Παραδείγματα διαφορικών λύσεων συναρτήσεων. Κατά προσέγγιση υπολογισμοί με χρήση διαφορικού

Εάν η συνάρτηση διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο , τότε η προσαύξησή του μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δύο όρων

. Αυτοί οι όροι είναι απειροελάχιστες συναρτήσεις για
.Ο πρώτος όρος είναι γραμμικός ως προς
, το δεύτερο είναι απειροελάχιστο περισσότερο υψηλή τάξη, πως
.Πραγματικά,

.

Έτσι, ο δεύτερος όρος στο
τείνει στο μηδέν πιο γρήγορα και κατά την εύρεση της αύξησης της συνάρτησης
ο πρώτος όρος παίζει τον κύριο ρόλο
ή (γιατί
)
.

Ορισμός . Κύριο μέρος της αύξησης συνάρτησης
στο σημείο , γραμμικό σε σχέση με
,που ονομάζεται διαφορικό λειτουργίες σε αυτό το σημείο και δηλώνεταιdyήdf(Χ)

. (2)

Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε: το διαφορικό μιας ανεξάρτητης μεταβλητής συμπίπτει με την αύξησή της, δηλαδή
.

Η σχέση (2) παίρνει τώρα τη μορφή

(3)

Σχόλιο . Ο τύπος (3) για συντομία γράφεται συχνά στη μορφή

(4)

Η γεωμετρική σημασία του διαφορικού

Θεωρήστε το γράφημα μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης
. σημεία
και ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Στο σημείο Μμια εφαπτομένη Προς τηνστη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της οποίας η γωνία με τη θετική φορά του άξονα
δηλώνουν με
. Ας σχεδιάσουμε ευθεία MN παράλληλη προς τον άξονα Βόδι και
παράλληλη προς τον άξονα Oy. Η αύξηση της συνάρτησης είναι ίση με το μήκος του τμήματος
. Από ορθογώνιο τρίγωνο
, όπου
, παίρνουμε

Ο παραπάνω συλλογισμός μας επιτρέπει να συμπεράνουμε:

Διαφορικό λειτουργίας
στο σημείο παριστάνεται με μια αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης στο αντίστοιχο σημείο της
.

Σχέση διαφορικού και παραγώγου

Εξετάστε τον τύπο (4)

.

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με dx, έπειτα

.

Με αυτόν τον τρόπο, η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ίση με τον λόγο του διαφορικού της προς το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Συχνά αυτή η στάση αντιμετωπίζεται απλώς ως σύμβολο που δηλώνει την παράγωγο μιας συνάρτησης στομε επιχείρημα Χ.

Η βολική σημείωση για την παράγωγο είναι επίσης:

,
και ούτω καθεξής.

Χρησιμοποιούνται επίσης καταχωρήσεις

,
,

ιδιαίτερα βολικό όταν λαμβάνεται το παράγωγο μιας σύνθετης έκφρασης.

2. Διαφορικό αθροίσματος, γινομένου και πηλίκου.

Εφόσον το διαφορικό λαμβάνεται από την παράγωγο πολλαπλασιάζοντάς το με το διαφορικό μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, τότε, γνωρίζοντας τις παραγώγους των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, καθώς και τους κανόνες εύρεσης παραγώγων, μπορούμε να καταλήξουμε σε παρόμοιους κανόνες για την εύρεση διαφορών.

1 0 . Το διαφορικό μιας σταθεράς είναι μηδέν

.

2 0 . Το διαφορικό του αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των διαφορών αυτών των συναρτήσεων

3 0 . Διαφορικό του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων ισούται με το άθροισμαγινόμενα της πρώτης συνάρτησης με το διαφορικό της δεύτερης και της δεύτερης συνάρτησης με το διαφορικό της πρώτης

.

Συνέπεια. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του διαφορικού

.

Παράδειγμα. Βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης .

Λύση Γράφουμε αυτή τη συνάρτηση στη φόρμα

,

τότε παίρνουμε

.

4. Συναρτήσεις που δίνονται παραμετρικά, η διαφοροποίησή τους.

Ορισμός . Λειτουργία
ονομάζεται παραμετρικά δεδομένη αν και οι δύο μεταβλητές Χ και στο ορίζονται το καθένα ξεχωριστά ως συναρτήσεις μίας τιμής της ίδιας βοηθητικής μεταβλητής - της παραμέτρουt:

όπουtποικίλλει εντός
.

Σχόλιο . Η παραμετρική εκχώρηση συναρτήσεων χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρητική μηχανική, όπου η παράμετρος t δηλώνει το χρόνο και τις εξισώσεις
είναι οι νόμοι της αλλαγής στις προβολές ενός κινούμενου σημείου
στον άξονα
και
.

Σχόλιο . Ας φέρουμε παραμετρικές εξισώσειςκύκλους και έλλειψη.

α) Κύκλος με κέντρο την αρχή και την ακτίνα r έχει παραμετρικές εξισώσεις:

όπου
.

β) Ας γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις για την έλλειψη:

όπου
.

Εξαιρώντας την παράμετρο t Από τις παραμετρικές εξισώσεις των γραμμών που εξετάζουμε, μπορεί κανείς να καταλήξει στις κανονικές τους εξισώσεις.

Θεώρημα . Εάν η συνάρτηση y από επιχείρημα Το x δίνεται παραμετρικά από τις εξισώσεις
, όπου
και
διαφοροποιήσιμο απόtλειτουργίες και
, έπειτα

.

Παράδειγμα. Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης στοαπό Χδίνονται με παραμετρικές εξισώσεις.

Λύση.
.

Όντας άρρηκτα συνδεδεμένοι, και οι δύο έχουν χρησιμοποιηθεί ενεργά για αρκετούς αιώνες για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων που προέκυψαν στη διαδικασία της ανθρώπινης επιστημονικής και τεχνικής δραστηριότητας.

Η εμφάνιση της έννοιας του διαφορικού

Αρχικά εξήγησε τι είναι το διαφορικό, ένας από τους δημιουργούς (μαζί με τον Isaac Newton) διαφορικός λογισμόςο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς. Πριν από αυτό, οι μαθηματικοί 17 Art. χρησιμοποίησε μια πολύ ασαφή και ασαφή ιδέα για κάποιο απείρως μικρό «αδιαίρετο» μέρος οποιουδήποτε γνωστή λειτουργία, που αντιπροσωπεύει μια πολύ μικρή σταθερή τιμή, αλλά όχι ίση με το μηδέν, μικρότερη από την οποία απλά δεν μπορούν να είναι οι τιμές της συνάρτησης. Από εδώ υπήρχε μόνο ένα βήμα για την εισαγωγή της έννοιας των απειροελάχιστων προσαυξήσεων των ορισμάτων των συναρτήσεων και των αντίστοιχων αυξήσεων των ίδιων των συναρτήσεων, που εκφράζονται μέσω των παραγώγων των τελευταίων. Και αυτό το βήμα το έκαναν σχεδόν ταυτόχρονα οι δύο προαναφερθέντες μεγάλοι επιστήμονες.

Με βάση την ανάγκη να λυθούν τα επείγοντα πρακτικά προβλήματα της μηχανικής, τα οποία η ταχέως αναπτυσσόμενη βιομηχανία και τεχνολογία έθεσε στην επιστήμη, οι Newton και Leibniz δημιούργησαν κοινούς τρόπουςεύρεση του ρυθμού μεταβολής των συναρτήσεων (κυρίως σε σχέση με τη μηχανική ταχύτητα ενός σώματος που κινείται κατά μήκος μιας γνωστής τροχιάς), η οποία οδήγησε στην εισαγωγή εννοιών όπως η παράγωγος και το διαφορικό μιας συνάρτησης και επίσης βρήκε έναν αλγόριθμο για την επίλυση αντίστροφο πρόβλημα, πώς να βρείτε την απόσταση που διανύθηκε από μια γνωστή (μεταβλητή) ταχύτητα, η οποία οδήγησε στην εμφάνιση της έννοιας του ολοκληρώματος.

Στα έργα του Leibniz και του Newton, για πρώτη φορά, εμφανίστηκε η ιδέα ότι τα διαφορικά είναι τα κύρια μέρη των αυξήσεων των συναρτήσεων Δy, ανάλογα με τις αυξήσεις των ορισμάτων Δx, τα οποία μπορούν να εφαρμοστούν με επιτυχία για τον υπολογισμό των τιμών του το τελευταίο. Με άλλα λόγια, ανακάλυψαν ότι η αύξηση μιας συνάρτησης μπορεί να εκφραστεί σε οποιοδήποτε σημείο (εντός του πεδίου ορισμού της) με όρους της παραγώγου της ως 0, πολύ πιο γρήγορα από την ίδια τη Δx.

Σύμφωνα με τους ιδρυτές της μαθηματικής ανάλυσης, τα διαφορικά είναι μόνο οι πρώτοι όροι στις εκφράσεις για τις προσαυξήσεις οποιωνδήποτε συναρτήσεων. Μη έχοντας ακόμη μια σαφώς διατυπωμένη έννοια του ορίου των ακολουθιών, κατάλαβαν διαισθητικά ότι η τιμή του διαφορικού τείνει στην παράγωγο της συνάρτησης ως Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

Σε αντίθεση με τον Νεύτωνα, ο οποίος ήταν κυρίως φυσικός, και θεωρούσε μαθηματική συσκευήως βοηθητικό ερευνητικό εργαλείο σωματικές εργασίες, ο Leibniz έδωσε μεγαλύτερη προσοχή σε αυτήν την ίδια την εργαλειοθήκη, συμπεριλαμβανομένου του συστήματος οπτικής και κατανοητής σημειογραφίας μαθηματικά μεγέθη. Ήταν αυτός που πρότεινε τον γενικά αποδεκτό συμβολισμό για τα διαφορικά της συνάρτησης dy \u003d y "(x) dx, το όρισμα dx και την παράγωγο της συνάρτησης με τη μορφή του λόγου τους y" (x) \u003d dy / dx .

Σύγχρονος ορισμός

Ποια είναι η διαφορά όσον αφορά τα σύγχρονα μαθηματικά; Σχετίζεται στενά με την έννοια της αύξησης μεταβλητός. Αν η μεταβλητή y λάβει πρώτα την τιμή y = y 1 και μετά y = y 2 , τότε η διαφορά y 2 ─ y 1 ονομάζεται αύξηση του y.

Η αύξηση μπορεί να είναι θετική. αρνητικό και ίσο με μηδέν. Η λέξη "αύξηση" συμβολίζεται με Δ, ο συμβολισμός Δy (διαβάστε "δέλτα y") υποδηλώνει την αύξηση του y. άρα Δου = y 2 ─ y 1 .

Αν η τιμή Δυ αυθαίρετη λειτουργία y = f (x) μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή από το ίδιο το Δx, τότε ο πρώτος ("κύριος") όρος, ανάλογος του Δx, είναι το διαφορικό για το y \u003d f (x), που συμβολίζεται με dy ή df (x) ( διαβάστε «δε υ», «δε εφ από το χ»). Επομένως, τα διαφορικά είναι οι «κυριότερες» γραμμικές συνιστώσες των προσαυξήσεων των συναρτήσεων ως προς το Δx.

Μηχανική ερμηνεία

Έστω s = f(t) η απόσταση από την αρχική θέση (t είναι ο χρόνος ταξιδιού). Η αύξηση Δs είναι η διαδρομή του σημείου στο χρονικό διάστημα Δt, και η διαφορική ds = f "(t) Δt είναι η διαδρομή που θα είχε διανύσει το σημείο στον ίδιο χρόνο Δt αν είχε διατηρήσει την ταχύτητα f" (t ) έφτασε μέχρι τη στιγμή t . Για ένα απείρως μικρό Δt, το φανταστικό μονοπάτι ds διαφέρει από το αληθινό Δs κατά μια απειροελάχιστη τιμή, η οποία έχει υψηλότερη τάξη σε σχέση με το Δt. Αν η ταχύτητα τη στιγμή t δεν είναι ίση με μηδέν, τότε το ds δίνει την κατά προσέγγιση τιμή της μικρής μετατόπισης του σημείου.

Γεωμετρική ερμηνεία

Έστω η ευθεία L η γραφική παράσταση y = f(x). Στη συνέχεια Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(δείτε το παρακάτω σχήμα). Η εφαπτομένη MN χωρίζει το τμήμα Δy σε δύο μέρη, QN και NM". Το πρώτο είναι ανάλογο του Δх και ισούται με QN = MQ∙tg (γωνία QMN) = Δх f "(x), δηλαδή το QN είναι το διαφορικό dy.

Το δεύτερο μέρος NM"δίνει τη διαφορά Δу ─ dy, στο Δх→0 το μήκος του NM" μειώνεται ακόμη πιο γρήγορα από την αύξηση του ορίσματος, δηλαδή η τάξη μικρότητάς του είναι μεγαλύτερη από αυτή του Δх. Στην περίπτωση που εξετάζουμε, για f "(x) ≠ 0 (η εφαπτομένη δεν είναι παράλληλη προς το OX), τα τμήματα QM" και QN είναι ισοδύναμα. Με άλλα λόγια, το NM" μειώνεται γρηγορότερα (η τάξη μικρότητάς του είναι υψηλότερη) από τη συνολική αύξηση Δυ = QM". Αυτό φαίνεται στο σχήμα (καθώς το M "προσεγγίζει το M, το τμήμα NM" αποτελεί ένα όλο και μικρότερο ποσοστό του τμήματος QM ").

Άρα, γραφικά, το διαφορικό μιας αυθαίρετης συνάρτησης είναι ίσο μεπροσαύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης της.

Παράγωγο και διαφορικό

Ο συντελεστής A στον πρώτο όρο της έκφρασης για την αύξηση της συνάρτησης είναι ίσος με την τιμή της παραγώγου της f "(x). Έτσι, λαμβάνει χώρα η ακόλουθη σχέση - dy \u003d f" (x) Δx, ή df (x) \u003d f "(x) Δx.

Είναι γνωστό ότι η αύξηση του ανεξάρτητου ορίσματος είναι ίση με το διαφορικό του Δх = dx. Κατά συνέπεια, μπορείτε να γράψετε: f "(x) dx \u003d dy.

Η εύρεση (μερικές φορές ονομάζεται "λύση") διαφορικών γίνεται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες όπως και για τα παράγωγα. Η λίστα τους δίνεται παρακάτω.

Τι είναι πιο καθολικό: η αύξηση του επιχειρήματος ή το διαφορικό του

Εδώ είναι απαραίτητο να γίνουν κάποιες εξηγήσεις. Η αναπαράσταση με την τιμή f "(x) Δx του διαφορικού είναι δυνατή όταν θεωρούμε το x ως όρισμα. Αλλά η συνάρτηση μπορεί να είναι σύνθετη, στην οποία το x μπορεί να είναι συνάρτηση κάποιου ορίσματος t. Στη συνέχεια η αναπαράσταση της διαφορικής με την έκφραση f "(x) Το Δx, κατά κανόνα, είναι αδύνατο. εκτός από την περίπτωση γραμμική εξάρτηση x = στο + b.

Όσον αφορά τον τύπο f "(x) dx \u003d dy, τότε στην περίπτωση ενός ανεξάρτητου ορίσματος x (τότε dx \u003d Δx) και στην περίπτωση μιας παραμετρικής εξάρτησης x από το t, αντιπροσωπεύει μια διαφορική.

Για παράδειγμα, η παράσταση 2 x Δx αντιπροσωπεύει για y = x 2 τη διαφορική της όταν το x είναι όρισμα. Ας θέσουμε τώρα x= t 2 και πάρουμε το t ως όρισμα. Τότε y = x 2 = t 4 .

Αυτή η έκφραση δεν είναι ανάλογη του Δt και επομένως τώρα το 2xΔχ δεν είναι διαφορικό. Μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση y = x 2 = t 4 . Αποδεικνύεται ίσο με dy=4t 3 Δt.

Αν πάρουμε την παράσταση 2xdx, τότε αντιπροσωπεύει τη διαφορική y = x 2 για οποιοδήποτε όρισμα t. Πράγματι, στο x= t 2 παίρνουμε dx = 2tΔt.

Αυτό σημαίνει ότι 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, δηλαδή, οι εκφράσεις των διαφορικών που γράφτηκαν με όρους δύο διαφορετικών μεταβλητών συμπίπτουν.

Αντικατάσταση προσαυξήσεων με διαφορικά

Αν f "(x) ≠ 0, τότε το Δου και το dy είναι ισοδύναμα (για Δх→0), αν f "(x) = 0 (που σημαίνει dy = 0), δεν είναι ισοδύναμα.

Για παράδειγμα, αν y \u003d x 2, τότε Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 και dy \u003d 2xΔx. Αν x=3, τότε έχουμε Δου = 6Δх + Δх 2 και dy = 6Δх, που είναι ισοδύναμα λόγω Δх 2 →0, στο x=0 οι τιμές Δου = Δх 2 και dy=0 δεν είναι ισοδύναμες.

Αυτό το γεγονός, μαζί με την απλή δομή του διαφορικού (δηλαδή τη γραμμικότητα ως προς το Δx), χρησιμοποιείται συχνά σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς, υποθέτοντας ότι Δy ≈ dy για μικρό Δx. Η εύρεση του διαφορικού μιας συνάρτησης είναι συνήθως ευκολότερη από τον υπολογισμό της ακριβούς τιμής της αύξησης.

Για παράδειγμα, έχουμε έναν μεταλλικό κύβο με ακμή x = 10,00 εκ. Όταν θερμαίνεται η άκρη επιμηκύνεται κατά Δx = 0,001 εκ. Πόσο αυξήθηκε ο όγκος V του κύβου; Έχουμε V \u003d x 2, έτσι ώστε dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Η αύξηση του όγκου ΔV είναι ισοδύναμη με το διαφορικό dV, άρα ΔV = 3 cm 3 . Ένας πλήρης υπολογισμός θα έδινε ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Αλλά σε αυτό το αποτέλεσμα, όλα τα στοιχεία εκτός από το πρώτο είναι αναξιόπιστα. οπότε, ούτως ή άλλως, πρέπει να το στρογγυλοποιήσετε μέχρι 3 cm 3.

Είναι προφανές ότι μια τέτοια προσέγγιση είναι χρήσιμη μόνο εάν είναι δυνατόν να εκτιμηθεί το μέγεθος του εισαγόμενου σφάλματος.

Διαφορική συνάρτησης: Παραδείγματα

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε το διαφορικό της συνάρτησης y = x 3 χωρίς να βρούμε την παράγωγο. Ας αυξήσουμε το όρισμα και ας ορίσουμε το Δου.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Εδώ ο συντελεστής A= 3x 2 δεν εξαρτάται από το Δх, άρα ο πρώτος όρος είναι ανάλογος του Δх, ενώ ο άλλος όρος 3xΔх 2 + Δх 3 στο Δх→0 μειώνεται γρηγορότερα από την αύξηση του ορίσματος. Επομένως, ο όρος 3x 2 Δx είναι το διαφορικό y = x 3:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx ή d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

Σε αυτήν την περίπτωση, d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

Ας βρούμε τώρα το dy της συνάρτησης y = 1/x ως προς την παράγωγό της. Τότε d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Επομένως, dy = ─ Δх/х 2 .

Τα διαφορικά των βασικών αλγεβρικών συναρτήσεων δίνονται παρακάτω.

Κατά προσέγγιση υπολογισμοί με χρήση διαφορικού

Συχνά δεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί η συνάρτηση f (x), καθώς και η παράγωγός της f "(x) για x=a, αλλά δεν είναι εύκολο να γίνει το ίδιο κοντά στο σημείο x=a. Τότε το κατά προσέγγιση έκφραση έρχεται στη διάσωση

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

Δίνει μια κατά προσέγγιση τιμή της συνάρτησης σε μικρές προσαυξήσεις Δх μέσω του διαφορικού της f "(a)Δх.

Συνεπώς, δεδομένης φόρμουλαςδίνει μια κατά προσέγγιση έκφραση για τη συνάρτηση στο τελικό σημείο κάποιου τμήματος μήκους Δx ως το άθροισμα της τιμής της στο αρχικό σημείο αυτού του τμήματος (x=a) και της διαφοράς στο ίδιο αρχικό σημείο. Το σφάλμα αυτής της μεθόδου προσδιορισμού της τιμής της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Ωστόσο, η ακριβής έκφραση για την τιμή της συνάρτησης για x=a+Δх είναι επίσης γνωστή, που δίνεται από τον τύπο για πεπερασμένες προσαυξήσεις (ή, με άλλα λόγια, τον τύπο Lagrange)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

όπου το σημείο x = a + ξ βρίσκεται στο τμήμα από x = a έως x = a + Δx, αν και η ακριβής θέση του είναι άγνωστη. Ο ακριβής τύπος καθιστά δυνατή την εκτίμηση του σφάλματος του κατά προσέγγιση τύπου. Αν βάλουμε ξ = Δх /2 στον τύπο Lagrange, τότε αν και παύει να είναι ακριβής, συνήθως δίνει πολύ καλύτερη προσέγγιση από την αρχική έκφραση μέσω του διαφορικού.

Εκτίμηση του σφάλματος των τύπων με την εφαρμογή διαφορικού

Κατ' αρχήν, είναι ανακριβείς και εισάγουν αντίστοιχα σφάλματα στα δεδομένα μέτρησης. Χαρακτηρίζονται από το οριακό ή, εν συντομία, το οριακό σφάλμα - θετικός αριθμός, ξεπερνώντας προφανώς αυτό το σφάλμα από την άποψη του απόλυτη τιμή(ή τουλάχιστον ίσο με αυτό). Το όριο ονομάζεται πηλίκο της διαίρεσης του με απόλυτη τιμήμετρούμενη τιμή.

Έστω ο ακριβής τύπος y= f (x) για τον υπολογισμό της συνάρτησης y, αλλά η τιμή του x είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης και επομένως εισάγει ένα σφάλμα στο y. Στη συνέχεια, για να βρείτε το όριο απόλυτο λάθος│‌‌Δου│ συναρτήσεις y, χρησιμοποιήστε τον τύπο

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

όπου │Δх│ είναι το οριακό σφάλμα του επιχειρήματος. Η τιμή │‌‌Δου│ πρέπει να στρογγυλοποιηθεί προς τα πάνω, επειδή ανακριβής είναι η ίδια η αντικατάσταση του υπολογισμού της προσαύξησης από τον υπολογισμό του διαφορικού.

24.1. Η έννοια του διαφορικού συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση y=ƒ(x) να έχει μη μηδενική παράγωγο στο σημείο x.

Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα για τη σύνδεση μιας συνάρτησης, του ορίου της και μιας απείρως μικρής συνάρτησης, μπορούμε να γράψουμε D y / D x \u003d ƒ "(x) + α, όπου α → 0 για Δx → 0, ή ∆y \u003d ƒ" (x) ∆х+α ∆х.

Έτσι, η προσαύξηση της συνάρτησης ∆ου είναι το άθροισμα δύο όρων ƒ "(х) ∆χ και ενός ∆χ, οι οποίοι είναι απειροελάχιστοι στο ∆x→0. Στην περίπτωση αυτή, ο πρώτος όρος είναι μια απείρως μικρή συνάρτηση του ίδια σειρά με το ∆х, αφού και ο δεύτερος όρος είναι μια απείρως μικρή συνάρτηση υψηλότερης τάξης από το Δx:

Επομένως, ονομάζεται ο πρώτος όρος ƒ "(x) ∆x κύριο μέροςαυξήσειςσυναρτήσεις ∆у.

διαφορικό λειτουργίας y=ƒ(x) στο σημείο x καλείται κύριο μέροςτις προσαυξήσεις της, ίσο με το γινόμενοη παράγωγος της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος, και συμβολίζεται με dу (ή dƒ(x)):

dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24.1)

Το διαφορικό dу ονομάζεται επίσης διαφορικό πρώτης τάξης.Ας βρούμε το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x, δηλαδή το διαφορικό της συνάρτησης y=x.

Εφόσον y"=x"=1, τότε, σύμφωνα με τον τύπο (24.1), έχουμε dy=dx=∆x, δηλ. η διαφορά της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ίση με την αύξηση αυτής της μεταβλητής: dx=∆x.

Επομένως, ο τύπος (24.1) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (24.2)

με άλλα λόγια το διαφορικό της συνάρτησης είναι ίσο με το γινόμενοπαράγωγος αυτής της συνάρτησης από το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Από τον τύπο (24.2) ακολουθεί η ισότητα dy / dx \u003d ƒ "(x). Τώρα ο προσδιορισμός

η παράγωγος dy/dx μπορεί να θεωρηθεί ως ο λόγος των διαφορών dy και dx.

<< Пример 24.1

Να βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Λύση: Σύμφωνα με τον τύπο dy \u003d ƒ "(x) dx βρίσκουμε

dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

Να βρείτε το διαφορικό μιας συνάρτησης

Υπολογίστε το dy στο x=0, dx=0,1.

Λύση:

Αντικαθιστώντας x=0 και dx=0,1, παίρνουμε

24.2. Η γεωμετρική σημασία του διαφορικού μιας συνάρτησης

Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία του διαφορικού.

Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε την εφαπτομένη MT στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d ƒ (x) στο σημείο M (x; y) και θεωρούμε την τεταγμένη αυτής της εφαπτομένης για το σημείο x + ∆x (βλ. Εικ. 138 ). Στο σχήμα ½ AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Από το ορθογώνιο τρίγωνο MAB έχουμε:

Αλλά, σύμφωνα με τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου, tga \u003d ƒ "(x). Επομένως, AB \u003d ƒ" (x) ∆x.

Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα που προέκυψε με τον τύπο (24.1), λαμβάνουμε dy=AB, δηλ. η διαφορά της συνάρτησης y=ƒ(x) στο σημείο x ισούται με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, όταν το x λαμβάνει την αύξηση ∆x.

Αυτή είναι η γεωμετρική έννοια του διαφορικού.

24.3 Θεμελιώδη διαφορικά θεωρήματα

Τα κύρια θεωρήματα σχετικά με τα διαφορικά είναι εύκολο να ληφθούν χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ του διαφορικού και της παραγώγου της συνάρτησης (dy=f"(x)dx) και των αντίστοιχων θεωρημάτων για τις παραγώγους.

Για παράδειγμα, δεδομένου ότι η παράγωγος της συνάρτησης y \u003d c είναι ίση με μηδέν, τότε το διαφορικό μιας σταθερής τιμής είναι ίσο με μηδέν: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.

Θεώρημα 24.1.Η διαφορά του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων ορίζεται από τους ακόλουθους τύπους:

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, τον δεύτερο τύπο. Εξ ορισμού του διαφορικού, έχουμε:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Θεώρημα 24.2.Το διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίσο με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με ένα ενδιάμεσο όρισμα και το διαφορικό αυτού του ενδιάμεσου ορίσματος.

Έστω y=ƒ(u) και u=φ(x) δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις που σχηματίζουν μια σύνθετη συνάρτηση y=ƒ(φ(x)). Με το θεώρημα για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης, μπορεί κανείς να γράψει

y" x = y" u u" x .

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη αυτής της ισότητας με dx, μαθαίνουμε y "x dx \u003d y" u u "x dx. Αλλά y" x dx \u003d dy και u "x dx \u003d du. Επομένως, η τελευταία ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως ακολουθεί:

dy=y" u du.

Συγκρίνοντας τους τύπους dy=y "x dx και dy=y" u du, βλέπουμε ότι το πρώτο διαφορικό της συνάρτησης y=ƒ(x) καθορίζεται από τον ίδιο τύπο, ανεξάρτητα από το αν το όρισμά της είναι ανεξάρτητη μεταβλητή ή είναι συνάρτηση άλλου επιχειρήματος.

Αυτή η ιδιότητα του διαφορικού ονομάζεται αμετάβλητη (invariance) της μορφής του πρώτου διαφορικού.

Ο τύπος dy \u003d y "x dx στην εμφάνιση συμπίπτει με τον τύπο dy \u003d y" u du, αλλά υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ τους: στον πρώτο τύπο x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, επομένως, dx \u003d ∆x, στον δεύτερο τύπο και υπάρχει συνάρτηση του x , άρα, μιλώντας γενικά, du≠∆u.

Με τη βοήθεια του ορισμού του διαφορικού και των θεμελιωδών θεωρημάτων για τα διαφορικά, είναι εύκολο να μετατραπεί ένας πίνακας παραγώγων σε πίνακα διαφορικών.

Για παράδειγμα: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Διαφορικός πίνακας

24.5. Εφαρμογή της διαφοράς σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Όπως είναι ήδη γνωστό, η αύξηση ∆у της συνάρτησης y=ƒ(х) στο σημείο x μπορεί να αναπαρασταθεί ως ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, όπου α→0 ως ∆х→0, ή dy+α ∆x Απορρίπτοντας το απειροελάχιστο α ∆x υψηλότερης τάξης από το ∆x, προκύπτει η κατά προσέγγιση ισότητα

∆у≈dy, (24.3)

Επιπλέον, αυτή η ισότητα είναι όσο πιο ακριβής, τόσο μικρότερη είναι η Δx.

Αυτή η ισότητα μας επιτρέπει να υπολογίσουμε περίπου την προσαύξηση οποιασδήποτε διαφοροποιήσιμης συνάρτησης με μεγάλη ακρίβεια.

Το διαφορικό βρίσκεται συνήθως πολύ πιο εύκολα από την αύξηση μιας συνάρτησης, επομένως ο τύπος (24.3) χρησιμοποιείται ευρέως στην υπολογιστική πρακτική.

<< Пример 24.3

Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της αύξησης της συνάρτησης y \u003d x 3 -2x + 1 για x \u003d 2 και ∆x \u003d 0,001.

Λύση: Εφαρμόζουμε τον τύπο (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

Άρα, ∆ου» 0,01.

Ας δούμε τι σφάλμα έγινε με τον υπολογισμό του διαφορικού της συνάρτησης αντί της προσαύξησής της. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε Δу:

∆y \u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);

Το απόλυτο σφάλμα προσέγγισης ισούται με

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Αντικαθιστώντας σε ισότητα (24.3) τις τιμές ∆ου και dy, παίρνουμε

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Ο τύπος (24.4) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των κατά προσέγγιση τιμών των συναρτήσεων.

<< Пример 24.4

Υπολογίστε περίπου το arctg(1,05).

Λύση: Θεωρήστε τη συνάρτηση ƒ(х)=arctgx. Σύμφωνα με τον τύπο (24.4) έχουμε:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

δηλ.

Αφού x+∆x=1,05, τότε για x=1 και ∆x=0,05 παίρνουμε:

Μπορεί να αποδειχθεί ότι το απόλυτο σφάλμα του τύπου (24.4) δεν υπερβαίνει την τιμή M (∆x) 2, όπου M είναι η μεγαλύτερη τιμή του |ƒ"(x)| στο τμήμα [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Ποια απόσταση θα διανύσει το σώμα σε ελεύθερη πτώση στη Σελήνη σε 10,04 δευτερόλεπτα από την αρχή της πτώσης. Εξίσωση ελεύθερης πτώσης σώματος

H \u003d g l t 2 /2, g l \u003d 1,6 m / s 2.

Λύση: Απαιτείται η εύρεση του H(10,04). Χρησιμοποιούμε τον κατά προσέγγιση τύπο (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Σε t=10 s και ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, βρίσκουµε

Εργασία (για ανεξάρτητη λύση).Σώμα μάζας m=20 kg κινείται με ταχύτητα ν=10,02 m/s. Να υπολογίσετε περίπου την κινητική ενέργεια του σώματος

24.6. Διαφορικά υψηλότερης τάξης

Έστω y=ƒ(x) μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση και το όρισμά της x είναι ανεξάρτητη μεταβλητή.Τότε το πρώτο του διαφορικό dy=ƒ"(x)dx είναι επίσης συνάρτηση του x· μπορεί κανείς να βρει το διαφορικό αυτής της συνάρτησης.

Το διαφορικό από το διαφορικό της συνάρτησης y=ƒ(x) λέγεται το δεύτερο διαφορικό της(ή διαφορικό δεύτερης τάξης) και συμβολίζεται d 2 y ή d 2 ƒ(x).

Άρα, εξ ορισμού d 2 y=d(dy). Ας βρούμε την έκφραση για το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης y=ƒ(x).

Εφόσον το dx=∆x δεν εξαρτάται από το x, υποθέτουμε ότι το dx είναι σταθερό όταν διαφοροποιούμε:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 δηλ.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)

Εδώ το dx 2 σημαίνει (dx) 2 .

Το διαφορικό τρίτης τάξης ορίζεται και βρίσκεται παρόμοια

d 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

Και, γενικά, το διαφορικό της νης τάξης είναι το διαφορικό του διαφορικού της (n-1) ης τάξης: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Ως εκ τούτου, βρίσκουμε ότι, ειδικότερα, για n=1,2,3

αντίστοιχα παίρνουμε:

Δηλαδή, η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να θεωρηθεί ως ο λόγος του διαφορικού της της αντίστοιχης τάξης προς την αντίστοιχη ισχύ του διαφορικού της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Σημειώστε ότι όλοι οι παραπάνω τύποι ισχύουν μόνο εάν το x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Εάν η συνάρτηση y \u003d ƒ (x), όπου x - συνάρτηση κάποιας άλλης ανεξάρτητης μεταβλητής, τότε τα διαφορικά της δεύτερης και ανώτερης τάξης δεν έχουν την ιδιότητα αναλλοίωτης μορφής και υπολογίζονται χρησιμοποιώντας άλλους τύπους. Ας το δείξουμε αυτό με το παράδειγμα ενός διαφορικού δεύτερης τάξης.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφορικού προϊόντος (d(uv)=vdu+udv), παίρνουμε:

d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , δηλ.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24.6)

Συγκρίνοντας τους τύπους (24.5) και (24.6), βλέπουμε ότι στην περίπτωση μιας μιγαδικής συνάρτησης, ο διαφορικός τύπος δεύτερης τάξης αλλάζει: ο δεύτερος όρος εμφανίζεται ƒ "(x) d 2 x.

Είναι σαφές ότι αν το x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

και ο τύπος (24.6) περνάει στον τύπο (24.5).

<< Пример 24.6

Να βρείτε d 2 y αν y=e 3x και x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Λύση: Αφού y"=3e 3x, y"=9e 3x, τότε με τον τύπο (24.5) έχουμε d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Να βρείτε d 2 y αν y=x 2 και x=t 3 +1 και t είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Λύση: Χρησιμοποιούμε τον τύπο (24.6): αφού

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,

έπειτα d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Άλλη λύση: y=x 2 , x=t 3 +1. Επομένως, y \u003d (t 3 +1) 2. Στη συνέχεια με τον τύπο (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

ΔΙΑΛΕΞΗ 10. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ FERMAT, ROLL, LAGRANGE ΚΑΙ CAUCHY.

1. Διαφορικό λειτουργίας

1.1. Ορισμός του διαφορικού μιας συνάρτησης

ΑΠΟ Η έννοια της παραγώγου σχετίζεται στενά με μια άλλη θεμελιώδη έννοια της μαθηματικής ανάλυσης - το διαφορικό μιας συνάρτησης.

Ορισμός 1. Μια συνάρτηση y = f (x) που ορίζεται σε κάποια γειτονιά ενός σημείου x ονομάζεται διαφορίσιμη σε ένα σημείο x αν η αύξησή της σε αυτό το σημείο

y = f (x + x) − f (x)

έχει τη μορφή

y = A x + α(Δx) x,

όπου το Α είναι σταθερά και η συνάρτηση α(Δx) → 0 ως x → 0.

Έστω y = f (x) διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, τότε δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός 2. Κύρια γραμμική		μέρος Α x	αυξήσεις	συναρτήσεις f(x)
λέγεται διαφορικό της συνάρτησης στο σημείο x και συμβολίζεται με dy.
Με αυτόν τον τρόπο,
y = dy + α(Δx) x.
Παρατήρηση 1. Η τιμή dy =		x καλείται	τμήμα της κύριας γραμμής
προσαύξηση y λόγω του γεγονότος ότι το άλλο μέρος της αύξησης α(Δx)				x για μικρό
Το x γίνεται πολύ μικρότερο από το Α

Πρόταση 1. Για να είναι διαφοροποιήσιμη μια συνάρτηση y = f (x) σε ένα σημείο x, είναι απαραίτητο και αρκετό να έχει παράγωγο σε αυτό το σημείο.

Απόδειξη. Χρειάζομαι. Έστω η συνάρτηση f (x) διαφορίσιμη σε ένα σημείο

x + α(Δx) x, για

x → 0. Στη συνέχεια

A + lima(Δx) = A.

Επομένως, η παράγωγος f ′ (x) υπάρχει και είναι ίση με Α.

Επάρκεια. Αφήστε το να υπάρχει

f ′ (x), δηλ. υπάρχει ένα όριο όριο

F'(x).

F ' (x) + α(Δx),

y = f′ (x)Δx + α(Δx) x.

Η τελευταία ισότητα σημαίνει ότι η συνάρτηση y = f (x) είναι διαφορίσιμη.

1.2. Η γεωμετρική σημασία του διαφορικού

Έστω l η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) στο σημείο M (x, f (x)) (Εικ. 1). Ας δείξουμε ότι το dy είναι η τιμή του τμήματος P Q. Πράγματι,

dy = f ′ (x)Δx = tg α x =

""Ι

"" " "

" α

Άρα, το διαφορικό dy της συνάρτησης f (x) στο σημείο x ισούται με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης l στο σημείο αυτό.

1.3. Διαφορική αναλλοίωτη μορφή

Αν το x είναι ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε

dy = f′ (x)dx.

Ας υποθέσουμε ότι x = ϕ(t), όπου t είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, y = f (φ(t)). Επειτα

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

Άρα, η μορφή του διαφορικού δεν έχει αλλάξει, παρά το γεγονός ότι το x δεν είναι ανεξάρτητη μεταβλητή. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αμετάβλητο της μορφής του διαφορικού.

1.4. Εφαρμογή του διαφορικού σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Από τον τύπο y = dy + α(Δx) x, απορρίπτοντας το α(Δx) x, είναι σαφές ότι για μικρά

y ≈ dy = f ′ (x)Δx.

Από εδώ παίρνουμε

f (x + x) − f (x) ≈ f′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f′ (x)Δx. (1) Ο τύπος (1) χρησιμοποιείται σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς.

1.5. Διαφορικά υψηλότερης τάξης

Εξ ορισμού, το δεύτερο διαφορικό μιας συνάρτησης y = f (x) σε ένα σημείο x είναι το διαφορικό της πρώτης διαφορικής σε αυτό το σημείο, το οποίο συμβολίζεται

d2 y = d(dy).

Ας υπολογίσουμε τη δεύτερη διαφορά:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(κατά τον υπολογισμό της παραγώγου (f ′ (x)dx)′, λάβαμε υπόψη ότι η τιμή dx δεν εξαρτάται από το x και, επομένως, είναι σταθερή κατά τη διαφοροποίηση).

Γενικά, το διαφορικό της τάξης n μιας συνάρτησης y = f (x) είναι το πρώτο

διαφορικός

από διαφορικό

αυτή η λειτουργία, η οποία

συμβολίζεται με

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x)dxn .

Να βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης y = arctg x .

Λύση. dy = (arctg x)′ dx =

1+x2

Να βρείτε τα διαφορικά της πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης v = e2t .

Λύση. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 .

Συγκρίνετε την αύξηση και το διαφορικό της συνάρτησης y = 2x3 + 5x2 .

Λύση. Βρίσκουμε

5x2=

10x)∆x + (6x + 5)∆x

dy = (6x2 + 10x)dx.

Διαφορά μεταξύ προσαύξησης

y και το διαφορικό dy είναι απειροελάχιστο υψηλότερο

παραγγελία σε σύγκριση με

x ίσο με (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 .

Παράδειγμα 4. Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή του εμβαδού ενός κύκλου του οποίου η ακτίνα είναι 3,02 m.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο S = πr2 . Ρύθμιση r = 3, r = 0,02, έχουμε

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0,02 = 0,12π.

Επομένως, η κατά προσέγγιση τιμή του εμβαδού ενός κύκλου είναι 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (m 2).

Παράδειγμα 5. Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή του arcsin 0,51 με ακρίβεια 0,001. Λύση. Θεωρήστε τη συνάρτηση y = arcsin x. Αφήνοντας x = 0,5 , x = 0,01 και

εφαρμογή του τύπου (1)

x) ≈ τόξο x + (τόξο x)′

(arcsinx)"

≈ arcsin 0,5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Παράδειγμα 6. Υπολογίστε περίπου √ 3

με ακρίβεια 0,0001.

Λύση. Θεωρήστε τη συνάρτηση y = √ 3

και βάλε x = 8,

x = 0, 01. Ομοίως

με τον τύπο (1)

(√ 3x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ x,

3√ 3 64

0,01 = 2 + 3 4 0,01 ≈ 2,0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. Θεωρήματα Fermat, Rolle, Lagrange και Cauchy

Ορισμός 3. Μια συνάρτηση y = f (x) λέγεται ότι έχει (ή φτάνει) ένα τοπικό μέγιστο (ελάχιστο) σε ένα σημείο α αν υπάρχει τέτοια γειτονιά U (α) του σημείου α που για όλα τα x U (α ) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Το τοπικό μέγιστο και το τοπικό ελάχιστο ενώνονται με το κοινό όνομα

τοπικό ακραίο.

Η συνάρτηση της οποίας το γράφημα φαίνεται στο Σχ. Το 4 έχει τοπικό μέγιστο στα σημεία β, β1 και τοπικό ελάχιστο στα σημεία α, α1.

Πρόταση 2. (Fermat) Έστω η συνάρτηση y = f (x) διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο α και έχει τοπικό άκρο σε αυτό το σημείο. Τότε f ′ (α) = 0.

Η ιδέα πίσω από την απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά είναι η εξής. Έστω, για βεβαιότητα, η f (x) να έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο α. Εξ ορισμού, f ′ (α) είναι το όριο ως x → 0 της σχέσης

	f (α + x) − f (α)
Αλλά για αρκετά μικρό (σε απόλυτη τιμή) x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0.
Επομένως, με τέτοια	x παίρνουμε
Ως εκ τούτου προκύπτει ότι
	f ′ (α) = lim g(Δx) = 0.
Κάντε την πλήρη απόδειξη μόνοι σας.
Δήλωση 3. (Ρολό)	Αν το y = f(x) είναι συνεχές			Διαφοροποιήσιμο κατά
(a, b) και f (a) = f (b), τότε υπάρχει ένα σημείο α (a, b)				ότι f ′ (α) = 0.

Απόδειξη. Με την ιδιότητα των συναρτήσεων που είναι συνεχείς σε ένα τμήμα, υπάρχουν σημεία x1 , x2 τέτοια ώστε

ακραίο. Με την υπόθεση του θεωρήματος, η f (x) είναι διαφορίσιμη στο σημείο α. Με το θεώρημα του Φερμά, f ′ (α) = 0. Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Το θεώρημα του Rolle έχει μια απλή γεωμετρική σημασία (Εικ. 5): αν οι ακραίες τεταγμένες της καμπύλης y = f (x) είναι ίσες, τότε υπάρχει ένα σημείο στην καμπύλη y = f (x) στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης είναι παράλληλη με τον άξονα Ox.

Απόδειξη. Σημειώστε ότι g(a) =6 g(b). Πράγματι, διαφορετικά η συνάρτηση g(x) θα ικανοποιούσε όλες τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle. Επομένως, θα υπήρχε ένα σημείο β (a, b) τέτοιο ώστε g′ (β) = 0. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση του θεωρήματος.

Εξετάστε την ακόλουθη βοηθητική συνάρτηση:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g(x) - g(a)). g(b) − g(a)

Η συνάρτηση F (x) είναι συνεχής στο ,				είναι διαφοροποιήσιμο στο (α, β). Επιπλέον, είναι προφανές
τι'	F (a) = F (b) = 0. Επομένως, με το θεώρημα του Rolle, υπάρχει ένα σημείο α (a, b) τέτοιο ώστε
F (α) = 0, δηλ.
	f′(α)								g′ (α) = 0.
			− g(b)
αυτό υπονοεί
								f′(α)
								g′ (α)

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Πρόταση 5. (Lagrange) Αν το y = f (x) είναι συνεχές στο , διαφοροποιήσιμο στο (a, b), τότε υπάρχει α (a, b) τέτοιο ώστε

F′ (α).

Απόδειξη. Το θεώρημα Lagrange προκύπτει άμεσα από το θεώρημα Cauchy για g(x) =

Γεωμετρικά, το θεώρημα του Lagrange σημαίνει ότι στην καμπύλη y = f (x) μεταξύ των σημείων

Α και Β, υπάρχει ένα τέτοιο σημείο Γ, η εφαπτομένη στο οποίο είναι παράλληλη στη χορδή ΑΒ. y

Το θεώρημα του Rolle σε αυτό το τμήμα

εκτελούνται. γ αξία

καθορίσει

εξισώσεις

f ′ (x) = 2x − 6 = 0, δηλ. c = 3.

βρείτε ένα σημείο

Μ, στο οποίο

Παράδειγμα 8. Σε τόξο

Καμπύλη ΑΒ y = 2x − x

εφαπτομένη παράλληλη στη χορδή

Λύση. Συνάρτηση y = 2x − x

είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμος για όλες τις τιμές

Χ. Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange, μεταξύ δύο τιμών a = 1,

b = 3 υπάρχει τιμή

x = c που ικανοποιεί την ισότητα y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c), όπου y′ = 2 − 2x. Αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές, παίρνουμε

y(3) − y(1) = (3 − 1) y (γ),

(2 3 - 32 ) - (2 1 - 12 ) = (3 - 1) (2 - 2c),

επομένως c = 2, y(2) = 0.

Έτσι, το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (2; 0).

Παράδειγμα 9. Στο τόξο ΑΒ της καμπύλης που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις

x = t2, y = t3, βρείτε το σημείο

Μ στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη χορδή ΑΒ αν

Τα σημεία Α και Β αντιστοιχούν στις τιμές t = 1 και t = 3.

Λύση. Η κλίση της χορδής ΑΒ είναι

Και ο παράγοντας κλίσης

εφαπτομένη στο σημείο Μ (για

t = γ) είναι

εσυ

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2 . Για

ορισμός του c από το θεώρημα Cauchy παίρνουμε την εξίσωση

yt′ (γ)

xt′ (c)

δηλ. c = 13/6.

Η ευρεθείσα τιμή c ικανοποιεί την ανισότητα 1< c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗ

Η διαφοροποίηση πολλών συναρτήσεων απλοποιείται εάν λογαριθμηθούν προκαταρκτικά. Για να το κάνετε αυτό, προχωρήστε ως εξής. Αν χρειαστεί να βρεις y"από την εξίσωση y=f(x), τότε μπορείς:

Παραδείγματα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ ΤΗΣ

εκθετικόςμια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της φόρμας y = u v, όπου u=u(x), v=v(x).

Η λογαριθμική διαφοροποίηση χρησιμοποιείται για την εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης εκθετικής ισχύος.

Παραδείγματα.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Ας συνδυάσουμε σε έναν πίνακα όλους τους βασικούς τύπους και τους κανόνες διαφοροποίησης που προέκυψαν νωρίτερα. Παντού θα υποθέσουμε u=u(x), v=v(x), С=const. Για παραγώγους βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Παραδείγματα.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. ΣΧΕΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)είναι διαφοροποιήσιμο στο διάστημα [ ένα; σι]. Η παράγωγος αυτής της συνάρτησης σε κάποιο σημείο Χ 0 Î [ ένα; σι] ορίζεται από την ισότητα

.

Επομένως, από την ιδιότητα του ορίου

Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της ισότητας που προκύπτει με Δ Χ, παίρνουμε:

Δ y = φά"(Χ 0)·Δ Χ+ a Δ Χ.

Άρα, μια απειροελάχιστη αύξηση Δ yδιαφοροποιήσιμη συνάρτηση y=f(x)μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο όρων, εκ των οποίων ο πρώτος είναι (για φά"(Χ 0) ≠ 0) κύριο μέρος της αύξησης, γραμμικό ως προς το Δ Χ, και η δεύτερη είναι μια απειροελάχιστη τιμή υψηλότερης τάξης από το Δ Χ. Το κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης, δηλ. φά"(Χ 0)·Δ Χονομάζεται διαφορικό μιας συνάρτησης σε ένα σημείο Χ 0 και συμβολίζεται με dy.

Έτσι, εάν η συνάρτηση y=f(x)έχει παράγωγο φά"(Χ) στο σημείο Χ, τότε το γινόμενο της παραγώγου φά"(Χ) ανά προσαύξηση Δ Χκαλείται όρισμα διαφορικό λειτουργίαςκαι δηλώνουν:

Ας βρούμε το διαφορικό της συνάρτησης y= x. Σε αυτήν την περίπτωση y" = (Χ)" = 1 και, επομένως, dy=dx=Δ Χ. Το διαφορικό λοιπόν dxανεξάρτητη μεταβλητή Χσυμπίπτει με την προσαύξησή του Δ Χ. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε τον τύπο (1) ως εξής:

dy = φά "(Χ)dx

Όμως από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι . Επομένως, το παράγωγο φά "(Χ) μπορεί να θεωρηθεί ως ο λόγος του διαφορικού της συνάρτησης προς το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Προηγουμένως δείξαμε ότι η διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο συνεπάγεται την ύπαρξη διαφορικού σε αυτό το σημείο.

Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια.

Αν για μια δεδομένη τιμή Χπροσαύξηση συνάρτησης Δ y = φά(Χ+Δ Χ) – f(x)μπορεί να αναπαρασταθεί ως Δ y = ΕΝΑ·Δ Χ+ α, όπου α είναι ένα απειροελάχιστο μέγεθος που ικανοποιεί την συνθήκη, δηλ. αν για λειτουργία y=f(x)υπάρχει διαφορά dy=A dxσε κάποιο σημείο Χ, τότε αυτή η συνάρτηση έχει παράγωγο στο σημείο Χκαι φά "(Χ)=ΑΛΛΑ.

Πράγματι, έχουμε , και αφού για το Δ Χ→0, μετά .

Έτσι, υπάρχει μια πολύ στενή σύνδεση μεταξύ της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης και της ύπαρξης ενός διαφορικού· και οι δύο έννοιες είναι ισοδύναμες.

Παραδείγματα.Εύρεση διαφορών συναρτήσεων:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ

Εξετάστε τη συνάρτηση y=f(x)και την αντίστοιχη καμπύλη. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο στην καμπύλη M(x; y),σχεδιάστε μια εφαπτομένη στην καμπύλη στο σημείο αυτό και υποδηλώστε με α τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τη θετική φορά του άξονα Βόδι. Δίνουμε μια ανεξάρτητη μεταβλητή Χπροσαύξηση Δ Χ, τότε η συνάρτηση θα λάβει μια αύξηση Δ y = NMένας . Αξίες Χ+Δ Χκαι y+Δ yστην καμπύλη y = f(x)η τελεία θα ταιριάζει

Μ 1 (Χ+Δ Χ; y+Δ y).

Από το Δ ΜΝΤεύρημα NT=MN tgα. Επειδή tgα = φά "(Χ), ένα MN = Δ Χ, έπειτα NT = φά "(Χ)·Δ Χ. Αλλά εξ ορισμού του διαφορικού dy=φά "(Χ)·Δ Χ, να γιατί dy = NT.

Έτσι, το διαφορικό της συνάρτησης f(x) που αντιστοιχεί στις δεδομένες τιμές των x και Δx είναι ίσο με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στην καμπύλη y=f(x) στο δεδομένο σημείο x.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΑΜΕΤΑΛΛΗΤΙΑΣ

Είδαμε νωρίτερα ότι αν uείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε το διαφορικό της συνάρτησης y=φά "(u) έχει τη μορφή dy = φά "(u)du.

Ας δείξουμε ότι αυτή η μορφή διατηρείται και στην περίπτωση που uδεν είναι ανεξάρτητη μεταβλητή, αλλά συνάρτηση, δηλ. βρείτε μια έκφραση για το διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης. Αφήνω y=f(u), u=g(x)ή y = f(g(x)). Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

.

Επομένως, εξ ορισμού

Αλλά σολ"(Χ)dx= du, να γιατί dy=f"(u)du.

Αποδείξαμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα.Διαφορικό σύνθετης συνάρτησης y=f(u), για το οποίο u=g(x), έχει την ίδια μορφή dy=f"(u)du, που θα είχε εάν το ενδιάμεσο όρισμα uήταν η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Με άλλα λόγια, η μορφή του διαφορικού δεν εξαρτάται από το αν το όρισμα της συνάρτησης της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ή συνάρτηση άλλου ορίσματος. Αυτή η ιδιότητα του διαφορικού ονομάζεται διαφορική αναλλοίωτη μορφή.

Παράδειγμα.. Εύρημα dy.

Λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα αμετάβλητης του διαφορικού, βρίσκουμε

.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΣΕ ΚΑΤΑΠΡΙΝΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ

Ενημερώστε μας την αξία της συνάρτησης y 0 =f(x 0 ) και το παράγωγό του y 0 " = φά "(x0) στο σημείο x0. Ας δείξουμε πώς να βρείτε την τιμή μιας συνάρτησης σε κάποιο κοντινό σημείο Χ.

Όπως έχουμε ήδη ανακαλύψει, η αύξηση της συνάρτησης Δ yμπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα Δ y=dy+α·Δ Χ, δηλ. η αύξηση της συνάρτησης διαφέρει από το διαφορικό κατά ένα απειροελάχιστο ποσό. Επομένως, παραμελώντας για το μικρό Δ Χδεύτερος όρος σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς, μερικές φορές χρησιμοποιούν την κατά προσέγγιση ισότητα Δ y≈dyή Δ y» φά"(x0)·Δ Χ.

Επειδή, εξ ορισμού, ο Δ y = φά(Χ) – φά(x0), έπειτα f(x) – f(x0)≈φά"(x0)·Δ Χ.

Παραδείγματα.

ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)είναι διαφοροποιήσιμο σε κάποιο διάστημα [ ένα; σι]. Παράγωγη αξία φά"(Χ), σε γενικές γραμμές, εξαρτάται από Χ, δηλ. παράγωγο φά"(Χ) είναι επίσης συνάρτηση της μεταβλητής Χ. Ας έχει και αυτή η συνάρτηση παράγωγο. Διαφοροποιώντας το, παίρνουμε τη λεγόμενη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f(x).

Η παράγωγος της πρώτης παραγώγου λέγεται παράγωγο δεύτερης τάξηςή δεύτερο παράγωγοαπό αυτή τη λειτουργία y=f(x)και συμβολίζεται y""ή φά""(Χ). Ετσι, y"" = (y")".

Για παράδειγμα, εάν στο = Χ 5, λοιπόν y"= 5Χ 4, και y""= 20Χ 4 .

Ομοίως, με τη σειρά του, η παράγωγος δεύτερης τάξης μπορεί επίσης να διαφοροποιηθεί. Η παράγωγος της δεύτερης παραγώγου λέγεται παράγωγο τρίτης τάξηςή τρίτη παράγωγοκαι συμβολίζεται με y"""ή f"""( Χ).

Γενικά, παράγωγο νης τάξηςαπό τη λειτουργία f(x)λέγεται παράγωγο (πρώτο) του παραγώγου ( n– 1)η τάξη και συμβολίζεται με το σύμβολο y(ιδ) ή φά(ν) ( Χ): y(n) = ( y(n-1))".

Έτσι, για να βρεθεί μια παράγωγος υψηλότερης τάξης μιας δεδομένης συνάρτησης, όλες οι παράγωγοί της κατώτερης τάξης βρίσκονται διαδοχικά.