خاصية الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع. متوازي الأضلاع وخصائصه

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية. يوضح الشكل التالي متوازي الأضلاع ABCD. الضلع AB يوازي الضلع CD والجانب BC يوازي الضلع AD.

كما قد تكون خمنت ، متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب. ضع في اعتبارك الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع.

خصائص متوازي الأضلاع

1. في متوازي الأضلاع ، الزوايا المتقابلة والأضلاع المتقابلة متساوية. دعنا نثبت هذه الخاصية - ضع في اعتبارك متوازي الأضلاع الموضح في الشكل التالي.

يقسمها قطري BD إلى مثلثين متساويين: ABD و CBD. إنهما متساويان في الضلع BD وزاويتان مجاورتان له ، لأن الزاويتين الواقعتين عند القاطع BD هما الخطان المتوازيان BC و AD و AB و CD على التوالي. لذلك ، AB = CD و
BC = م. ومن مساواة الزوايا 1 و 2 و 3 و 4 تتبع الزاوية أ = الزاوية 1 + الزاوية 3 = الزاوية 2 + الزاوية 4 = الزاوية ج.

2. يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع. اجعل النقطة O هي نقطة تقاطع الأقطار AC و BD من متوازي الأضلاع ABCD.

ثم المثلث AOB والمثلث COD متساويان ، على طول الضلع وزاويتين متجاورتين له. (AB = CD لأنهما جانبان متقابلان من متوازي الأضلاع. والزاوية 1 = الزاوية 2 والزاوية 3 = الزاوية 4 كزاوية متقاطعة عند تقاطع الخطين AB و CD بواسطة القاطعين AC و BD على التوالي.) ويتبع ذلك أن AO = OC و OB = OD ، والتي يجب إثباتها.

جميع الخصائص الرئيسية موضحة في الأشكال الثلاثة التالية.

مفهوم متوازي الأضلاع

التعريف 1

متوازي الاضلاعهو شكل رباعي حيث الأضلاع المتقابلة موازية لبعضها البعض (الشكل 1).

الصورة 1.

متوازي الأضلاع له خاصيتان رئيسيتان. دعونا نعتبرها بدون دليل.

خاصية 1: الأضلاع والزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية ، على التوالي ، مع بعضها البعض.

الخاصية 2: يتم تقسيم الأقطار المرسومة في متوازي الأضلاع من خلال نقطة تقاطعها.

ميزات متوازي الأضلاع

ضع في اعتبارك ثلاث سمات متوازي الأضلاع وقدمها في شكل نظريات.

نظرية 1

إذا كان ضلعان في الشكل الرباعي متساويين ومتوازيين أيضًا ، فسيكون هذا الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

دليل - إثبات.

لنحصل على الشكل الرباعي $ ABCD $. حيث $ AB || CD $ و $ AB = CD $ دعنا نرسم فيه $ AC $ قطري (الشكل 2).

الشكل 2.

ضع في اعتبارك الخطوط المتوازية $ AB $ و $ CD $ ورابطهما $ AC $. ثم

\ [\ زاوية كاب = \ زاوية دكا \]

مثل الزوايا العرضية.

وفقًا لمعيار $ I $ للمساواة بين المثلثات ،

بما أن $ AC $ هو الجانب المشترك بينهما ، و $ AB = CD $ بالافتراض. وسائل

\ [\ زاوية DAC = \ زاوية ACB \]

ضع في اعتبارك السطور $ AD $ و $ CB $ وقاطعهما $ AC $ ؛ بالمساواة الأخيرة للزوايا المتقاطعة ، نحصل على $ AD || CB $.) لذلك ، من خلال تعريف $ 1 $ ، هذا رباعي الأضلاع متوازي الأضلاع.

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 2

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية ، فهذا يعني أنها متوازي أضلاع.

دليل - إثبات.

لنحصل على الشكل الرباعي $ ABCD $. حيث $ AD = BC $ و $ AB = CD $. دعونا نرسم فيه $ AC $ قطري (الشكل 3).

الشكل 3

نظرًا لأن $ AD = BC $ ، و $ AB = CD $ ، و $ AC $ جانب مشترك ، ثم من خلال اختبار مساواة المثلث $ III $ ،

\ [\ مثلث DAC = \ مثلث ACB \]

\ [\ زاوية DAC = \ زاوية ACB \]

ضع في اعتبارك السطور $ AD $ و $ CB $ وقاطعهما $ AC $ ، من خلال المساواة الأخيرة للزوايا المتقاطعة نحصل على $ AD || CB $. لذلك ، بتعريف $ 1 $ ، هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

\ [\ زاوية DCA = \ زاوية كاب \]

ضع في اعتبارك السطور $ AB $ و $ CD $ وقاطعهما $ AC $ ، من خلال المساواة الأخيرة للزوايا المتقاطعة نحصل على $ AB || CD $. لذلك ، وفقًا للتعريف 1 ، هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 3

إذا تم تقسيم الأقطار المرسومة في شكل رباعي إلى جزأين متساويين من خلال نقطة تقاطعهما ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل - إثبات.

لنحصل على الشكل الرباعي $ ABCD $. دعونا نرسم الأقطار $ AC $ و $ BD $ فيه. دعهم يتقاطعون عند النقطة $ O $ (الشكل 4).

الشكل 4

نظرًا لأن الشرط $ BO = OD ، \ AO = OC $ ، والزوايا $ \ angle COB = \ angle DOA $ عمودية ، إذن ، من خلال اختبار مساواة المثلث $ I $ ،

\ [\ مثلث BOC = \ مثلث AOD \]

\ [\ زاوية DBC = \ زاوية BDA \]

ضع في اعتبارك السطور $ BC $ و $ AD $ وقاطعهما $ BD $ ، من خلال المساواة الأخيرة للزوايا المتقاطعة نحصل على $ BC || AD $. أيضًا $ BC = AD $. لذلك ، وفقًا للنظرية $ 1 $ ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

مخطط الدرس.

الجبر الصف الثامن

المعلم Sysoi A.K.

المدرسة 1828

موضوع الدرس: "متوازي الأضلاع وخصائصه"

نوع الدرس: مشترك

أهداف الدرس:

1) ضمان استيعاب مفهوم جديد - متوازي أضلاع وخصائصه

2) الاستمرار في تطوير المهارات والقدرات لحل المشكلات الهندسية.

3) تنمية ثقافة الكلام الرياضي

خطة الدرس:

1. لحظة تنظيمية

(شريحة 1)

تعرض الشريحة بيان لويس كارول. يتم إطلاع الطلاب على الغرض من الدرس. يتم التحقق من استعداد الطلاب للدرس.

2. تحديث المعرفة

(الشريحة 2)

على متن مهام العمل الشفوي. يدعو المعلم الطلاب إلى التفكير في هذه المشكلات ورفع أيديهم لمن يفهم كيفية حل المشكلة. بعد حل مشكلتين ، يتم استدعاء الطالب إلى السبورة لإثبات النظرية على مجموع الزوايا ، والذي يقوم بشكل مستقل بعمل إنشاءات إضافية على الرسم ويثبت النظرية شفهيًا.

يستخدم الطلاب معادلة مجموع زوايا المضلع:

3. الجسم الرئيسي

(الشريحة 3)

على السبورة تعريف متوازي الأضلاع. يتحدث المعلم عن شكل جديد ويصوغ تعريفًا ، مع تقديم التفسيرات اللازمة باستخدام الرسم. بعد ذلك ، في الجزء ذي المربعات من العرض التقديمي ، باستخدام علامة ومسطرة ، يوضح كيفية رسم متوازي أضلاع (عدة حالات ممكنة)

(الشريحة 4)

يصوغ المعلم الخاصية الأولى لمتوازي الأضلاع. يدعو الطلاب ليقولوا ، حسب الصورة ، ما يُعطى وما يحتاج إلى إثبات. بعد ذلك ، تظهر المهمة المحددة على السبورة. يخمن الطلاب (ربما بمساعدة المعلم) أنه يجب إثبات المساواة المرغوبة من خلال مساواة المثلثات ، والتي يمكن الحصول عليها عن طريق رسم قطري (يظهر قطري على السبورة). بعد ذلك ، يخمن الطلاب سبب تساوي المثلثات ويستدعون علامة المساواة بين المثلثات (يظهر الشكل المقابل). نقل الحقائق الضرورية للمساواة بين المثلثات شفهيًا (كما يسمونها ، يظهر التصور المقابل). بعد ذلك ، يقوم الطلاب بصياغة خاصية المثلثات المتساوية ، تظهر في شكل النقطة 3 من الإثبات ثم يكملون بشكل مستقل إثبات النظرية شفهيًا.

(الشريحة 5)

يصوغ المعلم الخاصية الثانية لمتوازي الأضلاع. يظهر رسم متوازي الأضلاع على السبورة. يعرض المعلم أن يقول من الصورة ما يتم تقديمه وما يجب إثباته. بعد أن يبلغ الطلاب بشكل صحيح عما تم تقديمه وما يحتاج إلى إثبات ، تظهر حالة النظرية. يعتقد الطلاب أن المساواة بين أجزاء الأقطار يمكن إثباتها من خلال تساوي المثلثاتAOBو سمك القد. باستخدام الخاصية السابقة لمتوازي الأضلاع ، تخمين مساواة الجانبينABو قرص مضغوط. ثم يفهمون أنه من الضروري إيجاد زوايا متساوية ، وباستخدام خصائص الخطوط المتوازية ، يثبتون تساوي الزوايا المجاورة للأضلاع المتساوية. يتم تصور هذه المراحل على الشريحة. تأتي حقيقة النظرية من المساواة بين المثلثات - ينطق الطلاب التصور المقابل على الشريحة.

(الشريحة 6)

يصوغ المعلم الخاصية الثالثة لمتوازي الأضلاع. اعتمادًا على الوقت المتبقي حتى نهاية الدرس ، يمكن للمدرس إعطاء الطلاب الفرصة لإثبات هذه الخاصية بأنفسهم ، أو قصرها على صياغتها ، وترك الإثبات نفسه للطلاب كواجب منزلي. يمكن أن يعتمد البرهان على مجموع زوايا المضلع المنقوش ، والذي تكرر في بداية الدرس ، أو على مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب لخطين متوازيينميلاديو قبل الميلاد، وقاطع ، على سبيل المثالAB.

4. إصلاح المادة

في هذه المرحلة ، يقوم الطلاب ، باستخدام النظريات التي سبق دراستها ، بحل المشكلات. يتم اختيار أفكار حل المشكلة من قبل الطلاب بأنفسهم. نظرًا لوجود العديد من خيارات التصميم الممكنة وكلها تعتمد على الطريقة التي سيبحث بها الطلاب عن حل للمشكلة ، فلا يوجد تصور لحل المشكلات ، ويقوم الطلاب بشكل مستقل بوضع كل مرحلة من مراحل الحل على لوحة منفصلة مع الحل مكتوبًا في دفتر ملاحظات.

(الشريحة 7)

يظهر شرط المهمة. يقترح المعلم صياغة "معطى" حسب الحالة. بعد أن يكتب الطلاب الشرط بشكل صحيح ، تظهر كلمة "معطى" على السبورة. قد تبدو عملية حل المشكلة كما يلي:

رسم ارتفاع BH (مقدم)

المثلث AHB هو مثلث قائم الزاوية. الزاوية A تساوي الزاوية C وتساوي 30 0 (بخاصية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع). 2BH = AB (وفقًا لخاصية الضلع المقابلة للزاوية 30 0 في مثلث قائم الزاوية). إذن AB = 13 سم.

AB \ u003d CD ، BC \ u003d AD (بخاصية الجوانب المتقابلة في متوازي الأضلاع) إذن AB \ u003d CD \ u003d 13 سم. بما أن محيط متوازي الأضلاع هو 50 سم ، إذن BC \ u003d AD \ u003d (50-26): 2 \ u003d 12 سم.

إجابه: AB = CD = 13 سم ، BC = AD = 12 سم.

(الشريحة 8)

يظهر شرط المهمة. يقترح المعلم صياغة "معطى" حسب الحالة. ثم يظهر "Dano" على الشاشة. بمساعدة الخطوط الحمراء ، يتم تحديد شكل رباعي ، والذي تحتاج إلى إثبات أنه متوازي الأضلاع. قد تبدو عملية حل المشكلة كما يلي:

لان يكون BK و MD متعامدين على نفس الخط ، ثم يكون الخطان BK و MD متوازيين.

من خلال الزوايا المجاورة ، يمكن إظهار أن مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب للخطين BM و KD والقطع MD هو 180 0. لذلك ، هذه الخطوط متوازية.

نظرًا لأن الأضلاع المتقابلة من الشكل الرباعي BMDK متوازيتان ، فإن هذا الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

5. نهاية الدرس. نتيجة السلوك.

(الشريحة 8)

تظهر الأسئلة حول موضوع جديد على الشريحة ، والتي يجيب عليها الطلاب.

مؤسسة تعليمية الميزانية البلدية

مدرسة Savinskaya الثانوية

عمل بحثي

متوازي الأضلاع وخصائصه الجديدة

تم بواسطة: طالب في الصف الثامن ب

مدرسة MBOU Savinskaya الثانوية

كوزنتسوفا سفيتلانا ، 14 عامًا

القائد: مدرس رياضيات

تولشيفسكايا ن.

سافينو

منطقة إيفانوفو ، روسيا

2016

أنا. مقدمة ______________________________________________ الصفحة 3

ثانيًا. من تاريخ متوازي الأضلاع ___________________________________ الصفحة 4

III خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع ______________________ الصفحة 4

رابعا. إثبات الممتلكات _____________________________________ الصفحة 5

الخامس. حل المشكلات باستخدام خصائص إضافية __________ الصفحة 8

السادس. تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة ___________________ الصفحة 11

سابعا. الخاتمة _____________________________________________________ الصفحة 12

ثامنا. الأدب _________________________________________________ صفحة 13

مقدمة

"بين العقول المتساوية

في تشابه الشروط الأخرى

متفوقة على أولئك الذين يعرفون الهندسة "

(بليز باسكال).

أثناء دراسة موضوع "متوازي الأضلاع" في دروس الهندسة ، أخذنا في الاعتبار خاصيتين لمتوازي الأضلاع وثلاث ميزات ، ولكن عندما بدأنا في حل المشكلات ، اتضح أن هذا لم يكن كافيًا.

كان لدي سؤال ، هل متوازي الأضلاع له أي خصائص أخرى ، وكيف سيساعد في حل المشكلات.

وقررت دراسة الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع وإظهار كيف يمكن تطبيقها لحل المشكلات.

موضوع الدراسة : متوازي الاضلاع

موضوع الدراسة : خصائص متوازي الأضلاع
هدف:

صياغة وإثبات الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع التي لم تتم دراستها في المدرسة ؛

تطبيق هذه الخصائص لحل المشاكل.

مهام:

لدراسة تاريخ متوازي الأضلاع وتاريخ تطور خصائصه ؛

ابحث عن منشورات إضافية حول القضية قيد الدراسة ؛

دراسة الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع وإثباتها ؛

إظهار تطبيق هذه الخصائص لحل المشاكل ؛

ضع في اعتبارك تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة.
طرق البحث:

العمل مع التربوية والعلمية - الأدب الشعبي ، موارد الإنترنت ؛

دراسة المادة النظرية.

اختيار مجموعة من المهام التي يمكن حلها باستخدام خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع ؛

الملاحظة ، المقارنة ، التحليل ، القياس.

مدة الدراسة : 3 شهور: يناير - مارس 2016

في كتاب الهندسة ، نقرأ التعريف التالي لمتوازي الأضلاع: متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية في أزواج.

تمت ترجمة كلمة "متوازي الأضلاع" على أنها "خطوط متوازية" (من الكلمات اليونانية Parallelos - المتوازي و gramme - line) ، وقد قدم إقليدس هذا المصطلح. في كتابه العناصر ، أثبت إقليدس الخصائص التالية لمتوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة وزوايا متوازي الأضلاع متساوية ، والقطري يشطرها. لا يذكر إقليدس نقطة تقاطع متوازي الأضلاع. فقط بحلول نهاية العصور الوسطى ، تم تطوير نظرية كاملة لمتوازي الأضلاع ، وفقط في القرن السابع عشر ، ظهرت نظريات متوازي الأضلاع في الكتب المدرسية ، والتي تم إثباتها باستخدام نظرية إقليدس في خصائص متوازي الأضلاع.

ثالثا خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع

في كتاب الهندسة ، تم إعطاء خاصيتين فقط لمتوازي الأضلاع:

الزوايا والجوانب المتقابلة متساوية

تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع وتنقسم نقطة التقاطع

في مصادر مختلفة حول الهندسة ، يمكن العثور على الخصائص الإضافية التالية:

مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي أضلاع يساوي 180 0

منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين ؛

منصفات زوايا متقابلة لمتوازي أضلاع تقع على خطوط متوازية ؛

تتقاطع منصفات الزوايا المتجاورة لمتوازي الأضلاع بزوايا قائمة ؛

تشكل منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع مستطيلًا عندما تتقاطع ؛

المسافات من الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

إذا قمت بتوصيل رؤوس متقابلة في متوازي الأضلاع بنقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة ، تحصل على متوازي أضلاع آخر.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

إذا رسمنا ارتفاعًا من زاويتين متقابلتين في متوازي أضلاع ، نحصل على مستطيل.

رابعا إثبات خصائص متوازي الأضلاع

مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي أضلاع يساوي 180 0

معطى:

ABCD متوازي أضلاع

يثبت:

أ +
ب =

دليل - إثبات:

أ و
ب - الزوايا الداخلية أحادية الجانب ذات الخطوط المستقيمة المتوازية قبل الميلاد AD و secant AB ، لذلك
أ +
ب =

معطى:ا ب ت ث - متوازي الاضلاع،

حزب العدالة والتنمية المنصف
لكن.

يثبت: AVK - متساوي الساقين

دليل - إثبات:

1)
1=
3 (عبر الكذب مع BC AD و قاطع AK) ،

2)
2=
3 لأن حزب العدالة والتنمية هو منصف ،

يعني 1 =
2.

3) ABK متساوي الساقين لأن زاويتين في المثلث متساويتان

. منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين

معطى: ABCD متوازي أضلاع

AK هو منصف A ،

СР هو منصف C.

يثبت: AK ║ SR

دليل - إثبات:

1) 1 = 2 منذ AK-bisector

2) 4 = 5 لأن ريال - منصف

3) 3 = 1 (زوايا متقاطعة عند

BC ║ AD و AK-secant) ،

4) A \ u003d C (بخاصية متوازي الأضلاع) ، مما يعني 2 \ u003d 3 \ u003d 4 \ u003d 5.

4) من الفقرتين 3 و 4 يترتب على ذلك أن 1 = 4 ، وهذه الزوايا تتوافق مع الخطوط المستقيمة AK و SR والقطع BC ،

ومن ثم ، AK ║ SR (على أساس الخطوط المتوازية)

. منصفات زوايا متقابلة في متوازي أضلاع تقع على خطوط متوازية

تتقاطع مناصرات الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع بزوايا قائمة

معطى: ABCD - متوازي الأضلاع ،

منصف المكيف أ ،

موانئ دبي المنصف د

يثبت:موانئ دبي AK.

دليل - إثبات:

1) 1 = 2 لأن AK - منصف

دع 1 = 2 = س ، ثم أ = 2 س ،

2) 3 = 4 لأن د ف - منصف

دع 3 = 4 = ص ، ثم د = 2 ص

3) A + D \ u003d 180 0 بسبب مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي أضلاع يساوي 180

2) النظر التطوير التنظيمي

1 + 3 = 90 0 إذن
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. تشكل منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع مستطيلًا عندما تتقاطع

معطى: ABCD - متوازي الأضلاع ، AK-bisector A ،

DP-bisector D ،

CM هو منصف C ،

BF - منصف ب.

يثبت: KRNS- مستطيل

دليل - إثبات:

بناءً على الخاصية السابقة 8 = 7 = 6 = 5 = 90 0 ،

يعني KRNS مستطيل.

المسافات من الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

معطى: ABCD- متوازي الأضلاع ، AC قطري.

VC AU ، م. تيار متردد

يثبت: BK = موانئ دبي

دليل - إثبات: 1) DCP \ u003d KAB ، مثل الكذب بالعرض الداخلي عند AB CD و AC القاطع.

2) AKB = CDP (على طول الجانب وزاويتين متجاورتين له AB = CD CD P = AB K).

وفي المثلثات المتساوية ، تكون الأضلاع المتناظرة متساوية ، لذا DP \ u003d BK.

إذا قمت بتوصيل رؤوس متقابلة في متوازي الأضلاع بنقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة ، تحصل على متوازي أضلاع آخر.

معطى:متوازي الأضلاع ABCD.

يثبت: VKDP هو متوازي أضلاع.

دليل - إثبات:

1) BP = دينار كويتي (AD = BC ، النقاط K و P.

شطر هذه الجوانب)

2) BP KD (استلقي على AD قبل الميلاد)

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية ومتوازية ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

إذا رسمنا ارتفاعًا من زاويتين متقابلتين في متوازي أضلاع ، نحصل على مستطيل.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

معطى: ABCD متوازي أضلاع. BD و AC قطريان.

يثبت: تيار متردد 2 + دينار بحريني 2 = 2 (أب 2 + م 2 )

دليل - إثبات: 1)يطلب: تيار متردد ²=
+

2)ب صد : BD 2 = ب ص 2 + صد 2 (حسب نظرية فيثاغورس)

3) تيار متردد ²+ BD ² = SC² +أ K² +ب Р² + Рد ²

4) SK = BP = H.(ارتفاع )

5) التيار المتردد 2 + V.د 2 = ح 2 + أ إلى 2 + ح 2 + صد 2

6) يترك د ك =أ ف = س، ومن بعد ج إلىد : ح 2 = قرص مضغوط 2 - X 2 وفقًا لنظرية فيثاغورس )

7) تيار متردد² + بد ² = جد 2 - x² + AK 1 ²+ قرص مضغوط 2 -X 2 + صد 2 ,

تيار متردد² + خامسد ² = 2 درجة مئويةد 2 -2x 2 + أ إلى 2 + صد 2

8) أ إلى= م + X, صد = م- X,

تيار متردد² + خامسد ² = 2قرص مضغوط 2 -2x 2 +(ميلادي + x) 2 +(ميلادي -X) 2 ,

تيار متردد²+ فيد² = 2 مند² -2 X² + م 2 + 2 م X+ X 2 + م 2 -2 م X+ X 2 ,
تيار متردد²+ فيD² = 2CD 2 + 2 م 2 = 2 (قرص مضغوط 2 + م 2 ).

الخامس . حل المشكلات باستخدام هذه الخصائص

نقطة تقاطع منصف زاويتين لمتوازي أضلاع متجاورة مع أحد الجانبين تنتمي إلى الجانب المقابل. الجانب الأقصر من متوازي الأضلاع هو 5 . ابحث عن جانبه الكبير.

معطى: ABCD هو متوازي الأضلاع ،

AK - منصف
لكن،

د ك - منصف
د ، أب = 5

تجد: الشمس

المحلول

لان AK - منصف
A ، ثم ABC هو متساوي الساقين.

لان د ك - منصف
د ، إذن DCK - متساوي الساقين

تيار مستمر \ u003d C K \ u003d 5

ثم ، VS = VK + SK = 5 + 5 = 10

الجواب: 10

2. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان منصف إحدى زواياه يقسم ضلع متوازي الأضلاع إلى جزأين 7 سم و 14 سم.

1 حالة

معطى:
لكن،

VK = 14 سم ، KS = 7 سم

تجد:متوازي الأضلاع R

المحلول

BC = VK + KS = 14 + 7 = 21 (سم)

لان AK - منصف
A ، ثم ABC هو متساوي الساقين.

AB = BK = 14 سم

ثم P = 2 (14 + 21) = 70 (سم)

يحدث

معطى: ABCD هو متوازي الأضلاع ،

د ك - منصف
د،

VK = 14 سم ، KS = 7 سم

تجد: R متوازي الأضلاع

المحلول

BC = VK + KS = 14 + 7 = 21 (سم)

لان د ك - منصف
د ، إذن DCK - متساوي الساقين

DC \ u003d C K \ u003d 7

ثم P = 2 (21 + 7) = 56 (سم)

إجابه: 70 سم أو 56 سم

3. طول ضلعي متوازي الأضلاع 10 سم و 3 سم ، ومنصف زاويتين متجاورتين للضلع الأكبر يقسمان الضلع المقابل إلى ثلاثة أجزاء. ابحث عن هذه الأجزاء.

حالة واحدة:تتقاطع المنصفات خارج متوازي الأضلاع

معطى: ABCD - متوازي الأضلاع ، AK - منصف
لكن،

د ك - منصف
D ، AB = 3 سم ، BC = 10 سم

تجد: BM ، MN ، NC

المحلول

لان AM - منصف
ثم التشوه الشرياني الوريدي هو متساوي الساقين.

لان DN - منصف
د ، إذن DCN - متساوي الساقين

DC = CN = 3

ثم MN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 + 3) = 4 سم

2 حالة:تتقاطع المنصفات داخل متوازي الأضلاع

لان AN - منصف
A ، ثم ABN هو متساوي الساقين.

AB = بن = 3 د

والشبكة المنزلقة - تحرك إلى المسافة المطلوبة في المدخل

آلية متوازية الأضلاع- آلية من أربع وصلات ، تشكل روابطها متوازي أضلاع. يتم استخدامه لتنفيذ الحركة متعدية الآليات المفصلية.

متوازي الأضلاع مع ارتباط ثابت- أحد الوصلات ثابت ، والرابط المقابل يقوم بحركة هزازة ، ويبقى موازيًا للرابط الثابت. متوازي أضلاع متصلان أحدهما خلف الآخر يمنحان الرابط الأخير درجتين من الحرية ، مما يجعله موازيًا للواحد الثابت.

أمثلة: مساحات الزجاج الأمامي للحافلات ، والرافعات الشوكية ، والحوامل ثلاثية القوائم ، والشماعات ، وحوامل السيارات.

متوازي الأضلاع بمفصلة ثابتة- تستخدم خاصية متوازي الأضلاع للحفاظ على نسبة ثابتة للمسافات بين ثلاث نقاط. مثال: رسم المنساخ - جهاز لقياس الرسومات.

معين- جميع الوصلات لها نفس الطول ، ويؤدي نهج (تقلص) زوج من المفصلات المتقابلة إلى تمدد المفصلتين الأخريين. جميع الروابط تعمل في ضغط.

ومن الأمثلة على ذلك مقبس ماسي للسيارة ، ومنساخ ترام.

مقصأو آلية على شكل X، المعروف أيضًا باسم مقص نورمبرغ- متغير من المعين - رابطان متصلان في المنتصف بمفصلة. مزايا الآلية هي الاكتناز والبساطة ، والعيب هو وجود زوجين منزلقين. اثنان (أو أكثر) من هذه الآليات ، متصلة في سلسلة ، تشكل معينًا (أو أكثر) في المنتصف. يتم استخدامه في المصاعد ولعب الأطفال.

سابعا استنتاج

من شارك في الرياضيات منذ الطفولة ،

يطور الانتباه ، يدرب دماغه ،

إرادته ، تزرع المثابرة

والمثابرة في تحقيق الهدف

أ. ماركوشفيتش

أثناء العمل ، أثبتت خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع.

كنت مقتنعًا أنه من خلال تطبيق هذه الخصائص ، يمكنك حل المشكلات بشكل أسرع.

لقد أوضحت كيف يتم تطبيق هذه الخصائص على أمثلة لحل مشاكل معينة.

لقد تعلمت الكثير عن متوازي الأضلاع غير الموجود في كتاب الهندسة

كنت مقتنعًا بأن معرفة الهندسة مهمة جدًا في الحياة من خلال أمثلة لتطبيق خصائص متوازي الأضلاع.

تم إنجاز الغرض من عملي البحثي.

تتجلى أهمية المعرفة الرياضية من خلال حقيقة أنه تم إنشاء جائزة لمن ينشر كتابًا عن شخص عاش طوال حياته دون مساعدة الرياضيات. لم يحصل أي شخص على هذه الجائزة حتى الآن.

ثامنا المؤلفات

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية في أزواج. مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب قاعدته (أ) وارتفاعه (ح). يمكنك أيضًا إيجاد مساحتها من خلال ضلعين وزاوية ومن خلال الأقطار.

خصائص متوازي الأضلاع

1. الجوانب المتقابلة متطابقة.

بادئ ذي بدء ، ارسم القطر \ (AC \). يتم الحصول على مثلثين: \ (ABC \) و \ (ADC \).

بما أن \ (ABCD \) متوازي أضلاع ، فإن ما يلي صحيح:

\ (AD || BC \ Rightarrow \ angle 1 = \ angle 2 \)مثل الكذب.

\ (AB || CD \ Rightarrow \ angle3 = \ angle 4 \)مثل الكذب.

لذلك (على الأساس الثاني: و \ (AC \) شائع).

وبالتالي ، \ (\ مثلث ABC = \ مثلث ADC \)، ثم \ (AB = CD \) و \ (AD = BC \).

2. الزوايا المتقابلة متطابقة.

حسب الدليل الخصائص 1نحن نعلم ذلك \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 \). إذن مجموع الزوايا المتقابلة هو: \ (\ الزاوية 1 + \ الزاوية 3 = \ الزاوية 2 + \ الزاوية 4 \). بشرط \ (\ مثلث ABC = \ مثلث ADC \)نحصل على \ (\ زاوية أ = \ زاوية ج \) ، \ (\ زاوية ب = \ زاوية د \).

3. يتم تقسيم الأقطار بواسطة نقطة التقاطع.

بواسطة الملكية 1نعلم أن الأضلاع المتقابلة متطابقة: \ (AB = CD \). مرة أخرى نلاحظ الزوايا المتساوية بالعرض.

وهكذا ، نرى أن \ (\ مثلث AOB = \ مثلث COD \)وفق المعيار الثاني لتساوي المثلثات (زاويتان وضلع بينهما). أي \ (BO = OD \) (مقابل الزوايا \ (\ الزاوية 2 \) و \ (\ الزاوية 1 \)) و \ (AO = OC \) (مقابل الزوايا \ (\ الزاوية 3 \) و \ (\ الزاوية 4 \) على التوالي).

ميزات متوازي الأضلاع

في حالة وجود علامة واحدة فقط في مشكلتك ، فإن الشكل هو متوازي أضلاع ويمكنك استخدام جميع خصائص هذا الشكل.

لتحسين الحفظ ، لاحظ أن علامة متوازي الأضلاع ستجيب على السؤال التالي - "كيف تعرف؟". أي كيفية معرفة أن الشكل المعطى متوازي أضلاع.

1. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ضلعه متساويان ومتوازيان.

\ (AB = CD \) ؛ \ (AB || CD \ Rightarrow ABCD \)- متوازي الاضلاع.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل. لماذا \ (AD || BC \)؟

\ (\ مثلث ABC = \ مثلث ADC \)على الملكية 1: \ (AB = CD \) ، \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \) بالعرض مع التوازي \ (AB \) و \ (CD \) والقاطع \ (AC \).

لكن اذا \ (\ مثلث ABC = \ مثلث ADC \)، ثم \ (\ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 \) (يقعان مقابل \ (AD || BC \) (\ (\ الزاوية 3 \) و \ (\ الزاوية 4 \) - الكذب المقابل متساويان أيضًا).

أول علامة صحيحة.

2. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متساوية.

\ (AB = CD \) \ (AD = BC \ Rightarrow ABCD \) متوازي أضلاع.

دعنا نفكر في هذه الميزة. ارسم القطر مرة أخرى.

بواسطة الملكية 1\ (\ مثلث ABC = \ مثلث ACD \).

إنه يتبع هذا: \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \ السهم الأيمن ميلادي || BC \)و \ (\ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 \ السهم الأيمن AB || القرص المضغوط \)، أي ، \ (ABCD \) متوازي أضلاع.

العلامة الثانية صحيحة.

3. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي زواياه المتقابلة متساوية.

\ (\ الزاوية أ = \ الزاوية ج \) ، \ (\ الزاوية ب = \ الزاوية د \ السهم الأيمن ABCD \)- متوازي الاضلاع.

\ (2 \ ألفا + 2 \ بيتا = 360 ^ (\ دائرة) \)(لأن \ (\ الزاوية أ = \ الزاوية ج \) ، \ (\ الزاوية ب = \ الزاوية د \) بالتعريف).

اتضح، \ (\ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) \). لكن \ (\ alpha \) و \ (\ beta \) داخليان من جانب واحد عند القاطع \ (AB \).