جدول الدوال العكسية والتكاملات. تكاملات الدمى: كيفية الحل ، قواعد الحساب ، التفسير

في مادة سابقة ، تم النظر في مسألة إيجاد المشتق وعرضت تطبيقاته المختلفة: حساب ميل الظل للرسم البياني ، وحل مشاكل التحسين ، ودراسة وظائف الرتابة والقيمة القصوى. $ \ newcommand (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ ctg) (\ mathop (\ mathrm (ctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arctg) ( \ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arcctg) (\ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $

الصورة 1.

تم النظر أيضًا في مشكلة إيجاد السرعة اللحظية $ v (t) $ باستخدام المشتق فيما يتعلق بمسافة قطعها معروفة مسبقًا ، معبرًا عنها بالدالة $ s (t) $.

الشكل 2.

تعد المسألة العكسية أيضًا شائعة جدًا ، عندما تحتاج إلى إيجاد المسار $ s (t) $ الذي يتم قطعه بنقطة زمنية $ t $ ، مع معرفة سرعة النقطة $ v (t) $. إذا كنت تتذكر ، تم العثور على السرعة اللحظية $ v (t) $ كمشتق من دالة المسار $ s (t) $: $ v (t) = s ’(t) $. هذا يعني أنه لحل المسألة العكسية ، أي لحساب المسار ، عليك إيجاد دالة مشتقها تساوي دالة السرعة. لكننا نعلم أن مشتق المسار هو السرعة ، أي: $ s '(t) = v (t) $. السرعة تساوي حاصل ضرب التسارع والوقت: $ v = عند $. من السهل تحديد أن دالة المسار المرغوبة سيكون لها الشكل: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) $. لكن هذا ليس حلاً كاملاً تمامًا. سيبدو الحل الكامل على النحو التالي: $ s (t) = \ frac (عند ^ 2) (2) + C $ ، حيث يكون $ C $ ثابتًا. لماذا هذا سوف تناقش لاحقا. في غضون ذلك ، دعنا نتحقق من صحة الحل الذي تم العثور عليه: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = عند = v (t) $.

من الجدير بالذكر أن إيجاد المسار بالسرعة هو المعنى المادي للمشتق العكسي.

تسمى الدالة الناتجة $ s (t) $ المشتق العكسي لـ $ v (t) $. اسم مثير للاهتمام وغير عادي ، أليس كذلك. فيه معنى كبير يشرح جوهر هذا المفهوم ويؤدي إلى فهمه. يمكنك أن ترى أنه يحتوي على كلمتين "الأولى" و "الصورة". يتحدثون عن أنفسهم. أي أن هذه هي الوظيفة الأصلية للمشتقة التي لدينا. وبهذا المشتق نبحث عن الوظيفة التي كانت في البداية ، كانت "الأولى" ، "الصورة الأولى" ، أي المشتقة العكسية. يطلق عليه أحيانًا أيضًا وظيفة بدائية أو مضاد مشتق.

كما نعلم بالفعل ، فإن عملية إيجاد المشتق تسمى التفاضل. وتسمى عملية إيجاد المشتق العكسي التكامل. عملية التكامل هي عكس عملية التفاضل. والعكس صحيح أيضا.

تعريف.المشتق العكسي للدالة $ f (x) $ في بعض الفترات هو دالة $ F (x) $ مشتقها يساوي هذه الدالة $ f (x) $ لكل $ x $ من الفاصل الزمني المحدد: $ F '( x) = f (x) $.

قد يكون لدى شخص ما سؤال: من أين أتى $ F (x) $ و $ f (x) $ في التعريف ، إذا كان في البداية حوالي $ s (t) $ و $ v (t) $. الحقيقة هي أن $ s (t) $ و $ v (t) $ حالتان خاصتان لتعيين وظائف لها معنى محدد في هذه الحالة ، أي أنها دالة للوقت ودالة للسرعة ، على التوالي. وينطبق الشيء نفسه على المتغير $ t $ - فهو يمثل الوقت. و $ f $ و $ x $ هما المتغيران التقليديان للتعيين العام للدالة والمتغير على التوالي. يجدر الانتباه بشكل خاص إلى تدوين المشتق العكسي $ F (x) $. أولاً ، $ F $ هو رأس المال. تتم الإشارة إلى الأوليات بأحرف كبيرة. ثانيًا ، الأحرف هي نفسها: $ F $ و $ f $. بمعنى ، بالنسبة للدالة $ g (x) $ ، سيتم الإشارة إلى المشتق العكسي بـ $ G (x) $ ، لـ $ z (x) $ - بواسطة $ Z (x) $. بغض النظر عن الترميز ، فإن قواعد إيجاد الدالة العكسية هي نفسها دائمًا.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1أثبت أن الدالة $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ هي المشتق العكسي للدالة $ f (x) = \ cos5x $.

لإثبات ذلك ، نستخدم التعريف ، أو بالأحرى حقيقة أن $ F '(x) = f (x) $ ، ونجد مشتق الدالة $ F (x) $: $ F' (x) = (\ frac (1) (5) \ sin5x) '= \ frac (1) (5) \ cdot 5 \ cos5x = \ cos5x $. لذا فإن $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ هو المشتق العكسي لـ $ f (x) = \ cos5x $. Q.E.D.

مثال 2ابحث عن الوظائف التي تتوافق مع المشتقات العكسية التالية: أ) $ F (z) = \ tg z $؛ ب) $ G (l) = \ sin l $.

للعثور على الوظائف المطلوبة ، نحسب مشتقاتها:
أ) $ F '(z) = (\ tg z)' = \ frac (1) (\ cos ^ 2 z) $ ؛
ب) $ G (l) = (\ sin l) '= \ cos l $.

مثال 3ما المشتق العكسي لـ $ f (x) = 0 $؟
دعنا نستخدم التعريف. دعنا نفكر في أي دالة يمكن أن يكون لها مشتق يساوي $ 0 $. بتذكر جدول المشتقات ، نجد أن أي ثابت سيكون له مثل هذا المشتق. نحصل على المشتق العكسي الذي نبحث عنه: $ F (x) = C $.

يمكن تفسير الحل الناتج هندسيًا وجسديًا. هندسيًا ، فهذا يعني أن مماس الرسم البياني $ y = F (x) $ أفقي عند كل نقطة من هذا الرسم البياني ، وبالتالي يتطابق مع المحور $ Ox $. يتم تفسيره ماديًا من خلال حقيقة أن نقطة ذات سرعة تساوي الصفر تظل في مكانها ، أي أن المسار الذي تسير فيه لم يتغير. بناءً على ذلك ، يمكننا صياغة النظرية التالية.

نظرية. (علامة ثبات الوظيفة). إذا كان $ F '(x) = 0 $ في فترة ما ، فإن الدالة $ F (x) $ ثابتة في هذه الفترة.

مثال 4حدد المشتقات العكسية للدوال التي تمثل الدوال أ) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $؛ ب) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $ ؛ ج) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $ ؛ د) $ F_4 = \ frac (x ^ 7) (7) + a $ حيث $ a $ هو رقم ما.
باستخدام تعريف المشتق العكسي ، نستنتج أنه لحل هذه المهمة ، نحتاج إلى حساب مشتقات الدوال العكسية المعطاة لنا. عند الحساب ، تذكر أن مشتق ثابت ، أي أي رقم ، يساوي صفرًا.
أ) $ F_1 = (\ frac (x ^ 7) (7)) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $ ؛
ب) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \ right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $ ؛
ج) $ F_3 = (\ frac (x ^ 7) (7) + 9) '= x ^ 6 $ ؛
د) $ F_4 = (\ frac (x ^ 7) (7) + a) ’= x ^ 6 $.

ماذا نرى؟ العديد من الوظائف المختلفة هي مشتقات عكسية لنفس الوظيفة. هذا يعني أن أي دالة لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، ولها الصيغة $ F (x) + C $ ، حيث $ C $ ثابت عشوائي. أي أن عملية التكامل متعددة القيم ، على عكس عملية التمايز. بناءً على ذلك ، نقوم بصياغة نظرية تصف الخاصية الرئيسية للمشتقات العكسية.

نظرية. (الخاصية الرئيسية للأوليات). اجعل الدالتين $ F_1 $ و $ F_2 $ مشتقات عكسية للدالة $ f (x) $ في فترة ما. ثم تصبح المساواة التالية صحيحة لجميع القيم من هذا الفاصل الزمني: $ F_2 = F_1 + C $ ، حيث $ C $ هو بعض الثابت.

يمكن تفسير حقيقة وجود مجموعة لا نهائية من المشتقات العكسية هندسيًا. بمساعدة الترجمة المتوازية على طول المحور $ Oy $ يمكن للمرء الحصول على رسوم بيانية لأي اثنين من المشتقات العكسية لـ $ f (x) $ من بعضهما البعض. هذا هو المعنى الهندسي للمشتق العكسي.

من المهم جدًا الانتباه إلى حقيقة أنه من خلال اختيار الثابت $ C $ ، يمكن جعل الرسم البياني للمشتقة العكسية يمر عبر نقطة معينة.

الشكل 3

مثال 5أوجد المشتق العكسي للدالة $ f (x) = \ frac (x ^ 2) (3) + 1 $ الذي يمر الرسم البياني الخاص به بالنقطة $ (3؛ 1) $.
لنجد أولاً جميع المشتقات العكسية لـ $ f (x) $: $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $.
بعد ذلك ، نجد الرقم C الذي سيمر فيه الرسم البياني $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $ من خلال النقطة $ (3؛ 1) $. للقيام بذلك ، نعوض بإحداثيات النقطة في معادلة الرسم البياني ونحلها بالنسبة إلى $ C $:
$ 1 = \ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $ ، $ C = -5 $.
حصلنا على الرسم البياني $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $ ، والذي يتوافق مع المشتق العكسي $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $.

جدول المشتقات العكسية

يمكن تجميع جدول الصيغ لإيجاد المشتقات العكسية باستخدام الصيغ لإيجاد المشتقات.

جدول المشتقات العكسية

المهام	المشتقات العكسية
$0$	$ C $
$1$	$ x + C $
$ a \ in R $	$ ax + C $
$ x ^ n، n \ ne1 $	$ displaystyle frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $
$ displaystyle frac (1) (x) $	$ \ ln | x | + C $
$ \ sinx $	$ - \ cosx + C $
$ \ cosx $	$ \ sinx + C $
$ displaystyle frac (1) (sin ^ 2 x) $	$ - \ ctgx + C $
$ displaystyle frac (1) (cos ^ 2 x) $	$ \ tgx + C $
$ e ^ x $	$ e ^ x + C $
$ a ^ x ، a> 0 ، a \ ne1 $	$ displaystyle frac (a ^ x) (ln a) + C $
$ displaystyle frac (1) (sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \ arcsin x + C $
$ displaystyle - frac (1) (sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \ arccos x + C $
$ displaystyle frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arctgx + C $
$ displaystyle - frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arctg x + C $

يمكنك التحقق من صحة الجدول على النحو التالي: لكل مجموعة من المشتقات العكسية الموجودة في العمود الأيمن ، ابحث عن المشتق ، ونتيجة لذلك سيتم الحصول على الوظائف المقابلة في العمود الأيسر.

بعض القواعد لإيجاد المشتقات العكسية

كما تعلم ، فإن العديد من الوظائف لها شكل أكثر تعقيدًا من تلك المشار إليها في جدول المشتقات العكسية ، ويمكن أن تكون أي مجموعة عشوائية من مجموع الدوال ومنتجاتها من هذا الجدول. وهنا السؤال الذي يطرح نفسه ، كيف نحسب المشتقات العكسية لدوال مماثلة. على سبيل المثال ، من الجدول نعرف كيفية حساب المشتقات العكسية $ x ^ 3 $ و $ \ sin x $ و $ 10 $. لكن كيف ، على سبيل المثال ، لحساب المشتق العكسي $ x ^ 3-10 \ sin x $؟ بالنظر إلى المستقبل ، تجدر الإشارة إلى أنه سيكون مساويًا لـ $ \ frac (x ^ 4) (4) +10 \ cos x $.
1. إذا كان $ F (x) $ مشتق عكسي لـ $ f (x) $ ، فإن $ G (x) $ هو $ g (x) $ ، ثم لـ $ f (x) + g (x) $ المشتق العكسي ستكون مساوية لـ $ F (x) + G (x) $.
2. إذا كان $ F (x) $ مشتق عكسي لـ $ f (x) $ و $ a $ ثابت ، فإن المشتق العكسي لـ $ af (x) $ هو $ aF (x) $.
3. إذا كان المشتق العكسي لـ $ f (x) $ $ F (x) $ و $ a $ و $ b $ ثوابت ، فإن $ \ frac (1) (a) F (ax + b) $ مشتق عكسي لـ $ f (فأس + ب) $.
باستخدام القواعد التي تم الحصول عليها ، يمكننا توسيع جدول المشتقات العكسية.

المهام	المشتقات العكسية
$ (ax + b) ^ n، n \ ne1، a \ ne0 $	$ displaystyle frac ((ax + b) ^ n) (a (n + 1)) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (ax + b)، a \ ne0 $	$ displaystyle frac (1) (a) ln | ax + b | + C $
$ e ^ (ax + b)، a \ ne0 $	$ displaystyle frac (1) (a) e ^ (ax + b) + C $
$ \ sin (ax + b) ، a \ ne0 $	$ displaystyle - frac (1) (a) cos (ax + b) + C $
$ \ cos (ax + b) ، a \ ne0 $	$ displaystyle frac (1) (a) sin (ax + b) + C $

مثال 5ابحث عن مشتقات عكسية من أجل:

أ) $ \ displaystyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $ ؛

ب) $ displaystyle frac (6) (x ^ 5) - frac (2) (x) $؛

ج) $ displaystyle 5 cos x + sin (3x + 15) $؛

د) $ displaystyle sqrt (x) -2 sqrt (x) $.

أ) $ 4 \ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + C = x ^ 4 + \ frac (5) ( 4) × ^ 8 + C $ ؛

ب) $ - \ frac (3) (2x ^ 4) -2 \ ln | x | + C $ ؛

ج) $ 5 \ sin x - \ frac (1) (3) \ cos (3x + 15) + C $ ؛

د) $ \ frac (2) (3) x \ sqrt (x) - \ frac (3) (2) x \ sqrt (x) + C $.

التكامل هو أحد العمليات الأساسية في التحليل الرياضي. قد تكون جداول المشتقات العكسية المعروفة مفيدة ، ولكن الآن ، بعد ظهور أنظمة الجبر الحاسوبية ، فقدوا أهميتها. يوجد أدناه قائمة بالمشتقات العكسية الأكثر شيوعًا.

جدول التكاملات الأساسية

نسخة مضغوطة أخرى

جدول التكاملات من التوابع المثلثية

من الوظائف المنطقية

من وظائف غير عقلانية

تكاملات الوظائف المتعالية

"C" هو ثابت تكامل تعسفي ، يتم تحديده إذا كانت قيمة التكامل معروفة في نقطة ما. كل دالة لها عدد لا حصر له من المشتقات العكسية.

يعاني معظم طلاب المدارس والطلاب من مشاكل في حساب التكاملات. تحتوي هذه الصفحة على ملفات جداول التكاملاتمن الدوال المثلثية والعقلانية وغير المنطقية والمتجاوزة التي ستساعد في حلها. سيساعدك جدول المشتقات أيضًا.

فيديو - كيفية إيجاد التكاملات

إذا لم تكن واضحًا تمامًا بشأن هذا الموضوع ، شاهد الفيديو الذي يشرح كل شيء بالتفصيل.

دالة عكسية وتكامل غير محدد

الحقيقة 1. التكامل هو عكس الاشتقاق ، أي استعادة دالة من المشتق المعروف لهذه الدالة. تمت استعادة الوظيفة بهذه الطريقة F(x) يسمى بدائيللوظيفة F(x).

التعريف 1. الوظيفة F(x F(x) في بعض الفترات X، إذا كان لجميع القيم xمن هذا الفاصل المساواة F "(x)=F(x) ، هذه هي الوظيفة F(x) هو مشتق من الدالة العكسية F(x). .

على سبيل المثال ، الوظيفة F(x) = الخطيئة x هي المشتق العكسي للوظيفة F(x) = كوس x على خط الأعداد بالكامل ، لأن أي قيمة لـ x (الخطيئة x) "= (cos x) .

التعريف 2. تكامل غير محدد للدالة F(x) هو جمع جميع مشتقاته العكسية. هذا يستخدم الترميز

∫

F(x)dx

,

أين العلامة ∫ تسمى علامة التكامل ، الوظيفة F(x) هو Integrand و F(x)dx هو Integrand.

وهكذا ، إذا F(x) بعض المشتقات العكسية لـ F(x) ، ومن بعد

∫

F(x)dx = F(x) +ج

أين ج - ثابت اعتباطي (ثابت).

لفهم معنى مجموعة المشتقات العكسية للدالة باعتبارها تكاملًا غير محدد ، يكون القياس التالي مناسبًا. يجب ألا يكون هناك باب (باب خشبي تقليدي). وظيفتها هي "أن تكون باباً". مما هو مصنوع من الباب؟ من الشجرة. هذا يعني أن مجموعة المشتقات العكسية للتكامل و "أن يكون بابًا" ، أي تكاملها غير المحدود ، هي الوظيفة "لتكون شجرة + C" ، حيث C ثابت ، والذي يمكن أن يشير في هذا السياق ، إلى على سبيل المثال ، أنواع الأشجار. كما أن الباب مصنوع من الخشب باستخدام بعض الأدوات ، فإن مشتق الوظيفة "مصنوع" من الوظيفة العكسية باستخدام الصيغة التي تعلمناها من خلال دراسة المشتق .

ثم جدول وظائف الأشياء المشتركة والأوليات المقابلة لها ("أن تكون بابًا" - "أن تكون شجرة" ، "أن تكون ملعقة" - "أن تكون معدنًا" ، إلخ.) يشبه جدول التكاملات الأساسية غير المحددة ، والتي سيتم توفيرها أدناه. يسرد جدول التكاملات غير المحددة الوظائف المشتركة ، مما يشير إلى المشتقات العكسية التي "تتكون" منها هذه الدوال. كجزء من مشاكل إيجاد تكامل غير محدد ، يتم إعطاء مثل هذه التكاملات التي يمكن دمجها مباشرة دون جهود خاصة ، أي وفقًا لجدول التكاملات غير المحددة. في المشكلات الأكثر تعقيدًا ، يجب أولاً تحويل التكامل و بحيث يمكن استخدام التكاملات الجدولية.

الحقيقة 2. استعادة دالة كمشتق عكسي ، يجب أن نأخذ في الاعتبار ثابتًا عشوائيًا (ثابت) ج، ولكي لا تكتب قائمة بالمشتقات العكسية ذات الثوابت المختلفة من 1 إلى اللانهاية ، فأنت بحاجة إلى كتابة مجموعة من المشتقات العكسية باستخدام ثابت تعسفي ج، مثل هذا: 5 x³ + ج. لذلك ، يتم تضمين ثابت تعسفي (ثابت) في التعبير عن المشتق العكسي ، حيث يمكن أن يكون المشتق العكسي دالة ، على سبيل المثال ، 5 x³ + 4 أو 5 x³ + 3 وعند التفريق بين 4 أو 3 أو أي ثابت آخر يتلاشى.

حددنا مشكلة التكامل: لدالة معينة F(x) تجد مثل هذه الوظيفة F(x), مشتقهامساوي ل F(x).

مثال 1أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة

المحلول. لهذه الوظيفة ، المشتق العكسي هو الوظيفة

دور F(x) يسمى مشتق عكسي للوظيفة F(x) إذا كان المشتق F(x) مساوي ل F(x) ، أو ما هو الشيء نفسه ، التفاضل F(x) مساوي ل F(x) dx، بمعنى آخر.

(2)

لذلك ، فإن الوظيفة مشتقة عكسية للدالة. ومع ذلك ، فهو ليس المشتق الوحيد لـ. هم أيضا وظائف

أين منثابت تعسفي. يمكن التحقق من ذلك عن طريق التمايز.

وبالتالي ، إذا كان هناك مشتق عكسي واحد للدالة ، فهناك مجموعة لا نهائية من المشتقات العكسية التي تختلف من خلال جمع ثابت. جميع المشتقات العكسية لوظيفة ما مكتوبة بالصيغة أعلاه. هذا يتبع من النظرية التالية.

نظرية (بيان رسمي للحقيقة 2).اذا كان F(x) هي المشتق العكسي للوظيفة F(x) في بعض الفترات X، ثم أي مشتق عكسي آخر لـ F(x) في نفس الفترة الزمنية يمكن تمثيلها كـ F(x) + ج، أين منثابت تعسفي.

في المثال التالي ، ننتقل بالفعل إلى جدول التكاملات ، والذي سيتم توفيره في الفقرة 3 ، بعد خصائص التكامل غير المحدد. نقوم بذلك قبل أن نتعرف على الجدول بأكمله ، بحيث يكون جوهر ما سبق واضحًا. وبعد الجدول والخصائص ، سنستخدمها بالكامل عند التكامل.

مثال 2ابحث عن مجموعات من المشتقات العكسية:

المحلول. نجد مجموعات من الدوال العكسية التي "تُصنع" منها هذه الوظائف. عند ذكر الصيغ من جدول التكاملات ، في الوقت الحالي ، ما عليك سوى قبول وجود مثل هذه الصيغ ، وسوف ندرس جدول التكاملات غير المحددة بالكامل بعد ذلك بقليل.

1) تطبيق الصيغة (7) من جدول التكاملات لـ ن= 3 ، نحصل عليها

2) استخدام الصيغة (10) من جدول التكاملات لـ ن= 1/3 لدينا

3) منذ

ثم وفقا للصيغة (7) في ن= -1/4 بحث

تحت علامة التكامل ، لا يكتبون الوظيفة نفسها F، وناتجها عن طريق التفاضل dx. يتم ذلك بشكل أساسي للإشارة إلى المتغير الذي يتم البحث عنه المشتق العكسي. فمثلا،

, ;

هنا في كلتا الحالتين ، تكاملها تساوي ، لكن تكاملاتها غير المحددة في الحالات المدروسة تكون مختلفة. في الحالة الأولى ، تعتبر هذه الوظيفة كدالة لمتغير x، وفي الثانية - كدالة ض .

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد للدالة بدمج هذه الوظيفة.

المعنى الهندسي للتكامل غير المحدد

فليكن مطلوبًا للعثور على منحنى ص = و (س)ونحن نعلم بالفعل أن مماس ميل المماس عند كل نقطة من نقاطه دالة معينة و (خ)الحد الأقصى لهذه النقطة.

وفقًا للمعنى الهندسي للمشتق ، ظل ميل منحدر الظل عند نقطة معينة على المنحنى ص = و (س)يساوي قيمة المشتق F "(x). إذن ، علينا إيجاد هذه الدالة و (س)، لأي منهم F "(x) = f (x). الوظيفة المطلوبة في المهمة و (س)مشتق من و (خ). لا يتم تلبية حالة المشكلة من خلال منحنى واحد ، ولكن من خلال مجموعة من المنحنيات. ص = و (س)- أحد هذه المنحنيات وأي منحنى آخر يمكن الحصول عليه منه بالترجمة المتوازية على طول المحور أوي.

دعنا نسمي التمثيل البياني للدالة العكسية لـ و (خ)منحنى متكامل. اذا كان F "(x) = f (x)، ثم الرسم البياني للدالة ص = و (س)هو منحنى متكامل.

الحقيقة 3. يتم تمثيل التكامل غير المحدد هندسيًا بواسطة عائلة جميع المنحنيات المتكاملة كما في الصورة أدناه. يتم تحديد مسافة كل منحنى من الأصل بواسطة ثابت تعسفي (ثابت) للتكامل ج.

خصائص التكامل غير المحدود

حقيقة 4. نظرية 1. مشتق تكامل غير محدد يساوي التكامل ، ومشتقه يساوي التكامل.

حقيقة 5. نظرية 2. التكامل غير المحدد لتفاضل وظيفة F(x) يساوي الوظيفة F(x) إلى حد ثابت ، بمعنى آخر.

(3)

توضح النظريتان 1 و 2 أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان.

حقيقة 6. نظرية 3. يمكن إخراج العامل الثابت في التكامل غير المحدد من علامة التكامل غير المحدد ، بمعنى آخر.

ستجد في هذه الصفحة:

1. في الواقع ، جدول المشتقات العكسية - يمكن تنزيله بصيغة PDF وطباعته ؛

2. فيديو عن كيفية استخدام هذا الجدول.

3. مجموعة من الأمثلة على حساب المشتق العكسي من مختلف الكتب والاختبارات.

في الفيديو نفسه ، سنحلل الكثير من المهام التي تتطلب حساب وظائف عكسية ، غالبًا ما تكون معقدة جدًا ، ولكن الأهم من ذلك أنها ليست قانون سلطة. يجب معرفة جميع الوظائف الملخصة في الجدول أعلاه عن ظهر قلب ، مثل المشتقات. بدونها ، من المستحيل إجراء مزيد من الدراسة للتكاملات وتطبيقها لحل المشكلات العملية.

نواصل اليوم التعامل مع الأوليات وننتقل إلى موضوع أكثر تعقيدًا بعض الشيء. إذا نظرنا في المرة الأخيرة في المشتقات العكسية فقط من وظائف الطاقة والبنى الأكثر تعقيدًا ، فسنقوم اليوم بتحليل علم المثلثات وأكثر من ذلك بكثير.

كما قلت في الدرس الأخير ، المشتقات العكسية ، على عكس المشتقات ، لا يتم حلها "فارغة" باستخدام أي قواعد قياسية. علاوة على ذلك ، فإن الأخبار السيئة هي أنه ، على عكس المشتق ، قد لا يتم اعتبار المشتق العكسي على الإطلاق. إذا كتبنا دالة عشوائية تمامًا وحاولنا إيجاد مشتقها ، فسننجح باحتمالية عالية جدًا ، لكن المشتقة العكسية لن تُحسب أبدًا في هذه الحالة. ولكن هناك أيضًا أخبار سارة: هناك فئة كبيرة إلى حد ما من الوظائف تسمى الوظائف الأولية ، والتي يسهل حساب المشتقات العكسية لها. وجميع التركيبات الأخرى الأكثر تعقيدًا التي يتم تقديمها في ضوابط مختلفة ومستقلة وامتحانات ، في الواقع ، تتكون من هذه الوظائف الأولية عن طريق الجمع والطرح والإجراءات البسيطة الأخرى. لطالما تم حساب المشتقات العكسية لمثل هذه الدوال وتلخيصها في جداول خاصة. مع هذه الوظائف والجداول سنعمل اليوم.

لكننا سنبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بالتكرار: تذكر ما هي المشتق العكسي ، ولماذا يوجد عدد لا نهائي منها ، وكيفية تحديد شكلها العام. للقيام بذلك ، قمت باختيار مهمتين بسيطتين.

حل الأمثلة السهلة

مثال 1

لاحظ على الفور أن $ \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) $ ووجود $ \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () يلمح $ فورًا إلى أن المشتقة العكسية المطلوبة للدالة مرتبطة بعلم المثلثات. وبالفعل ، إذا نظرنا إلى الجدول ، نجد أن $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ ليس سوى $ \ text (arctg) x $. لذلك دعونا نكتب:

من أجل العثور ، عليك كتابة ما يلي:

\ [\ frac (\ pi) (6) = \ text (arctg) \ sqrt (3) + C \]

\ [\ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (3) + C \]

المثال رقم 2

نحن هنا نتحدث أيضًا عن الدوال المثلثية. إذا نظرنا إلى الجدول ، فعندئذ ، في الواقع ، سيظهر على النحو التالي:

نحن بحاجة إلى إيجاد من بين مجموعة المشتقات العكسية الكاملة التي تمر عبر النقطة المحددة:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) + C \]

دعنا نكتبها أخيرًا:

بكل بساطة. المشكلة الوحيدة هي أنه من أجل حساب المشتقات العكسية للوظائف البسيطة ، تحتاج إلى معرفة جدول المشتقات العكسية. ومع ذلك ، بعد تعلم جدول المشتقات بالنسبة لك ، أعتقد أن هذا لن يكون مشكلة.

حل المسائل التي تحتوي على دالة أسية

لنبدأ بكتابة الصيغ التالية:

\ [((e) ^ (x)) \ إلى ((e) ^ (x)) \]

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]

دعونا نرى كيف يعمل هذا كله في الممارسة.

مثال 1

إذا نظرنا إلى محتويات الأقواس ، فسنلاحظ أنه لا يوجد في جدول المشتقات العكسية تعبير مثل $ ((e) ^ (x)) $ في مربع ، لذلك يجب فتح هذا المربع. للقيام بذلك ، نستخدم صيغ الضرب المختصرة:

لنجد المشتق العكسي لكل مصطلح:

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (((e) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ left (((e) ^ (2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ left (((e ) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]

والآن نجمع كل الحدود في تعبير واحد ونحصل على المشتق العكسي المشترك:

المثال رقم 2

هذه المرة ، الأس أكبر بالفعل ، لذا فإن صيغة الضرب المختصرة ستكون معقدة للغاية. دعنا نفدد الأقواس:

الآن دعونا نحاول أخذ المشتقة العكسية للصيغة الخاصة بنا من هذا البناء:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد وخارق للطبيعة في المشتقات العكسية للدالة الأسية. يتم حساب كل واحد من خلال الجداول ، ومع ذلك ، سيلاحظ الطلاب اليقظون بالتأكيد أن المشتق العكسي $ ((e) ^ (2x)) $ أقرب كثيرًا إلى $ ((e) ^ (x)) $ من $ ((a ) ^ (x)) $. لذا ، ربما توجد بعض القواعد الخاصة التي تسمح ، بمعرفة المشتق العكسي $ ((e) ^ (x)) $ ، بالعثور على $ ((e) ^ (2x)) $؟ نعم ، هناك مثل هذه القاعدة. علاوة على ذلك ، فهو جزء لا يتجزأ من العمل مع جدول المشتقات العكسية. سنقوم الآن بتحليلها باستخدام نفس التعبيرات التي استخدمناها للتو كمثال.

قواعد العمل مع جدول المشتقات العكسية

دعنا نعيد كتابة وظيفتنا:

في الحالة السابقة ، استخدمنا الصيغة التالية لحل المشكلة:

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ operatorname (lna)) \]

ولكن الآن لنفعل شيئًا مختلفًا: تذكر على أي أساس $ ((e) ^ (x)) \ to ((e) ^ (x)) $. كما ذكرنا سابقًا ، نظرًا لأن مشتق $ ((e) ^ (x)) $ ليس سوى $ ((e) ^ (x)) $ ، لذا فإن مشتقه العكسي سيكون مساويًا لنفس $ ((e) ^ ( x)) $. لكن المشكلة هي أن لدينا $ ((e) ^ (2x)) $ و $ ((e) ^ (- 2x)) $. لنحاول الآن إيجاد المشتق $ ((e) ^ (2x)) $:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ left (2x \ right)) ^ ( \ رئيس)) = 2 \ cdot ((هـ) ^ (2 س)) \]

دعنا نعيد كتابة بنائنا مرة أخرى:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

وهذا يعني أنه عند إيجاد المشتق العكسي $ ((e) ^ (2x)) $ ، نحصل على ما يلي:

\ [((e) ^ (2x)) \ to \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

كما ترى ، حصلنا على نفس النتيجة كما في السابق ، لكننا لم نستخدم الصيغة للعثور على $ ((a) ^ (x)) $. الآن قد يبدو هذا غبيًا: لماذا تعقد العمليات الحسابية عندما تكون هناك صيغة قياسية؟ ومع ذلك ، في التعبيرات الأكثر تعقيدًا ، سترى أن هذه التقنية فعالة جدًا ، أي باستخدام المشتقات لإيجاد المشتقات العكسية.

دعنا ، كإحماء ، نجد المشتق العكسي $ ((e) ^ (2x)) $ بطريقة مماثلة:

\ [((\ left (((e) ^ (- 2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ left (-2 \ right) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (- 2x))) (- 2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

عند الحساب ، سيتم كتابة بنائنا على النحو التالي:

\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]

حصلنا على نفس النتيجة بالضبط ، لكننا ذهبنا في الاتجاه الآخر. بهذه الطريقة ، التي تبدو لنا الآن أكثر تعقيدًا ، ستكون في المستقبل أكثر فاعلية لحساب المشتقات العكسية الأكثر تعقيدًا واستخدام الجداول.

ملحوظة! هذه نقطة مهمة للغاية: يمكن حساب المشتقات العكسية ، مثل المشتقات ، بعدة طرق مختلفة. ومع ذلك ، إذا كانت جميع العمليات الحسابية والحسابات متساوية ، فستكون الإجابة هي نفسها. لقد رأينا هذا للتو في مثال $ ((e) ^ (- 2x)) $ - من ناحية ، قمنا بحساب هذه المشتقة العكسية "طوال الوقت" ، باستخدام التعريف وحسابها بمساعدة التحويلات ، على من ناحية أخرى ، تذكرنا أن $ ((e) ^ (- 2x)) $ يمكن تمثيله كـ $ ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) $ ثم استخدم المشتق العكسي للدالة $ ((a) ^ (x)) $. ومع ذلك ، بعد كل التحولات ، النتيجة هي نفسها كما هو متوقع.

والآن بعد أن فهمنا كل هذا ، حان الوقت للانتقال إلى شيء أكثر جوهرية. سنقوم الآن بتحليل بنائين بسيطين ، ومع ذلك ، فإن التقنية التي سيتم وضعها عند حلها هي أداة أكثر قوة وفائدة من "التشغيل" البسيط بين المشتقات العكسية المجاورة من الجدول.

حل المشكلة: أوجد المشتق العكسي للدالة

مثال 1

أعط المقدار الموجود في البسط ، حلل إلى ثلاثة كسور منفصلة:

هذا انتقال طبيعي ومفهوم إلى حد ما - معظم الطلاب ليس لديهم مشاكل في ذلك. دعنا نعيد كتابة تعبيرنا على النحو التالي:

الآن دعنا نتذكر هذه الصيغة:

في حالتنا ، سوف نحصل على ما يلي:

للتخلص من كل هذه الكسور المكونة من ثلاثة طوابق ، أقترح القيام بما يلي:

المثال رقم 2

على عكس الكسر السابق ، المقام ليس حاصل الضرب ، ولكن المجموع. في هذه الحالة ، لم يعد بإمكاننا قسمة الكسر على مجموع عدة كسور بسيطة ، لكن علينا بطريقة ما أن نحاول التأكد من احتواء البسط على نفس تعبير المقام تقريبًا. في هذه الحالة ، من السهل جدًا القيام بما يلي:

مثل هذا الترميز ، الذي يسمى في لغة الرياضيات "إضافة صفر" ، سيسمح لنا مرة أخرى بتقسيم الكسر إلى جزأين:

لنجد الآن ما كنا نبحث عنه:

هذا كل الحسابات. على الرغم من التعقيد الواضح أكثر مما كان عليه في المشكلة السابقة ، فقد تبين أن حجم الحسابات أصغر.

الفروق الدقيقة في الحل

وهذا هو المكان الذي تكمن فيه الصعوبة الرئيسية للعمل مع الأوليات المجدولة ، وهذا ملحوظ بشكل خاص في المهمة الثانية. الحقيقة هي أنه من أجل تحديد بعض العناصر التي يمكن عدها بسهولة من خلال الجدول ، نحتاج إلى معرفة ما نبحث عنه بالضبط ، وفي البحث عن هذه العناصر يتكون الحساب الكامل للمشتقات العكسية.

بعبارة أخرى ، لا يكفي مجرد حفظ جدول المشتقات العكسية - يجب أن تكون قادرًا على رؤية شيء غير موجود بعد ، ولكن ما يعنيه المؤلف والمجمع لهذه المشكلة. هذا هو السبب في أن العديد من علماء الرياضيات والمدرسين والأساتذة يجادلون باستمرار: "ما الذي يأخذ المشتقات العكسية أو التكامل - هل هو مجرد أداة أم هو فن حقيقي؟" في الواقع ، في رأيي الشخصي ، التكامل ليس فنًا على الإطلاق - لا يوجد شيء سامي فيه ، إنه مجرد ممارسة وممارسة مرة أخرى. وللممارسة ، دعونا نحل ثلاثة أمثلة أكثر جدية.

تكامل الممارسة في الممارسة

مهمة 1

لنكتب الصيغ التالية:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

\ [\ frac (1) (x) \ to \ ln x \]

\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ to \ text (arctg) x \]

لنكتب ما يلي:

المهمة رقم 2

دعنا نعيد كتابتها على النحو التالي:

مجموع المشتقات العكسية سيكون مساوياً لـ:

المهمة رقم 3

يكمن تعقيد هذه المهمة في حقيقة أنه ، على عكس الوظائف السابقة ، لا يوجد متغير $ x $ أعلاه ، أي ليس من الواضح لنا ما يجب إضافته أو طرحه للحصول على شيء مشابه على الأقل لما هو موجود أدناه. ومع ذلك ، في الواقع ، يعتبر هذا التعبير أبسط من أي تعبير من التركيبات السابقة ، لأنه يمكن إعادة كتابة هذه الوظيفة على النحو التالي:

قد تسأل الآن: لماذا هذه الوظائف متساوية؟ دعونا تحقق:

دعنا نعيد الكتابة مرة أخرى:

دعنا نغير تعبيرنا قليلاً:

وعندما أشرح كل هذا لطلابي ، تظهر المشكلة نفسها دائمًا تقريبًا: مع الوظيفة الأولى يكون كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا ، مع الوظيفة الثانية يمكنك أيضًا اكتشافها بالحظ أو الممارسة ، ولكن ما نوع الوعي البديل الذي يفعله تحتاج إلى حل المثال الثالث؟ في الواقع ، لا تخف. التقنية التي استخدمناها عند حساب المشتق العكسي الأخير تسمى "تحليل دالة إلى أبسط" ، وهذه تقنية خطيرة للغاية ، وسيتم تخصيص درس فيديو منفصل لها.

في غضون ذلك ، أقترح العودة إلى ما درسناه للتو ، أي الوظائف الأسية وتعقيد المهام إلى حد ما بمحتواها.

مشاكل أكثر تعقيدًا لحل الدوال الأسية العكسية

مهمة 1

لاحظ ما يلي:

\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ left (2 \ cdot 5 \ right)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]

للعثور على المشتق العكسي لهذا التعبير ، ما عليك سوى استخدام الصيغة القياسية $ ((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $.

في حالتنا ، ستكون البدائية كما يلي:

بالطبع ، على خلفية البناء الذي توصلنا إليه للتو ، يبدو هذا أبسط.

المهمة رقم 2

مرة أخرى ، من السهل ملاحظة أنه من السهل تقسيم هذه الوظيفة إلى فترتين منفصلتين - كسرين منفصلين. دعنا نعيد كتابة:

يبقى العثور على المشتق العكسي لكل من هذه المصطلحات وفقًا للصيغة أعلاه:

على الرغم من التعقيد الواضح الأكبر للوظائف الأسية مقارنة بوظائف الطاقة ، فقد تبين أن المبلغ الإجمالي للحسابات والحسابات أبسط بكثير.

بالطبع ، بالنسبة للطلاب المطلعين ، فإن ما تعاملنا معه للتو (خاصة على خلفية ما تعاملنا معه من قبل) قد يبدو تعبيرات أولية. ومع ذلك ، باختيار هاتين المهمتين لفيديو تعليمي اليوم ، لم أضع لنفسي هدفًا لإخبارك بخدعة أخرى معقدة وصعبة - كل ما أردت إظهاره لك هو أنه لا يجب أن تخاف من استخدام حيل الجبر القياسية لتحويل الوظائف الأصلية .

باستخدام تقنية "السر"

في الختام ، أود أن أحلل تقنية أخرى مثيرة للاهتمام ، والتي ، من ناحية ، تتجاوز ما حللناه بشكل أساسي اليوم ، لكنها ، من ناحية أخرى ، أولاً ، ليست معقدة بأي حال من الأحوال ، أي. حتى الطلاب المبتدئين يمكنهم إتقانها ، وثانيًا ، غالبًا ما توجد في جميع أنواع التحكم والعمل المستقل ، أي مع العلم أنه سيكون مفيدًا جدًا بالإضافة إلى معرفة جدول المشتقات العكسية.

مهمة 1

من الواضح أن لدينا شيئًا مشابهًا جدًا لدالة القدرة. كيف يجب أن نمضي قدما في هذه الحالة؟ لنفكر في الأمر: $ x-5 $ يختلف عن $ x $ ليس كثيرًا - فقط أضف $ -5 $. دعنا نكتبها على هذا النحو:

\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((\ left (\ frac (((x) ^ (5)))) (5) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((س) ^ (4)) \]

لنحاول إيجاد مشتق $ ((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) $:

\ [((\ left (((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \]

هذا يعني:

\ [((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) = ((\ left (\ frac (((\ left (x-5 \ right)) ^ (5))) (5) \ يمين)) ^ (\ رئيس)) \]

لا توجد مثل هذه القيمة في الجدول ، لذا فقد اشتقنا هذه الصيغة بأنفسنا ، باستخدام الصيغة القياسية العكسية لدالة القدرة. لنكتب الإجابة على هذا النحو:

المهمة رقم 2

بالنسبة للعديد من الطلاب الذين ينظرون إلى الحل الأول ، قد يبدو أن كل شيء بسيط للغاية: يكفي استبدال $ x $ في دالة الطاقة بتعبير خطي ، وسيصبح كل شيء في مكانه الصحيح. لسوء الحظ ، كل شيء ليس بهذه البساطة ، والآن سنرى هذا.

قياسا على التعبير الأول نكتب ما يلي:

\ [((x) ^ (9)) \ to \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = 10 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (\ prime)) = \]

\ [= 10 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \ cdot \ left (-3 \ right) = - 30 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \]

بالعودة إلى المشتق الخاص بنا ، يمكننا كتابة:

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 30 \ cdot ((\ left (4-3x \ right) ) ^ (9)) \]

\ [((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) = ((\ left (\ frac (((\ left (4-3x \ right)) ^ (10))) (- 30) \ يمين)) ^ (\ رئيس)) \]

من هنا يتبع على الفور:

الفروق الدقيقة في الحل

يرجى ملاحظة: إذا لم يتغير أي شيء بشكل أساسي في المرة الأخيرة ، في الحالة الثانية ، ظهر $ -30 $ بدلاً من $ -10 $. ما هو الفرق بين $ -10 $ و $ -30 $؟ من الواضح ، بمعامل قدره -3 دولارات. سؤال: من أين أتت؟ بالنظر عن كثب ، يمكنك أن ترى أنه تم أخذها كنتيجة لحساب مشتق دالة معقدة - يظهر المعامل الذي كان عند $ x $ في المشتق العكسي أدناه. هذه قاعدة مهمة للغاية ، لم أخطط في البداية لتحليلها على الإطلاق في فيديو تعليمي اليوم ، ولكن بدونها ، سيكون عرض المشتقات العكسية المجدولة غير مكتمل.

لذلك دعونا نفعل ذلك مرة أخرى. يجب ألا تكون هناك وظيفة القوة الرئيسية لدينا:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

والآن ، بدلًا من $ x $ ، دعونا نستبدل التعبير $ kx + b $. ماذا سيحدث بعد ذلك؟ نحتاج إلى إيجاد ما يلي:

\ [((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ to \ frac (((\ left (kx + b \ right)) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1 \ حق) \ cdot ك) \]

على أي أساس نؤكد هذا؟ بسيط جدا. دعنا نجد مشتق البناء المكتوب أعلاه:

\ [((\ left (\ frac (((\ left (kx + b \ right)) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1 \ right) \ cdot k) \ right)) ^ ( \ رئيس)) = \ frac (1) (\ يسار (n + 1 \ يمين) \ cdot k) \ cdot \ يسار (n + 1 \ يمين) \ cdot ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \]

هذا هو نفس التعبير الذي كان في الأصل. وبالتالي ، فإن هذه الصيغة صحيحة أيضًا ، ويمكن استخدامها لتكملة جدول المشتقات العكسية ، ولكن من الأفضل تذكر الجدول بأكمله.

استنتاجات من "السر: الاستقبال:

• كلتا الوظيفتين اللتين نظرنا فيهما للتو ، في الواقع ، يمكن اختزالها إلى المشتقات العكسية الموضحة في الجدول عن طريق فتح الدرجات ، ولكن إذا تمكنا من التعامل مع الدرجة الرابعة بشكل أو بآخر ، فلن أفعل الدرجة التاسعة على الإطلاق غامر بالكشف.
• إذا فتحنا الدرجات ، فسنحصل على حجم من العمليات الحسابية بحيث تستغرق مهمة بسيطة وقتًا غير كافٍ.
• هذا هو السبب في أن مثل هذه المهام ، التي توجد بداخلها تعبيرات خطية ، لا تحتاج إلى حل "فارغ". بمجرد أن تقابل المشتق العكسي ، والذي يختلف عن الموجود في الجدول فقط من خلال وجود التعبير $ kx + b $ بالداخل ، تذكر فورًا الصيغة المكتوبة أعلاه ، واستبدلها في المشتق العكسي المجدول ، وسيظهر كل شيء كثيرًا أسرع وأسهل.

بطبيعة الحال ، نظرًا لتعقيد هذه التقنية وخطورتها ، سنعود مرارًا وتكرارًا إلى دراستها في دروس الفيديو المستقبلية ، لكن لدي اليوم كل شيء. آمل أن يساعد هذا الدرس حقًا الطلاب الذين يرغبون في فهم المشتقات العكسية والتكامل.

التعريف 1

المشتق العكسي $ F (x) $ للدالة $ y = f (x) $ في المقطع $$ هو دالة قابلة للتفاضل في كل نقطة من هذا المقطع والمساواة التالية تنطبق على مشتقها:

التعريف 2

تسمى مجموعة جميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة $ y = f (x) $ المحددة في جزء ما بالتكامل غير المحدود للدالة المعطاة $ y = f (x) $. يتم الإشارة إلى التكامل غير المحدد بالرمز $ \ int f (x) dx $.

من جدول المشتقات والتعريف 2 ، نحصل على جدول التكاملات الأساسية.

مثال 1

تحقق من صحة الصيغة 7 من جدول التكاملات:

\ [\ int tgxdx = - \ ln | \ cos x | + C ، \ ، \ ، C = const. \]

لنفرق الجانب الأيمن: $ - \ ln | \ cos x | + C $.

\ [\ left (- \ ln | \ cos x | + C \ right) "= - \ frac (1) (\ cos x) \ cdot (- \ sin x) = \ frac (\ sin x) (\ cos س) = tgx \]

مثال 2

تحقق من صحة الصيغة 8 من جدول التكاملات:

\ [\ int ctgxdx = \ ln | \ sin x | + C ، \ ، \ ، C = const. \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ ln | \ sin x | + C $.

\ [\ left (\ ln | \ sin x | \ right) "= \ frac (1) (\ sin x) \ cdot \ cos x = ctgx \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 3

تحقق من صحة الصيغة 11 "من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) + x ^ (2)) = \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C ، \ ، \ ، C = const . \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ left (\ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C \ right) "= \ frac (1) (a) \ cdot \ frac (1) (1+ \ left ( \ frac (x) (a) \ right) ^ (2)) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a ^ (2)) \ cdot \ frac (a ^ (2)) (أ ^ (2) + س ^ (2)) \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 4

تحقق من صحة الصيغة 12 من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) -x ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C، \، \، C = const. \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C $.

$ \ left (\ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C \ right) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac ( 1) (\ frac (a + x) (a-x)) \ cdot \ left (\ frac (a + x) (a-x) \ right) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (a-x) ( a + x) \ cdot \ frac (a-x + a + x) ((a-x) ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (a-x) (a + x) \ cdot \ frac (2a) ((a-x) ^ (2)) = \ frac (1) (a ^ (2) -x ^ (2)) $ المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 5

تحقق من صحة الصيغة 13 "من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C ، \ ، \ ، C = const. \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ left (\ arcsin \ frac (x) (a) + C \ right) "= \ frac (1) (\ sqrt (1- \ left (\ frac (x) (a) \ right) ^ (2 ))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (a) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac ( 1) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 6

تحقق من صحة الصيغة 14 من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C، \، \، C = const. \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C $.

\ [\ يسار (\ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C \ right) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm أ ^ (2))) \ cdot \ يسار (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) \ right) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (2 \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot 2x \ right) = \] \ [ = \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ frac (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) + x) ( \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 7

أوجد التكامل:

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx. \]

دعنا نستخدم نظرية المجموع المتكامل:

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx = \ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx. \]

لنستخدم النظرية في إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx = \ int \ cos (3x + 2) dx +5 \ int xdx. \]

حسب جدول التكاملات:

\ [\ int \ cos x dx = \ sin x + C ؛ \] \ [\ int xdx = \ frac (x ^ (2)) (2) + C. \]

عند حساب التكامل الأول ، نستخدم القاعدة 3:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1). \]

بالتالي،

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1) + \ frac (5x ^ (2) ) (2) + C_ (2) = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + \ frac (5x ^ (2)) (2) + C ، \ ، \ ، C = C_ (1 ) + C_ (2) \]