ένα 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ένα 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ένα 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Λύση.Ψάχνουν για κοινή απόφασησυστήματα εξισώσεων

ένα 1 Χ 1 + ένα 2 Χ 2 + ένα 3 Χ 3 = Θ

Γκαουσιανή μέθοδος. Για να γίνει αυτό, γράφουμε αυτό το ομοιογενές σύστημα σε συντεταγμένες:

Σύστημα Matrix

Το επιτρεπόμενο σύστημα μοιάζει με: (r Α = 2, n= 3). Το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο. Η γενική του λύση ( Χ 2 - δωρεάν μεταβλητή): Χ 3 = 13Χ 2 ; 3Χ 1 – 2Χ 2 – 13Χ 2 = 0 => Χ 1 = 5Χ 2 => Χ o = . Η παρουσία μιας μη μηδενικής ιδιωτικής λύσης, για παράδειγμα, δείχνει ότι τα διανύσματα ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 γραμμικά εξαρτώμενη.

Παράδειγμα 2

Μάθετε αν είναι αυτό το σύστημαδιανύσματα γραμμικά εξαρτώμενα ή γραμμικά ανεξάρτητα:

1. ένα 1 = { -20, -15, - 4 }, ένα 2 = { –7, -2, -4 }, ένα 3 = { 3, –1, –2 }.

Λύση.Θεωρήστε το ομοιογενές σύστημα εξισώσεων ένα 1 Χ 1 + ένα 2 Χ 2 + ένα 3 Χ 3 = Θ

ή επεκτείνεται (κατά συντεταγμένες)

Το σύστημα είναι ομοιογενές. Αν είναι μη εκφυλισμένο, τότε έχει μοναδική λύση. Πότε ομοιογενές σύστημαείναι η μηδενική (τετριμμένη) λύση. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση το σύστημα των διανυσμάτων είναι ανεξάρτητο. Εάν το σύστημα είναι εκφυλισμένο, τότε έχει μη μηδενικές λύσεις και, επομένως, είναι εξαρτημένο.

Έλεγχος του συστήματος για εκφυλισμό:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Το σύστημα είναι μη εκφυλισμένο και, επομένως, τα διανύσματα ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Καθήκοντα.Βρείτε αν το δεδομένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο ή γραμμικά ανεξάρτητο:

1. ένα 1 = { -4, 2, 8 }, ένα 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ένα 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ένα 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ένα 1 = { -7, 5, 19 }, ένα 2 = { -5, 7 , -7 }, ένα 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ένα 1 = { 1, 2, -2 }, ένα 2 = { 0, -1, 4 }, ένα 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ένα 1 = { 1, 8 , -1 }, ένα 2 = { -2, 3, 3 }, ένα 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ένα 1 = { 1, 2 , 3 }, ένα 2 = { 2, -1 , 1 }, ένα 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ένα 1 = {0, 1, 1 , 0}, ένα 2 = {1, 1 , 3, 1}, ένα 3 = {1, 3, 5, 1}, ένα 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ένα 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ένα 2 = {2, 3 , 2, 1}, ένα 3 = {4, 4, 4, -3}, ένα 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Να αποδείξετε ότι ένα σύστημα διανυσμάτων θα εξαρτάται γραμμικά αν περιέχει:

α) δύο ίσα διανύσματα.

β) δύο αναλογικά διανύσματα.

Εργασία 1.Μάθετε εάν το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Το σύστημα των διανυσμάτων θα οριστεί από τον πίνακα του συστήματος, οι στήλες του οποίου αποτελούνται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων.

.

Λύση.Αφήστε τον γραμμικό συνδυασμό ισούται με μηδέν. Έχοντας γράψει αυτή την ισότητα σε συντεταγμένες, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

.

Ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων ονομάζεται τριγωνικό. Έχει τη μόνη λύση. . Εξ ου και τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Εργασία 2.Μάθετε εάν το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

.

Λύση.Διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητες (βλ. Πρόβλημα 1). Ας αποδείξουμε ότι το διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων . Διανυσματικοί συντελεστές επέκτασης καθορίζονται από το σύστημα των εξισώσεων

.

Αυτό το σύστημα, όπως ένα τριγωνικό, έχει μια μοναδική λύση.

Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά εξαρτώμενη.

Σχόλιο. Οι πίνακες όπως στο πρόβλημα 1 καλούνται τριγωνικός και στο πρόβλημα 2 - κλιμακωτό τριγωνικό . Το ζήτημα της γραμμικής εξάρτησης ενός συστήματος διανυσμάτων λύνεται εύκολα εάν ο πίνακας που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι σταδιακά τριγωνικός. Εάν ο πίνακας δεν το κάνει ιδιαίτερο είδος, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμοί χορδών , διατηρώντας τις γραμμικές σχέσεις μεταξύ των στηλών, μπορεί να μειωθεί σε μια βαθμιδωτή τριγωνική μορφή.

Στοιχειώδεις μεταμορφώσειςγραμμέςΠίνακες (EPS) ονομάζονται οι ακόλουθες πράξεις στον πίνακα:

1) μετάθεση γραμμών.

2) πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν μη μηδενικό αριθμό.

3) προσθέτοντας στη συμβολοσειρά μια άλλη συμβολοσειρά, πολλαπλασιασμένη με έναν αυθαίρετο αριθμό.

Εργασία 3.Βρείτε το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα και υπολογίστε την κατάταξη του συστήματος των διανυσμάτων

.

Λύση.Ας μειώσουμε τη μήτρα του συστήματος με τη βοήθεια του EPS σε μια κλιμακωτή-τριγωνική μορφή. Για να εξηγηθεί η διαδικασία, η γραμμή με τον αριθμό του πίνακα που θα μετασχηματιστεί θα συμβολίζεται με το σύμβολο . Η στήλη μετά το βέλος δείχνει τις ενέργειες που πρέπει να εκτελεστούν στις σειρές του πίνακα που έχει μετατραπεί για να ληφθούν οι σειρές του νέου πίνακα.

.

Προφανώς, οι δύο πρώτες στήλες του προκύπτοντος πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες, η τρίτη στήλη είναι ο γραμμικός συνδυασμός τους και η τέταρτη δεν εξαρτάται από τις δύο πρώτες. Διανύσματα ονομάζονται βασικά. Αποτελούν το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος , και η κατάταξη του συστήματος είναι τρεις.

Βάση, συντεταγμένες

Εργασία 4.Βρείτε τη βάση και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε αυτή τη βάση στο σύνολο γεωμετρικά διανύσματα, του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την προϋπόθεση .

Λύση. Το σετ είναι ένα αεροπλάνο που διέρχεται από την αρχή. Μια αυθαίρετη βάση στο επίπεδο αποτελείται από δύο μη γραμμικά διανύσματα. Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων στην επιλεγμένη βάση καθορίζονται με την επίλυση του αντίστοιχου συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, όταν μπορείτε να βρείτε τη βάση με συντεταγμένες.

Συντεταγμένες Οι χώροι δεν είναι συντεταγμένες στο επίπεδο, αφού σχετίζονται με τη σχέση , δηλαδή δεν είναι ανεξάρτητα. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές και (ονομάζονται ελεύθερες) καθορίζουν μοναδικά το διάνυσμα στο επίπεδο και, επομένως, μπορούν να επιλεγούν ως συντεταγμένες στο . Στη συνέχεια η βάση αποτελείται από διανύσματα που βρίσκονται μέσα και αντιστοιχούν σε σύνολα ελεύθερων μεταβλητών και , αυτό είναι .

Εργασία 5.Βρείτε τη βάση και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε αυτή τη βάση στο σύνολο όλων των διανυσμάτων του χώρου , των οποίων οι περιττές συντεταγμένες είναι ίσες μεταξύ τους.

Λύση. Επιλέγουμε, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, συντεταγμένες στο διάστημα .

Επειδή , μετά τις ελεύθερες μεταβλητές ορίζουν μοναδικά ένα διάνυσμα από και, επομένως, είναι συντεταγμένες. Η αντίστοιχη βάση αποτελείται από διανύσματα .

Εργασία 6.Βρείτε τη βάση και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε αυτή τη βάση στο σύνολο όλων των πινάκων της φόρμας , όπου είναι αυθαίρετοι αριθμοί.

Λύση. Κάθε πίνακας από μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως:

Αυτή η σχέση είναι η επέκταση του διανύσματος από ως προς τη βάση
με συντεταγμένες .

Εργασία 7.Να βρείτε τη διάσταση και τη βάση του γραμμικού ανοίγματος ενός συστήματος διανυσμάτων

.

Λύση.Χρησιμοποιώντας το EPS, μετατρέπουμε τον πίνακα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων του συστήματος σε μια κλιμακωτή τριγωνική μορφή.

.

στήλες του τελευταίου πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες και οι στήλες εκφράζονται γραμμικά μέσα από αυτά. Εξ ου και τα διανύσματα αποτελούν τη βάση , και .

Σχόλιο. Βάση σε επιλεγεί διφορούμενα. Για παράδειγμα, διανύσματα αποτελούν επίσης τη βάση .

Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων.
Βάση διανυσμάτων. Affine σύστημα συντεταγμένων

Στο κοινό υπάρχει ένα καρότσι με σοκολάτες και σήμερα κάθε επισκέπτης θα πάρει ένα γλυκό ζευγάρι - αναλυτική γεωμετρία με γραμμική άλγεβρα. Αυτό το άρθρο θα καλύψει δύο ενότητες ταυτόχρονα. ανώτερα μαθηματικά, και θα δούμε πώς τα πάνε μαζί σε ένα περιτύλιγμα. Κάντε ένα διάλειμμα, φάτε Twix! ... βλασφημία, καλά, ανοησίες διαφωνούν. Αν και εντάξει, δεν θα σκοράρω, στο τέλος, θα πρέπει να υπάρχει μια θετική στάση στη μελέτη.

Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων, γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων, διανυσματική βάσηκαι άλλοι όροι δεν έχουν μόνο γεωμετρική ερμηνεία, αλλά, κυρίως, αλγεβρική σημασία. Η ίδια η έννοια του "διανύσματος" από την άποψη της γραμμικής άλγεβρας απέχει πολύ από το να είναι πάντα το "συνηθισμένο" διάνυσμα που μπορούμε να απεικονίσουμε σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε πολύ για απόδειξη, δοκιμάστε να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα πενταδιάστατου χώρου . Ή το διάνυσμα καιρού που μόλις πήγα στο Gismeteo για: - θερμοκρασία και Ατμοσφαιρική πίεσηαντίστοιχα. Το παράδειγμα είναι φυσικά λανθασμένο ως προς τις ιδιότητες διανυσματικός χώρος, αλλά, παρόλα αυτά, κανείς δεν απαγορεύει την επισημοποίηση αυτών των παραμέτρων ως φορέα. Φθινοπωρινή ανάσα...

Όχι, δεν πρόκειται να σας κουράσω με τη θεωρία, γραμμικούς διανυσματικούς χώρους, το καθήκον είναι να καταλαβαίνουνορισμούς και θεωρήματα. Οι νέοι όροι (γραμμική εξάρτηση, ανεξαρτησία, γραμμικός συνδυασμός, βάση κ.λπ.) ισχύουν για όλα τα διανύσματα από αλγεβρική άποψη, αλλά παραδείγματα θα δοθούν γεωμετρικά. Έτσι, όλα είναι απλά, προσβάσιμα και οπτικά. Εκτός από τα προβλήματα της αναλυτικής γεωμετρίας, θα εξετάσουμε και μερικά τυπικές εργασίεςάλγεβρα. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, συνιστάται να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα Διανύσματα για ανδρείκελακαι Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία επίπεδων διανυσμάτων.
Επίπεδη βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Σκεφτείτε το επίπεδο του γραφείου του υπολογιστή σας (μόνο ένα τραπέζι, κομοδίνο, πάτωμα, οροφή, ό,τι θέλετε). Η εργασία θα αποτελείται από τις ακόλουθες ενέργειες:

1) Επιλέξτε βάση αεροπλάνου. Σε γενικές γραμμές, η επιφάνεια του τραπεζιού έχει μήκος και πλάτος, επομένως είναι διαισθητικά σαφές ότι απαιτούνται δύο διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα διάνυσμα σαφώς δεν είναι αρκετό, τρία διανύσματα είναι πάρα πολλά.

2) Με βάση την επιλεγμένη βάση ρυθμίστε το σύστημα συντεταγμένων(πλέγμα συντεταγμένων) για να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε όλα τα στοιχεία του πίνακα.

Μην εκπλαγείτε, στην αρχή οι εξηγήσεις θα είναι στα δάχτυλα. Επιπλέον, στο δικό σας. Παρακαλώ τοποθετήστε δείκτη του αριστερού χεριούστην άκρη του τραπεζιού, ώστε να κοιτάζει την οθόνη. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Τώρα τοποθετήστε Μικρο δαχτυλο δεξί χέρι στην άκρη του τραπεζιού με τον ίδιο τρόπο - έτσι ώστε να κατευθύνεται στην οθόνη της οθόνης. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Χαμογέλα, φαίνεσαι υπέροχη! Τι μπορεί να ειπωθεί για τα διανύσματα; Διανύσματα δεδομένων συγγραμμική, που σημαίνει γραμμικάεκφράζονται μεταξύ τους:
, καλά, ή αντίστροφα: , όπου είναι ένας μη μηδενικός αριθμός.

Μπορείτε να δείτε μια εικόνα αυτής της ενέργειας στο μάθημα. Διανύσματα για ανδρείκελα, όπου εξήγησα τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Τα δάχτυλά σας θα βάλουν τη βάση στο επίπεδο του τραπεζιού του υπολογιστή; Προφανώς όχι. Τα συγγραμμικά διανύσματα ταξιδεύουν εμπρός και πίσω μόνοςκατεύθυνση, ενώ ένα επίπεδο έχει μήκος και πλάτος.

Τέτοια διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη.

Αναφορά: Οι λέξεις «γραμμικό», «γραμμικό» αναφέρονται στο γεγονός ότι στο μαθηματικές εξισώσεις, οι εκφράσεις δεν έχουν τετράγωνα, κύβους, άλλες δυνάμεις, λογάριθμους, ημίτονο κ.λπ. Υπάρχουν μόνο γραμμικές (1ου βαθμού) εκφράσεις και εξαρτήσεις.

Δύο επίπεδα διανύσματα γραμμικά εξαρτώμενηεάν και μόνο εάν είναι συγγραμμικές.

Σταυρώστε τα δάχτυλά σας στο τραπέζι έτσι ώστε να υπάρχει οποιαδήποτε γωνία μεταξύ τους εκτός από 0 ή 180 μοίρες. Δύο επίπεδα διανύσματαγραμμικά δενεξαρτώνται εάν και μόνο εάν δεν είναι συγγραμμικές. Έτσι, η βάση έχει ληφθεί. Δεν χρειάζεται να ντρέπεστε που η βάση αποδείχθηκε «λοξή» με μη κάθετα διανύσματα διαφόρων μηκών. Πολύ σύντομα θα δούμε ότι όχι μόνο μια γωνία 90 μοιρών είναι κατάλληλη για την κατασκευή του, και όχι μόνο μοναδιαία διανύσματα ίσου μήκους

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεπεκτάθηκε ως προς τη βάση:
, όπου είναι πραγματικοί αριθμοί . Οι αριθμοί καλούνται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση.

Το λένε και αυτό διάνυσμαπαρουσιάζεται στη φόρμα γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης. Δηλαδή η έκφραση λέγεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάσηή γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να πει ότι ένα διάνυσμα διαστέλλεται σε μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου ή μπορεί να πει κανείς ότι αναπαρίσταται ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.

Ας διατυπώσουμε ορισμός βάσηςεπίσημα: βάση αεροπλάνουείναι ένα ζεύγος γραμμικά ανεξάρτητων (μη γραμμικών) διανυσμάτων, , όπου όποιοςτο επίπεδο διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης.

Το ουσιαστικό σημείο του ορισμού είναι το γεγονός ότι λαμβάνονται τα διανύσματα με μια ορισμένη σειρά. βάσεις - είναι δύο εντελώς διαφορετική βάση! Όπως λένε, το μικρό δάχτυλο του αριστερού χεριού δεν μπορεί να μετακινηθεί στη θέση του μικρού δακτύλου του δεξιού χεριού.

Καταλάβαμε τη βάση, αλλά δεν αρκεί να ορίσετε το πλέγμα συντεταγμένων και να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε κάθε στοιχείο στο γραφείο του υπολογιστή σας. Γιατί όχι αρκετά; Τα διανύσματα είναι ελεύθερα και περιφέρονται σε ολόκληρο το επίπεδο. Πώς, λοιπόν, αντιστοιχίζετε συντεταγμένες σε αυτές τις μικρές βρώμικες κουκκίδες που έχουν απομείνει από ένα άγριο Σαββατοκύριακο; Χρειάζεται ένα σημείο εκκίνησης. Και ένα τέτοιο σημείο αναφοράς είναι ένα σημείο γνωστό σε όλους - η προέλευση των συντεταγμένων. Κατανόηση του συστήματος συντεταγμένων:

Θα ξεκινήσω με το «σχολικό» σύστημα. Ήδη στο εισαγωγικό μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΤόνισα μερικές από τις διαφορές μεταξύ ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων και μιας ορθοκανονικής βάσης. Εδώ είναι η τυπική εικόνα:

Όταν μιλάμε για ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε πιο συχνά σημαίνουν την προέλευση των συντεταγμένων, άξονες συντεταγμένωνκαι κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Δοκιμάστε να πληκτρολογήσετε "ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων" στη μηχανή αναζήτησης και θα δείτε ότι πολλές πηγές θα σας πουν για τους άξονες συντεταγμένων που είναι γνωστοί από την 5η-6η τάξη και πώς να σχεδιάσετε σημεία σε ένα επίπεδο.

Από την άλλη φαίνεται ότι ορθογώνιο σύστημαΟι συντεταγμένες μπορούν να προσδιοριστούν με βάση μια ορθοκανονική βάση. Και σχεδόν είναι. Η διατύπωση έχει ως εξής:

προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου . Δηλαδή ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σίγουραορίζεται από ένα μόνο σημείο και δύο μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα. Γι' αυτό, βλέπετε το σχέδιο που έδωσα παραπάνω - μέσα γεωμετρικά προβλήματασυχνά (αλλά σε καμία περίπτωση πάντα) σχεδιάζουν και διανύσματα και άξονες συντεταγμένων.

Νομίζω ότι όλοι το καταλαβαίνουν με τη βοήθεια ενός σημείου (προέλευσης) και μιας ορθοκανονικής βάσης ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ του αεροπλάνου και ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ του αεροπλάνουμπορούν να εκχωρηθούν συντεταγμένες. Μεταφορικά μιλώντας, «τα πάντα στο αεροπλάνο μπορούν να αριθμηθούν».

Τα διανύσματα συντεταγμένων πρέπει να είναι μονάδες; Όχι, μπορεί να έχουν αυθαίρετο μη μηδενικό μήκος. Θεωρήστε ένα σημείο και δύο ορθογώνια διανύσματα αυθαίρετου μη μηδενικού μήκους:

Μια τέτοια βάση ονομάζεται ορθογώνιο. Η αρχή των συντεταγμένων με διανύσματα ορίζει το πλέγμα συντεταγμένων και οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, οποιοδήποτε διάνυσμα έχει τις δικές του συντεταγμένες στη δεδομένη βάση. Για παράδειγμα, ή. Η προφανής ταλαιπωρία είναι ότι τα διανύσματα συντεταγμένων σε γενική περίπτωση έχουν διαφορετικά μήκη εκτός της ενότητας. Εάν τα μήκη είναι ίσα με ένα, τότε προκύπτει η συνήθης ορθοκανονική βάση.

! Σημείωση : στην ορθογώνια βάση, καθώς και παρακάτω στις συγγενικές βάσεις του επιπέδου και του χώρου, θεωρούνται μονάδες κατά μήκος των αξόνων ΥΠΟΘΕΤΙΚΟΣ. Για παράδειγμα, μια μονάδα στην τετμημένη περιέχει 4 εκ., μια μονάδα στην τεταγμένη περιέχει 2 εκ. Αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετές για να μετατρέψουν τις «μη τυπικές» συντεταγμένες σε «συνήθη εκατοστά» εάν είναι απαραίτητο.

Και η δεύτερη ερώτηση, η οποία στην πραγματικότητα έχει ήδη απαντηθεί - είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων βάσης κατ' ανάγκη ίση με 90 μοίρες; Δεν! Όπως λέει ο ορισμός, τα διανύσματα βάσης πρέπει να είναι μόνο μη γραμμικό. Κατά συνέπεια, η γωνία μπορεί να είναι οτιδήποτε εκτός από 0 και 180 μοίρες.

Κάλεσε ένα σημείο στο αεροπλάνο προέλευση, και μη γραμμικόφορείς, , σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου :

Μερικές φορές αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται λοξόςΣύστημα. Τα σημεία και τα διανύσματα φαίνονται ως παραδείγματα στο σχέδιο:

Όπως καταλαβαίνετε, το συγγενικό σύστημα συντεταγμένων είναι ακόμα λιγότερο βολικό, οι τύποι για τα μήκη των διανυσμάτων και των τμημάτων, που εξετάσαμε στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, δεν λειτουργούν σε αυτό. Διανύσματα για ανδρείκελα, πολλές νόστιμες φόρμουλες που σχετίζονται με κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. Αλλά οι κανόνες για την προσθήκη διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό ισχύουν, οι τύποι για τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη, καθώς και ορισμένοι άλλοι τύποι προβλημάτων που θα εξετάσουμε σύντομα.

Και το συμπέρασμα είναι ότι η πιο βολική ειδική περίπτωση συγγενικό σύστημαοι συντεταγμένες είναι ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα. Επομένως, αυτή, η δική της, τις περισσότερες φορές πρέπει να τη δει κανείς. ... Ωστόσο, όλα σε αυτή τη ζωή είναι σχετικά - υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες είναι σκόπιμο να υπάρχει μια λοξή (ή κάποια άλλη, για παράδειγμα, πολικός) σύστημα συντεταγμένων. Ναι, και ανθρωποειδή τέτοια συστήματα μπορεί να έρθουν σε γεύση =)

Ας περάσουμε στο πρακτικό κομμάτι. Όλες οι εργασίες αυτό το μάθημαισχύουν τόσο για ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όσο και για τη γενική συγγενική περίπτωση. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ, όλο το υλικό είναι διαθέσιμο ακόμα και σε έναν μαθητή.

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των επίπεδων διανυσμάτων;

Τυπικό πράγμα. Για δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές, είναι απαραίτητο και επαρκές οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες.Ουσιαστικά πρόκειται για μια τελειοποίηση συντεταγμένη προς συντεταγμένη της προφανούς σχέσης .

Παράδειγμα 1

α) Ελέγξτε αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά .
β) Τα διανύσματα αποτελούν βάση; ?

Λύση:
α) Μάθετε αν υπάρχει για διανύσματα συντελεστής αναλογικότητας, έτσι ώστε να πληρούνται οι ισότητες:

Θα σας πω σίγουρα για την "foppish" έκδοση της εφαρμογής αυτού του κανόνα, η οποία λειτουργεί αρκετά καλά στην πράξη. Η ιδέα είναι να συντάξουμε αμέσως μια αναλογία και να δούμε αν είναι σωστή:

Ας κάνουμε μια αναλογία από τους λόγους των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων:

Συντομεύουμε:
, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογες, επομένως,

Η σχέση θα μπορούσε να γίνει και αντίστροφα, αυτή είναι μια ισοδύναμη επιλογή:

Για τον αυτοέλεγχο, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι συγγραμμικά διανύσματαεκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηυπάρχουν ισότητες . Η εγκυρότητά τους μπορεί εύκολα να ελεγχθεί μέσω στοιχειωδών πράξεων με διανύσματα:

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Εξετάζουμε διανύσματα για συγγραμμικότητα . Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων δεν είναι ανάλογες.

συμπέρασμα: τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Μια απλοποιημένη έκδοση της λύσης μοιάζει με αυτό:

Να συνθέσετε την αναλογία από τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως, αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Συνήθως οι αναθεωρητές δεν απορρίπτουν αυτήν την επιλογή, αλλά δημιουργείται πρόβλημα σε περιπτώσεις όπου ορισμένες συντεταγμένες είναι ίσες με μηδέν. Σαν αυτό: . Ή όπως αυτό: . Ή όπως αυτό: . Πώς να επεξεργαστείτε την αναλογία εδώ; (Πραγματικά, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν). Γι' αυτόν τον λόγο ονόμασα την απλοποιημένη λύση "foppish".

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Μικρό δημιουργικό παράδειγμαΓια ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 2

Σε ποια τιμή των διανυσμάτων παραμέτρων θα είναι συγγραμμική;

Στο διάλυμα του δείγματος, η παράμετρος βρίσκεται μέσω της αναλογίας.

Υπάρχει ένας κομψός αλγεβρικός τρόπος ελέγχου των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα. Ας συστηματοποιήσουμε τις γνώσεις μας και ας τις προσθέσουμε απλώς ως το πέμπτο σημείο:

Για δύο επίπεδα διανύσματα, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

2) Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι μη μηδενική.

Αντίστοιχα, οι παρακάτω αντίθετες προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.
2) τα διανύσματα δεν αποτελούν βάση.
3) τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
4) τα διανύσματα μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, ισούται με μηδέν.

Ελπίζω πολύ, πολύ ότι αυτή τη στιγμή έχετε ήδη κατανοήσει όλους τους όρους και τις δηλώσεις που έχετε συναντήσει.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο νέο, πέμπτο σημείο: δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:. Για να χρησιμοποιήσετε αυτή τη δυνατότητα, φυσικά, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε καθοριστικούς παράγοντες.

Θα αποφασίσουμεΠαράδειγμα 1 με τον δεύτερο τρόπο:

α) Να υπολογίσετε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Φαίνεται πολύ πιο συμπαγές και πιο όμορφο από τη λύση με τις αναλογίες.

Με τη βοήθεια του εξεταζόμενου υλικού, είναι δυνατό να καθοριστεί όχι μόνο η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων, αλλά και να αποδειχθεί ο παραλληλισμός των τμημάτων, των ευθειών γραμμών. Εξετάστε μερικά προβλήματα με συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα.

Παράδειγμα 3

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Δεν χρειάζεται να δημιουργηθεί σχέδιο στο πρόβλημα, αφού η λύση θα είναι καθαρά αναλυτική. Θυμηθείτε τον ορισμό του παραλληλογράμμου:
Παραλληλόγραμμο Λέγεται ένα τετράπλευρο, στο οποίο οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Επομένως, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί:
1) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και?
2) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και .

Αποδεικνύουμε:

1) Βρείτε τα διανύσματα:

2) Βρείτε τα διανύσματα:

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο διάνυσμα ("σύμφωνα με το σχολείο" - ίσα διανύσματα). Η συγγραμμικότητα είναι αρκετά εμφανής, αλλά είναι καλύτερο να ληφθεί η απόφαση σωστά, με τη διάταξη. Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και .

συμπέρασμα: αντίθετες πλευρέςΤα τετράπλευρα είναι κατά ζεύγη παράλληλα, επομένως είναι παραλληλόγραμμο εξ ορισμού. Q.E.D.

Περισσότερες καλές και διαφορετικές φιγούρες:

Παράδειγμα 4

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

Για μια πιο αυστηρή διατύπωση της απόδειξης, είναι καλύτερα, φυσικά, να λάβουμε τον ορισμό του τραπεζοειδούς, αλλά αρκεί απλώς να θυμηθούμε πώς μοιάζει.

Αυτό είναι ένα καθήκον για ανεξάρτητη απόφαση. Ολοκληρωμένη Λύσηστο τέλος του μαθήματος.

Και τώρα ήρθε η ώρα να μετακινηθείτε σιγά σιγά από το αεροπλάνο στο διάστημα:

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων του χώρου;

Ο κανόνας είναι πολύ παρόμοιος. Για να είναι συγγραμμικά δύο διανύσματα χώρου, είναι απαραίτητο και αρκετό οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες με.

Παράδειγμα 5

Μάθετε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:

ένα) ;
σι)
σε)

Λύση:
α) Ελέγξτε αν υπάρχει συντελεστής αναλογικότητας για τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων:

Το σύστημα δεν έχει λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Το "Απλοποιημένο" γίνεται με τον έλεγχο της αναλογίας. Σε αυτήν την περίπτωση:
– οι αντίστοιχες συντεταγμένες δεν είναι αναλογικές, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Απάντηση:τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β-γ) Αυτά είναι σημεία για αυτοτελή απόφαση. Δοκιμάστε το με δύο τρόπους.

Υπάρχει μια μέθοδος για τον έλεγχο των διανυσμάτων χώρου για συγγραμμικότητα και μέσω μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, αυτή τη μέθοδοπου καλύπτονται στο άρθρο Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων.

Ομοίως με την περίπτωση του επιπέδου, τα εξεταζόμενα εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη του παραλληλισμού χωρικών τμημάτων και γραμμών.

Καλώς ήρθατε στη δεύτερη ενότητα:

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία τρισδιάστατων διανυσμάτων χώρου.
Χωρική βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Πολλές από τις κανονικότητες που έχουμε εξετάσει στο αεροπλάνο θα ισχύουν και για το διάστημα. Προσπάθησα να ελαχιστοποιήσω την περίληψη της θεωρίας, αφού η μερίδα του λέοντος των πληροφοριών έχει ήδη μασηθεί. Ωστόσο, σας συνιστώ να διαβάσετε προσεκτικά το εισαγωγικό μέρος, καθώς θα εμφανιστούν νέοι όροι και έννοιες.

Τώρα, αντί για το επίπεδο του πίνακα του υπολογιστή, ας εξετάσουμε τον τρισδιάστατο χώρο. Αρχικά, ας δημιουργήσουμε τη βάση του. Κάποιος είναι τώρα σε εσωτερικό χώρο, κάποιος είναι σε εξωτερικό χώρο, αλλά σε κάθε περίπτωση, δεν μπορούμε να ξεφύγουμε από τις τρεις διαστάσεις: πλάτος, μήκος και ύψος. Επομένως, απαιτούνται τρία χωρικά διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα ή δύο διανύσματα δεν είναι αρκετά, το τέταρτο είναι περιττό.

Και πάλι ζεσταίνουμε στα δάχτυλα. Παρακαλώ σηκώστε το χέρι σας και απλώστε μέσα διαφορετικές πλευρές αντίχειρα, δείκτη και μεσαίο δάχτυλο. Αυτά θα είναι διανύσματα, κοιτάζουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις, έχουν διαφορετικά μήκη και έχουν διαφορετικές γωνίες μεταξύ τους. Συγχαρητήρια, η βάση του τρισδιάστατου χώρου είναι έτοιμη! Παρεμπιπτόντως, δεν χρειάζεται να το αποδείξετε αυτό στους δασκάλους, ανεξάρτητα από το πώς στρίβετε τα δάχτυλά σας, αλλά δεν μπορείτε να ξεφύγετε από τους ορισμούς =)

Στη συνέχεια, ας ρωτήσουμε σημαντικό θέμα, εάν οποιαδήποτε τρία διανύσματα αποτελούν βάση τρισδιάστατο χώρο ? Πατήστε σταθερά τρία δάχτυλα στο επάνω μέρος του τραπεζιού του υπολογιστή. Τι συνέβη? Τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και, χοντρικά, έχουμε χάσει μία από τις μετρήσεις - το ύψος. Τέτοιοι φορείς είναι ομοεπίπεδηκαι, προφανώς, ότι δεν δημιουργείται η βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα συνεπίπεδα διανύσματα δεν χρειάζεται να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, μπορούν να βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα(απλά μην το κάνεις με τα δάχτυλά σου, μόνο ο Σαλβαδόρ Νταλί ξεκόλλησε έτσι =)).

Ορισμός: ονομάζονται διανύσματα ομοεπίπεδηεάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα. Εδώ είναι λογικό να προσθέσουμε ότι αν δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο, τότε τα διανύσματα δεν θα είναι συνεπίπεδα.

Τρία συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται πάντα γραμμικά, δηλαδή εκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους. Για απλότητα, φανταστείτε πάλι ότι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Πρώτον, τα διανύσματα δεν είναι μόνο συνεπίπεδα, αλλά μπορούν επίσης να είναι συγγραμμικά, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω οποιουδήποτε διανύσματος. Στη δεύτερη περίπτωση, εάν, για παράδειγμα, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, τότε το τρίτο διάνυσμα εκφράζεται μέσω αυτών με μοναδικό τρόπο: (και γιατί είναι εύκολο να μαντέψει κανείς από τα υλικά της προηγούμενης ενότητας).

Ισχύει και το αντίστροφο: τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή σε καμία περίπτωση δεν εκφράζονται μεταξύ τους. Και, προφανώς, μόνο τέτοια διανύσματα μπορούν να αποτελέσουν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Ορισμός: Η βάση του τρισδιάστατου χώρουονομάζεται τριπλό γραμμικά ανεξάρτητων (μη ομοεπίπεδων) διανυσμάτων, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, ενώ οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται στη δεδομένη βάση , όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος στη δεδομένη βάση

Ως υπενθύμιση, μπορείτε επίσης να πείτε ότι ένα διάνυσμα αναπαρίσταται ως γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Η έννοια του συστήματος συντεταγμένων εισάγεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και για επίπεδη θήκη, αρκεί να έχουμε ένα σημείο και οποιαδήποτε τρία γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα:

προέλευση, και μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του τρισδιάστατου χώρου :

Φυσικά, το πλέγμα συντεταγμένων είναι "λοξό" και άβολο, αλλά, παρόλα αυτά, το κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων μας επιτρέπει να σίγουραπροσδιορίστε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος και τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στο χώρο. Παρόμοια με το επίπεδο, στο συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του χώρου, ορισμένοι τύποι που έχω ήδη αναφέρει δεν θα λειτουργήσουν.

Η πιο οικεία και βολική ειδική περίπτωση ενός συστήματος συντεταγμένων συγγενών, όπως όλοι μπορούν να μαντέψουν, είναι ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του χώρου:

σημείο στο διάστημα που ονομάζεται προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του χώρου . γνώριμη εικόνα:

Πριν προχωρήσουμε σε πρακτικές εργασίες, συστηματοποιούμε ξανά τις πληροφορίες:

Για τρία διανύσματατα κενά είναι ισοδύναμα με τις παρακάτω προτάσεις:
1) τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
2) Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.
4) τα διανύσματα δεν μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι διαφορετική από το μηδέν.

Οι αντίθετες δηλώσεις, νομίζω, είναι κατανοητές.

Η γραμμική εξάρτηση / ανεξαρτησία των διανυσμάτων χώρου ελέγχεται παραδοσιακά χρησιμοποιώντας την ορίζουσα (στοιχείο 5). Παραμένων πρακτικές εργασίεςθα έχει έντονο αλγεβρικό χαρακτήρα. Ήρθε η ώρα να κρεμάσετε ένα γεωμετρικό ραβδί σε ένα καρφί και να κρατήσετε ένα γραμμικό ρόπαλο μπέιζμπολ άλγεβρας:

Τρία διανύσματα χώρουείναι ομοεπίπεδες αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν: .

Εφιστώ την προσοχή σας σε μια μικρή τεχνική απόχρωση: οι συντεταγμένες των διανυσμάτων μπορούν να γραφτούν όχι μόνο σε στήλες, αλλά και σε σειρές (η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει από αυτό - δείτε τις ιδιότητες των οριζόντων). Αλλά είναι πολύ καλύτερο στις στήλες, αφού είναι πιο ωφέλιμο για την επίλυση κάποιων πρακτικών προβλημάτων.

Για εκείνους τους αναγνώστες που έχουν ξεχάσει λίγο τις μεθόδους υπολογισμού οριζόντων ή ίσως δεν έχουν καθόλου προσανατολισμό, προτείνω ένα από τα παλαιότερα μαθήματά μου: Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Παράδειγμα 6

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου:

Λύση: Στην πραγματικότητα, η όλη λύση καταλήγει στον υπολογισμό της ορίζουσας.

α) Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή):

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (όχι ομοεπίπεδα) και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Απάντηση: αυτά τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

β) Αυτό είναι ένα σημείο για ανεξάρτητη απόφαση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

συναντιούνται και δημιουργικές εργασίες:

Παράδειγμα 7

Σε ποια τιμή της παραμέτρου τα διανύσματα θα είναι συνεπίπεδα;

Λύση: Τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:

Ουσιαστικά απαιτείται η επίλυση μιας εξίσωσης με ορίζουσα. Πετάμε στα μηδενικά όπως οι χαρταετοί σε jerboas - είναι πιο κερδοφόρο να ανοίξουμε τον καθοριστικό παράγοντα στη δεύτερη γραμμή και να απαλλαγούμε αμέσως από τα μειονεκτήματα:

Πραγματοποιούμε περαιτέρω απλοποιήσεις και περιορίζουμε το θέμα στο απλούστερο γραμμική εξίσωση:

Απάντηση: στο

Είναι εύκολο να το ελέγξετε εδώ, για αυτό πρέπει να αντικαταστήσετε την προκύπτουσα τιμή στην αρχική ορίζουσα και να βεβαιωθείτε ότι ανοίγοντάς το ξανά.

Τέλος, σκεφτείτε ένα ακόμη τυπική εργασία, που έχει περισσότερο αλγεβρικό χαρακτήρα και παραδοσιακά περιλαμβάνεται στο μάθημα της γραμμικής άλγεβρας. Είναι τόσο κοινό που αξίζει ένα ξεχωριστό θέμα:

Να αποδείξετε ότι 3 διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου
και βρείτε τις συντεταγμένες του 4ου διανύσματος στη δεδομένη βάση

Παράδειγμα 8

Δίνονται διανύσματα. Δείξτε ότι τα διανύσματα αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

Λύση: Ας ασχοληθούμε πρώτα με την κατάσταση. Κατά συνθήκη, δίνονται τέσσερα διανύσματα και, όπως μπορείτε να δείτε, έχουν ήδη συντεταγμένες σε κάποια βάση. Ποια είναι η βάση - δεν μας ενδιαφέρει. Και το εξής είναι ενδιαφέρον: τρία διανύσματα μπορεί κάλλιστα να αποτελέσουν μια νέα βάση. Και το πρώτο βήμα είναι εντελώς το ίδιο με τη λύση του Παραδείγματος 6, είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι πραγματικά γραμμικά ανεξάρτητα:

Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

! Σπουδαίος : διανυσματικές συντεταγμένες αναγκαίωςσημειωσε σε στήλεςκαθοριστική, όχι χορδές. Διαφορετικά, θα υπάρξει σύγχυση στον περαιτέρω αλγόριθμο επίλυσης.

Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί , μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι διαφορετικός από το μηδέν, ότι η ισότητα https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Αν αυτή η ισότητα ισχύει μόνο αν όλα , τότε καλείται το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά ανεξάρτητη.

Θεώρημα.Το σύστημα των διανυσμάτων θα γραμμικά εξαρτώμενηαν και μόνο αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Παράδειγμα 1Πολυώνυμος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Τα πολυώνυμα αποτελούν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα, αφού το https πολυώνυμο: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Παράδειγμα 2Το σύστημα μήτρας , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με το μηδενικός πίνακας μόνο όταν https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> γραμμικά εξαρτώμενο.

Λύση.

Συνθέστε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των διανυσμάτων https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ύψος =" 22">.

Εξίσωση των συντεταγμένων με το ίδιο όνομα ίσα διανύσματα, έχουμε https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Τελικά παίρνουμε

και

Το σύστημα έχει μόνο ένα ασήμαντη λύση, άρα ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι ίσος με μηδέν μόνο στην περίπτωση που όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν. Επομένως, αυτό το σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Παράδειγμα 4Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ποια θα είναι τα συστήματα των διανυσμάτων

ένα).;

σι).?

Λύση.

ένα).Συνθέστε έναν γραμμικό συνδυασμό και εξισώστε τον με μηδέν

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων με διανύσματα σε γραμμικό χώρο, ξαναγράφουμε την τελευταία ισότητα στη μορφή

Δεδομένου ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, οι συντελεστές για πρέπει να είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή.gif" width="12" height="23 src=">

Το προκύπτον σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική ασήμαντη λύση .

Από την ισότητα (*) εκτελείται μόνο στη διεύθυνση https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – γραμμικά ανεξάρτητο.

σι).Συνθέστε την ισότητα https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Εφαρμόζοντας παρόμοιο σκεπτικό, παίρνουμε

Λύνοντας το σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss, παίρνουμε

ή

Το τελευταίο σύστημα έχει άπειρο σύνολολύσεις https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Έτσι, υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο συντελεστών για τους οποίους η ισότητα (**) . Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Παράδειγμα 5Το διανυσματικό σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και το διανυσματικό σύστημα εξαρτάται γραμμικά..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Ανισότητα (***) . Πράγματι, για το , το σύστημα θα ήταν γραμμικά εξαρτημένο.

Από τη σχέση (***) παίρνουμε ή Σημαίνω .

Παίρνω

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (στην τάξη)

1. Ένα σύστημα που περιέχει μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

2. Ενιαίο διανυσματικό σύστημα ένα, εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο αν, a=0.

3. Ένα σύστημα που αποτελείται από δύο διανύσματα εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι ανάλογα (δηλαδή, το ένα από αυτά προκύπτει από το άλλο πολλαπλασιάζοντας με έναν αριθμό).

4. Αν το k είναι γραμμικό εξαρτημένο σύστημαπροσθέστε ένα διάνυσμα, παίρνετε ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα.

5. Αν από γραμμικό ανεξάρτητο σύστημαδιαγράψετε ένα διάνυσμα, τότε το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

6. Εάν το σύστημα μικρόγραμμικά ανεξάρτητο, αλλά γίνεται γραμμικά εξαρτώμενο όταν προστεθεί ένα διάνυσμα σι, μετά το διάνυσμα σιεκφράζεται γραμμικά ως προς τα διανύσματα του συστήματος μικρό.

ντο).Το σύστημα πινάκων , , στο χώρο πινάκων δεύτερης τάξης.

10. Αφήστε το σύστημα των διανυσμάτων ένα,σι,ντοΟ διανυσματικός χώρος είναι γραμμικά ανεξάρτητος. Αποδεικνύω γραμμική ανεξαρτησία τα ακόλουθα συστήματαφορείς:

ένα).α+β, β, γ.

σι).α+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–αυθαίρετος αριθμός

ντο).α+β, α+γ, β+γ.

11. Αφήνω ένα,σι,ντοείναι τρία διανύσματα στο επίπεδο που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν ένα τρίγωνο. Αυτά τα διανύσματα θα εξαρτώνται γραμμικά;

12. Δίνονται δύο διανύσματα a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Σηκώστε δύο ακόμη 4D διανύσματα α3 καια4ώστε το σύστημα Α'1,Α2,α3,α4ήταν γραμμικά ανεξάρτητη .

Για να ελέγξετε εάν ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, είναι απαραίτητο να συνθέσετε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των διανυσμάτων και να ελέγξετε εάν μπορεί να είναι μηδέν εάν τουλάχιστον ένας συντελεστής είναι μηδέν.

Περίπτωση 1. Το σύστημα των διανυσμάτων δίνεται από διανύσματα

Κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό

Αποκτήσαμε ένα ομοιογενές σύστημα εξισώσεων. Αν έχει μη μηδενική λύση, τότε η ορίζουσα πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Ας κάνουμε έναν προσδιορισμό και ας βρούμε την αξία του.

Η ορίζουσα είναι μηδέν, επομένως, τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Περίπτωση 2. Το σύστημα των διανυσμάτων δίνεται από αναλυτικές συναρτήσεις:

ένα)
, εάν η ταυτότητα είναι αληθής, τότε το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Ας κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό.

Είναι απαραίτητο να ελέγξουμε αν υπάρχουν τέτοια a, b, c (τουλάχιστον ένα από τα οποία δεν είναι ίσο με μηδέν) για τα οποία η δοθείσα έκφραση είναι ίση με μηδέν.

Γράφουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις

,
, έπειτα

τότε ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων θα πάρει τη μορφή:

Οπου
, πάρτε, για παράδειγμα, τότε ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με μηδέν, επομένως, το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Απάντηση: Το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

σι)
, συνθέτουμε έναν γραμμικό συνδυασμό

Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων, πρέπει να είναι μηδέν για οποιεσδήποτε τιμές του x.

Ας ελέγξουμε για ειδικές περιπτώσεις.

Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων είναι μηδέν μόνο εάν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν.

Επομένως, το σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Απάντηση: Το σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

5.3. Βρείτε κάποια βάση και προσδιορίστε τη διάσταση του γραμμικού χώρου των λύσεων.

Ας σχηματίσουμε έναν εκτεταμένο πίνακα και ας τον φέρουμε σε μορφή τραπεζοειδούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Για να έχουμε κάποια βάση, αντικαθιστούμε αυθαίρετες τιμές:

Πάρτε τις υπόλοιπες συντεταγμένες

Απάντηση:

5.4. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος Χ στη βάση, αν αυτό δίνεται στη βάση.

Η εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος στη νέα βάση περιορίζεται στην επίλυση του συστήματος των εξισώσεων

Μέθοδος 1. Εύρεση χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετάβασης

Συνθέστε τον πίνακα μετάβασης

Ας βρούμε το διάνυσμα στη νέα βάση με τον τύπο

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και κάντε τον πολλαπλασιασμό

,

Μέθοδος 2. Εύρεση με σύνταξη συστήματος εξισώσεων.

Να συνθέσετε τα διανύσματα βάσης από τους συντελεστές της βάσης

,
,

Η εύρεση ενός διανύσματος σε νέα βάση έχει τη μορφή

, όπου ρεαυτό είναι δεδομένο διάνυσμα Χ.

Η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να λυθεί με οποιονδήποτε τρόπο, η απάντηση θα είναι η ίδια.

Απάντηση: διάνυσμα σε νέα βάση
.

5.5. Έστω x = (Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 ) . Είναι γραμμικοί οι παρακάτω μετασχηματισμοί.

Ας συνθέσουμε πίνακες γραμμικών τελεστών από τους συντελεστές δεδομένων διανυσμάτων.

Ας ελέγξουμε την ιδιότητα των γραμμικών πράξεων για κάθε πίνακα ενός γραμμικού τελεστή.

Η αριστερή πλευρά βρίσκεται με πολλαπλασιασμό πίνακα ΑΛΛΑανά διάνυσμα

Βρίσκουμε τη δεξιά πλευρά πολλαπλασιάζοντας το δεδομένο διάνυσμα με ένα βαθμωτό
.

Το βλέπουμε αυτό
οπότε ο μετασχηματισμός δεν είναι γραμμικός.

Ας ελέγξουμε άλλα διανύσματα.

, ο μετασχηματισμός δεν είναι γραμμικός.

, ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός.

Απάντηση: Ω- δεν γραμμικός μετασχηματισμός, Vx- όχι γραμμικό Cx- γραμμικός.

Σημείωση.Μπορείτε να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία πολύ πιο εύκολα κοιτάζοντας προσεκτικά τα δεδομένα διανύσματα. ΣΤΟ Ωβλέπουμε ότι υπάρχουν όροι που δεν περιέχουν στοιχεία Χ, το οποίο δεν ήταν δυνατό να ληφθεί ως αποτέλεσμα μιας γραμμικής πράξης. ΣΤΟ Vxυπάρχει ένα στοιχείο Χστην τρίτη δύναμη, η οποία επίσης δεν μπορούσε να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας με ένα διάνυσμα Χ.

5.6. Δεδομένος Χ = { Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 } , Τσεκούρι = { Χ 2 – Χ 3 , Χ 1 , Χ 1 + Χ 3 } , bx = { Χ 2 , 2 Χ 3 , Χ 1 } . Εκτελέστε τη δεδομένη λειτουργία: ( ΕΝΑ ( σι – ΕΝΑ )) Χ .

Ας γράψουμε τους πίνακες των γραμμικών τελεστών.

Ας εκτελέσουμε μια πράξη σε πίνακες

Πολλαπλασιάζοντας τον προκύπτοντα πίνακα με Χ, παίρνουμε

Απάντηση: