حل المعادلات عن طريق التكرار البسيط التفوق. قائمة المصادر الأدبية المستخدمة

يحتوي Excel على مجموعة واسعة من الأدوات لحل أنواع مختلفة من المعادلات باستخدام طرق مختلفة.

لنلقِ نظرة على بعض أمثلة الحلول.

حل المعادلات بطريقة اختيار معاملات Excel

يتم استخدام أداة Parameter Seek في الموقف الذي تكون فيه النتيجة معروفة ، ولكن الوسائط غير معروفة. يختار Excel القيم حتى ينتج عن الحساب الإجمالي المطلوب.

المسار إلى الأمر: "البيانات" - "العمل مع البيانات" - "تحليل ماذا لو" - "اختيار المعلمة".

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، حل المعادلة التربيعية x 2 + 3x + 2 = 0. ترتيب العثور على الجذر باستخدام Excel:

يستخدم البرنامج عملية دورية لتحديد المعلمة. لتغيير عدد التكرارات والخطأ ، تحتاج إلى الانتقال إلى خيارات Excel. في علامة التبويب "الصيغ" ، عيّن الحد الأقصى لعدد التكرارات ، الخطأ النسبي. حدد المربع "تمكين الحسابات التكرارية".

كيفية حل نظام المعادلات بطريقة المصفوفة في Excel

نظام المعادلات معطى:

يتم الحصول على جذور المعادلة.

حل نظام المعادلات بطريقة كرامر في Excel

لنأخذ نظام المعادلات من المثال السابق:

لحلها بطريقة Cramer ، نحسب محددات المصفوفات التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال عمود واحد في المصفوفة A بمصفوفة عمود B.

لحساب المحددات ، نستخدم وظيفة MOPRED. الوسيطة هي نطاق مع المصفوفة المقابلة.

نحسب أيضًا محدد المصفوفة A (المصفوفة - نطاق المصفوفة A).

محدد النظام أكبر من 0 - يمكن إيجاد الحل باستخدام صيغة كرامر (D x / | A |).

لحساب X 1: \ u003d U2 / $ U $ 1 ، حيث U2 - D1. لحساب X 2: = U3 / $ U $ 1. إلخ. نحصل على جذور المعادلات:

حل أنظمة المعادلات بطريقة Gauss في Excel

على سبيل المثال ، لنأخذ أبسط نظام من المعادلات:

3 أ + 2 ج - 5 ج = -1
2 أ - ج - 3 ج = 13
أ + 2 ب - ج = 9

نكتب المعاملات في المصفوفة أ. الشروط الحرة - في المصفوفة ب.

من أجل الوضوح ، نبرز الأعضاء الأحرار من خلال ملء. إذا كانت الخلية الأولى في المصفوفة A تساوي 0 ، فأنت بحاجة إلى تبديل الصفوف بحيث تكون هناك قيمة أخرى غير 0.

أمثلة على حل المعادلات بالتكرار في Excel

يجب إعداد العمليات الحسابية في المصنف على النحو التالي:

يتم ذلك في علامة التبويب "الصيغ" في "خيارات Excel". لنجد جذر المعادلة س - س 3 + 1 = 0 (أ = 1 ، ب = 2) بالتكرار باستخدام المراجع الدورية. معادلة:

X n + 1 \ u003d X n - F (X n) / M ، n \ u003d 0 ، 1 ، 2 ، ....

M هي القيمة القصوى لمشتق modulo. للعثور على M ، لنقم بالحسابات:

و '(1) = -2 * و' (2) = -11.

القيمة الناتجة أقل من 0. لذلك ، ستكون الوظيفة مع الإشارة المعاكسة: f (x) \ u003d -x + x 3 - 1. M \ u003d 11.

في الخلية A3 ، أدخل القيمة: أ = 1. الدقة - ثلاث منازل عشرية. لحساب القيمة الحالية لـ x في الخلية المجاورة (B3) ، أدخل الصيغة: = IF (B3 = 0 ؛ A3 ؛ B3 - (- B3 + POWER (B3 ؛ 3) -1/11)).

في الخلية C3 ، نتحكم في قيمة f (x): باستخدام الصيغة = B3-POWER (B3 ؛ 3) +1.

جذر المعادلة هو 1.179. أدخل القيمة 2 في الخلية A3. نحصل على نفس النتيجة:

لا يوجد سوى جذر واحد في فترة زمنية معينة.

إيجاد جذور المعادلات

الطريقة الرسومية لإيجاد الجذور هي رسم الدالة f (x) على القطعة. تعطي نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي قيمة تقريبية لجذر المعادلة.

القيم التقريبية للجذور الموجودة بهذه الطريقة تجعل من الممكن تحديد الأجزاء التي ، إذا لزم الأمر ، من الممكن صقل الجذور.

عند إيجاد الجذور بحساب الوظائف المستمرة f (x) ، يتم استخدام الاعتبارات التالية:

- إذا كانت الوظيفة لها علامات مختلفة في نهايات المقطع ، فهناك عدد فردي من الجذور بين النقطتين أ و ب على المحور x ؛

- إذا كانت الوظيفة لها نفس العلامات في نهايات الفترة الزمنية ، فعندئذٍ بين a و b يوجد عدد زوجي من الجذور أو لا يوجد أي منها على الإطلاق ؛

- إذا كانت الدالة في نهايات المقطع تحتوي على علامات مختلفة وكان إما المشتق الأول أو المشتق الثاني لا يغير الإشارات الموجودة على هذا المقطع ، فإن المعادلة لها جذر واحد في المقطع.

أوجد كل الجذور الحقيقية للمعادلة x 5 –4x – 2 = 0 على المقطع [–2،2]. لنقم بإنشاء جدول بيانات.

الجدول 1

يوضح الجدول 2 نتائج الحساب.

الجدول 2

وبالمثل ، تم إيجاد حل على الفواصل الزمنية [-2 ، -1] ، [-1،0].

صقل جذور المعادلة

استخدام وضع "البحث عن حلول"

للمعادلة المذكورة أعلاه ، يجب توضيح جميع جذور المعادلة x 5 –4x – 2 = 0 بخطأ E = 0.001.

لتوضيح الجذور في الفترة [-2 ، -1] ، سنقوم بتجميع جدول بيانات.

الجدول 3

نبدأ وضع "البحث عن حل" في قائمة "الأدوات". تنفيذ أوامر الوضع. سيعرض وضع العرض الجذور التي تم العثور عليها. وبالمثل ، نقوم بتنقية الجذور على فترات أخرى.

صقل جذور المعادلة

باستخدام وضع "التكرارات"

طريقة التكرار البسيطة لها وضعان "يدوي" و "تلقائي". لبدء وضع "التكرارات" في قائمة "الأدوات" ، افتح علامة التبويب "المعلمات". فيما يلي أوامر الوضع. في علامة التبويب "العمليات الحسابية" ، يمكنك تحديد الوضع التلقائي أو اليدوي.

حل أنظمة المعادلات

يتم تنفيذ حل أنظمة المعادلات في Excel بطريقة المصفوفات العكسية. حل نظام المعادلات:

لنقم بإنشاء جدول بيانات.

الجدول 4

أ	ب	ج	د	ه
حل جملة المعادلات.

	الفأس = ب

المصفوفة الأولية أ		الجانب الأيمن ب
-8
		-3
		-2		-2

مصفوفة معكوسة (1 / أ)		متجه الحل x = (1 / A) / b
= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)		= MULTI (A11: C13، E6: E8)
= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)		= MULTI (A11: C13، E6: E8)
= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)	= MOBR (A6: C8)		= MULTI (A11: C13، E6: E8)

ترجع الدالة MIN صفيفًا من القيم التي تم إدراجها في عمود كامل من الخلايا مرة واحدة.

يعرض الجدول 5 نتائج الحساب.

الجدول 5

أ	ب	ج	د	ه
حل جملة المعادلات.

	الفأس = ب

المصفوفة الأولية أ		الجانب الأيمن ب
-8
		-3
		-2		-2

مصفوفة معكوسة (1 / أ)		متجه الحل x = (1 / A) / b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

قائمة المصادر الأدبية المستخدمة

1. Turchak L.I. أساسيات الطرق العددية: Proc. بدل للجامعات / أد. في. Shchennikov.-M: Nauka ، 1987. –320p.

2. Bundy B. طرق التحسين. دورة تمهيدية. - م: الراديو والاتصال ، 1988. - 128 ثانية.

3. Evseev A.M.، Nikolaeva L.S. النمذجة الرياضية للتوازن الكيميائي. - M: Izd-vo Mosk. أون تا ، 1988. –192 ص.

4. Bezdenezhnykh A.A. الطرق الهندسية لتجميع معادلات معدل التفاعل وحساب الثوابت الحركية. - L: الكيمياء ، 1973. –256 ص.

5. ستيبانوفا إن إف ، إرليكينا إم إي ، فيليبوف ج. طرق الجبر الخطي في الكيمياء الفيزيائية. –M: Izd-vo Mosk. أون تا ، 1976. –359 ص.

6 - باخفالوف إن. الطرق العددية في المهام والتمارين: Proc. دليل للجامعات / Bakhvalov N.S.، Lapin A.V.، Chizhonkov E.V. - م: العالي. المدرسة ، 2000. - 190s. - (الرياضيات العليا / Sadovnichiy V.

7. تطبيق الرياضيات الحسابية في الحركية الكيميائية والفيزيائية ، أد. إل. بولاك ، م: نوكا ، 1969 ، 279 ص.

8. خوارزمية الحسابات في التكنولوجيا الكيميائية B.A. زيدكوف ، أ. كوبر

9. الطرق الحسابية للمهندسين الكيميائيين. روزنبروك ، ستوري

10. Orvis V.D. اكسل للعلماء والمهندسين والطلاب. - كييف: جونيور 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevich الأساليب العددية في Mathcade - جامعة أستراخان الحكومية التربوية: أستراخان ، 2000.

مثال 3.1 . أوجد حلاً لنظام المعادلات الجبرية الخطية (3.1) باستخدام طريقة جاكوبي.

يمكن استخدام الطرق التكرارية لنظام معين ، لأن الحالة "غلبة المعاملات القطرية" ،مما يضمن تقارب هذه الأساليب.

يظهر مخطط تصميم طريقة جاكوبي في الشكل (3.1).

إحضار النظام (3.1). إلى العرض العادي:

, (3.2)

أو في شكل مصفوفة

, (3.3)

الشكل 3.1.

لتحديد عدد التكرارات المطلوبة لتحقيق دقة معينة ه ،والحل التقريبي للنظام مفيد في العمود حتثبيت التنسيق الشرطي. تظهر نتيجة هذا التنسيق في الشكل 3.1. خلايا العمود حالتي تحقق قيمها الشرط (3.4) مظللة.

(3.4)

عند تحليل النتائج ، نأخذ التكرار الرابع كحل تقريبي للنظام الأصلي بدقة معينة e = 0.1 ،

أولئك. × 1=10216; × 2= 2,0225, × 3= 0,9912

تغيير القيمة هفي الخلية H5من الممكن الحصول على حل تقريبي جديد للنظام الأصلي بدقة جديدة.

قم بتحليل تقارب العملية التكرارية عن طريق رسم التغييرات في كل مكون من مكونات حل SLAE اعتمادًا على رقم التكرار.

للقيام بذلك ، حدد كتلة من الخلايا أ 10: D20واستخدام معالج الرسم البياني، بناء الرسوم البيانية التي تعكس تقارب العملية التكرارية ، الشكل 3.2.

تم حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة مماثلة بطريقة Seidel.

معمل # 4

عنوان. الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية الخطية العادية ذات الشروط الحدية. طريقة الفروق المحدودة

ممارسه الرياضه.قم بحل مشكلة القيمة الحدية بطريقة الفروق المحدودة عن طريق تكوين تقريبين (تكراريان) بالخطوة h والخطوة h / 2.

حلل النتائج. خيارات المهام واردة في الملحق 4.

أمر العمل

1. بناء يدوياتقريب الفرق المحدود لمشكلة القيمة الحدية (الفرق المحدود SLAE) مع الخطوة ح ، خيار معين.

2. باستخدام طريقة الفروق المحدودة ، شكل في تتفوقنظام معادلات الفروق الجبرية الخطية للخطوة ح تقسيم الجزء . سجل هذا SLAE في ورقة عمل الكتاب. تتفوق. يظهر مخطط التصميم في الشكل 4.1.

3. قم بحل SLAE الناتج عن طريق طريقة المسح.

4. تحقق من صحة حل SLAE باستخدام الوظيفة الإضافية Excel البحث عن حل.

5. قلل خطوة الشبكة مرتين وحل المشكلة مرة أخرى. قدم النتائج بيانيا.

6. قارن نتائجك. توصل إلى استنتاج حول الحاجة إلى الاستمرار أو إنهاء الحساب.

حل مشكلة قيمة الحدود باستخدام جداول بيانات Microsoft Excel.

مثال 4.1.استخدام طريقة الفروق المحدودة لإيجاد حل لمشكلة القيمة الحدية , ص (1) = 1 ، ص "(2) = 0.5في الجزء xОمع الخطوة h = 0.2 ومع الخطوة h = 0.1. قارن النتائج وتوصل إلى استنتاج حول الحاجة إلى متابعة أو إنهاء الحساب.

يظهر مخطط الحساب للخطوة h = 0.2 في الشكل 4.1.

الحل الناتج (وظيفة الشبكة) ص {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1؛ 1.2؛ 1.4؛ 1.6؛ 1.8؛ 2) في العمودين L و B يمكن اعتباره التكرار الأول (التقريب الأول) للمشكلة الأصلية.

للعثور على التكرار الثانياجعل الشبكة ضعف سمكها (n = 10 ، stride h = 0.1) وكرر الخوارزمية المذكورة أعلاه.

يمكن القيام بذلك على نفس الكتاب أو على ورقة أخرى من الكتاب. تتفوق. يظهر الحل (التقريب الثاني) في الشكل 4.2.

قارن الحلول التقريبية التي تم الحصول عليها. من أجل الوضوح ، يمكنك بناء رسوم بيانية لهذين التقريبين (وظيفتان للشبكة) ، الشكل 4.3.

الإجراء الخاص بإنشاء الرسوم البيانية للحلول التقريبية لمشكلة القيمة الحدية

1. قم بإنشاء رسم بياني لحل مشكلة شبكة الفرق بالخطوة h = 0.2 (n = 5).

2. قم بتنشيط المخطط المبني بالفعل وحدد الأمر مخطط القائمة \ إضافة بيانات

3. في النافذة بيانات جديدةأدخل البيانات س ط ، ص طلشبكة الفرق مع الخطوة h / 2 (n = 10).

4. في النافذة ملحق خاصحدد المربعات في الحقول:

Ø صفوف جديدة ،

كما يتضح من البيانات المقدمة ، يختلف حلان تقريبيان لمشكلة القيمة الحدية (وظيفتان للشبكة) عن بعضهما البعض بما لا يزيد عن 5٪. لذلك ، نأخذ التكرار الثاني كحل تقريبي للمشكلة الأصلية ، أي

ص{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

معمل رقم 5

وزارة التعليم العام

الاتحاد الروسي

جامعة ولاية أورال التقنية- UPI

فرع في كراسنوتورينسك

قسم هندسة الحاسوب

عمل الدورة

بالطرق العددية

حل المعادلات الخطية بتكرار بسيط

باستخدام Microsoft Excel

رئيس Kuzmina N.V.

الطالب نيجماتزيانوف تي.

المجموعة M-177T

الموضوع: "إيجاد جذر المعادلة F (x) = 0 بدقة معينة على الفاصل الزمني بطريقة التكرار البسيط."

حالة الاختبار: 0.25-x + sinx = 0

شروط المشكلة: بالنسبة لدالة معينة F (x) في الفترة ، أوجد جذر المعادلة F (x) = 0 عن طريق التكرار البسيط.

يتم حساب الجذر مرتين (باستخدام الحساب التلقائي واليدوي).

يوفر لإنشاء رسم بياني لوظيفة في فترة زمنية معينة.

مقدمة 4

1. الجزء النظري 5

2. وصف سير العمل 7

3 بيانات الإدخال والإخراج 8

الخلاصة 9

الملحق 10

المراجع 12

مقدمة.

في سياق هذا العمل ، أحتاج إلى التعرف على طرق مختلفة لحل المعادلة والعثور على جذر المعادلة غير الخطية 0.25-x + sin (x) \ u003d 0 بالطريقة العددية - طريقة التكرار البسيط. للتحقق من صحة العثور على الجذر ، من الضروري حل المعادلة بيانياً وإيجاد قيمة تقريبية ومقارنتها بالنتيجة التي تم الحصول عليها.

1. الجزء النظري.

طريقة التكرار البسيطة.

تتكون العملية التكرارية من التنقيح المتتالي للتقريب الأولي x0 (جذر المعادلة). كل خطوة من هذا القبيل تسمى التكرار.

لاستخدام هذه الطريقة ، تتم كتابة المعادلة غير الخطية الأصلية على النحو التالي: x = j (x) ، أي x تبرز ؛ j (х) متصلة وقابلة للتفاضل في الفترة (أ ؛ ج). يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق:

فمثلا:

arcsin (2x + 1) -x 2 = 0 (f (x) = 0)

طريقة 1.

arcsin (2x + 1) = x2

الخطيئة (arcsin (2x + 1)) = الخطيئة (x2)

س = 0.5 (sinx 2 -1) (س = ي (س))

الطريقة الثانية.

x = x + arcsin (2x + 1) -x 2 (x = j (x))

الطريقة الثالثة.

× 2 = أركسين (2 س + 1)

x = (x = j (x)) ، تؤخذ الإشارة اعتمادًا على الفاصل الزمني [أ ؛ ب].

يجب أن يكون التحويل مثل ½j (x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

دع التقريب الأولي للجذر x \ u003d c 0 معروفًا. استبدال هذه القيمة في الجانب الأيمن من المعادلة x \ u003d j (x) ، نحصل على تقريب جديد للجذر: c \ u003d j (c 0) . x) ، نحصل على سلسلة من القيم

ج ن = ي (ج ن -1) ن = 1،2،3 ، ...

يجب أن تستمر عملية التكرار حتى يتم استيفاء الشرط التالي لتقريبين متتاليين: ½c n -c n -1 ½

يمكنك حل المعادلات عدديًا باستخدام لغات البرمجة ، لكن Excel يجعل من الممكن التعامل مع هذه المهمة بطريقة أبسط.

يطبق Excel طريقة التكرار البسيطة بطريقتين ، مع الحساب اليدوي والتحكم التلقائي في الدقة.

ص ص = س

ي (من 0)

ق 0 s 2 s 4 s 6 s 8 جذر s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

أرز. الرسم البياني للعملية التكرارية

2. وصف سير العمل.

1. أطلق ME.

2. لقد أنشأت رسمًا بيانيًا للدالة y = x و y = 0.25 + sin (x) على مقطع بخطوة 0.1 تسمى الورقة "الرسم البياني".

3. اختار فريق خدمة ® خيارات.
فتح علامة تبويب الحوسبة .
تشغيل الوضع يدويا .
مربع اختيار معطل إعادة الحساب قبل الحفظ . جعلت قيمة الحقل حد عدد التكرارات يساوي 1 ، الخطأ النسبي هو 0.001.

4. أدخل في الخلية A1 السطر "حل المعادلة x \ u003d 0.25 + sin (x) بطريقة التكرار البسيط."

5. أدخل النص "القيمة الأولية" في الخلية A3 ، والنص "العلامة الأولية" في الخلية A4 ، والقيمة 0.5 في الخلية B3 ، والكلمة TRUE في الخلية B4.

6. تم تعيين الاسم "start_value" و "start" للخلايا B3 و B4.
ستتحقق الخلية B6 لمعرفة ما إذا كانت القيمة true تساوي قيمة الخلية "start". 0.25 + جيب x. في الخلية B7 ، يتم حساب 0.25 جيب للخلية B6 ، وبالتالي يتم تنظيم مرجع دوري.

7. في الخلية A6 ، أدخل y = x ، وفي الخلية A7 y = 0.25 + sin (x). في الخلية B6 ، أدخلت الصيغة:
= إذا (ابدأ ، قيمة البداية ، B7).
في صيغة الخلية B7: y = 0.25 + sin (B6).

8. في الخلية A9 ، تم إدخال كلمة خطأ.

9. في الخلية B9 ، أدخلت الصيغة: \ u003d B7-B6.

10. باستخدام الأمر تنسيق الخلايا (التبويب رقم ) حولت الخلية B9 إلى تنسيق أسي بمنزلتين عشريتين.

11. ثم نظمت رابطًا دوريًا ثانيًا لحساب عدد التكرارات ، وفي الخلية A11 أدخلت النص "عدد التكرارات".

12. في الخلية B11 ، أدخلت الصيغة: \ u003d IF (البداية ؛ 0 ؛ B12 + 1).

13. في الخلية B12 تم إدخال = B11.

14. لإجراء الحساب ، اضبط مؤشر الجدول في الخلية B4 واضغط على مفتاح F9 (حساب) لبدء حل المشكلة.

15. غيرت قيمة العلم الأولي إلى FALSE ، ثم ضغطت على F9 مرة أخرى. في كل مرة يتم الضغط على F9 ، يتم إجراء تكرار واحد ويتم حساب القيمة التقريبية التالية لـ x.

16. الضغط على المفتاح F9 حتى تصل قيمة x إلى الدقة المطلوبة.
مع الحساب التلقائي:

17. انتقل إلى ورقة أخرى.

18. كررت النقاط من 4 إلى 7 ، فقط في الخلية B4 أدخلت القيمة FALSE.

19. اختار فريق خدمة ® خيارات (التبويب الحوسبة عيِّن قيمة الحقل حد عدد التكرارات يساوي 100 ، الخطأ النسبي يساوي 0.0000001. تلقائيا .