بالنسبة إلى x = -1:
سلسلة تتباعد (سلسلة متناسقة).

نظريات هابيل.

(نيلز هنريك أبيل (1802-1829) - عالم رياضيات نرويجي)

نظرية. إذا كانت سلسلة الطاقة
يتقارب فيx = x 1 ، ثم تتقارب ، علاوة على ذلك ، للجميع تمامًا
.

دليل - إثبات. حسب حالة النظرية ، حيث أن شروط السلسلة محدودة ، إذن

أين كهو عدد ثابت. عدم المساواة التالية صحيحة:

يمكن ملاحظة ذلك من عدم المساواة x< x 1 ستكون القيم العددية لأعضاء المتسلسلة أقل (على أي حال ، وليست أكثر) من الأعضاء المناظرة للسلسلة على الجانب الأيمن من المتباينة المكتوبة أعلاه ، والتي تشكل تقدمًا هندسيًا. قاسم هذا التقدم وبحسب حالة النظرية أقل من واحد ، فإن هذا التقدم هو سلسلة متقاربة.

لذلك ، بناءً على اختبار المقارنة ، نستنتج أن السلسلة
تتقارب ، مما يعني أن السلسلة
يتقارب على الاطلاق.

وهكذا ، إذا كانت سلسلة الطاقة
يتقارب عند نقطة X 1 ، ثم يتقارب تمامًا عند أي نقطة في الفترة الزمنية التي يبلغ طولها 2 تتمحور حول نقطة X = 0.

عاقبة. إذا كان في س = س 1 سلسلة تتباعد ، ثم تتباعد للجميع
.

وبالتالي ، يوجد لكل سلسلة طاقة عدد موجب R مثل هذا للجميع Xمثل ذلك
السلسلة تتقارب بشكل مطلق وللجميع
الصف يتباعد. في هذه الحالة ، يتم استدعاء الرقم R نصف قطر التقارب. الفاصل الزمني (-R ، R) يسمى فاصل التقارب.

لاحظ أنه يمكن إغلاق هذا الفاصل الزمني على جانب واحد أو جانبين ، وليس مغلقًا.

يمكن إيجاد نصف قطر التقارب باستخدام الصيغة:

مثال.أوجد منطقة تلاقي سلسلة

إيجاد نصف قطر التقارب
.

لذلك ، تتقارب هذه السلسلة لأي قيمة X. المصطلح الشائع لهذه السلسلة يميل إلى الصفر.

نظرية. إذا كانت سلسلة الطاقة
يتقارب للحصول على قيمة موجبة س = س 1 ، ثم يتقارب بشكل موحد في أي فاصل داخلي
.

سلسلة الإجراءات مع السلطة.

صفوف لأقداح الشاي. أمثلة الحل

جميع الناجين مرحب بهم في السنة الثانية! في هذا الدرس ، أو بالأحرى ، في سلسلة من الدروس ، سوف نتعلم كيفية إدارة الصفوف. الموضوع ليس صعبًا للغاية ، ولكن لإتقانه ، ستحتاج إلى معرفة من الدورة التدريبية الأولى ، على وجه الخصوص ، تحتاج إلى فهم ما هو الحد، وتكون قادرًا على إيجاد أبسط الحدود. ومع ذلك ، لا بأس ، في سياق التفسيرات سأقدم الروابط المناسبة للدروس الضرورية. بالنسبة لبعض القراء ، قد يبدو موضوع السلسلة الرياضية ، وطرق الحل ، والعلامات ، والنظريات غريبًا ، وحتى طنانًا ، سخيفًا. في هذه الحالة ، لا تحتاج إلى "التحميل" كثيرًا ، فنحن نقبل الحقائق كما هي ، ونتعلم ببساطة حل المهام النموذجية الشائعة.

1) صفوف لأقداح الشاي، والسماوبار المحتوى على الفور :)

لتحضير سريع للغاية حول موضوع ماهناك دورة تدريبية صريحة بتنسيق pdf ، وبمساعدتها من الممكن حقًا "رفع" الممارسة في يوم واحد فقط.

مفهوم المتسلسلة الرقمية

على العموم سلسلة رقميةيمكن كتابتها على هذا النحو:
هنا:
- أيقونة رياضية للمبلغ ؛
– مصطلح مشترك من السلسلة(تذكر هذا المصطلح البسيط) ؛
- متغير - "عداد". يعني السجل أن الجمع يتم من 1 إلى "زائد اللانهاية" ، أي أن لدينا أولاً ، ثم ، ثم ، وهكذا - إلى ما لا نهاية. متغير أو يستخدم أحيانًا بدلاً من متغير. لا يبدأ الجمع بالضرورة من واحد ، في بعض الحالات يمكن أن يبدأ من الصفر أو من اثنين أو من أي عدد طبيعي.

وفقًا للمتغير "counter" ، يمكن رسم أي سلسلة بالتفصيل:
- وهكذا إلى ما لا نهاية.

شروط - هذا هو أعداد، والتي تسمى أفرادصف. إذا كانوا جميعًا غير سلبيين (أكبر من أو يساوي الصفر)، ثم تسمى هذه السلسلة خط الأعداد الموجبة.

مثال 1

بالمناسبة ، هذه مهمة "قتالية" بالفعل - من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون مطلوبًا تسجيل العديد من أعضاء السلسلة.

أولا ثم:
ثم بعد ذلك:
ثم بعد ذلك:

يمكن أن تستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولكن وفقًا للشرط ، كان مطلوبًا كتابة أول ثلاثة شروط من السلسلة ، لذلك نكتب الإجابة:

لاحظ الاختلاف الأساسي من تسلسل رقمي,
حيث لا يتم تلخيص المصطلحات ، ولكن يتم التعامل معها على هذا الأساس.

مثال 2

اكتب أول ثلاثة حدود من المتسلسلة

هذا مثال على الحل الذاتي ، الجواب في نهاية الدرس.

حتى بالنسبة لسلسلة تبدو معقدة ، فليس من الصعب وصفها في شكل موسع:

مثال 3

اكتب أول ثلاثة حدود من المتسلسلة

في الواقع ، يتم تنفيذ المهمة شفهيًا: بديل عقليًا في المصطلح المشترك للسلسلةأولا ، ثم و. في النهاية:

اترك الجواب مثل هذا من الأفضل عدم تبسيط الشروط التي تم الحصول عليها من السلسلة، هذا هو لا يمتثلونأجراءات: ، ، . لماذا ا؟ الجواب في النموذج أسهل بكثير وأكثر ملاءمة للمعلم للتحقق.

في بعض الأحيان يكون هناك عكس

مثال 4

لا توجد خوارزمية حل واضحة هنا. عليك فقط أن ترى النمط.
في هذه الحالة:

للتحقق ، يمكن "إعادة رسم السلسلة الناتجة" بشكل موسع.

لكن المثال أصعب قليلاً بالنسبة لحل مستقل:

مثال 5

اكتب المجموع في صورة مطوية باستخدام مصطلح مشترك في المتسلسلة

تحقق مرة أخرى عن طريق كتابة السلسلة في شكل موسع

تقارب سلسلة الأرقام

أحد الأهداف الرئيسية للموضوع هو فحص سلسلة من أجل التقارب. في هذه الحالة ، هناك حالتان ممكنتان:

1) صفيتباعد. هذا يعني أن المجموع اللانهائي يساوي اللانهاية: إما المجموع بشكل عام غير موجود، على سبيل المثال ، في السلسلة
(بالمناسبة ، هذا مثال على سلسلة ذات مصطلحات سلبية). ظهر مثال جيد لسلسلة أرقام متباينة في بداية الدرس: . من الواضح هنا أن كل مصطلح تالٍ من السلسلة أكبر من السابق ومن هنا تتباعد السلسلة. مثال أكثر تافهة: .

2) صفيتقارب. هذا يعني أن المبلغ اللامتناهي يساوي البعض الرقم النهائي:. لو سمحت: هذه السلسلة تتقارب ومجموعها صفر. مثال أكثر وضوحا هو يتناقص بشكل لا نهائيالتقدم الهندسي المعروف لنا منذ المدرسة: . يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من خلال الصيغة: ، أين يكون العضو الأول في التقدم ، وقاعدته ، والتي ، كقاعدة عامة ، تكتب كـ صحيحكسور. في هذه الحالة: ، . في هذا الطريق: يتم الحصول على رقم محدد ، مما يعني أن السلسلة تتقارب ، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.

ومع ذلك ، في الغالبية العظمى من الحالات أوجد مجموع المتسلسلةليس بهذه البساطة ، وبالتالي ، من الناحية العملية ، لدراسة تقارب السلسلة ، يتم استخدام علامات خاصة ، والتي تم إثباتها نظريًا.

هناك عدة علامات على تقارب سلسلة: المعيار الضروري لتقارب سلسلة ، معايير المقارنة ، معيار دالمبرت ، معايير كوشي, علامة لايبنيزوبعض العلامات الأخرى. متى تطبق ما علامة؟يعتمد ذلك على المصطلح الشائع للمسلسل ، بالمعنى المجازي - على "حشو" السلسلة. وسرعان ما سنضع كل شيء على الرفوف.

! لمزيد من التعلم ، أنت بحاجة فهم جيد، ما هو الحد ومن الجيد أن تكون قادرًا على الكشف عن عدم اليقين في النموذج. لتكرار أو دراسة المادة ، راجع المقال حدود. أمثلة الحل.

معيار ضروري لتقارب سلسلة

إذا تقاربت السلسلة ، فإن مصطلحها المشترك يميل إلى الصفر:.

العكس ليس صحيحًا في الحالة العامة ، أي إذا ، يمكن للسلسلة أن تتقارب وتتباعد. وهكذا يتم استخدام هذه العلامة للتبرير تشعبصف:

إذا كان المصطلح المشترك للسلسلة لا تذهب إلى الصفر، ثم تتباعد السلسلة

أو باختصار: إذا ، فإن السلسلة تتباعد. على وجه الخصوص ، يكون الوضع ممكنًا عندما لا يكون الحد موجودًا على الإطلاق ، على سبيل المثال ، حد. هنا أثبتوا على الفور اختلاف سلسلة واحدة :)

ولكن في كثير من الأحيان يكون حد المتسلسلة المتباعدة مساويًا لما لا نهاية ، بينما بدلاً من "x" تعمل كمتغير "ديناميكي". دعونا نجدد معرفتنا: تسمى الحدود مع "x" حدود الوظائف ، والحدود مع متغير "en" - حدود المتتاليات العددية. الفرق الواضح هو أن المتغير "en" يأخذ قيمًا طبيعية منفصلة (غير متصلة): 1 ، 2 ، 3 ، إلخ. لكن هذه الحقيقة لها تأثير ضئيل على طرق حل حدود وطرق الكشف عن أوجه عدم اليقين.

دعونا نثبت أن السلسلة من المثال الأول تتباعد.
عضو مشترك في السلسلة:

استنتاج: صف يتباعد

غالبًا ما تُستخدم الميزة الضرورية في المهام العملية الحقيقية:

مثال 6

لدينا كثيرات الحدود في البسط والمقام. من قرأ بعناية واستوعب طريقة الكشف عن عدم اليقين في المقال حدود. أمثلة الحل، اشتعلت ذلك بالتأكيد عندما تكون القوى العظمى للبسط والمقام مساو، ثم الحد هو الرقم النهائي .

اقسم البسط والمقام على

سلسلة الدراسة يتباعد، حيث لم يتم استيفاء المعيار الضروري لتقارب السلسلة.

مثال 7

افحص سلسلة التقارب

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس

لذلك ، عندما نحصل على أي سلسلة أرقام ، أولا قبل كل شيءنتحقق (عقليًا أو في مسودة): هل المصطلح المشترك يميل إلى الصفر؟ إذا لم يجتهد ، فإننا نضع حلاً باتباع مثال الأمثلة رقم 6 و 7 ونعطي الإجابة بأن السلسلة تتباعد.

ما أنواع السلاسل المتباينة على ما يبدو التي أخذناها في الاعتبار؟ من الواضح على الفور أن الصفوف مثل أو تتباعد. تتباعد أيضًا السلسلة من الأمثلة رقم 6 و 7: عندما يحتوي البسط والمقام على كثيرات الحدود ، وتكون أعلى درجة في البسط أكبر من أو تساوي أعلى درجة للمقام. في كل هذه الحالات ، عند حل الأمثلة وتصميمها ، نستخدم المعيار الضروري لتقارب السلسلة.

لماذا تسمى العلامة من الضروري؟ افهم بالطريقة الأكثر طبيعية: لكي تتقارب السلسلة ، من الضروريبحيث يميل المصطلح المشترك إلى الصفر. وسيكون كل شيء على ما يرام ، ولكن هذا ليس كافي. بعبارات أخرى، إذا كان المصطلح المشترك للسلسلة يميل إلى الصفر ، فهذا لا يعني أن السلسلة تتقارب- يمكن أن تتقارب وتتباعد!

يجتمع:

هذا الصف يسمى سلسلة متناسقة. أرجوك تذكر! من بين السلسلة العددية ، هو راقصة الباليه. بتعبير أدق ، راقصة الباليه =)

من السهل رؤية ذلك ، لكن. في نظرية التحليل الرياضي ، ثبت ذلك تتباعد السلسلة التوافقية.

يجب أن تتذكر أيضًا مفهوم السلسلة التوافقية المعممة:

1) هذا الصف يتباعدفي . على سبيل المثال ، السلسلة تتباعد ، ،.
2) هذا الصف يتقاربفي . على سبيل المثال ، السلسلة ،. أؤكد مرة أخرى أنه في جميع المهام العملية تقريبًا ، لا يهمنا على الإطلاق ما هو مجموع ، على سبيل المثال ، السلسلة ، حقيقة تقاربها مهمة.

هذه حقائق أولية من نظرية السلاسل تم إثباتها بالفعل ، وعند حل بعض الأمثلة العملية ، يمكن للمرء أن يشير بأمان ، على سبيل المثال ، إلى تباعد السلسلة أو تقارب السلسلة.

بشكل عام ، فإن المادة قيد النظر تشبه إلى حد بعيد دراسة التكاملات غير الصحيحة، وأولئك الذين درسوا هذا الموضوع سيجدونه أسهل. حسنًا ، بالنسبة لأولئك الذين لم يدرسوا ، يكون الأمر أسهل على نحو مضاعف :)

لذا ، ماذا تفعل إذا كان المصطلح المشترك للسلسلة يذهب إلى الصفر؟في مثل هذه الحالات ، لحل الأمثلة ، تحتاج إلى استخدام الآخرين ، كافٍ علامات التقارب / الاختلاف:

معايير المقارنة لسلسلة الأرقام الموجبة

ألفت انتباهكمأننا هنا نتحدث فقط عن سلاسل عددية موجبة (مع أعضاء غير سلبيين).

هناك نوعان من علامات المقارنة ، أحدهما سأتصل به ببساطة علامة المقارنة، اخر - علامة تحد من المقارنة.

فكر أولاً علامة المقارنةأو بالأحرى الجزء الأول منه:

اعتبر سلسلتين عدديتين موجبتين و. إذا كان معروفا، هذا هو الصف يتقارب، وبدءًا من رقم ما ، تصمد المتباينة ، ثم المتسلسلة يتقارب أيضا.

بعبارات أخرى: إن تقارب سلسلة ذات مصطلحات أكبر يعني تقارب سلسلة ذات شروط أصغر. في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استيفاء عدم المساواة بشكل عام لجميع قيم:

المثال 8

افحص سلسلة التقارب

أولاً ، نتحقق(عقليًا أو بموجب مسودة) التنفيذ:
، مما يعني أنه لم يكن من الممكن "النزول بقليل من الدم".

نحن ننظر إلى "حزمة" السلسلة التوافقية المعممة ، وبالتركيز على الدرجة الأعلى ، نجد سلسلة مماثلة: من المعروف من الناحية النظرية أنها تتقارب.

بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية ، فإن التفاوت الواضح ينطبق:

والقواسم الأكبر تتوافق مع الكسور الأصغر:
وهو ما يعني حسب معيار المقارنة أن السلسلة قيد الدراسة يتقاربمع بجانب.

إذا كانت لديك أي شكوك ، فيمكن دائمًا رسم عدم المساواة بالتفصيل!دعونا نكتب عدم المساواة المركبة لعدة أرقام "en":
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
اذا ثم
….
والآن من الواضح تمامًا أن عدم المساواة يحمل جميع الأعداد الطبيعية "en".

دعونا نحلل معيار المقارنة والمثال الذي تم حله من وجهة نظر غير رسمية. ومع ذلك ، لماذا تتقارب السلسلة؟ إليكم السبب. إذا تقاربت السلسلة ، فسيكون لديها بعض نهائيمقدار : . وبما أن جميع أعضاء السلسلة أقلالأعضاء المناظرين من السلسلة ، إذن الجذع واضح أن مجموع المتسلسلة لا يمكن أن يكون أكبر من الرقم ، وحتى أكثر من ذلك ، لا يمكن أن يكون مساويًا لما لا نهاية!

وبالمثل ، يمكننا إثبات تقارب سلسلة "متشابهة": , , إلخ.

! ملاحظةأنه في جميع الأحوال لدينا "إيجابيات" في القواسم. يمكن أن يؤدي وجود ناقص واحد على الأقل إلى تعقيد خطير لاستخدام ما هو مدروس ميزة المقارنة. على سبيل المثال ، إذا تمت مقارنة السلسلة بنفس الطريقة مع سلسلة متقاربة (اكتب عدة متباينات للمصطلحات الأولى) ، فلن يتحقق الشرط على الإطلاق! هنا يمكنك تفادي واختيار سلسلة متقاربة أخرى للمقارنة ، على سبيل المثال ، ولكن هذا سينطوي على تحفظات غير ضرورية وصعوبات أخرى غير ضرورية. لذلك ، لإثبات تقارب سلسلة ، يكون استخدامها أسهل بكثير معيار المقارنة الهامشية(انظر الفقرة التالية).

المثال 9

افحص سلسلة التقارب

وفي هذا المثال ، أقترح أن تفكر بنفسك الجزء الثاني من ميزة المقارنة:

إذا كان معروفا، هذا هو الصف يتباعد، وبدءًا من بعض الأرقام (غالبًا من البداية)المتباينة تصمد ، ثم المتسلسلة يتباعد أيضا.

بعبارات أخرى: يشير تباعد السلسلة ذات المصطلحات الأصغر إلى اختلاف السلسلة بشروط أكبر.

ما الذي يجب القيام به؟
من الضروري مقارنة السلسلة قيد الدراسة بالسلسلة التوافقية المتباعدة. من أجل فهم أفضل ، قم ببناء بعض التفاوتات المحددة وتأكد من صحة التفاوت.

تصميم الحل والعينة في نهاية الدرس.

كما لوحظ بالفعل ، نادرًا ما يتم استخدام ميزة المقارنة التي تم النظر فيها للتو. "العمود الفقري" الحقيقي لسلسلة الأرقام هو معيار المقارنة الهامشية، ومن حيث تكرار الاستخدام فقط علامة دالمبرت.

علامة الحد للمقارنة بين السلاسل العددية الموجبة

اعتبر سلسلتين عدديتين موجبتين و. إذا كان حد نسبة الأعضاء المشتركين في هذه السلسلة يساوي عدد محدود غير صفري: , ثم تتقارب أو تتباعد كلتا السلسلتين في نفس الوقت.

متى يتم استخدام معيار المقارنة المحدد؟يتم استخدام علامة الحد للمقارنة عندما يكون "حشو" السلسلة متعدد الحدود. إما كثيرة الحدود في المقام ، أو كثيرة الحدود في كل من البسط والمقام. اختياريًا ، يمكن أن تكون كثيرات الحدود تحت الجذور.

دعونا نتعامل مع السلسلة التي توقفت فيها علامة المقارنة السابقة.

المثال 10

افحص سلسلة التقارب

قارن هذه السلسلة بالسلسلة المتقاربة. نحن نستخدم اختبار الحد للمقارنة. من المعروف أن السلسلة تتقارب. إذا استطعنا إظهار ذلك النهائي غير الصفرالرقم ، سيتم إثبات أن السلسلة تتقارب أيضًا.

يتم الحصول على رقم محدد غير صفري ، مما يعني أن السلسلة قيد الدراسة يتقاربمع بجانب.

لماذا تم اختيار المسلسل للمقارنة؟ إذا اخترنا أي سلسلة أخرى من "مقطع" من السلسلة التوافقية المعممة ، فلن ننجح في الحد النهائي غير الصفرالأرقام (يمكنك التجربة).

ملحوظة: عندما نستخدم ميزة المقارنة الهامشية ، عَرَضِيّ، في أي ترتيب لتكوين علاقة الأعضاء المشتركين ، في المثال المدروس ، يمكن رسم العلاقة في الاتجاه المعاكس: - لن يغير هذا جوهر الأمر.