القيمة العددية في أمثلة الفيزياء. بين المطرقة والسندان

كمية المتجهات (ناقلات)هي كمية مادية لها خاصيتان - المعامل والاتجاه في الفضاء.

أمثلة على كميات المتجهات: السرعة () ، القوة () ، التسارع () ، إلخ.

هندسيًا ، يتم تصوير المتجه على أنه مقطع موجه من خط مستقيم ، يكون طوله على مقياس هو وحدة المتجه.

متجه نصف القطر(عادةً ما يشار إليه أو ببساطة) - متجه يحدد موضع نقطة في الفضاء بالنسبة إلى نقطة محددة مسبقًا ، تسمى الأصل.

إلى عن على نقطة تعسفيةفي الفضاء ، متجه نصف القطر هو المتجه من الأصل إلى تلك النقطة.

يحدد طول متجه نصف القطر ، أو معامله ، المسافة التي تكون عندها النقطة من نقطة الأصل ، ويشير السهم إلى الاتجاه إلى هذه النقطة في الفضاء.

على مستوى ما ، زاوية متجه نصف القطر هي الزاوية التي يتم بها تدوير متجه نصف القطر بالنسبة لمحور الإحداثي في ​​اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

يسمى الخط الذي يتحرك على طوله الجسم مسار الحركة.اعتمادًا على شكل المسار ، يمكن تقسيم جميع الحركات إلى مستقيمة وخطوط منحنية.

يبدأ وصف الحركة بالإجابة على السؤال: كيف تغير موقع الجسم في الفضاء خلال فترة زمنية معينة؟ كيف يتم تحديد التغيير في وضع الجسم في الفضاء؟

متحرك- المقطع الموجه (المتجه) الذي يربط بين المواضع الأولية والنهائية للجسم.

سرعة(يشار إليها غالبًا من الإنجليزية. ● السرعةأو الاب. فيتيس) - الكمية المادية المتجهة التي تميز سرعة الحركة واتجاه الحركة نقطة ماديةفي الفضاء بالنسبة للنظام المرجعي المحدد (على سبيل المثال ، السرعة الزاوية). يمكن أن تكون نفس الكلمة العددية، بتعبير أدق ، معامل مشتق متجه نصف القطر.

يستخدم العلم أيضًا السرعة في بالمعنى الواسع، كمعدل تغير بعض الكمية (ليس بالضرورة متجه نصف القطر) اعتمادًا على أخرى (غالبًا ما يتغير في الوقت ، ولكن أيضًا في الفضاء أو أي شيء آخر). لذلك ، على سبيل المثال ، يتحدثون عن معدل تغير درجة الحرارة ، المعدل تفاعل كيميائي، سرعة المجموعة ، سرعة الاتصال ، السرعة الزاوية ، إلخ. تتميز رياضياً بمشتق الوظيفة.

التسريع(يشار إليها عادة ، في الميكانيكا النظرية) ، المشتق الزمني للسرعة عبارة عن كمية متجهة توضح مقدار تغير متجه السرعة لنقطة (جسم) عندما يتحرك لكل وحدة زمنية (أي أن التسارع لا يأخذ في الحسبان فقط التغير في حجم السرعة ، ولكن أيضًا اتجاهها).

على سبيل المثال ، بالقرب من الأرض ، يسقط جسم على الأرض ، في حالة إهمال مقاومة الهواء ، تزيد سرعته بحوالي 9.8 م / ث كل ثانية ، أي أن تسارعه هو 9.8 م / ث².

فرع من الميكانيكا يدرس الحركة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد وتسجيلها وتسجيل السرعات والتسارع في الفضاء الإقليدي. أنظمة مختلفةيسمى المرجع الحركية.

وحدة التسارع متر في الثانية في الثانية ( م / ث 2, م / ث 2) ، هناك أيضًا وحدة خارج النظام Gal (Gal) ، تستخدم في قياس الجاذبية وتساوي 1 سم / ثانية 2.

مشتق التسارع فيما يتعلق بالوقت أي تسمى القيمة التي تميز معدل تغير التسارع بمرور الوقت النطر.

أبسط حركة للجسم هي التي تتحرك فيها جميع نقاط الجسم بنفس الطريقة ، وتصف نفس المسارات. تسمى هذه الحركة تدريجي. نحصل على هذا النوع من الحركة عن طريق تحريك الشظية بحيث تظل موازية لنفسها طوال الوقت. مع الحركة الانتقالية ، يمكن أن تكون المسارات مستقيمة (الشكل 7 ، أ) ومنحنية (الشكل 7 ، ب).
يمكن إثبات أنه أثناء الحركة الانتقالية ، يظل أي خط مستقيم مرسوم في الجسم موازيًا لنفسه. هذه السمة المميزةمن الملائم استخدامه للإجابة على سؤال حول ما إذا كانت حركة معينة للجسم هي حركة انتقالية. على سبيل المثال ، عندما تتدحرج أسطوانة على طول مستوى ، فإن الخطوط المتقاطعة مع المحور لا تبقى متوازية مع نفسها: التدحرج ليس حركة انتقالية. عندما يتحرك المربع T والمربع على طول لوحة الرسم ، يظل أي خط مستقيم مرسوم فيهما موازٍ لنفسه ، مما يعني أنهما يتحركان للأمام (الشكل 8). تتحرك إبرة ماكينة الخياطة للأمام ، والمكبس الموجود في أسطوانة المحرك البخاري أو المحرك الاحتراق الداخلي، جسم السيارة (لكن ليس العجلات!) عند القيادة على طريق مستقيم ، إلخ.

نوع آخر بسيط من الحركة هو حركة دوارةالجسم ، أو الدوران. أثناء الحركة الدورانية ، تتحرك جميع نقاط الجسم على طول دوائر تقع مراكزها على خط مستقيم. يسمى هذا الخط محور الدوران (الخط المستقيم 00 "في الشكل 9). تقع الدوائر في مستويات متوازية متعامدة مع محور الدوران. تظل نقاط الجسم المستلقية على محور الدوران ثابتة. والدوران ليس كذلك حركة تقدمية: عند تدوير المحور OO ". تظل المسارات المعروضة موازية للخطوط المستقيمة فقط الموازية لمحور الدوران.

جسم صلب تمامًا- الكائن المرجعي الثاني للميكانيكا مع النقطة المادية.

هناك عدة تعريفات:

1. الجسم الصلب تمامًا هو مفهوم نموذجي للميكانيكا الكلاسيكية ، يشير إلى مجموعة من النقاط المادية ، يتم الحفاظ على المسافات بينها في عملية أي حركات يقوم بها هذا الجسم. بعبارة أخرى ، لا يغير الجسم الصلب تمامًا شكله فحسب ، بل يحافظ أيضًا على توزيع الكتلة داخله دون تغيير.

2. الجسم الصلب تمامًا هو نظام ميكانيكي له درجات حرية انتقالية ودورانية فقط. تعني "الصلابة" أن الجسم لا يمكن أن يتشوه ، أي أنه لا يمكن نقل أي طاقة أخرى إلى الجسم ، باستثناء الطاقة الحركية للترجمة أو حركة دوارة.

3. إطلاقا صلب- هيئة (نظام) ، لا يتغير الموقف المتبادل لأي نقاط منها ، بغض النظر عن العمليات التي تشارك فيها.

في مساحة ثلاثية الأبعادوفي حالة عدم وجود روابط ، يتمتع الجسم الصلب تمامًا بـ 6 درجات من الحرية: ثلاثة متعدية وثلاث دورانية. الاستثناء هو جزيء ثنائي الذرة أو ، في لغة الميكانيكا الكلاسيكية ، قضيب صلب بسمك صفر. مثل هذا النظام له درجتان فقط من الحرية الدورانية.

نهاية العمل -

هذا الموضوع ينتمي إلى:

تسمى الفرضية غير المثبتة وغير المثبتة بالمشكلة المفتوحة.

ترتبط الفيزياء ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات ، وتوفر الرياضيات الجهاز الذي من خلاله القوانين الفيزيائيةيمكن أن تصاغ بدقة .. نظرية غرام.

اذا احتجت مواد اضافيةحول هذا الموضوع ، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه ، نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك ، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

سقسقة

جميع المواضيع في هذا القسم:

مبدأ النسبية في الميكانيكا
النظم المرجعية بالقصور الذاتي ومبدأ النسبية. التحولات الجليل. ثوابت التحول. السرعات والتسارع المطلق والنسبي. مسلمات خاصة ر

الحركة الدورانية لنقطة مادية.
الحركة الدورانية لنقطة مادية هي حركة نقطة مادية على طول دائرة. حركة دورانية - عرض حركة ميكانيكية. في

الارتباط بين متجهات السرعات الخطية والزاوية ، والتسارع الخطي والزاوي.
قياس الحركة الدورانية: الزاوية التي يدور بها متجه نصف قطر نقطة ما في مستوى عادي بالنسبة لمحور الدوران. حركة دورانية موحدة

السرعة والتسارع في حركة منحنية.
حركة منحنية أكثر منظر معقدحركة غير مستقيمة ، لأنه حتى لو حدثت الحركة على مستوى ، فإن إحداثيين يتغيران يميزان موضع الجسم. السرعة و

التسارع أثناء الحركة المنحنية.
مع مراعاة حركة منحنيةالجسم ، نرى أن سرعته تختلف في لحظات مختلفة. حتى في حالة عدم تغير مقدار السرعة ، لا يزال هناك تغيير في اتجاه السرعة

معادلة نيوتن للحركة
(1) حيث القوة F في الحالة العامة

مركز الكتلة
مركز القصور الذاتي ، نقطة هندسية، الموضع الذي يميز توزيع الكتل في الجسم أو النظام الميكانيكي. إحداثيات سي م يتم تحديدها بواسطة الصيغ

قانون حركة مركز الكتلة.
باستخدام قانون تغيير الزخم ، نحصل على قانون حركة مركز الكتلة: dP / dt = M ∙ dVc / dt = Fi

مبدأ النسبية الجليل
الإطار المرجعي بالقصور الذاتي للإطار المرجعي القصور الذاتي لغاليليو

تشوه البلاستيك
دعنا نثني صفيحة فولاذية صغيرة (على سبيل المثال ، منشارا) ، ثم نتركها تذهب بعد فترة. سنرى أن المنشار سيستعيد شكله بالكامل (على الأقل في لمحة). إذا أخذنا

القوات الخارجية والداخلية
. في الميكانيكا قوى خارجيةفيما يتعلق بنظام معين من النقاط المادية (أي مجموعة من النقاط المادية التي تعتمد فيها حركة كل نقطة على مواضع أو حركات جميع المحاور

الطاقة الحركية
طاقة نظام ميكانيكيحسب سرعات نقاطها. ك. ه. تقاس T لنقطة مادية بنصف حاصل ضرب الكتلة m لهذه النقطة ومربع سرعتها

الطاقة الحركية.
الطاقة الحركية - طاقة الجسم المتحرك (من كلمة اليونانية kinema - الحركة). بحكم التعريف ، الطاقة الحركية لإطار مرجعي في حالة سكون في إطار معين

قيمة تساوي نصف حاصل ضرب كتلة الجسم ومربع سرعته.
= ي. الطاقة الحركية هي قيمة نسبية ، اعتمادًا على اختيار ثاني أكسيد الكربون ، لأن تعتمد سرعة الجسم على اختيار ثاني أكسيد الكربون. الذي - التي.

لحظة القوة
· لحظة القوة. أرز. لحظة القوة. أرز. لحظة القوة والمقادير

الطاقة الحركية للجسم الدوار
الطاقة الحركية هي كمية مضافة. لذلك ، فإن الطاقة الحركية لجسم يتحرك بطريقة عشوائية تساوي المجموع الطاقات الحركيةكل ن المواد

العمل والقوة أثناء دوران جسم صلب.
العمل والقوة أثناء دوران جسم صلب. دعنا نجد تعبيرًا للعمل معه

المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية
وفقًا للمعادلة (5.8) ، قانون نيوتن الثاني للحركة الدورانية P.

تسمى الكميات العددية (العددية) إذا ، بعد اختيار وحدة القياس ، فإنها تتميز برقم واحد. من أمثلة الكميات العددية الزاوية ، والسطح ، والحجم ، والكتلة ، والكثافة ، الشحنة الكهربائيةالمقاومة درجة الحرارة.

يجب التمييز بين نوعين من السلالم: سلالم نقية و سكالارس كاذبة.

3.1.1. عدديات نقية.

يتم تعريف المقاييس النقية تمامًا برقم واحد ، بغض النظر عن اختيار المحاور المرجعية. درجة الحرارة والكتلة أمثلة على الحجميات النقية.

3.1.2. المنظار الكاذب.

مثل السلالم النقية ، يتم تعريف المقياس الكاذب برقم واحد ، قيمه مطلقهالتي لا تعتمد على اختيار المحاور المرجعية. ومع ذلك ، فإن علامة هذا الرقم تعتمد على اختيار الاتجاهات الإيجابية على محاور الإحداثيات.

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، مكعباني شبيه بالمكعب، إسقاطات الحواف التي تتساوى فيها محاور الإحداثيات المستطيلة على التوالي. يتم تحديد حجم خط الموازي هذا باستخدام المحدد

القيمة المطلقة التي لا تعتمد على اختيار محاور الإحداثيات المستطيلة. ومع ذلك ، إذا قمت بتغيير الاتجاه الإيجابي على أحد محاور الإحداثيات ، فإن المحدد سيتغير العلامة. الحجم هو مقياس كاذب. المناظير الكاذبة هي أيضًا زاوية ومساحة وسطح. أدناه (القسم 5.1.8) سنرى أن المقياس الكاذب هو في الواقع موتر من نوع خاص.

كميات ناقلات

3.1.3. محور.

المحور عبارة عن خط مستقيم لانهائي يتم اختيار الاتجاه الموجب عليه. دع مثل هذا الخط المستقيم ، والاتجاه من

تعتبر إيجابية. ضع في اعتبارك مقطعًا على هذا الخط المستقيم وافترض أن الرقم الذي يقيس الطول هو a (الشكل 3.1). ثم الطول الجبري للمقطع يساوي أ ، والطول الجبري للمقطع يساوي - أ.

إذا أخذنا عدة خطوط متوازية ، فعند تحديد الاتجاه الإيجابي لأحدها ، نحدده على الباقي. يختلف الوضع إذا لم تكن الخطوط متوازية ؛ إذًا من الضروري عمل ترتيبات خاصة فيما يتعلق باختيار الاتجاه الإيجابي لكل خط مستقيم.

3.1.4. اتجاه الدوران.

دع المحور. يسمى الدوران حول المحور موجبًا أو مباشرًا إذا تم تنفيذه لمراقب يقف على طول الاتجاه الإيجابي للمحور ، إلى اليمين وإلى اليسار (الشكل 3.2). خلاف ذلك ، يطلق عليه سالب أو معكوس.

3.1.5. ثلاثية السطوح المباشرة والعكسية.

دع بعض ثلاثي السطوح (مستطيل أو غير مستطيل). يتم اختيار الاتجاهات الموجبة على المحاور على التوالي من O إلى x ، ومن O إلى y ومن O إلى z.

في سياق الفيزياء ، غالبًا ما توجد مثل هذه الكميات ، التي يكفي لوصفها معرفة القيم العددية فقط. على سبيل المثال ، الكتلة والوقت والطول.

الكميات التي تتميز بها فقط قيمة عددية، وتسمى العدديةأو عددي.

بالإضافة إلى الكميات العددية ، يتم استخدام الكميات التي لها قيمة عددية واتجاه. على سبيل المثال ، السرعة ، التسارع ، القوة.

يتم استدعاء الكميات التي تتميز بقيمة رقمية واتجاه المتجهأو ثلاثة أبعاد.

يتم الإشارة إلى كميات المتجهات بواسطة الأحرف المقابلة مع وجود سهم في الأعلى أو يتم تمييزها بخط عريض بخط سميك. على سبيل المثال ، يتم الإشارة إلى متجه القوة بواسطة \ (\ vec F \) أو F . تسمى القيمة العددية لكمية المتجه بمعامل أو طول المتجه. يتم الإشارة إلى قيمة متجه القوة Fأو \ (\ left | \ vec F \ right | \).

صورة متجهة

يتم تمثيل المتجهات بواسطة المقاطع الموجهة. بداية المتجه هي النقطة التي يبدأ منها المقطع الموجه (النقطة لكنفي التين. 1) ، نهاية المتجه هي النقطة التي ينتهي عندها السهم (النقطة بفي التين. واحد).

أرز. واحد.

يتم استدعاء المتجهين مساوإذا كان لديهم نفس الطول والنقطة في نفس الاتجاه. يتم تمثيل هذه النواقل بواسطة قطاعات موجهة لها نفس الأطوالوالاتجاهات. على سبيل المثال ، في الشكل. 2 يُظهر المتجهات \ (\ vec F_1 = \ vec F_2 \).

أرز. 2.

عند تصوير متجهين أو أكثر في شكل واحد ، يتم إنشاء المقاطع على مقياس محدد مسبقًا. على سبيل المثال ، في الشكل. يوضح الشكل 3 المتجهات التي أطوالها \ (\ upsilon_1 \) = 2 م / ث ، \ (\ upsilon_2 \) = 3 م / ث.

أرز. 3.

طريقة مواصفات المتجه

على المستوى ، يمكن تحديد المتجه بعدة طرق:

1. حدد إحداثيات بداية ونهاية المتجه. على سبيل المثال ، المتجه \ (\ Delta \ vec r \) في الشكل. يتم تعيين 4 من خلال إحداثيات بداية المتجه - (2 ، 4) (م) ، النهاية - (6 ، 8) (م).

أرز. أربعة.

2. حدد وحدة المتجه (قيمته) والزاوية بين اتجاه المتجه وبعض الاتجاه المحدد مسبقًا على المستوى. في كثير من الأحيان لمثل هذا الاتجاه في جانب إيجابيالمحور 0 X. تعتبر الزوايا المقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة من هذا الاتجاه موجبة. على التين. 5 المتجه \ (\ Delta \ vec r \) مُعطى برقمين بو \ (\ ألفا \) ، للإشارة إلى طول واتجاه المتجه.

أرز. 5.

لا يمكن للفيزياء والرياضيات الاستغناء عن مفهوم "كمية المتجه". يجب أن تكون معروفة ومعترف بها ، وكذلك تكون قادرة على التعامل معها. يجب عليك بالتأكيد أن تتعلم هذا حتى لا يتم الخلط بينكما ولا ترتكب أخطاء غبية.

كيفية التمييز بين القيمة العددية والمتجهية؟

الأول له خاصية واحدة فقط. هذه هي قيمتها العددية. يمكن أن تأخذ معظم المقاييس قيمًا موجبة وسالبة. ومن الأمثلة الشحنة الكهربائية أو العمل أو درجة الحرارة. لكن هناك بعض المقاييس التي لا يمكن أن تكون سالبة ، مثل الطول والكتلة.

كمية المتجهات ، باستثناء قيمة عددية، والتي يتم أخذها دائمًا modulo ، تتميز أيضًا بالاتجاه. لذلك ، يمكن تصويره بيانياً ، أي في شكل سهم ، طوله يساوي معامل القيمة الموجهة في اتجاه معين.

عند الكتابة ، تتم الإشارة إلى كل كمية متجه بعلامة سهم على الحرف. اذا كان في السؤالحول قيمة عددية ، ثم السهم غير مكتوب أو يتم أخذها بطريقة معيارية.

ما هي الإجراءات التي يتم تنفيذها غالبًا باستخدام النواقل؟

أولا ، مقارنة. قد تكون أو لا تكون متساوية. في الحالة الأولى ، وحداتهم هي نفسها. لكن هذا ليس الشرط الوحيد. يجب أن يكون لديهم أيضًا نفس الاتجاه أو الاتجاه المعاكس. في الحالة الأولى ، ينبغي أن يطلق عليهم نواقل متساوية. في الثانية ، هم عكس ذلك. إذا لم يتم استيفاء أحد هذه الشروط على الأقل ، فلن تكون المتجهات متساوية.

ثم تأتي الإضافة. يمكن أن يتم ذلك وفقًا لقاعدتين: مثلث أو متوازي أضلاع. الأول يقضي بتأجيل المتجه الأول ، ثم من نهايته الثاني. ستكون نتيجة الإضافة هي النتيجة التي يجب رسمها من بداية الأول إلى نهاية الثانية.

يمكن استخدام قاعدة متوازي الأضلاع عندما تحتاج إلى إضافة كميات متجهة في الفيزياء. على عكس القاعدة الأولى ، هنا يجب تأجيلها من نقطة واحدة. ثم قم ببنائها على شكل متوازي الأضلاع. يجب اعتبار نتيجة الإجراء قطري متوازي الأضلاع المرسوم من نفس النقطة.

إذا تم طرح كمية متجهة من أخرى ، فسيتم رسمها مرة أخرى من نقطة واحدة. ستكون النتيجة فقط متجهًا يتطابق مع المتجه المرسوم من نهاية الثاني إلى نهاية الأول.

ما النواقل التي تمت دراستها في الفيزياء؟

هناك العديد منهم كما هناك عددية. يمكنك ببساطة تذكر كميات المتجهات الموجودة في الفيزياء. أو تعرف على العلامات التي يمكن من خلالها حسابها. بالنسبة لأولئك الذين يفضلون الخيار الأول ، سيكون هذا الجدول مفيدًا. يحتوي على المتجه الرئيسي

الآن المزيد عن بعض هذه الكميات.

القيمة الأولى هي السرعة

يجدر البدء بإعطاء أمثلة لكميات المتجهات منه. هذا يرجع إلى حقيقة أنه تمت دراسته من بين الأوائل.

تُعرَّف السرعة بأنها إحدى خصائص حركة الجسم في الفضاء. يحدد قيمة عددية واتجاه. لذلك ، السرعة هي كمية متجهة. بالإضافة إلى ذلك ، من المعتاد تقسيمها إلى أنواع. اول واحد هو السرعة الخطية. يتم تقديمه عند النظر في حركة موحدة مستقيمة. في هذه الحالة ، يتبين أنها تساوي نسبة المسار الذي يقطعه الجسم إلى وقت الحركة.

يمكن استخدام نفس الصيغة ل حركة متفاوتة. عندها فقط سيكون متوسط. علاوة على ذلك ، يجب بالضرورة أن تكون الفترة الزمنية التي سيتم اختيارها قصيرة قدر الإمكان. عندما يميل الفاصل الزمني إلى الصفر ، تكون قيمة السرعة فورية بالفعل.

إذا تم أخذ الحركة التعسفية في الاعتبار ، فإن السرعة هنا دائمًا هي كمية متجهة. بعد كل شيء ، يجب أن تتحلل إلى مكونات موجهة على طول كل متجه لتوجيه خطوط الإحداثيات. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تعريفه على أنه مشتق من متجه نصف القطر ، بالنسبة للوقت.

القيمة الثانية هي القوة

يحدد مقياس شدة التأثير الذي تمارسه الهيئات أو المجالات الأخرى على الجسم. نظرًا لأن القوة عبارة عن كمية متجهة ، فإن لها بالضرورة قيمة واتجاه معياري خاص بها. نظرًا لأنه يعمل على الجسم ، فإن النقطة التي يتم تطبيق القوة عليها مهمة أيضًا. ليحصل التمثيل المرئيحول متجهات القوة ، يمكنك الرجوع إلى الجدول التالي.

أيضًا ، القوة المحصلة هي أيضًا كمية متجهة. يتم تعريفه على أنه مجموع كل المؤثرات على الجسم القوى الميكانيكية. لتحديد ذلك ، من الضروري إجراء عملية الجمع وفقًا لمبدأ قاعدة المثلث. ما عليك سوى تأجيل المتجهات بدوره من نهاية السابقة. ستكون النتيجة هي التي تربط بداية الأول بنهاية الأخير.

الكمية الثالثة هي الإزاحة

أثناء الحركة ، يصف الجسم خطًا معينًا. يطلق عليه المسار. يمكن أن يكون هذا الخط مختلفًا تمامًا. الأهم ليست هي مظهر خارجيونقاط البداية والنهاية للحركة. ترتبط ببعضها البعض بواسطة جزء يسمى الإزاحة. هذه أيضًا كمية متجهة. علاوة على ذلك ، يتم توجيهها دائمًا من بداية الحركة إلى النقطة التي توقفت فيها الحركة. من المقبول تعيينه حرف لاتينيص.

وهنا قد ينشأ السؤال التالي: "هل المسار كمية متجهة؟". في الحالة العامةهذا البيان غير صحيح. طريق يساوي الطولالمسار وليس له اتجاه محدد. الاستثناء هو الموقف عندما يتم النظر فيه في اتجاه واحد. ثم يتطابق معامل متجه الإزاحة في القيمة مع المسار ، ويتضح أن اتجاههما هو نفسه. لذلك ، عند التفكير في الحركة على طول خط مستقيم دون تغيير اتجاه الحركة ، يمكن تضمين المسار في أمثلة كميات المتجهات.

الكمية الرابعة هي التسارع

إنها سمة من سمات معدل تغير السرعة. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون التسارع موجبًا و معنى سلبي. في الحركة المستقيمةيتم توجيهه في اتجاه سرعة أعلى. إذا كانت الحركة من قبل مسار منحني، ثم يتحلل متجه التسارع إلى مكونين ، أحدهما موجه إلى مركز الانحناء على طول نصف القطر.

خصص متوسط ​​قيمة التسارع واللحظية. يجب حساب الأول على أنه نسبة التغير في السرعة خلال فترة زمنية معينة إلى هذا الوقت. عندما تميل الفترة الزمنية المدروسة إلى الصفر ، يتحدث المرء عن تسارع لحظي.

الكمية الخامسة هي الزخم

بطريقة أخرى ، يطلق عليه أيضًا مقدار الحركة. الزخم هو كمية متجهية بسبب حقيقة أنه يرتبط ارتباطًا مباشرًا بالسرعة والقوة المطبقة على الجسم. كلاهما له اتجاه ويعطيه للاندفاع.

بحكم التعريف ، الأخير يساوي المنتجوزن الجسم للسرعة. باستخدام مفهوم زخم الجسم ، يمكن للمرء أن يكتب قانون نيوتن المعروف بطريقة مختلفة. اتضح أن التغير في الزخم يساوي حاصل ضرب القوة والفاصل الزمني.

في الفيزياء دورا هامالديه قانون الحفاظ على الزخم ، والذي ينص على أنه في نظام مغلق من الأجسام يكون الزخم الكلي ثابتًا.

لقد قمنا بإدراج الكميات (المتجه) التي تمت دراستها في سياق الفيزياء بإيجاز شديد.

مشكلة التأثير غير المرن

حالة.هناك منصة ثابتة على القضبان. سيارة تقترب منها بسرعة 4 م / ث. وعربة - 10 و 40 طنًا ، على التوالي. تصطدم السيارة بالمنصة ، يحدث قارنة أوتوماتيكية. من الضروري حساب سرعة نظام منصة العربة بعد الاصطدام.

المحلول.أولاً ، تحتاج إلى إدخال الرمز: سرعة السيارة قبل الاصطدام - v 1 ، السيارة ذات المنصة بعد اقتران - v ، كتلة السيارة m 1 ، المنصة - m 2. وفقًا لحالة المشكلة ، من الضروري معرفة قيمة السرعة v.

تتطلب قواعد حل مثل هذه المهام تمثيلًا تخطيطيًا للنظام قبل وبعد التفاعل. من المعقول توجيه محور OX على طول القضبان في الاتجاه الذي تتحرك فيه السيارة.

في ظل هذه الظروف ، يمكن اعتبار نظام العربة مغلقًا. يتم تحديد ذلك من خلال حقيقة أنه يمكن إهمال القوى الخارجية. الجاذبية ومتوازنة ، والاحتكاك على القضبان لا يؤخذ في الاعتبار.

وفقًا لقانون الحفاظ على الزخم ، فإن مجموع المتجه قبل تفاعل السيارة والمنصة يساوي إجمالي قارنة التوصيل بعد التأثير. في البداية ، لم تتحرك المنصة ، لذلك كان زخمها صفرًا. فقط السيارة تتحرك ، زخمها هو نتاج m 1 و v 1.

نظرًا لأن التأثير كان غير مرن ، أي تشبث العربة بالمنصة ، ثم بدأت في التدحرج معًا في نفس الاتجاه ، فإن دافع النظام لم يغير الاتجاه. لكن معناه تغير. أي ناتج مجموع كتلة العربة مع المنصة والسرعة المطلوبة.

يمكنك كتابة المساواة التالية: m 1 * v 1 \ u003d (m 1 + m 2) * v. سيكون هذا صحيحًا بالنسبة لإسقاط متجهات الزخم على المحور المحدد. من السهل اشتقاق المساواة المطلوبة لحساب السرعة المطلوبة: v \ u003d m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

وفقًا للقواعد ، يجب عليك تحويل قيم الكتلة من الأطنان إلى الكيلوجرامات. لذلك ، عند استبدالها في الصيغة ، يجب عليك أولاً ضرب القيم المعروفة بألف. تعطي الحسابات البسيطة عددًا قدره 0.75 م / ث.

إجابه.سرعة العربة مع المنصة 0.75 م / ث.

تقسيم الجسم إلى أجزاء

حالة. سرعة القنبلة الطائرة 20 م / ث. تنقسم إلى قطعتين. كتلة الأولى 1.8 كجم. تستمر في التحرك في الاتجاه الذي كانت القنبلة تحلق فيه بسرعة 50 م / ث. القطعة الثانية كتلتها 1.2 كجم. ما هي سرعته؟

المحلول.دع كتل الشظايا يشار إليها بالحرفين م 1 و م 2. ستكون سرعتهم على التوالي v 1 و v 2. سرعة البدءقنابل يدوية في المشكلة ، تحتاج إلى حساب القيمة v 2.

لكي يستمر الجزء الأكبر في التحرك في نفس اتجاه القنبلة بأكملها ، يجب أن يطير الجزء الثاني الجانب المعاكس. إذا اخترنا اتجاه المحور الذي كان له الدافع الأولي، ثم بعد الكسر ، يطير الجزء الكبير على طول المحور ، والجزء الصغير يطير باتجاه المحور.

في هذه المشكلة ، يُسمح باستخدام قانون الحفاظ على الزخم نظرًا لحقيقة أن انفجار القنبلة يحدث على الفور. لذلك ، على الرغم من حقيقة أن الجاذبية تؤثر على القنبلة وأجزائها ، فليس لديها الوقت للعمل وتغيير اتجاه متجه الزخم بقيمة معامله.

مجموع قيم المتجه للزخم بعد انفجار القنبلة يساوي ما قبلها. إذا كتبنا قانون الحفظ في الإسقاط على محور OX ، فسيبدو كالتالي: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2. من السهل التعبير عن السرعة المطلوبة منه. يتم تحديده بالصيغة: v 2 \ u003d ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. بعد استبدال القيم العددية والحسابات ، يتم الحصول على 25 م / ث.

إجابه.سرعة الشظية الصغيرة 25 م / ث.

مشكلة في التصوير بزاوية

حالة.أداة مثبتة على منصة كتلتها M. يتم إطلاق قذيفة كتلة m منها. تقلع بزاوية α إلى الأفق بسرعة v (بالنسبة إلى الأرض). مطلوب معرفة سرعة المنصة بعد اللقطة.

المحلول. في هذه المشكلة ، يمكنك استخدام قانون الحفاظ على الزخم في الإسقاط على محور OX. ولكن فقط في الحالة التي يكون فيها إسقاط القوى الناتجة الخارجية مساويًا للصفر.

بالنسبة لاتجاه محور OX ، تحتاج إلى اختيار الجانب الذي ستطير فيه المقذوف ، وبالتوازي مع الخط الأفقي. في هذه الحالة ، ستكون إسقاطات قوى الجاذبية ورد فعل الدعم على OX مساوية للصفر.

سيتم حل المشكلة في نظرة عامةحيث لا توجد بيانات محددة عن الكميات المعروفة. الصيغة هي الجواب.

كان زخم النظام قبل اللقطة يساوي صفرًا ، لأن المنصة والقذيفة كانتا ثابتين. دع السرعة المطلوبة للمنصة يتم الإشارة إليها بالحرف اللاتيني u. ثم يتم تحديد زخمها بعد الطلقة كحاصل ضرب الكتلة وإسقاط السرعة. نظرًا لأن المنصة تتراجع (عكس اتجاه محور OX) ، ستكون قيمة الزخم بعلامة ناقص.

زخم المقذوف هو نتاج كتلته وإسقاط السرعة على محور OX. نظرًا لحقيقة أن السرعة موجهة بزاوية مع الأفق ، فإن إسقاطها يساوي السرعة مضروبة في جيب تمام الزاوية. في المساواة الحرفية ، سيبدو كما يلي: 0 = - Mu + mv * cos α. منه ، من خلال التحولات البسيطة ، يتم الحصول على صيغة الإجابة: u = (mv * cos α) / M.

إجابه.يتم تحديد سرعة المنصة بواسطة الصيغة u = (mv * cos α) / M.

مشكلة عبور النهر

حالة.عرض النهر بطوله بالكامل هو نفسه ويساوي l ، وضفافه متوازية. سرعة تدفق المياه في النهر v 1 والسرعة الخاصة للقارب v 2 معروفة. واحد). عند العبور ، يتم توجيه قوس القارب بدقة إلى الشاطئ المقابل. إلى أي مدى سيتم نقلها في اتجاه مجرى النهر؟ 2). في أي زاوية يجب توجيه قوس القارب بحيث يصل إلى الضفة المقابلة بشكل عمودي تمامًا على نقطة الانطلاق؟ كم من الوقت سيستغرق هذا العبور؟

المحلول.واحد). السرعة الكاملة للقارب هي مجموع متجه للكميتين. أولها مجرى النهر ، الذي يتجه على طول الضفاف. والثاني هو سرعة القارب نفسه ، عموديًا على الشواطئ. يظهر الرسم اثنين مثلثات متشابهة. الأول يتكون من عرض النهر والمسافة التي يحملها القارب. والثاني هو متجهات السرعة.

الإدخال التالي يتبع منهم: s / l = v 1 / v 2. بعد التحويل ، يتم الحصول على صيغة القيمة المطلوبة: s \ u003d l * (v 1 / v 2).

2). في هذا الإصدار من المشكلة ، يكون متجه السرعة الكلية عموديًا على البنوك. إنه يساوي مجموع المتجه v 1 و v 2. جيب الزاوية التي يجب أن ينحرف بها متجه السرعة يساوي نسبة الوحدتين v 1 و v 2. لحساب وقت السفر ، ستحتاج إلى قسمة عرض النهر على السرعة الإجمالية المحسوبة. يتم حساب قيمة الأخير بواسطة نظرية فيثاغورس.

v = √ (v 2 2 - v 1 2) ، ثم t = l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

إجابه.واحد). ث = ل * (ت 1 / ت 2) ، 2). الخطيئة α \ u003d v 1 / v 2 ، t \ u003d l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

 المتجه- بحتة مفهوم رياضي، والذي يستخدم فقط في الفيزياء أو غيرها العلوم التطبيقيةمما يجعل من الممكن تبسيط حل بعض المشاكل المعقدة.
 المتجه- قطعة خطية موجهة.
أنا أعرف الفيزياء الابتدائيةعلى المرء أن يعمل بفئتين من الكميات - العددية والمتجهات.
 العدديةالكميات (الكميات) هي الكميات التي تتميز بقيمة عددية وعلامة. الحجميات هي الطول - ل، كتلة - م، المسار - س، الوقت - ر، درجة الحرارة - تي، شحنة كهربائية - ف، الطاقة - دبليووالإحداثيات وما إلى ذلك.
يتم تطبيق جميع العمليات الجبرية (الجمع والطرح والضرب وما إلى ذلك) على القيم العددية.

 مثال 1.
حدد التكلفة الإجمالية للنظام ، التي تتكون من الرسوم المضمنة فيه ، إذا كان q 1 \ u003d 2 nC ، q 2 \ u003d -7 nC ، q 3 \ u003d 3 nC.
شحن النظام بالكامل
q \ u003d q 1 + q 2 + q 3 \ u003d (2-7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

 مثال 2.
إلى عن على معادلة من الدرجة الثانيةطيب القلب
الفأس 2 + ب س + ج = 0 ؛
× 1،2 = (1 / (2a)) × (b ± √ (ب 2-4ac)).

 المتجهالكميات (المتجهات) هي كميات ، من أجل تعريفها من الضروري الإشارة ، بالإضافة إلى القيمة العددية ، إلى الاتجاه أيضًا. النواقل - السرعة الخامس، قوة F، قوة الدفع ص، توتر الحقل الكهربائي ه، الحث المغناطيسي بوإلخ.
يُشار إلى القيمة العددية للمتجه (المعامل) بحرف بدون رمز متجه أو يكون المتجه محاطًا بخطوط عمودية ص = | ص |.
بيانياً ، يتم تمثيل المتجه بسهم (الشكل 1) ،

طوله في مقياس معين يساوي معامله ، ويتزامن الاتجاه مع اتجاه المتجه.
متجهان متساويان إذا كانت معاملهما واتجاهاتهما هي نفسها.
يتم إضافة كميات المتجهات هندسيًا (وفقًا لقاعدة الجبر المتجه).
يسمى إيجاد مجموع متجه معطى متجهات المكون إضافة متجه.
تتم إضافة متجهين وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع أو قاعدة المثلث. إجمالي ناقلات
ج = أ + ب
يساوي قطر متوازي الأضلاع المبني على المتجهات أو ب. وحدة عليه
с = √ (أ 2 + ب 2 - 2abcosα) (الشكل 2).


بالنسبة إلى α = 90 درجة ، فإن c = √ (a 2 + b 2) هي نظرية فيثاغورس.

يمكن الحصول على نفس المتجه c بقاعدة المثلث إذا كان من نهاية المتجه أتأجيل ناقلات ب. متجه الإغلاق ج (توصيل بداية المتجه أونهاية المتجه ب) هو مجموع المتجهات للمصطلحات (مكونات المتجهات أو ب).
تم العثور على المتجه الناتج على أنه إغلاق أحد الخط المكسور ، والذي تمثل روابطه النواقل المكونة (الشكل 3).


 مثال 3.
أضف قوتين F 1 \ u003d 3 N و F 2 \ u003d 4 N ، ناقلات F1و F2اصنع الزوايا α 1 \ u003d 10 ° و α 2 \ u003d 40 ° مع الأفق ، على التوالي
 F = F 1 + F 2(الشكل 4).

نتيجة إضافة هاتين القوتين هي قوة تسمى المحصلة. المتجه Fموجهة على طول قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهات F1و F2، كجوانب ، و modulo يساوي طوله.
معامل المتجه Fتجد بموجب قانون جيب التمام
F = √ (F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos (α 2 - α 1)) ،
القوة = √ (3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × كوس (40 درجة - 10 درجة)) ≈ 6.8 هـ.
اذا كان
(α 2 - α 1) = 90 درجة ، ثم F = √ (F 1 2 + F 2 2).

زاوية هذا المتجه Fمع محور الثور ، نجدها بالصيغة
α \ u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)) ،
α = أركتان ((3.0.17 + 4.0.64) / (3.0.98 + 4.0.77)) = أركتان 0.51 ، α ≈ 0.47 راد.

إسقاط المتجه a على المحور Ox (Oy) هو قيمة عددية تعتمد على الزاوية α بين اتجاه المتجه أومحاور الثور (Oy). (الشكل 5)


إسقاطات المتجهات أعلى محوري Ox و Oy نظام مستطيلإحداثيات. (الشكل 6)


من أجل تجنب الأخطاء عند تحديد علامة إسقاط المتجه على المحور ، من المفيد تذكر القاعدة التالية: إذا كان اتجاه المكون يتزامن مع اتجاه المحور ، فإن إسقاط المتجه على هذا يكون المحور موجبًا ، ولكن إذا كان اتجاه المكون عكس اتجاه المحور ، فإن إسقاط المتجه يكون سالبًا. (الشكل 7)


الطرح المتجه هو إضافة يتم فيها إضافة المتجه إلى المتجه الأول ، مساويًا عدديًا للثاني ، موجه بشكل معاكس
أ - ب = أ + (ب) = د(الشكل 8).

فليكن من الضروري من المتجه أطرح ناقلات ب، اختلافهم - د. لإيجاد الفرق بين متجهين ، من الضروري أن يكون المتجه أإضافة ناقلات ( − ب) ، وهذا هو ، ناقل د = أ - بسيكون متجهًا موجهًا من بداية المتجه أفي نهاية المتجه ( − ب) (الشكل 9).

في متوازي الأضلاع مبني على المتجهات أو بكلا الجانبين ، قطري واحد جله معنى المجموع ، والآخر د- فروق المتجهات أو ب(الشكل 9).
المنتج المتجه ألكل عددي ك يساوي متجه ب= ك أ، التي يكون معاملها أكبر بمقدار k مرة من مقياس المتجه أ، والاتجاه هو نفس الاتجاه ألإيجابية k والعكس سالب k.

 مثال 4.
أوجد الزخم لجسم كتلته ٢ كجم يتحرك بسرعة ٥ م / ث. (الشكل 10)

زخم الجسم ص= م الخامس؛ p = 2 kg.m / s = 10 kg.m / s وتوجه نحو السرعة الخامس.

 مثال 5.
يتم وضع الشحنة q = −7.5 nC في مجال كهربائي بكثافة E = 400 V / m. أوجد مقياس واتجاه القوة المؤثرة على الشحنة.

القوة تساوي F= ف ه. نظرًا لأن الشحنة سالبة ، يتم توجيه متجه القوة في الاتجاه المعاكس للمتجه ه. (الشكل 11)


 قسمالمتجه أبواسطة عددي k يساوي الضرب أبنسبة 1 / ك.
 المنتج نقطةثلاثة أبعاد أو باستدعاء العددية "ج" يساوي المنتجوحدات من هذه المتجهات من خلال جيب التمام للزاوية بينهما
(أ ب) = (ب أ) = ج ،
с = ab.cosα (الشكل 12)


 مثال 6.
أوجد عمل قوة ثابتة F = 20 N إذا كانت الإزاحة S = 7.5 m ، والزاوية α بين القوة والإزاحة α = 120 °.

عمل القوة بحكم التعريف المنتج نقطةالقوى والحركات
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120 ° = −150 × 1/2 = −75 J.

 ناقلات الفنثلاثة أبعاد أو بناقلات الاتصال ج، مساويًا عدديًا لمنتج وحدات المتجهين a و b ، مضروبًا في جيب الزاوية بينهما:
ج = أ × ب = ،
ج = أب × sin α.
المتجه جعمودي على المستوى الذي تكمن فيه المتجهات أو ب، واتجاهه مرتبط باتجاه النواقل أو بقاعدة المسمار الصحيحة (الشكل 13).


 مثال 7.
أوجد القوة المؤثرة على موصل طوله 0.2 متر ، وموضوعة في مجال مغناطيسي ، تحريضه 5 تسنين ، إذا كان التيار في الموصل 10 أ ويشكل زاوية α = 30 درجة مع اتجاه المجال.

قوة الأمبير
dF = I = Idl × B أو F = I (l) ∫ (dl × B) ،
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 م × 1/2 = 5 نيوتن.

 ضع في اعتبارك حل المشكلات.
1. كيف يتم توجيه متجهين ، معامليهما متماثلان ويساويان a ، إذا كان معامل مجموعهما: أ) 0 ؛ ب) 2 أ ؛ ج) أ. د) أ√ (2) ؛ هـ) أ√ (3)؟

 المحلول.
أ) موجهان موجهان على طول نفس الخط المستقيم في الأطراف المقابلة. مجموع هذه المتجهات يساوي صفرًا.

ب) موجهان موجهان على طول نفس الخط المستقيم في نفس الاتجاه. مجموع هذه المتجهات 2 أ.

ج) موجهان موجهان بزاوية 120 درجة لبعضهما البعض. مجموع المتجهات يساوي أ. تم العثور على المتجه الناتج بواسطة نظرية جيب التمام:

أ 2 + أ 2 + 2aacosα = أ 2 ،
cosα = −1/2 و α = 120 درجة.
د) موجهان موجهان بزاوية 90 درجة لبعضهما البعض. معامل المجموع هو
أ 2 + أ 2 + 2 أكوس أ = 2 أ 2 ،
cosα = 0 و α = 90 درجة.

ه) موجهان موجهان بزاوية 60 درجة لبعضهما البعض. معامل المجموع هو
أ 2 + أ 2 + 2aacosα = 3a 2 ،
cosα = 1/2 و α = 60 درجة.
 إجابه: الزاوية α بين المتجهات تساوي: أ) 180 درجة ؛ ب) 0 ؛ ج) 120 درجة ؛ د) 90 درجة ؛ ه) 60 درجة.

2. إذا أ = أ 1 + أ 2توجيه النواقل ، ما يمكن قوله عن التوجه المتبادل للناقلات أ 1و أ 2، إذا: أ) أ = أ 1 + أ 2 ؛ ب) أ 2 \ u003d أ 1 2 + أ 2 2 ؛ ج) أ 1 + أ 2 \ u003d أ 1 - أ 2؟

 المحلول.
أ) إذا تم العثور على مجموع المتجهات كمجموع وحدات هذه المتجهات ، فإن المتجهات يتم توجيهها على طول خط مستقيم واحد ، موازٍ لبعضها البعض أ 1 || أ 2.
ب) إذا كانت المتجهات موجهة بزاوية مع بعضها البعض ، فسيتم إيجاد مجموعها بواسطة قانون جيب التمام لمتوازي أضلاع
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ،
cosα = 0 و α = 90 درجة.
المتجهات متعامدة مع بعضها البعض أ 1 ⊥ أ 2.
ج) الشرط أ 1 + أ 2 = أ 1 - أ 2يمكن أداؤها إذا أ 2- متجه صفري ، ثم a 1 + a 2 = a 1.
 الإجابات. أ) أ 1 || أ 2؛ ب) أ 1 ⊥ أ 2؛ في) أ 2- ناقل صفر.

3. يتم تطبيق قوتين مقدارهما 1.42 نيوتن على نقطة واحدة من الجسم بزاوية 60 درجة على بعضهما البعض. في أي زاوية يجب تطبيق قوتين قياسهما 1.75 نيوتن على نفس نقطة الجسم بحيث يوازن عملهما عمل أول قوتين؟

المحلول.
وفقًا لظروف المشكلة ، توازن قوتان مقدارهما 1.75 نيوتن لكل منهما قوتان كل منهما 1.42 نيوتن ، وهذا ممكن إذا كانت وحدات المتجهات الناتجة لأزواج القوة متساوية. يتم تحديد المتجه الناتج بواسطة نظرية جيب التمام لمتوازي الأضلاع. للزوج الأول من القوات:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \ u003d F 2 ،
للزوج الثاني من القوات ، على التوالي
و 2 2 + و 2 2 + 2F 2 و 2 cosβ = و 2.
معادلة الأجزاء اليسرى من المعادلات
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
أوجد الزاوية المرغوبة β بين المتجهين
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα - و 2 2 - و 2 2) / (2F 2 F 2).
بعد الحسابات ،
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60 ° - 2.1.752) / (2.1.752) = −0.0124 ،
β ≈ 90.7 درجة.

 الطريقة الثانية لحلها.
ضع في اعتبارك إسقاط المتجهات على محور الإحداثيات OX (الشكل).

باستخدام النسبة بين الجانبين في مثلث قائم، نحن نحصل
2F 1 cos (α / 2) = 2F 2 cos (/ 2),
أين
cos (β / 2) = (F 1 / F 2) cos (α / 2) = (1.42 / 1.75) × cos (60/2) و β ≈ 90.7 درجة.

4. المتجهات أ = 3 ط - 4 ج. ما يجب أن تكون القيمة العددية c بحيث | c أ| = 7,5?
 المحلول.
ج أ= ج ( 3i - 4j) = 7,5
معامل المتجه أسوف تساوي
أ 2 = 3 2 + 4 2 ، أ = ± 5 ،
ثم من
ج (± 5) = 7.5 ،
وجدت أن
ج = ± 1.5.

5. النواقل أ 1و أ 2يخرج من الأصل ويملك الإحداثيات الديكارتيةينتهي (6 ، 0) و (1 ، 4) ، على التوالي. ابحث عن ناقل أ 3مثل: أ) أ 1 + أ 2 + أ 3= 0 ؛ ب) أ 1 − أ 2 + أ 3 = 0.

 المحلول.
دعنا نرسم المتجهات النظام الديكارتيإحداثيات (الشكل)

أ) المتجه الناتج على طول محور الثور هو
أ س = 6 + 1 = 7.
المتجه الناتج على طول محور Oy هو
أ ص = 4 + 0 = 4.
لكي يساوي مجموع المتجهات الصفر ، من الضروري أن يكون الشرط
أ 1 + أ 2 = −أ 3.
المتجه أ 3سيكون modulo مساويًا للمتجه الإجمالي أ 1 + أ 2لكنها موجهة في الاتجاه المعاكس. تنسيق متجه النهاية أ 3تساوي (7، −4)، و المقياس
أ 3 \ u003d √ (7 2 + 4 2) = 8.1.

ب) المتجه الناتج على طول محور الثور يساوي
أ س = 6-1 = 5 ،
والمتجه الناتج على طول محور Oy
أ ص = 4 - 0 = 4.
عندما تكون الحالة
أ 1 − أ 2 = −أ 3,
المتجه أ 3إحداثيات نهاية المتجه a x = -5 و a y = -4 ، ومقياسه هو
أ 3 \ u003d √ (5 2 + 4 2) = 6.4.

6. ينتقل الرسول 30 مترًا شمالًا ، و 25 مترًا شرقًا ، و 12 مترًا جنوبًا ، ثم يرتفع المصعد في المبنى إلى ارتفاع 36 مترًا. ما هي المسافة التي يقطعها ل والإزاحة س؟

 المحلول.
دعونا نصور الحالة الموصوفة في المشكلة على مستوى على نطاق تعسفي (الشكل).

نهاية المتجه OAإحداثيات 25 م شرقا و 18 م شمالا و 36 لأعلى (25 و 18 و 36). المسار الذي يسلكه الشخص هو
L = 30 م + 25 م + 12 م +36 م = 103 م.
تم إيجاد وحدة متجه الإزاحة بواسطة الصيغة
S = √ ((x - x o) 2 + (y - y o) 2 + (z - z o) 2) ،
حيث x o = 0 ، y o = 0 ، z o = 0.
S \ u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (م).
 إجابه: الطول = 103 م ، جنوب = 47.4 م.

7. الزاوية α بين متجهين أو بيساوي 60 درجة. حدد طول المتجه ج = أ + بوالزاوية β بين المتجهات أو ج. حجم المتجهات أ = 3.0 و ب = 2.0.

 المحلول.
طول المتجه يساوي المجموعثلاثة أبعاد أو بنحدد استخدام نظرية جيب التمام للحصول على متوازي الأضلاع (الشكل).

с = √ (أ 2 + ب 2 + 2abcosα).
بعد التبديل
ج = √ (3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60 درجة) = 4.4.
لتحديد الزاوية β ، نستخدم نظرية الجيب من أجلها مثلث ABC:
ب / sinβ = أ / الخطيئة (α - β).
في نفس الوقت ، يجب أن تعرف ذلك
الخطيئة (α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
حل بسيط المعادلة المثلثية، نصل إلى التعبير
tgβ = bsinα / (a ​​+ bcosα) ،
بالتالي،
β = arctg (bsinα / (a ​​+ bcosα)) ،
β = arctg (2.sin60 / (3 + 2.cos60)) ≈ 23 درجة.
دعنا نتحقق من استخدام نظرية جيب التمام للمثلث:
أ 2 + ص 2 - 2ac.cosβ = ب 2 ،
أين
cosβ = (أ 2 + ص 2 - ب 2) / (2 أ ج)
و
β \ u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \ u003d arccos ((3 2 + 4.4 2-2 2) / (2.3.4.4)) = 23 درجة.
 إجابه: ج 4.4 ؛ β ≈ 23 درجة.

 حل المشاكل.
8. بالنسبة للناقلات أو بالمعرفة في المثال 7 ، أوجد طول المتجه د = أ - بركن γ ما بين أو د.

9. أوجد إسقاط المتجه أ = 4.0i + 7.0jإلى خط مستقيم يكون اتجاهه زاوية α = 30 درجة مع محور الثور. المتجه أوالخط يقع في المستوى xOy.

10. المتجهات أيصنع زاوية α = 30 ° مع الخط المستقيم AB ، a = 3.0. في أي زاوية β على الخط AB يجب توجيه المتجه ب(ب = √ (3)) بحيث يكون المتجه ج = أ + بكانت موازية لـ AB؟ أوجد طول المتجه ج.

11 - تم إعطاء ثلاثة نواقل: أ = 3 ط + 2 ي - ك; ب = 2 ط - ي + ك; ج = أنا + 3 ي. إعثر على) أ + ب؛ ب) أ + ج؛ في) (أ ، ب)؛ ز) (أ ، ج) ب - (أ ، ب) ج.

12. الزاوية بين المتجهات أو بيساوي α = 60 درجة ، أ = 2.0 ، ب = 1.0. أوجد أطوال المتجهات ج = (أ ، ب) أ + بو د = 2 ب - أ / 2.

13. إثبات أن النواقل أو بتكون عمودية إذا كانت أ = (2 ، 1 ، −5) وب = (5 ، −5 ، 1).

14. أوجد الزاوية α بين المتجهين أو ب، إذا كانت أ = (1 ، 2 ، 3) ، ب = (3 ، 2 ، 1).

15. المتجهات أيصنع زاوية α = 30 ° مع محور Ox ، فإن إسقاط هذا المتجه على محور Oy هو y = 2.0. المتجه بعمودي على المتجه أو ب = 3.0 (انظر الشكل).

المتجه ج = أ + ب. البحث عن: أ) إسقاطات المتجهات بعلى محوري Ox و Oy ؛ ب) القيمة ج والزاوية β بين المتجه جومحور الثور ؛ سيارة أجرة)؛ د) (أ ، ج).

 الإجابات:
9. a 1 \ u003d a x cosα + a y sinα 7.0.
10. β = 300 درجة ؛ ج = 3.5.
11. أ) 5i + j ؛ ب) أنا + 3 ي - 2 ك ؛ ج) 15 ط - 18 ي + 9 ك.
12. ج = 2.6 ؛ د = 1.7.
14. α = 44.4 درجة.
15. أ) ب س \ u003d -1.5 ؛ ب ص = 2.6 ؛ ب) ج = 5 ؛ β ≈ 67 درجة ؛ ج) 0 ؛ د) 16.0.
من خلال دراسة الفيزياء ، لديك فرص عظيمةأكمل تعليمك في جامعة فنية. سيتطلب ذلك تعميقًا موازيًا للمعرفة في الرياضيات والكيمياء واللغة وفي كثير من الأحيان في مواضيع أخرى. تخرج الفائز في الأولمبياد الجمهوري ، إيجور سافيتش ، من أحد أقسام معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا ، حيث تُطالب بمعرفة الكيمياء. إذا كنت بحاجة إلى مساعدة في GIA في الكيمياء ، فاتصل بالمتخصصين ، وستحصل بالتأكيد على مساعدة مؤهلة وفي الوقت المناسب.

 أنظر أيضا: