Διωνυμική κατανομή Οι ιδιότητες και τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της. Ιδιότητες της διωνυμικής κατανομής

Γειά σου! Γνωρίζουμε ήδη τι είναι η κατανομή πιθανοτήτων. Μπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής και μάθαμε ότι ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Τώρα ας εξετάσουμε μερικές πιο κοινές διανομές. Ας πούμε ότι έχω ένα νόμισμα, ένα ωραίο νόμισμα, και θα το γυρίσω 5 φορές. Θα ορίσω επίσης μια τυχαία μεταβλητή Χ, τη συμβολίζω κεφαλαίο γράμμα X, θα είναι ίσος με τον αριθμό των κεφαλιών σε 5 ρίψεις. Ίσως έχω 5 νομίσματα, θα τα γυρίσω όλα με τη μία και θα μετρήσω πόσα κεφάλια θα πάρω. Ή θα μπορούσα να έχω ένα νόμισμα, θα μπορούσα να το γυρίσω 5 φορές και να μετρήσω πόσες φορές πήρα κεφάλια. Δεν έχει μεγάλη σημασία. Αλλά ας υποθέσουμε ότι έχω ένα νόμισμα και θα το γυρίσω 5 φορές. Τότε δεν θα έχουμε αβεβαιότητα. Να λοιπόν ο δικός μου ορισμός τυχαία μεταβλητή. Όπως γνωρίζουμε, μια τυχαία μεταβλητή είναι λίγο διαφορετική από μια συνηθισμένη μεταβλητή, μοιάζει περισσότερο με μια συνάρτηση. Προσδίδει κάποιο νόημα στο πείραμα. Και αυτή η τυχαία μεταβλητή είναι αρκετά απλή. Απλώς μετράμε πόσες φορές ανέβηκαν τα κεφάλια μετά από 5 ρίψεις - αυτή είναι η τυχαία μεταβλητή μας X. Ας σκεφτούμε ποιες θα μπορούσαν να είναι οι πιθανότητες διαφορετικές έννοιεςστην περίπτωσή μας? Λοιπόν, ποια είναι η πιθανότητα ότι το X (κεφαλαίο Χ) είναι 0; Εκείνοι. Ποια είναι η πιθανότητα μετά από 5 ρίψεις να μην υπάρχουν κεφάλια; Λοιπόν, αυτό είναι ουσιαστικά το ίδιο με την πιθανότητα να πάρεις μόνο κεφάλια (αυτό είναι σωστό, μια σύντομη επισκόπηση της θεωρίας πιθανοτήτων). Θα πρέπει να πάρετε μόνο ουρές. Ποια είναι η πιθανότητα καθεμιάς από αυτές τις κεφαλές; Αυτό είναι 1/2. Εκείνοι. Αυτό θα πρέπει να είναι 1/2 επί 1/2, 1/2, 1/2 και 1/2 ξανά. Εκείνοι. (1/2)5. 15=1, διαιρέστε με 25, δηλ. στα 32. Πολύ λογικό. Λοιπόν... Θα επαναλάβω λίγο αυτό που καλύψαμε στη θεωρία πιθανοτήτων. Αυτό είναι σημαντικό για να καταλάβουμε πού κινούμαστε τώρα και πώς, στην πραγματικότητα, διαμορφώνεται. διακριτή κατανομή πιθανότητες. Λοιπόν, ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε "κεφάλια" ακριβώς 1 φορά; Λοιπόν, μπορεί να σηκωθούν κεφάλια με την πρώτη εκτίναξη. Εκείνοι. θα μπορούσε να είναι: «κεφάλια», «ουρές», «ουρές», «ουρές», «ουρές». Ή τα κεφάλια θα μπορούσαν να ανέβουν στη δεύτερη εκτίναξη. Εκείνοι. θα μπορούσε να υπάρχει ένας συνδυασμός όπως αυτός: «ουρές», «κεφάλια», «ουρές», «ουρές», «ουρές» και ούτω καθεξής. Ένα «κεφάλι» θα μπορούσε να ανέβει μετά από οποιαδήποτε από τις 5 πετάξεις. Ποια είναι η πιθανότητα καθεμιάς από αυτές τις καταστάσεις; Η πιθανότητα να πάρει κεφάλια είναι 1/2. Τότε η πιθανότητα να πάρεις κεφαλές, ίση με 1/2, πολλαπλασιάζεται επί 1/2, επί 1/2, επί 1/2. Εκείνοι. η πιθανότητα καθεμιάς από αυτές τις καταστάσεις είναι 1/32. Το ίδιο με την πιθανότητα μιας κατάστασης όπου Χ=0. Ουσιαστικά, η πιθανότητα οποιασδήποτε συγκεκριμένης σειράς κεφαλιών και ουρών θα είναι 1/32. Άρα η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 1/32. Και η πιθανότητα αυτού είναι 1/32. Και τέτοιες καταστάσεις συμβαίνουν επειδή «κεφάλια» θα μπορούσαν να είχαν πέσει σε οποιοδήποτε από τα 5 πετάγματα. Επομένως, η πιθανότητα να εμφανιστεί ακριβώς ένα «κεφάλι» είναι 5*1/32, δηλ. 5/32. Αρκετά λογικό. Τώρα τα πράγματα γίνονται ενδιαφέροντα. Ποια είναι η πιθανότητα... (Θα γράψω κάθε παράδειγμα με διαφορετικό χρώμα)... ποια είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή μου να είναι ίση με 2; Εκείνοι. Πετάω ένα νόμισμα 5 φορές και ποια είναι η πιθανότητα να προσγειωθεί στα κεφάλια ακριβώς 2 φορές; Αυτό είναι πιο ενδιαφέρον, σωστά; Ποιοι συνδυασμοί είναι δυνατοί; Θα μπορούσε να είναι κεφάλια, κεφάλια, ουρές, ουρές, ουρές. Θα μπορούσε επίσης να είναι "κεφάλια", "ουρές", "κεφάλια", "ουρές", "ουρές". Και αν νομίζετε ότι αυτοί οι δύο «αετοί» μπορούν να βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία του συνδυασμού, μπορεί να μπερδευτείτε λίγο. Δεν είναι πλέον δυνατό να σκεφτόμαστε τις τοποθετήσεις όπως κάναμε εδώ παραπάνω. Αν και... μπορείς, αλλά κινδυνεύεις να μπερδευτείς. Πρέπει να καταλάβετε ένα πράγμα. Για καθέναν από αυτούς τους συνδυασμούς η πιθανότητα είναι 1/32. ½*½*½*½*½. Εκείνοι. η πιθανότητα καθενός από αυτούς τους συνδυασμούς είναι 1/32. Και θα πρέπει να σκεφτούμε πόσοι τέτοιοι συνδυασμοί υπάρχουν που ικανοποιούν την κατάστασή μας (2 «κεφάλια»); Εκείνοι. Βασικά, πρέπει να φανταστείτε ότι υπάρχουν 5 πετάξεις ενός κέρματος και πρέπει να επιλέξετε 2 από αυτές στις οποίες εμφανίζονται "κεφάλια". Ας φανταστούμε ότι οι 5 ρίψεις μας είναι μαζεμένες σε κύκλο, και επίσης φανταστείτε ότι έχουμε μόνο δύο καρέκλες. Και λέμε, «Εντάξει, ποιος από εσάς θα καθίσει σε αυτές τις καρέκλες Eagle; Εκείνοι. Ποιος από εσάς θα είναι ο «αετός»; Και δεν μας ενδιαφέρει τι σειρά κάθονται. Δίνω αυτό το παράδειγμα, ελπίζοντας ότι θα σας είναι πιο ξεκάθαρο. Και μπορεί να θέλετε να παρακολουθήσετε μερικά μαθήματα πιθανοτήτων σε αυτό το θέμα όταν μιλάω για το διώνυμο του Νεύτωνα. Γιατί εκεί θα μπω σε όλα αυτά πιο αναλυτικά. Αλλά αν σκεφτείς έτσι, θα καταλάβεις τι είναι διωνυμικός συντελεστής. Γιατί αν σκέφτεσαι έτσι: εντάξει, έχω 5 πετάξεις, ποιο πέταγμα θα πάρει τα πρώτα «κεφάλια»; Λοιπόν, εδώ είναι 5 δυνατότητες αυτού , στο οποίο θα εμφανιστούν τα πρώτα «κεφάλια». Πόσες ευκαιρίες υπάρχουν για έναν δεύτερο αετό; Λοιπόν, η πρώτη εκτίναξη που χρησιμοποιήσαμε ήδη αφαίρεσε μια πιθανότητα να πάρουμε κεφάλια. Εκείνοι. μία θέση κεφαλιού στον συνδυασμό καταλαμβάνεται ήδη από μία από τις ρίψεις. Τώρα απομένουν 4 ρίψεις, που σημαίνει ότι τα δεύτερα «κεφάλια» μπορούν να πέσουν σε μία από τις 4 ρίψεις. Και το είδατε, εδώ. Επέλεξα να είναι κεφαλιές στην 1η εκτίναξη και υπέθεσα ότι 1 από τις 4 εναπομείνασες εκτοξεύσεις θα είχε επίσης ως αποτέλεσμα κεφαλιές. Οπότε υπάρχουν μόνο 4 δυνατότητες εδώ. Το μόνο που λέω είναι ότι για τα πρώτα κεφάλια έχεις 5 διαφορετικές θέσεις στις οποίες μπορεί να προσγειωθεί. Και για το δεύτερο απομένουν μόνο 4 θέσεις. Σκέψου το. Όταν υπολογίζουμε έτσι, λαμβάνεται υπόψη η σειρά. Αλλά για εμάς τώρα δεν έχει σημασία με ποια σειρά πέφτουν τα "κεφάλια" και οι "ουρές". Δεν λέμε ότι είναι τα κεφάλια 1 ή τα κεφάλια 2. Και στις δύο περιπτώσεις είναι μόνο κεφάλια. Θα μπορούσαμε να μαντέψουμε ότι αυτό είναι το Heads 1 και αυτό είναι το Heads 2. Ή θα μπορούσε να είναι το αντίστροφο: αυτός θα μπορούσε να είναι ο δεύτερος «αετός» και αυτός θα μπορούσε να είναι ο «πρώτος». Και το λέω αυτό γιατί είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πού να χρησιμοποιήσουμε τοποθετήσεις και πού να χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς. Δεν μας ενδιαφέρει η συνέπεια. Έτσι, στην πραγματικότητα, υπάρχουν μόνο 2 τρόποι που μπορεί να συμβεί το συμβάν μας. Έτσι το διαιρούμε με το 2. Και όπως θα δείτε στη συνέχεια, υπάρχουν 2! τρόποι προέλευσης της εκδήλωσής μας. Αν υπήρχαν 3 κεφάλια, τότε θα ήταν 3 εδώ!, και θα σας δείξω γιατί. Άρα, αυτό θα ισούται με... 5*4=20 και διαιρείται με το 2 - παίρνετε 10. Άρα υπάρχουν 10 διαφορετικοί συνδυασμοί από τους 32 στους οποίους θα έχετε σίγουρα 2 κεφαλές. Λοιπόν, 10*(1/32) ισούται με 10/32, τι ισούται; 5/16. Θα το γράψω με όρους διωνυμικού συντελεστή. Αυτή είναι η τιμή εδώ στην κορυφή. Αν το σκεφτείτε, αυτό είναι το ίδιο με το 5!, διαιρούμενο με... Τι σημαίνει αυτό το 5 * 4; 5! – αυτό είναι 5*4*3*2*1. Εκείνοι. αν χρειάζομαι μόνο 5*4 εδώ, τότε μπορώ να διαιρέσω το 5 για αυτό! κατά 3! Αυτό ισούται με 5*4*3*2*1 διαιρούμενο με 3*2*1. Και απομένει μόνο 5*4. Αυτός λοιπόν είναι ο ίδιος με αυτόν τον αριθμητή. Και μετά, γιατί Δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, εδώ χρειαζόμαστε 2. Στην πραγματικότητα, 2!. Πολλαπλασιάστε με το 1/32. Αυτή θα ήταν η πιθανότητα να παίρναμε ακριβώς 2 κεφάλια. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε κεφάλια ακριβώς 3 φορές; Εκείνοι. η πιθανότητα ότι Χ=3. Έτσι, με την ίδια λογική, η πρώτη περίπτωση κεφαλιών μπορεί να συμβεί σε 1 στις 5 ρίψεις. Η δεύτερη περίπτωση κεφαλιών μπορεί να συμβεί σε 1 από τις 4 εναπομείνασες ρίψεις. Και η τρίτη περίπτωση «κεφαλιών» μπορεί να συμβεί σε 1 από τις 3 εναπομείνασες ρίψεις. Πόσα υπάρχουν; με διάφορους τρόπουςκανονίζω 3 ρίψεις; Γενικά πόσοι τρόποι υπάρχουν για να βάλουμε 3 αντικείμενα στη θέση τους; Είναι 3! Και μπορείτε να το καταλάβετε ή ίσως θέλετε να αναθεωρήσετε εκείνα τα μαθήματα όπου το εξήγησα με περισσότερες λεπτομέρειες. Αν όμως, για παράδειγμα, πάρετε τα γράμματα Α, Β και Γ, τότε υπάρχουν συνολικά 6 τρόποι με τους οποίους μπορείτε να τα τακτοποιήσετε. Μπορείτε να τα σκεφτείτε αυτά ως περιπτώσεις κεφαλιών. Θα μπορούσε να υπάρχει ACB, CAB εδώ. Θα μπορούσε να είναι BAC, BCA και... Ποια τελευταία επιλογή, που δεν κατονόμασα; CBA. Υπάρχουν 6 τρόποι να τακτοποιήσεις 3 διαφορετικά αντικείμενα. Διαιρούμε με το 6 γιατί δεν θέλουμε να ξαναμετρήσουμε αυτά τα 6 διαφορετικοί τρόποι, γιατί τα θεωρούμε ισοδύναμα. Εδώ δεν μας ενδιαφέρει ποια εκτίναξη θα έχει ως αποτέλεσμα κεφάλια. 5*4*3... Αυτό μπορεί να ξαναγραφτεί ως 5!/2!. Και διαιρέστε το με άλλα 3!. Αυτός είναι. 3! ισούται με 3*2*1. Τα τριάρια μειώνονται. Αυτό γίνεται ίσο με 2. Αυτό γίνεται ίσο με 1. Για άλλη μια φορά, 5*2, δηλ. ισούται με 10. Κάθε κατάσταση έχει πιθανότητα 1/32, άρα αυτή είναι και πάλι ίση με 5/16. Και αυτό είναι ενδιαφέρον. Η πιθανότητα να πάρετε 3 κεφάλια είναι την πιθανότηταότι έχεις 2 κεφάλια. Και ο λόγος για αυτό... Λοιπόν, υπάρχουν πολλοί λόγοι που συνέβη αυτό. Αλλά αν το σκεφτείς, η πιθανότητα να πάρεις 3 κεφάλια είναι ίδια με την πιθανότητα να πάρεις 2 ουρές. Και η πιθανότητα να πάρεις 3 κεφάλια θα πρέπει να είναι ίδια με την πιθανότητα να πάρεις 2 κεφάλια. Και είναι καλό που οι αξίες λειτουργούν έτσι. Πρόστιμο. Ποια είναι η πιθανότητα ότι X=4; Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τύπο που χρησιμοποιούσαμε πριν. Θα μπορούσε να είναι 5*4*3*2. Εδώ λοιπόν γράφουμε 5*4*3*2... Πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να τακτοποιήσουμε 4 αντικείμενα; Αυτό είναι 4!. 4! - αυτό είναι, στην πραγματικότητα, αυτό το μέρος, ακριβώς εδώ. Αυτό είναι 4*3*2*1. Έτσι, αυτό μειώνεται, αφήνοντας 5. Τότε, κάθε συνδυασμός έχει πιθανότητα 1/32. Εκείνοι. αυτό είναι ίσο με 5/32. Και σημειώστε ξανά ότι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια 4 φορές είναι ίση με την πιθανότητα να πάρει κεφάλια 1 φορά. Και αυτό είναι λογικό, γιατί... 4 κεφάλια είναι το ίδιο με το να πάρεις 1 ουρά. Λέτε: καλά, σε τι ρίψη θα ανέβει αυτή η «ουρά»; Ναι, υπάρχουν 5 διαφορετικοί συνδυασμοί για αυτό. Και το καθένα από αυτά έχει πιθανότητα 1/32. Και τέλος, ποια είναι η πιθανότητα ότι Χ=5; Εκείνοι. τα κεφάλια εμφανίζονται 5 φορές στη σειρά. Θα πρέπει να είναι έτσι: "αετός", "αετός", "αετός", "αετός", "αετός". Κάθε ένα από τα κεφάλια έχει πιθανότητα 1/2. Τα πολλαπλασιάζεις και παίρνεις 1/32. Μπορείτε να πάτε με άλλο τρόπο. Εάν υπάρχουν 32 τρόποι με τους οποίους μπορείτε να αποκτήσετε κεφάλια και ουρές σε αυτά τα πειράματα, τότε αυτός είναι μόνο ένας από αυτούς τους τρόπους. Εδώ υπήρχαν 5 τέτοιες μέθοδοι από τις 32. Εδώ - 10 από τις 32. Ωστόσο, πραγματοποιήσαμε τους υπολογισμούς και τώρα είμαστε έτοιμοι να σχεδιάσουμε την κατανομή πιθανοτήτων. Αλλά ο χρόνος μου τελείωσε. Επιτρέψτε μου να συνεχίσω στο επόμενο μάθημα. Και αν έχεις διάθεση, μπορείς να ζωγραφίσεις πριν δεις το επόμενο μάθημα; Τα λέμε σύντομα!

Κεφάλαιο 7.

Συγκεκριμένοι νόμοι κατανομής τυχαίων μεταβλητών

Τύποι νόμων κατανομής διακριτών τυχαίων μεταβλητών

Αφήστε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή να λάβει τις τιμές Χ 1 , Χ 2 , …, x n,…. Οι πιθανότητες αυτών των τιμών μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας διάφορους τύπους, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τα βασικά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, τον τύπο του Bernoulli ή κάποιους άλλους τύπους. Για ορισμένους από αυτούς τους τύπους, ο νόμος διανομής έχει το δικό του όνομα.

Οι πιο συνηθισμένοι νόμοι κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ο διωνυμικός, ο γεωμετρικός, ο υπεργεωμετρικός και ο νόμος κατανομής Poisson.

Διωνυμικός νόμος κατανομής

Αφήστε το να παραχθεί nανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες μπορεί να εμφανιστεί ή όχι το συμβάν ΕΝΑ. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι σταθερή, δεν εξαρτάται από τον αριθμό δοκιμής και είναι ίση με R=R(ΕΝΑ). Εξ ου και η πιθανότητα να μην συμβεί το συμβάν ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι επίσης σταθερή και ίση q=1–R. Θεωρήστε την τυχαία μεταβλητή Χίσο με τον αριθμό των περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑ V nδοκιμές. Προφανώς, οι τιμές αυτής της ποσότητας είναι ίσες

Χ 1 =0 – γεγονός ΕΝΑ V nοι δοκιμές δεν εμφανίστηκαν.

Χ 2 =1 – γεγονός ΕΝΑ V nεμφανίστηκε μια φορά σε δοκιμές.

Χ 3 =2 – γεγονός ΕΝΑ V nοι δοκιμές εμφανίστηκαν δύο φορές.

…………………………………………………………..

x n +1 = n- Εκδήλωση ΕΝΑ V nόλα εμφανίστηκαν κατά τη διάρκεια των δοκιμών nμια φορά.

Οι πιθανότητες αυτών των τιμών μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli (4.1):

Οπου Προς την=0, 1, 2, …,n .

Διωνυμικός νόμος κατανομής Χ, ίσο με τον αριθμόεπιτυχία σε nΔοκιμές Bernoulli, με πιθανότητα επιτυχίας R.

Άρα, μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει διωνυμική κατανομή (ή κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο) εάν οι πιθανές τιμές της είναι 0, 1, 2, ..., n, και οι αντίστοιχες πιθανότητες υπολογίζονται με τον τύπο (7.1).

Διωνυμική κατανομήεξαρτάται από δύο Παράμετροι RΚαι n.

Η σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο έχει τη μορφή:

Χ			…	κ	…	n
R			…		…

Παράδειγμα 7.1 . Τρεις ανεξάρτητες βολές εκτοξεύονται στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε κάθε βολή είναι 0,4. Τυχαία τιμή Χ– αριθμός χτυπημάτων στο στόχο. Κατασκευάστε τη σειρά διανομής του.

Λύση. Πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χείναι Χ 1 =0; Χ 2 =1; Χ 3 =2; Χ 4 = 3. Ας βρούμε τις αντίστοιχες πιθανότητες χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli. Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι η χρήση αυτής της φόρμουλας εδώ είναι απολύτως δικαιολογημένη. Σημειώστε ότι η πιθανότητα να μην χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή θα είναι ίση με 1-0,4=0,6. Παίρνουμε

Η σειρά διανομής έχει επόμενη προβολή:

Χ
R	0,216	0,432	0,288	0,064

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1. Η ίδια η τυχαία μεταβλητή Χκατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο. ■

Θα βρούμε αναμενόμενη αξίακαι τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο.

Κατά την επίλυση του παραδείγματος 6.5, φάνηκε ότι η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων του γεγονότος ΕΝΑ V n ανεξάρτητα τεστ, εάν η πιθανότητα εμφάνισης ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και ίση R, ίσον n· R

Αυτό το παράδειγμα χρησιμοποίησε μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο. Επομένως, η λύση στο Παράδειγμα 6.5 είναι ουσιαστικά μια απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος.

Θεώρημα 7.1.Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας «επιτυχίας», δηλ. Μ(Χ)=n· R.

Θεώρημα 7.2.Η διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών με την πιθανότητα «επιτυχίας» και την πιθανότητα «αποτυχίας», δηλ. ρε(Χ)=nрq.

Η ασυμμετρία και η κύρτωση μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο καθορίζονται από τους τύπους

Αυτοί οι τύποι μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας την έννοια των αρχικών και κεντρικών ροπών.

Ο νόμος της διωνυμικής κατανομής βασίζεται σε πολλά πραγματικές καταστάσεις. Στο μεγάλες αξίες nΗ διωνυμική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας άλλες κατανομές, ιδιαίτερα την κατανομή Poisson.

Κατανομή Poisson

Ας υπάρχει nΔοκιμές Bernoulli, με τον αριθμό των δοκιμών nαρκετά μεγάλο. Φάνηκε νωρίτερα ότι σε αυτή την περίπτωση (αν, επιπλέον, η πιθανότητα Rεκδηλώσεις ΕΝΑπολύ μικρό) για να βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν ΕΝΑνα εμφανιστεί ΤΜετά τις δοκιμές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Poisson (4.9). Αν η τυχαία μεταβλητή Χσημαίνει τον αριθμό των περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑ V nΟ Μπερνούλι δοκιμάζει και μετά την πιθανότητα Χθα πάρει την αξία κμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

, (7.2)

Οπου λ = nр.

Νόμος διανομής Poissonονομάζεται κατανομή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ, για τις οποίες οι πιθανές τιμές είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και οι πιθανότητες r tαυτές οι τιμές βρίσκονται χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.2).

Μέγεθος λ = nрπου ονομάζεται παράμετροςΔιανομές Poisson.

Μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson μπορεί να πάρει άπειρο σύνολοαξίες. Αφού για αυτή την κατανομή η πιθανότητα RΗ εμφάνιση ενός συμβάντος σε κάθε δοκιμή είναι μικρή, οπότε αυτή η κατανομή ονομάζεται μερικές φορές νόμος των σπάνιων γεγονότων.

Η σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson έχει τη μορφή

Χ					…	Τ	…
R					…		…

Είναι εύκολο να επαληθεύσετε ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων της δεύτερης σειράς είναι ίσο με 1. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να θυμάστε ότι η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Maclaurin, η οποία συγκλίνει για οποιαδήποτε Χ. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηέχουμε

. (7.3)

Όπως σημειώθηκε, ο νόμος του Poisson αντικαθιστά τον διωνυμικό νόμο σε ορισμένες περιοριστικές περιπτώσεις. Ένα παράδειγμα είναι η τυχαία μεταβλητή Χ, οι τιμές των οποίων είναι ίσες με τον αριθμό των αστοχιών για μια ορισμένη χρονική περίοδο κατά την επαναλαμβανόμενη χρήση μιας τεχνικής συσκευής. Υποτίθεται ότι πρόκειται για μια εξαιρετικά αξιόπιστη συσκευή, δηλ. Η πιθανότητα αποτυχίας σε μία εφαρμογή είναι πολύ μικρή.

Εκτός από τέτοιες περιοριστικές περιπτώσεις, στην πράξη υπάρχουν τυχαίες μεταβλητές που κατανέμονται σύμφωνα με το νόμο του Poisson που δεν σχετίζονται με τη διωνυμική κατανομή. Για παράδειγμα, η διανομή Poisson χρησιμοποιείται συχνά όταν ασχολείται με τον αριθμό των γεγονότων που συμβαίνουν σε μια χρονική περίοδο (ο αριθμός των κλήσεων που λαμβάνονται σε ένα τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια μιας ώρας, ο αριθμός των αυτοκινήτων που φτάνουν σε ένα πλυντήριο αυτοκινήτων κατά τη διάρκεια μιας ημέρας, αριθμός στάσεων μηχανής ανά εβδομάδα, κ.λπ. .). Όλα αυτά τα γεγονότα θα πρέπει να αποτελούν τη λεγόμενη ροή γεγονότων, η οποία είναι μια από τις βασικές έννοιες της θεωρίας ουρά. Παράμετρος λ χαρακτηρίζει τη μέση ένταση της ροής των γεγονότων.

Φυσικά, κατά τον υπολογισμό της συνάρτησης αθροιστικής κατανομής, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την αναφερόμενη σύνδεση μεταξύ της διωνυμικής και της beta κατανομής. Αυτή η μέθοδος είναι προφανώς καλύτερη από την άμεση άθροιση όταν n > 10.

Στα κλασικά εγχειρίδια στατιστικής, για να ληφθούν οι τιμές της διωνυμικής κατανομής, συνιστάται συχνά η χρήση τύπων που βασίζονται σε οριακά θεωρήματα (όπως ο τύπος Moivre-Laplace). πρέπει να σημειωθεί ότι από καθαρά υπολογιστική άποψηη τιμή αυτών των θεωρημάτων είναι κοντά στο μηδέν, ειδικά τώρα, όταν σχεδόν κάθε γραφείο έχει έναν ισχυρό υπολογιστή. Το κύριο μειονέκτημα των παραπάνω προσεγγίσεων είναι η εντελώς ανεπαρκής ακρίβειά τους για τιμές n χαρακτηριστικών των περισσότερων εφαρμογών. Εξίσου μειονέκτημα είναι η έλλειψη σαφών συστάσεων σχετικά με τη δυνατότητα εφαρμογής αυτής ή της άλλης προσέγγισης (τα τυπικά κείμενα παρέχουν μόνο ασυμπτωτικές διατυπώσεις· δεν συνοδεύονται από εκτιμήσεις ακρίβειας και, επομένως, είναι ελάχιστα χρήσιμα). Θα έλεγα ότι και οι δύο τύποι είναι κατάλληλοι μόνο για n< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

Δεν εξετάζω εδώ το πρόβλημα της εύρεσης ποσοστών: για διακριτές κατανομές είναι ασήμαντο, και σε εκείνα τα προβλήματα όπου προκύπτουν τέτοιες κατανομές, κατά κανόνα, δεν είναι σχετικό. Εάν εξακολουθούν να χρειάζονται ποσοστάσια, προτείνω να επαναδιατυπώσετε το πρόβλημα με τέτοιο τρόπο ώστε να λειτουργεί με τιμές p (παρατηρούμενες σημασίες). Ακολουθεί ένα παράδειγμα: κατά την εφαρμογή ορισμένων αλγορίθμων ωμής δύναμης, σε κάθε βήμα πρέπει να ελέγχετε στατιστική υπόθεσηγια μια διωνυμική τυχαία μεταβλητή. Σύμφωνα με κλασική προσέγγισηΣε κάθε βήμα, πρέπει να υπολογίσετε τη στατιστική του κριτηρίου και να συγκρίνετε την τιμή του με το όριο του κρίσιμου συνόλου. Επειδή, ωστόσο, ο αλγόριθμος είναι εξαντλητικός, είναι απαραίτητο να προσδιορίζεται εκ νέου το όριο του κρίσιμου συνόλου κάθε φορά (εξάλλου, το μέγεθος του δείγματος αλλάζει από βήμα σε βήμα), γεγονός που αυξάνει μη παραγωγικά το κόστος χρόνου. Σύγχρονη προσέγγισησυνιστά τον υπολογισμό της παρατηρούμενης σημασίας και τη σύγκρισή της με πιθανότητα εμπιστοσύνης, εξοικονόμηση κατά την αναζήτηση μεριδίων.

Επομένως, στους παρακάτω κωδικούς δεν υπάρχει υπολογισμός της αντίστροφης συνάρτησης, αντίθετα, δίνεται η συνάρτηση rev_binomialDF, η οποία υπολογίζει την πιθανότητα p επιτυχίας σε μια μεμονωμένη δοκιμή δεδομένου του δεδομένου αριθμού n δοκιμών, του αριθμού m επιτυχιών σε αυτές και την τιμή y της πιθανότητας απόκτησης αυτών των m επιτυχιών. Αυτό χρησιμοποιεί την προαναφερθείσα σύνδεση μεταξύ της διωνυμικής και βήτα κατανομής.

Στην πραγματικότητα, αυτή η λειτουργία σάς επιτρέπει να λαμβάνετε τα όρια των διαστημάτων εμπιστοσύνης. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι σε n διωνυμικές δοκιμές έχουμε m επιτυχίες. Όπως είναι γνωστό, το αριστερό περίγραμμα μιας διπλής όψης διάστημα εμπιστοσύνηςγια την παράμετρο p με επίπεδο εμπιστοσύνης είναι ίση με 0 εάν m = 0, και για είναι μια λύση της εξίσωσης . Ομοίως, το δεξιό φράγμα είναι 1 αν m = n, και για είναι λύση της εξίσωσης . Από αυτό προκύπτει ότι για να βρούμε το αριστερό όριο πρέπει να λύσουμε τη σχετική εξίσωση , και για να βρείτε το σωστό – την εξίσωση . Επιλύονται στις συναρτήσεις binom_leftCI και binom_rightCI, οι οποίες επιστρέφουν τα άνω και κάτω όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης δύο όψεων, αντίστοιχα.

Θα ήθελα να σημειώσω ότι εάν δεν χρειάζεστε απολύτως απίστευτη ακρίβεια, τότε για αρκετά μεγάλα n μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη προσέγγιση [B.L. van der Waerden, Μαθηματική Στατιστική. Μ: IL, 1960, κεφ. 2, ενότητα 7]: , όπου g – ποσοστό κανονική κατανομή. Η τιμή αυτής της προσέγγισης είναι ότι υπάρχουν πολύ απλές προσεγγίσεις που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε ποσοστά μιας κανονικής κατανομής (δείτε το κείμενο για τον υπολογισμό της κανονικής κατανομής και την αντίστοιχη ενότητα αυτού του βιβλίου αναφοράς). Στην πρακτική μου (κυρίως με n > 100), αυτή η προσέγγιση έδωσε περίπου 3-4 ψηφία, τα οποία, κατά κανόνα, είναι αρκετά.

Για να υπολογίσετε χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους κωδικούς, θα χρειαστείτε τα αρχεία betaDF.h, betaDF.cpp (δείτε την ενότητα για τη διανομή beta), καθώς και τα logGamma.h, logGamma.cpp (βλ. Παράρτημα A). Μπορείτε επίσης να δείτε ένα παράδειγμα χρήσης των συναρτήσεων.

Αρχείο binomialDF.h

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(διπλές δοκιμές, διπλές επιτυχίες, διπλό p); /* * Ας γίνουν «δοκιμές» ανεξάρτητων παρατηρήσεων * με πιθανότητα «ρ» επιτυχίας σε καθεμία. * Υπολογίστε την πιθανότητα B(επιτυχίες|δοκιμές,p) ότι ο αριθμός των * επιτυχιών βρίσκεται μεταξύ 0 και "επιτυχίες" (συμπεριλαμβανομένων). */ double rev_binomialDF(διπλές δοκιμές, διπλές επιτυχίες, διπλό y); /* * Έστω γνωστή η πιθανότητα y τουλάχιστον m επιτυχιών * σε δοκιμές που δοκιμάζουν το σχήμα Bernoulli. Η συνάρτηση βρίσκει την πιθανότητα p* επιτυχίας σε μια μεμονωμένη δοκιμή. * * Η ακόλουθη σχέση χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς * * 1 - p = rev_Beta(δοκιμές-επιτυχίες| επιτυχίες+1, y). */ double binom_leftCI(διπλές δοκιμές, διπλές επιτυχίες, διπλό επίπεδο); /* Έστω "δοκιμές" ανεξάρτητων παρατηρήσεων * με πιθανότητα "p" επιτυχίας σε κάθε * και τον αριθμό των επιτυχιών ίσο με "επιτυχίες". * Το αριστερό όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης δύο όψεων υπολογίζεται * με το επίπεδο σημαντικότητας. */ double binom_rightCI(διπλό n, διπλές επιτυχίες, διπλό επίπεδο); /* Έστω "δοκιμές" ανεξάρτητων παρατηρήσεων * με πιθανότητα "p" επιτυχίας σε κάθε * και τον αριθμό των επιτυχιών ίσο με "επιτυχίες". * Το δεξιό όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης δύο όψεων υπολογίζεται * με το επίπεδο σημαντικότητας. */ #endif /* Τέλος #ifndef __BINOMIAL_H__ */

Αρχείο binomialDF.cpp

/**************************************************** * *********/ /* Διωνυμική κατανομή */ /******************************** * **************************/ #περιλαμβάνω #περιλαμβάνω #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * Έστω "n" ανεξάρτητες παρατηρήσεις * με πιθανότητα "p" επιτυχίας σε καθεμία. * Η πιθανότητα B(m|n,p) υπολογίζεται ότι ο αριθμός των επιτυχιών είναι * μεταξύ 0 και "m" (συμπεριλαμβανομένου), δηλ. * άθροισμα διωνυμικών πιθανοτήτων από 0 έως m: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * Οι υπολογισμοί δεν συνεπάγονται αμβλύ άθροισμα - * χρησιμοποιείται η ακόλουθη σχέση με την κεντρική βήτα κατανομή: * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1). * * Τα επιχειρήματα πρέπει να είναι θετικά, με 0<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (σελ<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= n) επιστροφή 1; αλλιώς επιστροφή BetaDF(n-m, m+1).value(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * Έστω η πιθανότητα y τουλάχιστον m επιτυχιών * σε n δοκιμές του σχήματος Bernoulli. Η συνάρτηση βρίσκει την πιθανότητα p* επιτυχίας σε μια μεμονωμένη δοκιμή. * * Η ακόλουθη σχέση χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1). */ ( assert((n > 0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0) && (y<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0,5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0,5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

Κατανομές πιθανοτήτων διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Διωνυμική κατανομή. Κατανομή Poisson. Γεωμετρική κατανομή. Λειτουργία δημιουργίας.

6. Κατανομές πιθανοτήτων διακριτών τυχαίων μεταβλητών

6.1. Διωνυμική κατανομή

Αφήστε το να παραχθεί nανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση ΕΝΑΜπορεί να εμφανίζεται μπορεί και όχι. Πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑσε όλα τα τεστ είναι σταθερή και δεν αλλάζει από τεστ σε τεστ. Θεωρήστε ως τυχαία μεταβλητή X τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος ΕΝΑσε αυτές τις δοκιμές. Τύπος για να βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑλείος κμια φορά κάθε nοι δοκιμές, όπως είναι γνωστό, περιγράφονται Ο τύπος του Bernoulli

Η κατανομή πιθανότητας που ορίζεται από τον τύπο του Bernoulli ονομάζεται διωνυμικός .

Αυτός ο νόμος ονομάζεται "διωνυμικός" επειδή η δεξιά πλευρά μπορεί να θεωρηθεί ως γενικός όρος στην επέκταση του διωνύμου του Νεύτωνα

Ας γράψουμε τον νόμο του διωνύμου σε μορφή πίνακα

	Π n	n.p. n –1 q				q n

Ας βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά αυτής της κατανομής.

Εξ ορισμού της μαθηματικής προσδοκίας για το DSV, έχουμε

.

Ας γράψουμε την ισότητα, η οποία είναι δυαδικό του Newton

.

και να το διαφοροποιήσετε ως προς το p. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

.

Ας πολλαπλασιάσουμε το αριστερό και σωστη πλευραεπί Π:

.

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι Π+ q=1, έχουμε

(6.2)

Ετσι, μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων γεγονότων σεnανεξάρτητες δοκιμές ισούται με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμώνnσχετικά με την πιθανότηταΠεμφάνιση ενός συμβάντος σε κάθε δοκιμή.

Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

Για αυτό θα βρούμε

.

Ας διαφοροποιήσουμε πρώτα τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα δύο φορές σε σχέση με Π:

και πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας επί Π 2:

Ως εκ τούτου,

Άρα, η διακύμανση της διωνυμικής κατανομής είναι

. (6.3)

Αυτά τα αποτελέσματα μπορούν επίσης να προκύψουν από καθαρά ποιοτική συλλογιστική. Ο συνολικός αριθμός X των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε όλες τις δοκιμές είναι το άθροισμα του αριθμού των εμφανίσεων του συμβάντος σε μεμονωμένες δοκιμές. Επομένως, εάν Χ 1 είναι ο αριθμός των περιστατικών του γεγονότος στην πρώτη δοκιμή, Χ 2 - στη δεύτερη, κ.λπ., τότε συνολικός αριθμόςοι εμφανίσεις του συμβάντος Α σε όλες τις δοκιμές είναι ίσες με X=X 1 +X 2 +…+X n. Σύμφωνα με την ιδιότητα της μαθηματικής προσδοκίας:

Καθένας από τους όρους στη δεξιά πλευρά της ισότητας είναι η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των γεγονότων σε μία δοκιμή, η οποία είναι ίση με την πιθανότητα του συμβάντος. Ετσι,

Σύμφωνα με την ιδιότητα διασποράς:

Από , και η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής , που μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές, δηλαδή 1 2 με πιθανότητα Πκαι 0 2 με πιθανότητα q, Οτι
. Ετσι,
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε

Χρησιμοποιώντας την έννοια των αρχικών και κεντρικών ροπών, μπορούμε να λάβουμε τύπους για ασυμμετρία και κύρτωση:

. (6.4)

Ρύζι. 6.1

Το πολύγωνο της διωνυμικής κατανομής έχει την εξής μορφή (βλ. Εικ. 6.1). ΠιθανότηταΠ n (κ) πρώτα αυξάνεται με την αύξηση κ, φτάνει υψηλότερη τιμήκαι μετά αρχίζει να μειώνεται. Η διωνυμική κατανομή είναι λοξή εκτός από την περίπτωση Π=0,5. Σημειώστε ότι όταν μεγάλος αριθμόςδοκιμές nΗ διωνυμική κατανομή είναι πολύ κοντά στην κανονική. (Το σκεπτικό αυτής της πρότασης σχετίζεται με το τοπικό θεώρημα του Moivre-Laplace.)

ΑριθμόςΜ 0 η εμφάνιση ενός γεγονότος ονομάζεταιπιθανοτερο , εάν η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός έναν δεδομένο αριθμό φορών σε αυτήν τη σειρά δοκιμών είναι η μεγαλύτερη (μέγιστη στο πολύγωνο κατανομής). Για διωνυμική κατανομή

Σχόλιο. Αυτή η ανισότητα μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τύπος υποτροπήςγια διωνυμικές πιθανότητες:

(6.6)

Παράδειγμα 6.1.Το μερίδιο των προϊόντων premium σε αυτήν την επιχείρηση είναι 31%. Ποιες είναι οι μαθηματικές προσδοκίες και διακύμανση, καθώς και ο πιο πιθανός αριθμός προϊόντων premium σε μια τυχαία επιλεγμένη παρτίδα 75 προϊόντων;

Λύση. Επειδή η Π=0,31, q=0,69, n=75, λοιπόν

Μ[ Χ] = n.p.= 750,31 = 23,25; ΡΕ[ Χ] = npq = 750,310,69 = 16,04.

Για να βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό Μ 0, ας δημιουργήσουμε διπλή ανισότητα

Από αυτό προκύπτει ότι Μ 0 = 23.