معنى الحركات التوافقية في موسوعة Brockhaus و Efron. حركة توافقية بسيطة

هزاز توافقي(في الميكانيكا الكلاسيكية) - نظام ، عند إزالته من موضع توازنه ، يختبر فعل قوة الاستعادة Fيتناسب مع الإزاحة x :

,

أين ك- معامل ثابت.

اذا كان F- القوة الوحيدة المؤثرة على النظام ، ثم يسمى النظام بسيطأو مذبذب توافقي متحفظ. تمثل التذبذبات الحرة لمثل هذا النظام حركة دورية حول موضع التوازن (التذبذبات التوافقية). التردد والسعة ثابتان ، ولا يعتمد التردد على السعة.

الأمثلة الميكانيكية للمذبذب التوافقي هي بندول رياضي (بزوايا انحراف صغيرة) ، ونواس ملتوي ، وأنظمة صوتية. من بين النظائر غير الميكانيكية للمذبذب التوافقي ، يمكن للمرء أن يفرد مذبذبًا توافقيًا كهربائيًا (انظر دائرة LC).

الاهتزازات الحرة لمذبذب توافقي متحفظ

المعادلة وحلولها

يترك x- إزاحة نقطة مادية بالنسبة إلى موضع توازنها ، و F- العمل على نقطة استعادة القوة من أي نوع من أشكال الشكل

و = - ك س (displaystyle F = -kx),

أين ك= const. بعد ذلك ، باستخدام قانون نيوتن الثاني ، يمكن للمرء كتابة العجلة كـ

أ = - ك م س (displaystyle a = - (frac (k) (m)) x).

دلالة ω 0 2 = ل / م (displaystyle (omega _ (0)) ^ (2) = k / m)واستبدالها أإلى المشتق الثاني للتنسيق فيما يتعلق بالوقت س ¨ (displaystyle (ddot (x)))، نملك

س ¨ + ω 0 2 س = 0 (displaystyle (ddot (x)) + omega _ (0) ^ (2) x = 0).

تصف هذه المعادلة التفاضلية سلوك المذبذب التوافقي المحافظ. القيمة ω 0 (displaystyle omega _ (0))يسمى التردد الدوري. (يشير هذا إلى التردد الدائري ، مُقاسًا بالراديان في الثانية. ولتحويله إلى تردد معبر عنه بالهرتز ، يجب تقسيمه على 2 π (displaystyle 2 pi).)

سنبحث عن حل لهذه المعادلة في الصورة

س (t) = الخطيئة ⁡ (ω t + φ) (displaystyle x (t) = A sin left (omega t + varphi right)).

هنا أ- السعة ، ω - تردد التذبذب ، φ - المرحلة الأولية.

نعوض في المعادلة التفاضلية ونحصل على:

س ¨ (t) = - A ω 2 خطيئة ⁡ (ω t + φ) (displaystyle (ddot (x)) (t) = - A omega ^ (2) sin (omega t + varphi)), - A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 (displaystyle -A omega ^ (2) sin (omega t + varphi) + omega _ (0) ^ (2) A \ sin (\ omega t + \ varphi) = 0).

يتم تقليل السعة. هذا يعني أنه يمكن أن يكون لها أي قيمة (بما في ذلك الصفر - وهذا يعني أن نقطة المادة في حالة سكون في وضع التوازن). يمكن أيضًا تقليل الجيب ، حيث يجب أن تستمر المساواة في أي وقت ر. وبالتالي ، تظل حالة تردد التذبذب:

- ω 2 + ω 0 2 = 0، (\ displaystyle - \ omega ^ (2) + \ omega _ (0) ^ (2) = 0،) ω = ± ω 0. (displaystyle omega = pm omega _ (0).)

الحركة التوافقية البسيطة هي أساس بعض الطرق لتحليل أنواع الحركة الأكثر تعقيدًا. تعتمد إحدى هذه الطرق على تحويل فورييه ، والذي يتمثل جوهره في تحليل نوع أكثر تعقيدًا من الحركة إلى سلسلة من الحركات التوافقية البسيطة.

أمثلة على المذبذبات

أي نظام تحدث فيه حركة توافقية بسيطة له خاصيتان رئيسيتان:

• عندما يكون النظام خارج التوازن ، يجب أن تكون هناك قوة استعادة تميل إلى إعادة النظام إلى حالة التوازن ؛
• يجب أن تكون قوة الاستعادة متناسبة تمامًا أو تقريبًا مع الإزاحة.

فيما يلي بعض الأمثلة.

نظام الحمل الأفقي

من الأمثلة النموذجية على النظام الذي تحدث فيه الحركة التوافقية البسيطة نظام الزنبرك الكتلي المثالي ، حيث يتم ربط الكتلة بنابض وتوضع على سطح أفقي. إذا لم يكن الزنبرك مضغوطًا ولا ممتدًا ، فلن تعمل قوى متغيرة على الحمل ويكون في حالة توازن ميكانيكي. ومع ذلك ، إذا تمت إزالة الحمل من وضع التوازن ، فإن الزنبرك مشوه وستعمل قوة من جانبه ، وتميل إلى إعادة الحمل إلى وضع التوازن. في حالة نظام زنبرك الحمل ، فإن هذه القوة هي القوة المرنة للزنبرك ، والتي تخضع لقانون هوك:

و = - ك س (displaystyle F = -kx),

أين كله معنى محدد للغاية - هذا هو معامل صلابة الزنبرك.

بمجرد تعريض الحمولة النازحة لعمل قوة الاستعادة ، قم بتسريعها وتميل إلى إعادتها إلى نقطة البداية ، أي إلى وضع التوازن. عندما يقترب الحمل من وضع التوازن ، تقل قوة الاستعادة وتميل إلى الصفر. ومع ذلك ، في الموقف x = 0 الحمل لديه قدر معين من الحركة (الزخم) ، المكتسب بسبب عمل قوة الاستعادة. لذلك ، يتخطى الحمل وضع التوازن ، ويبدأ في تشويه الزنبرك مرة أخرى (ولكن في الاتجاه المعاكس). تميل قوة الاستعادة إلى إبطائها حتى تصبح السرعة صفرًا ؛ وستسعى القوة مرة أخرى إلى إعادة الحمل إلى وضع التوازن.

إذا لم يكن هناك فقد للطاقة ، سوف يتأرجح الحمل كما هو موضح أعلاه ؛ هذه الحركة دورية.

نظام زنبرك الحمل العمودي

في حالة تعليق الحمل عموديًا على زنبرك ، جنبًا إلى جنب مع القوة المرنة ، تعمل الجاذبية ، أي القوة الكلية ستكون

و = - ك س - م ج (displaystyle F = -kx-mg).

إذا قمنا بتغيير متغير للعمل على قيمة غير ذات قيمة س (displaystyle x)والقيمة س = س + م ج / ك (displaystyle X = x + mg / k)، فإن معادلة الحركة ستأخذ الشكل المطابق لحالة الهندسة الأفقية ، فقط للمتغير X (displaystyle X).

سوف تحدث التذبذبات بنفس التردد ω 0 = ل / م (displaystyle omega _ (0) = (sqrt (k / m))). ومع ذلك ، إذا كانت حالة الزنبرك غير المشوه تتوافق مع التوازن في الحالة الأفقية ، فسيتم تمديد الزنبرك في حالة التوازن في النسخة الرأسية. اعتماد التردد على حجم تسارع السقوط الحر ز (displaystyle g)بينما لا؛ ز (displaystyle g)يؤثر فقط على تحول وضع التوازن م ز / ك (displaystyle mg / k).

تُستخدم قياسات التردد (أو الفترة) لتذبذبات الحمل على الزنبرك في أجهزة لتحديد كتلة الجسم - ما يسمى بمقاييس الكتلة ، المستخدمة في المحطات الفضائية عندما لا تعمل المقاييس بسبب انعدام الوزن.

حركة دائرية عالمية

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الحالات بمثابة إسقاط أحادي البعد للحركة الدائرية الشاملة.

إذا تحرك جسم بسرعة زاوية ثابتة ω على طول دائرة نصف قطرها ص، مركزه أصل الطائرة س - ص، إذن هذه الحركة على طول كل من محاور الإحداثيات هي توافقية بسيطة مع السعة صوالتردد الدائري ω.

الوزن كبندول بسيط

عند تقريب الزوايا الصغيرة ، تكون حركة البندول البسيط قريبة من التوافقية البسيطة. فترة تذبذب هذا البندول مرتبطة بقضيب طول ℓ ، من خلال الصيغة

T = 2πℓg. (displaystyle T = 2 pi (sqrt (frac (ell) (g))).)

أين ز- تسارع الجاذبية. هذا يدل على أن فترة التذبذب لا تعتمد على سعة وكتلة البندول ، ولكنها تعتمد على زلذلك ، بنفس طول البندول ، سوف يتأرجح على القمر بشكل أبطأ ، لأن الجاذبية أضعف هناك وقيمة تسارع السقوط الحر أقل.

التقريب المحدد صحيح فقط عند زوايا انحراف صغيرة ، لأن التعبير عن التسارع الزاوي يتناسب مع جيب الإحداثي:

ℓ م ج الخطيئة ⁡ θ = I α، (displaystyle ell mg sin theta = I alpha ،)

أين أنا- لحظة من الجمود ؛ في هذه الحالة أنا = مℓ 2. تتحقق الزوايا الصغيرة في ظل الظروف التي تكون فيها سعة التذبذب أقل بكثير من طول القضيب.

ℓ م ك θ = I α، (displaystyle ell mg theta = I alpha ،)

مما يجعل التسارع الزاوي متناسبًا طرديًا مع الزاوية ، وهذا يفي بتعريف الحركة التوافقية البسيطة.

الاهتزازات الحرة لمذبذب توافقي مخمد

المعادلة وحلولها

عند التفكير في مذبذب مخمد ، يتم أخذ نموذج المذبذب المحافظ كأساس تضاف إليه قوة الاحتكاك اللزج. يتم توجيه قوة الاحتكاك اللزج ضد سرعة الحمل بالنسبة إلى الوسط وتتناسب طرديًا مع هذه السرعة. ثم تكتب القوة الكلية المؤثرة على الحمل على النحو التالي:

F = - ك س - α الخامس. (displaystyle F = -kx- alpha v.)

باستخدام قانون نيوتن الثاني ، نحصل على معادلة تفاضلية تصف مذبذبًا مخمدًا:

س ¨ + 2 γ س ˙ + ω 0 2 س = 0. (displaystyle (ddot (x)) + 2 gamma (dot (x)) + omega _ (0) ^ (2) x = 0 .)

هنا هو التدوين: 2 γ = α / م (displaystyle 2 gamma = alpha / m). معامل في الرياضيات او درجة γ (displaystyle gamma)يسمى ثابت التخميد. كما أن لها أبعاد التردد.

يقع الحل في ثلاث حالات.

س (t) = A e - γ t s i n (ω f t + φ)، (displaystyle x (t) = Ae ^ (- gamma t) sin (omega _ (f) t + varphi) ،)

أين ω و = ω 0 2 - γ 2 (displaystyle omega _ (f) = (sqrt (omega _ (0) ^ (2) - gamma ^ (2))))- تردد التذبذبات الحرة.

س (ر) = (أ + ب ت) ه - ر. (displaystyle x (t) = (A + Bt) e ^ (- gamma t).) x (t) = A e - β 1 t + B e - β 2 t، (displaystyle x (t) = Ae ^ (- beta _ (1) t) + Be ^ (- beta _ (2) ر))

أين β 1، 2 = ± γ 2 - 0 2. (displaystyle beta _ (1،2) = gamma pm (sqrt (gamma ^ (2) - omega _ (0) ^ (2))).)

نسخة طبق الأصل

1 IV مواد Yakovlev في الفيزياء MathUs.ru الحركة التوافقية قبل حل مشاكل النشرة ، يجب تكرار مقالة "الاهتزازات الميكانيكية" ، حيث يتم ذكر كل النظرية الضرورية. مع الحركة التوافقية ، يتغير تنسيق الجسم وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام. على سبيل المثال ، إذا كانت x = A sin ωt ، فإن إسقاط السرعة وإسقاط العجلة هو v x = ẋ = Aω cos ωt ، a x = v x = ẍ = Aω sin ωt. المهمة 1. ("قهر تلال العصفور!" ، 014 ،) جسمان كتلتهما M ومتصلان بواسطة زنبرك ، كما هو موضح في الشكل. يقوم الجسم بأداء اهتزازات توافقية على طول العمود الرأسي بالتردد ω والسعة A. الزنبرك عديم الوزن. أوجد نسبة أكبر F 1 وأصغر قوى F لضغط النظام على مستوى الجدول. تسارع السقوط الحر g. F1 = (M +) g + Aω F (M +) g Aω لـ (M +) g> Aω مشكلة. (فسيروس. كتلة ثابتة (انظر الشكل). معامل الاحتكاك بين قاعدة العارضة وسطح الجدول µ = 0.3. نسبة كتلة القضيب إلى كتلة الحمل هي M / = 8. يؤدي الحمل تذبذبات رأسية بفترة T = 0.5 s. ما أقصى سعة ممكنة A لهذه التذبذبات التي تظل متناسقة عندها؟ A () µm 1 gt 4pi = 8.8 سم ، A gt 4π = 6.3 سم ؛ وهكذا ، أ = 6.3 سم المسألة 3. البندول يؤدي التذبذبات التوافقية. في أي جزء من فترة التذبذب يتم إزالة البندول من موضع التوازن بما لا يزيد عن نصف السعة؟ مشكلة 1/3 4. (MIPT، 006) كرة معلقة على زنبرك مطاطي تتأرجح مع الدورة T والسعة A على طول العمود الرأسي. كتلة الكرة أكبر بكثير من كتلة الزنبرك. 1) أوجد السرعة القصوى (modulo) للكرة v.) أوجد التسارع (modulo) للكرة في الأوقات التي تكون فيها سرعتها (modulo) مساوية لـ v / 3. 1) v = πa T ؛) أ = 8 π A 3T 1

2 المشكلة 5. (MIPT ، 1996) فنجان به أوزان ميزان زنبركي في حالة راحة. تم وضع وزن آخر على الكأس. أوجد سعة اهتزازات الكوب. تصلب الربيع. أ = ز المشكلة 6. (MIPT ، 1996) الزنبرك متصل بشكل صارم بالسقف والقضيب بكتلة (انظر الشكل). يقع الشريط على الحامل بحيث يكون محور الزنبرك رأسيًا ويتم ضغط الزنبرك بالقيمة L. تتم إزالة الحامل بسرعة. أوجد سعة اهتزازات الشريط. أ = ل + ز بعد حرق الخيط ، بدأ الوزن العلوي يتأرجح مع السعة A. أوجد كتلة الوزن الأقل. = أ ز المشكلة 8. (MIPT ، 1996) يتم ربط الوزن بخيط يُلقى فوق كتلة بوزن آخر ، يُثبَّت على طاولة أفقية ناعمة بزنبرك متصل بالحائط (انظر الشكل). يحترق الخيط ، ويبدأ الحمل على المنضدة في التأرجح مع السعة A. ابحث عن صلابة الزنبرك. = ز مشكلة 9. (MIPT ، 199) وزنان بكتلة إجمالية = 1 كجم ، متصلان بنابض مطاطي بصلابة = 100 نيوتن / متر ، علق على خيط (انظر الشكل). ابحث عن جميع المسافات الممكنة التي يجب سحب الوزن الأدنى إليها عموديًا لأسفل ثم تحريره بحيث يظل الوزن العلوي ثابتًا أثناء التذبذبات اللاحقة. أ ز 10 سم مسألة 10. (MIPT ، 199) وزنان بكتلة إجمالية = 1 كجم ، متصلان بخيط ، معلقان على زنبرك مطاطي بصلابة = 100 نيوتن / م (انظر الشكل). ابحث عن جميع المسافات الممكنة التي يجب أن يتم فيها سحب الأوزان عموديًا لأسفل ثم تحريرها حتى لا يتدلى الخيط أثناء الاهتزازات اللاحقة للأوزان. A g 10 cm مشكلة 11. (MIPT، 199) لوح موضوع عليه قضيب موضوعة على سطح أفقي أملس من طاولة (انظر الشكل). الكتلة أثقل بخمس مرات من اللوح. يتأرجح النظام مع السعة A = 8 سم والفترة T = 0.8 ثانية على طول سطح الطاولة تحت تأثير زنبرك متصل بالقضيب. يكون اللوح والشريط أثناء الاهتزازات بلا حراك بالنسبة لبعضهما البعض. في أي قيم لمعامل الاحتكاك بين اللوح والشريط يمكن أن تكون مثل هذه التذبذبات؟ µ 4π A gt M 0.1

3 المشكلة 1. (MIPT، 199) توجد لوحة عليها قضيب موضوعة عليها على سطح أفقي أملس من الجدول (انظر الشكل). يتأرجح النظام تحت تأثير زنبرك مرن على طول خط مستقيم مع فترة T = 1 وسرعة قصوى v = 0.5 m / s. في هذه الحالة ، يكون اللوح والشريط ثابتًا بالنسبة لبعضهما البعض. في أي قيم لمعامل الاحتكاك الانزلاقي بين اللوح والشريط يمكن أن تكون هذه التذبذبات ممكنة؟ µ π T v g 0.3 المسألة 13. (MIPT ، 005) على مستوى أملس مائل بزاوية ميل إلى الأفق α ، تتأرجح حلقة من الكتلة وقضيب كتلته 3 مع الاتساع A كوحدة واحدة على طول خط مستقيم تحته عمل زنبرك متصلب بالبار (انظر الصورة). ما هو الحد الأدنى لمعامل الاحتكاك الانزلاقي بين الغسالة والبار ، مثل هذه التذبذبات الممكنة؟ 3 α µin = tg α + A 4g cos α انظر الشكل). معامل الاحتكاك الانزلاقي بين الشريط واللوح هو µ. في أي سعة قصوى للتذبذبات ممكنة مثل هذه التذبذبات؟ 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) المشكلة 15. (MIPT ، 007) كتلة كتلة تتأرجح بسعة A 0 على طول خط مستقيم على سطح طاولة أفقي أملس تحت تأثير زنبرك مرن. في الوقت الذي كانت فيه إزاحة الشريط من موضع التوازن A 0/3 ، سقطت عليها قطعة من البلاستيسين بكتلة وعلقت ، وتتحرك عموديًا قبل الاصطدام. وقت التأثير أقل بكثير من فترة التذبذب ، وأثناء التأثير لا يخرج الشريط عن الطاولة. 1) كيف وكم مرة تغيرت فترة التذبذب؟) ابحث عن سعة تذبذب الشريط بعد الالتصاق بالبلاستيك. 1) T T0 = 3 ؛) A = 17 7 A 0 كانت كتلة الشحنة الجديدة ثلاثة أضعاف الكتلة الأصلية. 1) كم مرة تختلف قيمة الحد الأقصى لتسارع الفأس أثناء التذبذبات الناتجة عن تسارع السقوط الحر g؟) بأي حجم يتحرك الحمل في الوقت الذي تكون فيه طاقته الحركية T = 3U 0؟ تجاهل التخميد من الذبذبات. 1) aax = g 3 ؛) أ = 1 3 جم 3

4 المسألة 17. (MIPT ، 003) كرة معلقة على زنبرك في مجال جاذبية ز. في وضع التوازن ، يخزن الزنبرك طاقة تساوي U 0. يتم سحب الكرة لأسفل بحيث يتم تخزين الطاقة U 1 \ u003d 9U 0/4 في الربيع ، ثم يتم إطلاقها. 1) ما هي قيمة أقصى تسارع بالفأس الذي تتحرك به الكرة أثناء التذبذبات الرأسية الناتجة؟) ما هي الطاقة الحركية T لحركة الكرة في الوقت الذي يكون فيه تسارعها a = a ax /؟ تجاهل التخميد من الذبذبات. 1) aax = g ؛) T = 3 16 U 0 المسألة 18. (MIPT ، 000) يتم تثبيت الكرات على عمود أفقي مستقيم ويمكن أن تنزلق على طولها دون احتكاك (انظر الشكل). ينبوع خفيف متصل بالكرة بالكتلة ، وهو في حالة سكون. تتحرك كرة الكتلة بسرعة v. نصف قطر الكرات أقل بكثير من طول الربيع. 1) حدد سرعة كتلة الكرة بعد انفصالها عن الزنبرك.) حدد وقت ملامسة كتلة الكرة بالزنبرك. v 1) v1 = v 3 ؛) t = T = π 3 المسألة 19. (MIPT ، 000) شريطان من الكتل v 3 و 3 ، متصلان بخيط ، يتحركان على طول سطح طاولة أفقي أملس بسرعة ثابتة v. يوجد بين القضبان زنبرك بصلابة مضغوطة × 0 (انظر الشكل). الزنبرك متصل فقط بالقضيب بالكتلة. أبعاد القضبان صغيرة مقارنة بطول الخيط ، وكتلة الزنبرك مهملة ، وسرعة القضبان موجهة على طول الخيط. أثناء الحركة ، ينكسر الخيط وتتحرك القضبان على طول الاتجاه الأولي للخيط. 1) أوجد سرعة العمود الذي كتلته 3 بعد انفصاله عن الزنبرك.) أوجد وقت التلامس بين الزنبرك وقضيب الكتلة 3 ، بدءًا من لحظة انكسار الخيط. 1) v = v + x 0 3 ؛) t = π 4 3 المشكلة 0. (MIPT ، 1999) كتلة صغيرة من الكتلة تقع على طاولة ناعمة داخل إطار صلب. طول الإطار L ، الوزن. بمساعدة قضيب خفيف ونابض ، يتم توصيل الشريط بشكل صارم بدعامة ثابتة (انظر الشكل). يتم نقل الشريط إلى الجانب الآخر من الإطار وتحريره. نتيجة التصادمات المرنة ، يقوم الشريط والإطار بحركات دورية. 1) أوجد سرعة الإطار مباشرة بعد الاصطدام الأول بالشريط.) أوجد فترة تذبذب الشريط. 1) ت = L ؛) T = (+ 1) 4

5 المشكلة 1. (MIPT ، 1999) كتلة صغيرة من الكتلة موضوعة على طاولة ملساء داخل إطار صلب بطول L وكتلة. يتم توصيل الشريط بمساعدة قضيب ضوئي ونابض بشكل صارم بدعامة ثابتة 1 (انظر الشكل). الإطار متصل بشكل صارم بدعامة ثابتة بواسطة زنبرك. في الموضع الأولي ، لمس الشريط الجانب الأيسر من الإطار ، ولم تكن الينابيع مشوهة. يتم أخذ الإطار إلى اليسار ، حتى يلامس الشريط الجدار الأيمن للإطار ، ويتم تحريره. نتيجة التصادمات المرنة ، يقوم الشريط والإطار بحركات دورية. 1) أوجد سرعة الشريط مباشرة بعد الاصطدام الأول بالإطار.) أوجد فترة التذبذب للإطار. 1) v = L ؛) T = π المشكلة. (MIPT ، 1997) كرة صغيرة من الكتلة ذات شحنة موجبة q معلقة على خيط طويل غير مرن بالقرب من لوحة كبيرة غير موصلة P (انظر الشكل). حدد فترة التذبذبات الصغيرة للكرة عندما تكون هناك شحنة سالبة مع كثافة سطح على اللوحة ، إذا كان معروفًا أنه في حالة عدم وجود هذه الشحنة ، فإن فترة اهتزاز الكرة تساوي T 0. ضع في اعتبارك التسارع من الجاذبية يساوي g. T = T0 1+ g ε 0 g المشكلة 3. (MIPT ، 1997) أسطوانة رقيقة الجدران ذات سطح داخلي أملس تستقر بلا حراك على صفيحة أفقية غير موصلة P (انظر الشكل). أبعاد اللوحة (في المستوى الأفقي) أكبر بكثير من أبعاد الأسطوانة. من المعروف أن نسبة فترة التذبذب لكرة صغيرة سالبة الشحنة داخل الأسطوانة عند كثافة موجبة معينة لشحنات السطح σ x للوحة إلى فترة التذبذب عند σ = 0 تساوي T x / T 0 = α . أوجد σ x ، مع الأخذ في الاعتبار النسبة α وشحنة الكرة q وكتلتها وتسارع الجاذبية g كما هو معطى. σx = ε 0 (1 α) g α q المشكلة 4. ("قهر تلال العصفور!" ، 015 ،) الكوع الرأسي للأنبوب الأملس ذي المقطع العرضي الثابت بزاوية قائمة ممتلئ بسائل يمكن أن يكون تعتبر مثالية تقريبًا. ارتفاع هذا الكوع يساوي L (وهو أكبر بشكل ملحوظ من البعد العرضي للأنبوب) ، ولا يُسمح بنقله إلى كوع أفقي بسبب سدادة الضوء المثبتة بلا حراك. في مرحلة ما ، يتم تحرير الفلين برفق. كم من الوقت سيستغرق خروج الفلين من الأنبوب؟ طول الكوع الأفقي 3 لتر / ، يتم تجاهل التوتر السطحي. ر = π + 1 لتر ج 5

6 المهمة 5. ("قهر تلال العصفور!" ، 014 ،) في النظام الموضح في الشكل ، كتل الأحمال تساوي 1 ، وتصلب الزنبرك ، والكتل ، والخيط ، والزنبرك بدون وزن ، تدور الكتل بدون احتكاك ، ولا ينزلق الخيط فوق الكتل. في وضع التوازن ، يتم شد الربيع. يتم إزاحة الحمل 1 من موضع التوازن إلى أسفل بمسافة s ، وبعد ذلك تؤدي الأحمال تذبذبات توافقية. أوجد السرعات القصوى للكتل المهتزة. v1 = s ، v = v1 / المقدمة s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 المهمة 9. (MFO ، 016 ، 11) يوضح الشكل نظامًا ميكانيكيًا يتم فيه إلقاء خيط عديم الوزن غير قابل للتمديد من خلال كتلة عديمة الوزن مع محور أفقي متصل بالسقف. تعلق على نهايات الخيط كتل صغيرة و. يقع الحمل على دعامة أفقية. الحمل معلق. يتم إرفاق حمولة ثانية مماثلة بالحمل من خلال زنبرك مثالي عديم الوزن مع صلابة ، يقع عموديًا وبطول صغير L 0. في اللحظة الأولى ، الربيع غير مشوه ، والحمل الثاني يقع على نفس الدعم مثل الحمل. المسافة من الحمل العلوي إلى الكتلة تساوي l 0. المقاطع الحرة من الخيط التي لا تقع على بكرة الكتلة عمودية. في الوقت t = 0 ، يختفي الدعم (يتم إزالته بسرعة إلى أسفل). بعد فترة τ بعد ذلك ، لامس أحد الأوزان الكتلة. ما هذه البضائع؟ ما قيمة l 0 أقصى وقت τ؟ ما هي هذه القيمة القصوى لـ τ؟ شحن τax = π 3 4 لـ l 0 = g 7

IV مواد فيزياء Yakovlev MathUs.ru التفاعلات المرنة أثناء التفاعل المرن للأجسام ، على وجه الخصوص ، أثناء التأثير المرن ، لا توجد تغييرات في حالتها الداخلية ؛ الطاقة الداخلية للأجسام

IV مواد Yakovlev في الفيزياء MathUs.ru العلاقات الحركية في الديناميات في بعض مشاكل الديناميكيات ، جنبًا إلى جنب مع قوانين نيوتن ، يلزم وجود علاقات إضافية غير تافهة بين تسارع الأجسام

IV مواد Yakovlev في الفيزياء MathUs.ru التفاعلات المرنة أثناء التفاعل المرن للأجسام (على وجه الخصوص ، أثناء التأثير المرن) لا توجد تغييرات في حالتها الداخلية ؛ الطاقة الداخلية

IV مواد Yakovlev في الفيزياء MathUs.ru معادلة التذبذبات التوافقية معادلة التذبذبات. يمكن الحصول على 2 ẍ + 2 x = 0 من خلال التفريق بين قانون الحفاظ على الطاقة فيما يتعلق بالوقت. دعنا نظهرها في أبسطها

القاربان ، جنبًا إلى جنب مع الحمولة ، لهما كتل M و M. تتجه القوارب نحو بعضها البعض في مسارات متوازية. عندما تكون القوارب مقابل بعضها البعض ، يتم نقل حقيبة واحدة في نفس الوقت من كل قارب إلى الآخر.

IV مواد فيزياء ياكوفليف MathUs.ru أجسام مقيدة المشكلة 1. جسمان كتلتهما م و 2 م متصلان بخيط خفيف غير مرن ويستلقيان على سطح أفقي أملس (يوجد جسم كتلته م إلى اليسار).

I. V. Yakovlev المواد الخاصة بالفيزياء MathUs.ru التفاعلات غير المرنة أمثلة على التفاعلات غير المرنة هي اختراق قضيب برصاصة أو تأثير غير مرن تمامًا (بعد ذلك تتحرك الأجسام كقطعة واحدة

فيزياء التدريب عن بعد المادة 8 الأنظمة التذبذبية الميكانيكية المادة النظرية في هذه المقالة سننظر في طرق حل المشكلات المتعلقة بالحركة التذبذبية للأجسام بواسطة الحركة التذبذبية

ج ١.١. يوجد قضيبان متطابقان متصلان بزنبرك خفيف على سطح طاولة أفقي أملس. في اللحظة t = 0 ، تبدأ الكتلة اليمنى في التحرك بحيث تلتقط السرعة النهائية في الوقت x

I. V. Yakovlev Physics materials MathUs.ru Elastic force Problem 1. (MOSh، 2018، 10) جسم كتلته m = 2 kg يستريح على زنبرك بصلابة k = 100 N / m متصلة بالسقف (انظر الشكل. ). يبدأ عليه

1.2.1. أنظمة مرجعية بالقصور الذاتي. قانون نيوتن الأول. مبدأ جاليليو في النسبية 28 (C1). ربط راكب حافلة عند محطة للحافلات بالونًا خفيفًا مملوءًا به

1 الكينماتيكا 1 تتحرك نقطة المادة على طول المحور x بحيث يكون إحداثي الوقت للنقطة هو x (0) B أوجد x (t) V x في اللحظة الأولى تتحرك نقطة المادة على طول المحور x بحيث يكون الفأس A x في البداية

IV مواد Yakovlev في الفيزياء MathUs.ru الأنظمة غير المحافظة الطاقة الميكانيكية E = K + W لا يتم حفظها في نظام غير متحفظ. إذا ، على سبيل المثال ، تعمل قوى الاحتكاك على أجسام النظام ، إذن

216 سنة من الفئة 9 تذكرة 9-1 1 تم توصيل حمولتين من الكتل m وموجودين على طاولة أفقية ناعمة بواسطة خيط وموصولين بحمولة كتلتها 3 م بواسطة خيط آخر يتم إلقاؤه فوق كتلة عديمة الوزن (انظر الشكل) بواسطة الاحتكاك

مهام مهمة الحساب (EnMI) في الميكانيكا 2013/14 1. الكينماتيكا 1. رمي الحجر بشكل رأسي لأعلى من ارتفاع 10 م بسرعة ابتدائية 8 م / ث. اكتب معادلة الحركة في ثلاث نسخ عن طريق الوضع

7. قضيب متجانس رقيق كتلته m وطوله L يمكن أن يدور حول محور أفقي ثابت O يمر عبر الطرف العلوي للقضيب. تعلق على الطرف السفلي من القضيب نهاية الأفقي

المجموعة 12-خيار EUN 1. 5.49. 1. جسم كتلته 313 كجم يتحرك بشكل موحد عند الفرملة. تنخفض سرعته من 17 م / ث إلى 2 م / ث في 42 ثانية. أوجد قوة الكبح. 2. إيقاف السيارة

الدرس 7 قوانين الحفظ المهمة 1 يوضح الشكل الرسوم البيانية للتغير في سرعات عربتين متفاعليتين من كتل مختلفة (عربة واحدة تلحق وتدفع الأخرى). ما هي المعلومات حول عربات

2. ديناميات الحركة المتعدية 134- تؤثر قوة ثابتة F = 10-2 N على الجسم ، يتحرك الجسم بعجلة a = 0.5 m / s 2. أوجد كتلة الجسم. 135. جسم كتلته 250 جم يتحرك بوتيرة متسارعة

ДЗ2015 (2) 2.2 (5) 1. ثقل متصل بالجدار بواسطة زنبرك يقع على سطح خشن. الربيع غير مشوه. إذا تم سحب الحمولة لمسافة L وتحريرها ، فستتوقف في موضعها الأصلي ،

المهام المؤجلة (88) كرة ألقيت رأسياً لأعلى بسرعة υ ، بعد مرور بعض الوقت ، سقطت على سطح الأرض. أي رسم بياني يتوافق مع اعتماد إسقاط السرعة على المحور السيني على وقت الحركة؟

صفحة 1 من 9 04/11/2016 21:29 لوح ضخم معلق بشكل محوري من السقف على قضيب ضوئي. كرة من البلاستيسين تزن 0.2 كجم تضرب لوحًا بسرعة 10 م / ث وتلتصق به. سرعة الكرة من قبل

المرحلة النهائية الثانية) من المسابقة الأكاديمية للأولمبياد لأطفال المدارس "خطوة إلى المستقبل" في موضوع التعليم العام "فيزياء" الربيع ، الخيار السادس ، المشكلة الخامسة: جسم يتحرك بشكل موحد مع

التذكرة N 5 التذكرة N 4 السؤال N 1 شريطان بكتل م 1 \ u003d 10.0 كجم وم 2 \ u003d 8.0 كجم ، متصلان بخيط خفيف غير مرن ، انزلق على طول مستوى مائل بزاوية ميل \ u003d 30. حدد تسريع النظام.

السنة 16 فئة 1 ، تذكرة 1-1 1. يتم توصيل حمولتين من الكتل و 5 ، موضوعتين على طاولة أفقية ناعمة ، بواسطة خيط ومتصلان بالحمل بكتلة خيط آخر يتم إلقاؤها فوق كتلة عديمة الوزن (انظر الشكل). . احتكاك

"التذبذبات والأمواج" مهمة فردية 1. الخيار 1. 1. بأي جزء من الطول يجب تقليل طول البندول الرياضي بحيث تكون فترة اهتزازاته على ارتفاع 10 كم مساوية لفترة اهتزازه التذبذبات

المرحلة الثانية) المرحلة النهائية من المسابقة الأكاديمية للأولمبياد لأطفال المدارس "خطوة إلى المستقبل" في موضوع التعليم العام ربيع "الفيزياء" ، 6 سنوات الخيار 3 المشكلة جسم يتحرك بشكل موحد مع

عمل تشخيصي موضوعي استعدادًا لامتحان الفيزياء حول موضوع "الميكانيكا" 18 ديسمبر 2014 الصف 10 خيار PHI00103 (90 دقيقة) المنطقة. المدينة (المدينة). فئة المدرسة اللقب. اسم.

كتاب مسائل الطالب izprtalru 6 ديناميات الحركة المستقيمة الشكل المعادلة الأساسية لديناميكيات نقطة مادية (قانون نيوتن الثاني) لجسم ذي كتلة ثابتة في إطارات مرجعية بالقصور الذاتي لها الشكل

المرحلة الثانية (النهائية) من المسابقة الأكاديمية للأولمبياد لأطفال المدارس "خطوة إلى المستقبل" في فصل الربيع "الفيزياء" مادة التربية العامة ، 6 سنوات

يُعرف قانون تغيير شعاع نصف القطر r للجسيم: r (t) b t. هنا t هو الوقت ، ثابت موجب ، b متجه ، ثابت في الحجم والاتجاه. أوجد المسار الذي سلكه الجسيم منذ ذلك الحين

1. كرة ألقيت عموديًا لأعلى بسرعة υ سقطت على سطح الأرض بعد مرور بعض الوقت. أي رسم بياني يتوافق مع اعتماد إسقاط السرعة على المحور السيني على وقت الحركة؟ يتم توجيه محور OX

الفيزياء. الصف 9 تدريب “القصور الذاتي. قوانين نيوتن. القوى في الميكانيكا »1 القصور الذاتي. قوانين نيوتن. القوى في الميكانيكا الخيار 1 1 يتم تعليق قضيب معدني من نبع ومغمور بالكامل في وعاء به ماء

الميكانيكا كيريلوف إيه إم ، مدرس الصالة الرياضية 44 ، سوتشي (http://kirillandrey72.narod.ru/).

التذكرة N 5 التذكرة N 4 السؤال N 1 تبدأ قوة أفقية في التأثير على جسم كتلته m 2.0 kg ، ويعتمد معاملها خطيًا على الوقت: F t ، حيث 0.7 N / s. معامل الاحتكاك k 0.1. حدد اللحظة

حل مشكلة "التذبذبات الميكانيكية مع التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي ، يتغير تنسيق الحمل بمرور الوقت t ، كما هو موضح في الشكل. الفترة T وسعة التذبذبات A متساويتان

التذكرة N 5 التذكرة N 4 السؤال N 1 يوجد قضيب رقيق كتلته M 0 = 1 كجم وطوله l = 60 سم على سطح أفقي أملس. يمكن للقضيب أن يدور بحرية حول مرور محور عمودي ثابت

IV مواد Yakovlev في الفيزياء.

I. V. Yakovlev مواد في الفيزياء MathUs.ru المحتويات قوة الاحتكاك 1 أولمبياد عموم روسيا لأطفال المدارس في الفيزياء ......................... 1 2 أولمبياد موسكو للفيزياء ...... ............... 3 3 MIPT

المهام A22 في الفيزياء 1. إذا تم تعليق الحمل من زنبرك خفيف مرن ، فسيتمدد الزنبرك ، وهو في حالة توازن ، بمقدار 10 سم. ما هي فترة التذبذب الحر لهذا الحمل ،

الفيزياء. الصف 11. تدريب "القوى في الطبيعة" 1 القوى في الطبيعة مهام التدريب 1 يصب الماء الذي يبلغ وزنه 1.5 كجم في وعاء له شكل مخروط مقطوع (انظر الشكل). مساحة قاع الوعاء 100 سم 2 ،

خيارات للواجب المنزلي التذبذبات المتناسقة والأمواج الخيار 1. 1. الشكل (أ) يوضح رسم بياني للحركة التذبذبية. معادلة التذبذب x = Asin (t + α o). حدد المرحلة الأولية. x O t

IV مواد Yakovlev حول الرياضيات الفيزيائية. مشكلة المستوى المائل 1. يتم وضع كتلة من الكتلة على مستوى أملس مائل بزاوية ميل ويتم تحريرها. أوجد تسارع العمود والقوة التي يمارسها الشريط

ج ١.١. بعد الدفع ، تدحرج الجليد في حفرة ذات جدران ملساء ، حيث يمكنه التحرك دون احتكاك تقريبًا. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لاعتماد طاقة تفاعل طوف جليدي مع الأرض

مهام العمل المستقل للطلاب الوحدة 6 "الاهتزازات الميكانيكية" ... 3 الموضوع 1. حركيات الاهتزازات التوافقية ... 3 الموضوع 2. إضافة الاهتزازات ... 8 الموضوع 3. ديناميات الاهتزازات التوافقية ...

IV مواد ياكوفليف حول الرياضيات الفيزيائية. دوران مشكلة الجسم الجامد 1. (MIPT ، 2003)

مهام التحكم في موضوع "DYNAMICS" 1 (A) ينزل المظلي الذي يزن 65 كجم بمظلة مفتوحة. ما قوة مقاومة الهواء F c في حالة ثبات سرعة لاعب القفز بالمظلات؟ ما هو الناتج

DZ 3.3 (01) 1. النقطة تجعل التذبذبات التوافقية على طول خط مستقيم بين الموضعين A و B. مع العلم أن سرعتها القصوى هي V m \ u003d 10 m / s ، ابحث عن سرعتها المتوسطة في الطريق من A إلى B. 2 . في المرحلة

التدريب عن بعد فيزياء أبيتورو مقال قوانين نيوتن المادة النظرية في هذه المقالة سننظر في مهام تطبيق قوانين نيوتن

التذكرة رقم 10 ، التذكرة رقم 9 ، السؤال رقم 1 ، يتقدم الجيروسكوب حول نقطة الارتكاز السفلية. لحظة القصور الذاتي للجيروسكوب هي I \ u003d 0.2 كجم م 2 ، السرعة الزاوية للدوران هي 0 \ u003d 1000 ث -1 ، الكتلة م \ u003d 20 كجم ، مركز الكتلة هو

مشاكل العمل المنزلي الفردي 3 1. قرص متجانس بنصف قطر 40 سم يتأرجح حول محور أفقي يمر عبر نقطة تعليق تتزامن مع أحد المصفوفة المولدة لسطح القرص.

أمثلة على حل المشكلات مثال 1 يتم طرح خيط غير قابل للامتداد عديم الوزن من خلال كتلة تدور حول محور أفقي (الشكل 1 أ) ، إلى نهاياتها الأوزان 1 و

6.1 يمكن أن تدور أسطوانة متجانسة كتلتها M ونصف القطر ص دون احتكاك حول محور أفقي. يتم لف خيط حول الاسطوانة ، يتم توصيل حمولة كتلة م في نهايته. أوجد اعتماد الطاقة الحركية

I. V. Yakovlev مواد في الفيزياء MathUs.ru أولمبياد "Phystech" في الفيزياء الصف 11 ، مرحلة عبر الإنترنت ، 2013/14 1. تم إلقاء حجر من سطح حظيرة عموديًا تقريبًا إلى أعلى بسرعة 15 م / ث سقط على الأرض

IV Yakovlev Physics materials MathUs.ru أنظمة المحافظة يسمى نظام الأجسام بالمحافظة إذا كان قانون حفظ الطاقة الميكانيكية مُرضيًا له: K + W = const ، حيث K هي حركية

الصف 10. الجولة الأولى 1. المهمة 1 إذا تم ضغط قضيب وزنه 0.5 كجم على جدار عمودي خشن بقوة 15 نيوتن ، موجهًا أفقيًا ، فسوف ينزلق بشكل متساوٍ. مع ما سوف تسارع modulo

1.2.1. أنظمة مرجعية بالقصور الذاتي. قانون نيوتن الأول. مبدأ غاليليو في النسبية 27.1. ربط راكب حافلة عند محطة للحافلات بالونًا خفيفًا مملوءًا بالهيليوم بمقبض المقعد بواسطة خيط.

روافع ثابتة 1. كوبان متوازنان على مقياس غير متكافئ. المسافة بين مراكز الكؤوس هي l. تم أخذ كتلة من الماء م من كوب واحد وصبها في الثانية. إذا تم نقل دعم التوازن في نفس الوقت

المهمة رقم 1 اختبار حول موضوع "الاهتزازات الميكانيكية" يتغير تنسيق الجسم المتأرجح وفقًا للقانون X = 5ˑcos (/ 2) t (m). ما هو تردد التذبذب؟ يتم التعبير عن جميع الكميات بوحدات SI. 1) 2 هرتز. 2) 1/2

الدرس 3. المبادئ الأساسية للديناميات. القوى: الجاذبية والتفاعلات والمرونة الخيار 3 ... تؤثر قوى عديدة على جسم كتلته 0 كجم ، تكون محصلتها ثابتة وتساوي 5 نيوتن بالنسبة إلى القصور الذاتي

1 الخيار A1. يتكون النظام من جسمين أ و ب. في الشكل ، تشير الأسهم على مقياس معين إلى عزم هذه الأجسام. 1) 2.0 كجم م / ث 2) 3.6 كجم م / ث 3) 7.2 كجم م / ث 4) 10.0 كجم م / ث A2. شخص ذو كتلة m يقفز

1 الدافع. قانون الحفاظ على الزخم 1. ما الصيغة التي يمكن استخدامها لحساب زخم الجسم؟ 1) ص م) ف م 3) ص م 4) ع قدم. ما هو التغير في زخم الجسم؟ 1) تغير سرعة الجسم) دافع القوة المؤثرة

ديناميكي 008. القوة التي تحدث بين حزام القيادة والبكرة عندما تتحرك هي القوة أ) للتوتر. ب) انزلاق الاحتكاك. ج) الاحتكاك المتداول. د) المرونة. هـ) الاحتكاك الساكن .. الناتج عن ثلاثة

الحساب وعمل الرسم على الميكانيكا المهمة 1. 1 يظهر اعتماد التسارع في الوقت المناسب لبعض حركات الجسم في الشكل. أوجد متوسط ​​سرعة الأرض لأول 8 ثوانٍ. سرعة البدء

الخيار 1 1. ما العمل الذي يجب القيام به لمد قضيب فولاذي x = 1 مم بطول l = 1 متر ومساحة المقطع العرضي S تساوي 1 سم 2؟ 2. نوابض بصلابة k 1 = 0.3 kN / m و k 2

قوانين الحفظ زخم الجسم (النقطة المادية) هو كمية متجهة فيزيائية تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته. p = m υ [p] = kg · m / s · دفعة القوة هي كمية مادية متجهة ،

يخطط:

مقدمة

• 1 الاهتزازات الحرة
  • 1.1 مذبذب توافقي محافظ
    • 1.1.1
      • 1.1.1.1 ديناميات الحركة التوافقية البسيطة
      • 1.1.1.2 طاقة الحركة التوافقية البسيطة
      • 1.1.1.3 أمثلة
        • 1.1.1.3.1 وزن الربيع
        • 1.1.1.3.2 حركة دائرية عالمية
        • 1.1.1.3.3 الوزن كبندول بسيط
  • 1.2 مذبذب توافقي مخفف
• 2 الاهتزازات القسرية
المؤلفات
ملحوظات

مقدمة

هزاز توافقي(في الميكانيكا الكلاسيكية) هو نظام ، عند إزاحته من وضع التوازن ، يواجه قوة استعادة تتناسب مع الإزاحة (وفقًا لقانون هوك):

أين كهو ثابت موجب يصف صلابة النظام.

إذا كانت القوة الوحيدة المؤثرة على النظام ، فسيتم استدعاء النظام بسيطأو مذبذب توافقي متحفظ. تمثل التذبذبات الحرة لمثل هذا النظام حركة دورية حول موضع التوازن (التذبذبات التوافقية). التردد والسعة ثابتان ، ولا يعتمد التردد على السعة.

إذا كانت هناك أيضًا قوة احتكاك (توهين) تتناسب مع سرعة الحركة (الاحتكاك اللزج) ، فإن هذا النظام يسمى بهوتأو مذبذب مشتت. إذا لم يكن الاحتكاك كبيرًا جدًا ، فسيقوم النظام بحركة دورية تقريبًا - تذبذبات جيبية بتردد ثابت وسعة متناقصة بشكل كبير. تبين أن تردد التذبذبات الحرة لمذبذب مخمد أقل إلى حد ما من مذبذب مماثل بدون احتكاك.

إذا تُرك المذبذب لنفسه ، فيقال إنه يؤدي ذبذبات حرة. إذا كانت هناك قوة خارجية (حسب الوقت) ، فإننا نقول إن المذبذب يواجه تذبذبات قسرية.

الأمثلة الميكانيكية للمذبذب التوافقي هي بندول رياضي (بزوايا إزاحة صغيرة) ، ووزن على زنبرك ، وبندول الالتواء ، وأنظمة صوتية. من بين نظائرها الأخرى للمذبذب التوافقي ، يجدر إبراز المذبذب التوافقي الكهربائي (انظر دائرة LC).

1. الاهتزازات الحرة

1.1 مذبذب توافقي محافظ

كنموذج لمذبذب توافقي متحفظ ، دعنا نأخذ حمولة كتلة مثبتة على زنبرك بصلابة.

لنفترض أن إزاحة الحمل بالنسبة إلى موضع التوازن. بعد ذلك ، وفقًا لقانون هوك ، ستعمل قوة الاستعادة على ذلك:

باستخدام قانون نيوتن الثاني ، نكتب

للدلالة على التسارع واستبداله بالمشتق الثاني للتنسيق فيما يتعلق بالوقت ، نكتب:

تصف هذه المعادلة التفاضلية سلوك المذبذب التوافقي المحافظ. يُطلق على المعامل ω 0 التردد الدوري للمذبذب. (يشير هذا إلى التردد الدائري ، مُقاسًا بالراديان في الثانية. لتحويله إلى تردد معبر عنه بالهرتز ، يجب قسمة التردد الدائري على 2π)

سنبحث عن حل لهذه المعادلة بالشكل:

هنا - السعة ، - تردد التذبذب (لا يساوي بالضرورة التردد الطبيعي) ، - المرحلة الأولية.

نعوض في المعادلة التفاضلية.

يتم تقليل السعة. هذا يعني أنه يمكن أن يكون لها أي قيمة (بما في ذلك الصفر - وهذا يعني أن الحمل في حالة راحة في وضع التوازن). يمكن أيضًا تقليل الجيب ، حيث يجب أن تستمر المساواة في أي وقت ر. ويبقى شرط تردد التذبذب:

يمكن تجاهل التردد السلبي ، لأن التعسف في اختيار هذه العلامة مشمول بالتعسف في اختيار المرحلة الأولية.

حركة دائرية وحركة متناسقة

تتم كتابة الحل العام للمعادلة على النحو التالي:

,

حيث السعة أوالمرحلة الأولية هي ثوابت تعسفية. يستنفد هذا السجل جميع حلول المعادلة التفاضلية ، لأنه يسمح بتلبية أي شروط أولية (الوضع الأولي للحمل وسرعته الأولية).

باختصار ، يمكن للمذبذب التوافقي المحافظ إجراء اهتزازات توافقية بحتة بتردد مساوٍ لتردده ، بسعة من أي حجم وبمرحلة أولية عشوائية.

يتم كتابة الطاقة الحركية كـ

.

والطاقة الكامنة

ثم إجمالي الطاقة ثابت

1.1.1. حركة توافقية بسيطة

حركة توافقية بسيطةهي حركة بسيطة هزاز توافقي، وهي حركة دورية لا يتم إجبارها أو تثبيطها. يخضع الجسم في حركة توافقية بسيطة لقوة متغيرة واحدة تتناسب طرديًا في القيمة المطلقة مع الإزاحة x، ويتم توجيهها في الاتجاه المعاكس.

هذه الحركة دورية: يتأرجح الجسم حول وضع التوازن وفقًا لقانون الجيب. كل تذبذب لاحق هو نفسه السابق ، وتبقى فترة التذبذبات وتواترها وسعتها ثابتة. إذا قبلنا أن موضع التوازن عند نقطة ذات إحداثي يساوي صفرًا ، فإن الإزاحة xيتم إعطاء الجسم في أي وقت من خلال الصيغة:

أهو اتساع التذبذبات ، F- تكرر، φ - المرحلة الأولى.

يتم تحديد تواتر الحركة من خلال الخصائص المميزة للنظام (على سبيل المثال ، كتلة الجسم المتحرك) ، في حين يتم تحديد السعة والمرحلة الأولية من خلال الظروف الأولية - إزاحة الجسم وسرعته في لحظة التذبذبات يبدأ. تعتمد الطاقات الحركية والمحتملة للنظام أيضًا على هذه الخصائص والظروف.

حركة توافقية بسيطة. في هذه الصورة المتحركة ، يتم رسم إحداثيات الجسيمات على طول المحور الرأسي ( xفي الصيغة) ، والوقت مرسوم على طول المحور الأفقي ( ر).

يمكن أن تكون الحركة التوافقية البسيطة نماذج رياضية لأنواع مختلفة من الحركة ، مثل تذبذب الزنبرك. الحالات الأخرى التي يمكن اعتبارها تقريبًا حركة توافقية بسيطة هي حركة البندول واهتزازات الجزيئات.

الحركة التوافقية البسيطة هي أساس بعض الطرق لتحليل أنواع الحركة الأكثر تعقيدًا. تعتمد إحدى هذه الطرق على تحويل فورييه ، والذي يتمثل جوهره في تحليل نوع أكثر تعقيدًا من الحركة إلى سلسلة من الحركات التوافقية البسيطة.

تظهر الحركة التوافقية البسيطة في وقت واحد في الفضاء الحقيقي وفضاء الطور. هنا ، يظهر محور السرعة ومحور الموضع بشكل مختلف عن التمثيل المعتاد لمحاور الإحداثيات - ويتم ذلك بحيث يتوافق كلا الشكلين مع بعضهما البعض. مساحة حقيقية - مساحة حقيقية ؛ مرحلة الفضاء - فضاء المرحلة ؛ السرعة - السرعة الموقف - الموقف (الموقف).

مثال نموذجي للنظام الذي تحدث فيه حركة توافقية بسيطة هو نظام مثالي للنابض الكتلي يتم فيه ربط الكتلة بنابض. إذا لم يكن الزنبرك مضغوطًا ولا ممتدًا ، فلن تعمل قوى متغيرة على الحمل ، والحمل في حالة توازن ميكانيكي. ومع ذلك ، إذا تمت إزالة الحمل من وضع التوازن ، فإن الزنبرك مشوه ، ومن جانبه ستعمل قوة على الحمل ، والتي ستميل إلى إعادة الحمل إلى وضع التوازن. في حالة نظام زنبرك الحمل ، فإن هذه القوة هي القوة المرنة للزنبرك ، والتي تخضع لقانون هوك:

F = − كx, F- استعادة القوة x- حركة الحمل (تشوه الزنبرك) ، ك- معامل صلابة الزنبرك.

أي نظام تحدث فيه حركة توافقية بسيطة له خاصيتان رئيسيتان:

1. عندما يكون النظام خارج التوازن ، يجب أن تكون هناك قوة استعادة تميل إلى إعادة النظام إلى حالة التوازن.
2. يجب أن تكون قوة الاستعادة متناسبة تمامًا أو تقريبًا مع الإزاحة.

يلبي نظام الوزن الزنبركي كلا الشرطين.

بمجرد أن يتعرض الحمل النازح لعمل قوة الاستعادة ، يتم تسريعه ، ويميل إلى العودة إلى نقطة البداية ، أي إلى وضع التوازن. عندما يقترب الحمل من وضع التوازن ، تقل قوة الاستعادة وتميل إلى الصفر. ومع ذلك ، في الموقف x= 0 للحمل قدر معين من الحركة (الزخم) ، المكتسب بسبب عمل قوة الاستعادة. لذلك ، يتخطى الحمل وضع التوازن ، ويبدأ في تشويه الزنبرك مرة أخرى (ولكن في الاتجاه المعاكس). تميل قوة الاستعادة إلى إبطائها حتى تصبح السرعة صفرًا ؛ وستسعى القوة مرة أخرى إلى إعادة الحمل إلى وضع التوازن.

طالما لم يكن هناك فقد للطاقة في النظام ، فإن الحمل سوف يتأرجح كما هو موضح أعلاه ؛ تسمى هذه الحركة الدورية.

سيوضح التحليل الإضافي أنه في حالة نظام الزنبرك الكتلي ، تكون الحركة متناسقة بسيطة.

1.1.1.1. ديناميات الحركة التوافقية البسيطة

للتذبذب في الفضاء أحادي البعد ، مع الأخذ في الاعتبار قانون نيوتن الثاني ( F = مد² x/د ر² ) وقانون هوك ( F = −ككس، كما هو موضح أعلاه) ، لدينا معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية:

مهي كتلة الجسم x- إزاحته بالنسبة إلى وضع التوازن ، ك- ثابت (عامل صلابة الزنبرك).

حل هذه المعادلة التفاضلية هو حل جيبي. حل واحد هو هذا:

أين أ, ω ، و φ هي ثوابت ، ويؤخذ موقف التوازن على أنه الوضع الأولي. يمثل كل من هذه الثوابت خاصية فيزيائية مهمة للحركة: أهي السعة ω = 2π Fهو التردد الدائري ، و φ - المرحلة الأولى.

موضع وسرعة وتسارع المذبذب التوافقي

باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل ، يمكن العثور على السرعة والتسارع كدالة للوقت باستخدام الصيغ:

الموضع والسرعة والتسارع للحركة التوافقية البسيطة على مستوى الطور

يمكن أيضًا التعبير عن التسارع كدالة للإزاحة:

بسبب ال أماه = −مω² x = −ككس ، ومن بعد

بشرط ω = 2π F، نحن نحصل

و بسبب تي = 1/F، حيث T هي فترة التذبذب ، إذن

توضح هذه الصيغ أن الفترة والتردد لا يعتمدان على السعة والمرحلة الأولية للحركة.

1.1.1.2. طاقة الحركة التوافقية البسيطة

الطاقة الحركية كالأنظمة كدالة للوقت رهو:

والطاقة الكامنة

ومع ذلك ، فإن إجمالي الطاقة الميكانيكية للنظام لها قيمة ثابتة

1.1.1.3. أمثلة

نظام زنبرك تحميل بدون تخميد تحدث فيه حركة توافقية بسيطة.

يتم تمثيل الحركة التوافقية البسيطة في العديد من الأنظمة الفيزيائية البسيطة ويتم إعطاء بعض الأمثلة أدناه.

1.1.1.3.1. الوزن في الربيع

وزن متعلق بنابض من الصلابة المستمرة كهو مثال على الحركة التوافقية البسيطة في الفضاء. معادلة

يوضح أن فترة التذبذب لا تعتمد على السعة وتسارع الجاذبية.

1.1.1.3.2. حركة دائرية عالمية

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الحالات بمثابة إسقاط أحادي البعد للحركة الدائرية الشاملة. إذا كان الجسم يتحرك بسرعة زاوية ω حول محيط نصف القطر ص، مركزه أصل الطائرة x-ذ، إذن هذه الحركة على طول كل من محاور الإحداثيات هي توافقية بسيطة مع السعة صوالتردد الدائري ω .

1.1.1.3.3. الوزن كبندول بسيط

يمكن اعتبار حركة البندول بدون التخميد تقريبًا بمثابة حركة توافقية بسيطة إذا كانت سعة التذبذب صغيرة جدًا مقارنة بطول القضيب.

عند تقريب الزوايا الصغيرة ، تكون حركة البندول البسيط قريبة من التوافقية البسيطة. فترة تذبذب هذا البندول مرتبطة بقضيب طول ℓ مع تسارع السقوط الحر زمن خلال الصيغة

هذا يدل على أن فترة التذبذب لا تعتمد على سعة وكتلة البندول ، ولكنها تعتمد على تسارع السقوط الحر زلذلك ، مع نفس طول البندول ، فإنه على القمر سوف يدور بشكل أبطأ ، لأن الجاذبية أضعف هناك وقيمة تسارع السقوط الحر أقل.

التقريب المحدد صحيح فقط عند الزوايا الصغيرة ، لأن التعبير عن التسارع الزاوي يتناسب مع جيب الإحداثي:

أنا- لحظة من الجمود؛ في هذه الحالة أنا = مℓ 2 .

مما يجعل التسارع الزاوي يتناسب طرديا مع الزاوية θ ، وهذا يفي بتعريف الحركة التوافقية البسيطة.

1.2 مذبذب توافقي مخفف

بأخذ نفس النموذج كأساس ، نضيف إليه قوة الاحتكاك اللزج. قوة الاحتكاك اللزج موجهة ضد سرعة حركة الحمل بالنسبة للوسط وتتناسب مع هذه السرعة. ثم تكتب القوة الكلية المؤثرة على الحمل على النحو التالي:

عند تنفيذ إجراءات مماثلة ، نحصل على معادلة تفاضلية تصف مذبذبًا مخمدًا:

يتم تقديم التدوين هنا:. يُطلق على المعامل γ ثابت التخميد. كما أن لها أبعاد التردد.

يقع الحل في ثلاث حالات.

• عند الاحتكاك المنخفض (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

، أين هو تردد التذبذبات الحرة.

• التخميد γ = ω 0 يسمى حرج. بدءًا من هذه القيمة لمؤشر التخميد ، سيقوم المذبذب بتنفيذ ما يسمى بالحركة غير التذبذبية. في حالة الحدود ، تحدث الحركة وفقًا للقانون:

• للاحتكاك القوي γ> 0 ، يبدو الحل كما يلي:

، أين

التخميد الحرج ملحوظ لحقيقة أنه أثناء التخميد الحرج يميل المذبذب بسرعة أكبر إلى وضع التوازن. إذا كان الاحتكاك أقل من الاحتكاك الحرج ، فسوف يصل إلى موضع التوازن بشكل أسرع ، ومع ذلك ، فإنه سوف "ينزلق" من خلال القصور الذاتي ، وسوف يتأرجح. إذا كان الاحتكاك أكبر من الحرج ، فإن المذبذب سيميل بشكل كبير إلى وضع التوازن ، ولكن كلما كان الاحتكاك أبطأ ، زاد الاحتكاك.

لذلك ، في مقاييس الاتصال الهاتفي (على سبيل المثال ، في مقاييس أمبير) ، يحاولون عادةً إدخال توهين نقدي دقيق لقراءة قراءاته في أسرع وقت ممكن.

غالبًا ما يتميز التخميد في المذبذب بمعامل بدون أبعاد يسمى عامل الجودة. عادة ما يتم الإشارة إلى عامل الجودة بالحرف س. حسب التعريف ، فإن عامل الجودة هو:

كلما زاد عامل الجودة ، كانت اهتزازات مذبذب تسوس أبطأ.

مذبذب مع التخميد الحرج لديه عامل جودة 0.5. وفقًا لذلك ، يشير عامل الجودة إلى طبيعة سلوك المذبذب. إذا كان عامل الجودة أكبر من 0.5 ، فإن الحركة الحرة للمذبذب هي تذبذب ؛ بمرور الوقت ، سوف يعبر وضع التوازن لعدد غير محدود من المرات. عامل جودة أقل من أو يساوي 0.5 يتوافق مع الحركة غير المتذبذبة للمذبذب ؛ في الحركة الحرة ، سوف يعبر وضع التوازن مرة واحدة على الأكثر.

يُطلق على عامل الجودة أحيانًا اسم كسب المذبذب ، لأنه مع بعض طرق الإثارة ، عندما يتزامن تردد الإثارة مع سعة الرنين ، يتضح أن سعة التذبذب تقارب سمرات أكبر مما لو كان متحمسًا بتردد منخفض.

أيضًا ، يكون عامل الجودة مساويًا تقريبًا لعدد الدورات التذبذبية ، التي ينخفض ​​خلالها سعة التذبذب في همرات مضروبة في π.

في حالة الحركة التذبذبية ، يتميز التوهين أيضًا بمعلمات مثل:

• حياةالتردد عليه وقت التلاشي، هو وقت الاسترخاء. τ هو الوقت الذي تنخفض فيه سعة التذبذب هذات مرة.

τ = 1 / γ يعتبر هذا الوقت هو الوقت اللازم للتخميد (وقف) التذبذبات (على الرغم من استمرار التذبذبات الحرة رسميًا إلى أجل غير مسمى).

2. الاهتزازات القسرية

المقال الرئيسي: الاهتزازات القسرية

تسمى اهتزازات المذبذب قسريًا عند حدوث بعض التأثيرات الخارجية الإضافية عليها. يمكن أن ينتج هذا التأثير بوسائل مختلفة ووفقًا لقوانين مختلفة. على سبيل المثال ، إثارة القوة هي التأثير على الحمل بواسطة قوة تعتمد فقط على الوقت وفقًا لقانون معين. الإثارة الحركية هي العمل على المذبذب بواسطة حركة نقطة تثبيت الزنبرك وفقًا لقانون معين. يكون تأثير الاحتكاك ممكنًا أيضًا - يحدث هذا ، على سبيل المثال ، عندما يتحرك الوسط الذي يمر به الحمل وفقًا لقانون معين.

المؤلفات

Butikov EI التذبذبات الطبيعية لمذبذب خطي. الدورة التعليمية

ملحوظات

علاقة بسيطة حقل بسيط جملة بسيطة رقم أولي.

يشير جيب التمام في حل المعادلة (21.2) إلى أن الحركة التوافقية لها علاقة بالحركة الدائرية. هذه المقارنة ، بالطبع ، مصطنعة ، لأنه في الحركة الخطية لا يوجد مكان للحصول على دائرة: يتحرك الوزن بشكل صارم لأعلى ولأسفل. يمكننا أن نبرر أنفسنا بحقيقة أننا قد حللنا بالفعل معادلة الحركة التوافقية عندما درسنا ميكانيكا الحركة في دائرة. إذا تحرك جسيم على طول دائرة بسرعة ثابتة ، فإن متجه نصف القطر من مركز الدائرة إلى الجسيم يدور بزاوية تتناسب قيمتها مع الوقت. دعنا نشير إلى هذه الزاوية (الشكل 21.2). ثم . ومن المعروف أن التسارع وتوجه نحو المركز. إحداثيات النقطة المتحركة في لحظة معينة هي

ماذا يمكن أن يقال عن التسارع؟ ما هو مكون التسارع؟ يمكن إيجاد هذه القيمة هندسيًا بحتًا: فهي تساوي قيمة التسارع مضروبة في جيب تمام زاوية الإسقاط ؛ قبل التعبير الناتج ، يجب وضع علامة الطرح ، لأن التسارع يتجه نحو المركز:

بعبارة أخرى ، عندما يتحرك جسم ما في دائرة ، يكون للمكون الأفقي للحركة تسارع يتناسب مع الإزاحة الأفقية من المركز. طبعا نعرف حلول حالة الحركة الدائرية:. لا تحتوي المعادلة (21.7) على نصف قطر الدائرة ؛ هو نفسه عند التحرك على طول أي دائرة مع نفس الشيء.

تين. 21.2. جسيم يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة.

وبالتالي ، هناك العديد من الأسباب التي تجعلنا نتوقع أن يكون انحراف الوزن على الزنبرك متناسبًا وستبدو الحركة كما لو كنا نتبع تنسيق جسيم يتحرك في دائرة بسرعة زاوية. يمكنك التحقق من ذلك عن طريق إعداد تجربة لإظهار أن حركة الوزن لأعلى ولأسفل في زنبرك تتوافق تمامًا مع حركة نقطة على طول الدائرة. في التين. 21.3 يبرز ضوء المصباح القوسي على الشاشة ظلال إبرة عالقة في قرص دوار ويتحرك وزن متذبذب عموديًا جنبًا إلى جنب. إذا جعلت الوزن يتأرجح في الوقت المناسب ومن المكان الصحيح ، ثم حددت بدقة سرعة حركة القرص بحيث تتطابق ترددات حركاتها ، فإن الظلال على الشاشة ستتبع واحدًا تلو الآخر تمامًا. إليك طريقة أخرى للتأكد من أننا اقتربنا تقريبًا من جيب التمام بإيجاد حل رقمي.

تين. 21.3. بيان تكافؤ الحركة التوافقية البسيطة والحركة الدائرية المنتظمة.

يمكن التأكيد هنا على أنه نظرًا لأن رياضيات الحركة المنتظمة على طول الدائرة تشبه إلى حد كبير رياضيات الحركة التذبذبية لأعلى ولأسفل ، فسيتم تبسيط تحليل الحركات التذبذبية إلى حد كبير إذا تم تمثيل هذه الحركة كإسقاط للحركة على طول دائرة . بعبارة أخرى ، يمكننا تكملة المعادلة (21.2) ، والتي قد تبدو معادلة زائدة تمامًا عن الحاجة لكلتا المعادلتين والنظر فيها معًا. بعد القيام بذلك ، سنقلل التذبذبات أحادية البعد إلى حركة دائرية ، مما سيوفر علينا حل معادلة تفاضلية. يمكنك القيام بحيلة أخرى - إدخال الأعداد المركبة ، ولكن المزيد عن ذلك في الفصل التالي.

يشير جيب التمام في حل المعادلة (21.2) إلى أن الحركة التوافقية لها علاقة بالحركة الدائرية. هذه المقارنة ، بالطبع ، مصطنعة ، لأنه في الحركة الخطية لا يوجد مكان للحصول على دائرة: يتحرك الوزن بشكل صارم لأعلى ولأسفل. يمكننا أن نبرر أنفسنا بحقيقة أننا قد حللنا بالفعل معادلة الحركة التوافقية عندما درسنا ميكانيكا الحركة في دائرة. إذا كان الجسيم يتحرك على طول دائرة بسرعة ثابتة v ، فإن متجه نصف القطر من مركز الدائرة إلى الجسيم يدور بزاوية يتناسب حجمها مع الوقت. دعنا نشير إلى هذه الزاوية θ = vt / R (الشكل 21.2). ثم dQθ / dt = ω 0 = v / R. من المعروف أن العجلة a = v 2 / R = ω 2 0 R وموجهة نحو المركز. إحداثيات النقطة المتحركة في لحظة معينة هي
x = R cos θ ، y = R sin θ.

ماذا يمكن أن يقال عن التسارع؟ ما المركب x في العجلة ، d 2 x / dt 2؟ يمكن إيجاد هذه القيمة هندسيًا بحتًا: فهي تساوي قيمة التسارع مضروبة في جيب تمام زاوية الإسقاط ؛ قبل التعبير الناتج ، يجب وضع علامة الطرح ، لأن التسارع يتجه نحو المركز:

بعبارة أخرى ، عندما يتحرك جسم ما في دائرة ، يكون للمكون الأفقي للحركة تسارع يتناسب مع الإزاحة الأفقية من المركز. بالطبع ، نعرف حلول حالة الحركة الدائرية: x = R cos ω 0 t. لا تحتوي المعادلة (21.7) على نصف قطر الدائرة ؛ إنه نفس الشيء عند التحرك على طول أي دائرة لنفس ω 0. وبالتالي ، هناك عدة أسباب تجعلنا نتوقع أن يكون انحراف الوزن على الزنبرك متناسبًا مع cos 0 t وستبدو الحركة كما لو كنا نتبع الإحداثي x لجسيم يتحرك في دائرة مع السرعة الزاوية ω 0. يمكنك التحقق من ذلك عن طريق إعداد تجربة لإظهار أن حركة الثقل لأعلى ولأسفل في الزنبرك تتوافق تمامًا مع حركة النقطة على طول الدائرة. في التين. 21.3 يبرز ضوء المصباح القوسي على الشاشة ظلال إبرة عالقة في قرص دوار ويتحرك وزن متذبذب عموديًا جنبًا إلى جنب. إذا جعلت الوزن يتأرجح في الوقت المناسب ومن المكان الصحيح ، ثم حددت بدقة سرعة حركة القرص بحيث تتطابق ترددات حركاتها ، فإن الظلال على الشاشة ستتبع واحدًا تلو الآخر تمامًا. إليك طريقة أخرى للتأكد من أننا اقتربنا تقريبًا من جيب التمام بإيجاد حل رقمي.

يمكن التأكيد هنا على أنه نظرًا لأن رياضيات الحركة المنتظمة على طول الدائرة تشبه إلى حد كبير رياضيات الحركة التذبذبية لأعلى ولأسفل ، فسيتم تبسيط تحليل الحركات التذبذبية إلى حد كبير إذا تم تمثيل هذه الحركة كإسقاط للحركة على طول دائرة . بعبارة أخرى ، يمكننا استكمال المعادلة (21.2) ، والتي قد تبدو معادلة زائدة تمامًا عن y ، والنظر في المعادلتين معًا. بعد القيام بذلك ، سنقلل التذبذبات أحادية البعد إلى حركة دائرية ، مما سيوفر علينا حل معادلة تفاضلية. يمكنك القيام بحيلة أخرى - إدخال الأعداد المركبة ، ولكن المزيد عن ذلك في الفصل التالي.