جمع الكسور البسيطة. الأفعال مع الكسور

جمع وطرح الكسور ذات المقامات نفسها
جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة
مفهوم شهادة عدم الممانعة
جعل الكسور في نفس المقام
كيفية جمع عدد صحيح وكسر

1 جمع وطرح الكسور ذات المقامات نفسها

لإضافة كسور لها نفس المقامات ، تحتاج إلى إضافة البسط ، وترك المقام كما هو ، على سبيل المثال:

لطرح الكسور ذات المقامات نفسها ، اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، واترك المقام كما هو ، على سبيل المثال:

لإضافة كسور مختلطة ، يجب عليك جمع أجزائها الكاملة بشكل منفصل ، ثم جمع الأجزاء الكسرية ، وكتابة النتيجة في صورة كسر مختلط ،

إذا تم الحصول على كسر غير لائق عند إضافة الأجزاء الكسرية ، فإننا نختار الجزء الصحيح منه ونضيفه إلى الجزء الصحيح ، على سبيل المثال:

2 جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة

من أجل جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة ، يجب عليك أولاً إحضارها إلى نفس المقام ، ثم المتابعة كما هو موضح في بداية هذه المقالة. القاسم المشترك للعديد من الكسور هو المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر). بالنسبة لبسط كل كسر ، يمكن إيجاد عوامل إضافية بقسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام هذا الكسر. سنلقي نظرة على مثال لاحقًا ، بعد أن اكتشفنا ماهية المضاعف المشترك الأصغر.

3 المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

المضاعف المشترك الأصغر لرقمين (المضاعف المشترك الأصغر) هو أصغر رقم طبيعي يقبل القسمة على هذين الرقمين بدون باقي. في بعض الأحيان يمكن العثور على LCM شفهيًا ، ولكن في كثير من الأحيان ، خاصة عند العمل بأعداد كبيرة ، يجب عليك العثور على LCM كتابيًا ، باستخدام الخوارزمية التالية:

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام ، تحتاج إلى:

1. حلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية
2. خذ التوسيع الأكبر ، واكتب هذه الأرقام كمنتج
3. حدد في التوسعات الأخرى الأرقام التي لا تحدث في التوسيع الأكبر (أو تحدث فيه عددًا أقل من المرات) ، وأضفها إلى المنتج.
4. اضرب كل الأرقام في حاصل الضرب ، فسيكون هذا هو المضاعف المشترك الأصغر.

على سبيل المثال ، لنجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 28 و 21:

4: اختزال الكسور إلى نفس المقام

لنعد إلى جمع كسور ذات مقامات مختلفة.

عندما نختصر الكسور إلى نفس المقام ، يساوي المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين ، يجب أن نضرب البسط في هذين الكسرين في مضاعفات إضافية. يمكنك إيجادهم بقسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر المقابل ، على سبيل المثال:

لذلك ، من أجل إحضار الكسور إلى مؤشر واحد ، يجب أولاً إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (أي أصغر رقم يقبل القسمة على كلا المقامين) لمقام هذه الكسور ، ثم ضع عوامل إضافية على بسط الكسور. يمكنك إيجادهم بقسمة المقام المشترك (LCD) على مقام الكسر المقابل. ثم عليك أن تضرب بسط كل كسر في عامل إضافي ، وتضع المضاعف المشترك الأصغر في المقام.

5 كيفية جمع عدد صحيح وكسر

من أجل جمع عدد صحيح وكسر ، ما عليك سوى إضافة هذا الرقم قبل الكسر ، وستحصل على كسر مختلط ، على سبيل المثال.

لإضافة عدد صحيح إلى كسر ، يكفي القيام بسلسلة من الإجراءات ، أو بالأحرى الحسابات.

على سبيل المثال ، لديك 7 - عدد صحيح ، تحتاج إلى إضافته إلى الكسر 1/2.

نتصرف على النحو التالي:

• نضرب 7 في المقام (2) ، يتضح أن 14 ،
• إلى 14 نضيف الجزء العلوي (1) ، اتضح أن 15 ،
• واستبدل المقام.
• كانت النتيجة 15/2.

بهذه الطريقة البسيطة ، يمكنك جمع الأعداد الصحيحة إلى الكسور.

ولتحديد عدد صحيح من كسر ، عليك قسمة البسط على المقام ، والباقي سيكون كسرًا.

عملية إضافة عدد صحيح إلى كسر عادي ليست صعبة وأحيانًا تتكون ببساطة من تكوين كسر مختلط ، حيث يتم وضع الجزء الصحيح على يسار الجزء الكسري ، على سبيل المثال ، سيتم خلط هذا الكسر :

ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، عندما تضيف عددًا صحيحًا إلى كسر ، تحصل على كسر غير فعلي ، يكون فيه البسط أكبر من المقام. يتم تنفيذ هذه العملية على النحو التالي: يتم تمثيل العدد الصحيح ككسر غير فعلي له نفس المقام مثل الكسر المضاف ، ثم يتم ببساطة إضافة البسطين لكلا الكسرين. على سبيل المثال ، سيبدو كما يلي:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

أعتقد أن الأمر بسيط للغاية.

على سبيل المثال ، لدينا كسر 1/4 (هذا هو نفسه 0.25 ، أي ربع عدد صحيح).

وإلى هذا الربع يمكنك إضافة أي عدد صحيح ، على سبيل المثال 3. اتضح ثلاثة وربع:

3.25. أو يتم التعبير عنها في الكسر كما يلي: 3 1/4

هنا ، باتباع مثال هذا المثال ، يمكنك إضافة أي كسور بأي أعداد صحيحة.

تحتاج إلى رفع عدد صحيح إلى كسر مقامه 10 (6/10). بعد ذلك ، أحضر الكسر الموجود إلى المقام المشترك 10 (35 = 610). حسنًا ، نفذ العملية كما هو الحال مع الكسور العادية 610 + 610 = 1210 إجمالي 12.

يمكنك القيام بذلك بطريقتين.

واحد). يمكن تحويل الكسر إلى عدد صحيح وإضافته. على سبيل المثال ، 1/2 هو 0.5 ؛ 1/4 يساوي 0.25 ؛ 2/5 يساوي 0.4 وهكذا.

نأخذ العدد الصحيح 5 ، الذي نحتاج إلى جمع الكسر 4/5 إليه. لنحول الكسر: 4/5 يساوي 4 على 5 ونحصل على 0.8. أضف 0.8 إلى 5 واحصل على 5.8 أو 5 4/5.

2). الطريقة الثانية: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

تعد إضافة الكسور عملية حسابية بسيطة ، على سبيل المثال ، تحتاج إلى إضافة العدد الصحيح 3 والكسر 1/7. لجمع هذين الرقمين ، يجب أن يكون لديك مقام واحد ، لذلك يجب أن تضرب ثلاثة في سبعة وتقسيمه على هذا الرقم ، ثم تحصل على 21/7 + 1/7 ، المقام هو واحد ، أضف 21 و 1 ، تحصل على الإجابة 22/7.

خذ فقط وأضف عددًا صحيحًا إلى هذا الكسر ، لنفترض أن 6 + 1/2 = 6 1/2. حسنًا ، إذا كان هذا كسرًا عشريًا ، فعلى سبيل المثال ، 6 + 1.2 = 7.2.

لإضافة كسر وعدد صحيح ، تحتاج إلى إضافة عدد كسري إلى عدد صحيح وتدوينها كرقم مركب ، على سبيل المثال ، عند إضافة كسر عادي إلى عدد صحيح ، نحصل على: 1/2 +3 \ u003d 3 1/2 عند إضافة كسر عشري: 0.5 +3 \ u003d 3.5.

الكسر في حد ذاته ليس عددًا صحيحًا ، لأنه لا يصل إليه من حيث الكمية ، وبالتالي ليست هناك حاجة لتحويل عدد صحيح إلى هذا الكسر. لذلك ، يظل العدد الصحيح عددًا صحيحًا ويوضح تمامًا المذهب الكامل ، ويضاف الكسر إليه ، ويوضح مقدار ما يفتقر إليه هذا العدد الصحيح قبل إضافة النقطة الكاملة التالية.

مثال أكاديمي.

10 + 7/3 = 10 أعداد صحيحة و 7/3.

إذا كان هناك بالطبع أعداد صحيحة ، فسيتم جمعها بالأعداد الصحيحة.

12 + 5 7/9 = 17 و 7/9.

ما هو العدد الصحيح وما هو الكسر.

اذا كان كلا المصطلحين موجبين، يجب تخصيص هذا الكسر لعدد صحيح. تحصل على رقم مختلط. علاوة على ذلك ، قد يكون هناك حالتان.

حالة 1

• الكسر صحيح ، أي. البسط أصغر من المقام. ثم سيكون الجواب هو الرقم المختلط الذي تم الحصول عليه بعد الإسناد.

4/9 + 10 = 10 4/9 (عشرة فاصلة أربعة أتساع).



الحالة 2

• الكسر غير صحيح ، أي. البسط أكبر من المقام. ثم يتطلب الأمر القليل من التحول. يجب تحويل الكسر غير الصحيح إلى عدد كسري ، بمعنى آخر ، قم بتمييز الجزء بالكامل. يتم ذلك على النحو التالي:



بعد ذلك ، تحتاج إلى إضافة الجزء الصحيح من الكسر غير الصحيح إلى العدد الصحيح وإضافة الجزء الكسري إلى المقدار الناتج. بنفس الطريقة ، يضاف الكل إلى عدد كسري.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 كاملة ثلاثة أرباع).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 ثانية كاملة).

إذا كان أحد الشروط أو كليهما نفي، ثم تتم عملية الجمع وفقًا لقواعد جمع الأرقام بعلامات مختلفة أو متطابقة. يتم تمثيل العدد الصحيح على أنه النسبة بين هذا الرقم و 1 ، ثم يتم ضرب كل من البسط والمقام في رقم يساوي مقام الكسر المضاف إليه العدد الصحيح.

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (ناقص 1 كامل أربعة أخماس).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (ناقص 8 نقطة ثلث).

تعليق.

بعد التعرف على الأرقام السالبة ، عند دراسة الإجراءات معهم ، يجب أن يفهم الطلاب في الصف السادس أن إضافة عدد صحيح موجب إلى كسر سالب يماثل طرح كسر من رقم طبيعي. هذا الإجراء ، كما تعلم ، يتم تنفيذه على النحو التالي:



في الواقع ، من أجل إضافة كسر وعدد صحيح ، تحتاج ببساطة إلى تقليل العدد الصحيح الحالي إلى عدد كسري ، والقيام بذلك بنفس سهولة تقشير الكمثرى. تحتاج فقط إلى أخذ مقام الكسر (متوفر في المثال) وجعله مقامًا لعدد صحيح بضربه في هذا المقام والقسمة ، إليك مثال:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

أوجد البسط والمقام.يتكون الكسر من رقمين: الرقم الموجود فوق الخط يسمى البسط ، والرقم الموجود أسفل السطر يسمى المقام. يشير المقام إلى العدد الإجمالي للأجزاء التي ينكسر فيها الكل ، والبسط هو العدد المدروس لهذه الأجزاء.

• على سبيل المثال ، في الكسر ½ ، البسط هو 1 والمقام هو 2.

حدد المقام.إذا كان لكسرين أو أكثر مقامًا مشتركًا ، فإن هذه الكسور لها نفس العدد تحت السطر ، أي في هذه الحالة ، يتم تقسيم جزء كامل إلى نفس عدد الأجزاء. من السهل جدًا إضافة كسور ذات مقام مشترك ، لأن مقام الكسر الكلي سيكون هو نفسه مقام الكسور المضافة. فمثلا:

• الكسران 3/5 و 2/5 لهما مقام مشترك 5.
• الكسور 3/8 ، 5/8 ، 17/8 لها مقام مشترك 8.

أوجد البسط.لإضافة كسور ذات مقام مشترك ، اجمع البسط واكتب النتيجة فوق مقام الكسور المضافة.

• الكسرين 3/5 و 2/5 بهما البسطان 3 و 2.
• تحتوي الكسور 3/8 ، 5/8 ، 17/8 على البسط 3 ، 5 ، 17.

اجمع البسط.في المسألة 3/5 + 2/5 اجمع البسطين 3 + 2 = 5. في المسألة 3/8 + 5/8 + 17/8 اجمع البسطين 3 + 5 + 17 = 25.

اكتب المجموع.تذكر أنه عند جمع الكسور ذات المقام المشترك ، فإنها تظل دون تغيير - تتم إضافة البسط فقط.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

حول الكسر إذا لزم الأمر.في بعض الأحيان ، يمكن كتابة الكسر في صورة عدد صحيح وليس كسرًا مشتركًا أو عشريًا. على سبيل المثال ، الكسر 5/5 يتحول بسهولة إلى 1 ، لأن أي كسر يكون بسطه مساويًا للمقام هو 1. تخيل قطعة دائرية إلى ثلاثة أجزاء. إذا أكلت الأجزاء الثلاثة ، فستأكل الفطيرة (واحدة) كاملة.

• يمكن تحويل أي كسر مشترك إلى عدد عشري ؛ للقيام بذلك ، اقسم البسط على المقام. على سبيل المثال ، يمكن كتابة الكسر 5/8 على النحو التالي: 5 ÷ 8 = 0.625.

بسّط الكسر إن أمكن.الكسر المبسط هو الكسر الذي لا يحتوي البسط والمقام على مقسوم مشترك.

• على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الكسر 3/6. هنا ، لكل من البسط والمقام قاسم مشترك يساوي 3 ، أي أن البسط والمقام يقبلان القسمة تمامًا على 3. لذلك ، يمكن كتابة الكسر 3/6 على النحو التالي: 3 3/6 ÷ 3 = ½.

إذا لزم الأمر ، قم بتحويل الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط (عدد كسري).بالنسبة للكسر غير الفعلي ، يكون البسط أكبر من المقام ، على سبيل المثال 25/8 (بالنسبة للكسر الصحيح ، يكون البسط أقل من المقام). يمكن تحويل الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط ، والذي يتكون من جزء صحيح (أي عدد صحيح) وجزء كسري (أي كسر مناسب). لتحويل كسر غير فعلي مثل 25/8 إلى رقم كسري ، اتبع الخطوات التالية:

• اقسم بسط الكسر غير الفعلي على مقامه ؛ اكتب حاصل القسمة غير المكتمل (الإجابة بأكملها). في مثالنا: 25 8 = 3 زائد بعض الباقي. في هذه الحالة ، الإجابة الكاملة هي الجزء الصحيح من العدد الكسري.
• ابحث عن الباقي. في مثالنا: 8 × 3 = 24 ؛ اطرح النتيجة من البسط الأصلي: 25-24 \ u003d 1 ، أي الباقي هو 1. في هذه الحالة ، الباقي هو بسط الجزء الكسري للعدد الكسري.
• اكتب كسرًا مختلطًا. لا يتغير المقام (أي أنه يساوي مقام الكسر غير الفعلي) ، لذا 25/8 = 3 1/8.

من أصعب الأمور التي يجب على الطالب فهمها هي الأفعال المختلفة ذات الكسور البسيطة. هذا يرجع إلى حقيقة أنه لا يزال من الصعب على الأطفال التفكير بشكل تجريدي ، وأن الكسور ، في الواقع ، تبدو تمامًا مثل ذلك بالنسبة لهم. لذلك ، عند تقديم المادة ، غالبًا ما يلجأ المعلمون إلى المقارنات ويشرحون طرح وإضافة الكسور حرفياً على الأصابع. على الرغم من عدم وجود درس واحد في الرياضيات المدرسية يمكن الاستغناء عن القواعد والتعاريف.

مفاهيم أساسية

قبل الشروع في أي منها ، من المستحسن معرفة بعض التعريفات والقواعد الأساسية. في البداية ، من المهم فهم ماهية الكسر. يقصد به رقم يمثل كسرًا واحدًا أو أكثر من الوحدة. على سبيل المثال ، إذا قطعت رغيفًا إلى 8 أجزاء ووضعت 3 شرائح منها على طبق ، فسيكون 3/8 كسرًا. علاوة على ذلك ، في هذه الكتابة سيكون كسرًا بسيطًا ، حيث يكون الرقم فوق الخط هو البسط ، وتحته المقام. ولكن إذا تمت كتابته على هيئة 0.375 ، فسيكون بالفعل كسرًا عشريًا.

بالإضافة إلى ذلك ، يتم تقسيم الكسور البسيطة إلى كسور منتظمة وغير صحيحة ومختلطة. الأول يشمل كل أولئك الذين بسطهم أقل من المقام. على العكس من ذلك ، إذا كان المقام أقل من البسط ، فسيكون بالفعل كسرًا غير فعلي. إذا كان هناك عدد صحيح أمام العدد الصحيح ، فإنهم يتحدثون عن أرقام مختلطة. وبالتالي ، فإن الكسر 1/2 صحيح ، لكن 7/2 ليس كذلك. وإذا كتبتها على هذا النحو: 3 1/2 ، فسوف تختلط.

لتسهيل فهم ماهية إضافة الكسور ، ولإجرائها بسهولة ، من المهم أيضًا تذكر جوهرها في ما يلي. إذا تم ضرب البسط والمقام في نفس الرقم ، فلن يتغير الكسر. هذه الخاصية هي التي تسمح لك بتنفيذ أبسط الإجراءات مع الكسور العادية وغيرها. في الواقع ، هذا يعني أن 1/15 و 3/45 هما في الواقع نفس الرقم.

جمع الكسور من نفس القواسم

عادة لا يسبب تنفيذ هذا الإجراء صعوبة كبيرة. تشبه إضافة الكسور في هذه الحالة إلى حد كبير إجراءً مشابهًا مع الأعداد الصحيحة. يبقى المقام دون تغيير ، وببساطة يتم جمع البسط معًا. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إضافة الكسور 2/7 و 3/7 ، فسيكون حل مشكلة المدرسة في دفتر الملاحظات كما يلي:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تفسير إضافة الكسور بمثال بسيط. خذ تفاحة عادية واقطعها ، على سبيل المثال ، إلى 8 أجزاء. ضعي أول ثلاثة أجزاء منفصلة ، ثم أضيفي إليها جزئين آخرين ، ونتيجة لذلك ، ستوضع 5/8 تفاحة كاملة في الكوب. تتم كتابة المشكلة الحسابية نفسها كما هو موضح أدناه:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

ولكن غالبًا ما تكون هناك مهام أكثر صعوبة حيث تحتاج إلى الجمع معًا ، على سبيل المثال ، 5/9 و 3/5. هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الصعوبات الأولى في الإجراءات مع الكسور. بعد كل شيء ، تتطلب إضافة هذه الأرقام معرفة إضافية. الآن سوف تحتاج إلى استدعاء ممتلكاتهم الرئيسية بالكامل. لإضافة الكسور من المثال ، يجب أولاً اختزالها إلى مقام مشترك واحد. للقيام بذلك ، تحتاج فقط إلى ضرب 9 و 5 فيما بينها ، وضرب البسط "5" في 5 ، و "3" ، على التوالي ، في 9. وبالتالي ، تمت إضافة هذه الكسور بالفعل: 25/45 و 27/45. الآن يبقى فقط جمع البسط والحصول على الإجابة 52/45. على قطعة من الورق ، قد يبدو المثال كالتالي:

5/9 + 3/5 = (5 × 5) / (9 × 5) + (3 × 9) / (5 × 9) = 25/45 + 27/45 = (25 + 27) / 45 = 52 / 45 = 17/45.

لكن إضافة الكسور بهذه القواسم لا يتطلب دائمًا ضربًا بسيطًا للأرقام الموجودة أسفل السطر. ابحث أولاً عن القاسم المشترك الأصغر. على سبيل المثال ، بالنسبة للكسرين 2/3 و 5/6. بالنسبة لهم ، سيكون هذا هو الرقم 6. لكن الإجابة ليست واضحة دائمًا. في هذه الحالة ، يجدر التذكير بقاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (المختصر LCM) لرقمين.

يُفهم على أنه أقل عامل مشترك بين عددين صحيحين. للعثور عليه ، حلل كل منها إلى عوامل أولية. اكتب الآن تلك التي تظهر مرة واحدة على الأقل في كل رقم. اضربهم معًا واحصل على نفس المقام. في الواقع ، كل شيء يبدو أبسط قليلاً.

على سبيل المثال ، تحتاج إلى جمع الكسور 4/15 و 1/6. إذن ، يتم الحصول على 15 بضرب الأعداد البسيطة 3 و 5 وستة - اثنان وثلاثة. هذا يعني أن المضاعف المشترك الأصغر بالنسبة لهم سيكون 5 × 3 × 2 \ u003d 30. الآن ، بقسمة 30 على مقام الكسر الأول ، نحصل على عامل لبسطه - 2. وبالنسبة للكسر الثاني سيكون الرقم 5. وبالتالي ، يبقى إضافة الكسور العادية 8/30 و 5/30 والحصول على الرد في 13/30. كل شيء بسيط للغاية. في دفتر ملاحظاتك ، يجب أن تكتب هذه المهمة على النحو التالي:

4/15 + 1/6 = (4 × 2) / (15 × 2) + (1 × 5) / (6 × 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

المضاعف المشترك الأصغر (15 ، 6) = 30.

جمع الأعداد الكسرية

الآن ، بعد معرفة جميع الحيل الأساسية في إضافة الكسور البسيطة ، يمكنك تجربة يدك في أمثلة أكثر تعقيدًا. وستكون هذه أعدادًا كسرية ، وتعني بها كسرًا من هذا النوع: 2 2/3. هنا ، الجزء الصحيح مكتوب قبل الكسر المناسب. ويشعر الكثيرون بالارتباك عند القيام بأفعال بهذه الأرقام. في الواقع ، تنطبق نفس القواعد هنا.

لجمع الأعداد الكسرية معًا ، اجمع الأجزاء الكاملة والكسور المناسبة بشكل منفصل. ثم تم تلخيص هاتين النتيجتين بالفعل. من الناحية العملية ، كل شيء أبسط بكثير ، ما عليك سوى التمرين قليلاً. على سبيل المثال ، في مشكلة ما ، تحتاج إلى إضافة الأرقام المختلطة التالية: 1 1/3 و 4 2/5. للقيام بذلك ، قم أولاً بإضافة 1 و 4 للحصول على 5. ثم أضف 1/3 و 2/5 باستخدام أسلوب المقام المشترك الأقل. القرار سيكون 11/15. والإجابة النهائية هي 15 11/15. في دفتر المدرسة ، سيبدو هذا أقصر بكثير:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

جمع الكسور العشرية

بالإضافة إلى الكسور العادية ، هناك أيضًا كسور عشرية. بالمناسبة ، هم أكثر شيوعًا في الحياة. على سبيل المثال ، غالبًا ما يبدو السعر في المتجر كما يلي: 20.3 روبل. هذا هو نفس الكسر. بالطبع ، هذه أسهل بكثير في طيها من العادية. من حيث المبدأ ، تحتاج فقط إلى إضافة رقمين عاديين ، والأهم من ذلك ، وضع الفاصلة في المكان المناسب. هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الصعوبات.

على سبيل المثال ، تحتاج إلى إضافة 2.5 و 0.56. للقيام بذلك بشكل صحيح ، تحتاج إلى إضافة صفر إلى الأول في النهاية ، وسيكون كل شيء على ما يرام.

2,50 + 0,56 = 3,06.

من المهم معرفة أن أي كسر عشري يمكن تحويله إلى كسر بسيط ، ولكن لا يمكن كتابة كل كسر بسيط ككسر عشري. إذن ، من مثالنا 2.5 = 2 1/2 و 0.56 = 14/25. لكن كسرًا مثل 1/6 سيساوي تقريبًا 0.16667 فقط. سيكون نفس الموقف مع أرقام أخرى مماثلة - 2/7 ، 1/9 وما إلى ذلك.

استنتاج

كثير من تلاميذ المدارس ، الذين لا يفهمون الجانب العملي من الإجراءات مع الكسور ، يعاملون هذا الموضوع بلا مبالاة. ومع ذلك ، في المزيد من هذه المعرفة الأساسية سوف تسمح لك بالنقر فوق مثل المكسرات في الأمثلة المعقدة مع اللوغاريتمات وإيجاد المشتقات. وبالتالي ، من المفيد مرة واحدة أن تفهم جيدًا الإجراءات مع الكسور ، بحيث لا تعض مرفقيك لاحقًا بسبب الانزعاج. بعد كل شيء ، من غير المحتمل أن يعود مدرس في المدرسة الثانوية إلى هذا الموضوع الذي تمت تغطيته بالفعل. يجب أن يكون أي طالب في المدرسة الثانوية قادرًا على أداء مثل هذه التمارين.

محتوى الدرس

جمع الكسور من نفس القواسم

جمع الكسور نوعان:

1. جمع الكسور من نفس القواسم
2. جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

لنبدأ بإضافة كسور لها نفس المقامات. كل شيء بسيط هنا. لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال ، لنجمع الكسور و. نجمع البسط ونترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا:

مثال 2اجمع الكسور و.

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا جاءت نهاية المهمة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله فيه. في حالتنا ، يتم تخصيص الجزء الصحيح بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى قسمين. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، فستحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. اجمع الكسور و.

اجمع البسط مجددًا واترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. يجب إضافة البسط وترك المقام دون تغيير:

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا وأضفت المزيد من البيتزا ، ستحصل على بيتزا واحدة كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترى ، فإن جمع الكسور بنفس القواسم ليس بالأمر الصعب. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور من نفس المقام ، تحتاج إلى إضافة البسط ، وترك المقام دون تغيير ؛

جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

الآن سوف نتعلم كيفية جمع كسور ذات مقامات مختلفة. عند جمع الكسور ، يجب أن تكون مقامات تلك الكسور متطابقة. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال ، يمكن إضافة الكسور لأن لها نفس القواسم.

لكن لا يمكن جمع الكسور دفعة واحدة ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

توجد عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سننظر في واحدة منها فقط ، لأن باقي الطرق قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أنه تم البحث عن أول (LCM) من مقامات كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون الشيء نفسه مع الكسر الثاني - يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على العامل الإضافي الثاني.

ثم يتم ضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه الإجراءات ، تتحول الكسور التي لها قواسم مختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور.

مثال 1. اجمع الكسور و

أولًا ، نجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 6

المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6

الآن نعود إلى الكسور و. أولًا ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ونحصل على العامل الإضافي الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. قسّم 6 على 3 ، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو العامل الإضافي الأول. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك ، نقوم بعمل خط مائل صغير فوق الكسر ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. قسّم 6 على 2 ، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو العامل الإضافي الثاني. نكتبه في الكسر الثاني. مرة أخرى ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن نحن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بعواملها الإضافية:

انظر عن كثب إلى ما وصلنا إليه. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

وهكذا ينتهي المثال. لإضافته اتضح.

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا ، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا أخرى:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بإحضار الكسور والمقام المشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس شرائح البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمها هذه المرة إلى حصص متساوية (يتم تقليلها إلى نفس المقام).

يُظهر الرسم الأول كسرًا (أربع قطع من ستة) والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من ستة). بتجميع هذه القطع معًا نحصل على (سبع قطع من ستة). هذا الكسر غير صحيح ، لذلك قمنا بتمييز الجزء الصحيح فيه. وكانت النتيجة (بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

لاحظ أننا رسمنا هذا المثال بتفاصيل أكثر من اللازم. ليس من المعتاد في المؤسسات التعليمية أن تكتب بهذه الطريقة التفصيلية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لهما ، بالإضافة إلى مضاعفة العوامل الإضافية الموجودة في البسط والمقام بسرعة. أثناء وجودنا في المدرسة ، يجب أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:

ولكن هناك أيضًا الوجه الآخر للعملة. إذا لم يتم تدوين الملاحظات التفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات ، فعندئذ أسئلة من هذا النوع "من أين يأتي هذا العدد؟" ، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
2. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر ؛
3. اضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية ؛
4. أضف الكسور التي لها نفس القواسم ؛
5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فحدد الجزء بالكامل ؛

مثال 2أوجد قيمة التعبير .

دعنا نستخدم التعليمات أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأعداد 2 و 3 و 4

الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر

اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. نقسم 12 على 2 ، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه على الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. حصلنا على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه على الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. حصلنا على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه على الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية

نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). يبقى إضافة هذه الكسور. أضف:

لم يتم احتواء الإضافة في سطر واحد ، لذلك نقلنا المقدار المتبقي إلى السطر التالي. هذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتلاءم التعبير مع سطر واحد ، يتم نقله إلى السطر التالي ، ومن الضروري وضع علامة مساوية (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة التساوي في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير فعلي ، فحدد الجزء بالكامل فيها

إجابتنا هي كسر غير فعلي. يجب أن نفرد كل جزء منه. نبرز:

حصلت على إجابة

طرح كسور لها نفس القواسم

هناك نوعان من طرح الكسور:

1. طرح كسور لها نفس القواسم
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

أولًا ، لنتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات نفسها. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك أن تطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وتترك المقام كما هو.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 2أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى ، من بسط الكسر الأول ، اطرح بسط الكسر الثاني ، واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير ؛
2. إذا تبين أن الإجابة كانت كسرًا غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، يمكن طرح كسر من كسر ، لأن هذه الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكن طرح الكسر من الكسر ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

تم إيجاد المقام المشترك وفقًا لنفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول ، والذي يتم كتابته على الكسر الأول. وبالمثل ، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي آخر ، يتم كتابته على الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه العمليات ، تتحول الكسور ذات المقامات المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور.

مثال 1أوجد قيمة التعبير:

هذه الكسور لها قواسم مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا ، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامتي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. نكتب الأربعة على الكسر الأول:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. اكتب ثلاثية على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

حصلت على إجابة

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل عليها.

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. كوننا في المدرسة ، سيتعين علينا حل هذا المثال بطريقة أقصر. سيبدو هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بوصل هذين الكسور إلى مقام مشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا ، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى نفس الكسور (يتم اختزالها إلى نفس المقام):

يُظهر الرسم الأول كسرًا (ثماني قطع من اثني عشر) ، والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من اثني عشر). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه الأجزاء الخمس.

مثال 2أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأعداد 10 و 3 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30

المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30

الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. نقسم 30 على 10 ، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه على الكسر الأول:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 30 على 3 ، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه على الكسر الثاني:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. نقسم 30 على 5 ، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه على الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد ، لذلك ننقل المتابعة إلى السطر التالي. لا تنسَ علامة المساواة (=) في السطر الجديد:

تبين أن الإجابة هي جزء صحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق وقبيح للغاية. يجب أن نجعلها أسهل. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقليل هذا الكسر.

لتقليل الكسر ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على (gcd) العددين 20 و 30.

إذن ، نجد GCD للأرقام 20 و 30:

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط الكسر ومقامه على GCD الموجود ، أي على 10

حصلت على إجابة

ضرب الكسر في رقم

لضرب كسر في رقم ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر المعطى في هذا الرقم ، وترك المقام دون تغيير.

مثال 1. اضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم الإدخال على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا

من قوانين الضرب ، نعلم أنه إذا تم تبادل المضاعف والمضاعف ، فلن يتغير المنتج. إذا تمت كتابة التعبير كـ ، فسيظل المنتج مساويًا لـ. مرة أخرى ، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الإدخال على أنه يأخذ نصف الوحدة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها ، فسنحصل على بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين أربع مرات. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا 4 مرات ، فستحصل على اثنين من البيتزا الكاملة.

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف في أماكن ، فسنحصل على المقدار. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ اثنين من البيتزا من أربع بيتزا كاملة:

العدد الذي يتم ضربه في كسر ومقامه يتم حله إذا كان لديهم قاسم مشترك أكبر من واحد.

على سبيل المثال ، يمكن تقييم التعبير بطريقتين.

اول طريق. اضرب الرقم 4 في بسط الكسر ، واترك مقام الكسر كما هو:

الطريقة الثانية. يمكن ضرب الرباعي والرباعي في مقام الكسر. يمكنك تقليل هذه الأربعة بمقدار 4 ، لأن القاسم المشترك الأكبر لاثنين على أربعة هو الأربعة نفسها:

حصلنا على نفس النتيجة 3. بعد تقليل الأربعة ، يتم تكوين أرقام جديدة في مكانها: اثنان. لكن ضرب الواحد بثلاثة ثم القسمة على واحد لا يغير شيئًا. لذلك ، يمكن كتابة الحل بشكل أقصر:

يمكن إجراء التخفيض حتى عندما قررنا استخدام الطريقة الأولى ، ولكن في مرحلة ضرب الرقم 4 والبسط 3 ، قررنا استخدام الاختزال:

لكن على سبيل المثال ، لا يمكن حساب التعبير إلا بالطريقة الأولى - اضرب 7 في مقام الكسر ، واترك المقام دون تغيير:

هذا يرجع إلى حقيقة أن الرقم 7 ومقام الكسر لا يحتويان على قاسم مشترك أكبر من واحد ، وبالتالي لا يتم اختزالهما.

يختصر بعض الطلاب عن طريق الخطأ الرقم المضاعف وبسط الكسر. لا يمكنك فعل هذا. على سبيل المثال ، الإدخال التالي غير صحيح:

تقليل الكسر يعني ذلك والبسط والمقامسيتم قسمة نفس العدد. في حالة التعبير ، يتم إجراء القسمة في البسط فقط ، لأن الكتابة هي نفسها الكتابة. نرى أن القسمة تتم في البسط فقط ، ولا يوجد قسمة في المقام.

ضرب الكسور

لضرب الكسور ، عليك ضرب البسط والمقام. إذا كانت الإجابة كسرًا غير فعلي ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

مثال 1أوجد قيمة التعبير.

حصلت على إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تصغير الكسر بمقدار 2. ثم يأخذ الحل النهائي الشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:

سنحصل على بيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء:

شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:

بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

تبين أن الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا تم تقليلها. لتقليل هذا الكسر ، عليك قسمة بسط هذا الكسر ومقامه على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 105 و 450.

إذن ، لنجد GCD للرقمين 105 و 450:

نقسم الآن بسط ومقام إجابتنا على GCD التي وجدناها الآن ، أي على 15

تمثيل عدد صحيح في صورة كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ. من هنا لن يغير الخمسة معناها ، لأن التعبير يعني "العدد خمسة مقسومًا على واحد" ، وهذا كما تعلمون يساوي خمسة:

أرقام عكسية

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام للغاية في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس الرقمأ هو الرقم الذي عند ضربهأ يعطي وحدة.

لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس الرقم 5 هو الرقم الذي عند ضربه 5 يعطي وحدة.

هل من الممكن إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل خمسة في صورة كسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، دعونا نضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:

ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في واحد ، يتم الحصول على واحد.

يمكن أيضًا العثور على المقلوب لأي عدد صحيح آخر.

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، يكفي قلبه.

قسمة الكسر على رقم

لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

دعنا نقسمها بالتساوي بين اثنين. كم عدد البيتزا التي سيحصل عليها كل واحد؟

يمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا ، تم الحصول على قطعتين متساويتين ، تشكل كل منهما بيتزا. حتى يحصل الجميع على بيتزا.