القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة مربعة. §7

المتجه X ≠ 0 يسمى ناقل الخاصةعامل خطي بالمصفوفة A ، إذا كان هناك رقم  بحيث AX = X.

في هذه الحالة ، يسمى الرقم  القيمة الذاتيةعامل (مصفوفة أ) المقابلة للمتجه x.

بمعنى آخر ، المتجه الذاتي هو ناقل يتحول ، تحت تأثير عامل خطي ، إلى متجه خطي ، أي فقط اضرب في عدد ما. في المقابل ، يصعب تحويل النواقل غير الصحيحة.

نكتب تعريف eigenvector كنظام من المعادلات:

دعنا ننقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يمكن كتابة النظام الأخير في شكل مصفوفة على النحو التالي:

(أ - E) X \ u003d O

يحتوي النظام الناتج دائمًا على حل صفري X = O. تسمى هذه الأنظمة التي تساوي فيها جميع المصطلحات الحرة صفرًا متجانس. إذا كانت مصفوفة مثل هذا النظام مربعة ، ومحددها لا يساوي الصفر ، فوفقًا لصيغ كرامر ، سنحصل دائمًا على حل فريد - صفر. يمكن إثبات أن النظام لديه حلول غير صفرية إذا وفقط إذا كان محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا ، أي

| A - E | = = 0

تسمى هذه المعادلة ذات المجهول  معادلة مميزة(كثير الحدود المميزة) المصفوفة أ (عامل خطي).

يمكن إثبات أن كثير الحدود المميز لمشغل خطي لا يعتمد على اختيار الأساس.

على سبيل المثال ، لنجد قيم eigenvalues والمتجهات الذاتية للعامل الخطي المعطى بواسطة المصفوفة A =.

للقيام بذلك ، نقوم بتكوين المعادلة المميزة | А - Е | = \ u003d (1 -) 2-36 \ u003d 1 - 2 +  2-36 \ u003d 2 - 2- 35 ؛ د = 4 + 140 = 144 ؛ قيم eigenvalues 1 = (2-12) / 2 = -5 ؛ 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

لإيجاد المتجهات الذاتية ، نحل نظامين من المعادلات

(أ + 5E) س = س

(أ - 7 هـ) س = س

بالنسبة لأولهم ، ستأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

من أين × 2 \ u003d ج ، × 1 + (2/3) ج \ u003d 0 ؛ × 1 \ u003d - (2/3) ث ، أي X (1) \ u003d (- (2/3) ث ؛ ق).

بالنسبة للثاني ، ستأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

من أين × 2 \ u003d ج 1 ، × 1 - (2/3) ج 1 \ u003d 0 ؛ × 1 \ u003d (2/3) ث 1 ، أي X (2) \ u003d ((2/3) ث 1 ؛ ق 1).

وبالتالي ، فإن المتجهات الذاتية لهذا العامل الخطي هي جميع نواقل النموذج (- (2/3) ج ؛ ج) مع القيمة الذاتية (-5) وجميع متجهات النموذج ((2/3) ج 1 ؛ ج 1) مع القيمة الذاتية 7.

يمكن إثبات أن مصفوفة العامل A في الأساس الذي يتكون من متجهاتها الذاتية قطرية ولها الشكل:

أين  أنا هي القيم الذاتية لهذه المصفوفة.

والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت المصفوفة A قطرية في بعض القواعد ، فإن جميع المتجهات لهذا الأساس ستكون متجهات ذاتية لهذه المصفوفة.

يمكن أيضًا إثبات أنه إذا كان للمشغل الخطي n قيم ذاتية متمايزة زوجية ، فإن المتجهات الذاتية المقابلة تكون مستقلة خطيًا ، وتكون مصفوفة هذا العامل في الأساس المقابل لها شكل قطري.

مع المصفوفة A ، إذا كان هناك رقم l مثل AX = lX.

في هذه الحالة ، يتم استدعاء الرقم l القيمة الذاتيةعامل التشغيل (المصفوفة أ) المقابلة للمتجه X.

نكتب تعريف eigenvector كنظام من المعادلات:

دعنا ننقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يمكن كتابة النظام الأخير في شكل مصفوفة على النحو التالي:

(أ - ل) س = س

| أ - لي | = = 0

تسمى هذه المعادلة ذات المجهول l معادلة مميزة (كثير الحدود المميزة) المصفوفة أ (عامل خطي).

يمكن إثبات أن كثير الحدود المميز لمشغل خطي لا يعتمد على اختيار الأساس.

على سبيل المثال ، لنجد قيم eigenvalues والمتجهات الذاتية للعامل الخطي المعطى بواسطة المصفوفة A =.

للقيام بذلك ، نقوم بتكوين المعادلة المميزة | А - lЕ | = \ u003d (1 - l) 2-36 = 1 - 2l + l 2-36 \ u003d l 2 - 2l - 35 \ u003d 0 ؛ د = 4 + 140 = 144 ؛ القيم الذاتية l 1 = (2-12) / 2 = -5 ؛ ل 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

لإيجاد المتجهات الذاتية ، نحل نظامين من المعادلات

(أ + 5E) س = س

(أ - 7 هـ) س = س

بالنسبة لأولهم ، ستأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

من أين × 2 \ u003d ج ، × 1 + (2/3) ج \ u003d 0 ؛ × 1 \ u003d - (2/3) ث ، أي X (1) \ u003d (- (2/3) ث ؛ ق).

بالنسبة للثاني ، ستأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

من أين × 2 \ u003d ج 1 ، × 1 - (2/3) ج 1 \ u003d 0 ؛ × 1 \ u003d (2/3) ث 1 ، أي X (2) \ u003d ((2/3) ث 1 ؛ ق 1).

يمكن إثبات أن مصفوفة العامل A في الأساس الذي يتكون من متجهاتها الذاتية قطرية ولها الشكل:

أين أنا هي القيم الذاتية لهذه المصفوفة.

لنوضح هذا بالمثال السابق. دعونا نأخذ قيمًا غير صفرية تعسفية c و c 1 ، ولكن بحيث تكون المتجهات X (1) و X (2) مستقلة خطيًا ، أي من شأنه أن يشكل الأساس. على سبيل المثال ، دع c \ u003d c 1 \ u003d 3 ، ثم X (1) \ u003d (-2 ؛ 3) ، X (2) \ u003d (2 ؛ 3).

دعونا نتحقق من الاستقلال الخطي لهذه النواقل:

12 ≠ 0. في هذا الأساس الجديد ، ستأخذ المصفوفة A الصورة A * =.

للتحقق من ذلك ، نستخدم الصيغة A * = C -1 AC. لنجد C -1 أولاً.

ج -1 = ;

أشكال تربيعية

شكل تربيعي f (x 1، x 2، x n) من متغيرات n تسمى المجموع ، كل مصطلح يكون إما مربع أحد المتغيرات ، أو ناتج متغيرين مختلفين ، مأخوذين بمعامل معين: f (x 1 ، x 2، x n) = (a ij = a ji).

تسمى المصفوفة A المكونة من هذه المعاملات مصفوفةشكل تربيعي. إنه دائما متماثلمصفوفة (أي مصفوفة متماثلة حول القطر الرئيسي ، a ij = a ji).

في تدوين المصفوفة ، يكون للصورة التربيعية الشكل f (X) = X T AX ، حيث

في الواقع

على سبيل المثال ، لنكتب الصيغة التربيعية في صورة مصفوفة.

للقيام بذلك ، نجد مصفوفة ذات صورة تربيعية. تساوي عناصرها القطرية المعاملات في مربعات المتغيرات ، والعناصر المتبقية تساوي نصف المعاملات المقابلة للصيغة التربيعية. لهذا

دع عمود المصفوفة للمتغيرات X يتم الحصول عليه من خلال تحويل خطي غير متولد لعمود المصفوفة Y ، أي X = CY ، حيث C هي مصفوفة غير متحللة من الرتبة n. ثم الصيغة التربيعية f (X) = X T AX = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y.

وهكذا ، في ظل التحويل الخطي غير المتحلل C ، تأخذ مصفوفة الصيغة التربيعية الشكل: A * = C T AC.

على سبيل المثال ، لنجد الصيغة التربيعية f (y 1، y 2) التي تم الحصول عليها من الصيغة التربيعية f (x 1، x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 بواسطة تحويل خطي.

يسمى الشكل التربيعي العنوان الأساسي(لديها عرض الكنسي) إذا كانت جميع معاملاتها a ij = 0 لـ i ≠ j ، أي
و (س 1 ، س 2 ، س ن) = أ 11 × 1 2 + أ 22 × 2 2 + أ ن ن × ن 2 =.

مصفوفته قطرية.

نظرية(الدليل غير معطى هنا). يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى شكل أساسي باستخدام تحويل خطي غير متحلل.

على سبيل المثال ، دعونا نختزل الشكل التربيعي إلى الشكل المتعارف عليه
f (x 1، x 2، x 3) \ u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

للقيام بذلك ، حدد أولاً المربع الكامل للمتغير x 1:

f (x 1، x 2، x 3) \ u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \ u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2-5 × 2 2 - × 2 × 3.

الآن نختار المربع الكامل للمتغير x 2:

f (x 1، x 2، x 3) \ u003d 2 (x 1 + x 2) 2-5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) × 3 2 =
\ u003d 2 (x 1 + x 2) 2-5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

ثم التحويل الخطي غير المتدهور y 1 \ u003d x 1 + x 2، y 2 \ u003d x 2 + (1/10) x 3 and y 3 \ u003d x 3 يجلب هذا النموذج التربيعي إلى الشكل الكنسي f (y 1 ، y 2، y 3) = 2y 1 2-5y 2 2 + (1/20) y 3 2.

لاحظ أن الشكل الأساسي للشكل التربيعي يتم تعريفه بشكل غامض (يمكن اختزال نفس الشكل التربيعي إلى الشكل المتعارف عليه بطرق مختلفة). ومع ذلك ، فإن الأشكال الأساسية التي تم الحصول عليها بطرق مختلفة لها عدد من الخصائص المشتركة. على وجه الخصوص ، لا يعتمد عدد المصطلحات ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) للصيغة التربيعية على كيفية اختزال النموذج إلى هذا النموذج (على سبيل المثال ، في المثال المدروس سيكون هناك دائمًا معاملان سالبان ومعامل واحد إيجابي). هذه الخاصية تسمى قانون القصور الذاتيأشكال تربيعية.

دعونا نتحقق من ذلك عن طريق اختزال نفس الشكل التربيعي إلى الشكل الأساسي بطريقة مختلفة. لنبدأ التحويل بالمتغير x 2:

f (x 1، x 2، x 3) \ u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \ u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \ u003d - 3 (× 2 2 +
+ 2 * × 2 ((1/6) × 3 - (2/3) × 1) + ((1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2) + 3 ((1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2 + 2 × 1 2 =
\ u003d -3 (× 2 + (1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2 + 3 ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d و (ص 1 ، ص 2 ، ص 3) = -3 ص 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2 ، حيث y 1 \ u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3، y 2 \ u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 و y 3 = x 1. هنا ، معامل سالب -3 عند y 1 ومعاملان موجبان 3 و 2 عند y 2 و y 3 (وباستخدام طريقة أخرى ، حصلنا على معامل سالب (-5) عند y 2 ومعاملان موجبان: 2 عند y 1 و 1/20 لص 3).

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن رتبة مصفوفة ذات شكل تربيعي تسمى رتبة الشكل التربيعي، يساوي عدد المعاملات غير الصفرية للصيغة المتعارف عليها ولا تتغير في ظل التحولات الخطية.

يسمى الشكل التربيعي f (X) بشكل ايجابي (نفي) تأكيد، إذا كانت جميع قيم المتغيرات التي لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، تكون موجبة ، أي f (X)> 0 (سلبي ، أي
و (X)< 0).

على سبيل المثال ، الصيغة التربيعية f 1 (X) \ u003d x 1 2 + x 2 2 هي موجبة محددة ، لأن هو مجموع المربعات ، والصيغة التربيعية f 2 (X) \ u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 سلبية محددة ، لأن يمثل أنه يمكن تمثيله كـ f 2 (X) \ u003d - (x 1 - x 2) 2.

في معظم المواقف العملية ، يكون من الأصعب إلى حد ما تحديد دقة الإشارة لشكل تربيعي ، لذلك يتم استخدام إحدى النظريات التالية لهذا (نصيغها بدون براهين).

نظرية. يكون الشكل التربيعي موجبًا (سلبيًا) محددًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية لمصفوفته موجبة (سلبية).

نظرية(معيار سيلفستر). يكون الشكل التربيعي محددًا إذا وفقط إذا كان جميع القاصرين الأساسيين في المصفوفة من هذا النموذج موجبين.

رئيسي (ركن) ثانوييُطلق على الترتيب k-th للمصفوفة A بالترتيب n-th محدد المصفوفة ، ويتألف من الصفوف والأعمدة k الأولى من المصفوفة A ().

لاحظ أنه بالنسبة للصيغ التربيعية السلبية المحددة ، فإن علامات القاصرين الأساسيين يجب أن تكون بديلة ، ويجب أن تكون علامة القاصر من الدرجة الأولى سالبة.

على سبيل المثال ، نفحص الصيغة التربيعية f (x 1، x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 من أجل دقة الإشارة.

= (2 - لتر) *
* (3 - لتر) - 4 \ u003d (6-2 لتر - 3 لتر + لتر 2) - 4 \ u003d لتر 2-5 لتر + 2 \ u003d 0 ؛ د = 25-8 = 17 ؛
. لذلك ، فإن الشكل التربيعي موجب محدد.

الطريقة الثانية: الصغرى الرئيسية من الرتبة الأولى للمصفوفة أ د 1 = أ 11 = 2> 0. الصغرى الرئيسية من الرتبة الثانية د 2 = = 6 - 4 = 2> 0. لذلك ، وفقًا لمعيار سيلفستر ، الشكل التربيعي موجب محدد.

نفحص نموذجًا تربيعيًا آخر لتعريف الإشارة ، f (x 1، x 2) \ u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة من الصيغة التربيعية А =. سيكون للمعادلة المميزة الشكل = (-2 - ل) *
* (- 3 - لتر) - 4 = (6 + 2 لتر + 3 لتر + لتر 2) - 4 = 2 + 5 لتر + 2 = 0 ؛ د = 25-8 = 17 ؛
. لذلك ، فإن الشكل التربيعي هو سلبي محدد.

الطريقة الثانية. الصغرى الرئيسية من الرتبة الأولى للمصفوفة أ د 1 = أ 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. لذلك ، وفقًا لمعيار سيلفستر ، يكون الشكل التربيعي سلبيًا محددًا (تتناوب علامات القاصرين الرئيسيين ، بدءًا من ناقص).

وكمثال آخر ، قمنا بفحص الصيغة التربيعية f (x 1، x 2) \ u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 لتعريف الإشارة.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة من الصيغة التربيعية А =. سيكون للمعادلة المميزة الشكل = (2 - لتر) *
* (- 3 - لتر) - 4 = (-6 - 2 لتر + 3 لتر + لتر 2) - 4 = لتر 2 + لتر - 10 = 0 ؛ د = 1 + 40 = 41 ؛
.

أحد هذين الرقمين سالب والآخر موجب. علامات القيم الذاتية مختلفة. لذلك ، لا يمكن أن يكون الشكل التربيعي إما سالبًا أو موجبًا محددًا ، أي هذا الشكل التربيعي ليس علامة محددة (يمكن أن يأخذ قيمًا من أي علامة).

الطريقة الثانية. الصغرى الرئيسية من الرتبة الأولى للمصفوفة أ د 1 = أ 11 = 2> 0. الصغرى الرئيسية من الرتبة الثانية د 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

في الصورة ، نرى تحويلات التحول التي تحدث مع Gioconda. المتجه الأزرق يغير اتجاهه ، لكن اللون الأحمر لا يتغير. لذلك ، فإن اللون الأحمر هو ناقل ذاتي لمثل هذا التحول ، في حين أن اللون الأزرق ليس كذلك. نظرًا لأن المتجه الأحمر لا يتمدد ولا يتقلص ، فإن قيمته الذاتية واحدة. جميع النواقل التي تربطها علاقة خطية متداخلة مع اللون الأحمر هي أيضًا نواقل ذاتية (eng. المتجه الذاتي)مصفوفة مربعة (C القيمة الذاتية(إنجليزي) القيمة الذاتية)) هو متجه غير صفري ، حيث العلاقة

أين؟ إنه عدد قياسي محدد ، أي رقم حقيقي أو معقد.
وهذا هو ، المتجهات الذاتية للمصفوفة أهي نواقل غير صفرية ، والتي ، تحت تأثير التحويل الخطي ، يتم إعطاؤها بواسطة المصفوفة ألا تغير الاتجاه ، ولكن يمكن تغيير الطول بعامل ؟.
المصفوفة لا تحتوي على أكثر من نالمتجهات الذاتية والقيم الذاتية المقابلة لها.
العلاقة (*) منطقية أيضًا لمشغل خطي في مساحة متجه الخامس.إذا كانت هذه المساحة ذات أبعاد محدودة ، فيمكن كتابة العامل كمصفوفة فيما يتعلق بأساس محدد الخامس.
منذ أن تم تعيين المتجهات الذاتية والقيم الذاتية دون استخدام الإحداثيات ، بغض النظر عن اختيار الأساس. لذلك ، فإن المصفوفات المتشابهة لها نفس القيم الذاتية.
تلعب نظرية هاملتون كايلي الدور الرائد في فهم القيم الذاتية للمصفوفات. ويترتب على ذلك أن القيم الذاتية للمصفوفة أوهي فقط جذور كثير الحدود المميز للمصفوفة أ:

ص (?) هي كثيرة الحدود من الدرجة ن،ومن ثم ، من خلال النظرية الأساسية للجبر ، هناك بالضبط نقيم eigenvalues المعقدة ، مع مراعاة تعددها.
لذا فإن المصفوفة ألا يوجد لديه المزيد نقيم eigenvalues (لكن مجموعة من المتجهات الذاتية لكل منها).
نكتب كثير الحدود المميز من حيث جذوره:

يسمى تعدد جذر كثير الحدود المميز للمصفوفة تعدد جبريالقيمة الذاتية
تسمى مجموعة جميع القيم الذاتية لمصفوفة أو عامل خطي في فضاء متجه ذي أبعاد محدودة نطاقمصفوفة أو عامل خطي. (تم تعديل هذا المصطلح للمساحات المتجهة للعالم غير البشرة: بشكل عام ، يمكن أن يكون هناك أعضاء في طيف المشغل ليسوا قيمًا ذاتية.)
نظرًا لاتصال كثير الحدود المميز للمصفوفة بقيمها الذاتية ، يُطلق على الأخيرة أيضًا أرقام مميزةالمصفوفات.
لكل قيمة ذاتية ، نحصل على نظام المعادلات الخاص بنا:

ماذا سيكون حلول مستقلة خطيًا.
تشكل مجموعة جميع حلول النظام فضاءًا فرعيًا خطيًا من البعد ويسمى الفضاء الخاصة(إنجليزي) eigenspace)المصفوفات ذات القيمة الذاتية.
يسمى البعد من الفضاء المناسب تعدد هندسيالمقابلة eigenvalue ؟.
جميع المساحات المناسبة هي مساحات فرعية ثابتة لـ.
إذا كان هناك ما لا يقل عن اثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا مع نفس القيمة الذاتية ؟، فإن مثل هذه القيمة الذاتية تسمى تتدهور.تُستخدم هذه المصطلحات بشكل أساسي عندما تكون التعددية الهندسية والجبرية لقيم eigenvalues هي نفسها ، على سبيل المثال ، لمصفوفات Hermitian.

حيث - مصفوفة مربعة الحجم nxn- العمود الذي يكون متجهًا ، A - هذه مصفوفة قطرية مع القيم المقابلة.

مشكلة القيمة الذاتية هي مشكلة إيجاد المتجهات الذاتية وأرقام المصفوفة.
بالتعريف (باستخدام المعادلة المميزة) ، يمكن العثور فقط على القيم الذاتية لمصفوفات ذات أبعاد أقل من خمسة. المعادلة المميزة لها درجة مساوية لدرجة المصفوفة. للحصول على درجات كبيرة من إيجاد حلول للمعادلة ، تصبح مشكلة كبيرة ، لذلك يتم استخدام طرق عددية مختلفة.
تتطلب المهام المختلفة الحصول على عدد مختلف من القيم الذاتية. لذلك ، هناك العديد من المشكلات المتعلقة بإيجاد قيم eigenvalues ، حيث يستخدم كل منها طريقته الخاصة.
يبدو أن مشكلة القيمة الذاتية الجزئية هي مشكلة جزئية كاملة ، ويتم حلها بنفس الطرق مثل المشكلة الكاملة. ومع ذلك ، فإن الطرق المطبقة على مشاكل معينة أكثر كفاءة ، وبالتالي ، يمكن تطبيقها على مصفوفات ذات أبعاد كبيرة (على سبيل المثال ، في الفيزياء النووية ، توجد مشاكل في إيجاد القيم الذاتية لمصفوفات الأبعاد 10 3-10 6) .
طريقة جاكوبي

واحدة من أقدم الطرق وأكثرها عمومية لحل مشكلة القيمة الذاتية الكاملة هي طريقة جاكوبي ، التي نُشرت لأول مرة في عام 1846.
يتم تطبيق الطريقة على مصفوفة متماثلة أ
هذه خوارزمية تكرارية بسيطة يتم فيها حساب مصفوفة eigenvector بواسطة سلسلة من المضاعفات.

القيم الذاتية (الأرقام) والمتجهات الذاتية.
أمثلة الحل

كن نفسك

من كلا المعادلتين يتبع ذلك.

لنضع بعد ذلك: .

نتيجة ل: هو ناقل eigenvector الثاني.

دعنا نلخص النقاط المهمة:

- النظام الناتج له بالتأكيد حل عام (المعادلات تعتمد خطيًا) ؛

- يتم تحديد "Y" بطريقة تجعله عددًا صحيحًا ويكون الإحداثي الأول "x" عددًا صحيحًا وموجبًا وصغيرًا قدر الإمكان.

- نتحقق من أن الحل المعين يلبي كل معادلة في النظام.

إجابه .

كانت "نقاط التفتيش" الوسيطة كافية ، لذا فإن التحقق من المساواة ، من حيث المبدأ ، غير ضروري.

في مصادر المعلومات المختلفة ، غالبًا ما تتم كتابة إحداثيات المتجهات الذاتية ليس في أعمدة ، ولكن في صفوف ، على سبيل المثال: (ولكي أكون صادقًا ، كنت أكتبها في سطور). هذا الخيار مقبول ولكن في ضوء الموضوع التحولات الخطيةمن الناحية الفنية أكثر ملاءمة للاستخدام ناقلات العمود.

ربما بدا لك الحل طويلًا جدًا ، لكن هذا فقط لأنني علقت على المثال الأول بتفصيل كبير.

مثال 2

المصفوفات

نحن نتدرب بمفردنا! عينة تقريبية من التصميم النهائي للمهمة في نهاية الدرس.

تحتاج أحيانًا إلى أداء مهمة إضافية ، وهي:

اكتب التحلل الكنسي للمصفوفة

ما هذا؟

إذا تم تشكيل المتجهات الذاتية للمصفوفة أساس، ثم يمكن تمثيلها على النحو التالي:

أين توجد مصفوفة تتكون من إحداثيات المتجهات الذاتية ، - قطريمصفوفة مع القيم الذاتية المقابلة.

يسمى هذا تحلل المصفوفة العنوان الأساسيأو قطري.

تأمل مصفوفة المثال الأول. نواقلها الخاصة مستقل خطيا(غير خطية متداخلة) وتشكل أساسًا. لنصنع مصفوفة من إحداثياتها:

على ال قطري رئيسيالمصفوفات بالترتيب المناسبتوجد قيم eigenvalues ، والعناصر المتبقية تساوي الصفر:
- أؤكد مرة أخرى على أهمية الترتيب: "اثنان" يتوافق مع المتجه الأول وبالتالي يقع في العمود الأول ، "ثلاثة" - إلى المتجه الثاني.

وفقًا للخوارزمية المعتادة للبحث مصفوفة معكوسةأو طريقة جاوس جوردانتجد . لا ، هذا ليس خطأ مطبعي! - أمامك حدث نادر ، مثل كسوف الشمس ، عندما يتزامن العكس مع المصفوفة الأصلية.

يبقى لكتابة التحلل الكنسي للمصفوفة:

يمكن حل النظام باستخدام التحولات الأولية وفي الأمثلة التالية سوف نلجأ إلى هذه الطريقة. ولكن هنا تعمل طريقة "المدرسة" بشكل أسرع. من المعادلة الثالثة نعبر عن: - استبدل المعادلة الثانية:

نظرًا لأن الإحداثي الأول هو صفر ، فإننا نحصل على نظام يتبعه من كل معادلة.

ومره اخرى انتبه إلى الوجود الإلزامي لعلاقة خطية. إذا تم الحصول على حل تافه فقط ، ثم إما أنه تم العثور على قيمة eigenvalue بشكل غير صحيح ، أو تم تجميع / حل النظام مع وجود خطأ.

الإحداثيات المدمجة تعطي قيمة

المتجه الذاتي:

ومرة أخرى ، نتحقق من أن الحل الذي تم العثور عليه يرضي كل معادلة النظام. في الفقرات التالية وفي المهام اللاحقة ، أوصي بقبول هذه الرغبة كقاعدة إلزامية.

2) بالنسبة للقيمة الذاتية ، باتباع نفس المبدأ ، نحصل على النظام التالي:

من المعادلة الثانية للنظام نعبر عن: - استبدل المعادلة الثالثة:

نظرًا لأن الإحداثي "Z" يساوي صفرًا ، فإننا نحصل على نظام ، من كل معادلة يتبعها اعتماد خطي.

يترك

نتحقق من أن الحل يرضي كل معادلة النظام.

وهكذا ، فإن المتجه الذاتي:.

3) وأخيرًا ، يتوافق النظام مع قيمته الخاصة:

تبدو المعادلة الثانية هي الأبسط ، لذا فإننا نعبر عنها ونستبدلها في المعادلتين الأولى والثالثة:

كل شيء على ما يرام - تم الكشف عن تبعية خطية ، نستبدلها في التعبير:

نتيجة لذلك ، تم التعبير عن "X" و "Y" من خلال "Z":. في الممارسة العملية ، ليس من الضروري تحقيق مثل هذه العلاقات فقط ؛ في بعض الحالات يكون من الأنسب التعبير عن كل من خلال أو من خلال. أو حتى "قطار" - على سبيل المثال ، "X" حتى "Y" و "Y" حتى "Z"

لنضع بعد ذلك:

نتحقق من أن الحل الذي تم العثور عليه يفي بكل معادلة من النظام ويكتب المتجه الذاتي الثالث

إجابه: المتجهات الذاتية:

هندسيًا ، تحدد هذه المتجهات ثلاثة اتجاهات مكانية مختلفة ("هناك والعودة مرة أخرى")، وفقًا لذلك التحول الخطييحول المتجهات غير الصفرية (المتجهات الذاتية) إلى نواقل تربطها علاقة خطية.

إذا كان الشرط مطلوبًا لإيجاد توسع متعارف عليه ، فهذا ممكن هنا ، لأن تتوافق قيم eigenvalues المختلفة مع متجهات ذاتية مختلفة مستقلة خطيًا. نصنع مصفوفة من إحداثياتهم ، المصفوفة القطرية من ذو صلةقيم eigenvalues والبحث مصفوفة معكوسة .

إذا ، وفقًا للشرط ، من الضروري الكتابة مصفوفة التحويل الخطي على أساس المتجهات الذاتية، ثم نعطي الإجابة بالصيغة. هناك فرق وفرق كبير!لهذه المصفوفة هي المصفوفة "دي".

مشكلة في عمليات حسابية أبسط لحل مستقل:

مثال 5

أوجد المتجهات الذاتية للتحويل الخطي المعطى بواسطة المصفوفة

عند العثور على الأرقام الخاصة بك ، حاول عدم إحضار الحالة إلى كثير الحدود من الدرجة الثالثة. بالإضافة إلى ذلك ، قد تختلف حلول نظامك عن حلولي - لا يوجد غموض هنا ؛ والمتجهات التي تجدها قد تختلف عن متجهات العينة حتى التناسب مع إحداثيات كل منها. على سبيل المثال ، و. من الممتع أكثر من الناحية الجمالية تقديم الإجابة في شكل ، ولكن لا بأس إذا توقفت عند الخيار الثاني. ومع ذلك ، هناك حدود معقولة لكل شيء ، الإصدار لا يبدو جيدًا بعد الآن.

عينة نهائية تقريبية من الواجب في نهاية الدرس.

كيف تحل المشكلة في حالة القيم الذاتية المتعددة؟

تظل الخوارزمية العامة كما هي ، لكن لها خصائصها الخاصة ، ويُنصح بالحفاظ على بعض أجزاء الحل بأسلوب أكاديمي أكثر صرامة:

مثال 6

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

المحلول

بالطبع ، دعنا نستفيد من العمود الأول الرائع:

وبعد تحليل المربع ثلاثي الحدود:

نتيجة لذلك ، يتم الحصول على قيم eigenvalues ، اثنان منها مضاعفات.

لنجد المتجهات الذاتية:

1) سنتعامل مع جندي منفرد وفق مخطط "مبسط":

من المعادلتين الأخيرتين ، المساواة واضحة للعيان ، والتي من الواضح أنه يجب استبدالها في المعادلة الأولى للنظام:

لا يوجد مزيج أفضل:
المتجه الذاتي:

2-3) الآن نقوم بإزالة اثنين من الحراس. في هذه الحالة ، قد يكون إما اثنين أو واحدناقل eigenvector. بغض النظر عن تعدد الجذور ، نعوض بالقيمة في المحدد ، وهو ما يجلب لنا ما يلي نظام متجانس من المعادلات الخطية:

المتجهات الذاتية هي النواقل بالضبط
نظام القرار الأساسي

في الواقع ، طوال الدرس ، كنا منشغلين فقط في إيجاد متجهات النظام الأساسي. فقط في الوقت الحالي ، لم يكن هذا المصطلح مطلوبًا بشكل خاص. بالمناسبة ، هؤلاء الطلاب الماهرون الذين ، في التمويه معادلات متجانسةستضطر إلى تدخينه الآن.

كان الإجراء الوحيد هو إزالة الأسطر الزائدة. والنتيجة هي مصفوفة "واحد في ثلاثة" مع "خطوة" رسمية في المنتصف.
- المتغير الأساسي - المتغيرات الحرة. هناك نوعان من المتغيرات الحرة ، لذلك هناك أيضًا متجهان للنظام الأساسي.

دعنا نعبر عن المتغير الأساسي من حيث المتغيرات الحرة:. يسمح عامل الصفر الموجود أمام "x" بأخذ أي قيم على الإطلاق (وهو ما يمكن رؤيته بوضوح من نظام المعادلات).

في سياق هذه المشكلة ، من الأنسب كتابة الحل العام ليس على التوالي ، ولكن في عمود:

الزوج يتوافق مع eigenvector:
الزوج يتوافق مع eigenvector:

ملحوظة : يمكن للقراء المحنكين أن يلتقطوا هذه المتجهات شفهيًا - فقط عن طريق تحليل النظام ، ولكن هناك حاجة إلى بعض المعرفة هنا: هناك ثلاثة متغيرات ، رتبة مصفوفة النظام- الوحدة تعني نظام القرار الأساسييتكون من 3-1 = 2 نواقل. ومع ذلك ، فإن النواقل التي تم العثور عليها مرئية تمامًا حتى بدون هذه المعرفة ، على مستوى حدسي بحت. في هذه الحالة ، سيتم كتابة المتجه الثالث "بشكل أكثر جمالًا":. ومع ذلك ، أحذرك ، في مثال آخر ، قد لا يكون هناك اختيار بسيط ، وهذا هو السبب في أن الحجز مخصص للأشخاص ذوي الخبرة. علاوة على ذلك ، لماذا لا نعتبر المتجه الثالث ، على سبيل المثال ،؟ بعد كل شيء ، فإن إحداثياته تلبي أيضًا كل معادلة للنظام والمتجهات مستقلة خطيًا. هذا الخيار ، من حيث المبدأ ، مناسب ، لكنه "ملتو" ، لأن المتجه "الآخر" هو مزيج خطي من نواقل النظام الأساسي.

إجابه: القيم الذاتية: ، المتجهات الذاتية:

مثال مشابه لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 7

ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

عينة تقريبية للانتهاء في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أنه في كلا المثالين السادس والسابع ، تم الحصول على ثلاثية من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا ، وبالتالي يمكن تمثيل المصفوفة الأصلية في التوسع القانوني. لكن مثل هذه التوت لا تحدث في جميع الحالات:

المثال 8