أنواع الجذور التربيعية. حساب الجذر التربيعي وخصائصه

هذه المقالة عبارة عن مجموعة من المعلومات التفصيلية التي تتناول موضوع خصائص الجذور. بالنظر إلى الموضوع ، سنبدأ بالخصائص ، وندرس جميع الصيغ ونقدم البراهين. لتوحيد الموضوع ، سننظر في خصائص الدرجة التاسعة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

خصائص الجذر

سنتحدث عن الخصائص.

ملكية أعداد مضاعفة أو ب، والتي يتم تمثيلها على أنها المساواة أ · ب = أ · ب. يمكن تمثيلها كمضاعفات ، موجبة أو مساوية للصفر أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كك 1 أ 2 ... أ ك = أ 1 أ 2 ... أ ك ؛
من الخاص أ: ب = أ: ب ، أ ≥ 0 ، ب> 0 ، يمكن أيضًا كتابتها بهذه الصورة أ ب = أ ب ؛
خاصية من قوة الرقم أمع الأس الزوجي a 2 m = a m لأي عدد أ، على سبيل المثال ، خاصية من مربع الرقم أ 2 = أ.

في أي من المعادلات المقدمة ، يمكنك تبديل الأجزاء قبل وبعد علامة الشرطة ، على سبيل المثال ، يتم تحويل المساواة أ · ب = أ · ب إلى أ · ب = أ · ب. غالبًا ما تستخدم خصائص المساواة لتبسيط المعادلات المعقدة.

يعتمد إثبات الخصائص الأولى على تعريف الجذر التربيعي وخصائص القوى ذات الأس الطبيعي. لإثبات الخاصية الثالثة ، من الضروري الرجوع إلى تعريف مقياس العدد.

بادئ ذي بدء ، من الضروري إثبات خصائص الجذر التربيعي أ · ب = أ · ب. وفقًا للتعريف ، من الضروري اعتبار أن a b هو رقم ، موجب أو يساوي صفرًا ، والذي سيكون مساويًا لـ أ بأثناء البناء في مربع. قيمة التعبير أ · ب موجبة أو تساوي الصفر كمنتج لأرقام غير سالبة. تتيح لنا خاصية درجة الأعداد المضاعفة تمثيل المساواة في الشكل (أ · ب) 2 = أ 2 · ب 2. من خلال تعريف الجذر التربيعي a 2 \ u003d a و b 2 \ u003d b ، ثم a b \ u003d a 2 b 2 \ u003d a b.

بطريقة مماثلة ، يمكن للمرء أن يثبت ذلك من المنتج كالمضاعفات أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كسيساوي حاصل ضرب الجذور التربيعية لهذه العوامل. في الواقع ، a 1 · a 2 · ... · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · ... · ak 2 = a 1 · a 2 · ... · a k.

ويترتب على هذه المساواة أن 1 · أ 2 · ... · أ ك = أ 1 · أ 2 · ... · أ ك.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لتعزيز الموضوع.

مثال 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 ، 4 ، 2 13 1 2 = 4 ، 2 13 1 2 و 2 ، 7 4 12 17 0 ، 2 (1) = 2 ، 7 4 12 17 0. 2 (1).

من الضروري إثبات خاصية الجذر التربيعي الحسابي للحاصل: أ: ب = أ: ب ، أ ≥ 0 ، ب> 0. تتيح لك الخاصية كتابة المساواة أ: ب 2 = أ 2: ب 2 ، و 2: ب 2 = أ: ب ، بينما أ: ب رقم موجب أو يساوي صفرًا. هذا التعبير سيكون الدليل.

على سبيل المثال ، 0:16 = 0:16 ، 80: 5 = 80: 5 و 30 ، 121 = 30 ، 121.

ضع في اعتبارك خاصية الجذر التربيعي لمربع الرقم. يمكن كتابتها على أنها مساواة كـ 2 = a لإثبات هذه الخاصية ، من الضروري التفكير بالتفصيل في العديد من أوجه المساواة من أجل أ ≥ 0وعلى أ< 0 .

من الواضح ، بالنسبة لـ 0 ، أن المساواة a 2 = a صحيحة. في أ< 0 المساواة أ 2 = - ستكون صحيحة. في الواقع ، في هذه الحالة - أ> 0و (- أ) 2 = أ 2. يمكننا أن نستنتج أن أ 2 = أ ، أ ≥ 0 - أ ، أ< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 2

5 2 = 5 = 5 و - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36.

سوف تساعد الخاصية المثبتة في تبرير 2 م = أ م ، أين أ- حقيقي و م-عدد طبيعي. في الواقع ، تسمح لنا خاصية الأس باستبدال الدرجة أ 2 مالتعبير (ص) 2، ثم 2 م = (أ م) 2 = أ م.

مثال 3

3 8 = 3 4 = 3 4 و (- 8 ، 3) 14 = - 8 ، 3 7 = (8 ، 3) 7.

خصائص الجذر النوني

تحتاج أولاً إلى النظر في الخصائص الرئيسية لجذور الدرجة التاسعة:

خاصية من ناتج الأرقام أو ب، الموجبة أو المساوية للصفر ، يمكن التعبير عنها بالمساواة أ ب ن = أ ن ب ن ، هذه الخاصية صالحة للمنتج كأعداد أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كك 1 أ 2 ... أ ك ن = أ 1 ن أ 2 ن ... أ ك ن ؛
من عدد كسري لها الخاصية a b n = a n b n ، أين أهو أي رقم حقيقي موجب أو يساوي صفرًا ، و بهو رقم حقيقي موجب ؛
لأي أوحتى الأرقام ن = 2 مأ 2 م 2 م = أ صحيح ولغريب ن = 2 م - 1تم تحقيق المساواة أ 2 م - 1 2 م - 1 = أ.
خاصية الاستخراج من a m n = a n m حيث أ- أي رقم موجب أو يساوي صفرًا ، نو مهي أعداد طبيعية ، يمكن أيضًا تمثيل هذه الخاصية كـ . . أ ن ل ن 2 ن 1 = أ ن 1 · ن 2. . . nk.
لأي غير سلبي وتعسفي نو م، وهو أمر طبيعي ، يمكن للمرء أيضًا تحديد المساواة العادلة a m n · m = a n؛
خاصية الدرجة نمن قوة الرقم أ، وهو موجب أو يساوي الصفر ، عينيًا م، التي تحددها المساواة أ م ن = أ ن م ؛
خاصية المقارنة التي لها نفس الأس: لأي أرقام موجبة أو بمثل ذلك أ< b ، المتباينة أ ن< b n ;
خاصية المقارنات التي لها نفس الأرقام تحت الجذر: if مو ن-الأعداد الطبيعية م> ن، ثم في 0 < a < 1 المتباينة a m> a n صالحة ، ول أ> 1صباحا< a n .

المعادلات أعلاه صالحة إذا تم عكس الأجزاء قبل وبعد علامة المساواة. يمكن استخدامها في هذا النموذج أيضًا. غالبًا ما يستخدم هذا أثناء تبسيط التعبيرات أو تحويلها.

يعتمد إثبات الخصائص المذكورة أعلاه للجذر على التعريف وخصائص الدرجة وتعريف معامل الرقم. يجب إثبات هذه الخصائص. لكن كل شيء في محله.

بادئ ذي بدء ، سنثبت خصائص جذر الدرجة n من المنتج a · b n = a n · b n. إلى عن على أو ب ، أينكون موجب أو صفر , القيمة a n · b n موجبة أو مساوية للصفر ، لأنها نتيجة مضاعفة الأعداد غير السالبة. تسمح لنا خاصية منتج القدرة الطبيعية بكتابة المساواة a n · b n n = a n n · b n n. حسب تعريف الجذر نالدرجة a n n = a و b n n = b ، لذلك ، a n · b n n = a · b. المساواة الناتجة هي بالضبط ما كان مطلوبًا لإثباته.

تم إثبات هذه الخاصية بالمثل للمنتج كالعوامل: للأرقام غير السالبة a 1 ، a 2 ، ... ، a n a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

فيما يلي أمثلة على استخدام خاصية الجذر نالقوة من المنتج: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 و 8 ، 3 4 17 ، (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 ، 3 17 ، (21) 3 5 7 4.

دعونا نثبت خاصية جذر خارج القسمة a b n = a n b n. في أ ≥ 0و ب> 0تحقق الشرط a n b n ≥ 0 ، و a n b n n = a n n b n n = a b.

دعنا نعرض الأمثلة:

مثال 4

8 27 3 = 8 3 27 3 و 2 ، 3 10: 2 3 10 = 2 ، 3: 2 3 10.

بالنسبة للخطوة التالية ، من الضروري إثبات خصائص الدرجة التاسعة من الرقم إلى الدرجة ن. نحن نمثل هذا على أنه مساواة أ 2 م 2 م = أ و 2 م - 1 2 م - 1 = أ لأي شيء حقيقي أوطبيعية م. في أ ≥ 0نحصل على أ = أ و 2 م = أ 2 م ، مما يثبت المساواة أ 2 م 2 م = أ ، والمساواة أ 2 م - 1 2 م - 1 = أ واضحة. في أ< 0 نحصل على التوالي أ = - أ و 2 م = (- أ) 2 م = أ 2 م. يكون التحويل الأخير للرقم صالحًا وفقًا لخاصية الدرجة. هذا ما يثبت المساواة a 2 m 2 m \ u003d a ، و 2 m - 1 2 m - 1 \ u003d a ستكون صحيحة ، نظرًا لأن - c 2 m - 1 \ u003d - c 2 m تعتبر فردية درجة - 1 لأي رقم ج ،موجب أو يساوي الصفر.

من أجل دمج المعلومات الواردة ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة باستخدام الخاصية:

مثال 5

7 4 4 = 7 = 7 ، (- 5) 12 12 = - 5 = 5 ، 0 8 8 = 0 = 0 ، 6 3 3 = 6 و (- 3 ، 39) 5 5 = - 3 ، 39.

دعونا نثبت المساواة التالية أ م ن = أ ن م. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تغيير الأرقام قبل علامة التساوي وبعدها في الأماكن a n · m = a m n. سيشير هذا إلى الإدخال الصحيح. إلى عن على أ ،وهو أمر إيجابي أو يساوي الصفر , من الصورة a m n عدد موجب أو يساوي صفرًا. دعونا ننتقل إلى خاصية رفع السلطة إلى السلطة والتعريف. بمساعدتهم ، يمكنك تحويل المساواة في الصورة m n n · m = a m n n m = a m m = a. هذا يثبت الخاصية المدروسة لجذر من جذر.

تم إثبات خصائص أخرى بالمثل. حقًا، . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2. . . nk =. . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3. . . nk =. . . أ nk ن 4 ن 3 ن 3 ن 4. . . nk =. . . = أ ن ك ن ك = أ.

على سبيل المثال ، 7 3 5 = 7 5 3 و 0 ، 0009 6 = 0 ، 0009 2 2 6 = 0 ، 0009 24.

دعنا نثبت الخاصية التالية a m n · m = a n. للقيام بذلك ، من الضروري إظهار أن n هو رقم موجب أو يساوي صفرًا. عندما ترفع إلى قوة n م تكون صباحا. إذا كان الرقم أموجب أو صفر ، إذن نالدرجة من بين أهو رقم موجب أو يساوي صفر. علاوة على ذلك ، a n · m n = a n n m ، والذي كان يجب إثباته.

من أجل تعزيز المعرفة المكتسبة ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة.

دعونا نثبت الخاصية التالية - خاصية جذر قوة الصورة a m n = a n m. من الواضح أن في أ ≥ 0الدرجة أ ن م عدد غير سالب. علاوة على ذلك ، هي نالدرجة - تساوي صباحافي الواقع ، a n m n = a n m · n = a n n m = a m. هذا يثبت الملكية المدروسة للدرجة.

على سبيل المثال ، 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

نحتاج إلى إثبات ذلك لأي أرقام موجبة أوب أ< b . ضع في اعتبارك عدم المساواة أ ن< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию أ< b . لذلك ، أ ن< b n при أ< b .

على سبيل المثال ، نعطي 12 4< 15 2 3 4 .

ضع في اعتبارك خاصية الجذر نالدرجة الثالثة. أولاً ، ضع في اعتبارك الجزء الأول من عدم المساواة. في م> نو 0 < a < 1 صحيح أ م> أ ن. افترض ن. ستبسط الخصائص التعبير إلى a n m · n ≤ a m m · n. بعد ذلك ، وفقًا لخصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي ، تتحقق المتباينة a n m n m n ≤ a m m n m n ، أي ، أ ن ≤ م. القيمة التي تم الحصول عليها في م> نو 0 < a < 1 لا يتطابق مع الخصائص أعلاه.

بنفس الطريقة ، يمكن للمرء أن يثبت ذلك م> نو أ> 1شرط م< a n .

من أجل دمج الخصائص المذكورة أعلاه ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة المحددة. ضع في اعتبارك عدم المساواة باستخدام أرقام محددة.

مثال 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

صيغ الجذر. خصائص الجذور التربيعية.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

في الدرس السابق ، اكتشفنا ما هو الجذر التربيعي. حان الوقت لمعرفة ما هو صيغ للجذور، ماذا يكون خصائص الجذروما الذي يمكن عمله حيال ذلك كله.

الصيغ الجذرية وخصائص الجذر وقواعد الإجراءات ذات الجذور- إنه في الأساس نفس الشيء. من المدهش أن هناك عددًا قليلاً من الصيغ للجذور التربيعية. وهو بالطبع يرضي! بدلاً من ذلك ، يمكنك كتابة الكثير من جميع أنواع الصيغ ، لكن ثلاثة منها فقط تكفي للعمل العملي والثقة مع الجذور. كل شيء آخر يتدفق من هؤلاء الثلاثة. على الرغم من أن الكثيرين ضلوا الطريق في الصيغ الثلاث للجذور ، نعم ...

لنبدأ بالأبسط. ها هي ذا:

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

الدرس والعرض التقديمي حول الموضوع:
"خصائص الجذر التربيعي. الصيغ. أمثلة على الحلول ، المهام مع الإجابات"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم. يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف الثامن
دليل الدراسة التفاعلي "الهندسة في 10 دقائق" للصف الثامن
المجمع التعليمي "1 ج: المدرسة. الهندسة ، الصف الثامن"

خصائص الجذر التربيعي

نواصل دراسة الجذور التربيعية. اليوم سننظر في الخصائص الرئيسية للجذور. جميع الخصائص الرئيسية بديهية ومتسقة مع جميع العمليات التي قمنا بها من قبل.

الخاصية 1. الجذر التربيعي لحاصل ضرب عددين غير سالبين يساوي حاصل ضرب الجذور التربيعية لهذين الرقمين: $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $.

من المعتاد إثبات أي خصائص ، دعنا نفعل ذلك.
دع $ \ sqrt (a * b) = x $، $ \ sqrt (a) = y $، $ \ sqrt (b) = z $. ثم علينا إثبات أن $ x = y * z $.
دعونا نربّع كل تعبير.
إذا كان $ \ sqrt (a * b) = x $ فإن $ a * b = x ^ 2 $.
إذا كان $ \ sqrt (a) = y $ ، $ \ sqrt (b) = z $ ، ثم بتربيع كلا التعبيرين ، نحصل على: $ a = y ^ 2 $ ، $ b = z ^ 2 $.
$ a * b = x ^ 2 = y ^ 2 * z ^ 2 $ ، أي $ x ^ 2 = (y * z) ^ 2 $. إذا كانت المربعات المكونة من عددين غير سالبين متساوية ، فإن الأرقام نفسها متساوية ، وهو ما يجب إثباته.

يترتب على ممتلكاتنا ، على سبيل المثال ، $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $.

ملاحظة 1. الخاصية صالحة أيضًا للحالة عندما يكون هناك أكثر من عاملين غير سلبيين تحت الجذر.
خاصية 2. إذا كان $ a≥0 $ و $ b> 0 $ ، فإن المساواة التالية صحيحة: $ \ sqrt (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) $

أي أن جذر حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة الجذور.
دليل - إثبات.
دعنا نستخدم الجدول ونثبت ملكيتنا بإيجاز.

أمثلة على استخدام خصائص الجذور التربيعية

مثال 1
احسب: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

المحلول.
بالطبع ، يمكننا أن نأخذ آلة حاسبة ، ونضرب جميع الأرقام الموجودة تحت الجذر وننفذ عملية استخراج الجذر التربيعي. وإذا لم تكن هناك آلة حاسبة في متناول اليد ، فماذا بعد ذلك؟
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
الجواب: 495.

مثال 2. احسب: $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $.

المحلول.
نمثل الرقم الجذري ككسر غير لائق: $ 11 \ frac (14) (25) = \ frac (11 * 25 + 14) (25) = \ frac (275 + 14) (25) = \ frac (289) ( 25) دولار.
دعنا نستخدم الخاصية 2.
$ \ sqrt (\ frac (289) (25)) = \ frac (\ sqrt (289)) (\ sqrt (25)) = \ frac (17) (5) = 3 \ frac (2) (5) = 3.4 دولار.
الجواب: 3.4.

مثال 3
احسب: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

المحلول.
يمكننا إيجاد المقدار مباشرة ، لكن يمكن تبسيطه دائمًا. دعنا نحاول القيام بذلك.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
إذن $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) = \ sqrt (16 * 64) = \ sqrt (16) * \ sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
الجواب: 32.

يا رفاق ، يرجى ملاحظة أنه لا توجد صيغ لعمليات جمع وطرح التعبيرات الجذرية والتعبيرات أدناه غير صحيحة.
$ \ sqrt (a + b) ≠ \ sqrt (a) + \ sqrt (b) $.
$ \ sqrt (a-b) ≠ \ sqrt (a) - \ sqrt (b) $.

مثال 4
احسب: أ) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) $؛ ب) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) $.
المحلول.
تعمل الخصائص المعروضة أعلاه من اليسار إلى اليمين وبترتيب عكسي ، أي:
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (b) = \ sqrt (a * b) $.
$ \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) = \ sqrt (\ frac (a) (b)) $.
دعنا نستخدم هذا لحل مثالنا.
أ) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) = \ sqrt (32 * 8) = \ sqrt (256) = 16. $

ب) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $.

الجواب: أ) 16 ؛ ب) 2.

الملكية 3. إذا كان $ a≥0 $ و n عددًا طبيعيًا ، فإن المساواة التالية صحيحة: $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $.

فمثلا. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $ ، $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $ وهكذا.

مثال 5
احسب: $ \ sqrt (129600) $.

المحلول.
العدد المقدم إلينا كبير جدًا ، فلنحلله إلى عوامل أولية.
لقد حصلنا على: 129600 دولار أمريكي = 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 دولار أمريكي أو دولار مربع (129600) = \ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) = 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 5 * 8 * 9 = 360 دولار.
الجواب: 360.

مهام الحل المستقل

1. احسب: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. احسب: $ \ sqrt (8 \ frac (1) (36)) $.
3. احسب: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. احسب:
أ) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $ ؛
ب) $ \ frac (\ sqrt (128)) (\ sqrt (8)) $.

وُلدت الرياضيات عندما أصبح الشخص مدركًا لنفسه وبدأ في وضع نفسه كوحدة مستقلة في العالم. الرغبة في قياس ما يحيط بك ومقارنته وحسابه هو ما يقوم عليه أحد العلوم الأساسية في أيامنا هذه. في البداية ، كانت هذه قطعًا من الرياضيات الأولية ، مما جعل من الممكن ربط الأرقام بتعبيراتها المادية ، وبعد ذلك بدأ تقديم الاستنتاجات نظريًا فقط (بسبب تجريدها) ، ولكن بعد فترة ، كما قال أحد العلماء ، " وصلت الرياضيات إلى سقف التعقيد عند كل الأعداد ". ظهر مفهوم "الجذر التربيعي" في وقت يمكن دعمه بسهولة بواسطة البيانات التجريبية ، متجاوزًا مستوى الحسابات.

كيف بدأ كل شيء

تم تسجيل أول ذكر للجذر ، والذي يُشار إليه حاليًا بـ ، في كتابات علماء الرياضيات البابليين ، الذين وضعوا الأساس للحساب الحديث. بالطبع ، بدوا قليلاً مثل الشكل الحالي - استخدم العلماء في تلك السنوات لأول مرة أقراصًا ضخمة الحجم. لكن في الألف الثاني قبل الميلاد. ه. لقد توصلوا إلى صيغة حسابية تقريبية أوضحت كيفية أخذ الجذر التربيعي. تُظهر الصورة أدناه حجرًا نحت عليه العلماء البابليون عملية الإخراج √2 ، واتضح أنها صحيحة لدرجة أن التناقض في الإجابة تم العثور عليه في المكان العشري العاشر فقط.

بالإضافة إلى ذلك ، تم استخدام الجذر إذا كان من الضروري إيجاد جانب المثلث ، بشرط أن يكون الاثنان الآخران معروفين. حسنًا ، عند حل المعادلات التربيعية ، لا مفر من استخراج الجذر.

إلى جانب الأعمال البابلية ، تمت دراسة موضوع المقال في العمل الصيني "الرياضيات في تسعة كتب" ، وتوصل الإغريق القدماء إلى نتيجة مفادها أن أي رقم لا يُستخرج منه الجذر دون الباقي يعطي نتيجة غير منطقية.

يرتبط أصل هذا المصطلح بالتمثيل العربي للرقم: اعتقد العلماء القدماء أن مربع الرقم التعسفي ينمو من الجذر ، مثل النبات. في اللاتينية ، تبدو هذه الكلمة مثل الجذر (يمكن للمرء أن يتتبع نمطًا - كل ما له حمل دلالي "جذر" ثابت ، سواء كان فجلًا أو عرق النسا).

التقط علماء الأجيال اللاحقة هذه الفكرة ، ووصفوها بأنها Rx. على سبيل المثال ، في القرن الخامس عشر ، للإشارة إلى أن الجذر التربيعي مأخوذ من رقم تعسفي أ ، كتبوا R 2 أ. ظهر "القراد" ، المألوف في المظهر الحديث ، فقط في القرن السابع عشر بفضل رينيه ديكارت.

أيامنا

رياضياً ، الجذر التربيعي لـ y هو الرقم z الذي يكون مربعه y. بعبارة أخرى ، z 2 = y تكافئ √y = z. ومع ذلك ، فإن هذا التعريف مناسب فقط للجذر الحسابي ، لأنه يتضمن قيمة غير سلبية للتعبير. بمعنى آخر ، √y = z ، حيث z أكبر من أو يساوي 0.

بشكل عام ، وهو صالح لتحديد جذر جبري ، يمكن أن تكون قيمة التعبير إما موجبة أو سالبة. وبالتالي ، نظرًا لحقيقة أن z 2 = y و (-z) 2 = y ، لدينا: √y = ± z أو √y = | z |.

نظرًا لحقيقة أن حب الرياضيات قد ازداد فقط مع تطور العلم ، فهناك العديد من مظاهر المودة تجاهها ، ولم يتم التعبير عنها في الحسابات الجافة. على سبيل المثال ، إلى جانب الأحداث المثيرة للاهتمام مثل يوم Pi ، يتم أيضًا الاحتفال بأعياد الجذر التربيعي. يتم الاحتفال بها تسع مرات في مائة عام ، ويتم تحديدها وفقًا للمبدأ التالي: يجب أن تكون الأرقام التي تشير إلى اليوم والشهر بالترتيب هي الجذر التربيعي للسنة. لذلك ، في المرة القادمة سيتم الاحتفال بهذه العطلة في 4 أبريل 2016.

خصائص الجذر التربيعي في الحقل R

جميع التعبيرات الرياضية تقريبًا لها أساس هندسي ، ولم يمر هذا المصير و y ، والتي تُعرّف على أنها جانب مربع بمساحة y.

كيف تجد جذر العدد؟

هناك عدة خوارزميات حسابية. أبسط ، ولكن في نفس الوقت مرهق للغاية ، هو الحساب الحسابي المعتاد ، وهو كما يلي:

1) من الرقم الذي نحتاج إلى جذره ، يتم طرح الأرقام الفردية بالتناوب - حتى يصبح باقي الناتج أقل من واحد مطروح أو حتى يساوي صفرًا. سيصبح عدد الحركات في النهاية الرقم المطلوب. على سبيل المثال ، حساب الجذر التربيعي لـ 25:

العدد الفردي التالي هو 11 ، والباقي هو: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

في مثل هذه الحالات ، هناك توسع لسلسلة تايلور:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n ، حيث تأخذ n القيم من 0 إلى

+ ∞ و | y | ≤1.

التمثيل البياني للدالة z = √y

ضع في اعتبارك دالة أولية z = √y في مجال الأعداد الحقيقية R ، حيث y أكبر من أو تساوي الصفر. يبدو مخططها كما يلي:

ينمو المنحنى من الأصل ويتخطى بالضرورة النقطة (1 ؛ 1).

خصائص الوظيفة z = √y في مجال الأعداد الحقيقية R

1. مجال تعريف الوظيفة المدروسة هو الفترة من صفر إلى زائد اللانهاية (يتم تضمين الصفر).

2. نطاق قيم الوظيفة المدروسة هو الفترة من صفر إلى زائد اللانهاية (يتم تضمين الصفر مرة أخرى).

3. تأخذ الوظيفة الحد الأدنى للقيمة (0) فقط عند النقطة (0 ؛ 0). لا توجد قيمة قصوى.

4. الدالة z = √y ليست زوجية ولا فردية.

5. الوظيفة z = √y ليست دورية.

6. هناك نقطة تقاطع واحدة فقط للرسم البياني للدالة z = √y مع محاور الإحداثيات: (0 ؛ 0).

7. نقطة تقاطع التمثيل البياني للدالة z = √y هي أيضًا صفر لهذه الدالة.

8. تتزايد الدالة z = √y باستمرار.

9. الدالة z = √y تأخذ فقط القيم الموجبة ، لذلك فإن الرسم البياني الخاص بها يحتل أول زاوية إحداثي.

خيارات لعرض الوظيفة z = √y

في الرياضيات ، لتسهيل حساب التعبيرات المعقدة ، تُستخدم أحيانًا صيغة القوة لكتابة الجذر التربيعي: √y = y 1/2. هذا الخيار مناسب ، على سبيل المثال ، في رفع دالة إلى قوة: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. تُعد هذه الطريقة أيضًا تمثيلًا جيدًا للتفاضل مع التكامل ، نظرًا لأنه بفضلها يتم تمثيل الجذر التربيعي بواسطة دالة طاقة عادية.

وفي البرمجة ، فإن استبدال الرمز هو مجموعة الأحرف sqrt.

وتجدر الإشارة إلى أن هناك طلبًا كبيرًا على الجذر التربيعي في هذه المنطقة ، حيث إنه جزء من معظم الصيغ الهندسية اللازمة للحسابات. خوارزمية العد نفسها معقدة للغاية وتستند إلى العودية (وظيفة تستدعي نفسها).

الجذر التربيعي في الحقل المركب C

بشكل عام ، كان موضوع هذه المقالة هو الذي حفز اكتشاف مجال الأعداد المركبة C ، حيث كان علماء الرياضيات مسكونًا بمسألة الحصول على جذر درجة متساوية من رقم سالب. هكذا ظهرت الوحدة التخيلية التي تتميز بخاصية شيقة للغاية: مربعها يساوي -1. بفضل هذا ، حصلت المعادلات التربيعية والمميز السالب على حل. في C ، بالنسبة للجذر التربيعي ، نفس الخصائص ذات صلة كما في R ، الشيء الوحيد هو إزالة القيود المفروضة على التعبير الجذر.