الأخطاء النموذجية لأطفال المدارس عند حل المعادلات التربيعية. مربع عدم المساواة

ضع في اعتبارك مثالًا حيث يوجد معامل سالب أمام "× 2" في متباينة مربعة.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ماذا او ما "مربع عدم المساواة"؟ليس سؤال!) إذا كنت تأخذ أيالمعادلة التربيعية وتغيير العلامة فيها "=" (يساوي) أي رمز عدم المساواة ( > ≥ < ≤ ≠ ) ، نحصل على عدم مساواة تربيعية. فمثلا:

1. x2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

جيد، لقد وصلتك الفكرة...)

لقد ربطت عن قصد بين المعادلات وعدم المساواة هنا. الحقيقة هي أن الخطوة الأولى في الحل أيمربع عدم المساواة - حل المعادلة التي تتكون منها هذه المتباينة.لهذا السبب - عدم القدرة على حل المعادلات التربيعية يؤدي تلقائيًا إلى فشل كامل في عدم المساواة. هل التلميح واضح؟) إذا كان هناك أي شيء ، فابحث عن كيفية حل أي معادلات تربيعية. كل شيء مفصل هناك. وفي هذا الدرس سنتعامل مع المتباينات.

المتباينة جاهزة للحل لها الشكل: اليسار - ثلاثي الحدود الفأس 2 + ب س + ج، على اليمين - صفر.يمكن أن تكون علامة عدم المساواة أي شيء على الإطلاق. أول مثالين هنا مستعدون لاتخاذ قرار.المثال الثالث لا يزال بحاجة إلى الاستعداد.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

2. Dalinger V.A. أخطاء الرياضيات الشائعة في امتحانات القبول وكيفية تجنبها. - أومسك: دار النشر في أومسك IUU ، 1991.

3. Dalinger V.A. كل شيء لضمان النجاح في الاختبارات النهائية وامتحانات القبول في الرياضيات. العدد 5. المعادلات الأسية واللوغاريتمية وعدم المساواة وأنظمتها: كتاب مدرسي. - أومسك: دار النشر OmGPU ، 1996.

4. Dalinger V.A. بدايات التحليل الرياضي: الأخطاء النموذجية وأسبابها وطرق الوقاية منها: كتاب مدرسي. - أومسك: "الناشر - جهاز كشف الكذب" ، 2002.

5. Dalinger V.A. ، Zubkov A.N. دليل اجتياز الامتحان في الرياضيات: تحليل أخطاء المتقدمين في الرياضيات وطرق منعها. - أومسك: دار النشر OmGPU ، 1991.

6. Kutasov A.D. المعادلات الأسية واللوغاريتمية ، عدم المساواة ، الأنظمة: الوسائل التعليمية N7. - دار النشر للجامعة الروسية المفتوحة 1992.

تتنوع الأخطاء التي يرتكبها الطلاب عند حل المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة: من التصميم غير الصحيح للحل إلى الأخطاء المنطقية. ستتم مناقشة هذه الأخطاء وغيرها في هذه المقالة.

1. الخطأ الأكثر شيوعًا هو أن الطلاب ، عند حل المعادلات وعدم المساواة ، دون تفسيرات إضافية ، يستخدمون تحويلات تنتهك التكافؤ ، مما يؤدي إلى فقدان الجذور وظهور خيول دخيلة.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة لأخطاء من هذا النوع ، ولكن أولاً نلفت انتباه القارئ إلى الفكرة التالية: لا تخف من اكتساب جذور دخيلة ، يمكن التخلص منها عن طريق التحقق ، والخوف من فقدان الجذور.

أ) حل المعادلة:

تسجيل 3 (5 - س) = 3 - تسجيل 3 (-1 - س).

غالبًا ما يحل الطلاب هذه المعادلة بالطريقة التالية.

تسجيل 3 (5 - س) = 3 - تسجيل 3 (-1 - س) ، تسجيل 3 (5 - س) + تسجيل 3 (-1 - س) = 3 ، تسجيل 3 ((5 - س) (- 1 - س)) = 3 ، (5 - س) (- 1 - س) = 33 ، × 2 - 4x - 32 = 0 ،

س 1 = -4 ؛ س 2 = 8.

غالبًا ما يكتب الطلاب ، دون أي تفكير إضافي ، كلا الرقمين ردًا على ذلك. ولكن كما يظهر الشيك ، فإن الرقم x = 8 ليس جذر المعادلة الأصلية ، لأنه عند x = 8 يفقد الجانبان الأيسر والأيمن من المعادلة معناهما. يظهر الفحص أن الرقم x = -4 هو جذر المعادلة المعطاة.

ب) حل المعادلة

يحدد النظام مجال تعريف المعادلة الأصلية

لحل المعادلة الآتية ، نمرر إلى اللوغاريتم في الأساس x ، نحصل عليه

نرى أن الجانبين الأيسر والأيمن من هذه المعادلة الأخيرة عند x = 1 لم يتم تعريفهما ، لكن هذا الرقم هو جذر المعادلة الأصلية (يمكننا التحقق من ذلك بالتعويض المباشر). وبالتالي ، أدى الانتقال الرسمي إلى قاعدة جديدة إلى فقدان الجذر. لتجنب فقدان الجذر x = 1 ، يجب أن تحدد أن الأساس الجديد يجب أن يكون رقمًا موجبًا غير واحد ، مع مراعاة الحالة x = 1 بشكل منفصل.

2. تتكون مجموعة كاملة من الأخطاء ، أو بالأحرى أوجه القصور ، من حقيقة أن الطلاب لا يهتمون بإيجاد مجال تعريف المعادلات ، على الرغم من أنه في بعض الحالات يكون هذا المجال بالتحديد هو مفتاح الحل. دعونا نلقي نظرة على مثال في هذا الصدد.

حل المعادلة

لنجد مجال تعريف هذه المعادلة ، والتي من أجلها نحل نظام المتباينات:

من أين لدينا x = 0. دعنا نتحقق بالتعويض المباشر ما إذا كان الرقم x = 0 هو جذر المعادلة الأصلية

الجواب: س = 0.

3. خطأ نموذجي لدى الطلاب هو أنهم لا يعرفون تعريفات المفاهيم والصيغ وصياغات النظريات والخوارزميات على المستوى المطلوب. دعنا نؤكد ما قيل بالمثال التالي.

حل المعادلة

إليك حل خاطئ لهذه المعادلة:

يظهر التحقق أن x = -2 ليس جذر المعادلة الأصلية.

الاستنتاج يشير إلى أن المعادلة المعطاة ليس لها جذور.

ومع ذلك ، فهي ليست كذلك. بالتعويض بـ x = -4 في المعادلة الآتية ، يمكننا التحقق من أن هذا جذر.

دعنا نحلل سبب فقد الجذر.

في المعادلة الأصلية ، يمكن أن يكون التعبيران x و x + 3 سالبين أو موجبين معًا في نفس الوقت ، ولكن عند التمرير إلى المعادلة ، يمكن أن تكون نفس التعبيرات موجبة فقط. وبالتالي ، كان هناك تضييق في مجال التعريف ، مما أدى إلى فقدان الجذور.

لتجنب فقدان الجذر ، يمكنك المتابعة على النحو التالي: دعنا ننتقل في المعادلة الأصلية من لوغاريتم المجموع إلى لوغاريتم المنتج. في هذه الحالة ، يكون ظهور الجذور الدخيلة أمرًا ممكنًا ، ولكن يمكنك التخلص منها عن طريق الاستبدال.

4. العديد من الأخطاء التي يتم ارتكابها عند حل المعادلات وعدم المساواة هي نتيجة حقيقة أن الطلاب كثيرًا ما يحاولون حل المشكلات وفقًا للقالب ، أي بالطريقة المعتادة. دعنا نظهر هذا بمثال.

حل المتباينة

لن تؤدي محاولة حل هذا التفاوت بالطرق الحسابية المعتادة إلى إجابة. يجب أن يتكون الحل هنا من تقدير قيم كل حد على الجانب الأيسر من المتباينة في مجال المتباينة.

أوجد مجال تعريف عدم المساواة:

لكل x من الفترة (9 ؛ 10] يكون للتعبير قيم موجبة (قيم الدالة الأسية تكون دائمًا موجبة).

لكل x من الفترة (9 ؛ 10] التعبير x - 9 له قيم موجبة ، والتعبير lg (x - 9) له قيم سالبة أو صفر ، ثم التعبير (- (x - 9) lg (x) - 9) موجب أو يساوي الصفر.

أخيرًا ، لدينا x∈ (9 ؛ 10]. لاحظ أنه بالنسبة لقيم المتغير هذه ، يكون كل حد على الجانب الأيسر من المتباينة موجبًا (الحد الثاني قد يكون صفرًا) ، مما يعني أن مجموعها دائماً أكبر من صفر ، لذا فإن حل المتباينة الأصلية هو الفترة (9 ؛ 10].

5. يتعلق أحد الأخطاء بالحل الرسومي للمعادلات.

حل المعادلة

تُظهر تجربتنا أن الطلاب ، الذين يحلون هذه المعادلة بيانياً (لاحظ أنه لا يمكن حلها بطرق أولية أخرى) ، يحصلون على جذر واحد فقط (هو حدود نقطة تقع على الخط y = x) ، لأن الرسوم البيانية للوظائف

هذه رسوم بيانية لوظائف معكوسة بشكل متبادل.

في الواقع ، تحتوي المعادلة الأصلية على ثلاثة جذور: أحدها هو الحد الفاصل للنقطة الواقعة على منصف زاوية الإحداثيات الأولى y \ u003d x ، والجذر الآخر والجذر الثالث.

لاحظ أن معادلات النموذج logax = ax عند 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

يوضح هذا المثال الاستنتاج التالي بنجاح: الحل الرسومي للمعادلة f (x) = g (x) يكون "مثاليًا" إذا كانت كلتا الوظيفتين متعددي التوتر (يزيد أحدهما والآخر ينقص) ، وليس صحيحًا رياضيًا بدرجة كافية في حالة الوظائف الرتيبة (كلاهما أو ينقصان في وقت واحد أو يزيدان في وقت واحد).

6. يرجع عدد من الأخطاء النموذجية إلى حقيقة أن الطلاب لا يقومون بحل المعادلات وعدم المساواة بشكل صحيح بناءً على نهج وظيفي. سوف نظهر أخطاء نموذجية من هذا النوع.

أ) حل المعادلة xx = x.

الوظيفة الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة هي القوة الأسية ، وإذا كان الأمر كذلك ، فيجب فرض القيود التالية على قاعدة الدرجة: x> 0 ، x ≠ 1. لنأخذ لوغاريتم كلا الجزأين من المعطى معادلة:

من أين لدينا x = 1.

لم يؤد اللوغاريتم إلى تضييق مجال تعريف المعادلة الأصلية. لكن مع ذلك فقدنا جذرين من المعادلة ؛ بالملاحظة المباشرة ، نجد أن x = 1 و x = -1 هما جذور المعادلة الأصلية.

ب) حل المعادلة

كما في الحالة السابقة ، لدينا دالة قوة أسية ، مما يعني x> 0 ، x ≠ 1.

لحل المعادلة الأصلية ، نأخذ لوغاريتم كلا الجزأين في أي قاعدة ، على سبيل المثال ، في الأساس 10:

بالنظر إلى أن حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا عندما يكون أحدهما على الأقل مساويًا للصفر ، بينما يكون الآخر منطقيًا ، فلدينا مجموعة من نظامين:

النظام الأول ليس له حل ؛ من النظام الثاني نحصل على x = 1. نظرًا للقيود المفروضة سابقًا ، لا ينبغي أن يكون الرقم x = 1 هو جذر المعادلة الأصلية ، على الرغم من أننا من خلال الاستبدال المباشر نتأكد من أن هذا ليس هو الحال.

7. ضع في اعتبارك بعض الأخطاء المرتبطة بمفهوم الوظيفة المعقدة للنموذج. دعنا نظهر الخطأ بمثال.

تحديد نوع رتابة الوظيفة.

تبين ممارستنا أن الغالبية العظمى من الطلاب يحددون الرتابة في هذه الحالة فقط من خلال قاعدة اللوغاريتم ، ومنذ 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

لا! هذه الوظيفة آخذة في الازدياد.

بشرط لوظيفة العرض ، يمكنك كتابة:

تزايد (تنازلي) = تنازلي ؛

زيادة (زيادة) = زيادة ؛

تنازلي (تنازلي) = زيادة ؛

تناقص (زيادة) = تناقص ؛

8. حل المعادلة

هذه المهمة مأخوذة من الجزء الثالث من اختبار الدولة الموحد ، والذي يتم تقييمه بالنقاط (الحد الأقصى للدرجات هو 4).

هذا حل يحتوي على أخطاء ، مما يعني أنه لن يتم إعطاء الحد الأقصى للدرجة له.

نقوم بتقليل اللوغاريتمات إلى الأساس 3. وتأخذ المعادلة الصيغة

من خلال التعزيز ، نحصل على

س 1 = 1 ، س 2 = 3.

دعونا نتحقق من الجذور الدخيلة

, 1 = 1,

إذن ، x = 1 هو جذر المعادلة الأصلية.

إذن ، x = 3 ليس جذر المعادلة الأصلية.

دعنا نوضح سبب احتواء هذا الحل على أخطاء. جوهر الخطأ هو أن الإدخال يحتوي على خطأين جسيمين. الخطأ الأول: السجل لا معنى له على الإطلاق. الخطأ الثاني: ليس صحيحًا أن حاصل ضرب عاملين ، أحدهما صفر ، هو بالضرورة صفر. سيكون الصفر إذا وفقط إذا كان أحد العوامل هو 0 والعامل الثاني يكون منطقيًا. هنا ، فقط ، المضاعف الثاني لا معنى له.

9. دعونا نعود إلى الخطأ الذي تم التعليق عليه أعلاه ، ولكن في نفس الوقت سوف نقدم بعض الحجج الجديدة.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية ، يتم تمريرها إلى المعادلة. كل جذر من المعادلة الأولى هو أيضًا جذر للمعادلة الثانية. العكس ، بشكل عام ، ليس صحيحًا ، لذلك ، عند الانتقال من المعادلة إلى المعادلة ، من الضروري التحقق من جذور الأخيرة عن طريق الاستبدال في المعادلة الأصلية في النهاية. بدلاً من التحقق من الجذور ، يُنصح باستبدال المعادلة بنظام مكافئ

إذا ، عند حل المعادلة اللوغاريتمية ، فإن التعبيرات

حيث n هو رقم زوجي ، يتم تحويله ، على التوالي ، وفقًا للصيغ ، لذلك ، نظرًا لأنه في كثير من الحالات يتم تضييق مجال تعريف المعادلة ، فقد يتم فقد بعض جذورها. لذلك ، يُنصح بتطبيق هذه الصيغ بالشكل التالي:

n عدد زوجي.

على العكس من ذلك ، عند حل المعادلة اللوغاريتمية ، يتم تحويل التعبيرات ، حيث n عدد زوجي ، على التوالي ، إلى التعبيرات

ثم يمكن توسيع مجال تعريف المعادلة ، مما يجعل من الممكن الحصول على جذور دخيلة. مع أخذ ذلك في الاعتبار ، في مثل هذه الحالات ، من الضروري مراقبة تكافؤ التحولات ، وإذا توسع مجال تعريف المعادلة ، تحقق من الجذور الناتجة.

10. عند حل المتباينات اللوغاريتمية باستخدام التعويض ، فإننا دائمًا ما نقوم أولاً بحل متباينة جديدة فيما يتعلق بمتغير جديد ، وفي حلها فقط ننتقل إلى المتغير القديم.

غالبًا ما يقوم تلاميذ المدارس عن طريق الخطأ بالانتقال العكسي في وقت مبكر ، في مرحلة إيجاد جذور دالة عقلانية ، تم الحصول عليها على الجانب الأيسر من عدم المساواة. ولا ينبغي القيام بذلك.

11. دعونا نعطي مثالاً على خطأ آخر يتعلق بحل المتباينات.

حل المتباينة

.

إليك حل خاطئ يقدمه الطلاب في كثير من الأحيان.

دعونا نربّع كلا طرفي المتباينة الأصلية. سوف نحصل على:

من أين نحصل على متباينة عددية غير صحيحة ، مما يسمح لنا باستنتاج أن المتباينة المعطاة ليس لها حلول.

مقدمة …………………………………………………………………… 3

1. تصنيف الأخطاء بأمثلة …………………………… .. ……… 5

1.1 التصنيف حسب أنواع المهام …………………………… …………… .5

1.2 التصنيف حسب أنواع التحولات ……………………………………… 10

2. الاختبارات ……………………………………………….…. ……………………… .12

3. بروتوكولات المقررات ……………………… ..…. ………………………… 18

3.1. بروتوكولات الحلول غير الصحيحة ……………………………… ... 18

3.2 الإجابات (بروتوكولات القرارات الصحيحة) ……………………………………… .34

3.3 أخطاء في القرارات ……………………………………………؛ 51

الملحق …………………………. ………………………………………………………؛ 53

الأدب ………………………………………………………………………………… .56

المقدمة

تقول الحكمة الشعبية: "إنهم يتعلمون من الأخطاء". ولكن لكي تتعلم من تجربة سلبية ، عليك أولاً أن ترى الخطأ. لسوء الحظ ، غالبًا ما يكون الطالب غير قادر على اكتشافه عند حل مشكلة معينة. ونتيجة لذلك ، نشأت فكرة إجراء دراسة ، والغرض منها تحديد الأخطاء النموذجية التي يرتكبها الطلاب ، وكذلك تصنيفها على أكمل وجه ممكن.

في إطار هذه الدراسة ، تم النظر في مجموعة كبيرة من المهام وحلها من خيارات اختبار أبريل والاختبارات والواجبات الكتابية لامتحانات القبول في جامعة ولاية أومسك ، والكتيبات المختلفة ومجموعات المهام للمتقدمين إلى الجامعات ، ومواد المراسلات المدرسة في OmSU NOF تمت دراستها بعناية. تم تحليل البيانات التي تم الحصول عليها بالتفصيل ، مع إيلاء الكثير من الاهتمام لمنطق القرارات. بناءً على هذه البيانات ، تم تحديد الأخطاء الأكثر تكرارًا ، أي الأخطاء النموذجية.

بناءً على نتائج هذا التحليل ، جرت محاولة لتنظيم أخطاء الصفات المميزة وتصنيفها حسب أنواع التحولات وأنواع المشاكل ، ومن بينها ما يلي: عدم المساواة التربيعية ، وأنظمة عدم المساواة ، والمعادلات الكسرية العقلانية ، والمعادلات ذات المعادلات ، المعادلات غير المنطقية ، أنظمة المعادلات ، مشاكل الحركة ، مهام العمل وإنتاجية العمل ، المعادلات المثلثية ، أنظمة المعادلات المثلثية ، قياس الكواكب.

يصاحب التصنيف توضيح في شكل بروتوكولات قرار غير صحيحة ، مما يجعل من الممكن مساعدة الطلاب على تطوير القدرة على فحص أنفسهم والتحكم فيها ، وتقييم أنشطتهم بشكل نقدي ، وإيجاد الأخطاء وطرق القضاء عليها.

كانت الخطوة التالية هي العمل مع الاختبارات. لكل مهمة ، تم تقديم خمس إجابات ، واحدة منها صحيحة ، والأربع إجابات المتبقية غير صحيحة ، لكنها لم تؤخذ بشكل عشوائي ، ولكنها تتوافق مع الحل الذي حدث فيه خطأ محدد ، معيار لمهام من هذا النوع. يوفر هذا أساسًا للتنبؤ بدرجة "فظاظة" الخطأ وتطور العمليات العقلية الأساسية (التحليل والتركيب والمقارنة والتعميم). الاختبارات لها الهيكل التالي:

تنقسم أكواد الخطأ إلى ثلاثة أنواع: حسنًا - الإجابة الصحيحة ، رمز رقمي - خطأ من التصنيف حسب أنواع المهام ، رمز أبجدي - خطأ من التصنيف حسب أنواع التحويلات. يمكن العثور على فك التشفير في الفصل الأول. تصنيف الأخطاء بالأمثلة.

تم عرض المزيد من المهام للعثور على خطأ في الحل. تم استخدام هذه المواد عند العمل مع طلاب مدرسة المراسلة في NOF OmSU ، وكذلك في الدورات التدريبية المتقدمة للمعلمين في أومسك ومنطقة أومسك ، التي أجرتها NOF OmSU.

في المستقبل ، على أساس العمل المنجز ، من الممكن إنشاء نظام لرصد وتقييم مستوى معرفة ومهارات شخص الاختبار. يصبح من الممكن تحديد مجالات المشاكل في العمل ، لإصلاح الأساليب والتقنيات الناجحة ، لتحليل محتوى التدريب الذي يُنصح بتوسيعه. ولكن لتحقيق أكبر فعالية لهذه الأساليب ، فإن مصلحة الطالب ضرورية. لهذا الغرض ، بالتعاون مع Chubrik A.V. وتم تطوير منتج برمجي صغير يولد حلولاً غير صحيحة للمعادلات الخطية والتربيعية (القاعدة النظرية والخوارزميات - I و Chuubrik A.V. ، المساعدة في التنفيذ - مجموعة الطلاب MP-803 Filimonov M.V.). العمل مع هذا البرنامج يمنح الطالب فرصة العمل كمدرس طالبه كمبيوتر.

يمكن أن تكون النتائج التي تم الحصول عليها بمثابة بداية لدراسة أكثر جدية ، والتي ستكون على المدى القريب والبعيد قادرة على إجراء التعديلات اللازمة على نظام تدريس الرياضيات.

1. تصنيف الأخطاء بأمثلة

1.1 التصنيف حسب أنواع المهام

1. المعادلات الجبرية والمتباينات.

1.1 مربع عدم المساواة. أنظمة عدم المساواة:

1.1.1. تم العثور على جذور ثلاثي الحدود المربع بشكل غير صحيح: تم استخدام نظرية فييتا وصيغة إيجاد الجذور بشكل غير صحيح ؛

1.1.2. تم تصوير الرسم البياني لمربع ثلاثي الحدود بشكل غير صحيح ؛

1.1.3. تم تعريف قيم الوسيطة بشكل غير صحيح والتي يتم من خلالها استيفاء عدم المساواة ؛

1.1.4. القسمة بتعبير يحتوي على قيمة غير معروفة ؛

1.1.5. في أنظمة عدم المساواة ، تقاطع حلول جميع التفاوتات يؤخذ بشكل غير صحيح ؛

1.1.6. تضمين نهايات الفترات الزمنية في الإجابة النهائية بشكل غير صحيح أو عدم تضمينها ؛

1.1.7. التقريب.

1.2 المعادلات الكسرية المنطقية:

1.2.1. تمت الإشارة بشكل غير صحيح إلى ODZ أو عدم الإشارة إليه: لم يؤخذ في الاعتبار أن مقام الكسر لا ينبغي أن يكون صفرًا ؛

ODZ:.

1.2.2. عند استلام الرد ، لا يؤخذ في الاعتبار مكتب المنطقة الزمنية الخاصة ؛

لم تجد إجابة لسؤالك؟ إنظر الى هنا

الخطابة كنموذج أولي للصحافة

اقتباسات عن Napoleon - dslinkov - LiveJournal

لي الانتقام دمر الرجل على الجرافة المدينة