نظريات عدم الاكتمال في جوديل لها معنى فلسفي. اعتراف منطق عظيم

نظرية عدم الاكتمال عند وديل

Uspensky V.A.

ربما تكون نظرية عدم الاكتمال لدى جوديل فريدة حقًا. فريد من نوعه من حيث أنهم يشيرون إليه عندما يريدون إثبات "كل شيء في العالم" - من وجود الآلهة إلى غياب العقل. لطالما كنت مهتمًا بمزيد من "السؤال الأساسي" - ومن بين أولئك الذين يشيرون إلى نظرية عدم الاكتمال لا يستطيع فقط صياغتها ، ولكن أيضًا إثباتها؟ أنا أنشر هذه المقالةلسبب أنه يقدم صياغة سهلة الوصول جدًا لنظرية جوديل. أوصي بأن تقرأ أولاً مقالة Tullio Regge Kurt Gödel ونظريته الشهيرة

الاستنتاج حول استحالة وجود معيار عالمي للحقيقة هو نتيجة مباشرة للنتيجة التي حصل عليها تارسكي من خلال الجمع بين نظرية غودل غير القابلة للتقرير مع نظريته الخاصة عن الحقيقة ، والتي وفقًا لها لا يمكن أن يكون هناك معيار عالمي للحقيقة حتى في منطقة ضيقة نسبيًا. من نظرية الأعداد ، وبالتالي لأي علم يستخدم الحساب. بطبيعة الحال ، تنطبق هذه النتيجة من باب أولى على مفهوم الحقيقة في أي مجال معرفي غير رياضي يستخدم فيه الحساب على نطاق واسع.

كارل بوبر

ولد أوسبنسكي فلاديمير أندريفيتش في 27 نوفمبر 1930 في موسكو. تخرج من كلية الميكانيكا والرياضيات بجامعة موسكو الحكومية (1952). دكتوراه في العلوم الفيزيائية والرياضية (1964). أستاذ ، رئيس قسم المنطق الرياضي ونظرية الخوارزميات في كلية الميكانيكا والرياضيات (1966). يقرأ دورات المحاضرات "مقدمة في المنطق الرياضي" ، "الوظائف المحسوبة" ، "نظرية الاكتمال لجودل". إعداد 25 مرشحا و 2 طبيب علوم

1. بيان المشكلة

نظرية عدم الاكتمال ، الصيغة الدقيقة التي سنقدمها في نهاية هذا الفصل ، وربما لاحقًا (إذا كان القارئ مهتمًا بهذا) والإثبات ، تنص تقريبًا على ما يلي: في ظل ظروف معينة ، توجد لغة صحيحة ، ولكن عبارات غير قابلة للإثبات.

عندما نصوغ نظرية بهذه الطريقة ، تتطلب كل كلمة تقريبًا بعض الشرح. لذلك ، سنبدأ بشرح معنى الكلمات التي نستخدمها في هذه الصيغة.

1.1 لغة

لن نعطي التعريف الأكثر عمومية للغة ، مفضلين حصر أنفسنا في مفاهيم اللغة التي سنحتاجها لاحقًا. هناك نوعان من هذه المفاهيم: "أبجدية اللغة" و "مجموعة البيانات الصحيحة للغة".

1.1.1. الأبجدية

نعني بالأبجدية مجموعة محدودة من العلامات الأولية (أي الأشياء التي لا يمكن تقسيمها إلى أجزاء مكونة). تسمى هذه الأحرف بأحرف الأبجدية. نعني بكلمة الأبجدية التسلسل النهائيحروف. على سبيل المثال ، الكلمات العادية في اللغة الإنجليزية (بما في ذلك أسماء العلم) هي كلمات الأبجدية المكونة من 54 حرفًا (26 حرفًا صغيرًا و 26 حرفًا كبيرًا وشرطة وعلامة اقتباس أحادية). مثال آخر هو الأعداد الطبيعية في العشريهي كلمات الأبجدية المكونة من 10 أحرف ، والتي تكون أحرفها علامات: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. للإشارة إلى الأبجدية ، سنستخدم الأحرف الكبيرة العادية. إذا كانت L هي أبجدية ، إذن L؟ سيشير إلى مجموعة كل كلمات الأبجدية L ، - الكلمات المكونة من حروفها. سنفترض أن أي لغة لها أبجدية خاصة بها ، بحيث تكون جميع تعبيرات هذه اللغة (أي أسماء أشياء مختلفة ، عبارات حول هذه الأشياء ، إلخ) كلمات من هذه الأبجدية. على سبيل المثال ، أي اقتراح اللغة الإنجليزية، بالإضافة إلى أي نص مكتوب باللغة الإنجليزية ، يمكن اعتباره كلمة من الأبجدية الممتدة المكونة من 54 حرفًا ، والتي تتضمن أيضًا علامات الترقيم ، ومسافة الكلمات البينية ، وعلامة الخط الأحمر ، وربما بعض الأحرف الأخرى المفيدة. بافتراض أن تعبيرات اللغة هي كلمات من بعض الأبجدية ، فإننا بذلك نستبعد من اعتبار التعبيرات "متعددة الطبقات" مثل ؟؟؟ f (x) dx. ومع ذلك ، فإن هذا القيد ليس مهمًا للغاية ، لأن أي تعبير من هذا القبيل ، باستخدام الاصطلاحات المناسبة ، يمكن "تمديده" إلى شكل خطي. أي مجموعة M الواردة في L؟ تسمى مجموعة كلمات من الأبجدية L. إذا قلنا ببساطة أن M هي مجموعة كلمات ، فإننا نعني أنها كلمة من بعض الأبجدية. الآن يمكن إعادة صياغة افتراض اللغة أعلاه على النحو التالي: في أي لغة ، فإن أي مجموعة من التعبيرات هي مجموعة كلمات.

1.1.2. الكثير من الادعاءات الحقيقية

نفترض أننا حصلنا على مجموعة فرعية T من المجموعة L؟ (حيث L هي الأبجدية لبعض اللغات التي ندرسها) ، والتي تسمى مجموعة "العبارات الصحيحة" (أو ببساطة "الحقائق"). بالانتقال مباشرة إلى المجموعة الفرعية T ، نحذف الخطوات الوسيطة التالية للتفكير: أولاً ، أي كلمات من الأبجدية L هي تعبيرات جيدة التكوين للغة ، أي ، قيمة معينةفي تفسيرنا لهذه اللغة (على سبيل المثال ، 2 + 3 ، x + 3 ، x = y ، x = 3 ، 2 = 3 ، 2 = 2 هي تعبيرات جيدة التكوين ، بينما التعبيرات مثل + = x ليست كذلك) ؛ ثانيًا ، ما هي التعبيرات التي هي صيغ ، أي قد تعتمد على معلمة (على سبيل المثال ، x = 3 ، x = y ، 2 = 3 ، 2 = 2) ؛ ثالثًا ، أي من الصيغ عبارة عن صيغ مغلقة ، أي العبارات التي لا تعتمد على المعلمات (على سبيل المثال ، 2 = 3 ، 2 = 2) ؛ وأخيرًا ، ما هي الصيغ المغلقة عبارة عن عبارات صحيحة (على سبيل المثال ، 2 = 2).

1.1.3. زوج لغوي أساسي

1.2 "غير قابل للإثبات"

"غير قابل للإثبات" يعني عدم وجود دليل.

1.3 دليل - إثبات

على الرغم من حقيقة أن مصطلح "إثبات" ربما يكون من أهم المصطلحات في الرياضيات (بدأ البوربكي كتابهم "أساسيات الرياضيات" بالكلمات التالية: "منذ زمن الإغريق ، فإن قول" رياضيات "يعني نفس بقوله "إثبات") ، ليس لديه تعريف دقيق. بشكل عام ، ينتمي مفهوم الإثبات بكل فروعه الدلالية إلى مجال علم النفس وليس إلى مجال الرياضيات. ولكن مهما كان الأمر ، فإن الدليل هو مجرد حجة نجدها بأنفسنا مقنعة تمامًا من أجل إقناع الجميع.

عند تدوينه ، يصبح البرهان كلمة في بعض الأبجدية P ، تمامًا مثل أي كلمة أخرى الانجليزية النصهي كلمة من الأبجدية L ، تم تقديم مثال لها أعلاه. تشكل مجموعة جميع البراهين مجموعة فرعية (ومجموعة فرعية كبيرة جدًا) من المجموعة P ؟. لن نحاول تقديم تعريف دقيق لهذا المفهوم "الساذج" و "المطلق" للإثبات ، أو - أيهما مكافئ - لتحديد المجموعة الفرعية المقابلة من P ؟. بدلاً من ذلك ، سننظر في نظير رسمي لهذا المفهوم الغامض ، والذي سنستمر في استخدام مصطلح "إثبات" فيما يلي. يحتوي هذا التناظرية على ميزتين مهمتين للغاية تميزه عن المفهوم الحدسي (على الرغم من أن الفكرة البديهية للإثبات لا تزال تعكس هذه الميزات إلى حد ما). بادئ ذي بدء ، نفترض أن هناك مفاهيم مختلفة للإثبات ، أي أن مجموعات فرعية مختلفة من البراهين في P؟ مسموح بها ، بل وأكثر من ذلك: سنفترض ، في الواقع ، أن أبجدية براهين P نفسها يمكن أن تتغير . فيما يلي ، سوف نطلب وجود طريقة فعالة لكل مفهوم إثبات من هذا القبيل ، وبعبارة أخرى ، خوارزمية تحدد بالضرورة ما إذا كانت كلمة معينةالأبجدية P برهان أم لا. نفترض أيضًا أن هناك خوارزمية يمكنها دائمًا تحديد البيان الذي يثبت دليل معين. (في كثير من الحالات ، البيان الذي يتم إثباته هو ببساطة البيان الأخير في تسلسل الخطوات التي تشكل الدليل.)

وبالتالي ، فإن صياغتنا النهائية للتعريف هي كما يلي:

(1) لدينا الأبجدية L (أبجدية اللغة) والأبجدية P (أبجدية الإثبات).

(2) لدينا مجموعة P وهي مجموعة فرعية من P؟ والتي تسمى عناصرها "الإثباتات". في المستقبل ، سنفترض أن لدينا أيضًا خوارزمية تسمح لنا بتحديد ما إذا كانت الكلمة التعسفية للأبجدية P هي عنصر من المجموعة P ، أي إثبات أم لا.

(3) أيضا لدينا وظيفة؟ (للعثور على ما تم إثباته بالضبط) ، من هو المجال؟ يفي بالشرط P ، P ، ومداها P ؟. نفترض أن لدينا خوارزمية تحسب هذه الوظيفة (المعنى الدقيق للكلمات "تحسب الخوارزمية دالة" هو التالي: يتم الحصول على قيم الدالة باستخدام هذه الخوارزمية - مجموعة من قواعد التحويل الخاصة). سنقول أن العنصر p؟ P دليل على كلمة؟ (ع) من الأبجدية L.

ترويكا<Р, Р, ?>، الشروط المرضية (1) - (3) تسمى النظام الاستنتاجي على الأبجدية L.

للقارئ المطلع على الطريقة المعتادة لتعريف "الدليل" من حيث "البديهية" و "قاعدة الاستدلال" ، سنشرح الآن كيف يمكن اعتبار هذه الطريقة حالة خاصة للتعريف الوارد في القسم 1.3.2. أي أن الإثبات يُعرَّف عادةً على أنه سلسلة من هذه التعبيرات اللغوية ، كل منها إما بديهية أو تم الحصول عليها مسبقًا من عبارات موجودة بالفعل باستخدام إحدى قواعد الاستدلال. إذا أضفنا كلمة جديدة * إلى الأبجدية في لغتنا ، فيمكننا كتابة هذا الدليل ككلمة مكونة باستخدام الأبجدية الناتجة: يصبح تسلسل التعبيرات هو الكلمة C1 * C2 * ... * Cn. في هذه الحالة ، فإن الوظيفة التي تحدد ما تم إثباته بالضبط لها قيمتها في الجزء من هذه الكلمة الذي يلي مباشرةً الحرف الأخير * في التسلسل. الخوارزمية المطلوب وجودها في القسم 1.3.2. التعريفات ، يمكن بناؤها بسهولة بمجرد أن نحدد بدقة أي من المعاني المقبولة لكلمات "بديهية" و "قاعدة الاستدلال".

1.4 محاولات لصياغة نظرية عدم الاكتمال بدقة

1.4.1. أول محاولة

"في ظل ظروف معينة للزوج الأساسي للغة الأبجدية L والنظام الاستنتاجي<Р, Р, ?>أكثر من L ، توجد دائمًا كلمة في T ليس لها دليل. لا يزال هذا الخيار غامضًا. على وجه الخصوص ، يمكننا بسهولة التوصل إلى العديد من الأنظمة الاستنتاجية التي نحبها والتي تحتوي على عدد قليل جدًا من الكلمات التي يمكن إثباتها.؟) لا توجد كلمات على الإطلاق من شأنه أن يكون لها دليل.

1.4.2. محاولة ثانية

هناك شيء آخر أكثر نهج طبيعي. لنفترض أننا حصلنا على لغة - بمعنى أننا حصلنا على زوج أساسي من هذه اللغة. الآن سنبحث عن نظام استنتاجي فوق L (بشكل حدسي ، نحن نبحث عن أسلوب إثبات) يمكننا بواسطته إثبات كيف المزيد من الكلماتمن T ، في الحد الأقصى ، تصف جميع الكلمات من نظرية T. Gödel موقفًا لا يوجد فيه مثل هذا النظام الاستنتاجي (من خلاله يمكن إثبات كل كلمة في T). ومن ثم نود أن نصوغ البيان التالي:

"في ظل ظروف معينة تتعلق بالزوج الأساسي ، لا يوجد مثل هذا النظام الاستنتاجي حيث يكون لكل كلمة من T دليل."

ومع ذلك ، من الواضح أن مثل هذا البيان خاطئ ، لأنه من الضروري فقط اتخاذ نظام استنتاجي فيه P = L ، P = P؟ و؟ (p) = p لكل p في P ؟؛ ثم كل كلمة من L؟ يمكن إثباته بشكل تافه. لذلك ، نحن بحاجة إلى قبول بعض القيود على الأنظمة الاستنتاجية التي نستخدمها.

1.5 التناسق

سيكون من الطبيعي أن نطلب إثبات "العبارات الصحيحة" فقط ، أي الكلمات المأخوذة من حرف T فقط. سنقول أن النظام الاستنتاجي<Р, Р, ?>يتوافق مع زوج أساسي إذا؟ (P)؟ T. في جميع الاستدلالات اللاحقة ، سنكون مهتمين فقط بمثل هذه الأنظمة الاستنتاجية المتسقة. إذا تم إعطاؤنا لغة ، فسيكون من المغري للغاية العثور على مثل هذا النظام الاستنتاجي المتسق الذي يكون لكل عبارة صحيحة دليل عليه. ينص متغير نظرية جوديل التي تهمنا تمامًا على أنه في ظل ظروف معينة فيما يتعلق بالزوج الأساسي ، من المستحيل العثور على مثل هذا النظام الاستنتاجي.

1.6 اكتمال

يقال أن النظام الاستنتاجي<Р,Р,?>كاملة فيما يتعلق بالزوج الأساسي ، بشرط أن؟ (P)؟ T. ثم تأخذ صياغة نظرية عدم الاكتمال الشكل التالي:

في ظل ظروف معينة بخصوص الزوج الأساسي ، لا يوجد مثل هذا النظام الاستنتاجي<Р,Р,?>على L سيكون ذلك كاملًا ومتسقًا نسبيًا.

فهرس

لإعداد هذا العمل ، تم استخدام مواد من الموقع http://filosof.historic.ru.

واحدة من أكثر النظريات المعروفة المنطق الرياضيمحظوظ وغير محظوظ في نفس الوقت. في هذا هي مثل نظرية خاصةنسبية أينشتاين. من ناحية ، سمع الجميع تقريبًا شيئًا عنهم. من ناحية أخرى ، في التفسير الشعبي ، نظرية أينشتاين ، كما تعلم ، "يقول كل شيء في العالم نسبي". ونظرية عدم اكتمال غودل (المشار إليها فيما يلي ببساطة TGN) ، في صيغة شعبية حرة متساوية تقريبًا ، "يثبت أن هناك أشياء غير مفهومة للعقل البشري". ولذلك يحاول البعض تكييفها كحجة ضد المادية ، بينما يثبت آخرون ، على العكس من ذلك ، بمساعدتها أنه لا يوجد إله. من المضحك ليس فقط أن كلا الجانبين لا يمكن أن يكونا على صواب في نفس الوقت ، ولكن أيضًا أنه لا أحد ولا الآخر يهتم بمعرفة ما تقوله هذه النظرية ، في الواقع.

وماذا في ذلك؟ أدناه سأحاول "على الأصابع" للحديث عن ذلك. بالطبع ، لن يكون عرضي صارمًا وبديهيًا ، لكنني سأطلب من علماء الرياضيات ألا يحكموا علي بشكل صارم. من الممكن أنه بالنسبة لغير الرياضيين (الذين أنا في الحقيقة أنتمي إليهم) ، سيكون هناك شيء جديد ومفيد فيما يقال أدناه.

المنطق الرياضي هو بالفعل علم معقد إلى حد ما ، والأهم من ذلك أنه ليس مألوفًا جدًا. إنه يتطلب مناورات دقيقة وصارمة ، حيث من المهم عدم الخلط بين ما تم إثباته بالفعل وحقيقة أنه "واضح بالفعل". ومع ذلك ، آمل أنه من أجل فهم "الخطوط العريضة لإثبات TGN" التالي ، سيحتاج القارئ فقط إلى معرفة رياضيات المدرسة / علوم الكمبيوتر والمهارات التفكير المنطقيو 15-20 دقيقة من الوقت.

تبسيطًا إلى حد ما ، تدعي TGN أنها كافية لغات صعبةهناك بيانات لا أساس لها. لكن في هذه العبارة ، تحتاج كل كلمة تقريبًا إلى تفسير.

لنبدأ بمحاولة معرفة ماهية الدليل. لنأخذ بعض المسائل المدرسية في الحساب. على سبيل المثال ، دع الأمر يتطلب إثبات صحة الصيغة غير المعقدة التالية: "" (أذكرك أن الرمز يُقرأ "لأي" ويسمى "المُحدد الكمي العالمي"). يمكن إثبات ذلك من خلال تحويل مماثل ، على سبيل المثال ، مثل هذا:

يحدث الانتقال من صيغة إلى أخرى وفقًا للبعض القواعد المعروفة. حدث الانتقال من الصيغة الرابعة إلى الخامسة ، على سبيل المثال ، لأن كل رقم يساوي نفسه - هذه هي بديهية الحساب. وهكذا فإن إجراء الإثبات برمته يترجم الصيغة إلى القيمة المنطقية TRUE. قد تكون النتيجة خاطئة - إذا دحضنا بعض الصيغ. في هذه الحالة ، سنثبت نفيها. من الممكن تخيل برنامج (ومثل هذه البرامج مكتوبة بالفعل) من شأنه أن يثبت مثل هذه المقترحات (والأكثر تعقيدًا) دون تدخل بشري.

دعنا نذكر نفس الشيء بشكل رسمي أكثر. لنفترض أن لدينا مجموعة تتكون من سلاسل أحرف من بعض الأبجدية ، وهناك قواعد يمكن من خلالها لمجموعة فرعية مما يسمى صياغات- أي عبارات ذات مغزى نحويًا ، وكل منها صحيح أو خاطئ. يمكننا القول أن هناك دالة تطابق عبارات من إحدى القيمتين: TRUE أو FALSE (أي ، تعيينها إلى مجموعة منطقية من عنصرين).

دعنا نسمي مثل هذا الزوج - مجموعة من العبارات ووظيفة من إلى - "لغة البيانات". لاحظ أنه بالمعنى اليومي فإن مفهوم اللغة أوسع إلى حد ما. على سبيل المثال ، العبارة الروسية "حسنًا ، تعال إلى هنا!"ليس صحيحًا وليس خطأ ، أي من وجهة نظر المنطق الرياضي ، فهو ليس بيانًا.

فيما يلي ، نحتاج إلى فكرة الخوارزمية. لن أعطي تعريفًا رسميًا هنا - فهذا من شأنه أن يقودنا بعيدًا جدًا. سأقتصر على غير الرسمي: "خوارزمية"- هذا التسلسل من التعليمات لا لبس فيها ("البرنامج") ، والتي لكل عدد محدودخطواتيحول بيانات الإدخال إلى إخراج. الخط المائل مهم بشكل أساسي - إذا تم تعليق البرنامج على بعض البيانات الأولية ، فإنه لا يصف الخوارزمية. من أجل التبسيط والتطبيق على حالتنا ، يمكن للقارئ أن يعتبر أن الخوارزمية هي برنامج مكتوب بأي لغة برمجة معروفة له ، والتي ، لأي بيانات إدخال من فئة معينة ، مضمونة لإكمال عملها بنتيجة منطقية.

لنسأل أنفسنا: هل توجد "خوارزمية إثبات" لكل وظيفة (أو باختصار ، "استنتاجي") تعادل هذه الوظيفة ، أي ترجمة كل عبارة إلى نفس القيمة المنطقية تمامًا كما هي؟ بشكل أكثر إيجازًا ، يمكن صياغة نفس السؤال على النحو التالي: هل كل وظيفة على مجموعة من الافتراضات محسوب؟ كما يمكنك التخمين بالفعل ، فإنه يترتب على صحة TGN أنه لا ، وليس أي منها - هناك وظائف غير قابلة للحساب من هذا النوع. بعبارة أخرى ، لا يمكن إثبات كل بيان صحيح.

قد يكون من الجيد أن هذا البيان سوف يسبب لك احتجاجًا داخليًا. هذا يرجع إلى عدة ظروف. أولا ، عندما نتعلم رياضيات المدرسة، ثم في بعض الأحيان يكون هناك انطباع خاطئ عن الهوية شبه الكاملة لعبارات "النظرية صحيحة" و "من الممكن إثبات النظرية أو التحقق منها". لكن إذا فكرت في الأمر ، فهذا ليس واضحًا على الإطلاق. تم إثبات بعض النظريات بكل بساطة (على سبيل المثال ، من خلال تعداد عدد قليل من الخيارات) ، وبعضها صعب للغاية. تأمل ، على سبيل المثال ، نظرية فيرما الأخيرة الشهيرة:

تم العثور على الدليل الذي تم العثور عليه بعد ثلاثة قرون ونصف فقط من الصيغة الأولى (وهي بعيدة كل البعد عن الابتدائية). من الضروري التمييز بين حقيقة البيان وإثباته. لا يترتب على ذلك من أي مكان أنه لا توجد بيانات صحيحة ، ولكن غير قابلة للإثبات (ولا يمكن التحقق منها بالكامل).

الحجة البديهية الثانية ضد TGN أكثر دقة. لنفترض أن لدينا بعض البيان غير القابل للإثبات (في إطار هذا الاستنتاج). ما الذي يمنعنا من قبولها كبديهية جديدة؟ وبالتالي ، سوف نعقد نظام البراهين قليلاً ، لكن هذا ليس فظيعًا. ستكون هذه الحجة صحيحة تمامًا إذا كان هناك عدد محدود من الافتراضات التي لا يمكن إثباتها. من الناحية العملية ، قد يحدث ما يلي - بعد افتراض بديهية جديدة ، ستعثر على عبارة جديدة غير قابلة للإثبات. خذها كبديهية أخرى - سوف تتعثر في الثالثة. وهكذا إلى ما لا نهاية. يقولون ديدوكتيكا ستبقى غير مكتمل. يمكننا أيضًا اتخاذ تدابير قوية بحيث تنتهي خوارزمية الإثبات بعد عدد محدود من الخطوات مع بعض النتائج لأي بيان للغة. لكن في الوقت نفسه ، سيبدأ في الكذب - يؤدي إلى الحقيقة من أجل الأقوال غير الصحيحة ، أو إلى الأكاذيب - من أجل المؤمنين. في مثل هذه الحالات يقال أن الحسمية متناقضة. وهكذا ، تبدو صياغة أخرى لـ TGN كما يلي: "هناك لغات مقترحة يستحيل استنتاجها الكامل المتسق" - ومن هنا جاء اسم النظرية.

تسمى أحيانًا "نظرية جودل" وهي العبارة القائلة بأن أي نظرية تحتوي على مشاكل لا يمكن حلها في إطار النظرية نفسها وتتطلب تعميمها. هذا صحيح إلى حد ما ، على الرغم من أن هذه الصيغة تحجب القضية بدلاً من توضيحها.

ألاحظ أيضًا أنه إذا كنا نتحدث عن الوظائف المعتادة التي تعرض المجموعة أرقام حقيقيةفي ذلك ، فإن "عدم القدرة على الحوسبة" للوظيفة لن يفاجئ أي شخص (فقط لا تخلط بين "الوظائف الحسابية" و "الأرقام المحسوبة" - فهذه أشياء مختلفة). يعرف أي تلميذ أنه ، على سبيل المثال ، في حالة الوظيفة ، يجب أن تكون محظوظًا جدًا بالحجة بحيث تنتهي عملية حساب التمثيل العشري الدقيق لقيمة هذه الوظيفة بعدد محدود من الخطوات. وعلى الأرجح ستحسبها باستخدام متسلسلة لا نهائية ، ولن تؤدي هذه العملية الحسابية أبدًا إلى النتيجة الدقيقة، على الرغم من أنه يمكن أن يقترب منه كما تريد - ببساطة لأن قيمة الجيب لمعظم الحجج غير منطقية. يخبرنا TGN ببساطة أنه حتى بين الوظائف التي تكون وسيطاتها عبارة عن سلاسل وقيمها صفر أو واحد ، توجد أيضًا وظائف غير قابلة للحساب ، على الرغم من أنها مرتبة بطريقة مختلفة تمامًا.

فيما يلي سنصف "لغة الحساب الرسمي". ضع في اعتبارك فئة من السلاسل النصية ذات الطول المحدد ، تتكون من أرقام عربية ومتغيرات (أحرف الأبجدية اللاتينية) ، مع الأخذ في الاعتبار القيم الطبيعية والمسافات والشخصيات عمليات حسابيةوالمساواة وعدم المساواة والمحددات الكمية ("موجودة") و ("لأي شخص") وربما بعض الرموز الأخرى (عددها وتكوينها الدقيق غير مهمين بالنسبة لنا). من الواضح أنه ليست كل هذه الخطوط ذات معنى (على سبيل المثال ، "" هذا هراء). ستكون المجموعة الفرعية من التعبيرات ذات المعنى من هذه الفئة (أي السلاسل الصحيحة أو الخاطئة من حيث الحساب العادي) هي مجموعة العبارات الخاصة بنا.

أمثلة على العبارات الحسابية الرسمية:

إلخ. الآن دعنا نسمي "صيغة ذات معلمة مجانية" (FSP) سلسلة تصبح عبارة إذا استبدلناها بهذه المعلمة عدد طبيعي. أمثلة على FSP (مع معلمة):

إلخ. وبعبارة أخرى ، فإن FSPs تعادل وظائف وسيطة طبيعية بقيمة منطقية.

قم بالإشارة إلى مجموعة جميع مقدمي الخدمات المالية بالحرف. من الواضح أنه يمكن طلبها (على سبيل المثال ، نكتب أولاً صيغًا من حرف واحد مرتبة أبجديًا ، متبوعة بصيغ من حرفين ، وما إلى ذلك ؛ وفقًا للأبجدية التي سيتم الترتيب بها ليس أمرًا أساسيًا بالنسبة لنا). وبالتالي ، فإن أي FSP يتوافق مع رقمه في القائمة المرتبة ، وسنشير إليه.

دعنا ننتقل الآن إلى رسم تخطيطي لإثبات TGN في الصيغة التالية:

بالنسبة للغة الافتتاحية في الحساب الرسمي ، لا يوجد خصم كامل متسق.

سوف نثبت بالتناقض.

لذلك دعونا نفترض وجود مثل هذا الاستنتاج. دعنا نصف الخوارزمية المساعدة التالية التي تعين قيمة منطقية لرقم طبيعي على النحو التالي:

ببساطة ، ينتج عن الخوارزمية القيمة TRUE إذا وفقط إذا أعطت نتيجة الاستبدال في FSP رقمها الخاص في قائمتنا بيانًا خاطئًا.

هنا نأتي إلى المكان الوحيد حيث سأطلب من القارئ أن يأخذ كلامي من أجله.

من الواضح ، وفقًا للافتراض أعلاه ، أن أي FSP من يمكن أن يرتبط بخوارزمية تحتوي على رقم طبيعي عند الإدخال وقيمة منطقية عند الإخراج. والعكس هو الأقل وضوحًا:

سيتطلب إثبات هذه اللمة على الأقل تعريفًا رسميًا ، وليس حدسيًا ، لمفهوم الخوارزمية. ومع ذلك ، إذا فكرت في الأمر قليلاً ، فهذا معقول تمامًا. في الواقع ، تتم كتابة الخوارزميات بلغات خوارزمية ، من بينها لغات غريبة مثل ، على سبيل المثال ، Brainfuck ، والتي تتكون من ثماني كلمات ذات حرف واحد ، والتي ، مع ذلك ، يمكن تنفيذ أي خوارزمية. سيكون من الغريب أن تصبح اللغة الأكثر ثراءً للصيغ الحسابية الرسمية التي وصفناها أكثر فقراً - على الرغم من أنها بلا شك ليست مناسبة جدًا للبرمجة العادية.

بعد اجتياز هذا المكان الزلق ، نصل بسرعة إلى النهاية.

لذلك ، وصفنا الخوارزمية أعلاه. حسب اللمة التي طلبت منك تصديقها ، يوجد FSP مكافئ. لديها بعض الأرقام في القائمة - دعنا نقول. لنسأل أنفسنا ، ما هو الهدف؟ فليكن صحيحا. بعد ذلك ، وفقًا لبناء الخوارزمية (ومن ثم الوظيفة المكافئة لها) ، فإن هذا يعني أن نتيجة استبدال رقم في الوظيفة هي FALSE. يتم التحقق من العكس بنفس الطريقة: من FALSE يتبع TRUE. لقد وصلنا إلى تناقض ، مما يعني أن الافتراض الأصلي خاطئ. وبالتالي ، بالنسبة للحساب الرسمي ، لا يوجد خصم كامل متسق. Q.E.D.

من المناسب هنا أن نتذكر Epimenides (انظر الصورة في العنوان) ، الذي ، كما تعلم ، أعلن أن جميع الكريتيين كذابون ، كونهم هو نفسه كريتي. في صيغة أكثر إيجازًا ، يمكن صياغة بيانه (المعروف باسم "التناقض الكاذب") على النحو التالي: "أنا أكذب". إن مثل هذا البيان بالتحديد ، الذي يعلن بنفسه زيفه ، هو الذي استخدمناه للإثبات.

في الختام ، أود أن أشير إلى أن TGN لا تدعي أي شيء يثير الدهشة بشكل خاص. بعد كل شيء ، اعتاد الجميع منذ فترة طويلة على حقيقة أنه لا يمكن تمثيل جميع الأرقام كنسبة من عددين صحيحين (تذكر أن هذا البيان له دليل أنيق للغاية يزيد عمره عن ألفي عام؟). كما أن جذور كثيرات الحدود ذات المعاملات المنطقية ليست كلها أعدادًا. والآن اتضح أنه ليست كل وظائف الحجة الطبيعية قابلة للحساب.

كان الرسم التخطيطي للإثبات من أجل الحساب الرسمي، ولكن ليس من الصعب رؤية أن THN تنطبق على العديد من اللغات الافتراضية أيضًا. بالطبع ، ليست كل اللغات على هذا النحو. على سبيل المثال ، دعنا نحدد لغة مثل هذه:

"أي عبارة صينىهي عبارة صحيحة إذا كانت واردة في كتاب الاقتباس للرفيق ماو تسي تونغ ، وهي غير صحيحة إذا لم يتم احتواؤها.

ثم تبدو خوارزمية الإثبات الكاملة والمتسقة المقابلة (يمكن تسميتها "استنتاجية عقائدية") شيئًا كالتالي:

"اقلب كتاب اقتباس الرفيق ماو تسي تونغ حتى تجد العبارة التي تبحث عنها. إذا وجد ، فهو صحيح ، وإذا انتهى كتاب الاقتباس ، ولم يتم العثور على البيان ، فهو خطأ.

هنا يتم خلاصنا من حقيقة أن أي استشهاد من الواضح أنه محدود ، وبالتالي فإن عملية "الإثبات" ستنتهي حتمًا. وبالتالي ، فإن TGN غير قابل للتطبيق على لغة البيانات العقائدية. لكننا كنا نتحدث عن لغات معقدة ، أليس كذلك؟

كانت نظريات عدم الاكتمال عند كيرت جودل نقطة تحول في رياضيات القرن العشرين. وفي مخطوطاته المنشورة بعد وفاته حُفظت الدليل المنطقي على وجود الله. في قراءات عيد الميلاد الأخيرة ، تم إعداد تقرير مثير للاهتمام حول هذا التراث غير المعروف من قبل الأستاذ المشارك في مدرسة توبولسك اللاهوتية ، المرشح اللاهوتي ، القس ديمتري كيريانوف. طلب "NS" شرح الأفكار الرئيسية للعالم.

نظريات عدم اكتمال جوديل: فجوة في الرياضيات

- هل يمكنك بطريقة أو بأخرى أن تشرح بشكل شعبي نظريات عدم الاكتمال لجودل؟ الحلاق يحلق فقط أولئك الذين لا يحلقون أنفسهم. هل يحلق الحلاق نفسه؟ هل لهذه المفارقة الشهيرة أي علاقة بهم؟

الفرضية الرئيسية للدليل المنطقي لوجود الله ، التي طرحها كيرت جودل: "الله موجود في الفكر. لكن الوجود في الواقع أكبر من الوجود في الفكر وحده. لذلك ، يجب أن يوجد الله". في الصورة: مؤلف نظرية عدم الاكتمال كورت وديل مع صديقه مؤلف نظرية النسبية ألبرت أينشتاين. بريستون. أمريكا. 1950

- نعم بالطبع. قبل Gödel ، كانت هناك مشكلة البديهية في الرياضيات ومشكلة الجمل المتناقضة التي يمكن كتابتها رسميًا بأي لغة. على سبيل المثال: "This statement is false". ما هي حقيقة هذا البيان؟ إذا كانت صحيحة فهي باطلة ، وإذا كانت صحيحة فهي صحيحة. مما أدى إلى مفارقة لغوية. بحث جودل في الحساب وأظهر في نظرياته أن اتساقها لا يمكن إثباته من مبادئها الواضحة: بديهيات الجمع والطرح والقسمة والضرب وما إلى ذلك. نحن بحاجة إلى بعض الافتراضات الإضافية لتبرير ذلك. انها على جدا أبسط نظريةولكن ماذا عن المعادلات الأكثر تعقيدًا (المعادلات الفيزيائية ، إلخ)! لتبرير نظام ما من التفكير ، نحن مضطرون دائمًا إلى اللجوء إلى بعض التفكير الإضافي ، وهو أمر غير مبرر في إطار النظام.

بادئ ذي بدء ، يشير هذا إلى محدودية ادعاءات العقل البشري في معرفة الواقع. وهذا يعني أننا لا نستطيع أن نقول إننا سنبني نوعًا من النظرية الشاملة للكون التي ستشرح كل شيء - مثل هذه النظرية لا يمكن أن تكون علمية.

كيف يشعر علماء الرياضيات الآن تجاه نظريات جوديل؟ لا أحد يحاول دحضهم ، بطريقة أو بأخرى؟

"إنها مثل محاولة دحض نظرية فيثاغورس. النظريات لها دليل منطقي صارم. في الوقت نفسه ، تُبذل محاولات لإيجاد قيود على قابلية تطبيق نظريات جوديل. لكن معظم الجدل يدور حول الآثار الفلسفية لنظريات جوديل.

ما مدى تفصيل دليل جودل على وجود الله؟ هل انتهى؟

- تم إعدادها بالتفصيل وإن كان العالم نفسه لم يجرؤ على نشرها حتى وفاته. يطور Gödel وجودي (ميتافيزيقي. - "NS") حجة اقترحها أنسيلم من كانتربري لأول مرة. في شكل مكثف ، يمكن التعبير عن هذه الحجة على النحو التالي: "الله ، بالتعريف ، هو أعظم من لا يمكن تصور أي شيء. الله موجود في الفكر. لكن الوجود في الواقع أكبر من الوجود في الفكر وحده. لذلك يجب أن يكون الله موجودًا ". تم تطوير حجة أنسيلم في وقت لاحق من قبل رينيه ديكارت وجوتفريد فيلهلم ليبنيز. لذلك ، حسب ديكارت ، فإن التفكير في الكائن الأعلى المثالي ، الذي يفتقر إلى الوجود ، يعني الوقوع في تناقض منطقي. في سياق هذه الأفكار ، طور Gödel نسخته الخاصة من الإثبات ؛ وهي تناسب حرفياً صفحتين. لسوء الحظ ، فإن تقديم حجته مستحيل دون إدخال منطق شكلي معقد للغاية في الأسس.

بالطبع ، لا تشوب استنتاجات وديل المنطقية عيبًا لا يجبر الشخص على أن يصبح مؤمنًا تحت ضغط قوة الأدلة. يجب ألا نكون ساذجين ونعتقد أنه يمكننا إقناع أي شخص بما هو معقول تفكير الشخصيؤمنون بالله من خلال الحجة الوجودية أو غيرها من الأدلة. يولد الإيمان عندما يواجه المرء وجهاً لوجه الحضور الواضح لواقع الله الفائق السامي. لكن هناك شخصًا واحدًا على الأقل قادته الحجة الأنطولوجية إلى الاعتقاد الديني ، وهو الكاتب كليف ستابلز لويس ، الذي اعترف بذلك بنفسه.

المستقبل البعيد هو الماضي البعيد

كيف شعر معاصرو جودل تجاهه؟ هل كان صديقًا لأحد العلماء العظماء؟

وشهد مساعد أينشتاين في جامعة برينستون على ذلك الشخص الوحيدمع من كان صديقًا له السنوات الاخيرةكانت الحياة هي كورت جودل. لقد كانا مختلفين في كل شيء تقريبًا - أينشتاين اجتماعي ، ومبهج ، وجوديل جاد للغاية ، ووحيد تمامًا ، وانعدام الثقة. لكن كان لديهم الجودة الشاملة: كلاهما ذهب مباشرة وصدق إلى الأسئلة المركزية للعلم والفلسفة. على الرغم من صداقته مع أينشتاين ، كان لجودل وجهة نظره الخاصة عن الدين. لقد رفض فكرة أن الله كائن غير شخصي ، كما كان الله لأينشتاين. في هذه المناسبة ، قال جودل: "إن ديانة أينشتاين مجردة للغاية ، مثل ديانة سبينوزا والفلسفة الهندية. إله سبينوزا هو أقل من شخص. الهي اكثر من انسان. لأن الله يمكنه أن يلعب دور الإنسان ". قد تكون هناك أرواح ليس لها جسد ، لكن يمكنها التواصل معنا والتأثير على العالم ".

كيف انتهى الأمر بجودل في أمريكا؟ الهروب من النازيين؟

- نعم ، جاء إلى أمريكا عام 1940 من ألمانيا ، على الرغم من حقيقة أن النازيين اعترفوا به كعالم آري وعالم عظيم ، وحرره من الخدمة العسكرية. شق هو وزوجته أديل طريقهما عبر روسيا على طول خط السكك الحديدية العابر لسيبيريا. لم يترك ذكريات هذه الرحلة. أديل تتذكر فقط خوف دائمفي الليل ، سيتوقفون ويعودون. بعد ثماني سنوات من العيش في أمريكا ، أصبح Gödel مواطنًا أمريكيًا. مثل جميع المتقدمين للحصول على الجنسية ، كان عليه أن يجيب على الأسئلة المتعلقة بدستور الولايات المتحدة. نظرًا لكونه شخصًا دقيقًا ، فقد استعد لهذا الاختبار بعناية فائقة. أخيرًا ، قال إنه وجد تناقضًا في الدستور: "اكتشفت احتمالًا مشروعًا منطقيًا يمكن أن تصبح فيه الولايات المتحدة ديكتاتورية". أقر أصدقاؤه أنه بغض النظر عن المزايا المنطقية لحجة جودل ، فإن هذا الاحتمال كان افتراضيًا بحتًا بطبيعته ، وحذروا من المحادثات المطولة حول هذا الموضوع في الامتحان.

هل استخدم جودل وآينشتاين أفكار بعضهما البعض في عمل علمي?

- في عام 1949 ، عبّر جودل عن أفكاره الكونية في مقال رياضي ، والذي كان ، وفقًا لألبرت أينشتاين ، مساهمة مهمة في النظرية العامةالنسبية. اعتقد جودل أن الوقت - "ذلك الكيان الغامض والمتناقض في نفس الوقت والذي يشكل أساس العالم ووجودنا" - سيصبح في النهاية أكبر وهم. "يومًا ما" سوف يزول ، وسيأتي شكل آخر من الوجود ، والذي يمكن أن يسمى الخلود. هذه الفكرة عن الزمن قادت المنطقي العظيم إلى نتيجة غير متوقعة. كتب: "أنا مقتنع بالحياة الآخرة ، بغض النظر عن اللاهوت. إذا كان العالم مبنيًا بذكاء ، فلا بد من وجود حياة بعد الموت ".

"الوقت كيان متناقض مع ذاته." يبدو غريبا لديها بعض المعنى المادي?

أظهر Gödel أنه في إطار معادلة أينشتاين ، من الممكن بناء نموذج كوني بزمن مغلق ، حيث يتزامن الماضي البعيد والمستقبل البعيد. في هذا النموذج ، يصبح من الناحية النظرية رحلة ممكنةفي الوقت المناسب. يبدو غريباً ، لكنه معبر عنه رياضياً - هذا هو بيت القصيد. هذا النموذج قد يكون أو لا يكون له آثار تجريبية. إنه بناء نظري قد يكون أو لا يكون مفيدًا في بناء نماذج كونية جديدة. تمتلك الفيزياء النظرية الحديثة ، ولا سيما علم الكونيات الكمومي ، بنية رياضية معقدة بحيث يصعب جدًا إعطاء هذه الهياكل فهمًا فلسفيًا لا لبس فيه. علاوة على ذلك ، لا تزال بعض التركيبات النظرية غير قابلة للتحقق تجريبياً لسبب بسيط هو أن التحقق منها يتطلب الكشف عن الجسيمات عالية الطاقة للغاية. تذكر كيف انزعج الناس من إطلاق مصادم الهادرون الكبير: الأموال وسائل الإعلام الجماهيريةتخيف الناس باستمرار مع اقتراب نهاية العالم. في الواقع ، أمر جاد تجربة علميةلاختبار نماذج الكوسمولوجيا الكمومية وما يسمى ب "نظريات التوحيد الكبير". إذا كان من الممكن اكتشاف ما يسمى بجزيئات هيغز ، فستكون هذه هي الخطوة التالية في فهمنا للأكثر المراحل الأولىوجود كوننا. ولكن حتى تكون هناك بيانات تجريبية ، تظل النماذج المتنافسة لعلم الكونيات الكمومية مجرد نماذج رياضية.

الإيمان والحدس

"... إن إلهي أكثر من شخص. بما أن الله يستطيع أن يلعب دور الإنسان ... "هل إيمان جوديل لا يزال بعيدًا عن الإيمان الأرثوذكسي؟

- تم الحفاظ على عدد قليل جدًا من تصريحات جودل حول إيمانه ، وتم جمعها شيئًا فشيئًا. على الرغم من حقيقة أن Gödel قام بإعداد المسودات الأولى لنسخته الخاصة من الحجة في وقت مبكر من عام 1941 ، حتى عام 1970 ، خوفًا من سخرية زملائه ، إلا أنه لم يتحدث عنها. في فبراير 1970 ، بعد أن استشعر اقتراب وفاته ، سمح لمساعده بنسخ نسخة من إثباته. بعد وفاة جودل في عام 1978 ، تم العثور على نسخة مختلفة قليلاً من الحجة الأنطولوجية في أوراقه. قالت زوجة كورت جودل ، أديل ، بعد يومين من وفاة زوجها إن غودل ، "رغم أنه لم يحضر الكنيسة ، كان متدينًا وكان يقرأ الكتاب المقدس في الفراش كل صباح أحد".

عندما نتحدث عن علماء مثل Gödel أو Einstein أو ، على سبيل المثال ، Galileo أو Newton ، من المهم التأكيد على أنهم لم يكونوا ملحدين. لقد رأوا أن وراء الكون هناك سبب معين قوة عالية. بالنسبة للعديد من العلماء ، الإيمان بالوجود المخابرات العلياكانت إحدى نتائج تفكيرهم العلمي ، ولم يؤد هذا التفكير دائمًا إلى ظهور ارتباط ديني عميق بين الإنسان والله. فيما يتعلق بـ Gödel ، يمكن للمرء أن يقول إنه شعر بالحاجة إلى هذا الاتصال ، لأنه أكد أنه كان مؤمنًا ، وأنه كان يعتقد أن الله هو شخص. لكن ، بالطبع ، لا يمكن تسمية إيمانه بالأرثوذكسية. كان ، إذا جاز التعبير ، "لوثري الوطن".

- يمكنك ان تعطي أمثلة تاريخية: كيف يؤمن العلماء المختلفون بالله؟ إليكم جينات فرانسيس كولينز ، وفقًا لاعترافاته ، أدت دراسة بنية الحمض النووي إلى الإيمان بالله ...

"المعرفة الطبيعية عن الله في حد ذاتها ليست كافية لمعرفة الله. لا يكفي أن نكتشف الله من خلال دراسة الطبيعة - من المهم أن نتعلم كيف نعرفه من خلال الوحي الذي أعطاه الله للإنسان. يعتمد اعتناق الشخص للإيمان ، سواء كان عالمًا أم لا ، دائمًا على شيء يتجاوز مجرد الحجج المنطقية أو العلمية. كتب فرانسيس كولينز أنه جاء إلى الإيمان في سن السابعة والعشرين بعد نزاع فكري طويل مع نفسه وتحت تأثير كلايف ستيبلز لويس. شخصان في نفس الوضع التاريخي ، وفي نفس الظروف الأولية: أحدهما يصبح مؤمناً والآخر ملحداً. تؤدي دراسة الحمض النووي وحده إلى الإيمان بوجود الله. أما الدراسات الأخرى فلا تأت لها. ينظر شخصان إلى الصورة: يعتقد أحدهما أنها جميلة ، والآخر يقول: "حسنًا ، صورة عادية!" أحدهما له ذوق وحدس والآخر ليس كذلك. أستاذ القديس تيخون الأرثوذكسي الجامعة الانسانيةيقول فلاديمير نيكولايفيتش كاتاسونوف ، دكتور في الفلسفة وعالم رياضيات من التعليم الأول: "لا يمكن إثبات وجود دليل في الرياضيات بدون الحدس: يرى عالم الرياضيات الصورة أولاً ، ثم يصوغ برهانًا".

دائمًا ما تكون مسألة مجيء الشخص إلى الإيمان مسألة تتجاوز مجرد التفكير المنطقي. كيف تشرح ما الذي دفعك إلى الإيمان؟ يجيب الرجل: ذهبت إلى الهيكل ، فكرت ، قرأت هذا وذاك ، رأيت انسجام الكون ؛ لكن أهم لحظة استثنائية ، حيث يدرك الشخص فجأة أنه قد واجه حضور الله ، لا يمكن التعبير عنها. إنه دائمًا سر.

- يمكنك تحديد المشاكل التي لا يمكن حلها العلم الحديث?

- على الرغم من ذلك ، فإن العلم هو مشروع واثق ومستقل وراسخ بدرجة كافية للتحدث بحدة. إنها أداة جيدة ومفيدة للغاية في يد الإنسان. منذ زمن فرانسيس بيكون ، أصبحت المعرفة بالفعل قوة غيرت العالم. يتطور العلم وفقًا لقوانينه الداخلية: يسعى العالم لفهم قوانين الكون ، ولا شك أن هذا البحث سيؤدي إلى النجاح. لكن في نفس الوقت من الضروري أن تكون على دراية بحدود العلم. لا ينبغي للمرء أن يخلط بين العلم وتلك الأسئلة الأيديولوجية التي يمكن طرحها فيما يتعلق بالعلم. القضايا الرئيسيةاليوم لا ترتبط كثيرًا بالمنهج العلمي كما هو الحال مع توجهات القيمة. كان الناس ينظرون إلى العلم خلال القرن العشرين الطويل على أنه خير مطلق يساهم في تقدم البشرية ؛ ونرى أن القرن العشرين أصبح الأكثر قسوة من حيث الخسائر البشرية. ثم هناك مسألة القيم. التقدم العلميوالمعرفة بشكل عام. القيم الأخلاقية لا تنبع من العلم نفسه. يمكن لعالم لامع أن يخترع سلاحًا لتدمير البشرية جمعاء ، وهنا تبرز مسألة المسؤولية الأخلاقية للعالم ، والتي لا يستطيع العلم الإجابة عليها. لا يمكن للعلم أن يشير للإنسان إلى معنى وجوده وهدفه. لن يتمكن العلم أبدًا من الإجابة على السؤال لماذا نحن هنا؟ لماذا الكون موجود؟ يتم حل هذه الأسئلة على مستوى مختلف من المعرفة ، مثل الفلسفة والدين.

- بصرف النظر عن نظريات جودل ، هل هناك أي دليل آخر على أن المنهج العلمي له حدوده؟ هل العلماء أنفسهم يدركون هذا؟

- بالفعل في بداية القرن العشرين ، أشار الفلاسفة بيرجسون و هوسرل قيمة ذات صلة معرفة علميةطبيعة سجية. لقد أصبح الآن اعتقادًا شبه عالمي بين فلاسفة العلم بأن النظريات العلمية تمثل نماذج افتراضية لشرح الظواهر. أحد المبدعين ميكانيكا الكمقال إروين شرودنغر ذلك الجسيمات الأوليةهي مجرد صور ، لكن يمكننا الاستغناء عنها. وفقًا للفيلسوف والمنطق كارل بوبر ، فإن النظريات العلمية مثل الشبكة التي نحاول من خلالها أن نلحق بالعالم ، فهي ليست مثل الصور. النظريات العلميةهي في تطور وتغير مستمر. تحدث مبتكرو ميكانيكا الكم ، مثل باولي ، بور ، هايزنبرغ عن حدود المنهج العلمي. كتب باولي: "... يمكن اعتبار الفيزياء والنفسية كذلك جوانب إضافيةنفس الواقع "- وركز على عدم الاختزال مستويات أعلىيجري في الأسفل. تغطي التفسيرات المختلفة جانبًا واحدًا فقط من المادة في كل مرة ، لكن النظرية الشاملة لن تتحقق أبدًا.

إن جمال الكون وانسجامه يعني ضمناً إمكانية معرفته الأساليب العلمية. في الوقت نفسه ، فهم المسيحيون دائمًا عدم فهم السر وراء هذا الكون المادي. الكون ليس له أساس في حد ذاته ويشير إلى المصدر الكامل للوجود - الله.

من أشهر نظريات المنطق الرياضي أنها محظوظة وسيئة الحظ في نفس الوقت. وهو في هذا مشابه لنظرية النسبية الخاصة لأينشتاين. من ناحية ، سمع الجميع تقريبًا شيئًا عنهم. من ناحية أخرى ، في التفسير الشعبي ، نظرية أينشتاين ، كما تعلم ، "يقول كل شيء في العالم نسبي". ونظرية عدم اكتمال غودل (المشار إليها فيما يلي ببساطة TGN) ، في صيغة شعبية حرة متساوية تقريبًا ، "يثبت أن هناك أشياء غير مفهومة للعقل البشري". ولذلك يحاول البعض تكييفها كحجة ضد المادية ، بينما يثبت آخرون ، على العكس من ذلك ، بمساعدتها أنه لا يوجد إله. من المضحك ليس فقط أن كلا الجانبين لا يمكن أن يكونا على صواب في نفس الوقت ، ولكن أيضًا أنه لا أحد ولا الآخر يهتم بمعرفة ما تقوله هذه النظرية ، في الواقع.

المنطق الرياضي هو بالفعل علم معقد إلى حد ما ، والأهم من ذلك أنه ليس مألوفًا جدًا. إنه يتطلب مناورات دقيقة وصارمة ، حيث من المهم عدم الخلط بين ما تم إثباته بالفعل وحقيقة أنه "واضح بالفعل". ومع ذلك ، آمل أنه من أجل فهم "الخطوط العريضة لإثبات TGN" التالي ، سيحتاج القارئ فقط إلى معرفة رياضيات المدرسة / علوم الكمبيوتر ومهارات التفكير المنطقي و 15-20 دقيقة من الوقت.

تبسيطًا إلى حد ما ، تؤكد TGN أنه في اللغات المعقدة بدرجة كافية توجد مقترحات غير قابلة للإثبات. لكن في هذه العبارة ، تحتاج كل كلمة تقريبًا إلى تفسير.

يحدث الانتقال من صيغة إلى أخرى وفقًا لقواعد معينة معروفة. حدث الانتقال من الصيغة الرابعة إلى الخامسة ، على سبيل المثال ، لأن كل رقم يساوي نفسه - هذه هي بديهية الحساب. وهكذا فإن إجراء الإثبات برمته يترجم الصيغة إلى القيمة المنطقية TRUE. قد تكون النتيجة خاطئة - إذا دحضنا بعض الصيغ. في هذه الحالة ، سنثبت نفيها. من الممكن تخيل برنامج (ومثل هذه البرامج مكتوبة بالفعل) من شأنه أن يثبت مثل هذه المقترحات (والأكثر تعقيدًا) دون تدخل بشري.

فيما يلي ، نحتاج إلى فكرة الخوارزمية. لن أعطي تعريفًا رسميًا هنا - فهذا من شأنه أن يقودنا بعيدًا جدًا. سأقتصر على غير الرسمي: "خوارزمية"- هذا التسلسل من التعليمات لا لبس فيها ("البرنامج") ، والتي في عدد محدود من الخطواتيحول بيانات الإدخال إلى إخراج. الخط المائل مهم بشكل أساسي - إذا تم تعليق البرنامج على بعض البيانات الأولية ، فإنه لا يصف الخوارزمية. من أجل التبسيط والتطبيق على حالتنا ، يمكن للقارئ أن يعتبر أن الخوارزمية هي برنامج مكتوب بأي لغة برمجة معروفة له ، والتي ، لأي بيانات إدخال من فئة معينة ، مضمونة لإكمال عملها بنتيجة منطقية.

قد يكون من الجيد أن هذا البيان سوف يسبب لك احتجاجًا داخليًا. هذا يرجع إلى عدة ظروف. أولاً ، عندما نتعلم الرياضيات المدرسية ، أحيانًا يكون هناك انطباع خاطئ بأن العبارات "النظرية صحيحة" و "من الممكن إثبات النظرية أو التحقق منها" متطابقة تقريبًا. لكن إذا فكرت في الأمر ، فهذا ليس واضحًا على الإطلاق. تم إثبات بعض النظريات بكل بساطة (على سبيل المثال ، من خلال تعداد عدد قليل من الخيارات) ، وبعضها صعب للغاية. تأمل ، على سبيل المثال ، نظرية فيرما الأخيرة الشهيرة:

ألاحظ أيضًا أنه إذا كنا نتحدث عن الوظائف المعتادة التي تحدد مجموعة الأرقام الحقيقية فيها ، فلن يفاجئ أحد "عدم القدرة على الحوسبة" للوظيفة (فقط لا تخلط بين "الدوال القابلة للحساب" و "الأرقام القابلة للحساب" - هذه أشياء مختلفة). يعرف أي تلميذ أنه ، على سبيل المثال ، في حالة الوظيفة ، يجب أن تكون محظوظًا جدًا بالحجة بحيث تنتهي عملية حساب التمثيل العشري الدقيق لقيمة هذه الوظيفة بعدد محدود من الخطوات. وعلى الأرجح ستحسبها باستخدام سلسلة لا نهائية ، ولن تؤدي هذه العملية الحسابية أبدًا إلى نتيجة دقيقة ، على الرغم من أنها يمكن أن تقترب منها كما تريد - ببساطة لأن قيمة الجيب لمعظم الحجج غير منطقية. يخبرنا TGN ببساطة أنه حتى بين الوظائف التي تكون وسيطاتها عبارة عن سلاسل وقيمها صفر أو واحد ، توجد أيضًا وظائف غير قابلة للحساب ، على الرغم من أنها مرتبة بطريقة مختلفة تمامًا.

فيما يلي سنصف "لغة الحساب الرسمي". ضع في اعتبارك فئة من السلاسل النصية ذات الطول المحدد ، والتي تتكون من أرقام عربية ، ومتغيرات (أحرف الأبجدية اللاتينية) تأخذ القيم الطبيعية ، والمسافات ، وعلامات العمليات الحسابية ، والمساواة وعدم المساواة ، والمحددات الكمية ("موجودة") و ("لأي" ) وربما بعض الرموز الأخرى (عددها الدقيق وتكوينها غير مهمين بالنسبة لنا). من الواضح أنه ليست كل هذه الخطوط ذات معنى (على سبيل المثال ، "" هذا هراء). ستكون المجموعة الفرعية من التعبيرات ذات المعنى من هذه الفئة (أي السلاسل الصحيحة أو الخاطئة من حيث الحساب العادي) هي مجموعة العبارات الخاصة بنا.

أمثلة على العبارات الحسابية الرسمية:

إلخ. الآن دعنا نسمي "صيغة ذات معلمة حرة" (FSP) سلسلة تصبح عبارة إذا تم استبدال رقم طبيعي بها على أنها هذه المعلمة. أمثلة على FSP (مع معلمة):

إلخ. وبعبارة أخرى ، فإن FSPs تعادل وظائف وسيطة طبيعية بقيمة منطقية.

دعنا ننتقل الآن إلى رسم تخطيطي لإثبات TGN في الصيغة التالية:

بالنسبة للغة الافتتاحية في الحساب الرسمي ، لا يوجد خصم كامل متسق.

سوف نثبت بالتناقض.

هنا نأتي إلى المكان الوحيد حيث سأطلب من القارئ أن يأخذ كلامي من أجله.

بعد اجتياز هذا المكان الزلق ، نصل بسرعة إلى النهاية.

كان الرسم التخطيطي للدليل المقدم للحساب الرسمي ، ولكن ليس من الصعب رؤية أن THN تنطبق على العديد من اللغات الافتراضية أيضًا. بالطبع ، ليست كل اللغات على هذا النحو. على سبيل المثال ، دعنا نحدد لغة مثل هذه:

"أي عبارة في اللغة الصينية هي عبارة صحيحة إذا وردت في كتاب اقتباس الرفيق ماو تسي تونغ ، وهي غير صحيحة إذا لم يتم احتواؤها."

ثم تبدو خوارزمية الإثبات الكاملة والمتسقة المقابلة (يمكن تسميتها "استنتاجية عقائدية") شيئًا كالتالي:

"اقلب كتاب اقتباس الرفيق ماو تسي تونغ حتى تجد العبارة التي تبحث عنها. إذا وجد ، فهو صحيح ، وإذا انتهى كتاب الاقتباس ، ولم يتم العثور على البيان ، فهو خطأ.

العلامات: أضف علامات

أي نظام من البديهيات الرياضية ، بدءًا من مستوى معين من التعقيد ، إما غير متسق داخليًا أو غير مكتمل.

في عام 1900 ، انعقد المؤتمر العالمي لعلماء الرياضيات في باريس ، حيث قدم ديفيد هيلبرت (1862-1943) في شكل ملخصات أهم 23 مشكلة ، في رأيه ، صاغها ، والتي كان من المقرر حلها من قبل العلماء النظريين. من القرن العشرين القادم. كان رقم اثنين في قائمته واحدًا من هؤلاء مهام بسيطة، الجواب الذي يبدو واضحًا حتى تعمق قليلاً. تتحدث لغة حديثةكان هذا هو السؤال: هل الرياضيات كافية بمفردها؟ كانت مشكلة هيلبرت الثانية هي إثبات هذا النظام بصرامة البديهيات- العبارات الأساسية المأخوذة في الرياضيات كأساس بدون دليل - مثالية وكاملة ، أي أنها تسمح لك أن تصف رياضيًا كل شيء موجود. كان من الضروري إثبات أنه من الممكن وضع مثل هذا النظام من البديهيات بحيث تكون ، أولاً ، متسقة بشكل متبادل ، وثانيًا ، يمكن للمرء أن يستنتج منها بشأن حقيقة أو زيف أي بيان.

لنأخذ مثالاً من هندسة المدرسة. اساسي قياس الكواكب الإقليدية(الهندسة على المستوى) من الممكن إثبات أن العبارة "مجموع زوايا المثلث 180 درجة" صحيحة ، وعبارة "مجموع زوايا المثلث 137 درجة" خاطئة. بالحديث بشكل أساسي ، في الهندسة الإقليدية ، فإن أي عبارة إما خاطئة أو صحيحة ، والثالث لم يتم تقديمه. وفي بداية القرن العشرين ، اعتقد علماء الرياضيات بسذاجة أنه يجب ملاحظة نفس الموقف في أي نظام متسق منطقيًا.

وبعد ذلك في عام 1931 ، أخذ عالم الرياضيات الذي يرتدي نظارة من فيينا كيرت غوديل ونشر مقالًا قصيرًا أدى ببساطة إلى قلب العالم كله لما يسمى "بالمنطق الرياضي". بعد مقدمات رياضية ونظرية طويلة ومعقدة ، أسس ما يلي حرفيًا. لنأخذ أي عبارة مثل: "الافتراض رقم 247 غير قابل للإثبات منطقيًا في نظام البديهيات هذا" ونسميه "العبارة أ". لذلك أثبت Gödel ببساطة الخاصية المذهلة التالية أيأنظمة أكسيوم:

"إذا كان من الممكن إثبات العبارة أ ، فيمكن إثبات العبارة غير أ."

بمعنى آخر ، إذا كان من الممكن إثبات صحة البيان "Assumption 247 ليس يمكن إثباته "، فمن الممكن إثبات صحة البيان" Assumption 247 يمكن إثباته". أي ، بالعودة إلى صياغة مشكلة هيلبرت الثانية ، إذا كان نظام البديهيات كاملاً (أي أنه يمكن إثبات أي بيان فيه) ، فهو غير متسق.

السبيل الوحيد للخروج من هذا الموقف هو قبول نظام غير كامل من البديهيات. أي ، على المرء أن يتحمل حقيقة أنه في سياق أي نظام منطقيسنترك مع عبارات "النوع أ" المعروف أنها صحيحة أو خاطئة - ويمكننا فقط الحكم على حقيقتها الخارجإطار البديهيات التي اعتمدناها. إذا لم تكن هناك مثل هذه العبارات ، فإن بديهياتنا متناقضة ، وفي إطارها ستكون هناك حتما صيغ يمكن إثباتها ودحضها.

لذا فإن الصياغة أول،أو ضعيف نظريات عدم الاكتمال لجودل: "أي نظام رسمي للبديهيات يحتوي على افتراضات لم يتم حلها". لكن Gödel لم يتوقف عند هذا الحد ، وصياغة وإثبات ثانيا،أو قوي نظرية عدم الاكتمال عند وديل: "لا يمكن إثبات الاكتمال المنطقي (أو عدم اكتمال) أي نظام من البديهيات في إطار هذا النظام. لإثبات ذلك أو دحضه ، يلزم وجود بديهيات إضافية (تعزيز النظام) ".

سيكون من الأكثر أمانًا الاعتقاد بأن نظريات وديل مجردة ولا تهمنا ، ولكن فقط مناطق ذات منطق رياضي سامي ، ولكن في الحقيقة اتضح أنها مرتبطة ارتباطًا مباشرًا ببنية الدماغ البشري. عالم رياضيات إنجليزيوأظهر الفيزيائي روجر بنروز (مواليد 1931) أن نظريات جوديل يمكن استخدامها لإثبات الاختلافات الجوهرية بين الدماغ البشري والكمبيوتر. الهدف من تفكيره بسيط. يعمل الكمبيوتر بشكل منطقي صارم وغير قادر على تحديد ما إذا كانت العبارة A صحيحة أم خاطئة إذا تجاوزت نطاق البديهيات ، ومثل هذه العبارات ، وفقًا لنظرية Gödel ، موجودة حتمًا. إن الشخص الذي يواجه مثل هذا البيان غير القابل للدحض منطقيًا والذي لا يمكن دحضه ، قادر دائمًا على تحديد حقيقته أو زيفه - بناءً على التجربة اليومية. على الأقل في هذا العقل البشرييتفوق على جهاز كمبيوتر مقيد بـ "نظيف" دوائر المنطق. إن العقل البشري قادر على فهم العمق الكامل للحقيقة الواردة في نظريات غودل ، لكن الكمبيوتر لا يستطيع ذلك أبدًا. لذلك ، فإن الدماغ البشري ليس سوى جهاز كمبيوتر. إنه قادر أن تتخذ قرارات، وسيجتاز اختبار تورينج.

أتساءل عما إذا كان لدى هيلبرت أي فكرة إلى أي مدى ستأخذنا أسئلته؟

كيرت جودل ، 1906-1978

النمساوي ، ثم عالم الرياضيات الأمريكي. ولد في برون (برون ، الآن برنو ، جمهورية التشيك). تخرج من جامعة فيينا ، حيث ظل مدرسًا في قسم الرياضيات (منذ عام 1930 - أستاذًا). في عام 1931 نشر نظرية سميت لاحقًا باسمه. نظرًا لكونه شخصًا غير سياسي تمامًا ، فقد نجا بشدة من مقتل صديقه وموظف القسم على يد طالب نازي وسقط في اكتئاب عميق ، تلازمه انتكاساته حتى نهاية حياته. في الثلاثينيات ، هاجر إلى الولايات المتحدة ، لكنه عاد إلى موطنه النمسا وتزوج. في عام 1940 ، في ذروة الحرب ، أُجبر على الفرار إلى أمريكا عبر الاتحاد السوفيتي واليابان. عمل لفترة في معهد برينستون بحث متقدم. لسوء الحظ ، لم تستطع نفسية العالم تحملها ، وتوفي جوعا في عيادة نفسية ، رافضًا تناول الطعام ، لأنه كان مقتنعًا بأنهم ينوون تسميمه.