التوليفات الممكنة. مجموعات

ضع في اعتبارك مشكلة حساب عدد العينات من مجموعة معينة بشكل عام. يجب ألا يكون هناك بعض الإعداد ن، تتكون من ن عناصر. أي مجموعة فرعية من م يمكن النظر في العناصر دون مراعاة ترتيبها ومعها ، أي عند تغيير الترتيب ، انتقل إلى آخر م- أخذ العينات.

نصوغ التعاريف التالية:

المواضع بدون تكرار

عن طريق وضعه دون تكرارن عناصر بواسطةم نتحتويمعناصر مختلفة.

ويترتب على التعريف أن ترتيبين يختلفان عن بعضهما البعض ، سواء في العناصر أو في ترتيبها ، حتى لو كانت العناصر متشابهة.

نظرية 3. عدد المواضع بدون تكرار يساوي المنتج م العوامل ، أكبرها العدد ن . اكتب:

التباديل بدون تكرار

تباديل منن تسمى العناصر بالترتيبات المختلفة للمجموعةن.

ويترتب على هذا التعريف أن تبدلين يختلفان فقط في ترتيب العناصر ويمكن اعتبارهما حالة خاصة من الترتيبات.

نظرية 4. يتم حساب عدد التباديل المختلفة بدون تكرار بواسطة الصيغة

تركيبات بدون تكرار

مزيج دون تكرارن عناصر بواسطةم يتم استدعاء أي مجموعة فرعية غير مرتبة من المجموعةنتحتويم عناصر مختلفة.

ويترتب على التعريف أن مجموعتين تختلفان فقط في العناصر ، فالترتيب ليس مهمًا.

نظرية 5. يتم حساب عدد التركيبات بدون تكرار باستخدام إحدى الصيغ التالية:

مثال 1. هناك 5 كراسي في الغرفة. في كم عدد الطرق التي يمكنك وضعها

أ) 7 أشخاص ؛ ب) 5 أشخاص ؛ ج) 3 أشخاص؟

المحلول:أ) بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى اختيار 5 أشخاص من أصل 7 للجلوس على الكراسي. يمكن إنجازه
طريق. مع كل اختيار لخمسة معينة ، يمكن للمرء أن ينتج
التباديل في الأماكن. وفقًا لنظرية الضرب ، يكون العدد المطلوب لطرق الهبوط متساويًا.

تعليق:يمكن حل المشكلة باستخدام نظرية المنتج فقط ، بحجة ما يلي: هناك 7 خيارات للهبوط على الكرسي الأول ، و 6 خيارات على المقعد الثاني ، و 5 في الثالث ، و 4 في الرابع و 5 - 3. ثم يساوي عدد طرق الجلوس 7 أشخاص على 5 كراسي. الحلول متسقة في كلا الاتجاهين ، منذ ذلك الحين

ب) الحل واضح -

في) - عدد اختيارات الكراسي المشغولة.

- عدد المواضع لثلاثة أشخاص على ثلاثة كراسي مختارة.

العدد الإجمالي للاختيارات هو.

ليس من الصعب التحقق من الصيغ
;

;

عدد كل المجموعات الفرعية للمجموعة المكونة من نعناصر.

المواضع مع التكرار

التنسيب مع التكرار منن عناصر بواسطةم هي أي مجموعة فرعية مرتبة من مجموعةن، تتكون منم بحيث يمكن تضمين أي عنصر في هذه المجموعة الفرعية من 1 إلىممرات ، أو لا على الإطلاق.

يشار إلى عدد المواضع مع التكرار وتحسب وفقًا للصيغة الناتجة عن نظرية الضرب:

مثال 2. دع مجموعة من ثلاثة أحرف N = (أ ، ب ، ج) تعطى. دعنا نطلق على كلمة أي مجموعة من الأحرف المضمنة في هذه المجموعة. لنجد عدد الكلمات التي يبلغ طولها 2 والتي يمكن تكوينها من هذه الأحرف:
.

تعليق:من الواضح أنه يمكن أيضًا التفكير في الترتيبات مع التكرار
.

مثال 3. مطلوب من الحروف (أ ، ب) لتكوين جميع الكلمات الممكنة ذات الطول 3. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

إجابه:

التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس أسئلة حول عدد التركيبات المختلفة ، التي تخضع لشروط معينة ، والتي يمكن إجراؤها من كائنات معينة. تعتبر أساسيات التوافقية مهمة جدًا لتقدير احتمالات الأحداث العشوائية ، لأن هم الذين يجعلون من الممكن حساب العدد الأساسي المحتمل للسيناريوهات المختلفة لتطور الأحداث.

صيغة التوافقية الأساسية

لنفترض وجود مجموعات k من العناصر ، وتتكون المجموعة i من عناصر n i. دعنا نختار عنصرًا واحدًا من كل مجموعة. ثم يتم تحديد العدد الإجمالي للطرق التي يمكن من خلالها اتخاذ مثل هذا الاختيار من خلال العلاقة N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k.

مثال 1دعونا نشرح هذه القاعدة بمثال بسيط. يجب أن تكون هناك مجموعتان من العناصر ، المجموعة الأولى تتكون من عناصر n 1 ، والثانية - من n 2 من العناصر. كم عدد أزواج العناصر المختلفة التي يمكن تكوينها من هاتين المجموعتين بحيث يحتوي الزوج على عنصر واحد من كل مجموعة؟ لنفترض أننا أخذنا العنصر الأول من المجموعة الأولى ، وبدون تغييره ، مررنا بجميع الأزواج الممكنة ، وقمنا بتغيير العناصر من المجموعة الثانية فقط. يوجد ن 2 من هذه الأزواج لهذا العنصر. ثم نأخذ العنصر الثاني من المجموعة الأولى ونصنع له أيضًا كل الأزواج الممكنة. سيكون هناك أيضًا ن 2 من هذه الأزواج. نظرًا لوجود عناصر n 1 فقط في المجموعة الأولى ، سيكون هناك n 1 * n 2 من الخيارات الممكنة.

مثال 2كم عدد الأرقام الزوجية المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟
المحلول: n 1 \ u003d 6 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 كالرقم الأول) ، n 2 \ u003d 7 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 0 كالرقم الثاني ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6) ، n 3 \ u003d 4 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 0 ، 2 ، 4 ، 6 كالرقم الثالث).
لذا ، N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

في الحالة التي تتكون فيها جميع المجموعات من نفس العدد من العناصر ، أي n 1 = n 2 = ... n k = n يمكننا أن نفترض أن كل اختيار يتم من نفس المجموعة ، وأن العنصر يعود إلى المجموعة بعد الاختيار. إذن ، فإن عدد جميع طرق الاختيار يساوي n k. هذه الطريقة في الاختيار في التوافقية تسمى إرجاع العينات.

مثال 3كم عددًا مكونًا من أربعة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 1 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8؟
المحلول.هناك خمسة احتمالات لكل رقم مكون من أربعة أرقام ، لذا N = 5 * 5 * 5 * 5 = 5 4 = 625.

ضع في اعتبارك مجموعة تتكون من عناصر n. هذه المجموعة في التوافقية تسمى عامه السكان.

عدد المواضع من n من العناصر بالمتر

التعريف 1.السكن من نعناصر بواسطة مفي التوافقية يسمى أي مجموعة مرتبةمن معناصر مختلفة مختارة من عامة السكان في نعناصر.

مثال 4الترتيبات المختلفة لثلاثة عناصر (1 ، 2 ، 3) اثنان في اثنين ستكون مجموعات (1 ، 2) ، (2 ، 1) ، (1 ، 3) ، (3 ، 1) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2). يمكن أن تختلف المواضع عن بعضها البعض في كل من العناصر وترتيبها.

يُشار إلى عدد المواضع في التوافقية بالرمز A n m وتحسب بالصيغة:

تعليق: n! = 1 * 2 * 3 * ... * n (اقرأ: "en factor") ، بالإضافة إلى ذلك ، يُفترض أن 0! = 1.

مثال 5. كم عددًا مكونًا من رقمين يكون فيه رقم العشرات ورقم الوحدة مختلفين عن الفرديين؟
المحلول:لان هناك خمسة أرقام فردية ، وهي 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، ثم يتم تقليل هذه المشكلة إلى اختيار ووضع اثنين من الأرقام الخمسة المختلفة في موضعين مختلفين ، أي ستكون الأرقام المعطاة:

التعريف 2. الجمعمن نعناصر بواسطة مفي التوافقية يسمى أي مجموعة غير مرتبةمن معناصر مختلفة مختارة من عامة السكان في نعناصر.

مثال 6. بالنسبة للمجموعة (1 ، 2 ، 3) ، التركيبات هي (1 ، 2) ، (1 ، 3) ، (2 ، 3).

عدد تركيبات n من العناصر بالمتر

يتم الإشارة إلى عدد التركيبات بواسطة C n m ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال 7ما هو عدد الطرق التي يمكن للقارئ أن يختار كتابين من بين ستة كتب متاحة؟

المحلول:عدد الطرق يساوي عدد مجموعات ستة كتب في اثنين ، أي يساوي:

تباديل العناصر ن

التعريف 3. التقليبمن نالعناصر تسمى أي مجموعة مرتبةهذه العناصر.

مثال 7 أ.جميع التباديل الممكنة لمجموعة تتكون من ثلاثة عناصر (1 ، 2 ، 3) هي: (1 ، 2 ، 3) ، (1 ، 3 ، 2) ، (2 ، 3 ، 1) ، (2 ، 1 ، 3) ، (3 ، 2 ، 1) ، (3 ، 1 ، 2).

يتم الإشارة إلى عدد التباديل المختلفة لعناصر n بواسطة P n ويتم حسابها بواسطة الصيغة P n = n !.

المثال 8ما هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب سبعة كتب لمؤلفين مختلفين في صف واحد على الرف؟

المحلول:هذه المشكلة تتعلق بعدد التباديل لسبعة كتب مختلفة. يوجد P 7 = 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 طريقة لترتيب الكتب.

مناقشة.نرى أنه يمكن حساب عدد المجموعات الممكنة وفقًا لقواعد مختلفة (التباديل ، والتركيبات ، والمواضع) ، وستكون النتيجة مختلفة ، لأن مبدأ العد والصيغ نفسها مختلفة. بالنظر عن كثب إلى التعريفات ، يمكنك أن ترى أن النتيجة تعتمد على عدة عوامل في نفس الوقت.

أولاً ، من خلال عدد العناصر التي يمكننا دمج مجموعاتها (ما حجم المجموعة العامة للعناصر).

ثانيًا ، تعتمد النتيجة على حجم مجموعات العناصر التي نحتاجها.

أخيرًا ، من المهم معرفة ما إذا كان ترتيب العناصر في المجموعة مهمًا بالنسبة لنا. دعونا نشرح العامل الأخير بالمثال التالي.

المثال 9هناك 20 شخصًا في اجتماع الوالدين. كم عدد الخيارات المختلفة لتكوين اللجنة الأم الموجودة إذا كان ينبغي أن تشمل 5 أشخاص؟
المحلول:في هذا المثال ، لسنا مهتمين بترتيب الأسماء في قائمة اللجان. إذا ظهر ، نتيجة لذلك ، نفس الأشخاص في تكوينها ، فإن هذا هو الخيار نفسه من حيث المعنى بالنسبة لنا. لذلك ، يمكننا استخدام الصيغة لحساب الرقم مجموعاتمن أصل 20 عنصرًا ، 5.

ستكون الأمور مختلفة إذا كان كل عضو في اللجنة مسؤولًا في البداية عن مجال معين من العمل. ثم ، مع نفس جدول رواتب اللجنة ، يمكن أن يكون بداخلها 5! والخيارات التباديلهذا الأمر. يتم تحديد عدد الخيارات المختلفة (من حيث التكوين ومنطقة المسؤولية) في هذه الحالة من خلال الرقم المواضعمن أصل 20 عنصرًا ، 5.

مهام الاختبار الذاتي
1. كم عدد الأرقام الزوجية المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟

2. كم عدد الأرقام المكونة من خمسة أرقام والتي تقرأ بنفس الطريقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار؟

3. هناك عشرة مواد في الفصل وخمسة دروس في اليوم. ما عدد الطرق التي يمكنك بها عمل جدول ليوم واحد؟

4. كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 4 مندوبين للمؤتمر إذا كان هناك 20 شخصًا في المجموعة؟

5. كم عدد الطرق التي يمكن بها وضع ثمانية أحرف مختلفة في ثمانية مظاريف مختلفة إذا تم وضع حرف واحد فقط في كل مغلف؟

6. من الضروري تكوين لجنة من ثلاثة علماء رياضيات وعشرة اقتصاديين تتكون من اثنين من علماء الرياضيات وستة خبراء اقتصاديين. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

تجدر الإشارة إلى أن التوافقية هي قسم مستقل من الرياضيات العليا (وليست جزءًا من terver) وقد تمت كتابة كتب مدرسية ثقيلة في هذا التخصص ، ومحتواها ، في بعض الأحيان ، ليس أسهل من الجبر المجرد. ومع ذلك ، فإن حصة صغيرة من المعرفة النظرية ستكون كافية بالنسبة لنا ، وفي هذه المقالة سأحاول تحليل أساسيات الموضوع مع مشاكل اندماجية نموذجية في شكل يمكن الوصول إليه. وسيساعدني الكثير منكم ؛-)

ماذا علينا ان نفعل؟ بالمعنى الضيق ، التوليفات هي حساب التوليفات المختلفة التي يمكن إجراؤها من مجموعة معينة منفصلهأشياء. تُفهم الأشياء على أنها أي كائنات معزولة أو كائنات حية - أشخاص ، حيوانات ، عيش الغراب ، نباتات ، حشرات ، إلخ. في الوقت نفسه ، لا يهتم التوافقيات على الإطلاق بأن المجموعة تتكون من صفيحة من السميد ومكواة لحام وضفدع مستنقع. من المهم بشكل أساسي أن تكون هذه العناصر قابلة للعد - هناك ثلاثة منها. (التكتم)ومن الضروري ألا يتشابه أي منهما.

مع الكثير من الفرز ، الآن حول المجموعات. أكثر أنواع المجموعات شيوعًا هي تباديل الكائنات واختيارها من مجموعة (مجموعة) والتوزيع (التنسيب). دعونا نرى كيف يحدث هذا الآن:

التبديلات والتركيبات والمواضع دون تكرار

لا تخف من المصطلحات الغامضة ، خاصة وأن بعضها ليس ناجحًا حقًا. لنبدأ بذيل العنوان - ماذا يعني " بدون تكرار"؟ هذا يعني أنه في هذا القسم سننظر في المجموعات التي تتكون من مختلفأشياء. على سبيل المثال ، ... لا ، لن أقدم عصيدة بمكواة لحام وضفدع ، فالشيء ألذ أفضل =) تخيل أن تفاحة ، وكمثرى ، وموزة موجودة على الطاولة أمامك (إذا كان هناك أي ، يمكن محاكاة الموقف بشكل حقيقي). نضع الثمار من اليسار إلى اليمين بالترتيب التالي:

تفاح / كمثرى / موز

سؤال واحد: ما هو عدد الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيبها؟

تمت كتابة مجموعة واحدة بالفعل أعلاه ولا توجد مشاكل مع البقية:

تفاح / موز / كمثرى
كمثرى / تفاح / موز
كمثرى / موز / تفاح
موز / تفاح / كمثرى
موز / كمثرى / تفاح

المجموع: 6 مجموعات أو 6 التباديل.

حسنًا ، لم يكن من الصعب سرد جميع الحالات المحتملة هنا ، ولكن ماذا لو كان هناك المزيد من الكائنات؟ بالفعل مع أربع فواكه مختلفة ، سيزداد عدد التوليفات بشكل كبير!

الرجاء فتح المواد المرجعية (دليل سهل الطباعة)وفي الفقرة رقم 2 ، ابحث عن صيغة عدد التباديل.

لا يوجد عذاب - 3 أشياء يمكن إعادة ترتيبها بطرق.

السؤال الثاني: ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار أ) فاكهة واحدة ، ب) فاكهة ، ج) ثلاث فواكه ، د) فاكهة واحدة على الأقل؟

لماذا تختار؟ لذلك عملوا على زيادة الشهية في الفقرة السابقة - من أجل الأكل! =)

أ) يمكن اختيار فاكهة واحدة ، من الواضح ، بثلاث طرق - خذ إما تفاحة ، أو كمثرى ، أو موزة. يعتمد العد الرسمي على صيغة عدد التوليفات:

يجب فهم الإدخال في هذه الحالة على النحو التالي: "ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار فاكهة واحدة من بين ثلاثة؟"

ب) ندرج جميع المجموعات الممكنة من فاكهتين:

التفاح والكمثرى
التفاح والموز
الكمثرى والموز.

من السهل التحقق من عدد التركيبات باستخدام نفس الصيغة:

يُفهم الإدخال بشكل مشابه: "ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار فواكه من ثلاثة؟".

ج) وأخيرًا ، يمكن اختيار ثلاث فواكه بطريقة فريدة:

بالمناسبة ، فإن صيغة عدد المجموعات منطقية أيضًا لعينة فارغة:
بهذه الطريقة ، لا يمكنك اختيار فاكهة واحدة - في الواقع ، لا تأخذ شيئًا وهذا كل شيء.

د) كم عدد الطرق التي يمكنك اتباعها مرة على الأقلفاكهة؟ يشير الشرط "واحدًا على الأقل" إلى أننا راضون عن فاكهة واحدة (أي فاكهة) أو أي فاكهة أو كل ثلاث فواكه:
طرق يمكنك من خلالها اختيار فاكهة واحدة على الأقل.

القراء الذين درسوا بعناية الدرس التمهيدي على نظرية الاحتمالاتبرزت بالفعل شيئا. ولكن حول معنى علامة الجمع لاحقًا.

للإجابة على السؤال التالي ، أحتاج إلى متطوعين ... ... حسنًا ، نظرًا لأن لا أحد يريد ، فسأقوم بالاتصال باللوحة =)

السؤال الثالث: كم عدد الطرق التي يمكن بها توزيع فاكهة واحدة على داشا وناتاشا؟

لتوزيع فواكه ، يجب عليك أولاً تحديدهما. وفقًا للفقرة "يكون" من السؤال السابق ، يمكن القيام بذلك بطرق ، وسأعيد كتابتها مرة أخرى:

التفاح والكمثرى
التفاح والموز
الكمثرى والموز.

ولكن الآن سيكون هناك ضعف عدد التركيبات. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، أول زوج من الفاكهة:
يمكنك علاج داشا بالتفاح وناتاشا بالكمثرى ؛
أو العكس - ستحصل داشا على الكمثرى ، وستحصل ناتاشا على التفاحة.

ومثل هذا التقليب ممكن لكل زوج من الفاكهة.

فكر في نفس المجموعة الطلابية التي ذهبت إلى الرقص. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يقترن بها فتى وفتاة؟

طرق اختيار شاب واحد ؛
طرق يمكنك اختيار فتاة واحدة.

لذلك شاب واحد ويمكن اختيار فتاة واحدة: طرق.

عند تحديد عنصر واحد من كل مجموعة ، فإن المبدأ التالي لتركيبات العد يكون صالحًا: " كليمكن أن يشكل كائن من مجموعة واحدة زوجًا مع كلكائن من مجموعة أخرى.

وهذا يعني أن أوليغ يمكنه دعوة أي من الفتيات الـ13 للرقص ، ويفغيني - وأيضًا أي من الثلاث عشرة فتاة ، ولدى الشباب الآخرين خيار مماثل. المجموع: أزواج محتملة.

وتجدر الإشارة إلى أنه في هذا المثال ، لا يهم "تاريخ" تكوين الزوج ؛ ومع ذلك ، إذا تم أخذ المبادرة في الاعتبار ، فيجب مضاعفة عدد المجموعات ، حيث يمكن لكل من الفتيات الـ 13 أيضًا دعوة أي فتى للرقص. كل هذا يتوقف على ظروف مهمة معينة!

مبدأ مماثل صالح للتركيبات الأكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال: في عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار شابين وفتاتان للمشاركة في مسرحية هزلية KVN؟

اتحاد ويلمح بشكل لا لبس فيه إلى أنه يجب مضاعفة المجموعات:

مجموعات محتملة من الفنانين.

بعبارات أخرى، كليمكن لزوج من الأولاد (45 زوجًا فريدًا) التنافس معه أيزوجان من الفتيات (78 زوجًا فريدًا). وإذا أخذنا في الاعتبار توزيع الأدوار بين المشاركين ، فسيكون هناك المزيد من المجموعات. ... أريد حقًا ذلك ، لكن ما زلت سأمتنع عن الاستمرار ، حتى لا أغرس فيك نفورًا من الحياة الطلابية =).

تنطبق قاعدة الضرب على المزيد من المضاعفات:

المهمة 8

كم عددًا من ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 5؟

المحلول: من أجل الوضوح ، نشير إلى هذا الرقم بثلاث علامات نجمية: ***

في مئات الأماكنيمكنك كتابة أي من الأرقام (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 أو 9). الصفر ليس جيدًا ، لأنه في هذه الحالة لم يعد الرقم مكونًا من ثلاثة أرقام.

ولكن في مكان العشرات("في المنتصف") يمكنك اختيار أي من الأرقام العشرة:.

حسب الشرط ، يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 5. الرقم قابل للقسمة على 5 إذا انتهى بالرقم 5 أو 0. وهكذا ، في أقل رقم ذي دلالة ، نحن راضون عن رقمين.

المجموع ، هناك: ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 5.

في الوقت نفسه ، يتم فك شفرة العمل على النحو التالي: "9 طرق يمكنك من خلالها اختيار رقم مئات الأماكن و 10 طرق لاختيار رقم في مكان العشرات وطريقتان في رقم الوحدة»

أو حتى أبسط: كلمن 9 أرقام إلى مئات الأماكنمجموع مع كلمن 10 أرقام مكان العشرات ومع كلمن رقمين وحدات الارقام».

إجابه: 180

و الأن…

نعم ، كدت أنسى التعليق الموعود على المشكلة رقم 5 ، حيث يمكن توزيع بطاقة واحدة لكل من بوريا وديما وفولوديا بطرق مختلفة. الضرب هنا له نفس المعنى: بطرق يمكنك استخراج 3 بطاقات من المجموعة و في كلعينة لإعادة ترتيبها بطرق.

والآن مشكلة الحل المستقل ... الآن سأخرج بشيء أكثر إثارة للاهتمام ، ... دع الأمر يتعلق بنفس الإصدار الروسي من لعبة ورق:

المهمة 9

كم عدد المجموعات الفائزة المكونة من ورقتين في لعبة "النقطة"؟

بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون: يفوز بمجموعة 10 + ACE (11 نقطة) = 21 نقطة ، دعونا نفكر في تركيبة الفوز من اثنين ارسالا ساحقا.

(لا يهم ترتيب البطاقات في أي زوج)

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

بالمناسبة ، ليس من الضروري اعتبار مثال بدائي. لعبة بلاك جاك هي اللعبة الوحيدة تقريبًا التي توجد لها خوارزمية مبررة رياضيًا تسمح لك بالتغلب على الكازينو. أولئك الذين يرغبون يمكنهم بسهولة العثور على الكثير من المعلومات حول الاستراتيجية والتكتيكات المثلى. صحيح أن هؤلاء الأسياد يقعون بسرعة في القائمة السوداء لجميع المؤسسات =)

حان الوقت لدمج المادة المغطاة بمهمتين قويتين:

المهمة 10

لدى فاسيا 4 قطط في المنزل.

أ) كم عدد طرق جلوس القطط في زوايا الغرفة؟
ب) كم عدد الطرق التي يسمح للقطط بالتجول فيها؟
ج) كم عدد الطرق التي يمكن أن يلتقط بها Vasya قطتان (واحدة على اليسار والأخرى على اليمين)؟

نحن نقرر: أولاً ، تجدر الإشارة مرة أخرى إلى أن المشكلة تدور حول مختلفالأشياء (حتى لو كانت القطط توائم متطابقة). هذه حالة مهمة جدا!

أ) صمت القطط. هذا الإعدام يخضع ل كل القطط مرة واحدة
+ موقعهم مهم ، لذلك هناك تباديل هنا:
الطرق التي يمكنك بها جلوس القطط في زوايا الغرفة.

أكرر أنه عند التبديل ، لا يهم سوى عدد الكائنات المختلفة وموضعها النسبي. اعتمادًا على مزاجه ، يمكن أن يجلس Vasya الحيوانات في نصف دائرة على الأريكة ، على التوالي على حافة النافذة ، إلخ. - سيكون هناك 24 تبديلًا في جميع الحالات ، وللراحة ، يمكن لمن يرغب أن يتخيل أن القطط متعددة الألوان (على سبيل المثال ، أبيض ، أسود ، أحمر ومخطط) وسرد جميع التركيبات الممكنة.

ب) كم عدد الطرق التي يسمح للقطط بالتجول فيها؟

من المفترض أن القطط تمشي من خلال الباب فقط ، بينما السؤال يشير إلى عدم الاكتراث بعدد الحيوانات - 1 ، 2 ، 3 أو كل القطط الأربعة يمكن أن تذهب في نزهة على الأقدام.

نحن نعتبر جميع المجموعات الممكنة:

طرق يمكنك تركها في نزهة على الأقدام (أي من الأربعة) ؛
الطرق التي يمكنك من خلالها السماح لقطتين بالذهاب في نزهة (ضع قائمة بالخيارات بنفسك) ؛
الطرق التي يمكنك من خلالها السماح لثلاث قطط بالذهاب في نزهة على الأقدام (واحدة من الأربعة تجلس في المنزل) ؛
الطريقة التي يمكنك بها إطلاق سراح كل القطط.

ربما خمنت أن القيم التي تم الحصول عليها يجب تلخيصها:
طرق للسماح للقطط بالذهاب في نزهة على الأقدام.

للمتحمسين ، أقدم نسخة معقدة من المشكلة - عندما يمكن لأي قطة في أي عينة الخروج بشكل عشوائي ، سواء من خلال الباب أو من خلال نافذة الطابق العاشر. سيكون هناك المزيد من المجموعات!

ج) كم عدد الطرق التي يمكن أن يلتقط بها Vasya قطتين؟

لا يقتصر الموقف على اختيار حيوانين فحسب ، بل يشمل أيضًا وضعهما على اليدين:
طرق يمكنك بها التقاط قطتين.

الحل الثاني: يمكنك اختيار قطتين بطرق مختلفة وطرق الزراعة كلزوجان في متناول اليد:

إجابه: أ) 24 ، ب) 15 ، ج) 12

حسنًا ، لتطهير ضميري ، هناك شيء أكثر تحديدًا بشأن تكاثر التوليفات .... دع Vasya لديه 5 قطط إضافية =) كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها السماح لقطتين بالذهاب في نزهة على الأقدام و 1 قطة؟

هذا هو ، مع كليمكن إطلاق زوجين من القطط كلقطة.

أكورديون زر آخر لقرار مستقل:

المهمة 11

صعد 3 ركاب إلى مصعد مبنى مكون من 12 طابقًا. يمكن للجميع ، بشكل مستقل عن الآخرين ، الخروج من أي طابق (بدءًا من الطابق الثاني) بنفس الاحتمال. في كم عدد الطرق:

1) يمكن للركاب النزول في نفس الطابق (أمر الخروج لا يهم);
2) يمكن لشخصين النزول في طابق واحد والثالث في طابق آخر ؛
3) يمكن للناس النزول في طوابق مختلفة ؛
4) هل يمكن للركاب الخروج من المصعد؟

وهنا يسألون كثيرًا مرة أخرى ، أوضح: إذا خرج شخصان أو ثلاثة في نفس الطابق ، فإن ترتيب الخروج لا يهم. فكر ، استخدم الصيغ والقواعد لمجموعات الجمع / الضرب. في حالة الصعوبة ، من المفيد للركاب إعطاء الأسماء والسبب في المجموعات التي يمكنهم الخروج منها من المصعد. لا داعي للقلق إذا لم ينجح شيء ما ، على سبيل المثال ، النقطة رقم 2 ماكرة تمامًا.

حل كامل مع تعليقات مفصلة في نهاية البرنامج التعليمي.

تم تخصيص الفقرة الأخيرة للتركيبات التي تحدث أيضًا في كثير من الأحيان - وفقًا لتقديري الشخصي ، في حوالي 20-30 ٪ من المشكلات التجميعية:

التبديلات والتركيبات والمواضع مع التكرارات

تم تحديد أنواع المجموعات المدرجة في الفقرة رقم 5 من المادة المرجعية الصيغ الأساسية للتوافقيات، ومع ذلك ، قد لا يكون بعضها واضحًا جدًا في القراءة الأولى. في هذه الحالة ، من المستحسن أن تتعرف أولاً على الأمثلة العملية ، وعندها فقط تفهم الصياغة العامة. يذهب:

التباديل مع التكرار

في التباديل مع التكرار ، كما في التباديل "العادي" ، مجموعة كاملة من الأشياء في وقت واحد، ولكن هناك شيء واحد: في هذه المجموعة ، يتكرر عنصر واحد أو أكثر (كائنات). تلبية المعيار التالي:

المهمة 12

كم عدد مجموعات الحروف المختلفة التي يمكن الحصول عليها من خلال إعادة ترتيب البطاقات بالأحرف التالية: K ، O ، L ، O ، K ، O ، L ، L ، H ، I ، K؟

المحلول: في حالة اختلاف جميع الأحرف ، يجب تطبيق صيغة تافهة ، ومع ذلك ، فمن الواضح تمامًا أنه بالنسبة لمجموعة البطاقات المقترحة ، ستعمل بعض عمليات التلاعب "في وضع الخمول" ، لذلك ، على سبيل المثال ، إذا قمت بتبديل أي اثنين البطاقات التي تحتوي على الحروف "K في أي كلمة ، ستكون نفس الكلمة. علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون البطاقات مختلفة تمامًا: يمكن أن تكون إحداها مستديرة بحرف مطبوع "K" ، والأخرى مربعة بحرف مرسوم "K". ولكن حسب معنى المشكلة ، حتى هذه البطاقات تعتبر نفسها، لأن الشرط يسأل عن تركيبات الحروف.

كل شيء بسيط للغاية - في المجموع: 11 بطاقة ، بما في ذلك الحرف:

ك - تكرر 3 مرات ؛
يا - تكرر 3 مرات ؛
L - يتكرر مرتين ؛
ب - تتكرر مرة واحدة ؛
ح - يتكرر مرة واحدة ؛
و- يتكرر مرة واحدة.

تحقق: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11 ، وهو ما أردنا التحقق منه.

حسب الصيغة عدد التباديل مع التكرار:
يمكن الحصول على مجموعات حروف مختلفة. أكثر من نصف مليون!

لإجراء حساب سريع لقيمة عاملة كبيرة ، من الملائم استخدام وظيفة Excel القياسية: نحن نسجل في أي خلية = حقيقة (11)وانقر يدخل.

من الناحية العملية ، من المقبول تمامًا عدم كتابة الصيغة العامة ، بالإضافة إلى حذف عوامل الوحدة:

لكن التعليقات الأولية حول الحروف المتكررة مطلوبة!

إجابه: 554400

يوجد مثال نموذجي آخر للتباديل مع التكرار في مشكلة ترتيب قطع الشطرنج ، والتي يمكن العثور عليها في المستودع حلول جاهزةفي ملف pdf المقابل. وللحصول على حل مستقل ، توصلت إلى مهمة قالب أقل:

المهمة 13

يذهب أليكسي لممارسة الرياضة ، و 4 أيام في الأسبوع - ألعاب القوى ، ويومان - تمارين القوة ويوم واحد من الراحة. ما هو عدد الطرق التي يمكنه من خلالها تحديد مواعيد حصصه الأسبوعية؟

لا تعمل الصيغة هنا لأنها تأخذ في الاعتبار التبديلات المتداخلة (على سبيل المثال ، عندما يتم تبديل تمارين القوة يوم الأربعاء بتمارين القوة يوم الخميس). ومرة أخرى - في الواقع ، يمكن أن تكون نفس جلستي تدريب القوة مختلفتين تمامًا عن بعضهما البعض ، ولكن في سياق المهمة (من حيث الجدول الزمني) ، يتم اعتبارهما نفس العناصر.

حل ذو سطرين والإجابة في نهاية الدرس.

مجموعات مع التكرار

الميزة المميزة لهذا النوع من التوليفات هي أن العينة مأخوذة من عدة مجموعات ، كل منها يتكون من نفس الكائنات.

لقد عمل الجميع بجد اليوم ، لذا حان الوقت لتحديث نفسك:

المهمة 14

تبيع الكافتيريا الطلابية النقانق في عجينة وتشيز كيك وكعك. كم عدد الطرق التي يمكن شراء خمس كعكات؟

المحلول: انتبه على الفور إلى المعيار النموذجي للتركيبات مع التكرارات - وفقًا للشرط ، وليس مجموعة من الكائنات على هذا النحو ، ولكن أنواع مختلفةأشياء؛ من المفترض أن يكون هناك ما لا يقل عن خمسة هوت دوج و 5 تشيز كيك و 5 دونات للبيع. تختلف الفطائر في كل مجموعة بالطبع - لأنه لا يمكن محاكاة الكعك المتطابق تمامًا إلا على جهاز كمبيوتر =) ومع ذلك ، فإن الخصائص الفيزيائية للفطائر ليست ضرورية بمعنى المشكلة ، والهوت دوج / كعك الجبن / الكعك في مجموعاتهم تعتبر نفسها.

ماذا يمكن أن يكون في العينة؟ بادئ ذي بدء ، تجدر الإشارة إلى أنه سيكون هناك بالتأكيد فطائر متطابقة في العينة (لأننا نختار 5 قطع ، ونقدم 3 أنواع للاختيار من بينها). الخيارات هنا لكل ذوق: 5 هوت دوج ، 5 تشيز كيك ، 5 دونات ، 3 هوت دوج + 2 تشيز كيك ، 1 هوت دوج + 2 + تشيز كيك + 2 دونات ، إلخ.

كما هو الحال مع المجموعات "العادية" ، لا يهم ترتيب اختيار ووضع الفطائر في العينة - لقد اختاروا 5 قطع فقط وهذا كل شيء.

نستخدم الصيغة عدد التركيبات مع التكرار:
طريقة شراء 5 فطائر.

أتمنى لك وجبة شهية!

إجابه: 21

ما هو الاستنتاج الذي يمكن استخلاصه من العديد من المشاكل الاندماجية؟

أحيانًا يكون أصعب شيء هو فهم الحالة.

مثال مشابه لحل افعل ذلك بنفسك:

المهمة 15

تحتوي المحفظة على عدد كبير نسبيًا من العملات المعدنية من فئة 1 و 2 و 5 و 10 روبل. كم عدد الطرق التي يمكن بها إخراج ثلاث عملات من المحفظة؟

لأغراض ضبط النفس ، أجب عن بضعة أسئلة بسيطة:

1) هل يمكن أن تكون جميع العملات في العينة مختلفة؟
2) قم بتسمية المجموعة "الأرخص" والأغلى من العملات المعدنية.

الحل والأجوبة في نهاية الدرس.

من تجربتي الشخصية ، أستطيع أن أقول إن التوليفات مع التكرار هي أندر ضيف في الممارسة ، وهو ما لا يمكن قوله عن النوع التالي من المجموعات:

المواضع مع التكرار

من مجموعة تتكون من عناصر ، يتم تحديد العناصر ، ومن المهم ترتيب العناصر في كل عينة. وسيكون كل شيء على ما يرام ، ولكن نكتة غير متوقعة إلى حد ما هي أنه يمكننا اختيار أي كائن من المجموعة الأصلية عدة مرات كما نرغب. من الناحية المجازية ، من "لن ينقص الجمهور".

عندما يحدث ذلك؟ مثال نموذجي هو القفل المركب مع عدة أقراص ، ولكن نظرًا لتطور التكنولوجيا ، فمن الأكثر ملاءمة النظر في سليلها الرقمي:

المهمة 16

كم عدد الرموز السرية المكونة من 4 أرقام الموجودة؟

المحلول: في الواقع ، لحل المشكلة ، يكفي معرفة قواعد التوافقية: يمكنك اختيار الرقم الأول من الرمز السري بطرق والطرق - الرقم الثاني من الرمز السري ومن نواح كثيرة - الثلث وأكبر عدد ممكن - الرابع. وبالتالي ، وفقًا لقاعدة مضاعفة المجموعات ، يمكن تكوين رمز PIN المكون من أربعة أرقام: بطرق.

والآن مع الصيغة. حسب الشرط ، يتم تزويدنا بمجموعة من الأرقام ، والتي يتم اختيار الأرقام منها ووضعها بترتيب معين، بينما يمكن تكرار الأرقام الموجودة في العينة (على سبيل المثال ، يمكن استخدام أي رقم من المجموعة الأصلية بعدد عشوائي من المرات). وفقًا لصيغة عدد المواضع ذات التكرارات:

إجابه: 10000

ما يتبادر إلى الذهن هنا ... ... إذا "أكلت" أجهزة الصراف الآلي البطاقة بعد المحاولة الثالثة الفاشلة لإدخال الرقم السري ، فإن فرص التقاطها عشوائيًا تكون خادعة للغاية.

ومن قال أنه لا يوجد معنى عملي في التوافقية؟ مهمة معرفية لجميع قراء الموقع:

المشكلة 17

وفقًا لمعيار الولاية ، تتكون لوحة ترخيص السيارة من 3 أرقام و 3 أحرف. في هذه الحالة ، لا يُسمح برقم بثلاثة أصفار ، ويتم تحديد الأحرف من المجموعة A ، B ، E ، K ، M ، H ، O ، R ، C ، T ، U ، X (يتم استخدام تلك الأحرف السيريلية فقط ، والتي يتطابق تهجئتها مع الأحرف اللاتينية).

كم عدد لوحات الترخيص المختلفة التي يمكن تكوينها للمنطقة؟

ليس كذلك ، بالمناسبة ، والكثير. في المناطق الكبيرة ، لا يكفي هذا الرقم ، وبالتالي هناك العديد من الرموز للنقش RUS بالنسبة لهم.

الحل والجواب في نهاية الدرس. لا تنس استخدام قواعد التوليف ؛-)… أردت التباهي بكوني حصريًا ، لكن اتضح أنه ليس حصريًا =) نظرت إلى ويكيبيديا - هناك حسابات ، مع ذلك ، بدون تعليقات. على الرغم من أنه لأغراض تعليمية ، ربما ، قلة من الناس حلوها.

لقد انتهى درسنا المثير ، وفي النهاية أود أن أقول إنك لم تضيع وقتك - لأن الصيغ التوافقية تجد تطبيقًا عمليًا حيويًا آخر: فهي موجودة في مهام مختلفة في نظرية الاحتمالات,
و في المهام على التعريف الكلاسيكي للاحتمال- خاصة في كثير من الأحيان

شكرا لكم جميعا على مشاركتكم النشطة ونراكم قريبا!

الحلول والأجوبة:

المهمة 2: المحلول: ابحث عن عدد جميع التباديل الممكنة لأربع بطاقات:

عندما تكون البطاقة ذات الصفر في المركز الأول ، يصبح الرقم مكونًا من ثلاثة أرقام ، لذلك يجب استبعاد هذه المجموعات. دع الصفر في المرتبة الأولى ، ثم يمكن إعادة ترتيب الأرقام الثلاثة المتبقية في أقل الأرقام أهمية بطرق.

ملحوظة : لان هناك عدد قليل من البطاقات ، ومن السهل سرد جميع هذه الخيارات هنا:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

وبالتالي ، من المجموعة المقترحة ، يمكنك عمل:
24-6 = 18 عددًا مكونًا من أربعة أرقام
إجابه : 18

المهمة 4: المحلول: يمكن اختيار 3 بطاقات من 36 طريقة.
إجابه : 7140

المهمة 6: المحلول: طرق.
حل آخر : طرق يمكنك من خلالها اختيار شخصين من المجموعة و
2) المجموعة "الأرخص" تحتوي على 3 عملات من الروبل ، وأغلى مجموعة تحتوي على 3 عملات من فئة عشرة روبل.

المهمة 17: المحلول: الطرق التي يمكنك من خلالها إنشاء مجموعة رقمية من لوحة ترخيص ، بينما يجب استبعاد واحد منهم (000) :.
الطرق التي يمكنك من خلالها تكوين مجموعة أحرف من رقم السيارة.
وفقًا لقاعدة مضاعفة المجموعات ، يمكن تكوين كل شيء:
أرقام السيارات
(كلالجمع الرقمي مجتمعة مع كلتركيبة الحروف).
إجابه : 1726272

لتسهيل التنقل في المواد ، سأضيف محتوى هذا الموضوع:

مقدمة. المجموعات والاختيارات.

في هذا الموضوع ، سننظر في المفاهيم الأساسية للتوافقيات: التباديل والتوليفات والمواضع. دعنا نتعرف على جوهرها وصيغها التي يمكنك من خلالها العثور على رقمها.

للبدء ، نحتاج إلى بعض المعلومات الأساسية. لنبدأ بمثل هذا المفهوم الرياضي الأساسي كمجموعة. تم وصف مفهوم المجموعة بالتفصيل في موضوع "مفهوم المجموعة. طرق تحديد المجموعات".

قصة قصيرة جدا عن الجموع: اظهر المخفي

باختصار ، المجموعة هي مجموعة من الأشياء. مجموعات مكتوبة بين قوسين مجعد. لا يهم الترتيب الذي تكتب به العناصر ؛ لا يسمح بتكرار العناصر. على سبيل المثال ، مجموعة أرقام الرقم 11115555999 ستكون: $ \ (1،5،9 \) $. مجموعة الحروف الساكنة في كلمة "tiger cub" كالتالي: $ \ (t، r، r، n، k \) $. يعني الترميز $ 5 \ في A $ أن العنصر 5 ينتمي إلى المجموعة $ A = \ (1،5،9 \) $. يتم استدعاء عدد العناصر في مجموعة محدودة قوةمن هذه المجموعة ويتم الإشارة إليها بواسطة $ | A | $. على سبيل المثال ، بالنسبة لمجموعة $ A = \ (1،5،9 \) $ تحتوي على 3 عناصر ، لدينا: $ | A | = 3 $.

دعونا نفكر في بعض المجموعات المحدودة غير الفارغة $ U $ ، والتي تساوي أصلها $ n $ ، $ | U | = n $ (أي أن المجموعة $ U $ تحتوي على $ n $ من العناصر). دعونا نقدم مثل هذا المفهوم مثل عينة(يسميها بعض المؤلفين tuple). بعينة بحجم $ k $ من $ n $ من العناصر (مختصرة كـ $ (n، k) $ - تحديد) فإننا نعني مجموعة من العناصر $ (a_1، a_2، \ ldots، a_k) $ ، حيث $ a_i \ in يو $. يُقال أن الاختيار أمر مطلوب إذا تم تحديد ترتيب العناصر فيه. هناك عينتان مرتبتان تختلفان فقط في ترتيب العناصر. إذا كان ترتيب عناصر العينة غير مهم ، فإن العينة تسمى غير مرتبة.

لاحظ أن تعريف التحديد لا يذكر أي شيء عن تكرار العنصر. على عكس عناصر المجموعة ، يمكن تكرار عناصر التحديد.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجموعة $ U = \ (a، b، c، d، e \) $. تحتوي المجموعة $ U $ على 5 عناصر ، أي $ | U | = 5 دولارات. يمكن أن تكون العينة بدون تكرار: $ (a، b، c) $. تحتوي هذه العينة على 3 عناصر ، أي حجم هذه العينة هو 3. بمعنى آخر ، هذه عينة دولار (5،3) دولار.

يمكن أن تكون العينة مع التكرار: $ (a، a، a، a، a، c، c، d) $. يحتوي على 8 عناصر ، أي حجمه هو 8. بمعنى آخر ، هذه عينة دولارات (5،8) دولار.

ضع في اعتبارك نموذجين إضافيين من $ (5،3) $ -: $ (a، b، b) $ و $ (b، a، b) $. إذا افترضنا أن عيناتنا غير مرتبة ، فإن العينة $ (a، b، b) $ تساوي العينة $ (b، a، b) $ ، أي $ (أ ، ب ، ب) = (ب ، أ ، ب) دولار. إذا افترضنا أن عيناتنا مرتبة ، فسيكون $ (a، b، b) \ neq (b، a، b) $.

لنلق نظرة على مثال آخر ، أقل تجريدية قليلاً :) لنفترض أن هناك ستة حلوى في سلة ، وكلها مختلفة. إذا تم تخصيص الرقم 1 للحلوى الأولى ، والحلوى الثانية هي الرقم 2 ، وهكذا ، يمكن ربط المجموعة التالية مع الحلوى في السلة: $ U = \ (1،2،3،4،5 6 \) $. تخيل أننا وضعنا أيدينا بشكل عشوائي في السلة من أجل سحب ثلاث حلويات. الحلويات المسحوبة - هذه هي العينة. نظرًا لأننا نسحب 3 حلوى من 6 ، نحصل على عينة (6،3). الترتيب الذي توضع به الحلوى في راحة اليد غير ذي صلة على الإطلاق ، لذا فإن هذه العينة غير مرتبة. حسنًا ، وبما أن كل أنواع الحلوى مختلفة ، فإن العينة بدون تكرار. إذن ، في هذه الحالة نتحدث عن اختيار غير مرتب (6،3) دون تكرار.

الآن دعنا ننتقل من الجانب الآخر. لنتخيل أننا في مصنع حلوى ، وهذا المصنع ينتج أربعة أنواع من الحلوى. المجموعة $ U $ في هذه الحالة كالتالي: $ U = \ (1،2،3،4 \) $ (كل رقم مسؤول عن نوع الحلوى الخاص به). تخيل الآن أن جميع الحلويات تُسكب في شلال واحد نقف بالقرب منه. وباستبدال النخيل ، نختار 20 حلوى من هذا التيار. حلوى في حفنة - هذه هي العينة. هل يلعب ترتيب الحلوى في الحفنة دورًا؟ بطبيعة الحال ، لا ، لذا فإن العينة غير مرتبة. لا يوجد سوى 4 أنواع مختلفة من الحلويات ، ونختار عشرين قطعة من التدفق العام - لا مفر من تكرار الأصناف. في الوقت نفسه ، يمكن أن تكون العينات مختلفة جدًا: قد يكون لدينا جميع أنواع الحلوى من نفس الصنف. وبالتالي ، في هذه الحالة نتعامل مع اختيار غير مرتب (4.20) مع التكرار.

لنلق نظرة على بعض الأمثلة الأخرى. دعنا نكتب 7 أحرف مختلفة على المكعبات: k ، o ، n ، f ، e ، t ، a. تشكل هذه الأحرف المجموعة $ U = \ (k، o، n، f، e، t، a \) $. لنفترض أننا نريد عمل "كلمات" من 5 أحرف من هذه المكعبات. أحرف هذه الكلمات (على سبيل المثال ، "confé" و "tenko" وما إلى ذلك) شكل (7،5) - الاختيارات: $ (k، o، n، f، e) $، $ (t، e، n) ، k، o) $ إلخ. من الواضح أن ترتيب الحروف في مثل هذه العينة مهم. على سبيل المثال ، تختلف الكلمتان "nokft" و "kfton" (على الرغم من أنهما تتكونان من نفس الأحرف) ، لأنهما لا يحتويان على نفس ترتيب الأحرف. لا يوجد تكرار للأحرف في مثل هذه "الكلمات" ، لأنه لا يوجد سوى سبعة مكعبات. لذا ، فإن مجموعة أحرف كل كلمة عبارة عن عينة مرتبة (7،5) بدون تكرار.

مثال آخر: نصنع جميع أنواع الأعداد المكونة من ثمانية أرقام من أربعة أرقام 1 ، 5 ، 7 ، 8. على سبيل المثال ، 11111111 ، 15518877 ، 88881111 وهكذا. المجموعة $ U $ كالتالي: $ U = \ (1،5،7،8 \) $. تشكل أرقام كل رقم مترجم عينة (4،8). ترتيب الأرقام في رقم مهم ، أي يتم طلب العينة. يُسمح بالتكرار ، لذلك نحن هنا نتعامل مع اختيار مرتب (4،8) مع التكرارات.

التخصيصات بدون تكرار عناصر $ n $ بواسطة $ k $

التخصيص بدون تكرار عناصر $ n $ بواسطة $ k $ - طلب $ (n، k) $ - اختيار بدون تكرار.

نظرًا لأنه لا يمكن تكرار العناصر الموجودة في العينة قيد الدراسة ، لا يمكننا تحديد عناصر في العينة أكثر من تلك الموجودة في المجموعة الأصلية. لذلك ، بالنسبة لمثل هذه العينات ، تكون المتباينة التالية صحيحة: $ n≥ k $. يتم تحديد عدد المواضع بدون تكرار لعناصر $ n $ بمقدار $ k $ بالصيغة التالية:

\ start (المعادلة) A_ (n) ^ (k) = \ frac (n{(n-k)!} \end{equation} !}

ماذا تعني علامة "!"؟: اظهر المخفي

تسجيل "n!" (اقرأ "عامل en") يشير إلى منتج جميع الأرقام من 1 إلى n ، أي

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

حسب التعريف ، من المفترض أن $ 0! = 1! = 1 $. على سبيل المثال ، دعنا نجد 5 !:

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

مثال 1

تتكون الأبجدية من مجموعة من الأحرف $ E = \ (+ ، * ، 0،1 ، f \) $. دعنا نحدد عدد الكلمات المكونة من ثلاثة أحرف في هذه الأبجدية والتي لا تحتوي على أحرف متكررة.

نعني بالكلمات المكونة من ثلاثة أحرف تعبيرات مثل "+ * 0" أو "0f1". تحتوي المجموعة $ E $ على خمسة عناصر ، لذا فإن أحرف الكلمات المكونة من ثلاثة أحرف تشكل (5،3) - اختيارات. السؤال الأول: هل هذه العينات مرتبة أم لا؟ يُفترض أن تكون الكلمات التي تختلف فقط في ترتيب الحروف مختلفة ، لذا فإن ترتيب العناصر في العينة مهم. لذلك تم ترتيب العينة. السؤال الثاني: هل التكرار مسموح أم لا؟ الجواب على هذا السؤال هو الشرط: يجب ألا تحتوي الكلمات على أحرف متكررة. التلخيص: تشكل حروف كل كلمة تفي بشرط المشكلة عينة مرتبة (5،3) بدون تكرار. بعبارة أخرى ، تشكل حروف كل كلمة ترتيبًا بدون تكرار لخمسة عناصر من 3. فيما يلي أمثلة على مثل هذه الترتيبات:

$$ (+ ، * ، و) ، \ ؛ (* ، + ، و) ، \ ؛ (1 ، + ، 0) $$

نحن مهتمون أيضًا بالعدد الإجمالي لهذه المواضع. وفقًا للصيغة (1) ، سيكون عدد المواضع دون تكرار 5 عناصر في 3 كما يلي:

$$ A_ (5) ^ (3) = \ فارك (5{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60. $$ !}

أولئك. يمكنك عمل 60 كلمة من ثلاثة أحرف ، لن تتكرر حروفها.

إجابه: 60.

التخصيصات مع عمليات التكرار لعناصر $ n $ بواسطة $ k $

التنسيب مع عمليات التكرار لعناصر $ n $ التي تزيد عن $ k $ هو اختيار $ (n، k) $ مرتب مع التكرارات.

يتم تحديد عدد المواضع مع تكرار عناصر $ n $ بمقدار $ k $ بالصيغة التالية:

\ start (المعادلة) \ bar (A) _ (n) ^ (k) = n ^ k \ end (المعادلة)

المثال رقم 2

كم عددًا مكونًا من خمسة أرقام يمكن تكوينه من مجموعة الأرقام $ \ (5،7،2 \) $؟

من هذه المجموعة من الأعداد ، يمكنك تكوين أعداد مكونة من خمسة أرقام 55555 و 75222 وما إلى ذلك. تشكل أرقام كل رقم نموذجًا (3،5): $ (5،5،5،5،5) $، $ (7،5،2،2،2) $. لنسأل أنفسنا: ما هذه العينات؟ أولاً ، يمكن تكرار الأرقام الموجودة في الأرقام ، لذلك نحن نتعامل مع العينات مع التكرار. ثانيًا ، ترتيب الأرقام في الرقم مهم. على سبيل المثال ، 27755 و 77255 أرقام مختلفة. لذلك ، نحن نتعامل مع (3،5) - اختيارات مرتبة مع التكرار. يمكن العثور على العدد الإجمالي لهذه العينات (أي العدد الإجمالي للأرقام المكونة من خمسة أرقام المطلوبة) باستخدام الصيغة (2):

$$ \ بار (أ) _ (3) ^ (5) = 3 ^ 5 = 243. $$

لذلك ، من الأرقام المعطاة ، يمكن تكوين 243 رقمًا مكونًا من خمسة أرقام.

إجابه: 243.

التباديل بدون تكرار عناصر $ n $

التقليب بدون تكرار عناصر $ n $ هو اختيار $ (n، n) $ - مرتب بدون تكرار.

في الواقع ، يعد التبديل دون التكرار حالة خاصة من التنسيب دون تكرار ، عندما يكون حجم العينة مساويًا لقوة المجموعة الأصلية. يتم تحديد عدد التباديل بدون التكرار لعناصر $ n $ بالصيغة التالية:

\ تبدأ (المعادلة) P_ (n) = n! نهاية (معادلة)

بالمناسبة ، من السهل الحصول على هذه الصيغة إذا أخذنا في الاعتبار أن $ P_n = A_ (n) ^ (n) $. ثم نحصل على:

$$ P_n = A_ (n) ^ (n) = \ frac (n{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n! $$ !}

المثال رقم 3

يحتوي الفريزر على خمس حصص من الآيس كريم من مختلف الشركات. ما عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار الترتيب الذي يتم تناولها به؟

دع الرقم 1 يتوافق مع الآيس كريم الأول ، والرقم 2 مع الثاني ، وهكذا. سنحصل على مجموعة $ U = \ (1،2،3،4،5 \) $ والتي ستمثل محتويات الفريزر. يمكن أن يكون طلب الأكل $ (2،1،3،5،4) $ أو $ (5،4،3،1،2) $. كل مجموعة هي عينة (5،5). سيكون منظمًا وبدون تكرار. بمعنى آخر ، كل عينة من هذا القبيل هي تبديل لخمسة عناصر من المجموعة الأصلية. وفقًا للصيغة (3) ، يكون العدد الإجمالي لهذه التباديل هو:

$$ P_5 = 5! = 120. $$

لذلك ، هناك 120 طلبًا للأكل.

إجابه: 120.

التباديل مع التكرار

التبديل مع التكرار هو تحديد $ (n، k) $ - مرتب مع التكرارات حيث يتكرر العنصر $ a_1 $ $ k_1 $ مرة ، ويتكرر $ a_2 $ $ k_2 $ مرة ، وهكذا ، حتى العنصر الأخير $ a_r $ ، الذي يتكرر $ k_r $ مرات. علاوة على ذلك ، $ k_1 + k_2 + \ ldots + k_r = k $.

يتم إعطاء العدد الإجمالي للتبديلات مع التكرار من خلال:

\ start (المعادلة) P_ (k) (k_1، k_2، \ ldots، k_r) = \ frac (k{k_1!\cdot k_2!\cdot \ldots \cdot k_r!} \end{equation} !}

المثال رقم 4

تتكون الكلمات على أساس الأبجدية $ U = \ (a، b، d \) $. كم عدد الكلمات المختلفة المكونة من سبعة أحرف يمكن تكوينها إذا كان يجب تكرار الحرف "a" مرتين في هذه الكلمات ؛ الحرف "ب" - مرة واحدة ، والحرف "د" - 4 مرات؟

فيما يلي أمثلة على كلمات البحث: "aabdddd" و "daddabd" وما إلى ذلك. تشكل حروف كل كلمة نموذجًا (3،7) مع التكرار: $ (a ، a ، b ، d ، d ، d ، d) $ ، $ (d ، a ، d ، d ، a ، b ، d ) $ وما إلى ذلك. يتكون كل اختيار من عنصرين "أ" وعنصر "ب" وأربعة عناصر "د". بمعنى آخر ، $ k_1 = 2 $ ، $ k_2 = 1 $ ، $ k_3 = 4 $. إجمالي عدد التكرارات لجميع الأحرف ، بالطبع ، يساوي حجم العينة ، أي $ k = k_1 + k_2 + k_3 = 7 دولارات. باستبدال هذه البيانات في الصيغة (4) ، سيكون لدينا:

$$ P_7 (2،1،4) = \ فارك (7{2!\cdot 1!\cdot 4!}=105. $$ !}

لذلك ، فإن العدد الإجمالي للكلمات التي تم البحث عنها هو 105.

إجابه: 105.

مجموعات بدون تكرار لعناصر $ n $ بواسطة $ k $

تركيبة بدون تكرار لعناصر $ n $ بواسطة $ k $ هي عبارة عن اختيار $ (n، k) $ غير مرتب بدون تكرارات.

يتم تحديد العدد الإجمالي للتركيبات بدون تكرار لعناصر $ n $ بمقدار $ k $ بواسطة الصيغة:

\ start (المعادلة) C_ (n) ^ (k) = \ frac (n{(n-k)!\cdot k!} \end{equation} !}

المثال الخامس

تحتوي السلة على بطاقات مكتوب عليها أعداد صحيحة من 1 إلى 10. يتم إخراج 4 بطاقات من السلة ويتم تلخيص الأرقام المكتوبة عليها. كم عدد مجموعات البطاقات المختلفة التي يمكن استخلاصها من السلة؟

إذن ، في هذه المشكلة ، تكون المجموعة الأولية كالتالي: $ U = \ (1،2،3،4،5،6،7،8،9،10 \) $. من هذه المجموعة ، نختار أربعة عناصر (أي أربع بطاقات من السلة). تشكل أعداد العناصر المسحوبة عينة (10.4). التكرار في هذه العينة غير مسموح به ، لأن أرقام جميع البطاقات مختلفة. السؤال هو: هل الترتيب الذي يتم اختيار البطاقات به مهم أم لا؟ أي ، على سبيل المثال ، هل العينات $ (1،2،7،10) $ و $ (10،2،1،7) $ متساوية أم لا؟ هنا تحتاج إلى الرجوع إلى حالة المشكلة. يتم إخراج البطاقات من أجل إيجاد مجموع العناصر بعد ذلك. وهذا يعني أن ترتيب البطاقات ليس مهمًا ، لأن المبلغ لن يتغير من تغيير أماكن الشروط. على سبيل المثال ، النموذج $ (1،2،7،10) $ والعينة $ (10،2،1،7) $ سوف يتطابقان مع نفس الرقم $ 1 + 2 + 7 + 10 = 10 + 2 + 1 + 7 = 20 دولار. الخلاصة: يترتب على حالة المشكلة أننا نتعامل مع عينات غير مرتبة. أولئك. نحتاج إلى إيجاد العدد الإجمالي للعينات غير المرتبة (10.4) بدون تكرار. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى إيجاد عدد مجموعات العناصر المكونة من 10 عناصر في 4. نستخدم الصيغة (5) لهذا:

$$ C_ (10) ^ (4) = \ فارك (10{(10-4)!\cdot 4!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=210. $$ !}

لذلك ، فإن العدد الإجمالي للمجموعات المطلوبة هو 210.

إجابه: 210.

مجموعات مع عمليات التكرار لعناصر $ n $ بمقدار $ k $

التركيبة مع عمليات التكرار لعناصر $ n $ التي تزيد عن $ k $ هي عبارة عن اختيار $ (n، k) $ غير مرتب مع التكرارات.

يتم تحديد العدد الإجمالي للتركيبات مع التكرارات لعناصر $ n $ التي تزيد عن $ k $ بواسطة الصيغة:

\ start (المعادلة) \ bar (C) _ (n) ^ (k) = \ frac ((n + k-1){(n-1)!\cdot k!} \end{equation} !}

المثال رقم 6

تخيل أننا في مصنع حلوى - بجوار الناقل الذي تتحرك على طوله أربعة أنواع من الحلوى. نضع أيدينا في هذا الجدول ونخرج عشرين منهم. كم عدد "مجموعات الحلوى" المختلفة التي يمكن أن توجد في حفنة؟

إذا افترضنا أن الرقم 1 يتوافق مع النوع الأول ، فإن الرقم 2 يتوافق مع النوع الثاني ، وهكذا ، فإن المجموعة الأولية في مشكلتنا هي كما يلي: $ U = \ (1،2،3،4 \ ) $. من هذه المجموعة ، نختار 20 عنصرًا (أي تلك 20 قطعة حلوى من الناقل). حفنة من الحلويات تشكل عينة (4،20). بطبيعة الحال ، سيكون هناك تكرار للأصناف. السؤال هو هل يلعب ترتيب العناصر في الاختيار دورًا أم لا؟ يترتب على ظروف المشكلة أن ترتيب العناصر لا يهم. لا يهمنا ما إذا كانت الحفنة تحتوي على 15 مصاصة أولاً ، ثم 4 شوكولاتة ، أو أول 4 شوكولاتة ، وبعد ذلك فقط 15 مصاصة. لذا فنحن نتعامل مع عينة غير مرتبة (4.20) مع التكرار. لإيجاد العدد الإجمالي لهذه العينات ، نستخدم الصيغة (6):

$$ \ بار (C) _ (4) ^ (20) = \ فارك ((4 + 20-1){(4-1)!\cdot 20!}=\frac{23!}{3!\cdot 20!}=1771. $$ !}

لذلك ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات المرغوبة هو 1771.

التراكبات

التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس مشاكل اختيار العناصر وترتيبها من مجموعة أساسية وفقًا لقواعد معينة. تستخدم الصيغ ومبادئ التوافقية في نظرية الاحتمالات لحساب احتمالية الأحداث العشوائية ، وبالتالي للحصول على قوانين توزيع المتغيرات العشوائية. وهذا بدوره يجعل من الممكن دراسة قوانين الظواهر العشوائية الجماعية ، وهو أمر مهم جدًا لفهم صحيح للقوانين الإحصائية التي تتجلى في الطبيعة والتكنولوجيا.

قواعد الجمع والضرب في التوافقية

حكم المجموع. إذا كان الإجراءان A و B متنافيان ، ويمكن تنفيذ الإجراء A بطرق m ، و B بطرق n ، فيمكن تنفيذ أي من هذه الإجراءات (إما A أو B) بطرق n + m.

مثال 1

هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل. ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها تعيين مرافق واحد؟

المحلول

يمكنك تعيين ولد أو بنت في الخدمة ، أي. يمكن أن يكون أي من الفتيان الستة عشر أو أي من الفتيات العشر في الخدمة.

وفقًا لقاعدة المجموع ، نحصل على أنه يمكن تعيين ضابط مناوب واحد 16 + 10 = 26 طريقة.

سيادة المنتج. فليكن مطلوبًا تنفيذ إجراءات k بالتسلسل. إذا كان من الممكن تنفيذ الإجراء الأول بطرق n 1 ، والإجراء الثاني بطرق n 2 ، والثالث من خلال n 3 طرق ، وهكذا حتى الإجراء k الذي يمكن تنفيذه بطرق n k ، فيمكن عندئذٍ أن تكون جميع إجراءات k معًا إجراء:

طرق.

مثال 2

هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل. ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها تعيين حاضرين؟

المحلول

يمكن أن يكون أول شخص في الخدمة صبيًا أو فتاة. لان هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل ، ثم يمكنك تعيين الضابط المناوب الأول في 16 + 10 = 26 طريقة.

بعد أن نختار الضابط المناوب الأول ، يمكننا اختيار الضابط الثاني من بين الـ 25 شخصًا المتبقين ، أي 25 طريقة.

من خلال نظرية الضرب ، يمكن اختيار حاضرين في 26 * 25 = 650 طريقة.

تركيبات بدون تكرار. مجموعات مع التكرار

مشكلة التوافقية الكلاسيكية هي مشكلة عدد التوليفات دون التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع يختار م من ن عناصر مختلفة?

مثال 3

يجب أن تختار 4 كتب من بين 10 كتب مختلفة متاحة كهدية. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

المحلول

نحتاج إلى اختيار 4 كتب من أصل 10 ، ولا يهم ترتيب الاختيار. وبالتالي ، فأنت بحاجة إلى إيجاد عدد مجموعات العناصر المكونة من 10 عناصر في 4:

.

ضع في اعتبارك مشكلة عدد التوليفات مع التكرارات: توجد كائنات متطابقة لكل نوع من الأنواع المختلفة ؛ كم العدد طرق يستطيع يختار م () من هؤلاء (ن * ص) عناصر؟

.

مثال 4

باع متجر الحلويات 4 أنواع من الكعك: نابليون ، وإكلير ، وكعكة الغريبة ، ونفخة. ما هو عدد طرق شراء 7 كعكات؟

المحلول

لان من بين 7 كعكات يمكن أن يكون هناك كعكات من نفس الصنف ، ثم يتم تحديد عدد الطرق التي يمكن من خلالها شراء 7 كعكات بعدد التوليفات مع التكرار من 7 إلى 4.

.

المواضع بدون تكرار. المواضع مع التكرار

مشكلة التوافقية الكلاسيكية هي مشكلة عدد المواضع دون التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع يختار و مكان على م مختلفة أماكن م من ن مختلف العناصر؟

مثال 5

تحتوي بعض الصحف على 12 صفحة. من الضروري وضع أربع صور على صفحات هذه الجريدة. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها إذا لم يكن يجب أن تحتوي صفحة من الصحيفة على أكثر من صورة واحدة؟

المحلول.

في هذه المشكلة ، لا نختار الصور فقط ، بل نضعها على صفحات معينة من الجريدة ، ويجب ألا تحتوي كل صفحة من الجريدة على أكثر من صورة واحدة. وبالتالي ، يتم تقليل المشكلة إلى المشكلة الكلاسيكية المتمثلة في تحديد عدد المواضع دون التكرار من 12 عنصرًا بواسطة 4 عناصر:

وبالتالي ، يمكن ترتيب 4 صور في 12 صفحة بـ 11880 طريقة.

أيضًا ، المهمة الكلاسيكية للتوافقيات هي مشكلة عدد المواضع مع التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع أنتبجيش و مكان على م مختلفة أماكن م من ن عناصرمعريدي أيّ يوجد نفس الشيء؟

مثال 6

كان لدى الصبي طوابع بالأرقام 1 و 3 و 7 من المجموعة للعبة اللوحة ، وقرر استخدام هذه الطوابع لوضع أرقام مكونة من خمسة أرقام على جميع الكتب - لتجميع كتالوج. كم عدد الأرقام المختلفة المكونة من خمسة أرقام التي يمكن أن يصنعها الصبي؟

التباديل بدون تكرار. التباديل مع التكرار

مشكلة التوافقية الكلاسيكية هي مشكلة عدد التباديل دون التكرار ، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم العدد طرق يستطيع مكان ن مختلف العناصر على ال ن مختلف أماكن؟

مثال 7

كم عدد "الكلمات" المكونة من أربعة أحرف التي يمكن تكوينها من أحرف كلمة "زواج"؟

المحلول

المجموعة العامة هي 4 أحرف من كلمة "زواج" (ب ، ص ، أ ، ك). يتم تحديد عدد "الكلمات" من خلال التباديل لهذه الأحرف الأربعة ، أي

بالنسبة للحالة التي يكون فيها من بين عناصر n المحددة نفس (الاختيار مع الإرجاع) ، يمكن التعبير عن مشكلة عدد التباديل مع التكرار بالسؤال: في كم عدد الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيب n كائنات في أماكن مختلفة n إذا كان من بين n كائنات يوجد k أنواع مختلفة (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

المثال 8

كم عدد تركيبات الحروف المختلفة التي يمكن تكوينها من أحرف كلمة "Mississippi"؟

المحلول

هناك حرف واحد "م" و 4 أحرف "أ" و 3 أحرف "ج" و 1 حرف "ب" و 9 أحرف إجمالاً. لذلك ، فإن عدد التباديل مع التكرار هو

موجز معلومات أساسية عن قسم "المجموعات المشتركة"