Σφαιρική τριγωνομετρία

Μαθηματικός κλάδος που μελετά τις σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών σφαιρικών τριγώνων (βλ. Σφαιρική γεωμετρία). Ας είναι ΑΛΛΑ, ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ -γωνίες και α, β, γ -απέναντι πλευρές ενός σφαιρικού τριγώνου αλφάβητο(εκ. ρύζι. ). Οι γωνίες και οι πλευρές ενός σφαιρικού τριγώνου συνδέονται με τους ακόλουθους βασικούς τύπους του S. t.:

συν ένα= κοσ σισυν με+ αμαρτία σιαμαρτία μεσυν ΑΛΛΑ, (2)

συν Α=-συν B cos С+ αμαρτία σιαμαρτία Μεσυν ένα, (2 1)

αμαρτία ένασυν Β = cosbαμαρτία ντο-αμαρτία σισυν μεσυν ΑΛΛΑ, (3)

αμαρτία ΑΛΛΑσυν σι= κοσ σιαμαρτία ντο+ αμαρτία σισυν Μεσυν ένα; (3 1)

σε αυτούς τους τύπους α, β, γμετρούμενα από τις αντίστοιχες κεντρικές γωνίες, τα μήκη αυτών των πλευρών είναι αντίστοιχα ίσα aR, bR, cR,που R-ακτίνα σφαίρας. Αλλαγή των χαρακτηρισμών των γωνιών (και των πλευρών) σύμφωνα με τον κανόνα της κυκλικής μετάθεσης: ΑΛΛΑ→ΣΤΟ→Με→ΑΛΛΑ(ένα→σι→με→ένα), είναι δυνατόν να γραφούν και άλλοι τύποι του Σ. τ., παρόμοιοι με αυτούς που υποδεικνύονται. Οι τύποι των σφαιρικών τριγώνων καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό των υπόλοιπων τριών στοιχείων από οποιαδήποτε τρία στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου (για την επίλυση του τριγώνου).

Για ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα ( ΑΛΛΑ= 90°, ένα -υποτείνουσα, προ ΧΡΙΣΤΟΥ - legs) οι τύποι του S. t. απλοποιούνται, για παράδειγμα:

αμαρτία σι= αμαρτία ένααμαρτία ΣΤΟ, (1")

συν α =συν σισυν ντο, (2")

αμαρτία ένασυν Β=συν σιαμαρτία ντο. (3")

Για να αποκτήσετε τύπους που συνδέουν τα στοιχεία ενός ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο μνημονικό κανόνα (κανόνας Napier): εάν αντικαταστήσετε τα σκέλη ενός ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου με τα συμπληρώματά τους και τακτοποιήσετε τα στοιχεία του τριγώνου (εκτός τη σωστή γωνία ΑΛΛΑ) σε κύκλο με τη σειρά με την οποία βρίσκονται σε τρίγωνο (δηλαδή ως εξής: Εσύ, 90° - σι, 90 ° - c), τότε το συνημίτονο κάθε στοιχείου είναι ίσο με το γινόμενο των ημιτόνων μη γειτονικών στοιχείων, για παράδειγμα,

συν ένα= αμαρτία (90° - με) αμαρτία (90° - σι)

ή, μετά τη μεταμόρφωση,

συν α =συν σισυν με(τύπος 2").

Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι ακόλουθοι τύποι Delambre είναι βολικοί, που συνδέουν και τα έξι στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου:

Κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων σφαιρικής αστρονομίας, ανάλογα με την απαιτούμενη ακρίβεια, συχνά αρκεί η χρήση κατά προσέγγιση τύπων: για μικρά σφαιρικά τρίγωνα (δηλαδή εκείνα των οποίων οι πλευρές είναι μικρές σε σύγκριση με την ακτίνα της σφαίρας), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους Επίπεδης τριγωνομετρίας? για στενά σφαιρικά τρίγωνα (δηλαδή αυτά με μια πλευρά, για παράδειγμα ένα,μικρό σε σύγκριση με άλλα) χρησιμοποιήστε τους ακόλουθους τύπους:

(3’’)

ή πιο ακριβείς τύπους:

Το S. t. προέκυψε πολύ νωρίτερα από την επίπεδη τριγωνομετρία. Οι ιδιότητες των ορθογώνιων σφαιρικών τριγώνων, που εκφράζονται με τους τύπους (1")-(3"), και διάφορες περιπτώσεις επίλυσής τους ήταν γνωστές ακόμη και στους Έλληνες επιστήμονες Μενέλαο (1ος αιώνας) και Πτολεμαίο (2ος αιώνας). Οι Έλληνες επιστήμονες ανήγαγαν τη λύση των λοξών σφαιρικών τριγώνων στη λύση των ορθογώνιων. Ο Αζερμπαϊτζάν επιστήμονας Nasiraddin Tuei (13ος αιώνας) εξέτασε συστηματικά όλες τις περιπτώσεις επίλυσης λοξών σφαιρικών τριγώνων, υποδεικνύοντας για πρώτη φορά τη λύση σε δύο από τις πιο δύσκολες περιπτώσεις. Οι βασικοί τύποι για τα λοξά σφαιρικά τρίγωνα βρέθηκαν από τον Άραβα επιστήμονα Abul-Vefa (10ος αιώνας) [τύπος (1)], τον Γερμανό μαθηματικό I. Regiomontan (μέσα του 15ου αιώνα) [τύποι όπως (2)] και οι Γάλλοι μαθηματικός F. Viet (2ο μισό 16ου αιώνα) [τύποι του τύπου (2 1)] και L. Euler (Ρωσία, 18ος αιώνας) [τύποι του τύπου (3) και (3 1)]. Ο Euler (1753 και 1779) έδωσε ολόκληρο το σύστημα τύπων για το S. T. Ορισμένοι τύποι για τον S. T. βολικοί για πρακτική καθιερώθηκαν από τον Σκωτσέζο μαθηματικό J. Napier (τέλη 16ου - αρχές 17ου αιώνα), τον Άγγλο μαθηματικό G. 17th αιώνα, τον Ρώσο ο αστρονόμος A. I. Leksel (β' μισό 18ου αιώνα), ο Γάλλος αστρονόμος J. Delambre (τέλη 18ου - αρχές 19ου αιώνα) και άλλοι.

Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. 1969-1978 .

Δείτε τι είναι η "Σφαιρική Τριγωνομετρία" σε άλλα λεξικά:

Η σφαιρική τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος της τριγωνομετρίας που μελετά τη σχέση μεταξύ γωνιών και μηκών πλευρών σφαιρικών τριγώνων. Χρησιμοποιείται για την επίλυση διαφόρων γεωδαιτικών και αστρονομικών προβλημάτων. Περιεχόμενα 1 Ιστορία ... Wikipedia

Ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών σφαιρικών τριγώνων (δηλαδή τριγώνων στην επιφάνεια μιας σφαίρας) που σχηματίζονται όταν τέμνονται τρεις μεγάλοι κύκλοι. Η σφαιρική τριγωνομετρία σχετίζεται στενά με ... ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Εξερευνά τις ιδιότητες ενός τριγώνου., Σχεδιασμένο σε σφαιρικό. επιφάνειες που σχηματίζονται στην μπάλα από τόξα κύκλων. Λεξικό ξένων λέξεων που περιλαμβάνονται στη ρωσική γλώσσα. Pavlenkov F., 1907 ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας

Ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των σφαιρικών τριγώνων (δηλαδή των τριγώνων στην επιφάνεια μιας σφαίρας) που σχηματίζονται όταν τέμνονται τρεις μεγάλοι κύκλοι. Η σφαιρική τριγωνομετρία σχετίζεται στενά με ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Μαθηματικός πειθαρχία που μελετά τις σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών σφαιρικών τριγώνων (βλ. σφαιρική γεωμετρία). Έστω A, B, C γωνίες και a, b, c απέναντι πλευρές ενός σφαιρικού τριγώνου ABC. Οι γωνίες και οι πλευρές είναι σφαιρικές. τρίγωνο... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Η περιοχή των μαθηματικών, στην οποία μελετώνται οι εξαρτήσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών του σφαιρικού. τρίγωνα (δηλαδή τρίγωνα στην επιφάνεια μιας σφαίρας) που σχηματίζονται στη διασταύρωση τριών μεγάλων κύκλων. Το S. t. σχετίζεται στενά με το σφαιρικό. αστρονομία... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Σφαιρικό τρίγωνο Κούρτωση σφαιρικού τριγώνου, ή σφαιρική υπερβάλλουσα τιμή σε sf ... Wikipedia

Το θεώρημα του Legendre στη σφαιρική τριγωνομετρία καθιστά δυνατή την απλοποίηση της λύσης ενός σφαιρικού τριγώνου εάν είναι γνωστό ότι οι πλευρές του είναι αρκετά μικρές σε σύγκριση με την ακτίνα της σφαίρας στην οποία βρίσκεται. Διατύπωση ... Βικιπαίδεια

Ένα ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο με υποτείνουσα c, σκέλη a και b και ορθή γωνία C. Το σφαιρικό πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα θεώρημα που καθιερώνει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογώνιου ... Wikipedia

Ο μεγάλος κύκλος διαιρεί πάντα τη σφαίρα σε δύο ίσα μισά. Το κέντρο του μεγάλου κύκλου συμπίπτει με το κέντρο της σφαίρας ... Wikipedia

Βιβλία

• Σφαιρική τριγωνομετρία, Stepanov N.N. , Το μάθημα της σφαιρικής τριγωνομετρίας του N. N. Stepanova είναι ένα εγχειρίδιο για μαθητές: αστρονόμους, γεωδαίστες, τοπογράφους, επιθεωρητές ορυχείων; Ταυτόχρονα, μπορεί να εξυπηρετήσει έναν σκοπό... Κατηγορία: Μαθηματικά Εκδότης: YoYo Media, Κατασκευαστής: YoYo Media,
• Σφαιρική τριγωνομετρία, Stepanov N.N. , Το μάθημα της σφαιρικής τριγωνομετρίας του N. N. Stepanova είναι ένα εγχειρίδιο για μαθητές: αστρονόμους, γεωδαίστες, τοπογράφους, επιθεωρητές ορυχείων; ταυτόχρονα μπορεί να εξυπηρετήσει τους σκοπούς... Κατηγορία:

4)Πλευρικός τύπος συνημιτόνου.

Συστήματα συντεταγμένων

Σύστημα συντεταγμένων - ένα σύνολο ορισμών που εφαρμόζει τη μέθοδο συντεταγμένων, δηλαδή έναν τρόπο προσδιορισμού της θέσης ενός σημείου ή σώματος χρησιμοποιώντας αριθμούς ή άλλα σύμβολα. Το σύνολο των αριθμών που καθορίζει τη θέση ενός συγκεκριμένου σημείου ονομάζεται συντεταγμένες αυτού του σημείου. Στα μαθηματικά, οι συντεταγμένες είναι ένα σύνολο αριθμών που συνδέονται με τα σημεία μιας πολλαπλής σε κάποιο χάρτη ενός συγκεκριμένου άτλαντα. Στη στοιχειώδη γεωμετρία, οι συντεταγμένες είναι μεγέθη που καθορίζουν τη θέση ενός σημείου σε ένα επίπεδο και στο χώρο. Σε ένα επίπεδο, η θέση ενός σημείου καθορίζεται συχνότερα από τις αποστάσεις από δύο ευθείες γραμμές (άξονες συντεταγμένων) που τέμνονται σε ένα σημείο (την αρχή) σε ορθή γωνία. η μία από τις συντεταγμένες λέγεται τεταγμένη και η άλλη τετμημένη. Στο διάστημα, σύμφωνα με το σύστημα Descartes, η θέση ενός σημείου καθορίζεται από τις αποστάσεις από τρία επίπεδα συντεταγμένων που τέμνονται σε ένα σημείο κάθετα μεταξύ τους ή από σφαιρικές συντεταγμένες, όπου η αρχή των συντεταγμένων βρίσκεται στο κέντρο του Στη γεωγραφία, οι συντεταγμένες είναι το γεωγραφικό πλάτος, το γεωγραφικό μήκος και το ύψος πάνω από ένα γνωστό κοινό επίπεδο (για παράδειγμα, ο ωκεανός). Βλέπε γεωγραφικές συντεταγμένες Στην αστρονομία, οι συντεταγμένες είναι μεγέθη που καθορίζουν τη θέση ενός άστρου, για παράδειγμα, ορθή ανάληψη και απόκλιση. Οι ουράνιες συντεταγμένες είναι αριθμοί που καθορίζουν τη θέση των φωτιστικών και των βοηθητικών σημείων στην ουράνια σφαίρα. Στην αστρονομία χρησιμοποιούνται διάφορα συστήματα ουράνιων συντεταγμένων. Καθένα από αυτά είναι ουσιαστικά ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων σε μια σφαίρα με έναν κατάλληλα επιλεγμένο πόλο. Το σύστημα ουράνιων συντεταγμένων ορίζεται από έναν μεγάλο κύκλο της ουράνιας σφαίρας (ή του πόλου της, 90 ° μακριά από οποιοδήποτε σημείο αυτού του κύκλου), υποδεικνύοντας πάνω του το σημείο εκκίνησης μιας από τις συντεταγμένες. Ανάλογα με την επιλογή αυτού του κύκλου, τα ουράνια συστήματα συντεταγμένων ονομάστηκαν οριζόντια, ισημερινά, εκλειπτικά και γαλαξιακά. Κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου μαθηματικού ή φυσικού προβλήματος με τη μέθοδο των συντεταγμένων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων, επιλέγοντας αυτό στο οποίο το πρόβλημα επιλύεται ευκολότερα ή πιο βολικό στη συγκεκριμένη περίπτωση.

11) Ακτίνες καμπυλότητας του παράλληλου, μεσημβρινού και κανονικού τμήματος.

Μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς της γης, μπορεί κανείς να σχεδιάσει έναν άπειρο αριθμό κατακόρυφων επιπέδων που σχηματίζουν κανονικές τομές με την επιφάνεια του ελλειψοειδούς. Δύο από αυτά: ο μεσημβρινός και το τμήμα της πρώτης κάθετης σε αυτόν - ονομάζονται κύρια κανονικά τμήματα. Η καμπυλότητα της επιφάνειας του ελλειψοειδούς της γης στα διάφορα σημεία του είναι διαφορετική. Επιπλέον, στο ίδιο σημείο, όλα τα κανονικά τμήματα έχουν διαφορετικές καμπυλότητες. Οι ακτίνες καμπυλότητας των κύριων κανονικών τμημάτων σε ένα δεδομένο σημείο είναι ακραίες, δηλαδή οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες μεταξύ όλων των άλλων ακτίνων καμπυλότητας των κανονικών τμημάτων. Οι τιμές των ακτίνων καμπυλότητας του μεσημβρινού M και του πρώτου κατακόρυφου N σε ένα δεδομένο γεωγραφικό πλάτος φ καθορίζονται από τους τύπους: M = a(1-e²) ​​/ (1 - e²*sin² φ) 3/ 2; N = a / (1 - e²*sin² φ) ½

Η ακτίνα καμπυλότητας r ενός αυθαίρετου παραλλήλου του ελλειψοειδούς σχετίζεται με την ακτίνα καμπυλότητας της τομής του πρώτου κατακόρυφου με τη σχέση r = N cos φ. Οι τιμές των ακτίνων καμπυλότητας των κύριων τμημάτων του Το ελλειψοειδές Μ και Ν χαρακτηρίζουν το σχήμα του κοντά σε ένα δεδομένο σημείο. Για ένα αυθαίρετο σημείο στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, ο λόγος των ακτίνων

M / N = 1 - e² / 1 - e²*sin² φ

12) Το μήκος των τόξων των παραλλήλων και των μεσημβρινών.

L \u003d 2pR \u003d 2. 3,14 6371 "40000 km.

Καθορίζοντας το μήκος του μεγάλου κύκλου, μπορείτε να βρείτε το μήκος του τόξου του μεσημβρινού (ισημερινός) σε 1° ή σε 1¢:1° του τόξου του μεσημβρινού (ισημερινός) = L/360°= 111 km , 1¢ του τόξου του μεσημβρινού (ισημερινός) 111/60¢ = 1.853 χλμ. Το μήκος κάθε παραλλήλου είναι μικρότερο από το μήκος του ισημερινού και εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου.

Είναι ίσο με L par \u003d L eq cosj par. Η θέση ενός σημείου στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς της γης μπορεί να προσδιοριστεί από γεωδαιτικές συντεταγμένες - γεωδαιτικό γεωγραφικό πλάτος και γεωδαιτικό μήκος. Για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου στην επιφάνεια του γεωειδούς, χρησιμοποιούνται αστρονομικές συντεταγμένες, που λαμβάνονται με μαθηματική επεξεργασία των αποτελεσμάτων των αστρονομικών μετρήσεων. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν δεν είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι διαφορές στις γεωδαιτικές και αστρονομικές συντεταγμένες, η έννοια των γεωγραφικών συντεταγμένων χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου στην πλοήγηση αεροσκαφών.Γεωγραφικό γεωγραφικό πλάτος j είναι η γωνία μεταξύ του ισημερινού επίπεδο και η κάθετη προς την ελλειψοειδή επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο. Το γεωγραφικό πλάτος μετράται από το επίπεδο του ισημερινού στους πόλους από 0 έως 90° βόρεια ή νότια. Το βόρειο γεωγραφικό πλάτος θεωρείται θετικό, το νότιο - αρνητικό.

13) Μετασχηματισμός συντεταγμένων.

Ο μετασχηματισμός ενός συστήματος συντεταγμένων είναι η μετάβαση από το ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο.Με μια τέτοια αντικατάσταση, είναι απαραίτητο να δημιουργηθούν τύποι που επιτρέπουν, χρησιμοποιώντας τις γνωστές συντεταγμένες ενός σημείου σε ένα σύστημα συντεταγμένων, τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του σε ένα άλλο.

Ο κύριος στόχος του μετασχηματισμού συντεταγμένων είναι να προσδιοριστεί ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η εξίσωση μιας δεδομένης γραμμής γίνεται η απλούστερη. Με μια καλή διάταξη των αξόνων συντεταγμένων, είναι δυνατό να διασφαλιστεί ότι η εξίσωση της καμπύλης έχει την απλούστερη μορφή. Αυτό είναι σημαντικό για τη μελέτη των ιδιοτήτων μιας καμπύλης.

14) Γεωδαιτική γραμμή. Άμεσο και αντίστροφο γεωδαιτικό πρόβλημα.

Γεωδαιτική γραμμή, καμπύλη, οι κύριες κανονικές όλων των σημείων της οποίας συμπίπτουν με τις κανονικές της επιφάνειας στην οποία βρίσκεται. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια είναι μια γραμμή G., αλλά όχι πάντα το αντίθετο. Το γεωδαισιακό πρόβλημα σχετίζεται με τον προσδιορισμό της σχετικής θέσης των σημείων στην επιφάνεια της γης και χωρίζεται σε άμεσα και αντίστροφα προβλήματα. Απευθείας G. z. ονομάζεται υπολογισμός γεωδαιτικών συντεταγμένων - το γεωγραφικό πλάτος και μήκος ενός συγκεκριμένου σημείου που βρίσκεται στο ελλειψοειδές της γης, σύμφωνα με τις συντεταγμένες ενός άλλου σημείου και κατά το μήκος και το αζιμούθιο της γεωδαιτικής γραμμής που συνδέει αυτά τα σημεία. Αντίστροφη G. h. συνίσταται στον προσδιορισμό, από τις γεωδαιτικές συντεταγμένες δύο σημείων στο ελλειψοειδές της γης, του μήκους και του αζιμουθίου της γεωδαιτικής γραμμής μεταξύ αυτών των σημείων

15) Σύγκλιση μεσημβρινών.Σύγκλισημεσημβρινοί σε κάποιο σημείο του ελλειψοειδούς της γης - η γωνία g s μεταξύ της εφαπτομένης στο μεσημβρινό αυτού του σημείου και της εφαπτομένης στο ελλειψοειδές, που σύρεται στο ίδιο σημείο παράλληλο στο επίπεδο κάποιου αρχικού μεσημβρινού. Το C. m. g s είναι συνάρτηση της διαφοράς μεταξύ των γεωγραφικών μήκων l των υποδεικνυόμενων μεσημβρινών, του γεωγραφικού πλάτους B του σημείου και των παραμέτρων του ελλειψοειδούς. Κατά προσέγγιση, το S. m. εκφράζεται με τον τύπο g s \u003d lsin. S. m. στο επίπεδο μιας γεωδαισιακής προβολής ή χαρτογραφική προβολή (ή Gaussian S. m.) είναι η γωνία g, η οποία σχηματίζει μια εφαπτομένη στο εικόνα οποιουδήποτε μεσημβρινού με τον πρώτο άξονα συντεταγμένων (τετμημένη) αυτής της προβολής, η οποία είναι συνήθως μια εικόνα του μεσαίου (αξονικού) μεσημβρινού της εμφανιζόμενης περιοχής.

16) Η γενική αρχή της απεικόνισης επιφανειών με ξεδίπλωμα.

Η ανάπτυξη μιας επιφάνειας σε μια άλλη μέσω κάμψης είναι ένας τέτοιος μετασχηματισμός της πρώτης επιφάνειας, στην οποία διατηρούνται τα στοιχεία της εσωτερικής της γεωμετρίας, δηλαδή οι γωνίες. ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, Gaussian καμπυλότητα της επιφάνειας, και έτσι η ιδιότητα των μικρότερων γραμμών παραμένει η μικρότερη Οι ακτίνες της καμπυλότητας Ch. τα κανονικά τμήματα ονομάζονται Ch. ακτίνες καμπυλότητας σε δεδομένο σημείο της επιφάνειας..R=1/R1*R2- Gaussian καμπυλότητα της επιφάνειας

Στοιχεία σφαιρικής τριγωνομετρίας

Η σφαιρική τριγωνομετρία ασχολείται με τη μελέτη της σχέσης μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των σφαιρικών τριγώνων (για παράδειγμα, στην επιφάνεια της Γης και στην ουράνια σφαίρα) Σφαιρικά τρίγωνα. Στην επιφάνεια μιας μπάλας, η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων μετριέται κατά μήκος της περιφέρειας ενός μεγάλου κύκλου, δηλαδή ενός κύκλου του οποίου το επίπεδο διέρχεται από το κέντρο της μπάλας. Οι κορυφές ενός σφαιρικού τριγώνου είναι τα σημεία τομής τριών ακτίνων που αναδύονται από το κέντρο της μπάλας και τη σφαιρική επιφάνεια. Οι πλευρές a, b, c ενός σφαιρικού τριγώνου είναι εκείνες οι γωνίες μεταξύ των ακτίνων που είναι μικρότερες από 180 (αν μία από αυτές τις γωνίες είναι 180, τότε το σφαιρικό τρίγωνο εκφυλίζεται σε ημικύκλιο μεγάλου κύκλου). Κάθε πλευρά του τριγώνου αντιστοιχεί σε τόξο μεγάλου κύκλου στην επιφάνεια της μπάλας (βλ. σχήμα).

Οι γωνίες A, B, C ενός σφαιρικού τριγώνου, οι απέναντι πλευρές a, b, c, αντίστοιχα, είναι, εξ ορισμού, μικρότερες από 180, οι γωνίες μεταξύ τόξων μεγάλων κύκλων που αντιστοιχούν στις πλευρές του τριγώνου ή οι γωνίες μεταξύ των επίπεδα που ορίζονται από αυτές τις ακτίνες Η γεωμετρία στην επιφάνεια της μπάλας είναι μη Ευκλείδεια. Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο, το άθροισμα των πλευρών είναι μεταξύ 0 και 360, το άθροισμα των γωνιών είναι μεταξύ 180 και 540. Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο, υπάρχει μια μεγαλύτερη γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά. Το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά, το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο γωνιών είναι μικρότερο από 180 συν την τρίτη γωνία. Ένα σφαιρικό τρίγωνο ορίζεται μοναδικά (μέχρι μετασχηματισμό συμμετρίας): 1) τρεις πλευρές, 2) τρεις γωνίες, 3) δύο πλευρές και περικλείονται μεταξύ τους μια γωνία, 4) μια πλευρά και δύο γωνίες δίπλα σε αυτήν.

4)Πλευρικός τύπος συνημιτόνου.

Ο τύπος πλευρικού συνημιτόνου συσχετίζει τρεις πλευρές και μία από τις γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου. Βολικό για την εύρεση μιας άγνωστης γωνίας ή πλευράς απέναντι από αυτή τη γωνία και έχει ως εξής: «σε ένα σφαιρικό τρίγωνο, το συνημίτονο μιας πλευράς είναι ίσο με το γινόμενο των συνημιτόνων των άλλων δύο πλευρών συν το γινόμενο των ημιτόνων αυτών των πλευρών και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας»

Για ορισμένους από τους πελάτες μας, η αγορά κοσμημάτων κατά παραγγελία είναι μια κερδοφόρα επένδυση σε οικογενειακό κεφάλαιο, σε ένα σταθερό μέλλον για παιδιά και εγγόνια. Για άλλες πελάτισσες, ειδικά για όμορφες κυρίες, τα αποκλειστικά κοσμήματα είναι ένας άλλος τρόπος να τονίσουν το στυλ, την ομορφιά και την αξιοζήλευτη κοινωνική τους θέση. Για τους άνδρες - μια επιλογή για να δείξετε αγάπη και προσοχή στον επιλεγμένο.

Γ.Π. MatvievskayaΣφαίρες και σφαιρική τριγωνομετρία στην αρχαιότητα και στη μεσαιωνική Ανατολή / Ανάπτυξη μεθόδων αστρονομικής έρευνας. Τεύχος 8, Μόσχα-Λένινγκραντ, 1979

Γ.Π. Matvievskaya

Σφαίρες και σφαιρική τριγωνομετρία στην αρχαιότητα και στη μεσαιωνική Ανατολή

1. Στην αρχαιότητα και στο Μεσαίωνα, οι ανάγκες της αστρονομίας χρησίμευαν ως το πιο σημαντικό ερέθισμα για την ανάπτυξη πολλών κλάδων, τα μαθηματικά και, κυρίως, η σφαιρική τριγωνομετρία, η οποία ήταν μια μαθηματική συσκευή για την επίλυση συγκεκριμένων αστρονομικών προβλημάτων. Με την ανάπτυξη της αστρονομίας, την πολυπλοκότητα των προβλημάτων της και την αύξηση των απαιτήσεων για την ακρίβεια των υπολογισμών, αυτή η συσκευή βελτιώθηκε σταδιακά και, κατά συνέπεια, εμπλουτίστηκε το περιεχόμενο της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Αναπτύχθηκε τόσο σε αστρονομικές πραγματείες - ως εισαγωγικό τμήμα της αστρονομίας - όσο και σε ειδικά μαθηματικά έργα.

Ιδιαίτερη σημασία για την ιστορία της σφαιρικής τριγωνομετρίας έχουν τα αρχαία ελληνικά γραπτά για τη σφαίρα - μια επιστήμη που περιλάμβανε στοιχεία αστρονομίας, γεωμετρία σε μια σφαίρα και τριγωνομετρία. Μέχρι τον 4ο αι. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. αναπτύχθηκε πλήρως και θεωρήθηκε ως βοηθητικός αστρονομικός κλάδος. Τα παλαιότερα γνωστά έργα για τη σφαίρα γράφτηκαν την περίοδο του 4ου αιώνα π.Χ. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. - I αιώνας. n. μι. εξέχοντες επιστήμονες της αρχαιότητας όπως ο Autolik, ο Euclid, ο Theodosius, ο Hypsicles, ο Menelaus.

Αυτά τα έργα σας επιτρέπουν να εξοικειωθείτε οπτικά με το αρχικό στάδιο στην ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας.

Όλα τα αποτελέσματα που πήραν οι Έλληνες στον τομέα της αστρονομίας και της τριγωνομετρίας γενικεύτηκαν, όπως είναι γνωστό, τον 2ο αιώνα π.Χ. στο έργο του Πτολεμαίου με τίτλο A Mathematical Collection in 13 Books. Αργότερα, πιθανότατα τον 3ο αιώνα, ονομάστηκε το «μεγάλο» βιβλίο, από το οποίο, κατά τον Μεσαίωνα, προήλθε το κοινώς αποδεκτό όνομα «Almagest»: έτσι προφερόταν η λέξη «al-majisti» στα λατινικά - αραβοποιημένη μορφή από το «μεγίστε» (το σπουδαιότερο).

Σε αντίθεση με το «μεγάλο» βιβλίο του Πτολεμαίου, τα γραπτά των προκατόχων του, απαραίτητα για αστρονομικούς υπολογισμούς και συνδυασμένα στην ύστερη ελληνιστική περίοδο (όχι αργότερα από τον 4ο αιώνα) σε μια συλλογή, ονομάστηκαν «Μικρή Αστρονομία». Έπρεπε να μελετηθούν μετά τα Στοιχεία του Ευκλείδη, ώστε να γίνει κατανοητή η Αλμαγέστη. Στην αραβική λογοτεχνία, λοιπόν, εμφανίζονται με το όνομα «μεσαία βιβλία» (kutub al-mutawasita).

Αυτή η συλλογή περιλαμβάνει τα έργα του Ευκλείδη "Δεδομένα", "Οπτικά", "Φαινόμενα" και το ψευδο-Ευκλείδειο "Κατοπτρίκ", τα έργα του Αρχιμήδη ("Στη σφαίρα και τον κύλινδρο", "Μέτρηση του κύκλου", "Λήμματα" ), Αρίσταρχος («Περί ποσοτήτων και αποστάσεων Ήλιου και Σελήνης»), Υψίμων («Στη ανάβαση των αστερισμών κατά μήκος της εκλειπτικής»), Αυτολίκα («Επί της κινούμενης σφαίρας», «Σχετικά με την ανατολή και τη δύση των σταθερών άστρων» ), ο Θεοδόσιος («Σφαίρα», «Εις ημέρες και νύχτες», «Περί κατοικιών») και ο Μενέλαος («Σφαίρα»). Το έργο του Μενέλαου προστέθηκε στη Μικρά Αστρονομία, πιθανώς σε μεταγενέστερο χρόνο.

Η αραβική μετάφραση των «μεσαίων» βιβλίων, συμπεριλαμβανομένων των έργων για τη σφαίρα, εμφανίστηκε μεταξύ των πρώτων μεταφράσεων των έργων των κλασικών της ελληνικής επιστήμης. Αργότερα σχολιάστηκαν επανειλημμένα. Μεταξύ των μεταφραστών και σχολιαστών μπορεί κανείς να ονομάσει εξαιρετικούς επιστήμονες όπως ο Κόστα ιμπν Λούκα (IX αιώνας), ο αλ Μαχάνι (ΙΧ αιώνας), ο Σαμπίτ ιμπν Κόρα (Χ αιώνα), ο Ιμπν Ιράκ (Χ-ΧΙ αι.), ο Νασίρ αντ - Ντιν στο -Tusi (XIII αι.) και άλλοι.

Στην ελληνική «Μικρά Αστρονομία», οι ανατολικοί μελετητές πρόσθεσαν αργότερα τα έργα «Περί μέτρησης των αριθμών» του Μπανού Μουσά, «Δεδομένα» και «Το Βιβλίο του Πλήρους Τετραπλευρικού» του Σαμπίτ ιμπν Κόρα, «Πραγματεία για το Πλήρες Τετραπλευρικό» του Nasir ad-Din at-Tusi.

Η ανάγκη για μια βαθιά γνωριμία με τα «μέση» βιβλία αναγνωρίστηκε καλά από τους Ανατολικούς μαθηματικούς και αστρονόμους και τονίστηκε ακόμη και τον 17ο αιώνα. στην ευρέως γνωστή βιβλιογραφική εγκυκλοπαίδεια του Χατζή Χαλίφα «Αφαιρώντας το Πέπλο από τους Τίτλους των Βιβλίων και των Επιστημών». Το κείμενο αυτών των πραγματειών, καθώς και τα σχόλια σε αυτές, έχουν διατηρηθεί σε πολλά αραβικά χειρόγραφα. Αυτά περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, μια χειρόγραφη συλλογή που δεν έχει μελετηθεί ακόμη από κανέναν, αποθηκευμένη στην Κρατική Δημόσια Βιβλιοθήκη. M. E. Saltykov-Shchedrin στο Λένινγκραντ (συλλογή Khanykov, Νο. 144).

Πίσω στο 1902, ο γνωστός ιστορικός των μαθηματικών A. Bjornbo σημείωσε με λύπη ότι δόθηκε πολύ λίγη προσοχή σε αυτόν τον τομέα της αρχαίας επιστήμης, ο οποίος μπορεί να οριστεί ως «εισαγωγή στην αστρονομία» και ο οποίος αντανακλάται σε «μέσο "βιβλία. Συγκεκριμένα, επέμεινε στην ανάγκη μιας ολοκληρωμένης κριτικής έκδοσης του κειμένου των έργων του και, σε σχέση με αυτό, έθεσε το ζήτημα της μελέτης των αραβικών εκδόσεων τους. Μεγάλη αξία στη μελέτη της «μικρής αστρονομίας» ανήκει στον ίδιο τον A. Bjornbo, καθώς και στους F. Gulch, I.L. Geiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Mozhene, κ.ά.. Ωστόσο, μέχρι στιγμής δεν έχουν γίνει όλα προς αυτή την κατεύθυνση. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τα «μεσαία» βιβλία στην αραβική ερμηνεία.

Οι επιστήμονες του Ανατολικού Μεσαίωνα έκαναν συχνά σημαντικές προσθήκες στα ελληνικά έργα, πρόσφεραν τις δικές τους αποδείξεις θεωρημάτων και μερικές φορές εισήγαγαν νέες ιδέες στην αρχαία θεωρία. Από αυτή την άποψη, οι αραβικές εκδόσεις των έργων που είναι αφιερωμένες στη σφαίρα αξίζουν μεγάλης προσοχής. Ιδιαίτερη σημασία έχει η μελέτη των σχολίων για το έργο του Μενέλαου, που συνέταξαν οι Abu Nasr ibn Iraq και Nasir ad-Din at-Tusi, οι οποίοι έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην ιστορία της σφαιρικής τριγωνομετρίας.

2. Οι αρχαιότερες γραφές για τη σφαίρα που έχουν φτάσει σε εμάς -και, γενικά, από τις μαθηματικές γραφές των Ελλήνων- είναι οι πραγματείες του Autolik από την Πιτάνα (περίπου 310 π.Χ.) «On the Revolving Sphere» και «On Sunrises». και ηλιοβασιλέματα». Και οι δύο ασχολούνται με ζητήματα γεωμετρίας σε μια σφαίρα όπως εφαρμόζεται στην αστρονομία.

Το Autolik μελετά μια σφαίρα που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα και κυκλικά τμήματα σε αυτήν: μεγάλοι κύκλοι που διέρχονται από τους δύο πόλους, μικροί κύκλοι που λαμβάνονται με την κοπή της σφαίρας με επίπεδα κάθετα προς τον άξονα και μεγάλοι κύκλοι που περνούν λοξά σε αυτήν. Η κίνηση των σημείων αυτών των κύκλων θεωρείται σε σχέση με κάποιο σταθερό επίπεδο τομής που διέρχεται από το κέντρο. Είναι εύκολο να δούμε εδώ ένα μοντέλο της ουράνιας σφαίρας με ουράνιους μεσημβρινούς, παράλληλα, ισημερινό, εκλειπτική και ορίζοντα. Η παρουσίαση όμως γίνεται σε καθαρά γεωμετρική γλώσσα και δεν χρησιμοποιούνται αστρονομικοί όροι.

Στο δοκίμιο 12 προτάσεων "On a Moving Sphere", το Autolik εισάγει την έννοια της ομοιόμορφης κίνησης ("ένα σημείο κινείται ομοιόμορφα εάν διανύει ίσες διαδρομές σε ίσους χρόνους") και εφαρμόζει αυτήν την έννοια σε μια περιστρεφόμενη σφαίρα. Πρώτα απ 'όλα, δείχνει ότι τα σημεία της επιφάνειάς του που δεν βρίσκονται στον άξονα, κατά την ομοιόμορφη περιστροφή, περιγράφουν παράλληλους κύκλους με ίδιους πόλους με τη σφαίρα και με επίπεδα κάθετα στον άξονα (Πρόταση 1). Περαιτέρω, αποδεικνύεται ότι σε ίσο χρόνο όλα τα σημεία της επιφάνειας περιγράφουν παρόμοια τόξα (Πρόταση 2) ​​και αντίστροφα, δηλ. αν δύο τόξα παράλληλων κύκλων διασχίζονται σε ίσο χρόνο, τότε είναι παρόμοια (Πρόταση 3).

Εισάγοντας την έννοια του ορίζοντα - ένας μεγάλος κύκλος που χωρίζει το τμήμα αυτής της σφαίρας ορατό σε έναν παρατηρητή που βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας από το αόρατο μέρος - το Autolik εξετάζει την κίνηση των επιφανειακών σημείων σε σχέση με αυτό. Διερευνώνται διάφορες πιθανές θέσεις του ορίζοντα, όταν αυτός είναι κάθετος στον άξονα, διέρχεται από τους πόλους και έχει κλίση προς τον άξονα. Στην πρώτη περίπτωση (η οποία λαμβάνει χώρα στον επίγειο πόλο), κανένα σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας, με ομοιόμορφη περιστροφή, δεν θα ανέρχεται ή θα δύει. όλα τα σημεία του ορατού μέρους παραμένουν πάντα ορατά, και όλα τα σημεία του αόρατου τμήματος παραμένουν αόρατα (Πρόταση 4).

Στη δεύτερη περίπτωση, που λαμβάνει χώρα στον ισημερινό της γης, όλα τα σημεία στην επιφάνεια της σφαίρας ανεβαίνουν και πέφτουν, όντας ταυτόχρονα πάνω και κάτω από τον ορίζοντα (πρόταση 5).

Τέλος, στην τελευταία - γενική - περίπτωση, ο ορίζοντας αγγίζει δύο ίσους παράλληλους κύκλους, από τους οποίους ο ένας που βρίσκεται στον ορατό πόλο είναι πάντα ορατός και ο άλλος είναι πάντα αόρατος (Πρόταση 6). Τα επιφανειακά σημεία που βρίσκονται μεταξύ αυτών των κύκλων ανεβαίνουν και πέφτουν και διέρχονται πάντα από τα ίδια σημεία του ορίζοντα, κινούμενοι σε κύκλους κάθετους στον άξονα και με κλίση προς τον ορίζοντα στην ίδια γωνία (Πρόταση 7). Κάθε μεγάλος κύκλος στερεωμένος στην επιφάνεια της σφαίρας, ο οποίος αγγίζει τους ίδιους παράλληλους κύκλους με τον ορίζοντα, θα συμπίπτει με τον ορίζοντα όταν η σφαίρα περιστρέφεται (Πρόταση 8). Επιπλέον, έχει διαπιστωθεί ότι εάν ο ορίζοντας είναι κεκλιμένος προς τον άξονα, τότε από τα δύο σημεία που ανεβαίνουν ταυτόχρονα, αυτό που βρίσκεται πλησιέστερα στον ορατό πόλο τίθεται αργότερα· εάν δύο σημεία τίθενται ταυτόχρονα, τότε αυτό που βρίσκεται πιο κοντά στον ο ορατός πόλος ανεβαίνει νωρίτερα.

Δείχνοντας περαιτέρω ότι στην περίπτωση που ο ορίζοντας είναι κεκλιμένος προς τον άξονα, ο μεγάλος κύκλος που διέρχεται από τους πόλους της σφαίρας (δηλ. τον μεσημβρινό) θα είναι δύο φορές κάθετος στον ορίζοντα κατά την περιστροφή του (πρόταση 10), το Autolik διατυπώνει και αποδεικνύει το θεώρημα (Πρόταση 11), που πραγματεύεται ουσιαστικά την εκλειπτική. Μιλάμε για το πώς η άνοδος και η ρύθμιση των σημείων που βρίσκονται σε αυτόν τον μεγάλο κύκλο εξαρτάται από τη θέση του σε σχέση με τον ορίζοντα. Έχει αποδειχθεί ότι αν και οι δύο είναι κεκλιμένοι προς τον άξονα και η εκλειπτική αγγίζει δύο κύκλους στη σφαίρα παράλληλους μεταξύ τους και κάθετους στον άξονα, μεγαλύτερους από αυτούς που αγγίζει ο ορίζοντας, τότε τα σημεία της εκλειπτικής θα είναι πάντα έχουν την ανατολή και τη δύση τους στο τμήμα του ορίζοντα που βρίσκεται ανάμεσα σε παράλληλους κύκλους που εφάπτονται στην εκλειπτική.

Η τελευταία πρόταση αναφέρει: Αν ένας σταθερός κύκλος στην επιφάνεια μιας σφαίρας διχοτομεί πάντα έναν άλλο κύκλο που περιστρέφεται με τη σφαίρα, που και οι δύο δεν είναι κάθετοι στον άξονα και δεν διέρχονται από τους πόλους, τότε είναι μεγάλοι κύκλοι.

Η πραγματεία του Autolik "On Sunrises and Sunsets", που αποτελείται από δύο βιβλία, βασίζεται στο δοκίμιο με κριτική. Περιγράφει την κίνηση των σταθερών αστεριών (βιβλίο 1), με ιδιαίτερη προσοχή στους δώδεκα αστερισμούς που βρίσκονται πάνω. εκλειπτική (Βιβλίο ΙΙ). Αποδεικνύεται πότε ανατέλλει και δύει τα αστέρια, έχοντας διαφορετικές θέσεις στην ουράνια σφαίρα, και υπό ποιες συνθήκες είναι ορατά ή αόρατα.

Τα γραπτά του Autolik για τη σφαίρα, που είχαν χαρακτήρα στοιχειωδών εγχειριδίων, δεν έχασαν τη συνάφειά τους ούτε στην αρχαιότητα ούτε στο Μεσαίωνα. Το περιεχόμενο της πραγματείας «Περί κινούμενης σφαίρας» σκιαγραφήθηκε στο 6ο βιβλίο της «Μαθηματικής Συλλογής» του από τον Πάππο Αλεξανδρείας (3ος αιώνας μ.Χ.). Η σημασία του ρόλου του Autolik στην ανάπτυξη της επιστήμης γράφτηκε τον 6ο αιώνα. Simplicius και John Philopon. Το ελληνικό κείμενο και των δύο έργων του έχει διατηρηθεί πλήρως μέχρι σήμερα.

Τα έργα του Autolik μεταφράστηκαν στα αραβικά τον 9ο και τις αρχές του 10ου αιώνα. από τα πρώτα ελληνικά γραπτά που κέντρισαν το ενδιαφέρον των ανατολικών μελετητών. Η μετάφραση της πραγματείας «Περί κινούμενης σφαίρας» από τα πρωτότυπα ελληνικά έγινε από τον διάσημο μεταφραστή Ishaq ibn Hunayn (π. 910/911). Ο σύγχρονος του αστρονόμος, φιλόσοφος και γιατρός Kusta ibn Luka al-Baalbaki (π. 912) μετέφρασε την πραγματεία Περί ανατολές και ηλιοβασιλέματος. Αυτές οι μεταφράσεις στη συνέχεια αναθεωρήθηκαν από τον διάσημο μαθηματικό και αστρονόμο Thabit ibn Korra (π. 901). Αργότερα, τον XIII αιώνα. τα έργα του Autolik σχολιάστηκαν από τον εξαιρετικό επιστήμονα, επικεφαλής του παρατηρητηρίου Maraga Nasir ad-Din at-Tusi (1201 - 1274).

Στην Ευρώπη, οι αραβικές εκδοχές των έργων του Autolik έγιναν γνωστές τον 12ο αιώνα. Μέχρι εκείνη τη στιγμή, η λατινική μετάφραση της πραγματείας «On the Moving Sphere» είχε γίνει από τον μεγαλύτερο μεσαιωνικό μεταφραστή Gerardo of Cremona (1114-1187).

Το ελληνικό κείμενο των γραπτών του Autolik, που σώζεται σε πολλά χειρόγραφα του 10ου-15ου αιώνα, τράβηξε την προσοχή των επιστημόνων τον 16ο αιώνα, όταν ξεκίνησε μια προσεκτική μελέτη της αρχαίας επιστημονικής κληρονομιάς στην Ευρώπη υπό την επίδραση ουμανιστικών ιδεών. Πρώτη φορά Λατινικά? η μετάφραση και των δύο πραγματειών από τα πρωτότυπα ελληνικά δημοσιεύτηκε στην εγκυκλοπαίδεια του Ιταλού παιδαγωγού George Balla (G. Valla, περ. 1447-1500) το 1501, και στη συνέχεια στη συλλογή αρχαίων γραπτών για τη σφαίρα, η οποία δημοσιεύτηκε στο 1558 στη Μεσσήνη από τον Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575).

Ενεργό έργο για τη δημοσίευση μαθηματικών και αστρονομικών έργων αρχαίων συγγραφέων πραγματοποιήθηκε αυτή την περίοδο στη Γαλλία, όπου ξεκίνησε από μια από τις εξέχουσες προσωπικότητες της Γαλλικής Αναγέννησης, έναν παθιασμένο προπαγανδιστή της αρχαίας επιστήμης P. Ramus (P. Ramus , Pierre de la Ramée, 1515-1572); Αφιερώθηκε στην πρώτη ελληνική έκδοση των έργων του Autolik, που πραγματοποιήθηκε από τον Conrad Dasipodius (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600). εκδόθηκε το 1572 στο Στρασβούργο, μαζί με λατινική μετάφραση. Ένας άλλος μαθητής του Ramus P. Forcadel (Pierre Forcadel, περ. 1520-1574) δημοσίευσε το 1572 μια γαλλική μετάφραση και των δύο πραγματειών του Autolik.

Το 1587-1588. εμφανίστηκε μια άλλη λατινική έκδοση, που έγινε από τον I. Auria (I. Auria) σύμφωνα με πολλά ελληνικά χειρόγραφα από τη βιβλιοθήκη του Βατικανού, και το 1644 ο M. Mersenne (M. Megsenn, 1588-1648) δημοσίευσε μια συνοπτική λατινική μετάφραση των έργων του Autolik. μεταξύ άλλων ελληνικών κειμένων για τα μαθηματικά και την αστρονομία.

Μια πλήρης κριτική έκδοση του ελληνικού κειμένου των πραγματειών του Autolik, μαζί με μια λατινική μετάφραση, πραγματοποιήθηκε το 1855 από τον F. Gulch. Ήταν η βάση της γερμανικής μετάφρασης του A. Chvalina, που εκδόθηκε το 1931.

Τέλος, μια νέα έκδοση του ελληνικού κειμένου, βασισμένη σε μια ενδελεχή μελέτη όλων των σωζόμενων χειρογράφων, ανέλαβε ο J. Maugenet το 1950. του κειμένου προηγείται μια ενδελεχής μελέτη της ιστορίας των ευρωπαϊκών εκδόσεων των έργων του Autolik. Το 1971 δημοσιεύτηκε στη Βηρυτό μια αγγλική μετάφραση αυτού του κειμένου, η οποία όμως προκάλεσε σοβαρή κριτική από τον O. Neugebauer.

Τα γραπτά του Autolik έχουν προσελκύσει την προσοχή πολλών ιστορικών της αστρονομίας και των μαθηματικών. Μελετάται τόσο η θεωρία του Autolik όσο και το κείμενο των γραπτών του. Αποδεικνύεται, για παράδειγμα, ότι τα δύο βιβλία που απαρτίζουν το "On Sunrises and Sunsets" είναι, κατά πάσα πιθανότητα, δύο εκδοχές του ίδιου έργου.

Οι αραβικές εκδόσεις των πραγματειών Autolik, που συγκαταλέγονταν στα «μεσαία βιβλία», εξακολουθούν να είναι οι λιγότερο μελετημένες, αν και υπάρχουν σε πολυάριθμα χειρόγραφα που αποθηκεύονται σε διάφορες βιβλιοθήκες στην Ευρώπη και την Ασία.

3. Στο δεύτερο μισό του 4ου αι. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε., εμφανίστηκε ένα άλλο δοκίμιο για τη σφαίρα, κοντά σε περιεχόμενο στα έργα του Autolik και γραμμένο από τον νεότερο σύγχρονο του Ευκλείδη, τον διάσημο συγγραφέα των Αρχών. Σε αυτή την πραγματεία, με τίτλο «Φαινόμενα», ο Ευκλείδης επαναλαμβάνει σε μεγάλο βαθμό τον προκάτοχό του, αλλά η σύνδεση της σφαίρας με την πρακτική αστρονομία εκφράζεται πολύ πιο καθαρά σε αυτόν.

Τα «Φαινόμενα» του Ευκλείδη αποτελείται από 18 προτάσεις. Το πρώτο διατυπώνει τη δήλωση που διέπει το γεωκεντρικό σύστημα του κόσμου ότι η Γη θεωρείται το κέντρο του σύμπαντος. Εφόσον η θέση του παρατηρητή στην επιφάνεια της γης πρέπει να θεωρείται αυθαίρετη, από αυτή τη δήλωση προκύπτει ότι, σε σχέση με ολόκληρο το σύμπαν, η Γη θεωρείται ως το σημείο στο οποίο βρίσκεται ο παρατηρητής.

Έχοντας επαναλάβει στη 2η και 3η πρόταση το έβδομο θεώρημα του Autolik από την πραγματεία "On the Moving Sphere", ο Ευκλείδης προχωρά στη μελέτη της ανόδου και της δύσης των σημείων του ζωδιακού κύκλου - 12 αστερισμοί που βρίσκονται στην εκλειπτική, δηλαδή, καθένα από τα δώδεκα τόξα, η εκλειπτική, ίση με 30 ° και αντιστοιχεί υπό όρους σε αυτούς τους αστερισμούς. Αποδεικνύει (πρόταση 4) ότι εάν η εκλειπτική δεν τέμνεται με τον μεγαλύτερο από τους πάντα ορατούς κύκλους στην ουράνια σφαίρα, δηλαδή εάν το γεωγραφικό πλάτος του τόπου παρατήρησης είναι μικρότερο από 66 °, τότε οι αστερισμοί που ανεβαίνουν πρώτοι τίθενται επίσης πρώτοι ; εάν τέμνεται με αυτό, δηλαδή εάν το γεωγραφικό πλάτος του τόπου παρατήρησης είναι μεγαλύτερο από 66 °, τότε οι αστερισμοί που βρίσκονται στα βόρεια ανεβαίνουν νωρίτερα και δύουν αργότερα από εκείνους που βρίσκονται στα νότια (πρόταση 5). Έτσι, τα χαρακτηριστικά της ανόδου και της δύσης του αστερισμού εξαρτώνται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου παρατήρησης, δηλαδή από το μέγεθος της γωνίας μεταξύ του άξονα του κόσμου και του ορίζοντα.

Έχοντας δείξει περαιτέρω ότι η ανατολή και η δύση των άστρων που βρίσκονται στα αντίθετα άκρα της διαμέτρου της εκλειπτικής είναι αντίθετα μεταξύ τους (πρόταση 6), ο Ευκλείδης εξηγεί το ενδέκατο θεώρημα από την πραγματεία του Autolik "On a Moving Sphere": αστέρια που βρίσκονται στην εκλειπτική , κατά την άνοδο και τη δύση τους, διασχίζουν μέρος του ορίζοντα που περικλείεται μεταξύ των τροπικών και αυτή η τομή συμβαίνει σε σταθερά σημεία (Πρόταση 7).

Στη συνέχεια αποδεικνύει ότι τα ίσα τόξα των ζωδίων ανεβαίνουν και πέφτουν σε άνισα τόξα του ορίζοντα, όσο μεγαλύτερα είναι τόσο πιο κοντά στις ισημερίες βρίσκονται. Ταυτόχρονα, τόξα εξίσου απομακρυσμένα από τον ισημερινό ανεβαίνουν και τοποθετούνται σε ίσα τόξα του ορίζοντα (Πρόταση 8).

Τα παρακάτω θεωρήματα αφορούν τη διάρκεια της ανατολής και της δύσης του ηλίου των διαφόρων σημείων του ζωδιακού κύκλου. Πρώτον, διαπιστώθηκε ότι ο χρόνος που απαιτείται για την άνοδο του μισού της εκλειπτικής θα είναι διαφορετικός ανάλογα με τη θέση του σημείου εκκίνησης (Πρόταση 9). Αυτό αντιστοιχεί στη δήλωση για τη διαφορετική διάρκεια της ημέρας και της νύχτας σε διαφορετικές εποχές του χρόνου, όταν ο Ήλιος βρίσκεται σε διαφορετικά ζώδια. Στη συνέχεια εξετάζεται ο χρόνος που απαιτείται για την άνοδο και τη δύση ίσων και αντίθετων ζωδίων.

Η λύση των ερωτημάτων που έθεσε ο Ευκλείδης ήταν εξαιρετικά σημαντική για τους αρχαίους αστρονόμους, αφού αφορούσε μεθόδους προσδιορισμού της ώρας της ημέρας και της νύχτας, τη θέσπιση ημερολογίου κ.λπ.

4. Έτσι, στα εξεταζόμενα έργα του Autolik και του Euclid σκιαγραφήθηκαν τα θεμέλια της αρχαίας ελληνικής σφαιρικής, τόσο θεωρητικής όσο και πρακτικής. Και οι δύο συγγραφείς, ωστόσο, ακολούθησαν κάποιο προηγούμενο μοτίβο, γιατί έκαναν μια σειρά από προτάσεις για τη σφαίρα χωρίς απόδειξη, θεωρώντας τις πιθανώς γνωστές. Είναι πιθανό ότι ο συγγραφέας ενός τέτοιου έργου για τη σφαίρα, γενικά αναγνωρισμένη εκείνη την εποχή, ήταν ο μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος Εύδοξος ο Κνίδος (περ. 408-355 π.Χ.).

Αυτό το χαμένο έργο κρίνεται τώρα από τη Σφαίρα του Θεοδοσίου, που γράφτηκε αργότερα, αλλά αναμφίβολα επαναλαμβάνει το περιεχόμενό του κυρίως.

5. Υπάρχουν διαφορετικές απόψεις σχετικά με τη ζωή και τη βιογραφία του Θεοδοσίου, με βάση τις συχνά αντικρουόμενες αναφορές αρχαίων ιστορικών, οι οποίοι κατά λάθος συνδύασαν πολλές μορφές που έφεραν αυτό το όνομα σε ένα άτομο. Έχει πλέον διαπιστωθεί ότι ο συγγραφέας της Σφαίρας καταγόταν από τη Βιθυνία και όχι από την Τρίπολη, όπως πίστευαν παλαιότερα και υποδεικνύονταν στους τίτλους πολλών εκδόσεων των έργων του. Πιθανότατα έζησε στο 2ο μισό του 2ου αιώνα π.Χ. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε., αν και συνήθως αποκαλούνταν σύγχρονος του Κικέρωνα (περ. 50 π.Χ.).

Εκτός από τις Σφαίρες, δύο ακόμη συγγράμματα του Θεοδοσίου, που περιλαμβάνονται επίσης στον αριθμό των «μεσαίων βιβλίων», έχουν διατηρηθεί στην αρχική ελληνική γλώσσα. Η μεγαλύτερη πραγματεία "Περί κατοικιών" περιλαμβάνει 12 προτάσεις και είναι αφιερωμένη στην περιγραφή του έναστρου ουρανού από την οπτική γωνία των παρατηρητών που βρίσκονται σε διαφορετικά γεωγραφικά πλάτη. Η δεύτερη πραγματεία, με τίτλο "On Days and Nights" και αποτελείται από δύο βιβλία, εξετάζει το τόξο της εκλειπτικής μέσω του οποίου ο ήλιος ταξιδεύει σε μια μέρα και εξετάζει τις απαραίτητες συνθήκες, για παράδειγμα, ώστε η ημέρα και η νύχτα να ισούνται πραγματικά μεταξύ τους. στις ισημερίες.

Αυτά τα γραπτά μελετήθηκαν και σχολιάστηκαν από πολλούς Άραβες μελετητές και τράβηξαν την προσοχή στην Ευρώπη τον 16ο αιώνα, όταν ανακαλύφθηκαν τα ελληνικά χειρόγραφά τους. Το πρώτο από αυτά δημοσιεύτηκε σε λατινική μετάφραση το 1558 από τον Φ. Μαυρολίκο, μαζί με μια σειρά από άλλα έργα για τη σφαίρα, και στη συνέχεια το 1572 ο Κ. Δασιπόδιος δημοσίευσε τις ελληνικές και λατινικές διατυπώσεις των θεωρημάτων αυτής της πραγματείας στο βιβλίο. αναφέρθηκε παραπάνω. Την ίδια χρονιά, 1572, δημοσιεύτηκε μια γαλλική μετάφραση του έργου του Θεοδοσίου στην έκδοση του Δασιπόδιου, που έγινε από τον P. Forcadel. Οι επόμενες λατινικές εκδόσεις έγιναν το 1587 (I. Auria) και το 1644 (M, Mersenne). Το πλήρες ελληνικό κείμενο της πραγματείας «Περί κατοικιών» μαζί με τη λατινική μετάφραση δημοσιεύτηκε μόλις το 1927 από τον R. Fecht. Η ίδια έκδοση αναπαράγει επίσης για πρώτη φορά το πρωτότυπο κείμενο του έργου «Με τις μέρες και τις νύχτες» και τη λατινική του μετάφραση. Παλαιότερα ήταν γνωστό χάρη στη διατύπωση των προτάσεων στα ελληνικά και στα λατινικά που εκδόθηκαν το 1572 από τον Κ. Δασιπόδιο και σε πλήρη λατινική μετάφραση στην έκδοση της Ι. Αυρίας.

Το πιο διάσημο έργο του Θεοδοσίου ήταν η «Σφαίρα» του, η οποία κατέχει σημαντική θέση στην ιστορία της αστρονομίας, της σφαιρικής τριγωνομετρίας και της μη ευκλείδειας γεωμετρίας.

Ο Θεοδόσιος μελετά λεπτομερώς τις ιδιότητες των γραμμών στην επιφάνεια μιας σφαίρας που προκύπτει κόβοντάς την με διαφορετικά επίπεδα. Πρέπει να τονιστεί ότι το σφαιρικό τρίγωνο δεν φαίνεται ακόμη σε αυτόν. Το έργο είναι διαμορφωμένο σύμφωνα με τις «Αρχές» του Ευκλείδη και αποτελείται από τρία βιβλία. Το πρώτο βιβλίο, που περιλαμβάνει 23 προτάσεις, ξεκινά με έξι ορισμούς. Η σφαίρα ορίζεται ως "ένα συμπαγές σχήμα που οριοθετείται από μια επιφάνεια, έτσι ώστε όλες οι ευθείες γραμμές που πέφτουν πάνω της από ένα σημείο που βρίσκεται μέσα στο σχήμα να είναι ίσες μεταξύ τους", δηλ. παρόμοια με τον τρόπο που ορίζεται ο κύκλος στις "Αρχές" (βιβλίο Ι, 15ος ορισμός) ; Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι ο ίδιος ο Ευκλείδης στο βιβλίο XI των "Αρχών" ορίζει τη σφαίρα με διαφορετικό τρόπο - ως σώμα που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός ημικυκλίου γύρω από μια σταθερή διάμετρο (βιβλίο XI, 14ος ορισμός). Περαιτέρω, δίνεται ο ορισμός του κέντρου της σφαίρας, του άξονα και των πόλων της. Ο πόλος ενός κύκλου που σχεδιάζεται σε μια σφαίρα ορίζεται ως. ένα σημείο στην επιφάνεια μιας σφαίρας έτσι ώστε όλες οι γραμμές που διασχίζονται από αυτήν στην περιφέρεια του κύκλου να είναι ίσες. Τέλος, ο έκτος ορισμός αφορά κύκλους στη σφαίρα σε ίση απόσταση από το κέντρο της: σύμφωνα με τον Θεοδόσιο, αυτοί είναι κύκλοι τέτοιοι που οι κάθετοι που χαράσσονται από το κέντρο της σφαίρας προς τα επίπεδά τους είναι ίσες μεταξύ τους.

Οι προτάσεις του βιβλίου 1 είναι αρκετά στοιχειώδεις: αποδεδειγμένα; συγκεκριμένα, ότι οποιοδήποτε τμήμα σφαίρας από ένα επίπεδο είναι κύκλος, ότι μια ευθεία γραμμή που σύρεται από το κέντρο της σφαίρας στο κέντρο ενός κυκλικού τμήματος είναι κάθετη στο επίπεδο αυτού του τμήματος, ότι η σφαίρα και το επίπεδο έχουν ένα σημείο επαφής κ.λπ.

Το βιβλίο 2 των Σφαίρων του Θεοδοσίου ξεκινά με τον ορισμό δύο κύκλων σε μια σφαίρα που αγγίζουν ο ένας τον άλλον και περιέχει 23 προτάσεις σχετικά με τις ιδιότητες των κύκλων που είναι κεκλιμένα μεταξύ τους.

Το τρίτο βιβλίο αποτελείται από 14 προτάσεις, πιο σύνθετες από τις προηγούμενες, και ασχολείται με συστήματα παράλληλων και τεμνόμενων κύκλων σε μια σφαίρα. Εδώ αποσαφηνίζεται ο υπηρεσιακός ρόλος της σφαίρας σε σχέση με την αστρονομία, αν και όλα τα θεωρήματα διατυπώνονται και αποδεικνύονται καθαρά γεωμετρικά.

Η «Σφαίρα» του Θεοδοσίου μελετήθηκε προσεκτικά τόσο στην αρχαιότητα όσο και στο Μεσαίωνα. Σχολιάστηκε από τον Πάππο Αλεξανδρείας (3ος αιώνας) στο 6ο βιβλίο της Μαθηματικής Συλλογής του. Τον VI αιώνα. Ο Ιωάννης Φιλόπον, λαμβάνοντας υπόψη τα γραπτά για τη σφαίρα του Ευκλείδη, του Autolik και του Θεοδόσιου, σημειώνει ότι ο τελευταίος δίνει τη γενικότερη αφηρημένη παρουσίαση του θέματος, εντελώς αφηρημένη από πραγματικά αστρονομικά αντικείμενα. Ο Autolik, κατά τη γνώμη του, θεωρεί μια πιο ιδιαίτερη περίπτωση, αφού «ακόμα κι αν ο συγγραφέας δεν έχει στο μυαλό του κάποιο συγκεκριμένο αντικείμενο, τότε χάρη στον συνδυασμό σφαιρικής φιγούρας και κίνησης, προσεγγίζει την πραγματικότητα». Το πιο ιδιαίτερο θέμα αντιμετωπίζεται στα «Φαινόμενα» του Ευκλείδη, αφού τα αντικείμενα που μελετά η αστρονομία -ουρανός, ήλιος, αστέρια, πλανήτες- είναι αρκετά αληθινά.

Ο Θεοδόσιος μετέφρασε για πρώτη φορά τη «Σφαίρα» στα αραβικά τον 9ο αιώνα. Kusta ibn Luka al-Baalbaki; Η μετάφρασή του, που έφτασε μέχρι την 5η πρόταση του Βιβλίου ΙΙ, ολοκληρώθηκε από τον Thabit ibn Korra al-Harrani.

Υπάρχουν πολυάριθμα σχόλια για αυτό, καθώς και για άλλα γραπτά του Θεοδοσίου, που συγκεντρώθηκαν από ανατολικούς μελετητές του 13ου-15ου αιώνα. , μεταξύ των οποίων εξέχοντες μαθηματικοί και αστρονόμοι όπως ο Nasir ad-Din at-Tusi (1201 - 1274), ο Yahya ibn Muhammad ibn Abi Shukr Mukhi ad-Din al-Maghribi (π. περ. 1285), ο Muhammad ibn Ma "ruf ibn Ahmad Taqi ad- Ντιν (1525/1526-1585) και άλλοι.

Επεξεργασία της σφαίρας του Θεοδοσίου, ιδιοκτησίας εκπροσώπου της περίφημης επιστημονικής σχολής Maraga του 13ου αιώνα. Ο Muhi ad-Din al-Maghribi, ερευνήθηκε και μεταφράστηκε εν μέρει στα γαλλικά από τον B. Kappa de Vaux. Αυτή η πραγματεία εφιστά την προσοχή στην αστρονομική ορολογία, η οποία χρησιμοποιείται στην παρουσίαση και απόδειξη των θεωρημάτων του Θεοδοσίου. Έτσι, εδώ, ακόμη πιο ξεκάθαρα από ό,τι στο ελληνικό πρωτότυπο, εμφανίζεται η σύνδεση της σφαίρας με την αστρονομία, γεγονός που εξηγεί τη συνάφειά της με την ανατολική επιστήμη.

Στην Ευρώπη, η Σφαίρα του Θεοδοσίου έγινε γνωστή τον 12ο αιώνα, όταν εμφανίστηκαν δύο λατινικές μεταφράσεις αυτού του έργου από την αραβική του έκδοση. Κατασκευάστηκαν από τους επιφανείς μεταφραστές που εργάστηκαν στην Ισπανία, τον Gerardo της Κρεμόνας και τον Πλάτωνα του Tivoli. Η μετάφραση του τελευταίου δημοσιεύτηκε το 1518 στη Βενετία, στη συνέχεια επανεκδόθηκε το 1529 στην έκδοση του I. Voegelin (I. Voegelin, πέθανε το 1549), και το 1558 - το αναφερόμενο βιβλίο του F. Mavroliko.

Το ελληνικό κείμενο των «Σφαίρων» δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1558 από τον J. Pena μαζί με μια λατινική μετάφραση. Αυτή η έκδοση έδωσε τη δυνατότητα να αποσαφηνιστεί η διαφορά μεταξύ της αραβικής έκδοσης του έργου του Θεοδοσίου και της αρχικής και να καθοριστεί ποιες προσθήκες και αλλαγές στην απόδειξη των θεωρημάτων έγιναν από επιστήμονες της Ανατολής. Ωστόσο, το ελληνικό χειρόγραφο που χρησιμοποιούσε η Πένα υπέφερε από πολλές ελλείψεις. Ως εκ τούτου, το 1707 στην Οξφόρδη, ο I. Hunt ανέλαβε μια νέα και βελτιωμένη έκδοση, κάνοντας κάποιες διορθώσεις σε άλλα χειρόγραφα. Στη συνέχεια, το ελληνικό κείμενο του έργου (και με λατινική μετάφραση) ανατυπώθηκε άλλες δύο φορές: το 1862 από τον E. Nice και το 1927 από τον I. Geiberg.

Από το δεύτερο μισό του 16ου αιώνα, άρχισαν να εμφανίζονται συντομευμένες και προσαρμοσμένες εκδόσεις των Spheres στα λατινικά, στις οποίες τα θεωρήματα εξηγούνταν χρησιμοποιώντας νέες μαθηματικές έννοιες και χρησιμοποιώντας σφαιρική τριγωνομετρία. Το 1586, μια έκδοση του X. Clavius ​​(Ch. Clavius) δημοσιεύτηκε στη Ρώμη, και τον 17ο αιώνα. Ακολούθησαν αρκετές άλλες, συμπεριλαμβανομένων των εκδόσεων των M. Mersenne (1644) και I. Barrow (1675). συμβολισμός.

Το 1826 εκδόθηκε η Σφαίρα σε γερμανική μετάφραση από τον E. Nice. Η δεύτερη γερμανική έκδοση του έργου πραγματοποιήθηκε το 1931 από τον A. Chvalina (μαζί με τις πραγματείες του Autolik). Η πρώτη γαλλική μετάφραση των «Σφαίρων», που έγινε από τον D. Henrion, εκδόθηκε το 1615, η επόμενη, που ανήκε στον J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), - το 1660; Τελικά, το 1927, εμφανίστηκε μια σύγχρονη μετάφραση του P. Ver Eecke.

Τα έργα πολλών ιστορικών των μαθηματικών (A. Knock, I. Geiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Bjornbo κ.λπ.) είναι αφιερωμένα στη μελέτη του κειμένου και του περιεχομένου της σφαίρας του Θεοδοσίου. στο ΙΙΙ- VII αιώνες. και διατηρούνται σε ελληνικά χειρόγραφα μεταγενέστερης εποχής, εξετάστηκε η σχέση μεταξύ της «Σφαίρας» του Θεοδοσίου και των «Φαινόμενων» του Ευκλείδη και άλλων έργων αρχαίων συγγραφέων. Τα αποτελέσματα αυτών των μελετών κατέστησαν δυνατή την αποσαφήνιση ορισμένων ερωτημάτων σχετικά με την ιστορία των μαθηματικών και της αστρονομίας, καθώς και τις βιογραφίες του Ευκλείδη, του Autolik, του Θεοδοσίου και ορισμένων σχολιαστών των έργων τους.

6. Το περιεχόμενο των ελληνικών έργων για τη σφαίρα προσεγγίζει το μικρό έργο του Υψικλή από την Αλεξάνδρεια (που έζησε μεταξύ 200 και 100 π.Χ.), με τίτλο «Στην ανάβαση των αστερισμών κατά μήκος της εκλειπτικής» («Αναφορικά»). Ο Hypsicles είναι περισσότερο γνωστός ως συγγραφέας μιας πραγματείας για τα κανονικά πολύεδρα, που περιλαμβάνεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη ως Βιβλίο XIV. ένα άλλο έργο του, για πολυγωνικούς αριθμούς, που δεν έχει διασωθεί, παρατίθεται στην Αριθμητική του Διοφάντου.

Στην πραγματεία «Περί της ανάβασης των αστερισμών στην εκλειπτική», που αποτελείται από έξι προτάσεις, λύνεται το πρόβλημα του προσδιορισμού του χρόνου που απαιτείται για την άνοδο ή τη δύση κάθε ζωδίου, που καταλαμβάνει το 1/12 της εκλειπτικής, ή «βαθμός», δηλαδή 1/30 μέρη της εκλειπτικής. Έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αστρολογικό συλλογισμό και γι' αυτό είχε μεγάλη δημοτικότητα στην αρχαιότητα και στο Μεσαίωνα. Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια σφαιρικής τριγωνομετρίας, αλλά ο Hypsicles, που δεν είχε ακόμη τέτοια μέσα, το έλυσε περίπου, χρησιμοποιώντας τα γνωστά σε αυτόν θεωρήματα για πολυγωνικούς αριθμούς. Στο έργο αυτό, για πρώτη φορά, γίνεται διαίρεση της περιφέρειας ενός κύκλου σε 360 μέρη, κάτι που δεν συνέβη με τους προκατόχους του και, ειδικότερα, με το Autolik.

Η πραγματεία των Υψικών ήταν ένα από τα «μεσαία βιβλία» και μεταφράστηκε στα αραβικά τον 9ο αιώνα. Υπάρχουν πολλά χειρόγραφα αυτής της μετάφρασης, αλλά παρέμεινε ανεξερεύνητη για μεγάλο χρονικό διάστημα και δεν διαπιστώθηκε επακριβώς αν την έκαναν ο Kusta ibn Luka, ο al-Kindi ή ο Ishaq ibn Hunayn. Μετάφρασε την αραβική έκδοση του έργου στα λατινικά τον 12ο αιώνα. Χεράρντο της Κρεμόνας.

Μια κριτική έκδοση του ελληνικού πρωτοτύπου και της λατινικής μετάφρασης από τον Gerardo of Cremona πραγματοποιήθηκε το 1888 από τον K. Manitius. Η δεύτερη έκδοση, που δημοσιεύθηκε το 1966, περιλαμβάνει το ελληνικό κείμενο, τα σχολεία και τη μετάφραση του W. De Falco, το αραβικό κείμενο και τη γερμανική μετάφραση του M. Krause και ένα εισαγωγικό άρθρο του O. Neugebauer.

7. Από όλα τα αρχαία γραπτά για τη σφαίρα, τον μεγαλύτερο ρόλο στην ιστορία της επιστήμης έπαιξε η «Σφαίρα» του Μενέλαου, που εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια τον 1ο αιώνα π.Χ. n. μι. και συνοψίζοντας όλα τα αποτελέσματα που έχουν προκύψει σε αυτόν τον τομέα πριν από αυτόν. Στο έργο του, όχι μόνο δηλώθηκε η γεωμετρία στη σφαίρα, αλλά εισήχθη για πρώτη φορά το σφαιρικό τρίγωνο, τα θεωρήματα που χρησίμευσαν ως βάση της σφαιρικής τριγωνομετρίας αποδείχθηκαν διαδοχικά και δημιουργήθηκε η θεωρητική βάση για τους τριγωνομετρικούς υπολογισμούς.

Οι πληροφορίες για τη ζωή του Μενέλαου είναι εξαιρετικά σπάνιες. Είναι γνωστό ότι το 98 έκανε αστρονομικές παρατηρήσεις στη Ρώμη. Η Σφαίρα, το κύριο έργο του, δεν έχει διατηρηθεί στα πρωτότυπα ελληνικά και είναι γνωστή μόνο από μεσαιωνικές αραβικές μεταφράσεις.

Η Σφαίρα αποτελείται από τρία βιβλία και έχει διαμορφωθεί σύμφωνα με τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Αρχικά, εισάγονται ορισμοί βασικών εννοιών, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας του σφαιρικού τριγώνου, που δεν συναντάται σε προγενέστερα ελληνικά έργα. Ένα σημαντικό μέρος της εργασίας είναι αφιερωμένο στη μελέτη των ιδιοτήτων αυτού του σχήματος.

Όταν αποδεικνύει προτάσεις για τις ιδιότητες των γραμμών και των σχημάτων σε μια σφαίρα, βασίζεται σε ορισμούς και θεωρήματα από τη σφαίρα του Θεοδοσίου. Στο 2ο βιβλίο, αυτά τα θεωρήματα, καθώς και οι προτάσεις που διατυπώθηκαν σε αστρονομική μορφή στα Φαινόμενα του Ευκλείδη και στην Αναφορική του Υποσκλή, συστηματοποιούνται και παρέχονται με νέες αυστηρές αποδείξεις.

Ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην ιστορία της τριγωνομετρίας έπαιξε η 1η πρόταση του βιβλίου III, γνωστή ως «θεωρήματα του Μενέλαου» (καθώς και «θεωρήματα για το πλήρες τετράπλευρο», «κανόνες έξι ποσοτήτων», «θεωρήματα για τα εγκάρσια ”). Σύμφωνα με τα λόγια του A. Braunmühl, ήταν «το θεμέλιο ολόκληρης της σφαιρικής τριγωνομετρίας των Ελλήνων».

Το θεώρημα του Μενέλαου για την επίπεδη περίπτωση διατυπώνεται ως εξής: ας δοθούν οι αμοιβαία τεμνόμενες ευθείες AB, AC, BE και CD που σχηματίζουν το σχήμα ACGB (Εικ. 1). τότε ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Για τη σφαιρική περίπτωση, στο θεώρημα, όπως συνηθιζόταν στην ελληνική τριγωνομετρία, εμφανίζονται οι συγχορδίες των διπλών τόξων. Αν δίνεται το σχήμα ACGB (Εικ. 2), που σχηματίζεται από τόξα μεγάλων κύκλων στην επιφάνεια μιας σφαίρας, τότε ισχύουν οι σχέσεις:

συγχορδία(2CE) / συγχορδία(2AE) = συγχορδία(2CG) / συγχορδία(2DG) * συγχορδία(2DB) / συγχορδία(2AB)

συγχορδία(2AC) / συγχορδία(2AE) = συγχορδία(2CD) / συγχορδία(2DG) * συγχορδία(2GB) / συγχορδία(2BE)

Ο Μενέλαος απέδειξε επίσης πολλά άλλα θεωρήματα θεμελιώδους σημασίας για την ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Αυτά περιλαμβάνουν τον λεγόμενο «κανόνα των τεσσάρων μεγεθών» (2η πρόταση του βιβλίου III). αν δίνονται δύο σφαιρικά τρίγωνα ABC και DEG (Εικ. 3), τα οποία αντίστοιχα έχουν ίσες (ή άθροισμα έως 180°) γωνίες A και D, C και G, τότε

συγχορδία (2AB) / συγχορδία (2BC) = συγχορδία (2DE) / συγχορδία (2EG)

Η τρίτη πρόταση του III βιβλίου των «Σφαίρων» του Μενελάου, που αργότερα έλαβε το όνομα «κανόνες των εφαπτομένων», λέει· τι γίνεται αν δίνονται δύο ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα ABC και DEG (Εικ. 4), για τα οποία

συγχορδία (2AB) / συγχορδία (2AC) = συγχορδία (2ED) / συγχορδία (2GD) * συγχορδία (2BH) / συγχορδία (2ET)

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Geiberg I.L. Φυσικές επιστήμες και μαθηματικά στην κλασική αρχαιότητα. Μετάφραση από αυτόν. S.P. Kondratiev, επιμ. με πρόλογο Α.Π. Yushkevich, M-L., ONTI, 1936.

2. Sarton G. Εκτίμηση της αρχαίας και μεσαιωνικής επιστήμης κατά την Αναγέννηση, Φιλαδέλφεια, 1953.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studienüber Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l "édition critique des traités de la Spère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Extradite Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Extradite eiusdem. Maurolyci, Sphaericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Θεοδόση. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis autoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Messanae, 1558.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicae σύνοψη, Parisiis, 1644.

9. Auto1yci. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, willow cum scholiis antiquis o libris manuscriptis edidit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Ευκλείδης. Opera omnia. Εκδ. J. L. Heiberg et Η. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Λειψία, 1916.

11. Βυρσοδεψείο P. Recherches sur l "histoire sur l" astronomie ancienne, Παρίσι, 1893.

12. Carra de Vaux B. Σημείωση sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, «Journal asiatique», 8th sér., t. 17, 1894, 287-295.

13. Θεοδόσιος Τριπολίτης. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", φίλ. hist, Klasse, N. F., Bd 19, No 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco and M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, «Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen», φιλιστ. Kl., F. 3, No 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Αλί β. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Βερολίνο, 1936.

Σημειώσεις

Ένα αντίγραφο αυτής της σπάνιας έκδοσης είναι διαθέσιμο στη Βιβλιοθήκη. ΣΕ ΚΑΙ. Λένιν.

Ένα αντίγραφο είναι διαθέσιμο στη Βιβλιοθήκη της Ακαδημίας Επιστημών της ΕΣΣΔ.

ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

τριγωνομετρία, ο μαθηματικός κλάδος που μελετά τις σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών σφαιρικών τριγώνων (βλ. σφαιρική γεωμετρία). Έστω A, B, C οι γωνίες και a, b, c οι απέναντι πλευρές του σφαιρικού τριγώνου ABC (βλ. σχήμα). Οι γωνίες και οι πλευρές ενός σφαιρικού τριγώνου συνδέονται με τους ακόλουθους βασικούς τύπους του S. t.:

cos a cos b cos c + sin b sin c cos A, (2)

cos A - cos B cos C + sin B sin C cos a, (21)

sin a cos B cos b sin c - sin b cos c cos A, (3)

αμαρτία A cos b cos B sin C + sin B cos C cos a; (31)

σε αυτούς τους τύπους, οι πλευρές a, b, c μετρώνται από τις αντίστοιχες κεντρικές γωνίες, τα μήκη αυτών των πλευρών είναι αντίστοιχα aR, bR, cR, όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας. Αλλάζοντας τους χαρακτηρισμούς των γωνιών (και των πλευρών) σύμφωνα με τον κανόνα της κυκλικής μετάθεσης: A - B - C - A (a - b - c - a), μπορείτε να γράψετε άλλους τύπους S. t. παρόμοιους με αυτούς που υποδεικνύονται. Οι τύποι των σφαιρικών τριγώνων καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό των υπόλοιπων τριών στοιχείων από οποιαδήποτε τρία στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου (για την επίλυση του τριγώνου).

Για ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα (A 90 |, a - υποτείνουσα, b, c - σκέλη), οι τύποι S. t. απλοποιούνται, για παράδειγμα:

sin b sin a sin V,(1")

cos a cos b cos c, (2")

sin a cos B cos b sin c .(3")

Για να αποκτήσετε τύπους που συνδέουν τα στοιχεία ενός ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο μνημονικό κανόνα (κανόνας Napier): εάν αντικαταστήσετε τα σκέλη ενός ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου με τα συμπληρώματά τους και τακτοποιήσετε τα στοιχεία του τριγώνου (εκτός ορθή γωνία Α) γύρω από τον κύκλο με τη σειρά με την οποία βρίσκονται στο τρίγωνο (δηλαδή ως εξής: B, a, C, 90 | - b, 90 | - c), τότε το συνημίτονο κάθε στοιχείου είναι ίσο με το γινόμενο των ημιτόνων μη γειτονικών στοιχείων, για παράδειγμα,

ως αμαρτία (90| - γ) αμαρτία (90 | - β)

ή, μετά τη μεταμόρφωση,

cos a cos b cos c (τύπος 2").

Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι ακόλουθοι τύποι Delambre είναι βολικοί, που συνδέουν και τα έξι στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου:

Κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων σφαιρικής αστρονομίας, ανάλογα με την απαιτούμενη ακρίβεια, συχνά αρκεί η χρήση κατά προσέγγιση τύπων: για μικρά σφαιρικά τρίγωνα (δηλαδή εκείνα των οποίων οι πλευρές είναι μικρές σε σύγκριση με την ακτίνα της σφαίρας), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους Επίπεδης τριγωνομετρίας? για στενά σφαιρικά τρίγωνα (δηλαδή εκείνα στα οποία η μία πλευρά, για παράδειγμα a, είναι μικρή σε σύγκριση με τις άλλες), ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

ή πιο ακριβείς τύπους:

Το S. t. προέκυψε πολύ νωρίτερα από την επίπεδη τριγωνομετρία. Οι ιδιότητες των ορθογώνιων σφαιρικών τριγώνων, που εκφράζονται με τους τύπους (1")-(3"), και διάφορες περιπτώσεις επίλυσής τους ήταν γνωστές ακόμη και στους Έλληνες επιστήμονες Μενέλαο (1ος αιώνας) και Πτολεμαίο (2ος αιώνας). Οι Έλληνες επιστήμονες ανήγαγαν τη λύση των λοξών σφαιρικών τριγώνων στη λύση των ορθογώνιων. Ο Αζερμπαϊτζάν επιστήμονας Nasiraddin Tuei (13ος αιώνας) εξέτασε συστηματικά όλες τις περιπτώσεις επίλυσης λοξών σφαιρικών τριγώνων, υποδεικνύοντας για πρώτη φορά τη λύση σε δύο από τις πιο δύσκολες περιπτώσεις. Οι βασικοί τύποι για τα λοξά σφαιρικά τρίγωνα βρέθηκαν από τον Άραβα επιστήμονα Abul-Vefa (10ος αιώνας) [τύπος (1)], τον Γερμανό μαθηματικό I. Regiomontan (μέσα του 15ου αιώνα) [τύποι όπως (2)] και οι Γάλλοι μαθηματικός F. Viet (2ο μισό 16ου αιώνα) [τύποι του τύπου (21)] και L. Euler (Ρωσία, 18ος αιώνας) [τύποι του τύπου (3) και (31)]. Ο Euler (1753 και 1779) έδωσε ολόκληρο το σύστημα τύπων για το S. T. Ορισμένοι τύποι για τον S. T. βολικοί για πρακτική καθιερώθηκαν από τον Σκωτσέζο μαθηματικό J. Napier (τέλη 16ου - αρχές 17ου αιώνα), τον Άγγλο μαθηματικό G. 17th αιώνα, τον Ρώσο ο αστρονόμος A. I. Leksel (β' μισό 18ου αιώνα), ο Γάλλος αστρονόμος J. Delambre (τέλη 18ου - αρχές 19ου αιώνα) και άλλοι.

Αναμμένο βλέπε στο Art. σφαιρική γεωμετρία.

Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, TSB. 2012

Δείτε επίσης ερμηνείες, συνώνυμα, έννοιες της λέξης και τι είναι η ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στα ρωσικά σε λεξικά, εγκυκλοπαίδειες και βιβλία αναφοράς:

• ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
  
• ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
  ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των σφαιρικών τριγώνων (δηλαδή των τριγώνων στην επιφάνεια μιας σφαίρας) που σχηματίζονται όταν ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  (από το ελληνικό τρίγωνο - τρίγωνο και ... μετρική) κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις εφαρμογές τους σε ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
  (από το ελληνικό. τρίγωνο - τρίγωνα - μετρική), κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις εφαρμογές τους στη γεωμετρία. …
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό του Brockhaus and Euphron.
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Σύγχρονο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
  (από το ελληνικό τρίγωνο - τρίγωνο και ... μέτρο), κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις εφαρμογές τους στη γεωμετρία. Ξεχωριστό…
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  και, πληθ. όχι, w. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου. Τριγωνομετρικό - που αφορά την τριγωνομετρία.||Βλ. ΑΛΓΕΒΡΑ,...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  , -αν. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου. II επίθ. τριγωνομετρικός, -ος, ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
  ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (από το ελληνικό τρίγωνο - τρίγωνο και ... μετρική), τμήμα των μαθηματικών, στο οποίο μελετάται η τριγωνομετρία. λειτουργίες και οι εφαρμογές τους σε...
• ΣΦΑΙΡΙΚΟΣ στο Μεγάλο Ρωσικό Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ, κλάδος των μαθηματικών στον οποίο μελετώνται οι σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών σφαιρικών αντικειμένων. τρίγωνα (δηλαδή τρίγωνα στην επιφάνεια μιας σφαίρας) που σχηματίζονται από ...
• ΣΦΑΙΡΙΚΟΣ στο Μεγάλο Ρωσικό Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, κλάδος των μαθηματικών στον οποίο μελετάται η γεωμ. φιγούρες στη σφαίρα. Ανάπτυξης Σ.γ. στην αντίκα της αρχαιότητας συνδέθηκε με καθήκοντα ...
• ΣΦΑΙΡΙΚΟΣ στο Μεγάλο Ρωσικό Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ, κλάδος της αστρονομίας που αναπτύσσει τα μαθηματικά. μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με τη μελέτη της φαινομενικής θέσης και κίνησης του χώρου. σώματα (αστέρια, ήλιος, ...
• ΣΦΑΙΡΙΚΟΣ στο Μεγάλο Ρωσικό Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
  ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ, παραμόρφωση εικόνας στα οπτικά. συστήματα λόγω του γεγονότος ότι οι ακτίνες φωτός από μια σημειακή πηγή που βρίσκεται στο οπτικό. τσεκούρια...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ* στην Εγκυκλοπαίδεια των Brockhaus and Efron.
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο πλήρες τονισμένο παράδειγμα σύμφωνα με τον Zaliznyak:
  τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία, τριγωνομετρία,
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Νέο Λεξικό Ξένων Λέξεων:
  (γρ. τρίγωνο τρίγωνο + ... μετρική) κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων, κεφ. αρ. γεωμετρικός; …
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Λεξικό Ξένων Εκφράσεων:
  [γρ. τρίγωνο τρίγωνο + ... μετρική] κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων, κεφ. αρ. γεωμετρικός; τ.…
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Νέο επεξηγηματικό και παράγωγο λεξικό της ρωσικής γλώσσας Efremova:
  
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Πλήρες Ορθογραφικό Λεξικό της Ρωσικής Γλώσσας:
  τριγωνομετρία...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Ορθογραφικό Λεξικό:
  τριγωνία ʻetria, ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Λεξικό της Ρωσικής Γλώσσας Ozhegov:
  ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο λεξικό Dahl:
  Ελληνικά μαθηματικά τριγώνων? η επιστήμη του υπολογισμού αυτού με την κατασκευή τριγώνων. -τριγωνική έρευνα και τριγωνοποίηση, αποτύπωση του εδάφους σύμφωνα με ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Modern Explanatory Dictionary, TSB:
  (από το ελληνικό τρίγωνο - τρίγωνο και ... μετρική), κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις εφαρμογές τους σε ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Επεξηγηματικό Λεξικό της Ρωσικής Γλώσσας Ushakov:
  τριγωνομετρία, πληθ. όχι, w. (από το ελληνικό τρίγωνος - τρίγωνο και μέτρο - μέτρο) (ματ.). Τμήμα Γεωμετρίας για τη σχέση μεταξύ των πλευρών ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Επεξηγηματικό Λεξικό της Efremova:
  τριγωνομετρία Ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και την εφαρμογή τους στην επίλυση ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Νέο Λεξικό της Ρωσικής Γλώσσας Efremova:
  Καλά. Ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και την εφαρμογή τους στην επίλυση ...
• ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στο Μεγάλο Σύγχρονο Επεξηγηματικό Λεξικό της Ρωσικής Γλώσσας:
  Καλά. Ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και την εφαρμογή τους στην επίλυση ...
• ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ στη Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, TSB:
  η γεωμετρία, ένας μαθηματικός κλάδος που μελετά τις γεωμετρικές εικόνες που βρίσκονται σε μια σφαίρα, όπως η επιπεδομετρία μελετά τις γεωμετρικές εικόνες που βρίσκονται σε ένα επίπεδο. Κάθε…
• μπονσάι στο The Illustrated Encyclopedia of Flowers:
  Στυλ μπονσάι Στη φύση, η εμφάνιση των δέντρων διαμορφώνεται ανάλογα με τον τόπο ανάπτυξής τους και υπό την επίδραση φυσικών παραγόντων. Κορμός...
• ΣΦΑΙΡΑ The Illustrated Encyclopedia of Weapons:
  ΣΦΑΙΡΙΚΟ - βλέπε σφαίρα ...
• PADDUGA στο Επεξηγηματικό Κατασκευαστικό και Αρχιτεκτονικό Λεξικό:
  - μια σφαιρική επιφάνεια που βρίσκεται πάνω από τις μαρκίζες στο δωμάτιο. Η επένδυση δημιουργεί μια μετάβαση από το επίπεδο του τοίχου στην επιφάνεια...
• ΓΑΥΡΟΙ στην Εγκυκλοπαίδεια της Βιολογίας:
  , ένα γένος ψαριών. γαύρος neg. ρέγγα. 8 είδη, που διανέμονται στα παράκτια θαλάσσια ύδατα των τροπικών και εύκρατων ζωνών και των δύο ημισφαιρίων. …
• ΤΣΟΥΜΑΚΟΦ ΦΕΝΤΟΡ ΙΒΑΝΟΒΙΤΣ
  Chumakov (Fyodor Ivanovich) - καθηγητής εφαρμοσμένων μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας (1782 - 1837). Γιος καπετάνιου, έγινε δεκτός στον αριθμό ...
• ΣΑΒΙΤΣ ΑΛΕΞΕΪ ΝΙΚΟΛΑΕΒΙΤΣ στη Σύντομη Βιογραφική Εγκυκλοπαίδεια:
  Savich (Aleksey Nikolaevich, 1810 - 1883) - διάσημος Ρώσος αστρονόμος, μέλος της Ακαδημίας Επιστημών (από το 1862). το 1829 αποφοίτησε...
• ΠΡΑΣΙΝΟ ΣΕΜΥΟΝ ΙΛΙΤΣ στη Σύντομη Βιογραφική Εγκυκλοπαίδεια:
  Green (Semyon Ilyich) - Ναύαρχος (1810 - 1892). Μεγάλωσε στο ναυτικό σώμα. Ολοκλήρωσε την αστρονομική του εκπαίδευση στο Γιούριεφ, υπό την καθοδήγηση του ...
• ΤΡΙΓΩΝΟ (ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) στη Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, TSB:
  ευθύγραμμο, τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα (πλευρές ενός Τ.), που έχουν ανά ζεύγη ένα κοινό άκρο (κορυφές ενός Τ.). Τ., που έχει...
• ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΤΡΙΓΩΝΟ στη Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, TSB:
  τρίγωνο, ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τα τόξα τριών μεγάλων κύκλων που συνδέουν σε ζεύγη τρία οποιαδήποτε σημεία της σφαίρας. Για τα ακίνητα του S. t. και ...
• ΣΦΑΙΡΑ (ΜΑΤ.) στη Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, TSB:
  (μαθηματική), μια κλειστή επιφάνεια, της οποίας όλα τα σημεία απέχουν ίσα από ένα σημείο (το κέντρο του S.). Ένα τμήμα που συνδέει το κέντρο του Ν. με οποιοδήποτε από τα ...
• ΣΟΥΠΕΡ ΣΜΙΤ στη Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, TSB:
  (Γερμανικό Super-Schmidt-Spiegel), ένα σύστημα τηλεσκοπίου καθρέφτη-φακού στο οποίο η σφαιρική εκτροπή ενός κοίλου σφαιρικού κατόπτρου διορθώνεται από έναν πολύπλοκο συνδυασμό μιας διορθωτικής πλάκας Schmidt (βλ.

Σφαιρική Τριγωνομετρία στο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό:
Η σφαιρική τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών σφαιρικών τριγώνων (δηλαδή τριγώνων στην επιφάνεια μιας σφαίρας) που σχηματίζονται όταν τέμνονται τρεις μεγάλοι κύκλοι. Η σφαιρική τριγωνομετρία σχετίζεται στενά με τη σφαιρική αστρονομία.

Ορισμός της "Σφαιρικής Τριγωνομετρίας" από την TSB:
Η σφαιρική τριγωνομετρία είναι ένας μαθηματικός κλάδος που μελετά τις σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών σφαιρικών τριγώνων (βλ. Σφαιρική γεωμετρία). Έστω A, B, C οι γωνίες και a, b, c οι απέναντι πλευρές του σφαιρικού τριγώνου ABC (βλ. σχήμα). Οι γωνίες και οι πλευρές ενός σφαιρικού τριγώνου συνδέονται με τους ακόλουθους βασικούς τύπους του S. t.:

αμαρτία α αμαρτία Α = αμαρτία β αμαρτία Β = αμαρτία γ αμαρτία Γ ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

σε αυτούς τους τύπους, οι πλευρές a, b, c μετρώνται από τις αντίστοιχες κεντρικές γωνίες, τα μήκη αυτών των πλευρών είναι aR, bR, cR, αντίστοιχα, όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας. Αλλαγή των χαρακτηρισμών των γωνιών (και των πλευρών) σύμφωνα με τον κανόνα της κυκλικής μετάθεσης:
A → B → C → A (a → b → c → a), μπορεί κανείς να γράψει άλλους τύπους S. t. παρόμοιους με αυτούς που υποδεικνύονται. Οι τύποι των σφαιρικών τριγώνων καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό των υπόλοιπων τριών στοιχείων από οποιαδήποτε τρία στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου (για την επίλυση του τριγώνου).
Για ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα (A \u003d 90 °, a είναι η υποτείνουσα, b, c είναι τα σκέλη), οι τύποι S. t. απλοποιούνται, για παράδειγμα:

αμαρτία b \u003d αμαρτία αμαρτία Β,	(ένας')
cos a = cos b cos c,	(2')
sin a cos B = cos b sin c.	(3′)

Για να αποκτήσετε τύπους που συνδέουν τα στοιχεία ενός ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο μνημονικό κανόνα (κανόνας Napier): εάν αντικαταστήσετε τα σκέλη ενός ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου με τα συμπληρώματά τους και τακτοποιήσετε τα στοιχεία του τριγώνου (εκτός ορθή γωνία Α) γύρω από τον κύκλο με τη σειρά με την οποία βρίσκονται στο τρίγωνο (δηλαδή ως εξής: Β, α, Γ, 90° - β, 90° - γ), τότε το συνημίτονο κάθε στοιχείου είναι ίσο με το γινόμενο των ημιτόνων μη γειτονικών στοιχείων, για παράδειγμα,
cos a \u003d αμαρτία (90 ° - c) αμαρτία (90 ° - b)
ή, μετά τη μεταμόρφωση,
cos a = cos b cos c (τύπος 2′).
Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι ακόλουθοι τύποι Delambre είναι βολικοί, που συνδέουν και τα έξι στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου:
αμαρτία 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = αμαρτία 1⁄2A αμαρτία 1⁄2(b+c)

αμαρτία 1⁄2a αμαρτία 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A αμαρτία 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = αμαρτία 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
Κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων σφαιρικής αστρονομίας, ανάλογα με την απαιτούμενη ακρίβεια, συχνά αρκεί η χρήση κατά προσέγγιση τύπων: για μικρά σφαιρικά τρίγωνα (δηλαδή εκείνα των οποίων οι πλευρές είναι μικρές σε σύγκριση με την ακτίνα της σφαίρας), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους Επίπεδης τριγωνομετρίας? για στενά σφαιρικά τρίγωνα (δηλαδή εκείνα στα οποία η μία πλευρά, για παράδειγμα a, είναι μικρή σε σύγκριση με τις άλλες), ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

(ένας'")

a cos B ≈ c−b

+

aІ 2

αμαρτία Β tg γ

.

(3′″)

Το S. t. προέκυψε πολύ νωρίτερα από την επίπεδη τριγωνομετρία. Οι ιδιότητες των ορθογώνιων σφαιρικών τριγώνων, που εκφράζονται με τους τύπους (1)-(3), και διάφορες περιπτώσεις επίλυσής τους ήταν ήδη γνωστές στους Έλληνες επιστήμονες Μενέλαο (1ος αιώνας) και Πτολεμαίο (2ος αιώνας). Οι Έλληνες επιστήμονες ανήγαγαν τη λύση των λοξών σφαιρικών τριγώνων στη λύση των ορθογώνιων. Ο Αζερμπαϊτζάν επιστήμονας Nasiraddin Tuei (13ος αιώνας) εξέτασε συστηματικά όλες τις περιπτώσεις επίλυσης λοξών σφαιρικών τριγώνων, υποδεικνύοντας για πρώτη φορά τη λύση σε δύο από τις πιο δύσκολες περιπτώσεις. Οι βασικοί τύποι για τα λοξά σφαιρικά τρίγωνα βρέθηκαν από τον Άραβα επιστήμονα Abul-Vefa (10ος αιώνας) [τύπος (1)], τον Γερμανό μαθηματικό I. Regiomontan (μέσα του 15ου αιώνα) [τύποι όπως (2)] και οι Γάλλοι μαθηματικός F. Viet (2ο μισό 16ου αιώνα) [τύποι του τύπου (21)] και L. Euler (Ρωσία, 18ος αιώνας) [τύποι του τύπου (3) και (31)]. Ο Euler (1753 και 1779) έδωσε ολόκληρο το σύστημα τύπων για το S. T. Ορισμένοι τύποι για τον S. T. βολικοί για πρακτική καθιερώθηκαν από τον Σκωτσέζο μαθηματικό J. Napier (τέλη 16ου - αρχές 17ου αιώνα), τον Άγγλο μαθηματικό G. 17th αιώνα, τον Ρώσο ο αστρονόμος A. I. Leksel (β' μισό 18ου αιώνα), ο Γάλλος αστρονόμος J. Delambre (τέλη 18ου - αρχές 19ου αιώνα) και άλλοι.
Αναμμένο βλέπε στο Art. σφαιρική γεωμετρία.
Ρύζι. στο Art. Σφαιρική τριγωνομετρία.