جيب الزاوية الحادة لشبه المنحرف. زوايا شبه منحرف متساوي الساقين

إلى سؤال بسيط "كيف تجد ارتفاع شبه منحرف؟" هناك إجابات متعددة ، كل ذلك لأنه يمكن تقديم مدخلات مختلفة. لذلك ، سوف تختلف الصيغ.

يمكن حفظ هذه الصيغ ، لكن ليس من الصعب اشتقاقها. من الضروري فقط تطبيق النظريات التي تمت دراستها مسبقًا.

التدوين المستخدم في الصيغ

في جميع الرموز الرياضية أدناه ، هذه القراءات للحروف صحيحة.

في البيانات الأصلية: جميع الأطراف

من أجل إيجاد ارتفاع شبه منحرف في الحالة العامة ، تحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

n \ u003d √ (ث 2 - (((أ - ج) 2 + ج 2 - د 2) / (2 (أ - ج))) 2).رقم 1.

ليس الأقصر ، ولكنه أيضًا نادر جدًا في المهام. يمكنك عادة استخدام بيانات أخرى.

الصيغة التي تخبرك بكيفية العثور على ارتفاع شبه منحرف متساوي الساقين في نفس الموقف أقصر بكثير:

n \ u003d √ (الصورة 2 - (أ - ج) 2/4).رقم 2.

المشكلة معطاة: الجوانب والزوايا في القاعدة السفلية

من المفترض أن تكون الزاوية α مجاورة للضلع الذي يحمل التعيين "c" ، على التوالي ، الزاوية β إلى الضلع d. إذن ، فإن صيغة كيفية إيجاد ارتفاع شبه منحرف ، بشكل عام ، ستكون:

n \ u003d c * sin α \ u003d d * sin β.رقم 3.

إذا كان الشكل متساوي الساقين ، فيمكنك استخدام هذا الخيار:

n \ u003d c * sin α \ u003d ((a - c) / 2) * tg α.عدد 4.

معروف بـ: الأقطار والزوايا بينهما

عادة ما يتم إضافة الكميات المعروفة إلى هذه البيانات. على سبيل المثال ، القواعد أو الخط الأوسط. إذا تم إعطاء الأسس ، ثم للإجابة على سؤال حول كيفية العثور على ارتفاع شبه منحرف ، فإن الصيغة التالية مفيدة:

n \ u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + c) أو n \ u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + c).رقم 5.

هذا هو المظهر العام للشكل. إذا تم إعطاء متساوي الساقين ، فسيتم تحويل السجل على النحو التالي:

n \ u003d (d 1 2 * sin γ) / (a + c) أو n \ u003d (d 1 2 * sin δ) / (a + c).رقم 6.

عندما تتعامل المهمة مع خط الوسط لشبه منحرف ، تصبح الصيغ الخاصة بإيجاد ارتفاعه كما يلي:

n \ u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m أو n \ u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m.رقم 5 أ.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m أو n = (d 1 2 * sin δ) / 2m.رقم 6 أ.

ومن الكميات المعروفة: المساحة ذات القواعد أو الخط الوسطي

ربما تكون هذه هي أقصر وأبسط الصيغ لكيفية إيجاد ارتفاع شبه منحرف. بالنسبة للرقم التعسفي ، سيكون مثل هذا:

n \ u003d 2S / (أ + ج).رقم 7.

إنه نفس الشيء ، لكن بخط وسط مشهور:

ن = S / م.رقم 7 أ.

من الغريب ، ولكن بالنسبة لشبه المنحرف متساوي الساقين ، فإن الصيغ ستبدو كما هي.

مهام

رقم 1. لتحديد الزوايا عند القاعدة السفلية للشبه المنحرف.

حالة.يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، طول ضلعه 5 سم ، قاعدته 6 و 12 سم ، مطلوب إيجاد جيب الزاوية الحادة.

المحلول.للراحة ، يجب تقديم تدوين. دع الرأس السفلي الأيسر يكون A ، وكل الباقي في اتجاه عقارب الساعة: B ، C ، D. وهكذا ، سيتم تعيين القاعدة السفلية AD ، والجزء العلوي BC.

من الضروري رسم ارتفاعات من القمم B و C. النقاط التي تشير إلى نهايات المرتفعات سيتم تعيينها H 1 و H 2 ، على التوالي. نظرًا لأن جميع الزوايا قائمة في الشكل BCH 1 H 2 ، فهو مستطيل. هذا يعني أن القطعة H 1 H 2 تساوي 6 سم.

الآن علينا النظر في مثلثين. إنهما متساويان لأنهما مستطيلان وبنفس الوتر والساقين الرأسية. ويترتب على ذلك أن أرجلهم الأصغر متساوية أيضًا. لذلك ، يمكن تعريفهما على أنهما حاصل قسمة الفرق. يتم الحصول على الأخير عن طريق طرح الجزء العلوي من القاعدة السفلية. سيتم تقسيمها على 2. أي ، يجب تقسيم 12-6 على 2. AN 1 \ u003d H 2 D \ u003d 3 (سم).

الآن ، من نظرية فيثاغورس ، تحتاج إلى إيجاد ارتفاع شبه المنحرف. من الضروري إيجاد جيب الزاوية. VN 1 \ u003d √ (5 2 - 3 2) = 4 (سم).

باستخدام معرفة كيفية وجود جيب الزاوية الحادة في مثلث بزاوية قائمة ، يمكننا كتابة التعبير التالي: sin α \ u003d BH 1 / AB \ u003d 0.8.

إجابه.الجيب المطلوب هو 0.8.

رقم 2. لإيجاد ارتفاع شبه منحرف من ظل معروف.

حالة.للحصول على شبه منحرف متساوي الساقين ، تحتاج إلى حساب الارتفاع. من المعروف أن قاعدتيها 15 و 28 سم ، ويعطي ظل الزاوية الحادة: 11/13.

المحلول.تعيين الرؤوس هو نفسه كما في المسألة السابقة. مرة أخرى ، تحتاج إلى رسم ارتفاعين من الزوايا العلوية. بالتشابه مع حل المشكلة الأولى ، تحتاج إلى إيجاد AH 1 = H 2 D ، والتي تعرف بالفرق بين 28 و 15 ، مقسومًا على اثنين. بعد الحسابات اتضح: 6.5 سم.

نظرًا لأن الظل هو نسبة قدمين ، يمكننا كتابة المساواة التالية: tg α \ u003d AN 1 / VN 1. علاوة على ذلك ، هذه النسبة تساوي 11/13 (حسب الشرط). نظرًا لأن AH 1 معروف ، يمكن حساب الارتفاع: HH 1 \ u003d (11 * 6.5) / 13. الحسابات البسيطة تعطي نتيجة 5.5 سم.

إجابه.الارتفاع المطلوب 5.5 سم.

رقم 3. لحساب الارتفاع من الأقطار المعروفة.

حالة.من المعروف عن شبه المنحرف أن أقطارها 13 و 3 سم ، وتحتاج إلى معرفة ارتفاعها إذا كان مجموع القاعدتين 14 سم.

المحلول.دع تعيين الشكل هو نفسه كما كان من قبل. افترض أن AC هو القطر الأصغر. من قمة الرأس C ، تحتاج إلى رسم الارتفاع المطلوب وتعيينه CH.

الآن نحن بحاجة إلى القيام ببناء إضافي. من الزاوية C ، تحتاج إلى رسم خط مستقيم موازٍ للقطر الأكبر وإيجاد نقطة تقاطعها مع استمرار الضلع AD. سيكون D 1. لقد ظهر شبه منحرف جديد ، يوجد بداخله مثلث ASD 1. هذا هو المطلوب لحل المشكلة بشكل أكبر.

سيكون الارتفاع المطلوب أيضًا هو نفسه في المثلث. لذلك ، يمكنك استخدام الصيغ التي تمت دراستها في موضوع آخر. يُعرَّف ارتفاع المثلث بأنه حاصل ضرب الرقم 2 والمساحة مقسومًا على الضلع المرسوم عليه. واتضح أن الضلع يساوي مجموع قواعد شبه المنحرف الأصلي. يأتي هذا من القاعدة التي يتم بموجبها تنفيذ البناء الإضافي.

في المثلث قيد الدراسة ، جميع الأضلاع معروفة. للراحة ، نقدم الترميز x = 3 cm ، y = 13 cm ، z = 14 cm.

الآن يمكنك حساب المساحة باستخدام نظرية هيرون. سيكون نصف المحيط مساويًا لـ p \ u003d (x + y + z) / 2 \ u003d (3 + 13 + 14) / 2 \ u003d 15 (سم). ثم ستبدو صيغة المنطقة بعد استبدال القيم كما يلي: S \ u003d √ (15 * (15-3) * (15-13) * (15-14)) \ u003d 6 √10 (سم 2 ).

إجابه.الارتفاع 6-10 / 7 سم.

رقم 4. لمعرفة الارتفاع على الجانبين.

حالة.إذا كان شبه منحرف ، ثلاثة أضلاعه 10 سم ، والرابع 24 سم ، تحتاج إلى معرفة ارتفاعه.

المحلول.نظرًا لأن الشكل متساوي الساقين ، فإن الصيغة رقم 2 مطلوبة. تحتاج فقط إلى استبدال جميع القيم فيه والعدد. سيبدو مثل هذا:

n \ u003d √ (10 2 - (10-24) 2/4) \ u003d √51 (سم).

إجابه.ع = √51 سم.

ملحوظة. هذا جزء من درس مشاكل الهندسة (مقطع شبه منحرف مستطيل). إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة في الهندسة ، وهي ليست هنا - فاكتب عنها في المنتدى. في المهام ، بدلاً من رمز "الجذر التربيعي" ، تُستخدم الدالة sqrt () ، حيث يكون sqrt هو رمز الجذر التربيعي ، ويُشار إلى التعبير الجذري بين قوسين. للتعبيرات الجذرية البسيطة ، يمكن استخدام الإشارة "√"

خصائص شبه منحرف مستطيل

في شبه منحرف مستطيلويجب أن يكون الزاويتان على حق
كلا الزوايا القائمةشبه منحرف مستطيل ينتمي بالضرورة إلى الرؤوس المجاورة
كلا الزوايا القائمةفي شبه منحرف مستطيل تكون بالضرورة مجاورة لنفس الجانب الجانبي
قطري شبه منحرف مستطيلشكل مثلث قائم الزاوية على جانب واحد
طول الجانبشبه منحرف عمودي على القواعد يساوي ارتفاعه
في شبه منحرف مستطيل القواعد متوازية، جانب واحد عمودي على القواعد ، والجانب الثاني يميل على القواعد
في شبه منحرف مستطيل زاويتان صحيحتان والاثنتان الأخريان حادة ومنفرجة

مهمة

في شبه منحرف مستطيلأطول ضلع يساوي مجموع القاعدتين ، الارتفاع 12 سم ، أوجد مساحة المستطيل الذي تكون أضلاعه مساوية لقواعد شبه المنحرف.

المحلول.
دعنا نشير إلى شبه المنحرف على أنه ABCD. دعنا نشير إلى أطوال قواعد شبه المنحرف على أنها a (القاعدة الأكبر AD) و b (القاعدة الأصغر BC). دع الزاوية الصحيحة تكون

∠أ.

مساحة المستطيل الذي تكون جوانبه مساوية لقواعد شبه منحرف ستكون مساوية لها
S = أب

من الرأس C للقاعدة العلوية للشبه المنحرف ABCD نخفض ارتفاع CK إلى القاعدة السفلية. يُعرف ارتفاع شبه المنحرف من حالة المشكلة. ثم ، من خلال نظرية فيثاغورس
2 دينار كويتي + دينار كويتي

2 = قرص مضغوط 2

نظرًا لأن الجانب الطويل من شبه المنحرف يساوي بشكل مشروط مجموع القواعد ، فإن CD = a + b
نظرًا لأن شبه المنحرف مستطيل الشكل ، فإن الارتفاع المرسوم من القاعدة العلوية لشبه المنحرف يقسم القاعدة السفلية إلى جزأين

AD = AK + دينار كويتي. قيمة المقطع الأول تساوي القاعدة الأصغر لشبه المنحرف ، نظرًا لأن الارتفاع شكل المستطيل ABCK ، أي BC = AK = b ، وبالتالي ، فإن KD سيكون مساويًا للفرق في أطوال قواعد شبه منحرف مستطيل KD = أ - ب.
هذا هو
12 2 + (أ - ب) 2 = (أ + ب) 2
أين
144 + أ 2 - 2 أب + ب 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2
144 = 4 أب

بما أن مساحة المستطيل S = ab (انظر أعلاه) ، إذن
144 = 4S
S = 144/4 = 36

الجواب: 36 سم

2 .

تعليمات

إذا كانت أطوال القاعدتين (ب و ج) وجوانب متساوي الساقين ، والتي هي متطابقة حسب التعريف (أ) ، معروفة ، فيمكن استخدام المثلث القائم لحساب قيمة إحدى زواياه الحادة (γ) . للقيام بذلك ، قم بخفض الارتفاع من أي زاوية مجاورة للقاعدة القصيرة. يتكون المثلث الأيمن من الارتفاع () والجانب (الوتر) وجزء من القاعدة الطويلة بين الارتفاع والجانب القريب (الضلع الثاني). يمكن إيجاد طول هذا المقطع بطرح طول القاعدة الأصغر من طول القاعدة الأكبر وقسمة الناتج إلى النصف: (c-b) / 2.

بعد الحصول على قيم أطوال ضلعين متجاورين لمثلث قائم الزاوية ، تابع حساب الزاوية بينهما. تعطي نسبة طول الوتر (أ) إلى طول الساق ((c-b) / 2) قيمة جيب التمام لهذه الزاوية (cos (γ)) ، وستساعد دالة قوس الجيب في تحويلها للزاوية بالدرجات: γ = arccos (2 * a / (c-b)). إذن تحصل على قيمة واحدة من القيم الحادة ، وبما أنها متساوية الساقين ، فإن الزاوية الحادة الثانية سيكون لها نفس القيمة. يجب أن يكون مجموع كل الزوايا 360 درجة ، مما يعني أن مجموع الزاويتين سيكون مساويًا للفرق بين هذه الزاوية وضاعف الزاوية الحادة. نظرًا لأن كلا الزاويتين المنفرجتين ستكونان أيضًا متماثلتين ، فعندئذٍ لإيجاد قيمة كل منهما (α) ، يجب تقسيم هذا الاختلاف إلى النصف: α = (360 ° -2 * γ) / 2 = 180 ° -arccos (2 * أ / (ج-ب)). الآن لديك حساب جميع زوايا شبه منحرف متساوي الساقين وفقًا لأطوال أضلاعه.

إذا كانت أطوال جانبي الشكل غير معروفة ، ولكن تم ذكر ارتفاعها (h) ، فأنت بحاجة إلى التصرف بنفس الطريقة. في هذه الحالة ، في المثلث القائم الزاوية المكون من ضلع وجزء قصير من قاعدة طويلة ، ستعرف أطوال قدمين. تحدد نسبتهم ظل الزاوية التي تحتاجها ، وهذه الدالة المثلثية لها أيضًا ضادها ، والذي يحول قيمة الظل إلى قيمة الزاوية - قوس الظل. قم بتحويل صيغ الزاوية الحادة والمنفرجة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة وفقًا لذلك: γ = arctg (2 * h / (c-b)) و α = 180 ° -arctg (2 * h / (c-b)).

لحل هذه المشكلة باستخدام طرق الجبر المتجه ، تحتاج إلى معرفة المفاهيم التالية: مجموع المتجه الهندسي والحاصل الضريبي للمتجهات ، كما يجب أن تتذكر خاصية مجموع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي.

سوف تحتاج

- ورق؛
- قلم؛
- مسطرة.

تعليمات

المتجه هو مقطع موجه ، أي قيمة تُعطى تمامًا إذا تم إعطاء طولها واتجاهها (الزاوية) لمحور معين. لم يعد موضع المتجه مقيدًا. متجهان لهما أطوال ونفس الاتجاه يعتبران متساويين. لذلك ، عند استخدام الإحداثيات ، يتم تمثيل المتجهات بواسطة متجهات نصف قطر لنقاط نهايتها (بداية من الأصل).

حسب التعريف: المتجه الناتج من المجموع الهندسي للمتجهات هو متجه ينشأ من بداية الأول وله نهاية الثانية ، بشرط أن تكون نهاية الأول محاذاة لبداية الثانية. يمكن أن يستمر هذا أكثر ، ببناء سلسلة من النواقل المتشابهة.
ارسم ABCD المعطى بالمتجهات a و b و c و d في الشكل. 1. من الواضح ، بهذا الترتيب ، أن المتجه الناتج هو d = a + b + c.

يكون المنتج القياسي في هذه الحالة أكثر ملاءمة بناءً على المتجهين a و d. منتج نقطي ، يُشار إليه بالرمز (أ ، د) = | أ || د | cosφ1. هنا φ1 هي الزاوية بين المتجهين a و d.
يتم تعريف الناتج القياسي للمتجهات المعطاة بواسطة الإحداثيات على النحو التالي:
(a (ax، ay)، d (dx، dy)) = axdx + aydy، | a | ^ 2 = ax ^ 2 + ay ^ 2، | d | ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 ، ثم
cos Ф1 = (axdx + aydy) / (sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)).

زوايا شبه منحرف متساوي الساقين. مرحبًا! ستركز هذه المقالة على حل مشاكل شبه منحرف. هذه المجموعة من المهام هي جزء من الاختبار ، المهام بسيطة. سنحسب زوايا شبه المنحرف والقاعدة والارتفاع. حل عدد من المسائل يأتي إلى الحل ، كما يقولون: أين نحن بدون نظرية فيثاغورس؟

سنعمل مع شبه منحرف متساوي الساقين. لها جوانب وزوايا متساوية في القواعد. هناك مقال مدونة حول شبه منحرف ،.

نلاحظ فارقًا بسيطًا وهامًا ، والذي لن نصفه بالتفصيل في عملية حل المهام بأنفسهم. انظر ، إذا كان لدينا قاعدتان ، فسيتم تقسيم القاعدة الأكبر إلى ثلاثة أجزاء حسب الارتفاعات المنخفضة لها - أحدهما يساوي القاعدة الأصغر (هذه جوانب متقابلة من المستطيل) ، والجزء الآخر متساويان ( هذه هي أرجل مثلثات قائمة بذاتها):

مثال بسيط: إعطاء قاعدتين لشبه منحرف متساوي الساقين 25 و 65. وتنقسم القاعدة الأكبر إلى مقاطع على النحو التالي:

* و كذلك! لم يتم إدخال تعيينات الحروف في المهام. يتم ذلك عن قصد حتى لا تفرط في تحميل الحل مع الرتوش الجبرية. أوافق على أن هذا أمي رياضيًا ، لكن الهدف هو نقل الجوهر. ويمكنك دائمًا إجراء تعيينات للرؤوس والعناصر الأخرى بنفسك وتدوين الحل الصحيح رياضيًا.

ضع في اعتبارك المهام:

27439. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هما 51 و 65. الأضلاع 25. أوجد جيب الزاوية الحادة لشبه المنحرف.

من أجل إيجاد الزاوية ، تحتاج إلى رسم الارتفاعات. في الرسم ، نشير إلى البيانات في حالة الحجم. القاعدة السفلية 65 ، وهي مقسمة على ارتفاعات إلى شرائح 7 و 51 و 7:

في المثلث القائم ، نعرف الوتر والساق ، يمكننا إيجاد الضلع الثاني (ارتفاع شبه المنحرف) ثم نحسب جيب الزاوية.

وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن الساق المحددة تساوي:

في هذا الطريق:

الجواب: 0.96

27440. أساس شبه منحرف متساوي الساقين هما 43 و 73. جيب تمام الزاوية الحادة لشبه المنحرف هو 5/7. جد الجانب.

دعونا نبني الارتفاعات ونضع علامة على البيانات في حالة الحجم ، وتنقسم القاعدة السفلية إلى قطاعات 15 و 43 و 15:

27441. القاعدة الأكبر لشبه المنحرف متساوي الساقين هي 34. الضلع الجانبي 14. وجيب الزاوية الحادة هو (2√10) / 7. ابحث عن قاعدة أصغر.

دعونا نبني مرتفعات. لإيجاد قاعدة أصغر ، نحتاج إلى إيجاد الجزء الذي يمثل الساق في مثلث قائم الزاوية (المشار إليه باللون الأزرق) مساويًا لـ:

يمكننا حساب ارتفاع شبه المنحرف ، ثم إيجاد الساق:

وفقًا لنظرية فيثاغورس ، نحسب الساق:

إذن القاعدة الأصغر هي:

27442. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هي 7 و 51. ظل الزاوية الحادة هو 5/11. أوجد ارتفاع شبه المنحرف.

دعنا نرسم الارتفاعات ونضع علامة على البيانات في حالة المقدار. القاعدة السفلية مقسمة إلى شرائح:

ماذا أفعل؟ نعبر عن ظل الزاوية التي نعرفها عند القاعدة في مثلث قائم الزاوية:

27443. القاعدة الأصغر لشبه المنحرف متساوي الساقين هي 23. ارتفاع شبه المنحرف 39. ظل الزاوية الحادة 13/8. ابحث عن قاعدة أكبر.

نبني ارتفاعات ونحسب ما تساوي الساق:

لذا فإن القاعدة الأكبر ستكون:

27444. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هما 17 و 87. ارتفاع شبه المنحرف هو 14. أوجد ظل الزاوية الحادة.

نبني ارتفاعات ونضع علامة على القيم المعروفة على الرسم التخطيطي. القاعدة السفلية مقسمة إلى شرائح 35 ، 17 ، 35:

حسب تعريف الظل:

77152. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هي 6 و 12. جيب الزاوية الحادة لشبه المنحرف هو 0.8. جد الجانب.

دعونا نبني رسمًا ، ونبني ارتفاعات ونلاحظ القيم المعروفة ، وتنقسم القاعدة الأكبر إلى أجزاء 3 و 6 و 3:

نعبر عن الوتر ، والمشار إليه بـ x ، من خلال جيب التمام:

من المتطابقة المثلثية الأساسية نجد cosα

في هذا الطريق:

27818. ما هي أكبر زاوية لشبه منحرف متساوي الساقين إذا كان الفرق بين الزوايا المتقابلة 50 0؟ أعط إجابتك بالدرجات.

من مسار الهندسة ، نعلم أنه إذا كان لدينا خطان متوازيان وقاطع قاطع ، فإن مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب هو 180 0. في حالتنا ، هذا

يقول الشرط أن فرق الزوايا المتقابلة هو 50 0 ، أي

من النقطتين D و C نخفض ارتفاعين:

كما ذكرنا أعلاه ، يقسمون القاعدة الأكبر إلى ثلاثة أجزاء: أحدهما يساوي القاعدة الأصغر ، والاثنان الآخران متساويان.

في هذه الحالة ، هم 3 و 9 و 3 (ليصبح المجموع 15). بالإضافة إلى ذلك ، نلاحظ أن المثلثات القائمة الزاوية مقطوعة بالارتفاعات ، وهي متساوية الساقين ، لأن زوايا القاعدة تساوي 45 0. ويترتب على ذلك أن ارتفاع شبه المنحرف سيساوي 3.

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر.