قم بحل السلو لإيجاد نظام أساسي عادي للحلول. حل أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية

الأنظمة المعادلات الخطية، حيث جميع الشروط المجانية تساوي الصفر ، تسمى متجانس :

دائمًا ما يكون أي نظام متجانس ثابتًا ، لأنه دائمًا ما يكون كذلك صفر (تافه ) المحلول. السؤال الذي يطرح نفسه تحت أي ظروف سيكون للنظام المتجانس حل غير تافه.

نظرية 5.2.يحتوي النظام المتجانس على حل غير بسيط إذا وفقط إذا كان ترتيب المصفوفة الرئيسية أقل من رقممجهول لها.

عاقبة. يحتوي النظام المتجانس المربع على حل غير بسيط إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

مثال 5.6.حدد قيم المعلمة l التي يمتلك النظام حلولاً غير بديهية لها وابحث عن هذه الحلول:

المحلول. سيكون لهذا النظام حل غير تافه عندما يكون محدد المصفوفة الرئيسية يساوي صفرًا:

وبالتالي ، يكون النظام غير بديهي عندما l = 3 أو l = 2. بالنسبة إلى l = 3 ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 1. ثم ترك معادلة واحدة فقط وافتراض أن ذ=أو ض=ب، نحن نحصل س = ب أ، بمعنى آخر.

بالنسبة إلى l = 2 ، تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2. ثم اختيار المصفوفة الأساسية:

نحصل على نظام مبسط

من هنا نجد ذلك س = ض/4، ص = ض/ 2. بافتراض ض=4أ، نحن نحصل

مجموعة جميع حلول النظام المتجانس لها أهمية كبيرة خاصية خطية : إذا كانت الأعمدة س 1 و X 2 - حلول النظام المتجانس AX = 0, ثم أي تركيبة خطية منهمأ X 1 + ب X 2 سيكون أيضًا الحل لهذا النظام. في الواقع ، لأن فأس 1 = 0 و فأس 2 = 0 ، ومن بعد أ(أ X 1 + ب X 2) = أ فأس 1 + ب فأس 2 = a · 0 + b · 0 = 0. بسبب هذه الخاصية ، إذا كان للنظام الخطي أكثر من حل واحد ، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

أعمدة مستقلة خطيًا ه 1 , ه 2 , ه ك، وهي حلول نظام متجانس ، يسمى نظام القرار الأساسي نظام متجانس من المعادلات الخطية إذا كان الحل العام لهذا النظام يمكن كتابته كمجموعة خطية من هذه الأعمدة:

إذا كان لدى النظام المتجانس نالمتغيرات ، ورتبة المصفوفة الرئيسية للنظام تساوي ص، ومن بعد ك = ن ص.

مثال 5.7.ابحث عن نظام أساسي للحلول النظام القادمالمعادلات الخطية:

المحلول. ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام:

وبالتالي ، فإن مجموعة حلول نظام المعادلات هذا تشكل فضاءً فرعيًا خطيًا من البعد ن - ص= 5 - 2 = 3. نختار كقاصر أساسي

.

بعد ذلك ، مع ترك المعادلات الأساسية فقط (الباقي سيكون مزيجًا خطيًا من هذه المعادلات) والمتغيرات الأساسية (الباقي ، ما يسمى بالمتغيرات الحرة ، ننتقل إلى اليمين) ، نحصل على نظام مبسط من المعادلات:

بافتراض x 3 = أ, x 4 = ب, x 5 = ج، نجد

, .

بافتراض أ= 1, ب = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الأول ؛ افتراض ب= 1, أ = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثاني ؛ افتراض ج= 1, أ = ب= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثالث. نتيجة لذلك ، يأخذ النظام الأساسي الطبيعي للحلول الشكل

استخدام النظام الأساسييمكن كتابة الحل العام لنظام متجانس كـ

X = أ 1 + يكون 2 + cE 3. أ

دعونا نلاحظ بعض خصائص حلول النظام غير المتجانس للمعادلات الخطية AX = بوعلاقتها بنظام المعادلات المتجانس المقابل AX = 0.

الحل العام لنظام غير متجانسيساوي المجموع حل مشتركمن النظام المتجانس المقابل AX = 0 وحل خاص تعسفي للنظام غير المتجانس. في الواقع ، دعنا ص 0 هو حل تعسفي خاص لنظام غير متجانس ، أي AY 0 = ب، و صهو الحل العام لنظام غير متجانس ، أي AY = ب. نطرح مساواة واحدة من الأخرى ، نحصل عليها
أ(ص ص 0) = 0 ، أي ص ص 0 هو الحل العام للنظام المتجانس المقابل فأس= 0. بالتالي، ص ص 0 = X، أو ص = ص 0 + X. Q.E.D.

دع النظام غير المتجانس له الشكل AX = B 1 + ب 2 . ثم يمكن كتابة الحل العام لمثل هذا النظام كـ X = X 1 + X 2 , حيث AX 1 = ب 1 و AX 2 = ب 2. تعبر هذه الخاصية عن الخاصية العامة لأي أنظمة خطية بشكل عام (جبري ، تفاضلي ، وظيفي ، إلخ). في الفيزياء ، هذه الخاصية تسمى مبدأ التراكب، في الهندسة الكهربائية والراديو - مبدأ التراكب. على سبيل المثال ، في نظرية الخطية الدوائر الكهربائيةيمكن الحصول على التيار في أي دائرة على النحو التالي مجموع جبريالتي يسببها كل مصدر طاقة على حدة.

مثال 1 . ابحث عن حل عام وبعض أنظمة الحلول الأساسية للنظام

المحلولتجد مع آلة حاسبة. خوارزمية الحل هي نفسها لأنظمة الخطية معادلات متجانسة.
بالعمل مع الصفوف فقط ، نجد رتبة المصفوفة ، الثانوية الأساسية ؛ نعلن عن المجهول التابعين والحر ونجد الحل العام.

السطران الأول والثاني متناسبان ، وسيتم حذف أحدهما:

.
المتغيرات التابعة - x 2، x 3، x 5، free - x 1، x 4. من المعادلة الأولى 10x 5 = 0 نجد x 5 = 0 ، إذن
; .
يبدو الحل العام كما يلي:

نجد النظام الأساسي للحلول ، والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا ، n = 5 ، r = 3 ، لذلك ، يتكون نظام الحلول الأساسي من حلين ، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا. لكي تكون الصفوف مستقلة خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف ، أي 2. يكفي إعطاء المجهول الحر x 1 و x 4 قيم من صفوف المحدد من الدرجة الثانية ، والتي تختلف عن الصفر ، وتحسب x 2 ، x 3 ، x 5. أبسط محدد غير صفري هو.
لذا فإن الحل الأول هو: ، الثاني - .
يشكل هذان القراران نظام القرار الأساسي. لاحظ أن النظام الأساسي ليس فريدًا (المحددات بخلاف الصفر يمكن تكوينها بقدر ما تريد).

مثال 2. ابحث عن الحل العام والنظام الأساسي لحلول النظام
المحلول.



,
ويترتب على ذلك أن رتبة المصفوفة هي 3 و يساوي الرقممجهول. هذا يعني أن النظام ليس لديه مجاهيل حرة ، وبالتالي لديه حل فريد - حل تافه.

ممارسه الرياضه . استكشاف وحل نظام المعادلات الخطية.
مثال 4

ممارسه الرياضه . ابحث عن حلول عامة وخاصة لكل نظام.
المحلول.نكتب المصفوفة الرئيسية للنظام:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
× 1	x2	× 3	x4	x5

نأتي إلى المصفوفة الثلاثي. سنعمل فقط مع الصفوف ، لأن ضرب صف مصفوفة في رقم غير الصفر وإضافته إلى صف آخر للنظام يعني ضرب المعادلة بنفس الرقم وإضافتها إلى معادلة أخرى ، وهذا لا يغير حل النظام .
اضرب الصف الثاني في (-5). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

اضرب الصف الثاني ب (6). اضرب الصف الثالث في (-1). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني:
أوجد مرتبة المصفوفة.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
× 1	x2	× 3	x4	x5

القاصر الموقر له أعلى ترتيب(من القاصرين المحتملين) ويختلف عن الصفر (هو يساوي المنتجالعناصر الموجودة على القطر العكسي) ، لذا رن (أ) = 2.
هذا القاصر أساسي. وهي تتضمن معاملات للمجهول x 1 ، x 2 ، مما يعني أن المجهول x 1 ، x 2 تابع (أساسي) ، و x 3 ، x 4 ، x 5 مجانية.
نقوم بتحويل المصفوفة ، مع ترك الصغرى الأساسية فقط على اليسار.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
× 1	x2	x4	× 3	x5

النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل:
22 × 2 = 14 × 4 - × 3 - 24 × 5
6 × 1 + 2 × 2 = - 2 × 4 - 11 × 3 - 6 × 5
بطريقة القضاء على المجهول نجد حل غير تافه:
لقد حصلنا على العلاقات التي تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 ، x 2 خلال Free x 3 ، x 4 ، x 5 ، أي أننا وجدنا قرار مشترك:
x2 = 0.64 × 4 - 0.0455 × 3 - 1.09 × 5
× 1 = - 0.55 × 4 - 1.82 × 3 - 0.64 × 5
نجد النظام الأساسي للحلول ، والذي يتكون من حلول (n-r).
في حالتنا ، n = 5 ، r = 2 ، لذلك ، يتكون نظام الحلول الأساسي من 3 حلول ، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.
لكي تكون الصفوف مستقلة خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف ، أي 3.
يكفي إعطاء قيم المجهول المجانية x 3 ، x 4 ، x 5 من صفوف المحدد من الرتبة الثالثة ، تختلف عن الصفر ، وحساب x 1 ، x 2.
أبسط محدد غير صفري هو مصفوفة الوحدة.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

مهمة . ابحث عن مجموعة أساسية من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية.

يمكنك الطلب حل مفصلمهمتك!!!

لفهم ما هو نظام القرار الأساسييمكنك مشاهدة الفيديو التعليمي لنفس المثال بالنقر فوق. الآن دعنا ننتقل إلى وصف كل الأعمال الضرورية. سيساعدك هذا على فهم جوهر هذه المشكلة بمزيد من التفصيل.

كيف تجد النظام الأساسي لحلول المعادلة الخطية؟

خذ على سبيل المثال نظام المعادلات الخطية التالي:

دعونا نجد حلا لهذا نظام خطيالمعادلات. بادئ ذي بدء ، نحن اكتب مصفوفة معامل النظام.

لنحول هذه المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة.نعيد كتابة السطر الأول بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (11) $ يجب أن تكون صفرًا. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (21) $ ، عليك طرح الأول من السطر الثاني ، وكتابة الفرق في السطر الثاني. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، عليك طرح الأول من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (41) $ ، عليك طرح أول مضروب في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، اطرح أول مضروب في 2 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نعيد كتابة الخطين الأول والثاني بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (22) $ يجب أن تكون صفرًا. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (32) $ ، من الضروري طرح العنصر الثاني مضروبًا في 2 من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (42) $ ، من الضروري طرح الثاني مضروبًا في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (52) $ ، اطرح الثاني مضروبًا في 3 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نحن نرى ذلك الأسطر الثلاثة الأخيرة هي نفسها، لذلك إذا طرحت الثالث من الرابع والخامس ، فسيصبحان صفرًا.

لهذه المصفوفة اكتب نظام جديدالمعادلات.

نرى أن لدينا ثلاث معادلات مستقلة خطيًا فقط ، وخمسة مجاهيل ، لذا سيتكون نظام الحلول الأساسي من متجهين. لذلك نحن نقل آخر مجهولين إلى اليمين.

الآن ، نبدأ في التعبير عن تلك المجهولات الموجودة على الجانب الأيسر من خلال تلك الموجودة على الجانب الأيمن. نبدأ بالمعادلة الأخيرة ، أولاً نعبر عن $ x_3 $ ، ثم نعوض بالنتيجة التي تم الحصول عليها في المعادلة الثانية ونعبر عن $ x_2 $ ، ثم في المعادلة الأولى وهنا نعبر عن $ x_1 $. وهكذا ، عبرنا عن جميع المجهول الموجودة في الجانب الأيسر من خلال المجهول الموجودة في الجانب الأيمن.

بعد ذلك ، بدلاً من $ x_4 $ و $ x_5 $ ، يمكنك استبدال أي أرقام والعثور على $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $. كل هذه الأعداد الخمسة ستكون جذور نظام المعادلات الأصلي. للعثور على المتجهات التي تم تضمينها في FSRنحتاج إلى استبدال 1 بدلاً من $ x_4 $ ، واستبدال 0 بدلاً من $ x_5 $ ، أوجد $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $ ، ثم العكس بالعكس $ x_4 = 0 $ و $ x_5 = 1 $.

يترك م 0 هي مجموعة حلول النظام المتجانس (4) للمعادلات الخطية.

التعريف 6.12.ثلاثة أبعاد مع 1 ,مع 2 , …, مع ص، وهي حلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية ، تسمى مجموعة الحلول الأساسية(مختصر FNR) إذا

1) نواقل مع 1 ,مع 2 , …, مع صمستقل خطيًا (أي أنه لا يمكن التعبير عن أي منها بمصطلحات أخرى) ؛

2) يمكن التعبير عن أي حل آخر لنظام متجانس من المعادلات الخطية من حيث الحلول مع 1 ,مع 2 , …, مع ص.

لاحظ أنه إذا كان مع 1 ,مع 2 , …, مع صهو بعض f.n.r. ، ثم بالتعبير ك 1 × مع 1 + ك 2 × مع 2 + … + kp× مع صيمكن أن تصف المجموعة بأكملها م 0 حلول للنظام (4) ، لذلك يطلق عليه نظرة عامة على حل النظام (4).

نظرية 6.6.أي نظام متجانس إلى أجل غير مسمى من المعادلات الخطية لديه مجموعة أساسية من الحلول.

طريقة العثور على مجموعة الحلول الأساسية هي كما يلي:

إيجاد الحل العام لنظام متجانس من المعادلات الخطية ؛

يبني ( ن – ص) حلول معينة لهذا النظام ، بينما يجب أن تتشكل قيم المجهول الحر مصفوفة الهوية;

اكتب الشكل العامالحل متضمن في م 0 .

مثال 6.5.ابحث عن مجموعة الحلول الأساسية للنظام التالي:

المحلول. دعونا نجد الحل العام لهذا النظام.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ يحتوي هذا النظام على خمسة مجاهيل ( ن= 5) ، منها مجهولين رئيسيين ( ص= 2) ، ثلاثة مجاهيل حرة ( ن – ص) ، أي أن مجموعة الحلول الأساسية تحتوي على ثلاثة نواقل للحلول. دعونا نبنيها. نملك x 1 و x 3 - المجهول الرئيسي ، x 2 , x 4 , x 5 - مجهولة مجانية

قيم المجاهيل الحرة x 2 , x 4 , x 5 شكل مصفوفة الهوية هالترتيب الثالث. حصلت على تلك النواقل مع 1 ,مع 2 , مع 3 شكل f.n.r. هذا النظام. ثم ستكون مجموعة حلول هذا النظام المتجانس م 0 = {ك 1 × مع 1 + ك 2 × مع 2 + ك 3 × مع 3 , ك 1 , ك 2 , ك 3 ، ص).

دعونا الآن نكتشف شروط وجود حلول غير صفرية لنظام متجانس من المعادلات الخطية ، وبعبارة أخرى ، شروط وجود مجموعة أساسية من الحلول.

النظام المتجانس من المعادلات الخطية له حلول غير صفرية ، أي أنه غير محدد إذا

1) رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام أقل من عدد المجهولين ؛

2) في نظام متجانس من المعادلات الخطية ، يكون عدد المعادلات أقل من عدد المجهول ؛

3) إذا كان عدد المعادلات في نظام متجانس من المعادلات الخطية يساوي عدد المجهول ، ومحدد المصفوفة الرئيسية يساوي الصفر (أي | أ| = 0).

مثال 6.6. ما قيمة المعلمة أنظام متجانس من المعادلات الخطية لديها حلول غير صفرية؟

المحلول. دعنا نؤلف المصفوفة الرئيسية لهذا النظام ونجد محدده: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - أ- 4. متى محدد هذه المصفوفة يساوي الصفر أ = –4.

إجابه: –4.

7. الحساب ن-الأبعاد ناقلات الفضاء

مفاهيم أساسية

في الأقسام السابقة ، واجهنا بالفعل مفهوم مجموعة من الأعداد الحقيقية مرتبة بترتيب معين. هذه مصفوفة صف (أو مصفوفة عمود) وحل لنظام معادلات خطية بها نمجهول. يمكن تلخيص هذه المعلومات.

التعريف 7.1. ن-ناقلات حسابية الأبعاديسمى مجموعة مرتبة من نأرقام حقيقية.

وسائل أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن)، اين ا أناО ص ، أنا = 1, 2, …, نهي النظرة العامة للناقل. رقم ناتصل البعدناقلات ، والأرقام أ أنااتصلت به إحداثيات.

فمثلا: أ= (1 ، –8 ، 7 ، 4 ،) متجه خماسي الأبعاد.

كل مجموعة نعادة ما يشار إلى ناقلات الأبعاد على أنها ص ن.

التعريف 7.2.متجهان أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن) و ب= (ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب ن) من نفس البعد مساوإذا وفقط إذا كانت إحداثيات كل منهما متساوية ، أي أ 1 = ب 1 ، أ 2 = ب 2 ، ... ، أ ن= ب ن.

التعريف 7.3.مجموعاثنين ننواقل الأبعاد أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن) و ب= (ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب ن) يسمى ناقل أ + ب= (أ 1 + ب 1 ، أ 2 + ب 2 ، ... ، أ ن+ ب ن).

التعريف 7.4. الشغلعدد حقيقي كلكل متجه أ= (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن) يسمى ناقل ك× أ = (ك× أ 1 ، ك× أ 2 ، ... ، ك× أ ن)

التعريف 7.5.المتجه حول= (0 ، 0 ، ... ، 0) يسمى صفر(أو متجه فارغ).

من السهل التحقق من أن عمليات (عمليات) إضافة المتجهات وضربها في عدد حقيقييمتلك الخصائص التالية: " أ, ب, ج Î ص ن, " ك, لОR:

1) أ + ب = ب + أ;

2) أ + (ب+ ج) = (أ + ب) + ج;

3) أ + حول = أ;

4) أ+ (–أ) = حول;

5) 1 × أ = أ، 1 О ص ؛

6) ك×( ل× أ) = ل×( ك× أ) = (ل× ك)× أ;

7) (ك + ل)× أ = ك× أ + ل× أ;

8) ك×( أ + ب) = ك× أ + ك× ب.

التعريف 7.6.الكثير من ص نمع عمليات إضافة المتجهات وضربها في رقم حقيقي معين عليها يسمى حسابي متجه ن الأبعاد الفضاء.

نظم المعادلات الخطية المتجانسة- له الصيغة ∑a k i x i = 0. حيث m> n أو m يكون النظام المتجانس للمعادلات الخطية ثابتًا دائمًا ، حيث إن RangeA = rangB. من المؤكد أنه يحتوي على حل يتكون من الأصفار ، وهو ما يسمى تافه.

مهمة الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لإيجاد حل أساسي وغير تافه لـ SLAE. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word (انظر مثال الحل).

تعليمات. حدد أبعاد المصفوفة:

عدد المتغيرات: 2 3 4 5 6 7 8 و عدد الأسطر 2 3 4 5 6

خصائص أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة

من أجل أن يكون لدى النظام حلول غير تافهة، من الضروري والكافي أن تكون مرتبة المصفوفة أقل من عدد المجهولين.

نظرية. النظام في الحالة m = n له حل غير بسيط إذا وفقط إذا كان محدد هذا النظام يساوي صفرًا.

نظرية. أي مجموعة خطية من الحلول لنظام ما هي أيضًا حل لهذا النظام.
تعريف. تسمى مجموعة الحلول لنظام المعادلات الخطية المتجانسة نظام القرار الأساسيإذا كانت هذه المجموعة تتكون من حلول مستقلة خطيًا وكان أي حل للنظام عبارة عن مزيج خطي من هذه الحلول.

نظرية. إذا كانت رتبة r لمصفوفة النظام أقل من عدد n من المجهول ، فهناك نظام أساسي للحلول يتكون من (n-r) الحلول.

خوارزمية لحل أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة

1. أوجد مرتبة المصفوفة.
2. نختار الأساسي الثانوي. نختار مجهولين تابع (أساسي) ومجاني.
3. نقوم بشطب معادلات النظام التي لم يتم تضمين معاملاتها في التكوين ثانوي أساسي، لأنها نتائج للآخرين (من خلال النظرية الثانوية الأساسية).
4. ننقل شروط المعادلات التي تحتوي على مجاهيل مجانية إلى الجانب الأيمن. نتيجة لذلك ، نحصل على نظام من المعادلات r مع r مجهولة ، أي ما يعادل المعطى ، والذي يختلف محدده عن الصفر.
5. نقوم بحل النظام الناتج عن طريق القضاء على المجهول. نجد العلاقات التي تعبر عن المتغيرات التابعة من حيث المتغيرات الحرة.
6. إذا كانت رتبة المصفوفة لا تساوي عدد المتغيرات ، فسنجدها الحل الأساسيالأنظمة.
7. في حالة النطاق = n ، لدينا حل بسيط.

مثال. أوجد أساس نظام المتجهات (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ م) ، رتب المتجهات وعبّر عنها من حيث القاعدة. إذا كان 1 = (0،0،1 ، -1) و 2 = (1،1،2،0) و 3 = (1،1،1،1) و 4 = (3،2،1 ، 4) و 5 = (2،1،0،3).
نكتب المصفوفة الرئيسية للنظام:

اضرب الصف الثالث في (-3). دعنا نضيف السطر الرابع إلى السطر الثالث:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

اضرب الصف الرابع ب (-2). اضرب الصف الخامس ب (3). دعنا نضيف السطر الخامس إلى السطر الرابع:
دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:
أوجد مرتبة المصفوفة.
النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل:
- × 3 = - × 4
- × 2 - 2 × 3 = - × 4
2 × 1 + س 2 = - 3 × 4
بطريقة إزالة المجهول نجد حلاً غير تافه:
لقد حصلنا على علاقات تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 ، x 2 ، x 3 حتى x 4 ، أي أننا وجدنا حلًا عامًا:
س 3 = س 4
س 2 = - س 4
س 1 = - س 4